MOMEN, CUMULANTS DAN FUNGSI KARATERISTIK GENERALIZED BETA II DENGANMENGGUNAKAN FUNGSI BETA DAN EKSPANSI DERET MACLAURIN

MOMEN,CUMULANTSDAN FUNGSI KARAKTERISTIK DISTRIBUSI GENERALIZEDBETA II DENGAN MENGGUNAKAN FUNGSI BETA DAN

EXSPANSI DERET MACLAURIN

Oleh

RAHMAWATI EKA HANDAYANI

Skripsi

Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar SARJANA SAINS

Pada

Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG

BANDARLAMPUNG 2014

ABSTRAK

MOMEN,CUMULANTSDAN FUNGSI KARATERISTIKGENERALIZED BETA II DENGAN MENGGUNAKAN FUNGSI BETA DAN EKSPANSI

DERET MACLAURIN

Oleh

RAHMAWATI EKA HANDAYANI

DistribusiGeneralizedBeta II mempunyai empat parameter yaitu (a,b,p,q) dimana a merupakan parameter skala, dan b,p,q merupakan parameter bentuk. Distribusi GeneralizedBeta II merupakan perluasan dari distribusi beta dengan menambah 2 parameter yaitu (a,b). Momen dari distribusi generalized beta II ini didapat menggunakan fungsi pembangkit momen, kemudian momen pertama sampai momen ke-r dari distribusi ini didapat dengan menurunkan hasil pembangkit momen tersebut dari turunan pertama hingga turunan ke-r terhadap t disaat t=0 dan bisa pula menggunakan cara langsung. Setelah didapat momen-momen tersebut maka didapat cumulants untuk mempermudah dalam pencarian karakteristik distribusi tersebut. Fungsi karakteristik dan fungsi pembangkit momen dari disitribusi generalized beta II ini, didapat dengan menggunakan fungsi beta dan dengan ekspansi deret MacLaurin untuk mempermudah dalam pencarian tersebut.

Kata Kunci :Distribusi Generalized Beta II, Fungsi Pembangkit Momen, Cumulants, Fungsi Karakteristik, Fungsi Beta, Ekspansi Deret MacLaurin.

DAFTAR ISI

Halaman I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang ... 1

1.2 Batasan Masalah... 3

1.3 Tujuan Penelitian ... 3

1.4 Manfaat Penelitian ... 4

II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Fungsi Beta ... 5

2.2 DistribusiGeneralizedBeta II ... 5

2.3 Momen ke-r... 6

2.3.1 Fungsi Pembangkit Momen ... 6

2.4 Fungsi Karakteristik ... 7

2.5 Cumulants... 7

2.6 Ekspansi Deret MacLaurin... 9

III. METODOLOGI PENELITIAN 3.1 Waktu dan Tempat Penelitian ... 10

xiii IV. HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1 Fungi Pembangkit Momen (Moment Generating Funtion)……….... 12 4.2 Cumulants... 33 4.3 Fungsi Karakteristik ... 39

V. KESIMPULAN

I.PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Dalam penggunaan statistik terdapat tiga bagian utama yaitu statistik deskriptif, probabilitas dan statistik inferensial. Statistik deskriptif adalah metode yang mengatur, merangkum dan mempresentasikan data dengan cara yang informatif, yang bertujuan untuk menyajikan informasi data sebagai deskripsi fakta dalam bentuk numerik, tabel, grafik atau kurva distribusi, sehingga suatu fakta atau peristiwa dapat secara mudah untuk dipahami dan disimpulkan. Sedangkan statistik inferensial adalah metode yang digunakan untuk mengestimasi sifat populasi berdasarkan pada sampel, yang menggunakan konsep probabilitas untuk membuat perkiraan, prediksi, peramalan, ataupun generalisasi dari suatu objek berdasarkan informasi data yang diambil fakta sebagai populasi atau sampel (Mustafid,2003).

