Program linier, Matrik, dan Vektor

Program Linier
1.

KEMAMPUAN YANG DIUJI
Menyelesaikan masalah program linear

2.

RINGKASAN MATERI
Program linear
Program linear merupakan suatu metode atau prosedur penentuan nilai optimum
dari suatu persoalan linear.
1. Penyelesaian Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel
Persamaan Garis : Ax + By © C
Nilai A
( koefisien x )

Tanda ©

positif (+)

> atau 
< atau 

negatif ( -)

> atau 
< atau 

Daerah Penyelesaian





di sebelah
kanan garis
di sebelah kiri
garis
di sebelah kiri garis
di sebelah kiri garis

2. Model Matematika dari Masalah Program Linear
Dalam merancang suatu model matematika diperlukan langkah-langkah sebagai
berikut:
a.

Tuliskan ketentuan-ketentuan yang ada ke dalam sebuah tabel.

b.

Tetapkan besaran masalah di dalam soal sebagai variabel-variabel.

c.

Buatlah sistem pertidaksamaan linear dari hal hal yang sudah diketahui

d.

Tentukan fungsi tujuan , yaitu fungsi yang akan dimaksimumkan atau
diminimumkan ( kalau ada).

3. Menentukan Nilai Optimum dari Fungsi Tujuan.
a.

Dengan metode Uji Titik Sudut dapat dikerjakan dengan langkahlangkah sebagai berikut :

 Lukis daerah penyelesaian dari kendala dalam suatu masalah program
linear.
 Tentukan koordinat titik sudut – titik sudut daerah penyelesaian.
 Hitung nilai fungsi tujuan f(x,y) = ax + by untuk masing– masing titik sudut.
 Nilai optimum dicari dengan membandingkan nilai – nilai pada langkah c.
b. Dengan metode Garis Selidik, langkah – langkah sebagai berikut :
 Lukis daerah himpunan penyelesaian dari kendala dalam suatu masalah
program linear.
 Lukis garis selidik ax + by = k dan selidiki nilainya pada masing – masing
titik sudut.

 Nilai optimum dicari dengan membandingkan nilai – nilai pada langkah b.

3.

SOAL PILIHAN

Suatu jenis roti x memerlukan 300

1.

model matematika dari permasalahan di

gram tepung dan 80 gram mentega.

atas adalah….

Untuk jenis roti yang lain y memerlukan

A.

5x+6y ≤120; 3x+2y ≤52; x ≥ 0 ; y ≥0

200 gram tepung dan 2 Kg mentega.

B.

5x+6y ≤108; 3x+2y ≤52 ; x ≥ 0; y ≥ 0

Model matematika dari persoalan ini

C.

6x+5y ≤120; 3x+2y ≤52; x ≥ 0; y ≥ 0

adalah ....

D.

6x+5y ≤108; 2x+3y ≤26; x ≥ 0; y ≥ 0

E.

6x+5y ≤120; 3x+2y ≤26; x ≥ 0; y ≥ 0

A. 3 x  2 y  40 ; 2 x  y  50 ; x 

0; y  0
4.

Daerah yang diraster pada gambar di bawah

B. 3 x  2 y  40 ; 2 x  y  50 ; x 

0; y  0

C. 2 x  3 y  40 ; x  2 y  50 ; x 

0

; y0

merupakan grafik himpunan penyelesaian

D. 2 x  3 y  40 ; x  2 y  50 ; x 

0

; y0

sistem pertidaksamaan....

E. 3 x  2 y  40 ; 2 x  y  50 ; x 

0

; y 0

Y

Daerah yang diarsir pada gambar di

2.

bawah

merupakan

3

himpunan

2

penyelesaian sistem pertidak-samaan …

X
4
4

Y
12

A.


0
 x
 y

0



4 y

12
3 x
 x

4 y

8


B.
5

C.

0

2

4

X

8


0
 x
 y


0



4 y
 12
3 x
 x

4 y

8



0
 x
 y

0



2 y

12
3 x
 x

2 y

8


D.


0
 x
 y

0



3 y

12
4 x
4 x

y

8


A. x  0, 6x+y  12, 5x+4y  20
B.
x  0, 6x+y  12, 5x+4y  20
C.
x  0, 6x+y  12, 4x+5y  20
D.
x  0, x+6y  12, 4x+5y  20
E.
x  0, x+6y  12, 5x+4y  20

E.


