View of Solusi Polinomial Romanovski pada Analisis Energi dan Fungsi Gelombang Potensial Non Central Rosen Morse Plus Rosen Morse

  

Solusi Polinomial Romanovski pada Analisis Energi dan Fungsi Gelombang

Potensial Non Sentral Rosen Morse Plus Rosen Morse

Cecilia Yanuarief ^[1] _[1]

  

Program Studi Fisika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Sunan Kalijaga Yogyakarta

Jl. Marsda Adisutjipto No. 1, Yogyakarta 55281

Telp : 274-512474, 274-589621 Fax. 274-586117

E-mail : cecilia.yanuarief@uin-suka.ac.id

  

Abstrak – Penelitian ini bertujuan untuk menentukan nilai energi dan fungsi gelombang persamaan Schrödinger

potensial non sentral Rosen Morse plus Rosen Morse. Persamaan Schrödinger diselesaikan menggunakan

metode polinomial Romanovski. Tingkat energi yang diperoleh merupakan fungsi tertutup sedangkan fungsi

gelombang baik polar maupun radial dinyatakan dalam bentuk persamaan polinomial Romanovski. Untuk

menunjukan akurasi hasil penelitian ini, spektrum energi dan fungsi gelombang bagian polar maupun radial

serta grafik rapat probabilitas divisualisasikan dengan pemrograman komputer. Visualisasi fungsi gelombang

radial yang terbentuk mendeskripsikan nilai probabilitas ditemukannya partikel, sedangkan visualisasi fungsi

gelombang polar yang terbentuk mendeskripsikan arah momentum sudut orbital dari sebuah partikel yang

berada dalam pengaruh potensial sistem.

  Kata kunci: non sentral Rosen Morse, polinomial Romanovski.

  PENDAHULUAN

  Mekanika kuantum sudah lama dikenal sebagai ilmu dasar bagi pengkajian gejala dan sifat berbagai sistem mikroskopik. Pemanfaatannya tidak hanya berhasil memperluas dan memperdalam pemahaman peristiwa alami di dalam laboratorium, tetapi juga menghasilkan kemajuan teknologi secara luas, dan mempengaruhi kualitas serta corak hidup manusia secara tidak langsung. Perkembangan mekanika kuantum berakar dari konsep dasar teori kuantum yang meliputi dugaan-dugaan baik secara diskrit maupun ketidakteraturan. Teori kuantum terbukti mampu menjelaskan fenomena kuantum dari sistem makroskopik seperti superkonduktivitas dan superfluiditas yang memiliki potensi aplikasi penting. Proses pembelajaran mekanika kuantum selalu melibatkan persamaan-persamaan yang rumit dan penyelesaiannya membutuhkan analisa dan pemikiran yang tinggi. Contoh masalah yang cukup rumit adalah penyelesaian nilai energi dan fungsi gelombang persamaan Schrödinger [5]. Penelitian tentang penyelesaian nilai energi dan fungsi gelombang persamaan Schrödinger merupakan penelitian yang sangat penting dalam ilmu fisika modern. Berbagai metode penyelesaian persamaan Schrödinger untuk gerak partikel pada potensial-potensial sentral dan non sentral dengan suatu potensial vektor atau suatu potensial skalar terpisahkan telah dikembangkan. Berbagai metode yang telah dikembangkan tersebut diantaranya adalah metode Super Symmetry [3], metode Nikiforov- Uvarov [6], dan metode polinomial Romanovski [1]. Berdasarkan fakta tersebut, maka dilakukanlah penelitian yang bertujuan untuk memecahkan kerumitan dalam menyelesaikan nilai energi dan fungsi gelombang persamaan Schrödinger tersebut dengan cara menggunakan metode polinomial Romanovski. Sebagai pembeda yang menjadi ciri khas penelitian ini adalah potensial persamaan Schrödinger yang digunakan merupakan kombinasi antara dua potensial non sentral yaitu kombinasi antara potensial non sentral Rosen Morse [4] sebagai potensial sistem dan potensial non sentral Rosen Morse sebagai potensial pengganggu, dimana potensial ini merupakan kandidat utama sebagai potensial efektif dalam Quantum Chromodynamic (QCD) [2], sehingga penelitian tentang bagaimana Solusi Polinomial Romanovski pada Analisis Energi dan Fungsi Gelombang Potensial Non Sentral Rosen Morse Plus Rosen Morse menjadi penting untuk dilakukan.