Pada suatu penelitian, terkadang diamati kerakteristik dari sebuah populasi. Beberapa macam ukuran statistik digunakan untuk mengetahui karakteristik dari populasi, misalnya rataan, varians, median dan lain-lain. Pada inferensia statistik, ingin diperoleh kesimpulan mengenai populasi, meskipun tidak praktis untuk mengamati keseluruhan individu yang menyusun populasi atau tidak mungkin jika populasinya tak hingga. Dengan berbagai keterbatasan dan kendala, tidak

2

mungkin mengamati keseluruhan dari elemen populasi, maka dapat dilakukan langkah alternatif yaitu pendugaan populasi dengan menggunakan sampel yang diambil secara acak dari sebuah populasi atau parameter.

Dalam statistik, penentuan suatu model peluang sangat penting untuk menggambarkan perilaku dari sekumpulan obyek pengamatan. Beberapan model telah diperkenalkan untuk mencocokan data tersebut. Untuk memepermudah pencocokan biasanya digunakan model yang di umumkan (generalized). Salah satu pemodelan perumuman yaitu distribusi generalized beta II (GB2). Distribusi GB2 merupakan perluasan dari distribusi beta, dengan menambahkan dua parameter baru yang disebut parameter bentuk (a,b). Distribusigeneralizedbeta II merupakan distribusi yang juga mempunyai karakteristik populasi seperti rataan dan varian.

Dalam statistik, rata-rata dan varian sebenarnya merupakan hal istimewa dari kelompok lain yang disebut momen, dari momen ini pula beberapa ukuran lain dapat diturunkan. Momen dapat dikembangkan sampai momen ke-r. Untuk mencari momen dari distribusi dapat dilakukan dengan dua cara yaitu dengan fungsi pembangkit moment dan pencarian secara langsung.

Adapun dalam teori probabilitas dan statistik, seperangkat kuantitas yang memberikan alternatif momen distribusi dinamakan cumulants. Momen menentukan cumulants, dalam arti bahwa setiap dua distribusi probabilitas yang mempunyai momen identik akan memiliki cumulants identik juga. Dalam beberapa kasus, cumulants lebih sederhana dibandingkan mereka yang menggunakan momen dalam pencarian suatu penduga parameter distribusi.

3

Setiap distribusi peluang mempunyai fungsi karakteristik termasuk distribusi generalized beta II (a,b,p,q). Fungsi karakteristik menyediakan cara alternatif untuk menggambarkan suatu variabel acak. Fungsi karakteristik juga dapat digunakan untuk menemukan cumulants dari suatu veriabel acak dalam distribusi peluang.

1.2 Batasan Masalah

Untuk menduga parameter distribusigeneralized beta II (a,b,p,q) dapat digunakan metode momen. Ide utama dari metode momen adalah menyamakan karakteristik sampel tetentu seperti mean dan varian untuk nilai-nilai yang diharapkan populasi yang berkesesuaian dan kemudian menyelesaikan persamaan yang dihasilkan untuk mendapatkan nilai perkiraan parameter tidak diketahui. Namun dalam penelitian ini penulis hanya dibatasi pada pencarian momen, fungsi karakteristik dancumulantsdari distribusigeneralizedbeta II.

1.3 Tujuan Penelitian

Adapun tujuan dari penelitian ini adalah :

1. Mencari momen dari distribusi generalized beta II (a,b,p,q) dengan menggunakan fungsi pembangkit momen.

2. Mencari cumulantsdan fungsi karakteristik dari distribusigeneralizedbeta II (a,b,p,q).

4

1.4 Manfaat Penelitian

Adapun manfaat dari penelitian ini adalah :

1. Memberikan panduan dan sumbangan pemikiran kepada peneliti lain tentang cara mencari momen dari distribusigeneralizedbeta II (a,b,p,q). 2. Memberikan hasil cumulants dan fungsi karakteristik dari distribusi

II. TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Fungsi Beta

Definisi 2.1

Fungsi beta dinyatakan dengan B( , ) didefinisikan sebagai berikut: Untuk > 0dan > 0, maka :