0
 x
 y

0



3 y
 12
4 x
4 x

y

8


5. Sebuah rombongan wisata yang terdiri dari
240 orang akan menyewa kamar-kamar
hotel untuk satu malam. Kamar yang

Sebuah perusahaan konveksi akan

tersedia di hotel itu adalah kamar untuk 2

membuat 2 model pakaian, model A

orang dan untuk 3 orang. Rombongan itu

membutuhkan 1,25 m bahan polos dan

akan menyewa kamar hotel sekurang-

0,75 m bahan bercorak, sedangkan model

kurangnya 100 kamar. Besar sewa kamar

B membutuhkan 1,5 m bahan polos dan

untuk 2 orang dan kamar untuk 3 orang per

0,5

Perusahaan

malam berturut-turut adalah Rp 200.000,00

tersebut mempunyai persediaan 27 m

dan Rp 250.000,00. Besar sewa kamar

bahan polos dan 13 m bahan bercorak.

minimal

Jika x banyak pakaian model A dan y

rombongan adalah ....

adalah banyaknya pakaian model B, maka

A.

3.

m

bahan

bercorak.

per

malam

Rp 20.000.000,00

untuk

seluruh

B.

Rp 22.000.000,00

8.

Jika diketahui

C.

Rp 22.500.000,00

bahwa P = x + y dan Q = 5x + y, maka

D.

Rp 24.000.000,00

nilai maksimum dari P dan Q pada

E.

Rp 25.000.000,00

sistem pertidaksamaan
x  0;

Daerah yang diarsir pada grafik di

5.

samping

merupakan

penyelesaian

y  0;

himpunan

suatu

x  2 y  12 ;

sistem

2 x  y  12

pertidaksamaan linier.
Nilai maksimum 5x+ 4y adalah ... .
Y

adalah …..

2x + y = 8

X

A.

8 dan 30

B.

8 dan 6

C.

4 dan 6

D.

6 dan 24

E.

8 dan 24

9.
A. 16

2x+3y=12

B. 20

Diketahui model
matematika sebagai berikut.
x  2y  8

C. 23

0 x7

D. 24

1 y  4 .

E. 27

Nilai minimum fungsi sasaran f(x, y)

7.

Nilai maksimum fungsi
sasaran z = 8x + 6y dengan syarat :

4 x  2 y  60
2 x  4 y  48

x0
y0

adalah…
A.

132

B.

134

C.

136

D.

144

E.

152

= 5x + 10y adalah…. .
A.

0

C. 5

B.

8

D. 10

E. 20

datang dan pergi, maka hasil
10.

Luas daerah parkir
176 m2, luas rata-rata untuk mobil sedan

maksimum yang mungkin didapat oleh
tempat parkir itu adalah ....

4 m2 dan bus 20 m2. Daya tampung

A.

Rp. 2.000

maksimum hanya 20 kendaraan, biaya

B.

Rp. 2 600

parkir untuk mobil sedan Rp. 100,00/jam

C. Rp. 3 000

dan untuk bus Rp.200,00/jam. Jika dalam

D. Rp. 3 400

satu jam tidak ada kendaraan yang

E.

Rp 4400

Matriks
1.

KEMAMPUAN YANG DIUJI
Menyelesaikan operasi matriks

2.

RINGKASAN MATERI
Matriks
Matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang teratur dalam baris-baris
dan kolom-kolom.
1. Operasi Matriks
a

Jika A =  c


b
p
 dan B = 
d 
r

a.

c.
AB =

q
 , maka :
s 

Perkalian bilangan
dengan matriks
kA

b.
AB

=

=
d.

=

Matriks Transpose
A=
a

b

2.

= k

 At =

c

d 

Determinan & Invers Matriks

Determinan dari matriks A dinyatakan dengan det(A) atau |A| .
A=




|A| =

a

b

c

d

= ad – bc

AB  A B

Invers dari matriks A dinyatakan dengan notasi A -1


A-1 =

XA = B  X =

BA-1

A=

A-1 = AA-1 = I
dan

AX = C

 X = A-1 C

3.

SOAL PILIHAN

A.

 1

 4
 1

 8

B.

 3

 4
 1

 8

C.

3

4
1

8

D.

 1

 4
 1

 8

1
 
2
3 

4 

E.

 1

 4
 1

 8


1 

3
 
4

1.
 1
B  
 c

2 
4
 , dan C  
 2
9

0 

 2 

, serta AB = C.
Nilai 2a + b – 3c = .. . .
A.

