9.2. Hipotesis Nol dan Hipotesis Alternatif - 7. Hipotesis

9.1. Pendahuluan

  Dalam kehidupan sehari-hari kita sering dihadapkan pada suatu masalah yang membutuhkan kesimpulan atau keputusan mengenai populasi atas dasar informasi dari sampel. Agar kesimpulan yang dihasilkan tidak menyimpang maka perlu didukung adanya fakta-fakta, asumsi-asumsi atau perkiraan-perkiraan mengenai permasalahan tersebut. Apabila keputusan tersebut merupakan keputusan yang bersifat ilmiah, tentunya kita harus menerapkan metode ilmiah, dimulai dari pengumpulan data/fakta sampai dengan pengambilan keputusan itu sendiri.

  Metode ilmiah itu sendiri secara garis besar adalah penerapan logika dan obyektifitas dalam mempelajari atau memahami fenomena. Pengumpulan data tersebut dapat melalui percobaan maupun pengamatan (survey, studi kasus dan lainnya). Selanjutnya data yang terkumpul kita analisis, kita uji keserasiannya dengan hipotesis yang kita ajukan untuk kemudian ditarik kesimpulan. Kesimpulan ini biasa disebut dengan kesimpulan statistik. Misalnya atas dasar data sampel kita ingin mengetahui apakah mesin-mesin pengepakan terbaru yang mempunyai kemampuan produksi lebih lebih besar dari pada mesin-mesin yang lama atau apakah suatu obat penyakit flu mempunyai efektifitas dalam menyembuhkan penyakit tersebut dan lain- lain.

  Di dalam bab ini kita akan membahas hal-hal yang berkaitan dengan penarikan kesimpulan tentang parameter populasi melalui pengujian hipotesis. Pengujian hipotesis merupakan bidang paling penting dalam statistik inferensial. Tujuan dari statistik inferensial adalah untuk menggambarkan kesimpulan umum tentang populasi dengan menggunakan informasi yang terbatas dari sampel. Uji hipotesis mnerupakan salah satu dari metode dasar statistik inferensial. Peneliti menyatakan hipotesis tentang populasi dan kemudian menggunakan data dari sampel untuk mendukung atau menyangkal hipotesis Untuk membuktikan hipotesis tersebut perlu adanya data (populasi atau sampel). Data tersebut kemudian kita olah untuk mencari informasi yang dapat digunakan dalam pembuatan keputusan mengenai pembenaran atau penolakan hipotesis tadi.

  Definisi 9.1.

  Uji hipotesis adalah suatu cara menggunakan data sampel untuk mengevaluasi kebenaran hipotesis dari populasi.

9.2. Hipotesis Nol dan Hipotesis Alternatif

  Dalam statistika kita mengenal dua macam hipotesis, yaitu hipotesis nol (H ) dan hipotesis alternatif (H ). Hipotesis nol (H ) merupakan suatu pengangan

  1

  sementara, sehingga memungkinkan kita untuk memutuskan apakah sesuatu yang kita uji masih menspesifikasikan menerima H atau tidak. Hipotesis alternatif (H

  1 ) di lain

  pihak merupakan alternatif dari H , yaitu keputusan apa yang harus kita tentukan bila apa yang kita uji tidak sebagaimana yang kita spesifikasikan oleh H .

  Definisi 9.2.

  Hipoteisi nol (H ) merupakan dugaan sementara dimana variabel bebas (perlakuan) tidak berpengaruh pada variabel terikat dari populasi Definisi 9.3.

  H Hipotesis alternatif ( ^{1 ) merupakan dugaan dimana variabel bebas} (perlakuan) akan berpengaruh pada variabel terikat dari populasi Tujuan pengujian hipotesis adalah memilih salah satu dari dua hipotesis tersebut. Pengujian hipotesis berdasarkan sifat saling asing (mutually exclusive), artinya jika satu hipotesis ditolak maka hipotesis lainnya diterima. Misalnya diketahui hipotesis nol (H ) adalah p = 0.5 maka hipotesis alternatifnya (H

  1

  ) adalah p  0.5 atau p  0.5 atau p  0.5.

9.3. Kesalahan Jenis I dan Jenis II

  Pada setiap pengujian hipotesis, kita diharuskan memilih salah satu dari kedua hipotesis tersebut. Apakah kita akan menerima atau menolak H

  0. Dalam pengambilan

  keputusan ini kadang seorang peneliti membuat kesalahan dalam pengambilan keputusan tersebut. Kesalahan tersebut terjadi ketika kita menolak hipotesis yang benar, atau menerima hipotesis yang salah. Kedua jenis kesalahan ini diberi nama secara khusus dalam pengujian hipotesis, yaitu : a. Kesalahan jenis I (galat jenis I), kesalahan ini terjadi ketika kita menolak H padahal H ini benar. Peluang terjadinya kesalahan ini dinyatakan dengan α dan pada umumnya disebut pada taraf nyata (level of Significance).

  b. Kesalahan jenis II (galat jenis II), kesalahan ini terjadi ketika kita menerima H padahal H ini salah dan H

  1 benar. Peluang terjadinya kesalahan

  jenis II dinyatakan dengan β. Kesalahan jenis II ini disebut dengan kuasa pengujian/kekuatan uji (power of statistical test).

