The Full Title of an AMS Book or Monograph The Author Author Two

  

The Full Title of an AMS Book or Monograph

The Author

Author Two

  (A. U. Thor) Author address line 1, Author address line 2 Current address, A. U. Thor: Author current address line 1, Author current address line 2 E-mail address, A. U. Thor: author@institute.edu URL: http://www.author.institute

Dedicated to the memory of S. Bach.

  2000 Mathematics Subject Classi…cation. Primary 05C38, 15A15; Secondary

  05A15, 15A18 The Author thanks V. Exalted.

  Abstract.

  Replace this text with your own abstract.

  

Contents

  Chapter 1. 4. SIRURI SI SERII DE FUNCTII v 1. 4.1. Convergenta sirurilor de functii v 2. 4.?. Exercitii xv

  CHAPTER 1

4. SIRURI SI SERII DE FUNCTII

  Studiem in acest capitol si in urmatoarele doua conceptul fundamental al anal- izei matematice -convergenta- aplicat la o alta clasa de sirururi: sirurile de functii. Reamintim ca o functie f : N ! X se numeste sir de elemente din X, si, daca notam f(n) := f n identi…cam sirul f cu imaginea sa: f := (f n ) := (f n ) := _{n n}

  2N

  sau, daca nu exista pericol de confuzie, (f se numeste f ; f

  1 ; f 2 ; ^{n ) := f , iar f n}

  termenul general al sirului (f _{n ) : Aici multimea X este considerata o multime n} de functii avand acelasi domeniu de de…nitie.

  1. 4.1. Convergenta sirurilor de functii Cel mai …resc mod de abordare a convergentei unui sir de functii este cel punc- tual.

  R De…nitia 4.1.1. Fie A si f n

  : A ! R pentru orice n 2 N: Multimea

• posibil vida- n

  o este convergent C := n (x)) x 2 A j sirul numeric (f n se numeste multimea de convergenta a sirului ( f . Functia _{n ) n} f n (x) f : C ! R; f (x) := lim _n

  !1

  o numim limita sirului ( f n ) ; in acest caz vom scrie sau f f = lim f n n _n ! f

  !1

  si vom spune ca sirul (f n ) converge punctual la functia f (pe multimea C), sau ca f n tinde la f punctual (pe multimea C).

  Observatia 4.1.1. Reamintim ca f n ! f pe multimea C daca si numai daca f n n (x; )

  8x 2 C; 8 > 09n (x; ) 2 N : jf (x) (x)j < 8n Subliniem faptul ca, in aceasta de…nitie, rangul n (x; ) depinde nu numai de ci si de x:

  De asemenea reamintim ca natura unui sir nu este afectata de modi…carea unui numar …nit de termeni ai sirului. _{n 1} Exemplul 4.1.1. Fie f n (x) := x ; f n : (0; 1) ! R pentru orice n 2 N :

  Deoarece _{1 n} 0 daca x 6= 1 _n lim x =

  

!1 1 daca x = 1

  rezulta ca multimea de convergenta (punctuala) este intregul domeniu (0; 1) ; iar 0 daca x 6= 1 este limita sirului (f n ) : f : (0; 1) ! R; f (x) =

  1 daca x = 1 vi 1. 4. SIRURI SI SERII DE FUNCTII _n

  Exemplul 4.1.2. Fie f n (x) := x ; f n : R ! R pentru orice n 2 N : Deoarece

  8 > 0 daca x 2 ( 1; 1) > _{n 1 daca x = 1} < _n lim x =

  !1

  > 1 daca x > 1 > : nu exista daca x

  1 rezulta ca multimea de convergenta a sirului (f _{n )este intervalul ( 1; 1] si ca f n} ! f 0 daca x 2 ( 1; 1) punctual pe ( 1; 1], unde f (x) = .

  1 daca x = 1 Observatia 4.1.2. Sa remarcam ca, la primul exemplu, functiile f n sunt continue, i.e. f n ^{n )}

  2 C (0; 1) pentru orice n 2 N ; dar limita punctuala a sirului (f este o functie discontinua, i.e. f = n (R)

  2 C (0; 1) : La exemplul 4.1.2 avem f

  2 C sunt continue pe ( 1; 1] chiar daca functiile f n pentru orice n 2 N si f =2 C intervalul ( 1; 1]:

  Convergenta punctuala inseamna ca sirul de functii converge in …ecare punct (al multimii de convergenta), dar "viteza" de convergenta poate sa varieze in functie de punct (vezi si Observatia 4.1.1). Un concept care asigura o "viteza" de convergenta uniforma este convergenta uniforma.

  Vom introduce un nou concept de convergent¼a pentru ¸siruri de func¸tii, care "repar¼a" acest defect al convergen¸tei punctuale.