  LANDASAN TEORI ( ) = [− (1 + ) + ], ( )

  Teori Dasar Polinomial Romanovski

  ( ) = (1 + ) . (7) Persamaan umum hypergeometry orde dua dinyatakan sebagai berikut,

  Menentukan tingkat energi dan fungsi ( ) ( )

  ( )

• ( ) ( ) = 0, (1) +

  gelombang dengan polinomial Romanovski

  ( ) = (2a) Potensial yang merupakan kombinasi dari

• ; = + , + potensial non sentral Rosen Morse dengan dengan parameter Romanovski, potensial non sentral Rosen Morse adalah;

  = 1, = 0, = 1, = 2(1 − ), dan

  ( , )

  = , > 0, ( ) = ( ), > , (2b) ℏ ( , ) = −

  Sehingga, persamaan hypergeometry orde dua 2 2 coth 2 − 1 +

  ℏ ( )

  yang dipenuhi oleh polinomial Romanovski, (8)

  − 2 cot , yaitu, dengan > 0.

  ( , )

  ( ) Persamaan Schrödinger untuk persamaan (8)

  (1 + ) adalah,

  ( , )

  ( ) ℏ

  1

  1

• (2 (1 − ) + )
• − sin 2 sin

  −

  1

  ( , )

  { ( − 1) + 2 (1 − )} ( ) = 0. (3) ( , , ) + sin

  ℏ Persamaan Schrödinger dapat direduksi menjadi

• − 2 2 coth 2 − 1 persamaan differensial orde dua yang dinyatakan dalam bentuk persamaan (3) dengan

  ℏ [ ( + 1) csc + melakukan substritusi variabel yang sesuai.

  2 Cara yang digunakan adalah dengan mensubstitusi fungsi gelombang persamaan − 2 cot ] ( , , ) =

  Schrödinger dengan permisalan fungsi gelombang Romanovki, yaitu, ( , , ). (9)

  Dari persamaan (9), diperoleh,

  ( , )

  ( ) = (1 + ) ( ), (4)

  1

  1 dengan, − sin ( )

  ( ) sin

  ( , )

  ( ) = ((1 + ) ( )). (5)

  ( )

  1

  1 ( ) +

  − Persamaan (5) merupakan polynomial

  ( ) sin Romanovski, dengan ( ) merupakan faktor

  [ ( + 1) csc − 2 cot ] = , (10a) bobot yang dapat ditentukan dengan

  1

  menggunakan persamaan differensial Pearson, ( ) + coth − 1

  ( )

  2

  2

  yaitu,

• (10b)

  = ,

  ℏ

  dengan adalah konstanta sparasi dengan nilai (6) ( ) ( ) = ( ) ( ).

  = ( + 1) dan adalah bilangan kuantum orbital, = 0, 1, 2, ….Penyelesaian persamaan gelombang untuk bagian azimuth pada

  Dengan mensubstitusi persamaan (2a) dan (2b) persamaan (10a), yaitu, ke persamaan (6), maka diperoleh,

  ( ) ( )

  = , (10c) ,

  ( ) = exp ∫ dengan adalah konstanta normalisasi dan m = 0, ±1, ±2, ±3, ±4, …

  , ( ) = exp ∫

  = (1 + )

  ( , )

  ∙ _{( )}

  Penyelesaian Fungsi Gelombang Persamaan Schrödinger Bagian Polar

  Dari substitusi persamaan (10c) kepersamaan (10a), diperoleh,

  ( )

  ( ) −

  ( )

  ( , )

  , (16b)

  ( , )

  ( ) = _{( , ) (1 + ) ∙}

• cos

Dengan substitusi variabel cot = pada persamaan (11), maka diperoleh

• ( )
• coth −
• {(2 + 1) − }
• 2

  ( )

  ( ) = 0, (17) dengan,

  ℏ

  = − ,

  ℏ

  = , dan ( ) =

  ( )

  , (18) maka persamaan (17) menjadi,

  ( )

  ( )

  csch − − X( ) = 0,

  (19) dengan substitusi variabel coth = pada persamaan (19), diperoleh,

  (1 + )

  ( )

  − ( + 1) − 2 + X( ) = 0.

