Tugas Analisis Komplek Kelompok 6 – niaaulina

  

SISTEM OPERASI BILANGAN KOMPLEKS, NILAI MUTLAK, BIDANG

KOMPLEKS DAN BILANGAN KONJUGAT

  Makalah Ini Disampaikan Pada Mata Kuliah Analisis Kompleks Disusun Oleh :

  Nama anggota :

  1. Nia Aulina ( 2014121093 )

  2. Okky Ramadita ( 2014121097 )

  3. Dedesari ( 2014121100 )

  4. Novia Ningsih ( 2014121103 )

  5. Tina Apriani ( 2014121106 )

  6. Noviva Annisa ( 2014121115 ) Semester /kelas : 4/c Dosen pengasu : Eka Fitri Puspa Sari, M.Pd

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS PGRI PALEMBANG TAHUN 2016

  

PEMBAHASAN

A. Pengertian Dan Operasi Dasar Bilangan Kompleks

1. Pengertian Bilangan Kompleks

  Bilangan kompleks adalah suatu bilangan berbentuk a + bi, di mana a dan b bilangan real, sedangkan i adalah satuan khayal (imajiner). a disebut bagian real dan b disebut bagian khayal dari bilangan kompleks tersebut. Jika pada suatu bilangan kompleks, nilai b adalah 0, maka bilangan kompleks tersebut menjadi sama dengan bilangan real a.

  Bilangan kompleks dapat ditambah, dikurang, dikali, dan dibagi seperti bilangan real; namun bilangan kompleks juga mempunyai sifat-sifat tambahan yang menarik. Misalnya, setiap persamaan aljabar polinomial mempunyai solusi bilangan kompleks, tidak seperti bilangan real yang hanya memiliki sebagian. Bilangan kompleks z :

  x , y ( ) x , y∈ℜ dengan .

   merupakan pasangan berurut

  z= x, y ( ) Ditulis : . x+iy x , y∈ℜ

   merupakan bilangan yang berbentuk dengan dan

  i= 0,1

  1 ( ) = −

  √ . z=x+iy Ditulis : .

  Ada beberapa hal yang perlu diperhatikan dalam bilangan kompleks yaitu :

  1. C = himpunan bilangan kompleks

  2 z | z=x+iy , x , y∈ℜ ∧ i =−

  

1

{ } = .

  Re z Im z ( ) = ( ) ≠ 2. Jika dan maka z dinamakan bilangan imajiner murni.

  Re ( z ) ≠ Im ( z ) = 3. Jika dan maka z merupakan bilangan riil.

  4. Kesamaan bilangan kompleks.

  z = x iy z + = x iy +

  1

  1

  1

  2

  2

  2 Misalkan dan . z = z x = x y = y

  1

  2

  1

  2

  1

  2 jika dan hanya jika dan .

2. Operasi Dasar Bilangan Kompleks dan Sifat – sifatnya

a. Operasi Dasar Bilangan Kompleks

  Misalkan diketahui 2 buah bilangan kompleks : z

• + iy
• + iy
• z
• iy
• iy
• x
• (
• iy
• x
• i
• y
• iy
• iy
• i
• iy
• iy
• x
• i(x
• x
• i(x
• x

  1

• x
• iy
• iy
• iy
• iy
• x
• – ( −
• y
• y
• y
• i
• y

  2

  

i

  2 )

  y

  1

  y

  2

  x

  2

  x

  2 − x

  2

  y

  ( i ) + x

  ( i )

  2

  y

  2

  ( i ) −( i

  2 ) y

  2

  y

  2

  = x

  1

  x

  2 − i

  −(

  1

  1

  1

  1

  x

  2

  2

  = x

  1

  1

  x

  2

  2

  x x

  1 − iy

  x

  y

  2 − iy

  2

  = x

  1

  x

  2 −

  x

  1

  y

  2

  ( i )

  2

  ( x

  y

  x

  ( x

  x

  2

  2

  2

  2

  = x

  1

  x

  2

  1

  y

  2

  1

  y

  y

  2 −

  x

  2

  

y

  1 )

  x

  2

  2

  2

  2

  1 = x

  2

  1

  2 − x

  1 ) y

  2

  y

  1

  )

  −(− 1) y

  1

  y

  2

  x

  2

  x

  2

  2

  )

  

y

  2

  = x

  1

  x

  2 − i

  ( x

  1

  y

  2 − x

  2

  y

  1

  1

  2 =

  1 dan z

  1−iy

  1 − z

  2 =

  ( x

  1

  1 ) −

  ( x

  2

  2 ) = (x

  1 −

  x

  2 )+(

  iy ¿¿

  2 ) ¿

  2 )

  ¿ ( x

  1 − x

  2 )

  ( y

  1 − y

  2 )

  Operasi perkalian z

  1

  . z

  2 =

  ( x

  1

  Operasi pengurangan z

  1

  ( x

  ) + ( x

  2 = x

  2

  2 .

