Dimensi fraktal himpunan Julia.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

ABSTRAK
Dimensi fraktal memberikan kemungkinan untuk mengukur kompleksitas suatu
fraktal. Dua metode yang umum digunakan untuk menghitung dimensi fraktal adalah
dimensi Hausdorff dan dimensi hitung kotak. Ciri umum dari dua dimensi tersebut
adalah tidak harus bilangan bulat. Dimensi Hausdorff dan dimensi kotak dari
himpunan Julia dihitung dengan menggunakan konsep similaritas fungsi teriterasi.
Himpunan Julia dibangun dari fungsi kompleks kuadratik, yaitu
( )=

+

dan

: ℂ → ℂ, dengan

adalah bilangan kompleks. Himpunan Julia penuh

himpunan titik-titik di ℂ yang memiliki orbit yang terbatas terhadap
Julia ( ) adalah batas dari himpunan Julia penuh

( ) adalah

. Himpunan

( ) . Beberapa sifat dari sistem

fungsi teriterasi akan digunakan untuk menunjukkan bahwa dimensi Hausdorff dan
dimensi hitung kotak dari himpunan Julia adalah sama.

vii

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

ABSTRACT
Fractal dimension provides the possibility to measure complexity of fractal geometry.
Two methods commonly used to calculate dimension are Hausdorff dimension and
box counting dimension. The common feature of these dimensions is that they need
not be integer. The Hausdorff and box counting dimension of Julia set is calculated
using the self-similarity concept of iterated function. The Julia sets are generated

from the quadratic complex function, i.e
complex number. The filled Julia set
orbits with respect to

: ℂ → ℂ, where

( )=

+

and

is a

( ) is the collection of points in ℂ whose

are bounded. The Julia set ( ) is the boundary of

( ).

Some properties of the iterated function system are used to show that Hausdorff and
box counting dimension of Julia sets are the same.

viii

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

DIMENSI FRAKTAL HIMPUNAN JULIA

SKRIPSI

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Sains
Program Studi Matematika

Oleh:
Titik Murwani
NIM: 063114002

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2011

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

FRACTAL DIMENSION OF JULIA SETS

THESIS

Presented as Partial Fulfillment of the Requirements
To Obtain the Sarjana Sains Degree
In Mathematics

By :
Titik Murwani
Student Number: 063114002

MATHEMATICS STUDY PROGRAM MATHEMATICS DEPARTMENT

SCIENCE AND TECHNOLOGY FACULTY
SANATA DHARMA UNIVERSITY
YOGYAKARTA
2011

ii

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

HALAMAN PERSEMBAHAN

Ji ka An da men er i ma Tuhan , An da har us memahami bahwa Di a ada
dal am semua y an g ki t a l akukan .
dal am semua r el asi ,
dal am semua t an t an gan ,
dal am semua r i n t an gan .

Ker j a men j adi sebuah i badah
j i ka di l akukan ber samaNy a di pi ki r an ki t a.
(Vi j ay Eswar an )

Semuan ya kuper sembahakan un t uk
Bapak dan Ibu Mar to Wi yon o
Or an g t uaku dan saudar aku
dan j uga Di a

v

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

ABSTRAK
Dimensi fraktal memberikan kemungkinan untuk mengukur kompleksitas suatu
fraktal. Dua metode yang umum digunakan untuk menghitung dimensi fraktal adalah
dimensi Hausdorff dan dimensi hitung kotak. Ciri umum dari dua dimensi tersebut
adalah tidak harus bilangan bulat. Dimensi Hausdorff dan dimensi kotak dari

himpunan Julia dihitung dengan menggunakan konsep similaritas fungsi teriterasi.
Himpunan Julia dibangun dari fungsi kompleks kuadratik, yaitu
( )=

+

dan

: ℂ → ℂ, dengan

adalah bilangan kompleks. Himpunan Julia penuh

himpunan titik-titik di ℂ yang memiliki orbit yang terbatas terhadap
Julia ( ) adalah batas dari himpunan Julia penuh

