DERET TAK HINGGA INFITITE SERIES (3)
MATEMATIKA II
DERET TAK HINGGA
(INFITITE SERIES)
sugengpb.lecture.ub.ac.id
ananda.lecture.ub.ac.id
BARISAN
¡ Barisan merupakan kumpulan suatu bilangan (atau bentuk
aljabar) yang disusun sehingga membentuk suku-suku yang
dipisahkan dengan tanda koma dan memiliki pola tertentu.
¡ Bentuknya disusun sebagai berikut :
u1,u2,u3,u4,u5,u6,u7,....
¡ Keterangan :
u 1 artinya suku ke-1 (suku pertama)
u 2 artinya suku ke-2 (suku kedua)
dan seterusnya....
CONTOH BARISAN
¡ 1). Barisan bilangan ganjil : 1, 3, 5, 7, ....
Keterangan :
- suku ke-1 (suku pertama) adalah 1 (u 1 =1),
- suku ke-2 (suku kedua) adalah 3 (u 2 =3),
- suku ke-3 (suku ketiga) adalah 5 (u 3 =5),
- dan seterusnya ....
2). Barisan bilangan genap : 2, 4, 6, 8, ....
3). Barisan sebarang : 1, 5, 3, -2, 5, 7, ...
BARISAN
BARISAN
ARITMETIKA
Beda “b”
BARISAN
GEOMETRI
Rasio “r”
1. BARISAN ARITMETIKA
¡ Barisan Aritmetika merupakan suatu barisan yang memiliki
selisih yang sama antara dua suku-suku yang berdekatan.
¡ Nilai selisih yang sama itu dinamakan “bedanya” yang
disimbulkan dengan huruf b .
¡ Misal barisannya : u 1 ,u 2 ,u 3 ,u 4 ,u 5 ,u 6 ,u 7 ,....
Cara menghitung bedanya (b) adalah
b=u 2 −u 1 =u 3 −u 2 =u 4 −u 3 =.....=u n −u n − 1
BARISAN ARITMETIKA (2)
¡ Adapun rumus suku ke-n nya adalah u n =a+(n−1)b
¡ Dengan: a = suku pertamanya (u 1 ),
b = bedanya
u n = suku ke-n
CONTOH BARISAN ARITMETIKA
¡ 1). Dari barisan berikut ini, manakah yang merupakan barisan
aritmetika?
a). 1, 3, 5, 7, .....
b). 2, 5, 8, 11, 14, ....
c). 1, 2, 5, 7, 8, ....
d). 3, 5, 6, 2, 12, ....
e). 4, 2, 0, -2, -4, ....
BARISAN DAN DERET
Ø Deret dibentuk oleh jumlah dari suku-suku suatu barisan.
Ø Contoh:
¡ (a) 1, 3, 5, 7, …… (barisan)
¡ (b) 1 + 3 + 5 + 7 + …… (deret)
Ø Suku-suku suatu deret sbb:
§ u 1 (suku pertama), u 2 (suku kedua), u 3 (suku ketiga), dst.
§
u r (suku ke-r), u r + 1 (suku ke-(r+1)), dst.
§ S n : jumlah dari n suku pertama.
Ø Deret Aritmetik dan Deret Geometrik ….???
1A.DERET ARITMETIKA
¡ D eret aritmetika merupakan jumlahan dari
suku-suku pada barisan aritmetika.
¡ J umlahan yang dimaksud adalah penjumlahan
untuk beberapa suku berhingga (n suku
pertama).
¡ S imbol yang digunakan adalah s n yang artinya
jumlah n suku pertama.
1A.DERET ARITMETIKA
¡ Rumus Umum:
∞
∑a
n
= a + (a + b ) + (a + 2b ) + (a + 3b ) + .....
n =1
Ø Dimana:
§ a = suku pertama
§ b = beda
§ Suku ke-n : a + (n-1) b
§ Jumlah dari n suku pertama : �↓� =�/2 (2�+(�−1)�)
DERET ARITMETIKA (2)
¡ Bagaimana kalau yang dijumlahkan sukunya banyak
sekali, maka kita akan menggunakan rumusnya
langsung.
DERET ARITMETIKA (3)
¡ Berikut rumus jumlah n suku pertama berdasarkan :
¡ Ketiga rumus s n di atas memberikan hasil yang sama
CONTOH
2. BARISAN GEOMETRI
¡ B arisan Geometri merupakan suatu barisan
yang memiliki perbandingan yang sama
antara dua suku-suku yang berdekatan.
¡ N ilai perbandingan yang sama itu dinamakan
rasionya yang disimbulkan dengan huruf (r) .