  Dari rumus (1 – 2) : i = √ − 1 , maka i

  2 = - 1.

  Operasi penjumlahan

  z

  1

  2 = (

  x

  1

  1

  2

  ( y

  2

  )

  =

  ( x

  1

  2 )

  iy

  1

  2 ) =

  ( x

  1

  2 )

  1 ) .

  2

  z

  ¿ = ( x

  1

  . x

  2

  ¿¿

  1 y

  2

  2

  y

  1 )− y

  1

  y

  2

  1

  ¿

  . x

  2 − y

  1

  y

  2

  ) + i(x ¿¿

  1 y

  2

  2

  y

  1 ) ¿

  Operasi pembagian z

  = x

  2

  2 ) = [ x

  y

  ¿¿

  1 . x

  2

  1

  ( iy

  2

  ) ]+[ x ¿¿

  2 ( iy

  1

  ) + i

  2 ( y

  1

  2 )] ¿ ¿

  y

   = x

  1

  . x

  2

  ¿¿

  1 y

  2

  2

  y

  1 )+

  (

  − 1 ) y

  1

  1

b. Sifat-sifat Aljabar Bilangan Kompleks

  , z dan z

  1

  2

  3 Misalkan z adalah bilangan kompleks, maka berlaku:

  1. Hukum komutatif

  z z = z z + +

  1

  2

  2

  1

  2. Hukum asosiatif

  z z z z z z + + = + +

  1 (

  2 3 ) (

  1 2 )

  3

  z z . z z . z z

  = 1 (

  2 3 ) (

  1 2 )

  3

  3. Hukum distributif (penyebaran)

  z z z = z . z z . z + +

  1 (

  2 3 )

  1

  2

  1

  3

  4. Hukum kesekawanan

  z z z + +

  1 2 = z

  1

  2

  z − z = z − z

  1

  2

  1

  2

  z . z z . z

  =

  1

  2

  1

  2

  z z

  1

  1 =

  z z

  2

  2 5. ´z = ´z

  2

  2 6. z ´z = [ℜ ( z ) ( z )

  ] +[ ℑ ] Contoh:

  2−3 i dan z 5+i = =−

  1

  2 Diberikan : z

  z

• 1

  Maka hitunglah : a . z

  2

  z

  1

  − b . z

  2 Penyelesaian :

  a . z z 2−3i 5+i ( ) ( )

  = + + −

  1

  2

  ¿ − 3−2 i b . z z ( 2−3 i ) ( 5+i )

  − = − −

  1

  2 7−4 i

  ¿

B. Nilai Mutlak

  a. Pengertian Nilai Mutlak

  Definisi : Jika z=a+bibilangan kompleks, maka modulus dari z ditulis |z| didefinisi sebagai berikut:

  2

  2

  | z = | a+bi | = a b

• |

  √ | z |

  |z| ≡ bilangan riil positif atau nol → ≥ 0 Secara geometris : |z| menyatakan panjang vector (x, y) yaitu jarak titik (0, 0) dengan titik z = ( x, y)

  Z = X

• Vi

  | z |

X ,Y dan z

X ,Y maka jarak antara z dan z

  = Akibat dari definisi tersebut , jika z 1 = (

  1 1 ) 2 (

  2 2 )

  1

  2 adalah :

  2

  2

  z x x y y

  − ( − ) +( − ) |z

  1 2 |=

  1

  2

  1

  2

  √

  Contoh: 1. |7| = 7 2. |0| = 0 3. |-5| = - (-5) = 5

  b. Sifat-sifat Nilai Mutlak

• z
• ¿

  ) +(

  

¿

z∨

  | =

  2 − 0)+(0+0)

  )

  | ( zw+ 0

  ¿ z∨ ¿ ¿ w∨ ¿ ¿ ¿

  | =

  0.0)

  0 . w

  | ( zw +0 )

  ( − ) ) + (

  ) + ( w

  ( w . w

  | ( z . w )

  ¿ ¿ w∨ ¿ ¿ ¿

  = ¿ z∨

  w−0) |

  (

  w+0)

  ¿ ¿ w∨ ¿ ¿ ¿

  (w

  w+0) .

