2015 feb Sigma fshod

Notasi Sigma
Fadjar Shadiq, M.App.Sc
(fadjar_p3g@yahoo.com & www.fadjarp3g.wordpress.com)

Notasi sigma memang jarang dijumpai dalam kehidupan sehari-hari, tetapi
notasi tersebut akan banyak dijumpai pada bagian matematika yang lain,
paling sering ditemui di Statistika. Jika Anda mempelajari Statistika maka
Anda akan menjumpai banyak rumus-rumus yang digunakan memakai
lambang notasi sigma; misalnya rumus mean, simpangan baku, ragam,
korelasi, dan lain-lain. Di Kalkulus, pada waktu membicarakan luas daerah
yang dibatasi oleh kurva dan sumbu-sumbu koordinat, Anda akan menemui
Jumlahan Riemann yang menggunakan notasi sigma untuk menyingkat
penjumlahan yang relatif banyak. Ketika mempelajari Kombinatorik, Anda
akan menemui bentuk notasi sigma dalam koefisien binomial.
Notasi Sigma “”
Matematikawan akan mencari cara untuk menyingkat atau menyederhanakan
penulisan. Daripada menulis 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 matematikawan lalu
mengenalkan notasi 6  5 yang lebih singkat. Daripada menulis 5  5  5  5 
5  5 matematikawan lalu mengenalkan notasi

yang lebih singkat.

Daripada menulis 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 matematikawan lalu mengenalkan
n 6

notasi

∑(2i  1).

yang lebih singkat. Jelaslah bahwa notasi sigma “”

i 1

digunakan untuk menyingkat penjumlahan berulang yang memiliki beberapa
kesamaan dan panjang.
Simbol “” (dibaca “sigma”) adalah notasi yang
merupakan huruf kapital (huruf besar) Yunani
untuk “S”. Huruf “S” sendiri merupakan huruf
1

awal kata “sum” yang berarti “jumlah”. Dengan demikian, jelas kiranya bahwa

notasi  yang yang diperkenalkan pertama kali oleh Leonhard Euler pada
tahun 1755 ini berarti “jumlah dari”. Notasi

n 6

∑(2i  1)

dibaca “sigma dari 2i+1

i 1

untuk i=1 sampai dengan i=6.” Dengan demikian jelaslah bahwa notasi
n 6

∑(2i  1)

berarti (21 + 1) + (22 + 1) + (23 + 1) + (24 + 1) + (25 + 1) + (26 +

i 1

1). Sehingga jika disajikan dalam formula matematika menjadi
n 6

∑(2i  1)

 (2  1  1)  (2  2  1)  (2  3  1)  (2  4  1)  (2  5  1)  (2  6  1)

i 1

 3  5  7  9  11  13

Perhatikan notasi yang di bawah dan di atas, yaitu i = 1 dan n= 6.
n

Contoh lain adalah

∑X

i

 X1 + X2 + X3 + … + Xn dan

n

∑X Y
i

i

 X1Y1 + X2Y2 +

i 1

i 1

X3Y3+ … + XnYn.
Meskipun demikian banyak siswa yang lalu mengalami kesulitan ketika
mempelajari matematika. Salah satunya karena proses penyederhanaan tadi.
Contohnya,

 (x  
n

para

guru

dan

siswa

akan

mengalami

kesulitan

bahwa:

( x)2

)   x 2  n

x 2

Tiga Teorema Dasar
Berdasar penjelasan di atas, dapat disimpulkan bahwa:

n

∑5X

i

 5X1 + 5X2 + 5X3 + … + 5Xn

i 1

= 5 (X1 + X2 + X3 + … + Xn)

2

n

= 5 Xi
i 1
n

∑5 = 5 + 5 + 5 + 5 + … + 5

….. sebanyak n suku

i 1

= 5n

Berdasar dua hal di atas, akan mudah difahami pembuktian yang berkait
dengan notasi sigma berikut ini, paling tidak ada tiga teorema penting yang
harus dikuasai Bapak dan Ibu Guru Matematika, yaitu:
n

1.