¡ M isal barisannya : u 1 ,u 2 ,u 3 ,u 4 ,u 5 ,u 6 ,u 7 ,....
¡ C ara menghitung rasio (r) adalah:
� = � ↓ 2 / � ↓ 1 = � ↓ 3 / � ↓ 2 = � ↓ 4 / � ↓ 3 =… = � ↓� / � ↓� −1
2. BARISAN GEOMETRI
¡ Adapun rumus suku ke-n nya adalah u n = ar n − 1
dengan a = suku pertamanya (u 1 ), r = rasionya, dan u n = suku
ke-n
¡ Dari rumus suku ke-n nya, dapat disusun barisan geometrinya:
CONTOH
¡ 1). Dari barisan berikut ini, manakah yang
merupakan barisan Geometri?
a). 1, 2, 4, 8, .....
b). 1/3, 1, 3, 9, 27, ....
c). 1, 2, 6, 8, 16, ....
d). 3, 4, 8, 2, 12, ....
e). 16, 8, 4, 2, 1, ....
DERET GEOMETRI
¡ D eret geometri merupakan jumlahan dari
suku-suku pada barisan geometri.
¡ J umlahan yang dimaksud adalah penjumlahan
untuk beberapa suku berhingga (n suku
pertama).
¡ S imbol yang digunakan adalah s n yang artinya
jumlah n suku pertama.
DERET GEOMETRI
¡ B agaimana kalau yang dijumlahkan sukunya
banyak sekali, maka kita akan menggunakan
rumusnya langsung
DERET GEOMETRI
¡ Berikut rumus jumlah n suku pertama deret
geometri.
¡ Sebenarnya kedua rumus s n di atas nilainya sama
saja untuk semua jenis rasionya, sehingga cukup
diingat salah satu saja.
CONTOH
BARISAN TAK HINGGA
¡ Secara umum, rumus eksplisit barisan dapat ditulis:
{a }
∞
n n =1
¡ Contoh:
= a1 , a2 , a3 ,.....
3. DERET ARITMATIKA TAK HINGGA
¡ Deret aritmatika yang penjumlahannya sampai suku ke
tak hingga.
∞
¡ Rumus Umum:
a = a + (a + b ) + (a + 2b ) + (a + 3b ) + .....
∑
n
n =1
¡ Contoh: Diketahui suatu deret 1 + 3 + 5 + 7 + …….
§
a = 1, b = 2
n
n
S n = [2a + (n − 1).b] = [2 + 2n − 2]= n 2
2
2
§ Jika n besar maka nilai Sn akan sangat besar.
§ Jika n à ∞ maka Sn à ∞ (bukan merupakan nilai
numerik yang berhingga.
4. DERET GEOMETRI TAK HINGGA
¡ Deret geometri yang penjumlahannya sampai
suku ke tak hingga.
¡ Jumlah deretnya mengikuti deret geometri
¡ Misalkan ada deret u 1 +u 2 +u 3 +u 4 ......... yang
dijumlahkan sampai tak hingga yang disimbolkan
dengan s ∞ . Hasil jumlah tak hingganya (s ∞ )
tergantung dari nilai rasionya (r).
4. DERET GEOMETRI TAK HINGGA
¡ Rumus Umum:
n
2
3
a
=
a
+
ar
+
ar
+
ar
+ .....
∑ n
n =1
Ø Dimana:
§ r = rasio (memilih salah satu suku dan dibagi dengan
suku sebelumnya)
Suku ke n = ar n −1
(
n
1
−
a
r
§ Jumlah dari n suku pertama : S =
n
1− r
)
4. DERET GEOMETRI TAK HINGGA
¡ Rumus Umum:
∞
2
3
a
=
a
+
ar
+
ar
+
ar
+ .....
∑ n
n =1
S ∞ = a + ar + ar 2 + ar 3 + .....
(
)
a 1− r n ⎛ a ⎞
n
= lim
=⎜
⎟ lim 1 − r
1− r
⎝ 1 − r ⎠ n →∞
n →∞
⎛ a ⎞⎛
n⎞
r
−
=⎜
1
⎟ ⎜ lim ⎟
r
−
1
⎝
⎠⎝
n →∞
⎠
⎛ a ⎞
=⎜
⎟ (1 − 0 ), jika r < 1
⎝1− r ⎠
⎛ a ⎞
=⎜
⎟ , jika r < 1
⎝1− r ⎠
(
)
a).Jika r < 1 maka konvergen
b).Jika r > 1 maka divergen
KONVERGEN DAN DIVERGEN
¡ Pada penjumlahan deret geometri tak hingga,
ada dua istilah yaitu :
§ 1 ). Konvergen (deret konvergen)
syaratnya −1
DERET TAK HINGGA
(INFITITE SERIES)
sugengpb.lecture.ub.ac.id
ananda.lecture.ub.ac.id
BARISAN
¡ Barisan merupakan kumpulan suatu bilangan (atau bentuk
aljabar) yang disusun sehingga membentuk suku-suku yang
dipisahkan dengan tanda koma dan memiliki pola tertentu.