  

¿ ¿

¿ | z

  ¿ ¿ w∨ ¿ ¿ ¿

  = ¿ z∨

  ¿ w∨ ¿ ¿ ¿ | z w |

  = ¿ z∨ ¿

  ) |

  ( w

  ) w

  ( w

  ¿ ¿ w∨

  2

  ¿ z∨

  | =

  2 )

  (w

  ( zw )

  ¿ ¿ ¿ |

  

¿

¿

w∨

  ¿ z∨

  | =

  (

  (

  b. |z – w| = |w – z| pembuktian |(z + 0) – (w + 0)| = |w – z| |(z – w) + (0 + 0)| = |w – z| |(z – w) + 0| = |w – z| | -(- z + w)| = |w – z| | -(w – z)| = |w – z|

  z

  ¿ z ¿ ^{´ z} ¿ ¿ 6.

  1 2 =´z /

  2 = z ´z , jadi jika z ≠ 0,

  2 = ¿ z∨ ¿

  ¿ z∨ ¿

  2 4. |z 1 | - |z 2 | = |z 1 - z 2 | 5.

  z

  1

  2 =

  w∨ ¿

  z

  1

  z

  2. |z 1 | . |z 2 | = |z 1 . z 2 | 3.

  2 |

  1

  2 | = |z

  1 | + |z

  1. |z

  | z +w | ≤ | z |

  7. ¿ 8.

  z +0)

  |

  (

  |

  ¿ ¿ w∨ ¿ ¿

¿

  = ¿ z∨

  w+0) |

  (

  z +0)

  (

  , w ≠ 0 pembuktian

  | z |

  ¿ ¿ w∨ ¿ ¿ ¿

  ¿ z∨

  =

  | z w |

  Syarat fungsi identitas: z + 0 = 0 + z = z Perhatikan pembuktian identitas berikut a.

  √ ¿ ¿

  ||z 1 - z 2 | =

  ¿

  − |w| ≤∨z +w∨

• ( z . 0 )
>( 0 . w( 0 .0)
• ( 0+0) (w
• 0)

  |w – z| = |w – z|

  c. |z . w| = |z| |w| Pembuktian |(z + 0) (w + 0)| = |z| . |w| |(z . w) + (z . 0) + (0 . w) + (0 . 0)| = |z| . |w| |(zw) + (0) + (0) + (0)| = |z| . |w| |(zw) + 0| = |z| . |w| |(z . w)| = |z| . |w| |z (w)| = |z| . |w| |z . w| = |z| |w|

  d. |z| - |w| ≤ |z + w| pembuktian |z| - |w| ≤ |(z + 0) + (w + 0)| |z| - |w| ≤ |(z + 0) - (w - 0)| |z| - |w| ≤ |((z + 0)(1))| - |((0 – w) . (1))| |z| - |w| ≤ |(z + 0)| - |(0 – w)| |z| - |w| ≤ |(z + 0)| - |- (0 – w)| |z| - |w| ≤ |(z + 0)| - |(- 0 – w)| |z| - |w| ≤ |z| - |w|

C. Bidang Kompleks

  ( x , y )

  Bilangan kompleks merupakan pasangan berurut , sehingga secara

  

( x , y )

  geometri dapat disajikan sebagai titik pada bidang kompleks (bidang xy), dengan sumbu x (sumbu riil) dan sumbu y (sumbu imajinair). Selain itu, bilangan kompleks

  z=x+iy= ( x , y )

  juga dapat disajikan sebagai vektor dalam bidang kompleks dengan

  x , y ( ) titik pangkal pada titik asal dan ujung vektor merupakan titik .

  y (sumbu imajiner)

  

z=( x , y)=x+iy

  P x (sumbu riil)

Gambar 1.1 Bidang kompleks

  Pada gambar 1 terlihat suatu titik P yang merupakan representasi suatu bilangan komplek z = (x, y) = x + iy dengan koordinat x, y. Bidang yang merupakan representasi bilangan kompleks tersebut sebagai bidang kompleks. Operasi penjumlahan dan operasi pengurangan dapat diperlihatkan dengan menggunakan bidang kompleks, seperti terlihat pada gambar 1.2 dan gambar 1.3. y (sumbu imajiner)

  P z1 + z2 z

  2 z

  1 x (sumbu riil)