∑cX

n

i

 c ∑X i

i 1

i 1
n

Bukti:

 cX

i

 cX1 + cX2 + cX3 + … + cXn

i 1

= c (X1 + X2 + X3 + … + Xn)

N

= c Xi
i 1
Teorema 1 di atas menunjukkan bahwa bilangan konstan c dapat
dikeluarkan dari tanda sigma.

n

2.

∑c  nc
i1

n

Bukti:

c=c+c+c+c+…+c

….. sebanyak n suku

i 1

= nc
Teorema 2 di atas menunjukkan bahwa jumlah (sigma) dari suatu
konstanta sama dengan konstanta tersebut dikalikan n.

n

3.

∑(X
i 1

i

n

n

i 1

i 1

 Yi )  ∑X i ∑Yi
3

n

∑(X

i

 Yi )  (X 1  Y1 )  (X 2  Y2 )  (X 3  Y3 )  . . .  (X n  Yn )

i 1

Bukti:



n

n

∑X ∑Y
i

i

i 1

i 1

Teorema 3 di atas menunjukkan bahwa penjumlahan (sigma) dari jumlah
dua peubah atau lebih sama dengan penjumlahan dari sigma masingmasing peubahnya.

Beberapa contoh di atas menunjukkan bahwa pembelajaran matematika
hendaknya dimulai dari hal-hal yang mudah, ke hal-hal yang sedang, dan
diakhiri dengan hal-hal yang sulit. Di samping itu, pembelajan matematika
hendaknya dimulai dari hal-hal yang sederhana, ke hal-hal yang menengah,
dan diakhiri dengan hal-hal yang kompleks. Untuk melatih keterampilan
Bapak dan Ibu Guru Matematika, berikut ini adalah beberapa soal yang
berkait dengan notasi sigma. Cobalah untuk memecahkannya secara mandiri
lebih dahulu. Jika mengalami kesulitan, cobalah untuk menanyakannya ke
teman guru lain di sekolah maupun MGMP, Dosen, maupun Widyaiswara.

Untuk

memperkuat

pemahaman,

beberapa

latihan

berikut

dapat

dikerjakan

1. Buktikan.
n

n

i 1

i 1

n

a. .  (X i  Yi )(X i  Yi )   X i  Yi
n

b.

 (X
i 1

n

i

2

i 1

n

 c)2   X i  2c X i  nc
i 1

2

2

2

i 1

4

2. Tentukan pernyataan yang benar dan pernyataan yang salah di bawah ini.
n

a.(  X i ) 2 
i 1

n

X

2
i

i 1

n

n

b.  (X i  c) (X i  c) 

X

i 1

n

n

i 1

i 1

 nc 2

i 1

n

c.  (X i Yi )   X i

Y

i

i 1

n

n

2
i

n

n

d.  (X i  Yi ) 2   X i  2 X i Yi 
i 1

i 1

n

3. Jika

2



im

Y

2

i

i 1

i 1

n

∑(2 + x

x i  4 , nyatakan bentuk

k

) dalam m dan n.

k =m

4. Buktikan :

 (x  

( x)2
)   x 2  n

x 2

n

Petunjuk
Jika Anda mengalami kesulitan, untuk memecahkan masalah di atas, cobalah
untuk menggunakan beberapa petunjuk ini.
1. Mulai

dari

yang

n

mudah.

n

. ∑(X i  Yi )(X i

Yi )  ∑X i

i 1

i 1

Daripada

∑Y

2

i

, mulailah dengan mempelajari notasi yang

i 1
n 3

n

dari

2

yang
n

i 1

sederhana.
n

∑Y

i 1

i 1

2

i 1

2

i 1

Daripada

menggunakan

notasi

n

∑(X i  Yi ) 2  ∑X i 2∑X i Yi 
i 1

n 3

∑(X i  Yi )(X i - Yi )  ∑X i -∑Yi
i 1

2. Mulai

notasi

n

2

n 3

lebih mudah seperti

menggunakan

i

2

, mulailah dengan mempelajari notasi

5

n

yang lebih sederhana seperti

∑(X

i

 Yi ) 2 Misalnya dengan mempelajari

i 1
n

atau mengutak atik bentuk

∑(X

i

 Yi ) 2

i 1

6