  Hubungan antara kedua jenis kesalahan tersebut dapat dilihat pada tabel 9.1 dibawah ini :

Tabel 9.1. Hubungan antara  dan  dalam pengujian Hipotesis

  Hipotesis yang benar Keputusan H H

  1 Salah jenis II

  Keputusan benar Terima H

  (peluang ) (peluang 1-)

  Keputusan benar Salah jenis I

  Tolak H (peluang 1-) (peluang )

9.4. Uji Hipotesis Dua Sisi dan Satu Sisi

  Untuk menguji kebenaran suatu hipotesis diperlukan suatu informasi yang dapat digunakan untuk mengambil kesimpulan, apakah suatu pernyataan tersebut dapat dibenarkan atau tidak. Informasi yang dibutuhkan ini dapat berasal dari seluruh anggota populasi atau hanya sebagian dari anggota populasi (sampel).

  Untuk memilih salah satu dari kedua hipotesis tersebut (H atau H )

  1

  diperlukan suatu kriteria pengujian yang ditentukan berdasarkan pada suatu statistik uji. Kriteria (tolak ukur) uji atau statistik uji adalah sebuah peubah acak yang digunakan dalam menentukan .hipotesis nol atau hipotesis alternatif yang diterima dalam pengujian hipotesis.

  Karena dalam pengujian hipotesis kita harus menentukan satu di antara H dan H

  

1 . Nilai-nilai statistik yang digunakan untuk menerima hipotesis nol disebut dengan

  daerah penerimaan. Sedangkan nilai-nilai statistik yang digunakan untuk menolak hipotesis nol disebut dengan daerah penolakan.

  Pemilihan sisi pengujian tergantung dari hipotesis parameter populasi. Uji hipotesis dua sisi akan menolak hipotesis nol (H ) jika nilai statistik sampel secara signifikan lebih besar atau lebih kecil dari nilai parameter populasi atau dapat dinyatakan dengan H :  =  dan H

  

1 :   

  2. Rumusan H o dan H 1 selanjutnya diterjemahkan ke dalam rumusan statistik.

  tidak diterima.

  o

  ditolak dengan tingkat keberartian α. Bila tidak, maka H

  o

  7. Periksa apakah hasil statistik uji itu jatuh pada daerah kritis atau tidak. Bila ya, maka H

  6. Berdasarkan data yang dimiliki, hitunglah statistik uji.

  Titik kritis dan daerah kritis ditentukan oleh bentuk distribusi statistik penguji dan oleh nilai α.

  5. Tentukan daerah kritis.

  4. Pilih dan gunakan statistik uji yang sesuai.

  3. Pilih nilai α (tingkat kesalahan yang dikehendaki peneliti).

  H o

adalah pernyataan yang mengandung pengertian kesamaan.

  . Untuk uji hipotesis satu sisi dapat dinyatakan dengan H :  ≥  dan H

  ) dengan cara merumuskan

  1

  ) dan alternatifnya (H

  o

  1. Rumuskanlah hipotesis (H

  Untuk mempermudah peneliti menguji kebenaran suatu hipotesis maka terdapat beberapa langkah-langkah atau prosedur pengujian hipotesis yang perlu diperhatikan. Adapun prosedur pengujian hipotesis tersebut adalah sebagai berikut :

  9.5. Langkah - Langkah Pengujian Hipotesis

  1 :  >  0.

  atau H :  ≤  dan H

  1 :  < 

  9.6. Uji Hipotesis Untuk Satu dan Dua Nilai Tengah

  2

9.6.1. Ragam Populasi σ Diketahui

  Untuk pengujian hipotesis satu nilai tengah dapat dilihat contoh berikut : misalkan seorang dokter tertarik untuk mempelajari apakah efek obat dari bahan alami lebih baik atau tidak daripada obat dari bahan kimia dalam menyembuhkan flu. Untuk itu diambil sampel acak berukuran 20 dari pasien yang terserang flu. Dari ke- 20 pasien tersebut, didapatkan rata-rata lamanya penyembuhan (

  X = 5 hari).