–8

B.

–2

C.

8

D.

10

E.

16

2.
4

3
 3

 2

x  2   6
 +
2    11

8 
 =2
 6 

A.

0

B.

14

C.

10

D.

13

1 

2 
1
 
4

4.
Hasil dari A2 – A = ….
A.
B.

25

5.

1

2 

2

0

2

2 

2

0

3

2 

D.

2


0

4

2


E.

4
 , maka P = …. .
6 

2

0

C.

3.
2

1

1

2
1 

4 



1

4 

Nilai x = ….

E.

1

2
3 

4 



4

0


4

4


3

6

2
 2
 X= 
 4
5



1

3


B =  9 12  .


Jika X.A = B Maka X = ….
A.

4

6


B.

 7

 15

 8

18 

C.

 4

 6

9

15 

D.

8

 18

 7

15 

E.

9

15

5

13 


maka X =….

9

15 


A.
2

2

1

2 

B.
 2

 2

1

2 

C.
 1

2 


2

2


D.

 4

 6 

1

2

2

2 

E.
 1

 2

6.

2

2 

8.
 2c  3b

a


2 a  1
 serta Bt adalah
b  7 

transpose matriks B.

( 2 x-1 )
(x+2 )
1
2

A.–3

t

Jika A = B maka c adalah….

1

A.

1

B.– 2

0

C. 0

B.

8

D.

1
2

C.

5

E. 3

1
2

D.

3

E.

2

7.
hubungan

2
(x  2 )

= 0 adalah ...

E.
 1

 2
 1

9.
 6

 5

 5
,
4 

Matriks  AB  1 = .....
A.
3

2


3

1


B.
 1

 2

C.
 1

 2
 1
D.
 1

 2
 1

 3

4 

1
1 
2
2 

10.

 74
 1
7
C

1
7
2
7

– 1


 , B =


.

4

2

2
 , dan A =
8 

Maka determinan dari

matriks At B adalah …

1
1 
2
2 

A. –196

1
1 
2
2 

C.

188

D.

196

E.

212

B. –188

Sudut antara DuaVektor
1.

KEMAMPUAN YANG DIUJI


Menentukan sudut antara dua vektor

2.

RINGKASAN MATERI
Sudut antara Dua Vektor Vektor
Vektor adalah besaran yang memiliki arah dan besar.
1. Notasi :
B(x2,y2,z2)

a

= AB
A (x1,y1,z1)
2. Panjang (besar) Vektor
 p
 
a q
r
 



a

 x 2  x1 

 
a   y 2  y1 
z z 
1 
 2



 ( x 2  x1 )i  ( y 2  y1 ) j  ( z 2  z1 ) k

p2  q2  r 2

3. Operasi Vektor :
Jika
A.

 p
 
u  q
r
 

Penjumlahan/

dan

m
 
v n
t 
 

maka

C. Perkalian dengan skalar

Pengurangan

B.

Penggandaan (perkalian
dengn skalar)

D. Sudut antara u dan v

3.

SOAL PILIHAN

Sudut antara dua vektor
1. Besar sudut antara
 2 


b  3 
  3



2.

 3
 
a   2
 4
 

B.
C.
D.
E.
Jika vektor a dan b
membentuk sudut 600 dan

dan
4.

adalah ….



a

A.

180°

B.



b

= 3 maka

a

90°

.( a - b ) = …
A.

2

C.

60°

B.

4

D.

30°

C.

6

E.

0°

D.

8

E.

10

Diketahui A (5, 7, 4), B(2, 9, 3)
dan C(4, 10, 6). Besar sudut
ABC adalah ... .
3
0

5. Vektor

 4 


b    2
 2 



dan

yang memenuhi adalah ...

0

B.

6
00

C.

9
0

 p


a 3 
  1



saling tegak lurus. Maka nilai p

A.

0

D.

1
200

E.

1

A.

–3

B.

-2

C.

1

D.

2

E.

3

6. Diketahui vektor
,

b



 2


 6 
 3 



a



 p

1

 2



cos α =
Diketahui

vektor

a = 3i+2j –5k,

adalah

-

vektor

b = i –xj – k

8
, dan p adalah bilangan
21

bulat.
Maka nilai p yang
memenuhi adalah ....
A.
–3

dan c = 2 i + 2j – k . Jika a

B.