Gambar 1.2 penjumlahan dari dua buah bidang kompleks

  y (sumbu imajiner)

• Z
² Z ^1- Z ² Gambar 1.3 Pengurangan dari dua buah bilangan kom
• z

  1 z

  2 D. Bilangan Konjugat (sekawan) Kompleks

  z ¹

  Contoh : Selesaikan operasi berikut dengan menggunakan bidang kartesius! z

  1 = 4 +5 i

  z

  2 =

  3+2 i Penyelesaian : z

  1

  2

  z

a. Definisi Modulus dan Bilangan Sekawan Kompleks

• y
• y

  Bilangan kompleks sekawan dari

  2

  1 = x

  1

  1

  dan

  z

  2 = x

  2

  Misalkan

  . Jarak antara

  z

  1

  dan

  z

  2

  didefinisikan

  z

  menyatakan jarak antara titik

  ( x , y ) dan titik asal.

  =

  z=x+iy

  didefinisikan sebagai bilangan riil non negatif

  √ x

  2

  2

  dan ditulis sebagai. Modulus z =

  | z|

  √ x

  Penyajian bilangan kompleks sebagai vektor dapat digunakan untuk mengembangkan konsep nilai mutlak bilangan riil pada bilangan kompleks. Modulus (nilai mutlak)

  2

  2 .

  z=x+iy

  didefinisikan sebagai bilangan kompleks

  ¯z=x−iy .

  Secara geometri,

  | z|

• iy

• + iy

  2

  2 | − |= − − z z x y

  1

  2

  1 2 +( y

  1

  2 (x ) ) √ .

  | z−z |= R

  Selanjutnya, persamaan menyatakan bilangan kompleks z yang

  z bersesuaian dengan titik-titik pada lingkaran dengan pusat dan jari-jari R.

  Contoh:

  2

  2 | 3−4i |= 3 +(− 4) =

  5 √ a. .

  = ( ) | z+3−3i|=2 z 3,−3

  b. menyatakan lingkaran dengan pusat dan jari-jari

  R=2 . z=3−4 i

  ¯z=3+4 i c. Jika maka .

b. Sifat-sifat Modulus dan Bilangan Kompleks Sekawan Sifat-sifat modulus dan bilangan kompleks sekawan yaitu sebagai berikut.

  a. |z 1 z 2 | = |z 1 | |z 2 |

  b. Re |z| ≤ |Re (z)| ≤ |z|

  c. Im |z| ≤ |Im (z)| ≤ |z|

  z

  1 ¿

  ¿ z ∨ ¿

  d. =

  1

  z ¿ ∨ ¿ ¿ z

  2

  2

  | |

  e. ´z=z

  f. |´z∨ ¿ ∨ z∨ ¿ ´

  z z z z

  g. = ´ + ´ +

  1

  2

  1

  2

  z − ´ z = ´ z − ´ z h.

  1

  2

  1

  2 ´

  z . z = ´ z . ´z i.

  1

  2

  1

  2 ´

  z z ´

  1

  1 j.

  =

  z z ´ (

  2 )

  2

  z + ´z z −´z

  k. ℜ ( z ) = ( z ) = 2 , ℑ

  2

  2 l. z´z = |z| m. pertidaksamaan segitiga : | z 1 + z 2 |≤ |z 1 | + |z 2 | n. | z + z |≥ ¿

  1

  2 o. | z - z |≥ ¿

  1

  2 p. | z 1 + z 2 +…+ z n | ≤|z 1 | + |z 2 | + …+ |z n | Contoh :

  z = 3−5i, z = 5−2i =−

  3

  1

2 Jika , dan z 2, maka :

  ( ) ( )

  − z = 6−10 i − 5−2 i — 6=7−8 i

  a. 2 z

  1

  2 − z − 3 z = ( 6−10 i ) ( 1+2i ) = 26+2i

  1 (

  2 3 )

  b. 2 z

DAFTAR PUSTAKA

  Edy, Ibnu. 2010. Bilangan Kompleks (online). Tersedia pada

   Di akses pada tanggal 27 Februari 2016.

  Muchsin, Ismail. 2011. Bilangan Kompleks (online). Tersedia pada

  iakses tanggal 29 Februari 2016.

  Prijono, Agus & Hasugian, Jimmy M. 2006. Menguasai Analisis Kompleks Dalam

  Matematika Teknik. Bandung : Rekayasa Sains Bandung

  Roihanah. 2009. Diktat Analisis Kompleks. Palembang : Universitas PGRI Palembang