( ) adalah

. Himpunan

( ) . Beberapa sifat dari sistem

fungsi teriterasi akan digunakan untuk menunjukkan bahwa dimensi Hausdorff dan
dimensi hitung kotak dari himpunan Julia adalah sama.

vii

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

ABSTRACT
Fractal dimension provides the possibility to measure complexity of fractal geometry.
Two methods commonly used to calculate dimension are Hausdorff dimension and
box counting dimension. The common feature of these dimensions is that they need
not be integer. The Hausdorff and box counting dimension of Julia set is calculated
using the self-similarity concept of iterated function. The Julia sets are generated
from the quadratic complex function, i.e
complex number. The filled Julia set
orbits with respect to

: ℂ → ℂ, where

( )=

+

and

is a

( ) is the collection of points in ℂ whose

are bounded. The Julia set ( ) is the boundary of

( ).

Some properties of the iterated function system are used to show that Hausdorff and
box counting dimension of Julia sets are the same.

viii

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

KATA PENGANTAR

Segala puji dan syukur kepada Tuhan yang selalu memberikan kasih dan berkat
sehingga penulis dapat meneyelesaikan skripsi ini.
Skripsi ini disusun untuk memenuhi salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains. Penulis menyadari bahwa skripsi tidak akan selesai tanpa dukungan
dari berbagai pihak. Oleh karena itu, penulis ingin menyampaikan terima kasih
kepada:
1. Prof. Drs. Frans Susilo, S.J.,Ph.D. selaku dosen pembimbing yang telah
berkenan membimbing, memberikan ilmu, dan perhatiannya kepada penulis
selama penulisan skripsi.
2. Bapak Yosef Agung Cahyanta, S.T., M.T. selaku Dekan Fakultas Sains dan
Teknologi yang telah mendukung penulis selama penyusunan skripsi ini.
3. Ibu Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si, M.Si selaku Kaprodi Matematika dan
Ibu Maria Vianney Any Herawati, S.Si.,M.Si. selaku Wakaprodi
Matematika sekaligus Dosen Pembimbing Akademik angkatan 2006 yang
telah berkenan untuk menguji skripsi ini dan selalu memberikan nasehat,

saran, dukungan dan ilmu yang sangat berharga kepada penulis.
4. Bapak Herry Pribawanto Suryawan, S.Si.,M.Si yang telah memberikan ide
dalam pemilihan topik skripsi ini, atas nasehat, saran, pengalaman,
pengetahuan serta atas pinjaman buku-bukunya dan berbagai kesempatan
diskusi yang diberikan kepada penulis selama menempuh pendidikan.
5. Bapak Zaerilus Tukija dan segenap staff sekretariat Fakultas Sains dan
Teknologi yang telah membantu dalam penulis selama menempuh studi.
6. Perpustakaan Universitas Sanata Dharma dan staf yang telah menyediakan
fasilitas dan kemudahan kepada penulis selama masa studi.

x

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

7. Orang tuaku, Bapak Darwinto dan Ibu Sri Darmini yang selalu memberikan
dukungan, nasehat dan doa dalam segala hal dan menyediakan apa saja yang
dibutuhkan.
8. Sahabat-sahabatku, Diyah Sayekti, S.Si., Rochi Ifahyani Siagian, S.Si.,
Laurencia Rosarianes Yogimurti, Maria Endah Savitri, Marcellina Dewi
Abu, Fery Kristianingrum, Metta Diwya Kundalini, dan Sisiria Mardiawati
yang selalu menemani dalam suka dan duka dan yang selalu memahami
penulis.
9. Teman-teman 2004-2009 yang telah menemani, mendukung dan berbagi
banyak pengalaman kepada penulis.
10. Semua pihak yang telah membantu penulis selama menempuh studi dan
penuyusunan skripsi ini yang tidak bisa disebutkan satu persatu.