( , ) = _{(1 + )}

Untuk setiap > 0dan > 0, fungsi beta adalah simetrik: ( , ) = ( , )

(Prasanna Sahoo, 2008)

2.2 DistribusiGeneralizedBeta II

Definisi 2.2

Suatu variabel acak dikatakan memiliki distribusi generalized beta II dengan parameter (a,b,p,q), jika fungsi kepekatannya adalah :

( ) = | |

( , )(1 + ( ) ) ; 0 < <∞ Dimana B(p,q) merupakan Fungsi Beta yang didefinisikan sebagai berikut :

6

( , ) = _{(1 + )}

(James B. McDonald, Yexio J.Xu,1995)

2.3 Momen ke-r

Definisi 2.3

Momen dari peubah acak X dapat didefinisikan sebagai berikut :

′ = E( ) =

( ) ; bila x diskrit ( ) ; bila X kontinu

∞ ∞

Untuk r =1, 2, 3, 4, ….r……

Jika r=1, maka E(X) di sebut momen pertama dari peubah acak X, jika r=2, maka E( ) disebut momen kedua dari peubah acak X dan seterusnya.

(Prasanna Sahoo, 2008)

Selain dapat dicari langsung dari Definisi 2.3, tersedia cara lain, cara ini memerlukan penggunaan fungsi pembangkit momen.

2.3.1 Fungsi Pembangkit Momen

Jika X adalah suatu peubah acak dengan fungsi kepekatan peluanya nya adalah f(x). sebuah fungsi M: R→ , maka fungsi pembangkit momen didefinisikan dengan :

7

( ) = ( ) =

( ) ; bila x diskret ( ) ; bila x kontinu

∞ ∞

(Prasanna Sahoo, 2008)

2.4 Fungsi Karakteristik

Definisi 2.4

Fungsi karakteristik ( ) dari peubah acak X, didefinisikan sebagai nilai ekspetasi dari , dimana i adalah bagian imaginer dan t ∈ dapat dinyatakan sebagai berikut: : → ( ) = = ( ) = ( ) ∞ ∞ ∞ ∞

dimana ( ) = = {cos( ) + sin( )

= cos( ) + sin( )

Dan merupakan fungsi kumulatif dari distribusi X, sedangkan merupakan fungsi kepakatan peluang dari distribusi X.

(Edward J. Dudewicz & Satya N.Mishra, 1995)

2.5 Cumulants

Definisi 2.5

8

ln ( ) ≡ ( )

! Dengan menggunakan deret MacLaurin maka didapat :

ln ( ) = ( ) + 1

2!( ) − +

1 3!( )

(2 − 3 + )+

!( ) (− 6 + 12 − 3 − 4 +

) +

!( ) 24 − 60 + 20 − 10 +

5 6 − + +

Dimana momen baku, maka dapat ditulis kembali sebagai ; =

= −

= 2 − 3 +

= − 6 + 12 − 3 − 4 +

= 24 − 60 + 20 − 10 + 5 6 − +

. . .

= − − 1

− 1

9

2.6 Ekspansi Deret MacLaurin

Pada penelitian ini, deret MacLaurin digunakan untuk menyelesaikan fungsi dan dalam menentukan fungsi pembangkit momen dan fungsi karakteristik dari distribusigeneralizedbeta II.

Teorema Deret MacLaurin

Misalkan f adalah fungsi di mana turunan ke (n+1). ( )(x), ada untuk setiap x pada suatu selang terbuka l yang mengandung .Jadi, untuk setiap x di dalam l berlaku : ( ) = ( ) + ( )( − ) + ( )

! ( − ) + (2.1)

Persamaan (2.1) disebut sebagai ekspansi deret Taylor bagi fungsi ( ). Jika = 0,maka bentuk deret pada persamaan (2.1) menjadi :

( ) = ( ) + ( )( − ) + ( )

! ( − ) + (2.2)

Dan bentuk deret pada persamaan (2.2) disebut sebagai ekspansi deret MacLaurin bagi fungsi ( ).