  R De…i¸tie: Fie (f _{n ) n}

  1 ; f n : A n ) este

  ! R; n 2 N : Spunem c¼a ¸sirul (f uniform convergent pe submul¸timea B a lui A dac¼a exist¼a o func¸tie f : B ! R astfel încât pentru orice " > 0 exist¼a n(") 2 N pentru care _{n (x) n("):} jf f (x)j < "; 8x 2 B; 8n În acest caz scriem : f n n

  ! f uniform pe multimea B sau f ! f uniform Remarc¼a: Prin compararea de…ni¸tiilor de mai sus rezult¼a c¼a dac¼a f n ! f uniform pe mul¸timea B; atunci f n converge punctual la f pe B: _n

  Exemplu: Fie f converge punctual _{n (x) = x n} ; x 2 R; n 2 N : Cum am v¼azut, f la func¸tia f, dat¼a de

  0; dac¼a x 2 ( 1; 1) f (x) =

  1; x = 1: _n dac¼a _{n ) este convergent} Ar¼atam c¼a f nu converge uniform la f pe (-1, 1], adic¼a ¸sirul (f (punctual) pe (-1,1], dar convergen¸ta nu este uniform¼a.

  _{n , cu n 2 N : Atunci : n}

1 Fie x n = 1

  1 _{n (x n ) f (x n ;}

  1

  jf )j = 1 ! e pentru n ! 1: n

  În fapt: _{n (x n ) f (x n ; 2:}

  1 jf )j 8n 2 N n

  4 Din de…ni¸tii, dup¼a cum am v¼azut în exemplele de mai sus, avem urm¼atoarele teste pentru a avea convergen¸t¼a uniform¼a, (pe scurt CU) ¸si respectiv, pentru a nu avea convergen¸t¼a uniform¼a (pe scurt NCU).

  1. 4.1. CONVERGENTA SIRURILOR DE FUNCTII vii

  ¼a exist¼a un ¸sir (a Test practic pentru CU: Dac n ) cu a n

  ! 0 pentru (n ! 1) _{n f (x)j n} (x) a n ; unde n

  2 N este …xat, ¸si jf pentru orice x 2 B ¸si orice n atunci (f ) converge uniform la f pe mul¸timea B: _n

  Demonstra¸tie: Fie " > 0: Întrucât a n ! 0 rezult¼a c¼a exist¼a n(") 2 N astfel

  încât a < "; pentru orice n("): În consecin¸t ¼a : _{n n (x n ) f (x n "; n("); n} jf )j 8n 8x 2 B; adic¼a f ! f uniform pe B: Test practic pentru NCU: Presupunem c ¼a f n _{n ); cu x n} ! f punctual pe B. Dac¼a exist¼a un ¸sir (x

  2 B; astfel încât oricare dintre urm¼atoarele dou¼a a…rma¸tii Sirul numeric (f

  (a) ¸ n (x n ) f (x n )) nu tinde la 0, când n ! 1; sau

  ¼a " (b) exist > 0 ¸si n n (x n ) f (x n " ; pentru orice

  2 N încât jf )j n n ; este adev¼arat¼a, atunci ¸sirul (f n ) nu converge uniform pe mul¸timea B: Demonstra¸tie: Este clar c¼a (b) ) (a): Este deci su…cient s¼a ar¼at¼am c¼a din (a) rezult¼a c¼a ¸sirul (f n ) nu converge uniform pe mul¸timea B: Proced ¼am prin absurd. Admitem c¼a ¸sirul (f n ) converge uniform pe mul¸timea B la func¸tia f: Fie " > 0; …xat ¸si n(") 2 N astfel încât _{n (x)}

  (1) jf f (x)j < "; 8n 2 N; n n("); 8x 2 B: ; adic ¼a

  În particular, rela¸tia (1) r¼amâne adev¼arat¼a ¸si când înlocuim x cu x n _{n (x n ) f (x n n("):} jf )j < "; 8n 2 N; n Prin urmare ¸sirul numeric (f n (x n ) f (x n )) converge la 0: Am ajuns la contradic¸tie în raport cu ipoteza.

  Acum vom extinde cunoscutul criteriu de convergen¸t¼a al lui Cauchy de la ¸siruri numerice la ¸siruri de func¸tii. Criteriul lui Cauchy pentru convergen¸t¼ a uniform¼

  a: ¸ Sirul (f n ) converge uniform pe mul¸timea B dac¼a ¸si numai dac¼a el este ¸sir Cauchy, adic¼a, pentru orice " > 0; exist _{n (x) f n ";} ¼a n(") 2 N astfel încât jf +p (x)j 8n 2 N; n n("); 8p 2 N; p 1; 8x 2 B:

  Demonstra¸tie: Necesitatea. Fie " > 0: Deoarece ¸sirul de func¸tii (f n ) converge uniform pe mul¸timea B la o func¸tie pe care o not¼am cu f; avem c¼a pentru orice " > 0 exist ¼a un rang n(") > 0 astfel încât _{n (x) ; pentru orice n} " jf f (x)j < n(") ¸si orice x 2 B:

  2 Atunci, pentru orice n _{n (x) f n n (x) f (x) + f (x) f n} n(") ¸si orice x 2 B; avem c¼a: jf +p (x)j = jf +p (x)j _{n (x) f n = ": "} viii 1. 4. SIRURI SI SERII DE FUNCTII

  Su…cien¸ta: Fie " > 0: Deoarece (f n ) este ¸sir uniform Cauchy, pentru …ecare " > 0 exist ¼a n(") > 0 astfel încât _{n (x) f n ; pentru orice n n("); orice p (1)} " jf +p (x)j < 1 ¸si orice x 2 B:

  2 _n În particular, de aici rezult¼a c¼a ¸sirul numeric (f (x)); cu x 2 B; este convergent, deci exist¼a o func¸tie f : B ! R; de…nit¼a prin f (x) := lim f n (x); _n x 2 B:

  !1

  Din (1), pentru p ! 1; ob¸tinem: _{n (x) < "; pentru orice n} " jf f (x)j n(") ¸si orice x 2 B:

  2 Prin urmare, ¸sirul (f n ) converge uniform la f pe mul¸timea B: Teorema 1 (de continuitate) Fie (f n ) un ¸sir de func¸tii continue. În ipoteza c ¼a

  ¸sirul converge punctual c¼atre o func¸tie f; pe un interval B, ¸stim c¼a aceasta poate s¼a nu …e continu¼a pe B: Dac¼a convergen¸ta este uniform¼a pe B atunci limita ¸sirului este o func¸tie continu¼a pe B: _n

  ¸Stim deja c¼a ¸sirul de func¸tii (g n ) cu g n (x) := x ; converge punctual pe ( 1; 1] la o func¸tie discontinu¼a pe acest interval. Analiz¼am acum situa¸tia când f n ! f uniform pe un interval B: Fie " > 0: Atunci exist¼a n(") 2 N, astfel încât

  " _{n (x)} pentru orice n (2) jf f (x)j n(") ¸si orice x 2 B:

  3 Fie x n("); arbitrar, dar …xat. Din ipotez ¼a, f N este

  2 B; …xat ¸si N 2 N; N ; deci exist ¼a = ("; x ) > 0; astfel încât continu¼a în x _{N (x) f N (x} "

  (3) jf )j < pentru orice x 2 B cu jx x j < : 3 j < ¸si inegalitatea triunghiului, ob¸tinem:

  Utilizând (2),(3) pentru x 2 B cu jx x f (x f N N (x) f N (x N (x ) f (x jf(x) )j jf(x) (x)j + jf )j + jf )j < "; a fost ales aleatoriu în B; care arat¼a c¼a func¸tia f este continu¼a în x : Cum x func¸tia f este continu¼a pe B ¸si demonstra¸tia teoremei se încheie.

  1. 4.1. CONVERGENTA SIRURILOR DE FUNCTII ix

  ¼a pe De…ni¸tia 3. Fie f o functie derivabil

  R intervalul I C (I) (adic ¼a derivata f ’ este o functie si presupunem c¼a f

  1

  în I si sciem: f continu¼a in I ). Atunci spunem c¼a f este o functie de clasa C

  1 C (I). Prin induc ie: _{n +1 n (n)}

  1

  (I) si f f C (I) dac¼a si numai dac¼a f C C (I) (adic¼a _{n n}

• 1 (n)

  1

  f C (I) si f C (I)) functia f este de clas¼a C În urmatoarele rânduri vom da doua criterii care ofer¼a su…ciente condi ii în _d care operatorii lim si _dx comut¼a, si anume _{d n df} (lim f n )’ = lim f n , sau (lim f n ) = lim . _{dx dx}

  1 Teorema 2 (de derivabilitate). Fie (f n ) un sir de clase C n

  [a; b] (adic¼a f

  2

  1 C

  [a; b] pentru orice n). Presupunem c¼a: _{n (c)) este convergent} (i) 9 c 2 [a; b] astfel încat (f _{u n !} g (ii) 9 g :[a; b] ! R astfel încat f

  

[a;b]

  Atunci: _{n f u} (a) 9f :[a; b] ! R derivabil¼a astfel încat f !

  [a;b]

  (b) f ’ = g _u [a; b] (vezi

  Demonstratie. Deoarece f _{n ! g si f ’ 2 C [a,b] rezult¼a c¼a g 2 C} Teorema 1) si din teorema primitivei :

  R x f n (x) = f n (c) + f ’(t) dt _c R x

  Fie f (x) = lim f n (c) + g(t)dt _c Atunci f ’ = g si: _{n n (c) - lim f n} jf (x) - f (x)j jf (x)j + jx - cj sup jf n (x) - g(x)j,

  [a;b]

  Prin urmare: sup n n (c) - lim f n jf (x) - f (x)j jf (c)j + (b - a) sup jf n (x) - g(x)j

  [a;b] [a;b]

_{n f si f ’ =g , (adic ¼a (lim f n )’ = lim f ).}

_u

  Consecin ¼a: f ! n

  [a;b]

  Teorema 3 (a derivatei). Fie (f n ) n un sir de functii diferite în intervalul

  1 R

  I astfel încat : _u (i) f n

  ! f în I _u (ii) f _{n ! f în I}

  = g Atunci f este o functie derivabil¼a si f

  > 0. Din (ii) rezult ¼a c¼a: Demonstratie. Fie a 2 I si

  9n( ) 2 N:jf n (x) - g(x)j < n( ) ,8n 2 I: , 8n

  3 Din criteriul lui Cauchy rezult¼a c¼a:

  (x) - f 9m( ) 2 N:jf m n (x)j < , 8m; n m( ); 8x 2 I

  Folosind teorela lui Lagrange pentru f - f _{m n} si x 2 Infag ajungem la concluzia între a si b astfel încat: ca exist¼a un _{f f} ^{m (x) - f m (a) n (x) - f n (a) (f m (x) - f n (x)) - (f m (a) - f n (a))}

• ( ) - f j j = j j = jf m n ( )j _{x a x a x a} < .