Yogyakarta, 24 Januari 2010
Penulis

Titik Murwani

xi

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

DAFTAR ISI
Halaman
HALAMAN JUDUL ........................................................................................

i

HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS .........................................

ii

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING..................................................

iii

HALAMAN PENGESAHAN ............................................................................

iv

HALAMAN PERSEMBAHAN .........................................................................

v

HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN KARYA .........................................

vi

HALAMAN ABSTRAK ....................................................................................

vii

HALAMAN ABSTRACT..................................................................................

viii

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH
UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS ...........................................................

ix

KATA PENGANTAR .......................................................................................

x

DAFTAR ISI .....................................................................................................

xii

BAB I PENDAHULUAN ..................................................................................

1

A. Latar Belakang Masalah .....................................................................

1

B. Rumusan Masalah ...............................................................................

3

C. Pembatasan Masalah ...........................................................................

3

D. Tujuan Penulisan ................................................................................

4

E. Manfaat Penulisan ...............................................................................

4

xii

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

F. Metode Penulisan ................................................................................

4

G. Sistematika Penulisan .........................................................................

4

BAB II RUANG METRIK DAN RUANG FRAKTAL ......................................

6

A. Ruang Metrik....................................................................................

6

B. Ruang Fraktal ...................................................................................

26

C. Ukuran Lebesgue ..............................................................................

28

D. Fungsi Kompleks .............................................................................

37

E. Sistem Fungsi Iterasi ........................................................................

39

BAB III DIMENSI FRAKTAL ..........................................................................

43

A. Ukuran Hausdorff ............................................................................

43

B. Dimensi Hausdorff ...........................................................................

51

C. Dimensi Hitung Kotak......................................................................

54

BAB IV DIMENSI FRAKTAL HIMPUNAN JULIA ........................................

63

A. Himpunan Julia ................................................................................

63

B. Penghitungan Dimensi Fraktal Himpunan Julia ................................

68

BAB V PENUTUP ............................................................................................

73

5.1 Kesimpulan .....................................................................................

73

5.2 Saran ...............................................................................................

74

DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................

75

xiii

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

BAB I
PENDAHULUAN

A. LATAR BELAKANG MASALAH
Fraktal adalah cabang baru dalam matematika dan seni. Orang semakin
mengenali fraktal karena gambar–gambar yang dihasilkan menarik. Sistem–sistem
fisika dan benda–benda kreatifitas manusia bukanlah bentuk–bentuk geometri
yang teratur. Hal yang membuat fraktal semakin menarik adalah kemampuannya
dalam mendeskripsikan fenomena-fenomena alam seperti garis pantai, gunung,
kehidupan organisme dalam persamaan matematika.
Fraktal bisa dihasilkan dengan cara mengulang suatu pola sehingga memiliki struktur yang serupa dengan bentuk semula untuk tiap bagiannya. Pengulangan pola–pola tersebut menyebabkan suatu fraktal dapat memiliki detil tak hingga.
Geometri fraktal mampu mendeskripsikan bentuk–bentuk yang tak hingga banyaknya.
Meskipun fraktal sangat berkaitan dengan teknologi komputer, tetapi fraktal ditemukan sebelum teknologi komputer berkembang. Benoit Mandelbrot adalah orang yang pertama kali mengenalkan istilah fraktal pada tahun 1982 dalam
bukunya yang berjudul “ The Fractal Geometry of Nature ”. Kata fraktal berasal
dari kata fractus ( Bahasa Latin ) yang berarti patah, rusak atau tidak teratur. Sebelum istilah fraktal digunakan, benda–benda yang tidak teratur disebut kurva
monster.
Dua sifat penting yang dimiliki fraktal adalah sifat self–similarity ( kesebangunan diri ) dan dimensinya yang tidak bulat. Sifat self–similarity dapat terlihat jelas pada pohon pakis. Setiap bagian dari pohon pakis itu memiliki bentuk
yang serupa dengan bentuk awalnya atau bentuk utuhnya.
Mandlebrot mendefinisikan fraktal sebagai himpunan yang mempunyai
dimensi tak bulat. Setiap bangun dalam geometri Euclid memiliki dimensi yang
bulat, misalnya titik berdimensi nol, garis lurus dan kurva berdimensi satu, bidang
datar dan luasan berdimensi dua, dan benda–benda ruang seperti bola, kubus berdimensi tiga. Secara umum fraktal memiliki bentuk yang tidak teratur dan dimen-