Dengan memuat persamaan (2.2) maka fungsi ( ) = dapat diuraikan menjadi bentuk deret sebagai berikut:

( ) = (0) = ( ) ₌₁

′( ) = ′(0) = ( ) =

′′( ) = ′′(0) = ( ) =

Sehigga diperoleh:

= 1 + +

2! + =

( )

! ………..

III. METODOLOGI PENELITIAN

3.1 Waktu dan Tempat Penilitian

Penelitian ini dilakukan pada semester ganjil tahun akademik 2013/2014, bertempat di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.

3.2 Metode Penelitian

Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah studi pustaka yang menggunakan buku-buku penunjang, skripsi dan jurnal yang berhubungan dengan skripsi ini. Adapun langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah:

1. Mencari momen dari distribusi generalized beta II (a,b,p,q). Untuk mencari momen dapat dilakukan dengan dua cara yaitu dengan menggunakan fungsi pembangkit momen dan pencarian secara langsung. Disini akan digunakan fungsi pembangkit momen untuk mencari momen dari distribusi generalized beta II (a,b,p,q).

2. Mencari cumulants dari distribusi generalized beta II (a,b,p,q).Dalam mencari cumulants,diperlukan momen pertama (E(X)), momen kedua( ( )), momen ketiga( ( ))sampai momen ke-r( ( ))dari distribusigeneralizedbeta II.

11

Dalam mencari momen-momen tersebut dilakukan dengan dua cara, yaitu dengan menurunkan hasil dari fungsi pembangkit momen disaat t=0 dan pencarian momen secara langsung dan dari distribusigeneralizedbeta II.

V. KESIMPULAN

Adapun kesimpulan yang dapat diambil dari penelitian ini adalah sebagai berikut:

1. Fungsi Pembangkit Momen dari distribusigeneralizedbeta II adalah :

✁

✂ ✄

! ( , )

2. Momen ke-r dapat dihasilkan dengan dua cara yaitu dari turunan ke-r hasil fungsi pembangkit momen terhadap t pada saat t=0, atau dengan menggunakan cara langsung.Berikut merupakan momen ke-r dari distribusi generalized beta II :

+ , ( , )

3. Cumulantske-r dari distribusigeneralizedbeta II adalah :

( + , )

( , )

1 1

( + , )

( , )

4. Fungsi Karakteristik dari distribusigeneralizedbeta II adalah :

( ) + ,

DAFTAR PUSTAKA

Abromowits,M. and Stegun, I.A.1972.Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graps, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover.Diakses dari http://mathworld.wolfram.com/Cumulant.html pada tanggal 27 Oktober 2013.

Dudewicz, Edward J dan Stya N. Mishra.1995.Modern Mathematical Statistics.Syracuse,New York.

McDonald, James B., Yexiao J. Xu.1995.A Generalized of the Beta Distribution with Application. Journal of Econometrics 66.

Mustafid.2003.Statistika Elementer. Universitas Diponegoro:Semarang.

Purcell,E.J., Varberg, D., dan Rigdon, S.E.2003.Kalkulus Jilid 2 Edisi Kedelapan. Erlangga,Jakarta.

Sahoo,Prasanna.2008.Probability and Mathematical Statistics.Department of Mathematics University of Louisville, KY 40292 USA.

ln ( ) ≡ ( ) ! Dengan menggunakan deret MacLaurin maka didapat :

ln ( ) = ( ) + 1

2!( ) − +

1 3!( )

(2 − 3 + )+

!( ) (− 6 + 12 − 3 − 4 +

) +

!( ) 24 − 60 + 20 − 10 +

5 6 − + +

Dimana momen baku, maka dapat ditulis kembali sebagai ; =

= −

= 2 − 3 +

= − 6 + 12 − 3 − 4 +

= 24 − 60 + 20 − 10 + 5 6 − +

. . .

= − − 1

− 1

9

2.6 Ekspansi Deret MacLaurin

Pada penelitian ini, deret MacLaurin digunakan untuk menyelesaikan fungsi dan dalam menentukan fungsi pembangkit momen dan fungsi karakteristik dari distribusigeneralizedbeta II.