3 Dac¼a m; n m( ); m ! 1 în aceast¼a inecua ie ob inem:

  _{f f}

  (x) - f (a) n (x) - f ^{n (a)}

• j j ; 8n m( ); 8x 2 I; x 6= a _{x a x a}

3 Acum, …e n max(n( ); m( )); deoarece f n

  este o functie derivabil¼a în a x 1. 4. SIRURI SI SERII DE FUNCTII _{f n (x) - f n (a)}

• f care implic¼a: j n (a)j _{x a}
_{f n (x) - f n (a) f (x) - f (a) f n (x) - f (a) f}

  3 ^{n n (x) - f n (a)} - f (a)

• j j j + j n (a)j + jf n _{x a - g(a)j x a x a x a}
• g(a)j < = ; pentru to i x 2 V \ I nfag; prin urmare f este o

  3

  3

  3 (a) = g(a) (adic ¼a ( lim f n )’ = lim f ).

  functie derivabil¼a în a si f n _n

  !1

  SERII DE FUNC ¸ TII R un sir de functii, f

  De…nitia 4. Fie (f n n : A

  ) n ^{1 ! R,n 2 N .} _n

  P (i) ¸Sirul (de functii) (s n ) n ; unde s n (x) = f k (x); pentru to

  1 _{k =1} i x 2 A; n 2

  1

  N este numit o serie de functii cu termenul general f _{n ; not¼am aceasta serie (s n ) n}

  prin:

  1

  1 P P P

  f n , f n sau f n (*) _{n n} (x); x 2 A;

  =1 n 1 =1

  Func ia s n : A ! R este numit¼a suma par ial¼a de ordin n pentru seria (*).

  ¸Sirul:

  1 P _m f m se nume te restul de ordinul n (pentru seria (*)) =n+1

  (ii) Spunem ca setul (*) este punctual (sau punctual) convergent în x 2 A

  1 P

  dac¼a si numai dac¼a seria numeric¼a f n (x) este convergent ¼a (adic¼a (s n (s)) este un _n

  =1

  sir convergent). Setul:

  1 P

  f n C = fx 2 A= (x) este convergentg este numit setul convergent al _n

  =1

  seriei (*), si cartogra…a:

  1 P

  f n s : C ! R, s(x) = (x); x 2 C este numit¼a suma seriei (*); si _n

  =1

  1 P scriem s = f n (sau C). _n =1

  ¼a (iii) Spunem c¼a (*) este uniform convergent¼a (pe scurt UC) pe B C dac sirul de sum¼a par ial¼a (s n ) este uniform convergent (pe C).

  1 P

  Observatie 1. f _{n =1 n este o serie convergent¼a în C dac¼a si numai dac¼a} exist¼a n 2 N astfel încat restul de ordin n este convergent pe C ; în acest caz avem:

  1

  1 P P

  s(x) = s (x) + R (x); sau f (x) = s (x) + f _{n n n n m (x); x 2 C; unde n =1 m =n+1}

  1 P

  R n (x) = f m (x): _{m =n+1}

  1 P

  2. f n _{n =1} convergent pe C dac¼a si numai dac¼a:

  1 P

  f m _{m =n+1} (x) ! 0; când n ! 1; pentru to i x 2 C: 3. Dac¼a (*) este UC pe B atunci (*) este convergent (punctual).

  1 P

  4. Daca (*) este convergent absolut pe B (adic¼a n jf (x)j este convergent pentru to i x 2 B) atunci (*) este

  1. 4.1. CONVERGENTA SIRURILOR DE FUNCTII xi

  Criteriul convergen ei (uniforma convergent) pentru sirul de functii poate … rescris pentru serii de functii.

  1 P

  este uniform convergent pe Criteriul lui Cauchy’s pentru UC. Seria f n _n

  =1

  B dac ¼a si numai dac¼a: _{n (x) + f n (x) + ::: + f n}

• 1 +2 +p (x)j < ; 8n

  [8 > 0; 9n( ) 2 N astfel încatj f n( ); 8p 2 N ; 8x 2 B]

  1

  1 P

  Teorema 4. (de continuitate) Presupunem c ¼a f n este uniform convergent pe B si f n (B); pentru to _{n =1}

  2 C N .Atunci suma este o functie continu¼a pe B (adic¼a suma esta o functie de clas¼a _b

  1 R

  P si C (B)); În plus, dac ¼a B = [a; b] atunci operatorii comut¼a, adic¼a _{n a b b} =1

  1

1 R R

  P P _{n n} ( f n (x)dx) = f n (x) dx:

  =1 a a =1

  1 P

  sunt serii uniform convergent pe Teorema 5.(de derivabilitate). Dac ¼a f _{n n}

  =1 _d

  B ,atunci suma primei serii este derivabil ¼a pe B si operatorii (sau operatorul) _dx

  1

  1

1 P P P

  si f n ) = f _{n n n} comut¼a, adic¼a ( n

  =1 =1 =1 Vom folosi urmatorul criteriu pentru convergenta uniform¼a.