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2

sinya tidak bulat, sehingga konsep fraktal tidak dapat dijelaskan dengan konsep
geometri klasik (Geometri Euclid).
Bilangan yang digunakan untuk membandingkan fraktal yang satu dengan
yang lain disebut dimensi fraktal. Secara intuitif, gagasan mengenai dimensi mengarah pada bilangan bulat seperti pada objek geometri pada umumnya, namun
gagasan tersebut dipatahkan oleh Hausdorff dan Besicovitch. Konsep mengenai
dimensi yang takbulat ini pertama kali dikenalkan oleh Felix Hausdorff dan Abram Samoilovitch Besicovitch pada tahun 1918, dan kemudian dimensi ini disebut
dimensi Hausdorff- Besicovitch, atau dimensi Hausdorff. Dimensi Hausdorff dari
himpunan
nan , yaitu

sangat bergantung pada ukuran Hausdorff berdimensi
( ) , dengan

adalah bilangan real positif, yaitu

( ) = inf { :

dengan ℋ ( ) = lim

→

dari himpu-

inf { ∑

( ) = ∞} ,

( ) = 0 } = sup { :
|

| :{

} adalah selimut- dari } .

Metode lain yang sering digunakan untuk mencari dimensi fraktal dari

suatu himpunan adalah dimensi hitung kotak atau dimensi Minkowski–Bouligand.
Untuk menghitung dimensi hitung kotak dari suatu himpunan, misal himpunan ,
himpunan tersebut diselimuti oleh jaring-jaring kemudian dihitung banyaknya jaring
yang menyelimuti . Gagasan mendasar dari dimensi ini adalah menghitung berapa

banyak perubahan yang terjadi bila ukuran dari jaring tersebut diubah. Dimensi
hitung kotak bergantung pada konsep lim inf dan lim sup. Misalkan
jumlah minimum dari jaring-jaring bersisi
kotak bawah dari

dan dimensi hitung kotak atas dari

= dım

yang menyelimuti . Dimensi hitung

dihitung dengan rumus
dim

Jika dim

( , ) adalah

dım

= lim inf
→

= lim sup
→

log

( )

− log
log

( )

− log

.

, maka nilainya disebut dimensi hitung kotak .

Beberapa contoh fraktal yang umum adalah himpunan Mandelbrot, himpunan Julia, himpunan Cantor, segitiga Sierpinski, karpet Sierpinski, spons Menger,
kurva Koch. Himpunan Mandelbrot dan himpunan Julia adalah dua contoh fraktal

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
3

yang sangat terkenal, yang tergolong ke dalam fraktal bilangan kompleks. Himpunan Julia ditemukan lebih dulu daripada himpunan Mandelbrot. Himpunan Julia
ditemukan oleh Gaston Maurice Julia, seorang matematikawan Perancis yang berprofesi sebagai tentara.
Himpunan Julia dibangun dari pemetaan fungsi teriterasi
+ , dengan

=

didefinisikan dengan

bilangan kompleks , ( ) ,
titik

( ) , …,

adalah bilangan kompleks. Barisan

( ) , … yang terbentuk disebut orbit dari

ℂ terhadap pemetaan fungsi kompleks

. Barisan bilangan kompleks dari

dikatakan terbatas jika terdapat bilangan positif
|

( )| <

: ℂ → ℂ yang

sedemikian sehingga

untuk semua bilangan bulat positif . Himpunan semua titik

orbitnya terhadap pemetaan
dinotasikan dengan

yang

yang terbatas disebut himpunan Julia penuh, dan

( ) . Batas dari himpunan Julia penuh tersebut yang ke-

mudian disebut himpunan Julia dan dinotasikan dengan ( ) .
Dimensi himpunan Julia dihitung dengan menggunakan sifat invarian terhadap suatu pemetaan kontraksi : ℝ → ℝ , = 1, 2, …
dengan

di ruang metrik ( , )

adalah konstanta kontraksi untuk . Himpunan Julia bersifat invarian

terhadap

sehingga dim

memenuhi ∑

( )=

( )=

untuk tertentu dan dengan

= 1.