  Berdasarkan informasi yang diperoleh dari laboratorium diketahui bahwa rata-rata lamanya penyembuhan flu dengan obat kimia adalah tersebar secara normal dengan nilai tengah 7 hari dan ragam sebesar 4, atau X ≈ N (7,4). Dengan taraf nyata α = 5%, apakah kita dapat menyimpulkan bahwa efek obat dari bahan alami lebih baik daripada obat dari bahan kimia dalam menyembuhkan flu atau justru sebaliknya.

  Untuk menyelesaikan permasalah tersebut di atas, maka kita perlu melakukan pengujian secara statistik. Karena ada suatu nilai pembanding, maka pada hakekatnya kita sedang menguji hipotesis nol di mana efek obat alami sama dengan obat kimia dan lawannya yaitu hipotesis aternatif dimana efek obat alami sama dengan obat kimia. Atas dasar keterangan di atas kita dapat menuliskan hipotesis tersebut adalah :

  H : μ = 7 hari lawan H : μ ≠ 7 hari

1 Hipotesis alternatif yang kita ajukan adalah tidak sama, karena kita tidak

  yakin apakah lebih baik atau justru lebih jelek kemampuannya. Jelas, bahwa alternatif kita adalah alternatif dua ujung, ujung kanan jika lebih baik dan ujung kiri jika sebaliknya. Dengan demikian taraf nyata yang kita pilih kita bagi dua, masing-masing α/2.

  Dari teori fungsi sebaran normal yang ada, untuk memudahkan, kita transformasikan fungsi sebaran normal menjadi sebaran normal baku (Z),

  X μ 

  Z ………….……………. (9.1) 

  σ/ n 5 7 

  Z = 2/ 20

  Z = 4.472 Nilai Z yang dihitung berdasarkan contoh tersebut kita namakan Z hitung. Jadi, dari contoh di atas Z hit = 4.472 dan ini yang kita namakan statistik uji atau kriteria uji untuk data normal. Dengan demikian, berdasarkan nilai  yang telah kita tetapkan, kita dapat membuat suatu kaidah keputusan yaitu :

  1. Untuk uji dua sisi (two-tailed test) _α/2 X  μ   Z  H ditolak

  Z 

  ………………. (9.2)

   α/2 σ/ n  Z  H diterima 

  2. Untuk uji satu sisi (one-tailed test) _ X μ 

    Z  H ditolak Z 

  .............. …….. (9.3)

   _ Z H diterima σ/ n   

  Secara ringkas untuk contoh di atas, dengan mengambil  = 0.05, maka kita _/2 0.5/2 dapat menentukan Z tabel = Z = 1.64. Di mana dari hasil perhitungan di atas kita bandingkan dengan Z hitung =4.472. Berdasarkan kaidah keputusan di atas kita akan menyatakan menolah H atau menerima H , karena Z > Z . Yang berarti bahwa

  1 hitung tabel

  efek obat dari bahan alami lebih baik daripada obat dari bahan kimia dalam menyembuhkan flu.

  Jika dalam suatu penelitian terdapat dua populasi dengan masing-masing , maka pengujian hipotesis yang kita pilih adalah mempunyai nilai tengah  A dan  B pengujian hipotesis untuk selisih dua nilai tengah dari dua populasi tersebut. Pada dasarnya kita menguji hipotesis nol dan hipotesis alternatif : H atau H = 0

  :  A =  B :  A -  B yaitu menguji hipotesis nol bahwa A dan B tidak berbeda.

  Selain itu kita juga dapat menguji hipotesis alternatif :

• H

  1 :  A -  B  0

• H

  1 A B > 0

  :  - 

• H

  1 A B < 0

  :  -  Jika kedua peubah tersebut tersebar normal maka : _{2 2}

    σ σ _{A B}   X  X  NID μ  μ ,  _{B A B}

      n n _{A B}   _{2 2} X

  X Di mana , A B , σ , σ , n A dan n B secara berturut-turut nilai tengah _{A B ,  ,  A B} populasi A, nilai tengah populasi B, ragam populasi A, ragam populasi B, ukuran

  sampel untuk A dan B. Dengan demikian dapat mempertimbangkan statistik uji, jika

  2

  2

  diketahui :

  A dan  B

  

  X  X  μ  μ  

   A B  A B Z _hit  _{2 2} .............……… (9.4)

  σ /n σ /n _{A A B B}   

  Jika H = 0 benar, maka : :  A -  B

  X 

  X

  ….......……….. (9.5)

   A B  Z _hit  _{2 2} σ /n  σ /n _{A A B B}

  Yang tersebar menurut sebaran Z.   Karena itu, misalkan jika hipotesis yang diambil adalah :

  H = 0 :  A -  B lawan

  H

1 A B

  :  -   0 H benar, maka kaidah keputusan kita adalah :

  1. Untuk uji dua sisi (two-tailed test) _α/2 X  _{A B   Z  tolak H}

  X  

  Z  _{hit  2 2 α/2} Z terima H   σ /n σ /n

     A A B B  ………... (9.6)