–2

tegak lurus b, maka b+ c = ....

C.

1

A.

D.

2

3
i







sudut antara vektor a dan b, nilai

500
3.

= 4 dan

3i
3i
3i
3i

+6

j

- 2k

+6 j
+2 j
-2 j
+2 j

+2
+2
- 2k
-2

E.

3

7. Jika ‌ u = 15 dan

v

9. Jika

= 13

a  2,

)

a, b

dan

=

A.

5

dibentuk antara vektor u dan v

B.

6

adalah ...

C. 10
D. 12

5
13

–

B.

12
–
13

C.

5
13

D.

12
13

E.

13
12

E. 13
10.

Diketahui
a 

a

5

a 

.

Besar

2

,
sudut

b 

9

B. 60

0

C. 1200

,

( a – b ) = 3. Besar sudut


6



B.

antara

vektor a dan vektor b adalah ….
A. 45

,( a – b )( a + b ) =0, dan

….

8. Diketahui

0

6

antara vektor a dan b adalah

A.

a b 

dan sudut (
120°,
maka

3a  2 b  ....

‌u . v = – 75, maka tan sudut yang

A.

b  3,

C.
D.
E.

4


3


2
2
3

D. 13500
E. 1500

Substansi 13 : Proyeksi pada
Vektor

1. KEMAMPUAN YANG DIUJI


Menentukan panjang proyeksi dan vektor proyeksi

2. RINGKASAN MATERI
Proyeksi Vektor
.
a
c
b
c adalah proyeksi ortogonal a pada b



Proyeksi skalar vektor a pada b :
c 



a .b
b

Proyeksi vektor (Vektor proyeksi)
c

a .b
b

2

a

b

pada

b

:

3. SOAL PILIHAN
1.
dan

v  2i  2 j  4k

. Proyeksi

4.

Diketah

vektor orthogonal u pada v
adalah ….
A.
B.
C.
D.
E.

 3 


b   m .
  5




 4i  8 j  12 k
 4i  4 j  8k
 2i  2 j  4k

Jika proyeksi scalar

orthogonal vektor

 i  2 j  3k



b

 i  j  2k

pada
3



5,
vektor a sama dengan
5

2.
1 
 
3
2
 

pada vektor b =

sama dengan

11
5

.

maka nilai m sama dengan …

p
 
0
4
 

Nilai p

4

B.

5

C. 6

yang memenuhi adalah ....
A.
B.
C.
D.
E.

A.

D. 7
E.

1
2
3
4
5

8

5.

Diberik
= (2, 5,1).

Proyeksi skalar

a pada b adalah ...
3.
b  2i  j  3k

,

c  4i  3 j  5k

proyeksi
( a  b ) pada

A.

3 2

B.

4 2

C.

5 2

D.

6 2

E.

7 2

dan
.
Panjang
vektor
c adalah ….

A.

1
10
3

B.
1
30
3
10

C.

3 10

1
3

D.
E.
1
10

3

3

E.



6.
dan b = 2 i – j + 2 k .
Proyeksi orthogonal a pada
b adalah ...
A.
–
2( 2 i – j + 2 k )
B.
–
3( 2 i – j + 2 k )
C.
2
j
( 2i –
+ 2k )
D.
3
j
( 2i –
+ 2k
E.
4
j
( 2i –
+ 2k )

1
i j
2

k

9.
,

a 

3 i  pj  k

b 

3 i  2 j  pk

pada

vektor

adalah

2
.
3

Nilai p = ….

7.
pada vektor
b  pj  4k adalah
8. Maka
nilai p adalah ....
A.
–4
B.
–3

Panjan

A.
B.

3
2

C.

1
3

D.
E.

2
3

a  2i  8 j  4k

Jika w

10.
orthogonal dari vektor

C.

3

D.

4

terhadap vektor

E.

6

w =….

8.
0),

B(2, 2, 0)

dan

____

A.
B.
C.

i k

D.

i  j

B.

 0 
 
 -1 
- 2
 

C.

 0
 
1
 2
 

C(0, 2,

2). Proyeksi orthogonal
pada AC adalah ….

A.

1
 
 - 1
3
 

____

AB

jk

D.

i  j

1
k
2

E.

 2 
 
 - 4
 2 
 
- 2
 
 4
- 2
 

2
 
v   - 3
4
 

 - 1
 
u   2 ,
 - 1
 

maka