¡ Bentuknya disusun sebagai berikut :
u1,u2,u3,u4,u5,u6,u7,....
¡ Keterangan :
u 1 artinya suku ke-1 (suku pertama)
u 2 artinya suku ke-2 (suku kedua)
dan seterusnya....
CONTOH BARISAN
¡ 1). Barisan bilangan ganjil : 1, 3, 5, 7, ....
Keterangan :
- suku ke-1 (suku pertama) adalah 1 (u 1 =1),
- suku ke-2 (suku kedua) adalah 3 (u 2 =3),
- suku ke-3 (suku ketiga) adalah 5 (u 3 =5),
- dan seterusnya ....
2). Barisan bilangan genap : 2, 4, 6, 8, ....
3). Barisan sebarang : 1, 5, 3, -2, 5, 7, ...
BARISAN
BARISAN
ARITMETIKA
Beda “b”
BARISAN
GEOMETRI
Rasio “r”
1. BARISAN ARITMETIKA
¡ Barisan Aritmetika merupakan suatu barisan yang memiliki
selisih yang sama antara dua suku-suku yang berdekatan.
¡ Nilai selisih yang sama itu dinamakan “bedanya” yang
disimbulkan dengan huruf b .
¡ Misal barisannya : u 1 ,u 2 ,u 3 ,u 4 ,u 5 ,u 6 ,u 7 ,....
Cara menghitung bedanya (b) adalah
b=u 2 −u 1 =u 3 −u 2 =u 4 −u 3 =.....=u n −u n − 1
BARISAN ARITMETIKA (2)
¡ Adapun rumus suku ke-n nya adalah u n =a+(n−1)b
¡ Dengan: a = suku pertamanya (u 1 ),
b = bedanya
u n = suku ke-n
CONTOH BARISAN ARITMETIKA
¡ 1). Dari barisan berikut ini, manakah yang merupakan barisan
aritmetika?
a). 1, 3, 5, 7, .....
b). 2, 5, 8, 11, 14, ....
c). 1, 2, 5, 7, 8, ....
d). 3, 5, 6, 2, 12, ....
e). 4, 2, 0, -2, -4, ....
BARISAN DAN DERET
Ø Deret dibentuk oleh jumlah dari suku-suku suatu barisan.
Ø Contoh:
¡ (a) 1, 3, 5, 7, …… (barisan)
¡ (b) 1 + 3 + 5 + 7 + …… (deret)
Ø Suku-suku suatu deret sbb:
§ u 1 (suku pertama), u 2 (suku kedua), u 3 (suku ketiga), dst.
§
u r (suku ke-r), u r + 1 (suku ke-(r+1)), dst.
§ S n : jumlah dari n suku pertama.
Ø Deret Aritmetik dan Deret Geometrik ….???
1A.DERET ARITMETIKA
¡ D eret aritmetika merupakan jumlahan dari
suku-suku pada barisan aritmetika.
¡ J umlahan yang dimaksud adalah penjumlahan
untuk beberapa suku berhingga (n suku
pertama).
¡ S imbol yang digunakan adalah s n yang artinya
jumlah n suku pertama.
1A.DERET ARITMETIKA
¡ Rumus Umum:
∞
∑a
n
= a + (a + b ) + (a + 2b ) + (a + 3b ) + .....
n =1
Ø Dimana:
§ a = suku pertama
§ b = beda
§ Suku ke-n : a + (n-1) b
§ Jumlah dari n suku pertama : �↓� =�/2 (2�+(�−1)�)
DERET ARITMETIKA (2)
¡ Bagaimana kalau yang dijumlahkan sukunya banyak
sekali, maka kita akan menggunakan rumusnya
langsung.
DERET ARITMETIKA (3)
¡ Berikut rumus jumlah n suku pertama berdasarkan :
¡ Ketiga rumus s n di atas memberikan hasil yang sama
CONTOH
2. BARISAN GEOMETRI
¡ B arisan Geometri merupakan suatu barisan
yang memiliki perbandingan yang sama
antara dua suku-suku yang berdekatan.
¡ N ilai perbandingan yang sama itu dinamakan
rasionya yang disimbulkan dengan huruf (r) .