  2. Untuk uji satu sisi (one-tailed test) _ X 

  X   Z  tolak H  A B 

  Z _{hit }  _{2 2 α}

  ….….... (9.7)

   Z  terima H σ /n  σ /n _{A A B B }  

  2 ² Misalkan diketahui n = 25 dan n = 25, = 2,5 ton/ha dan = 1,5 A B  A  B

  X X

  ton/ha serta = 8,6 ton/ha dan _{A B =7,5 tn/ha. Dengan  = 5% ujilah apakah rata-} rata A lebih baik dari pada rata-rata B ? Dari keterangan di atas kita dapat menuliskan hipotesis tersebut adalah :

  H = 0 :  A -  B lawan

  H > 0

  1 :  A -  B

  Karena uji hipotesis yang dipakai adalah uji satu sisi maka persamaan 9.7 kita gunakan dalam penyelesaian permasalahan tersebut.

  X 

  X  A B 

  Z _hit  _{2 2} σ /n σ /n 

   A A B B  8 . 6  7 .

5 Z   hit 2 .

  75 2 .

  5 1 .

  5     

  25

  25  

  (0.05/2)

  Karena Z = 1.96, maka kita simpulkan bahwa kita tolak H , dimana Z > Z

  hitung tabel yang berarti bahwa rata-rata A lebih baik dari pada B.

  2

9.6.2. Ragam Populasi (σ ) Tidak Diketahui

  Pada suatu kondisi tertentu kita tidak dapat mempergunakan sebaran Z bila

  2

  ragam populasi σ tidak diketahui. Untuk ukuran sampel kecil ( n < 30) kita bisa

  2

  2

  menggunakan s untuk menduga σ . Untuk menguji hipotesis H statistik uji :  =  kita adalah tidak menggunakan rumus dari normal baku Z, tetapi kita dapat menggunakan menggunakan peubah t (sebaran t) :

  X μ  t _hit  .................................... (9.8) s/ n

  Statistik ini kemudian kita bandingkan titik kritis sebaran t (lihat tabel distribusi t) dengan derajat bebasnya yang sesuai pada taraf nyata  yang dipilih serta jenisnya yang digunakan (satu ujung atau dua ujung) kemudian diputuskan diterima tidaknya H . Jika H benar, maka kaidah keputusan kita adalah :

  1. Untuk uji dua sisi (two-tailed test) _{ / 2}  t H ditolak   _{( n  1 )}

  X    t _hitung 

  …………..…….. (9.9) ₂ 

  s / n / _ ²  t H diterima

    _{( n  1 )} 

  2. Untuk uji satu sisi (one-tailed test)

   t H ditolak

     _{( n  1 )}

  X 

    t _hitung 

  …………….…… (9.10) ₂ 

  s / n   t H diterima

    _{( n  1 )}  Contoh 9.1 :

  Penelitian terhadap keakuratan isi minyak pelumas dalam kaleng 10 lt dipasaran. Dari hasil penelitian diambil 10 kaleng minyak pelumas didapatkan rata-rata isi dari tiap kaleng adalah 10.1, 9.9, 9.8, 10.3, 10.2, 9.7, 9.8, 9.7, 9.7 dan 9.7 lt. Dengan  = 1% apakah rata-rata isi minyak pelumas tersebut lebih banyak atau tidak ?

  Penyelesaian :

  Dari informasi yang ada diketahui bahwa rata-rata isi pelumas adalah 10 lt. Sehingga kita dapat menyusun pengujian hipotesisnya : H : μ = 10 lt lawan H : μ ≠ 10 lt

  1 Selanjutnya kita hitung _n X dan s :

  X _i  _{i  1} 98 .

  9 X    9 . 89 lt _n n

  10 ₂ (x  x ) _i

   _{I  1} S  n

  1  _{2 2} 9 . 89 ) .......(9. 7 9.89) - (10.1   S

  . 2283  

9 X μ

   t _{hit } s/ n 9.89 

  10 t   _hit 1 . 524 0.2283/

  10 dengan  = 0.01 dan /2 = 0.005 didapatkan t

  (0.005) (9)

  = 3.25 Dimana dari hasil di atas kita dapat menarik kesimpulan bahwa kita akan menerima H karen t hitung < t tabel .

9.6.3. Uji t Tidak Berpasangan

  1

  Dan jika H :  A -  B

  X X t _{B B A A} n s n s

    _{ } ^{ } _{α/2 2) nB (nA} ^{α/2 2) nB (nA} _{2 2} ^{B A} _hit H terima t H tolak t

     

        

  X X t _{2 2}       

     _{B B A A} ^{B A} _hit n s n s

     

  X X    

  μ μ

       _{B B A A hit} n s n s t _{2 2} ^{B A B A}

     

       

  Jika H kita adalah  A -  B = 0 benar, maka kaidah keputusannya adalah :

  = 0 benar, maka statistik uji adalah : …….. ……..……. (9.12) merupakan peubah t terpusat dengan derajat bebas (n A -1) + (n B -1).