  −

  ( , )

  , (23a)

  ( )

  =

  (22) Dengan membandingkan persamaan (22) dengan persamaan (3), maka diperoleh :

  ( , ) ( ).

  ( ) = ℛ

  ( ) = 0, (21)

   (20)

  ( , )

  ( + 1) − + −

  ( , ) ( ) −

  ( )

  (1 + ) ( , )

  Persamaan (12) diselesaikan dengan mensubstitusi fungsi gelombang X( ) dengan permisalan fungsi gelombang Romanovski seperti pada persamaan (4), yaitu, dengan X( ) = ( ), sehingga diperoleh,

  ( )

  ( )

  ℏ

  , (15a)

  ( ) = ( ), sehingga diperoleh (1 + )

  ( , )

  ( )

  ( , )

  ( ) −

  { ( + 1)+ − − + }

  ( , )

  ( ) = 0,(13)

  ( , )

  ( ) = ℛ

  ( , )

  ( ) (14) Dengan membandingkan persamaan (13) dengan persamaan (3), maka diperoleh,

  = = −

  ( )

  = − ( + 1)+ − , (15b)

  ( ) = 0. (12) Persamaan (12) diselesaikan dengan mensubstitusi fungsi gelombang ( ) dengan permisalan fungsi gelombang Romanovski seperti pada persamaan (4), yaitu, dengan

  (1 + ) ( )

  Penyelesaian Fungsi Gelombang Persamaan Schrödinger Bagian Radial

  . (16c)

  ( )

  ( )

  − 2 cos ( ) + ( ) = 0. (11)

  − ( ( + 1) + ) −

  ( + 1)+

  ( )

  −

• =
• [2( + 1) − ]
• −

  (16a) dengan, ℛ

  = (1 + ) ^{( )} ∙ ^{( ) ( )} ∙ ℛ ^{( , )} ( ),

  . (15c) Dari persamaan (15a), (15b) dan (15b), maka fungsi gelombang polar dapat diperoleh melalui persamaan (4), (5), dan (7),yaitu,

  ( )

  Dari persamaan (10b), persamaan Schrödinger bagian radial dapat ditulis kembali, ( ) + coth − 1 +

  (23b) = −( + + 1), ₁₅ serta diperoleh persamaan energi dari _{X(2;2,72) X(2;2)} persamaan (18) dan (23b), yaitu, _{10 X(2;3,62)}

  ℏ ( )

  ,

• = − −

  ; ( ) ₅

  (24) _{(n r;l)} + + 1 = . _X (25)

  Menggunakan persamaan (24) dan (25), maka fungsi gelombang radial dapat diperoleh melalui

• _-5 persamaan (4), (5), dan (7), yaitu, _-10
_{0.5 1 1.5 2 2.5 3}

  ( ) ( ) ( ) _r = (1 + ) ∙ ∙

  ; ( ) ,

  Gambar 4. Fungsi Gelombang Radial untuk = , ℛ ( ),

  = , ; =

  (26a) ₁₅ dengan, _{|X(2;2,72)| |X(2;2)|}

  ( , ) _|X(2;3,62)|

  ( ) = ℛ ( ) (1 + ) ∙ _,

  ( ) ,

  , (26b) ₁₀

  ( ) ( ) ( ) , ( )

  . )| = (1 + ) _{|X (n r;l}

  (26c) ₅ HASIL DAN PEMBAHASAN

• _{-4 -6 x 10 -38 l = 3,62 l = 2,72 l = 2}
_{0.5 1 1.5 r 2 2.5 3} Gambar 5. Grafik Rapat Probabilitas untuk _-8

  = , _{(n -10 ) ( eV ) E} = , ; =

  Persamaan Schrödinger potensial non sentral _-12 Rosen Morse plus Rosen Morse memiliki penyelesaian fungsi gelombang pada bagian

• _-14

  radial dan bagian polar [5]. Untuk analisis _{2 3 4 5 6 7 8} energi persamaan Schrödinger, Gambar 1 _n menunjukan tingkat energi partikel dari persamaan (24). Energi partikel pada keadaan n