¡ M isal barisannya : u 1 ,u 2 ,u 3 ,u 4 ,u 5 ,u 6 ,u 7 ,....
¡ C ara menghitung rasio (r) adalah:
� = � ↓ 2 / � ↓ 1 = � ↓ 3 / � ↓ 2 = � ↓ 4 / � ↓ 3 =… = � ↓� / � ↓� −1
2. BARISAN GEOMETRI
¡ Adapun rumus suku ke-n nya adalah u n = ar n − 1
dengan a = suku pertamanya (u 1 ), r = rasionya, dan u n = suku
ke-n
¡ Dari rumus suku ke-n nya, dapat disusun barisan geometrinya:
CONTOH
¡ 1). Dari barisan berikut ini, manakah yang
merupakan barisan Geometri?
a). 1, 2, 4, 8, .....
b). 1/3, 1, 3, 9, 27, ....
c). 1, 2, 6, 8, 16, ....
d). 3, 4, 8, 2, 12, ....
e). 16, 8, 4, 2, 1, ....
DERET GEOMETRI
¡ D eret geometri merupakan jumlahan dari
suku-suku pada barisan geometri.
¡ J umlahan yang dimaksud adalah penjumlahan
untuk beberapa suku berhingga (n suku
pertama).
¡ S imbol yang digunakan adalah s n yang artinya
jumlah n suku pertama.
DERET GEOMETRI
¡ B agaimana kalau yang dijumlahkan sukunya
banyak sekali, maka kita akan menggunakan
rumusnya langsung
DERET GEOMETRI
¡ Berikut rumus jumlah n suku pertama deret
geometri.
¡ Sebenarnya kedua rumus s n di atas nilainya sama
saja untuk semua jenis rasionya, sehingga cukup
diingat salah satu saja.
CONTOH
BARISAN TAK HINGGA
¡ Secara umum, rumus eksplisit barisan dapat ditulis:
{a }
∞
n n =1
¡ Contoh:
= a1 , a2 , a3 ,.....
3. DERET ARITMATIKA TAK HINGGA
¡ Deret aritmatika yang penjumlahannya sampai suku ke
tak hingga.
∞
¡ Rumus Umum:
a = a + (a + b ) + (a + 2b ) + (a + 3b ) + .....
∑
n
n =1
¡ Contoh: Diketahui suatu deret 1 + 3 + 5 + 7 + …….
§
a = 1, b = 2
n
n
S n = [2a + (n − 1).b] = [2 + 2n − 2]= n 2
2
2
§ Jika n besar maka nilai Sn akan sangat besar.
§ Jika n à ∞ maka Sn à ∞ (bukan merupakan nilai
numerik yang berhingga.
4. DERET GEOMETRI TAK HINGGA
¡ Deret geometri yang penjumlahannya sampai
suku ke tak hingga.
¡ Jumlah deretnya mengikuti deret geometri
¡ Misalkan ada deret u 1 +u 2 +u 3 +u 4 ......... yang
dijumlahkan sampai tak hingga yang disimbolkan
dengan s ∞ . Hasil jumlah tak hingganya (s ∞ )
tergantung dari nilai rasionya (r).
4. DERET GEOMETRI TAK HINGGA
¡ Rumus Umum:
n
2
3
a
=
a
+
ar
+
ar
+
ar
+ .....
∑ n
n =1
Ø Dimana:
§ r = rasio (memilih salah satu suku dan dibagi dengan
suku sebelumnya)
Suku ke n = ar n −1
(
n
1
−
a
r
§ Jumlah dari n suku pertama : S =
n
1− r
)
4. DERET GEOMETRI TAK HINGGA
¡ Rumus Umum:
∞
2
3
a
=
a
+
ar
+
ar
+
ar
+ .....
∑ n
n =1
S ∞ = a + ar + ar 2 + ar 3 + .....
(
)
a 1− r n ⎛ a ⎞
n
= lim
=⎜
⎟ lim 1 − r
1− r
⎝ 1 − r ⎠ n →∞
n →∞
⎛ a ⎞⎛
n⎞
r
−
=⎜
1
⎟ ⎜ lim ⎟
r
−
1
⎝
⎠⎝
n →∞
⎠
⎛ a ⎞
=⎜
⎟ (1 − 0 ), jika r < 1
⎝1− r ⎠
⎛ a ⎞
=⎜
⎟ , jika r < 1
⎝1− r ⎠
(
)
a).Jika r < 1 maka konvergen
b).Jika r > 1 maka divergen
KONVERGEN DAN DIVERGEN
¡ Pada penjumlahan deret geometri tak hingga,
ada dua istilah yaitu :
§ 1 ). Konvergen (deret konvergen)
syaratnya −1