  1 :  A   B atau  A -  B  0

  2

  dan 

  dan 

  2

  2

  tidak diketahui, maka kita akan menduga 

  1

  2

  2

  H

  2

  dengan ² ₁

  s dan ² ₂ s . Dengan statistik

  ujinya : .................. …. (9.11)

  Hipotesis untuk menguji selisih dua nilai tengah sampel adalah sebagai berikut : H

  Pada pengujian hipotesis untuk selisih dua nilai tengah dan 

  :  A =  B atau  A -  B = 0 lawan

  ..............…. (9.13)

  Contoh 9.2 :

  Suatu penelitian untuk mengetahui kemampuan akademik dari mahasiswa jurusan matematika yang diterima melalui jalur UMPT (X ) dan jalur Ujian Lokal (X ) pada

  1

  2

  mata kuliah kalkulus I. Untuk mendukung penelitian tersebut diambil 15 mahasiswa dari jalur UMPT dan 15 dari jalur ujian lokal. Dari data yang ada setelah dilakukan _{2 2} X

  X analisis diperoleh hasil sebagai berikut : = 65, = 57, s = 225 dan s = 400. _{1 2 1 2} Dengan  = 5 % apakah terdapat perbedaan kemampuan akademik dari dua jalur tersebut ? Penyelesaian :

  Hipotesis untuk menguji selisih dua nilai tengah sampel adalah sebagai berikut : H A B = 0

  :  -  lawan H

1 A B

  :  -   0 Nilai statistik uji adalah sesuai dengan rumus 9.12 :

  X  _{A B}

  X t  _{hit 2 2}   s s _{A B}

       n n _{A B}

    65 

  57 t  _hit

  225 400     

  15

  15  

  t = 1.758

  hitung

  (0.025)

  dan t tabel (14) = 2.145. Di mana dari hasil perhitungan di atas diketahui bahwa t hitung

  (0.025)

  < t tabel (14) , sehingga kita akan menerima H A B = 0, yang berarti bahwa tidak :  -  terdapat perbedaan kemampuan akademik dari mahasiswa jurusan matematika yang diterima melalui jalur UMPT (X ) dan jalur Ujian Lokal (X ) pada mata kuliah

  1

  2 kalkulus I.

9.6.4. Uji t Berpasangan

  Jika dalam suati penelitian diuji dengan 2 variabel, di mana antar variabel yang diamati tersebut berpasangan, artinya dalam setiap pengukuran yang diukur adalah pasangan (A,B). Karena pengamatannya secara berpasangan, maka dalam setiap pengamatan X A dan X B tidak lagi bebas sesamanya meski bebas antara pasangan yang satu dengan pasangan yang lain. Dengan demikian untuk menguji kita digunakan adalah dengan apakah ada perbedaan antara dua nilai tengah  A dan  B uji t-test yang berpasangan.

  Contoh 9.3 :

  Suatu penelitian terhadap kemampuan bahasa Inggris dari 15 siswa yang diberi dua materi tes yaitu grammer dan translation diperoleh hasil sebagai berikut :

  Siswa grammer Translation

  1

  80

  67

  2

  81

  66

  3

  84

  65

  4

  78

  60

  5

  75

  68

  6

  79

  84

  7

  90

  86

  

  2

  2

  ), maka nilai tengahnya adalah :

  n D ⁿ _{1 i i}

  D 

   ^ …………………………. (9.14)

  Karena 

  2

  tidak diketahui, maka dapat diduga dengan s

  :

  76 dengan  = 0.1 adakah perbedaan nilai rata-rata dari kedua tes tersebut. Penelitian di atas jelas merupakan penelitian berpasangan, sehingga setiap pasangan tidak bebas sesamanya. Jika D merupakan selisih data dari setiap pasangan tersebut (X

    1 n D D s ^{2 1 i 2} 

     _ ⁿ _i

  ………………..…… (9.15) Hipotesis untuk menguji selisih dua nilai tengah sampel adalah sebagai berikut :

  H :  A =  B atau  A -  B

  = 0 lawan H

  1 :  A   B atau  A -  B  0

  Dan jika H :  A -  B

  = 0 benar, maka statistik uji adalah : ……………………. (9.16) dan kaidah keputusannya adalah :

  n s D t _{hit 2}

  1

  80

  8

  83

  9

  10

  11

  12

  13

  14

  15

  79

  67

  70

  80

  74

  80

  80

  71

  61

  63

  67

  75

  75

• X

  _ / ²  t H ditolak  ( n _ ^{1 ) }

  X    t _hitung 

  …………… (9.17) ₂ 

  s / n / _ ²  t H diterima

   ( n _ ^{1 ) } 

  Dari contoh di atas kita dapatkan hasil penyelesaiannya adalah sebagai berikut : Hipotesis selisih dua nilai tengah sampel adalah :

  H = 0 :  A =  B atau  A -  B lawan

  H

  1 :  A   B atau  A -  B  0

  2 Untuk menguji hipotesis tersebut kita hitung dulu D dan s _n D _i 97 .

  95  _{i  1}  6 .