  Gambar 1. Grafik Tingkat Energi

  dipengaruhi oleh nilai bilangan kuantum utama yang terdiri dari bilangan kuantum radial dan bilangan kuantum orbital . Untuk menentukan nilai , dipilih dari keadaan dasar persamaan (15c) saat = = 0 yaitu, = + . Dengan mempertimbangkan kedaan fisis dimana ≥ 0 dan ≥ 0, maka bilangan kuantum magnetik

  ≥ . Pertimbangan tersebut yang menjadi acuan untuk menentukan fungsi gelombang polar dengan persamaan (16a) dan fungsi gelombang radial dengan

  Gambar 2. Fungsi Gambar 3. Fungsi

  persamaan (26a).

  Gelombang Polar Gelombang Polar Untuk

Untuk = = , = , = = , = , = Pada penyelesaian fungsi gelombang polar,

=

  bilangan kuantum orbital yang secara fisis mempengaruhi bentuk orbit partikel dipengaruhi

  KESIMPULAN

  oleh nilai dan . Jika ditinjau dari persamaan Dari uraian diatas, penyelesaian nilai energi dan

  (15a) dan (15b), nilai dan mempengaruhi fungsi gelombang persamaan Schrödinger nilai dan . Kedua nilai tersebut merupakan potensial non sentral Rosen Morse plus Rosen koefisien dari hamiltonian pengganggu. Saat

  Morse dapat diselesaiakan dengan > 0 dan/atau > 0, menggambarkan adanya menggunakan metode polinomial Romanovski. gangguan pada sistem, dan saat

  = = 0 menggambarkan bahwa sistem tidak terganggu dengan anggapan perubahan nilai dan

  PUSTAKA

  berubah secara kontinyu, sehingga eigenfungsi [1] Alvarenz-Castillo. D.E. 2009. Exactly dan energi eigen terganggu berubah secara halus

  Solvable Potentials and Romanovski

  kedalam eigenfungsi dan energi eigen tak terganggu. Polynomials in Quantum Mechanics.

  Physics Thesis of Autonomous University Jika ditinjau dari persamaan (8) yang of San Luis Potosi, Mexico merupakan persamaan potensial non sentral Rosen Morse plus Rosen Morse, untuk nilai [2] Compean. C.B. and Kirchbach. M. 2006.

  = = 0 mengakibatkan potensial Rosen The Trigonometric Rosen-Morse Potential

  Morse pengganggu bernilai nol, sehingga fungsi as a Prime Candidate for an Effective QCD gelombang hanya di pengaruhi oleh potensial Potential. Av. Manuel Nava No. 6, S.L.P. Rosen Morse sistem. Namun untuk > 0

  78290, México (Abstr.) dan > 0 mengakibatkan fungsi gelombang [3] Compean. C.B. and Kirchbach. 2008. The mendapat gangguan dari potensial Rosen Morse

  Trigonometric Rosen-Morse Potential in

  pengganggu dengan bentuk gangguan seperti pada gambar 2 dan 3. Bentuk gangguan nilai the Supersymmetric Quantum Mechanics dan dapat dijelaskan dengan persamaan (15c)

  and its Exact Solutions. Av. Manuel Nava

  dimana nilai dan berpengaruh terhadap nilai 6, San Luis Potos´ı, S.L.P. 78290, M´exico bilangan kuantum orbital yang mempengaruhi : 12 bentuk orbit partikel. Semakin besar nilai ,

  [4] Flugge, S. 1971. Practical Quantum maka fungsi gelombang polar secara

  Mechanics II. New York: Springer.

  keseluruhan juga membesar, namun jika [5] Greiner, W and B. Muller. 2004. Quantum semakin besar nilai , gangguan yang diberikan pada fungsi gelombang polar adalah Mechanics: Symmetries. Berlin- memperkecil fungsi gelombang positif dan

  Heidelberg: Springer. 2nd rev. ed. memperbesar fungsi gelombang negatif.

  [6] Ikot et al. 2011. Analytical Solutions of

  Schrödinger Equation with Two- Dimensional Harmonic Potential in Cartesian and Polar Coordinates Via Nikiforov-UvarovMethod.JVR. 65-76