  Testul practic pentru UC (Weierstrass). Presupunem c n a n (x)j ; 8x 2

  ¼a: jf

  1

1 P P

• convergent; atunci f n B; 8n 2 N si este uniform¼a si convergent¼a absolut _{n n}

  =1 =1

  pe B: ¼a din inegalitatea:

  Demonstratie.A…rma¸tia rezult _{n +1 n +2 n +p a n +1 + a n +2 + ::: + a n +p} jf (x)j + jf (x)j +...+ jf (x)j ; 8n; p 2 N

  ; 8x 2 B; si criteriul de convergen¸t¼a al lui Cauchy (pentru serii de functii si pentru serii numerice).

  1 P _n

  Exemplu 3. S ¼a arat¼am c¼a seria e _n sin nx; x 2 R este convergent

  =0

  uniform si absolut (pe R) si suma este o functie continu¼a si derivabil¼a.Observam c¼a:

  1 _{n n n} P convergent;

  e e je sin nxj ; 8x 2 R,8n 2 N si _n

  =0 _n prin urmare, cu criteriul lui Weierstrass, seria noastr¼a de functii(cu f n (x) = e sin nx) este convergent absolut si uniform.În plus f n (R),prin urmare, din

  2 C

  1 P _n

  (R), unde s(x) = e sin nx; x 2 R este suma teorema de continuitate , s 2 C _n

  =0

  serilor date. În plus:

  1

  1 P P _{n n} f (x) = ne ne := a n;

  cos nx; si jf (x)j _{n n} pentru to i x 2 R si

  =0 =0

  1 P a n

• ₊₁

  1

  a n convergent (pentru exemplu, lim = e < n 2 N ; dar seria numeric¼a _{n a n}

  =1

  P a n ). Prin urmare, prin testul 1, si prin criteriul raportului rezult¼a convergenta xii 1. 4. SIRURI SI SERII DE FUNCTII

1 P

  lui Weierstrass, seria f este uniform convergent pe R; prin teoria derivabilitati _{n n}

  =0

  1

  1 P P

  = ( f n ) = f : rezult¼a c¼a s este o functie derivabil¼a si s n _{n n}

  =0 =0

  Exemplu 4. Pentru seria

  1 P sin(nx) _{2 al n-lea termen satisface inecuatia} j sin nxj ₂

  1 _{2 n n n n} ; 8x 2 R si seria =1

1 P

  1 _{2 n n} este convergent. Prin urmare, conform testului lui Weierstrass seria noastr¼a =1

  este convergent¼a unifor pe întreaga axa. În plus, deoarece termenii seriei sunt functii continue prin teorema de continuitate, suma serilor este o functie continu¼a.

  Exercitiul 5. G ¼asiti setul de serii convergente:

  1 n

  P x

  sin _{n n n} ; a; x 2 R =1

  Solutie. Folosim criteriul radicalului: _n p _{n x}

  j sin xj sin p

  lim n n a n (x) = a : Prin ur- jf (x)j = lim = j sin xj unde f _{n n n} ( n ) !1 !1 mare, dac¼a jsin xj < 1 atunci x 2 C (set de convergen ¼a), adic¼a

  R

  C: n { + k jk 2 Z}

2 Dac¼a x =

• k (k 2 Z) ob inem seria:

  2 _n

  1 1 nk

  P sin ( +k ) P _{2 a a} ( 1) = _{n =1 n =1 n n} ; k 2 Z;

  Prin urmare:

  1 P

  1 _a

  care este convergent¼a pentru a > pentru k - par, k 2 Z avem n _{n =1} 1; 0 si divergen ¼a pentru a

  1 nk

  P

  ( 1)

  pentru un k - impar avem a ¼a a > 0 seria este conver- _{n =1 n} ; dac 0 divergent (criteriul divergen ei). gent¼a (criteriul lui Leibniz) si pentru a

  Prin urmare setul convergen ei este:

  8

  9 R , dac ¼a a > 1

  < = R

  C = n { + 2k j k 2 Z} , dac¼a a 2 (0,1]

  2

  : ; R n { + k j k 2 Z} , dac¼a a

2 Vom demonstra mai multe teste subtile de convergen¸t¼a uniform¼a bazat pe

  a a-numita identitatea lui Abel (care este un analog al formulei de integrare prin p¼arti si a fost folosit în demonstratia criteriului lui Abel pentru seria numeric¼a).

  Identitatea lui Abel.S ¼a consider¼am seria (*) de forma

1 P

  R _{n n a n n ; a n} unde sunt functii de…nite pe A sau numere constante

  =0

  B k = a n + a n + ::: + a n scriem suma redus¼a a (*) pentru Identitatea

• 1 +2 +k

  lui Abel: _p P _k + n +k a n +k = n +1 a n +1 n +2 a n +2 + ::: + n +p a n +p =

  =1

  = + n B n (B B ) + ::: + n (B p B p ) =

• 1 1 +2

  2 1 +p

  1

• = ( n n )B +( n n )B +:::+( n n )B p n B p =
_p +1 +2 1 +2 +3 2 +p 1 +p 1 +p

1 P

  = + ( n n )B k n B p : (**)

• k +k 1 +p

1 P

• k
• k (x)j + js ⁿ

1 P

1 P

  =1

  =0 ^{n (x) n}

  (x): este de asemenea uniform convergent pe B: Demonstratie.Conform ipotezei exist