  53

    n

15 D

  2

  s = 83.981 s = 9.164 Selanjutnya statistik uji adalah :

  D t  _{hit 2} s n

  t = 6.53/2.367 = 2.759

  hitung (0.05)

  Dari hasil tersebut kita bandingkan dengan t = 1.761

  (14)

  Oleh karena t hitung > t tabel , maka keputusannya adalah menolak H di mana antara kedua tes terdapat perbedaan nilai rata-ratanya.

9.7. Uji Hipotesis Satu dan Dua Proporsi

9.7.1. Uji Hipotesis untuk satu proporsi

  Uji hipotesis mengenai proporsi diperlukan di banyak bidang. Semua pabrik sangat berkepentingan mengetahui proporsi barang yang cacat selama pengiriman. Seorang politikus tentu ingin mengetahui berapa proporsi pemilih yang akan memilih partainya dalam pemilihan umum mendatang. Seorang penjudi tentu sangat bergantung pada pengetahuan mengenai proporsi hasil yang dianggapnya menguntungkan.

  Misalkan kita mempunyai suatu populasi yang mengandung jenis tertentu

  X p 

  dengan proporsi . Dengan memakai sampel berukuran n yang mengandung

  N x ˆ p 

  jenis tertentu, yaitu : , kita ingin menguji hipotesis parameter proporsi p yang

  n

  diasumsikan nilainya sama dengan p , yaitu : p = p , maka rumusan hipotesis untuk pengujian hipotesis tersebut adalah : a). Uji dua arah

  H : p = p lawan H

  1

  : p  p

  b). Uji satu arah H : p = p H : p = p lawan atau H : p > p H : p < p

1 Dan jika H benar, maka statistik uji yang dipakai adalah :

  pˆ p  Z _hit 

  …………………….. (9.18)

  p (1 p )  n

  dan kaidah keputusannya adalah :

   Z H ditolak

     pˆ p  

  Z _{hit } 

  ...….. (9.19)

  p (1 p )   

  Z H diterima    n

  Contoh 9.4 :

  Seorang sales produk perekat keramik mempromosikan bahwa 95% produk perekat yang dihasilkan perusahaan mempunyai daya rekat yang kuat. Seorang kontraktor membeli 200 kaleng perekat keramik dan terungkap bahwa 20 kaleng tidak sesuai dengan iklan yang disampaikan. Dengan  = 5% apakah kita akan menerima atau menolak hipotesis awal ?

  Penyelesaian :

  Hipotesis pengujian untuk proporsi : H : P = 0.95 lawan H

  1 : P  0.95 p ˆ

  Untuk menguji hipotesis tersebut kita hitung

  p ˆ

  = X/n = 20/200 = 0.1 .

  1 . 95 .

  05   Z     _hit 1 . 027 0.95(0.05) . 0487

  20 _/2

  = 1.96 Dari tabel z, dengan = 0.05 diketahui z Karena z hitung < z tabel , maka keputusannya adalah merima H 0.

9.7.1. Uji Hipotesis untuk dua proporsi

  Misalkan kita mempunyai dua populasi. Populasi pertama terdiri atas unsur X

  1 X ₁ p  ¹

  dengan proporsi , dan populasi kedua terdiri atas unsur X

  2 dengan proporsi N ₁

  X ₂ p  ²

  . Pada populasi pertama kita ambil sampel acak sebanyak n yang terdiri

  1 N ₂ x ₁ ˆ p  ¹

  unsur x dengan proporsi , dan pada populasi kedua diambil sampel acak

  1 n ₁ x ₂

  ˆ p  ₂

  sebanyak n yang terdiri atas unsur x dengan proporsi . Maka pengujian

  2

  2 n ₂

  ˆ ˆ p

  hipotesis untuk parameter beda dua proporsi  p   adalah sebagai berikut : _{1 2}

  a). Uji dua arah H : p = p

  1

  2

  lawan H : p

  1 1  p

  2

  b). Uji satu arah H : p = p H : p = p

  1

  2

  