Teorema Deret MacLaurin

Misalkan f adalah fungsi di mana turunan ke (n+1). ( )(x), ada untuk setiap x

pada suatu selang terbuka l yang mengandung .Jadi, untuk setiap x di dalam l berlaku : ( ) = ( ) + ( )( − ) + ( )

! ( − ) + (2.1)

Persamaan (2.1) disebut sebagai ekspansi deret Taylor bagi fungsi ( ). Jika = 0,maka bentuk deret pada persamaan (2.1) menjadi :

( ) = ( ) + ( )( − ) + ( )

! ( − ) + (2.2)

Dan bentuk deret pada persamaan (2.2) disebut sebagai ekspansi deret MacLaurin bagi fungsi ( ).

Dengan memuat persamaan (2.2) maka fungsi ( ) = dapat diuraikan menjadi bentuk deret sebagai berikut:

( ) = (0) = ( ) ₌₁

′( ) = ′(0) = ( ) =

′′( ) = ′′(0) = ( ) =

Sehigga diperoleh:

= 1 + +

2! + =

( )

! ………..

3.1 Waktu dan Tempat Penilitian

Penelitian ini dilakukan pada semester ganjil tahun akademik 2013/2014, bertempat di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.

3.2 Metode Penelitian

Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah studi pustaka yang menggunakan buku-buku penunjang, skripsi dan jurnal yang berhubungan dengan skripsi ini. Adapun langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah:

1. Mencari momen dari distribusi generalized beta II (a,b,p,q). Untuk mencari momen dapat dilakukan dengan dua cara yaitu dengan menggunakan fungsi pembangkit momen dan pencarian secara langsung. Disini akan digunakan fungsi pembangkit momen untuk mencari momen dari distribusi generalized beta II (a,b,p,q).

2. Mencari cumulants dari distribusi generalized beta II (a,b,p,q).Dalam mencari cumulants,diperlukan momen pertama (E(X)), momen kedua( ( )), momen ketiga( ( ))sampai momen ke-r( ( ))dari distribusigeneralizedbeta II.

11

Dalam mencari momen-momen tersebut dilakukan dengan dua cara, yaitu dengan menurunkan hasil dari fungsi pembangkit momen disaat t=0 dan pencarian momen secara langsung dan dari distribusigeneralizedbeta II.

Adapun kesimpulan yang dapat diambil dari penelitian ini adalah sebagai berikut:

1. Fungsi Pembangkit Momen dari distribusigeneralizedbeta II adalah :

✁

✂ ✄

! ( , )

2. Momen ke-r dapat dihasilkan dengan dua cara yaitu dari turunan ke-r hasil fungsi pembangkit momen terhadap t pada saat t=0, atau dengan menggunakan cara langsung.Berikut merupakan momen ke-r dari distribusi generalized beta II :

+ , ( , )

3. Cumulantske-r dari distribusigeneralizedbeta II adalah :

( + , )

( , )

1 1

( + , )

( , ) 4. Fungsi Karakteristik dari distribusigeneralizedbeta II adalah :

( ) + ,

DAFTAR PUSTAKA

Abromowits,M. and Stegun, I.A.1972.Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graps, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover.Diakses dari http://mathworld.wolfram.com/Cumulant.html pada tanggal 27 Oktober 2013.

Dudewicz, Edward J dan Stya N. Mishra.1995.Modern Mathematical Statistics.Syracuse,New York.

McDonald, James B., Yexiao J. Xu.1995.A Generalized of the Beta Distribution with Application. Journal of Econometrics 66.

Mustafid.2003.Statistika Elementer. Universitas Diponegoro:Semarang.

Purcell,E.J., Varberg, D., dan Rigdon, S.E.2003.Kalkulus Jilid 2 Edisi Kedelapan. Erlangga,Jakarta.

Sahoo,Prasanna.2008.Probability and Mathematical Statistics.Department of Mathematics University of Louisville, KY 40292 USA.