  ¼a o constant¼a M > 0 astfel încat: j ⁿ (x)j M; 8x 2 B; 8n 2 N

  Prin convergen a uniform¼a a seriei

  _{n =0} a _n (x) pe B; pentru oricare > 0 exist ¼a un n( ) 2 N astfel încat jB ^k (x)j < ; 8n n( ); 8k 2 N Prin urmare, din Identitatea lui Abel, si din monotonia lui ( _{n ) ,} pentru n n( ); si pentru to i p 2 N avem: j ^p

  P _k

  =1 ⁿ

  (x)a n

  _k

  (x))+ j ⁿ

  ( n

  (x) n

  1 P _n =0

  (x) _n

  3M pentru toti x 2 B; p 2 N, si toti n n( ); în consecin ¼a, din criteriu lui

  Cauchy rezult¼a c¼a seria este convergent uniforma.

  Exemplul 6.Seriile

  1 P _n =1 cos nx _n

  si

  1 P _n =1 sin nx _n

  ; > 0 sunt convergente uniform si absolut pentru > 1 pe R, deoarece

  _n

  a n este uniform convergent pe B atunci seria

  ( 1) ^{n n (x) este uniform confergent pe B:} Teorema 7.(Testul lui Abel pentru UC). Dac ¼a functia reala n este o clasa monoton¼a de siruri descrescatoare (cu n cresc¼ator) pentru to i x 2 B si sunt uniform m¼arginit¼a pe B, iar în cazul în care serii de functii

  P _k

  1. 4.1. CONVERGENTA SIRURILOR DE FUNCTII xiii

  Teorema 6.(Testul lui Dirichlet pentru UC) Presupunem c ¼a exist¼a un M

  > 0 astfel încat js n (x)j M ,8n 2 N,8n 2 B; unde s n (x) = ⁿ

  P _k

  =0

  a _k (x) si sirul de functii reale n : B ! R,n 2 N este convergent uniform la 0(când n creste) pe B si descreste pentru orice x 2 B …xat.Atunci seria (*):

  _n

  =0 ^{n (x)a n (x) este uniform convergent pe B}

  Demonstratie.Avem: jB ^k (x)j = js ⁿ

  (x) s n (x)j js ⁿ

  (x)j

  2M; 8x 2 B; si în virtutea identit¼a ii lui Abel (**) si faptul c¼a ^{n este} descresc¼atoare si tinde uniform la zero, avem:8 > 0; 9n( ) 2 N astfel încat inecuatia: j ^p

  =1 ^{n +k (x)a n +k}

  (x)j = 2M ^p

  _k

  =1

  ( n +k (x) a n +k+1 (x))+2 n +p (x)M = 2M n +1 (x) < ;este îndeplinit

  ¼a pentru orice n n( ); p 2 N si pentru orice x 2 B: În consecin ¼a, serie este, conform criteriul lui Cauchy de convergen ¼a, uniform con- vergent¼a.

  Ca urmare, avem urm¼atorul criteriu practic pentru UC.

  Criteriul lui Leibniz. Dac ¼a n ⁿ ! _B 0 si ( n (x)) n

  1

  este un sir de functii descresc¼ator atunci seria:

  _n

  =0

1 P

1 P

1 P

• k
• k (x)j ^p
• k
• k 1
• p (x)j = ( ⁿ
• 1
• p (x)) + j ⁿ
• p (x)j
xiv 1. 4. SIRURI SI SERII DE FUNCTII

  valoarea absolut¼a a termenului lor general, nu dep¼a este termenul general al

1 P

  1

  seriei armonice ,si prin testul lui Weierstrass ,iar seria data este UC pe R _{n n}

  =1

  pentru > 1:Testul lui Weierstrass nu mai este aplicabil cand 1 deoarece in

1 P

  1 acest caz seria este divergenta. _{n n} =1

  Fie ] pentru 2 (o; ) ; atunci ambele serii sunt convergente pe [ ; 2

  2 0; 1]; intr-adevar suma partiala a seriilor este egala cu: _{(n+1)x nx nx (n+1)x}

  sin cos sin sin _{2 x x 2}

₂

₂

  s n (x) = ; n (x) = ; n 2 N .

  sin sin _{2 2} Prin urmare, aceste functii sunt delimitate uniform pe [ ; 2 ]: _{n n}

  1 _x

  js (x)j: j (x)j ; 8n 2 N ;

  j sin j ₂

  pe langa:

  1

  1 _n ! 0;unde n ! 1; si, prin urmare, din testul lui Dirichlet, seria (n+1) ].

  noastr¼a este convergenta uniform pe [ ; 2 Exemplul 7. Fie

1 P x

  s(x) = _n ; s : [0; 1] ! R, unde prin s ne referim la suma punctuala (i.e _n (x+n) =1 _x lim s n = s; s n …ind a n-a suma partiala). Fie f n (x) = n _n ; atuncijf (x)j _n

  (x+n) !1

1 P

  1

  1 _{n n 2 ; n 2 N si n =1 2} convergenta, prin urmare convergenta seriei este uniforma

  (Testul lui Weierstrass), si deci continuitatea uniforma, f n

  2 C [0; 1]; n 2 N ; R

  1

  [0; 1]; care la randul sau asigura s(x)dx implica continuitatea lui s, i.e s 2 C exista. Numiti numarul :Atunci:

  1

  1

  1 R R R R

  1

  1 P P _{x xdx}

  1 P

  1

  1

  1

  = s(x)dx = ( )dx = = ( )dx = _{n n n x n n n} (x+n) (x+n) +n =1 =1 =1 _m

1 P P

  1

  1

  ( ln(n + 1) + ln n) = lim [ ln(1 + m)] _{n k m n n} !1 =1 =1 Acest numar este numit constanta lui Euler (vezi exercitiul 1,Cap. 1.8); pentru

  10

  m = 10 ; dup ¼a estimarea de rutin¼a, obtinem: = 0:5772157::; Prin urmare, putem aproxima: _m P

  1 _{k k} ln(m + 1) + 0:5772157: =1

  Exemplul 8.Consideram s : [0; 1) ! R s¼a …e suma punctual de serii:

1 P

  _{x 2 x 2 bineinteles ca s(0) = 0 si pentru oricare > 0; daca x n} 1+n =1 : _{x 2 x 2 < ; prin urmare, prin testul lui Weierstrass 1}

  1 _{2 2}

  1 1+n _x +n n

  > 0: Prin urmare, pentru , seria este convergenta uniform pe [ ; 1); pentru toti x : …ecare n 2 N si 0 < _{n x x x} R +1 _{2 x n x x 2 2 2} dt n ; ₂

  1+(n+1) 1+t 1+n

  de unde:

  1

  1 R

  P P _{x 2 x x x 2} 1 x x _{2 2 dt n 2 ; n n} 1+(n+1) 1+t 1+n =0 =0 de unde:

  1

  s(x) x + s(x); sau s(x) x + s(x): arctan txj

  2

  p _{n 2}

  Criteriul lui Weierstrass spune ca : s : R ! R este suma uniforma a seriei, prin urmare s 2 C (R).Daca derivam seria termen cu termen ,obtinem seria :

  (a) f n (x) = sin nx: (b) f n (x) = sin ^nx

  2N .

  2. 4.?. Exercitii (1) Studiati convergenta sirului de functii (f n ) _n

  x): Fie x = r , unde r este un numar rational;atunci o in…nitate de termeni ai seriei au valoarea absoluta egala cu 1,deci aceasta serie nu poate converge la nici un interval.Daca s’ exista,atunci aceasta nu este suma punctuala a seriei(1).

  2

  cos(n

  =1

  _n

  1 P _n =1 sin n ^{2 x} _{n 2 ; x 2 R;}

  : (c) f n (x) = n sin ^nx _n ²

  Exemplul 9. Fie s suma punctuala de serii

  2 C [0; 1); astfel, putem concluziona c¼a convergen a de serie nu este uniform¼a pe [0, ) (dac¼a ar …, s ar … continua deoarece …ecare termen al seriei este continuu).

  : Dar s(0) = 0; i.e. s =

  2

  s(x) =

  !0

  Acum, …e x ! 0 (cu valori pozitive);prin urmare lim _x

  2. 4.?. EXERCITII xv

1 X

• 1
• 1
• 1

  : (d) f n (x) = narc sin ⁿ _xn ²

  4

  (a) f n + g n ^u ! f + g:

  ! f si g ^{n u} ! g: Sa se arate ca

  R ! R astfel ca f ^{n u}

  ) este uniform convergent pe [a; 1) pentru orice a > 0: (8) Fie f n ; g n ; f; g : A

  ) nu este uniform convergent pe [0; 1): (c) Sa se arate ca (f n

  ) este un sir convergent pe [0; 1): (b) Sa se arate ca (f n

  (7) Fie f _n (x) = e ^nx ; x 0: (a) Sa se arate ca (f n

  1 x ^a 1+x ^{a ; A = [ a; a] ; a > 1:}

  (d) f n (x) =

  ; A = ( 1; ] unde < 0:

  : (c) f _{n (x) = nxe} ^nx

  2

  1

  ;

  1

  (2) Aratati ca orice sir de functii uniform convergent este convergent (punc- tual). (3) Aratati ca sirul de functii (f _{n ) converge punctual dar neuniform pe A;} unde:

  (c) f n (x) = sin ⁿ x + cos ⁿ x: (6) Demonstrati ca (f n ) este uniform convergent pe multimea A; unde:

  (a) f _{n (x) =} ^nx _{n +x} ; A = RnZ:

  (b) f n (x) = nxe ^nx ; A = ( 1; 0]:

  (4) Sa se arate ca f n (x) := ^nx

  1+(n+1)x

  (a) f n (x) = cos ⁿ x: (b) f n (x) = sin nx cos ⁿ x:

  (a) f n (x) = x ⁿ ; A =

  ; A =

  1

  4

  ;

  1

  2

  : (b) f n (x) = ^nx _n

  x 0 de…neste un sir de functii conver- gent care nu este uniform convergent. (5) Sa se studieze convergenta punctuala si uniforma a sirului de functii (f n ) :

• x
• 1 (x) 8 n 2 N; 8x > 1:

  cos ^{k kx} _{k a ; A = R; a > 1:}

  (a) Aratati ca sirul (f n ) _n

  8 < : 0 pentru 0 x

  1

  1 _n

  ; n x

  1

  1 _n

  pentru 1

  1 _n

  x 1; 1 pentru 1 x

  2 ; n 2 N :