1

  2

  lawan atau H

  1 : p 1 > p

  2 H : p 1 < p

  2 Dan jika H benar, maka statistik uji yang dipakai adalah : ₁ - ( pˆ pˆ ) ₂ Z _{hit } pˆ (1 pˆ ) pˆ (1 pˆ ) ₁   .….............….. (9.20) _{1 2 2}  n n _{1 2}

  dan kaidah keputusannya adalah : _{ / 2} Z H ditolak

    

• ( pˆ pˆ )
_{1 2}  Z _{hit } 

  …… (9.21)

  pˆ (1 pˆ ) pˆ (1 pˆ ) ₁    / _{1 2 2} ²  Z H diterima

      n n _{1 2} Contoh 9.5 :

  Suatu penelitian dilakukan untuk mempelajari pengaruh pupuk NPK terhadap peningkatan hasil tanaman padi. Untuk itu diambil contoh 25 lahan percobaan yang diberi pupuk NPK dengan dosis 20 % dan 25 lahan yang tidak diberi pupuk NPK.

  Pada saat pemanenan didapatkan hasil pada 20 lahan percobaan yang diberi pupuk NPK mengalami peningkatan hasil dan 5 lahan tidak diberi pupuk NPK mengalami peningkatan hasil. Dengan  = 5% apakah terdapat perbedaan hasil antara lahan yang diberi pupuk NPK dan tidak diberi pupuk NPK ?

  Penyelesaian :

  Uji Hipotesis selisih 2 proporsi H : p = p

  1

  2

  lawan H

  1 : p

  1

  2

   p Diketahui n

  1 = 25, X 1 = 20 dan n 2 = 25, X 2 = 5. Sehingga nilai dugaan titik bagi p 1 dan

  p

  2 adalah : ˆ p _{1 = X /n = 20/25 = 0.8}

  1

  1 p ˆ _{1 = X /n = = 5/25 = 0.2}

  2

  2 _/2

  = 1.96 Dari tabel z, dengan = 0.05 diketahui z

  0.2) - (0.8 .

  6 Z _{hit   } 46 . 875 . 0128 0.8(0.2) 0.2( .8) 

  25

25 Karena z hitung > z tabel , maka keputusannya menolak H , dimana terdapat perbedaan hasil antara lahan yang diberi pupuk NPK dan tidak diberi pupuk NPK.

  Latihan :

  1. Apa yang di maksud dengan hipotesis ?

  2. Kapan suatu hipotesis diperlukan ? Jelaskan

  3. Apa beda hipotesis nol dan hipotesis alternatif ?

  4. Mengapa dalam suatu penelitian hipotesis nol dan hipotesis alternatif harus ada ?

  5. Apa kriteria seorang peneliti dikatakan melakukan kesalahan dalam pengambilan keputusan ? Jelaskan dengan contoh!

  6. Suatu perusahaan elektronika memproduksi televisi yang mempunyai umur hidup rata-rata 60 bulan. Untuk menjaga kualitas produk maka diuji 25 unit televisi. Dengan  = 5 %, kesimpulan apa yang dapat diambil jika dari hasil

  x

  penelitian tersebut didapatkan nilai tengah = 70 bulan dan simpangan baku (s) = 10.

  7. Penelitian dilakukan di kabupaten A pada beberapa tahun yang lalu menyimpulkan bahwa 25% dari penduduk usia dewasa masih tuna aksara. Usaha yang intensif telah dilakukan untuk memberantasnya. Usaha ini dievaluasi beberapa tahun setelahnya. Dari 250 orang penduduk yang terpilih secara acak, ternyata 40 orang di antaranya masih tuna aksara.

  a). Untuk menguji keberhasilan usaha tersebut hipotesis pengujian yang bagaimana yang layak? b). Apa kesimpulan dari hasil pengujian hipotesis tersebut pada soal (a)? Gunakan α = 5%.

  c). Tentukan selang kepercayaan 0.95 untuk proporsi tuna aksara! 8. Dua jenis plastik A dan B dapat digunakan untuk komponen elektronik. Tegangan luluh (breaking strength) dari kedua plastic tersebut sangat penting dalam menentukan kualitasnya. Diketahui, bahwa simpangan baku tegangan luluh

    _{A  B}

  plastic A dan B adalah = 10psi. Dengan sample acak berukuran n A = X 162 .

5 X 155 .

  

  10 dan n B = 12 diperoleh A dan B . a). Ujilah apakah kedua jenis plastic di atas mempunyai kualitas/kekuatan yang sama atau tidak! b). Tentukan selang kepercayaan 0.95 untuk   A   B !

  

  c). Jika plastik A merupakan perbaikan dari B dan A dapat diterima jika tegangan luluhnya paling sedikit 10 psi lebih tinggi dari B, apa kesimpulan saudara? (gunakan α = 5%).

  9. Pertumbuhan berat badan tubuh sapi sangat dipengaruhi oleh banyaknya makanan hijauan yang diberikan dan kualitas makanan tersebut. Secara rata-rata diketahui pertumbuhan berat sapi umur satu tahun sebesar 2 kg/minggu. Untuk mengetahui pertumbuhan berat merata sepanjang 1 tahun, selama musim penghujan dilakukan pengukuran 10 ekor sapi yang dipilih secara random dan diperoleh data sebagai berikut :

  1.9 2.5 2.2 2.4 2.0

  X (kg/minggu)

  1.8 2.4 2.6 2.0 2.3

  a) Dengan menggunakan taraf signifikansi 0.05, tentukan apakah pertumbuhan berat badan tersebut lebih besar atau tidak per minggunya ?

b) Tentukan selang kepercayaan 0.95 untuk  !

  10. Suatu perusahaan besar di kota Malang mengadakan kursus Bahasa Inggis bagi para karyawannya dengan harapan agar para karyawan mempu berkomunikasi dengan baik ketika berhadapan dengan mitranya dari luar negeri. Setelah kursus berlangsung selama 4 bulan, dilakukan evaluasi dengan memakai tes tertentu yang sama sebelum mereka mengikuti kursus. Data hasil evaluasi berupa nilai yang diperoleh oleh 9 karyawan adalah sebagai berikut.

  Sebelum 61 68 48 46 60 56 68 50 65 kursus Sesudah 60 64 56 48 75 50 70 70 60 kursus Apakah penyelenggaraan kursus tersebut efektif? Gunakan taraf nyata 1%. Diasumsikan dua populasi berdistribusi normal dengan variasi yang sama.

  11. Suatu perusahaan memproduksi dua jenis lampu, yaitu merek A dan merek B.

  Untuk menjaga kepercayaan masyarakat mengenaikualitas produksinya, sebelum dipasarkan perusahaan melakukan pengetesan terhadap daya tahan kedua jenis lampu tersebut dengan mengambil sejumlah sample. Hasil pengetesan disajikan dalam table berikut:

  Lampu Statistik Merek A Merek B

  Besar sampel 150 200 Rata-rata daya tahan 1400 jam 1200 jam Standart Deviasi 120 jam 80 jam

  Apakah benar pernyataan pimpinan perusahaan itu bahwa daya tahan lampu merek A berbeda dengan daya tahan lampu merek B? Gunakan tarap nyata 5% untuk mengujinya. Diasumsikan bahwa dua populasi berdistribusi normal.

  12. Data berikut menunjukkan masa putar film (dalam menit) yang diproduksi oleh dua perusahaan.

  Perusahaan A 92 109 98 86 102 Perusahaan B 92 134 97 165 81 87 114

  Ujilah hipotesis bahwa rata-rata masa putar film yang diproduksi perusahaan B melebihi 10 menit daripada rata-rata masa putar film yang diproduksi perusahaan A dengan hipotesis alternatif selisih masa putar tersebut lebih dari 10 menit. Gunakan taraf signifikansi 1% dan asumsikan bahwa dua populasi berdistribusi normal dengan variasi yang sama.

  13. Untuk mempelajari perilaku laki-laki dan perempuan dalam suatu pemilihan, masing-masing kelompok diambil sampek acak berukuran 500. Dari sampel acak ternyata didapat 420 laki-laki dan 360 perempuan yang ikut berpartisipasi dalam pemilihan. Dengan α = 0.05 ujilah apakah terdapat perbedaan perilaku antara laki- laki dan perempuan !

  14. Pimpinan perusahaan rokok menyatakan bahwa 20% di antara para perokok lebih menyukai rokok merek A. Untuk menguji pendapat ini, diambil 20 perokok secara acak dan ditanyakan rokok merek apa yang mereka sukai. Bila 6 di antara 20 perokok ini menyukai rokok merek A, kesimpulan apa yang dapat diambil? Gunakan taraf nyata α = 0.05. Diasumsikan bahwa populasi berdistribusi normal.

  15. Dalam suatu penelitian untuk menduga proporsi penduduk kota A dan kota B yang menyetujui rencana pembangunan pabrik obat nyamuk yang lokasinya berada di perbatasan dua kota tersebut. Dari 100 penduduk di kota A yang dipilih sebagai sample ternyata terdapat 63 penduduk yang menyetujui rencana pembangunan pabrik tersebut, sedangkan dari 125 penduduk di kota B terdapat 59 penduduk yang menyetujui rencana pembangunan pabrik obat tersebut. Dengan menggunakan taraf nyata 1%, apakah ada perbedaan yang nyata antara proporsi penduduk di kota A dan di kota B yang menyetujui rencana pembangunan pabrik obat tersebut?