  2N

  ! f ) jf ^{n (x)} f (x)j ! 0 8x 2 A: (b) jf ^{n (x)} f (x)j ! 0 8x 2 A ) f ⁿ ! f

  este convergent punctual pe [0; 2] : (b) Aratati ca sirul (f _{n ) nu este uniform convergent pe [0; 2].} (16) Folosind Criteriul lui Cauchy demonstrati ca sirul (f _{n ) n}

  2N

  este uniform convergent pe A: (a) f n (x) = ⁿ

  P _{k =1}

  0, unde f n (x) = ^nx _n

  (b) f _{n (x) =} ^nx _{n +1} ; A = [0; a] ; a > 0; > 2014:

  (c) f n (x) = sin ⁿ x + cos ⁿ x; A =

  6

  ;

  3

  (15) Fie f n (x) =

  un sir de functii de…nit pe o multime A si f : A ! R. Dovediti implicatiile: (a) f n

  9

  !1

  ; a > 0; > 2014: (18) Fie f n

  xvi 1. 4. SIRURI SI SERII DE FUNCTII

  (b) Daca functiile f si g sunt marginite atunci f _{n g n} ^u ! fg:

  (c) Daca functia f este nemarginita atunci este posibil ca f _n g _n

  9 f g: (9) Fie r > 0 si f _n ; g _{n : (1; 1) ! R astfel ca f n +1} (x) = f _n (x) + r si g _n (x) := log _{f n (x)} f n

  (a) Sa se studieze convergenta sirului de functii (f n ) _n

  2N

  : (b) Sa se studieze convergenta sirului de functii (g n ) _n

  2N

  : (c) Sa se calculeze lim _n

  g n : (10) Aratati ca pentru orice 2 (0; 1) sirul (f n

  2N

  ) _n

  2N

  ; f _n (x) = x ⁿ converge uniform pe (0; 1 ) dar nu converge uniform pe (0; 1) : (11) Dati un exemplu de sir (f n ) _n

  2N

  de functii marginite pe un interval I care converge punctual la o functie f : I ! R nemarginita. (12) Este adevarata a…rmatia "exista un sir (f n ) _n

  2N

  de functii marginite pe un interval I care converge uniform la o functie f : I ! R nemarginita"? (13) Un sir de functii (f n ) _n

  2N

  de…nit pe o multime A se numeste sir Cauchy punctual pe multime A daca pentru orice x 2 A sirul (f ^{n (x))} _n

  2N

  este sir fundamental. Demonstrati ca orice sir de functii Cauchy punctual este convergent punctual. (14) Fie (f n ) _n

  : (17) Aratati ca f n ^U

• 1

  [a;1)

  nu este uniform convergent pe [0; 1] si totusi lim _n

  : [0; 1] ! R; f ^{n (x) := nx} _n ² _x ²

  : Aratati ca sirul (f n ) _n

• 1

  2N

1 R

  !1

• x
• x
• x ⁿ
• 1: (b) f n (x) = sin (f n

  : (c) f n (x) = 1 + cos x +

  ; A = (1; 1) :

  ln(1+nx) _n

  (a) f n (x) =

  f n converge punctual si neuniform pe multimea A; unde:

  

1

P _n

=1

  cos ⁿ x; x 2 R: (20) Demonstrati ca seria de functii

  1 _n

  x + +

  2

  cos

  2

  1

  2

  f n (x) dx =

  1 (x) = x; x 2 0;

  (x)) n 2 si f

  1

  3n

  4n

  : (a) f n (x) = x

  2N

  (f _n ) _n

  f n (x) dx: (19) Determinati multimea de convergenta C si limita punctuala a sirului

  !1

  lim _n

  1 R

  2n

  2. 4.?. EXERCITII xvii

  (b) f _{n (x) =} ^{x n}

  (1+x ² ) ⁿ

  ; A = R: (c) f n (x) = 3 ⁿ sin

  1

  4 ^{n x}

  ; A = R : (21) Aratati ca seria

1 P

  _n

  =1

  f n converge absolut si uniform pe multimea R; unde: (a) f _{n (x) =}

  sin ^{4 nx} _{n 3 :}

  (b) f n (x) = ^{x 2}

  1+n ^{4 x 4}

  : (c) f n (x) = arctg

  2x _{n 4}

• x ^{2 :} (22) Determinati multimea de convergenta pentru urmatoarele serii.
• ^x
2<
• ^x
3<
• (b)
• ::: (b) x ^x
3<
• ^x
5<
• ::: (c) 1
• 5x
• ::: (d) 1
• :::

  2 3

  2

  3

  10x

  2

  4x + 7x

  4

  2

  3x

  5

  3

  (23) Determinati suma seriei (a) 1 + 2x + 3x

  3 3 ²

  (3n 2)2 ⁿ

  p

  1 P _{n =1} 3 ^{n x n}

  x ⁿ (d)

  1 P _{n =1} ( 1) ^{n 1} _n

  (c)

  3 ⁿ

  (a) 1+ ^x

  4 3 ³

  1 P _{n =1} 2 ^{n x n} (2n+1) ² p