B. RUMUSAN MASALAH
1. Apa yang dimaksud dengan dimensi fraktal?
2. Bagaimana menghitung dimensi hitung kotak dan dimensi Hausdorff ?
3. Bagaimana menghitung dimensi fraktal pada himpunan Julia?

C. PEMBATASAN MASALAH
Dalam penulisan skripsi ini hanya akan dibahas dimensi fraktal. Penulis
tidak akan membahas mengenai komputasi tentang dimensi fraktal. Penulis hanya
akan menggunakan dua metode untuk menghitung dimensi fraktal, yaitu dimensi
Hausdorff dan dimensi hitung kotak.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
4

D. TUJUAN PENULISAN
Penyusunan skripsi ini bertujuan untuk mempelajari dimensi fraktal, khususnya dimensi Hausdorff dan dimensi hitung kotak pada himpunan Julia.

E. MANFAAT PENULISAN
Manfaat yang akan diperoleh setelah mempelajari topik ini adalah dapat
memahami dimensi fraktal dan mengetahui langkah penghitungan dimensi Hausdorff dan dimensi hitung kotak pada himpunan Julia.

F. METODE PENULISAN
Metode yang digunakan penulis adalah metode studi pustaka, yaitu dengan
mempelajari buku-buku dan karangan-karangan yang berkaitan dengan topik
skripsi ini, sehingga tidak ada hal-hal baru.

G. SISTEMATIKA PENULISAN
BAB I. PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Masalah
B. Rumusan Masalah
C. Pembatasan Masalah
D. Tujuan Penulisan
E. Manfaat Penulisan
F. Metode Penulisan
G. Sistematika Penulisan
BAB II. RUANG METRIK DAN RUANG FRAKTAL
A. Ruang Metrik
B. Ruang Fraktal
C. Ukuran Lebesgue
D. Fungsi Kompleks
E. Sistem Fungsi Iterasi

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
5

BAB III. DIMENSI FRAKTAL
A. Ukuran Hausdorff
B. Dimensi Hausdorff
C. Dimensi Hitung Kotak
BAB IV. DIMENSI FRAKTAL HIMPUNAN JULIA.
A. Himpunan Julia
B. Penghitungan Dimensi Fraktal Himpunan Julia
BAB V. PENUTUP
A. Kesimpulan
B. Saran

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

BAB II
RUANG METRIK DAN RUANG FRAKTAL

Dalam bab ini dibahas tentang pengertian-pengertian dasar yang akan digunakan dalam pembahasan selanjutnya, antara lain: ruang metrik, ruang fraktal, ukuran
Lebesgue, fungsi kompleks dan sistem fungsi iterasi.

A. Ruang Metrik
Konsep jarak memiliki peran penting untuk mendefinisikan kekonvergenan, kekontinuan, dan keterdiferensialan suatu fungsi. Jarak dari titik

ke titik

, ditulis

( , ) , adalah sebuah bilangan real positif. Ruang metrik merupakan himpunan yang

dilengkapi dengan konsep jarak antara dua titik. Konsep ruang metrik diformulasikan
oleh M. Frechet pada tahun 1906. Pada bagian ini akan dibahas konsep-konsep himpunan terbuka, himpunan tertutup, kekonvergenan, kekontinuan, dan kekompakan
dalam ruang metrik.

Definisi 2.1.1
Misalkan
real :

adalah suatu himpunan takkosong. Metrik pada

×

→ ℝ yang memenuhi sifat-sifat berikut ini:

2.

( , ) ≥ 0, ∀ ,

3.

( , ) =

1.

4.

adalah fungsi bernilai

( , ) = 0↔

.

=

,∀ ,

( , ),∀ ,

( , ) ≤ ( , )+

Sebuah metrik

.

(Simetri).

( , ),∀ , ,

juga disebut

dilengkapi dengan sebuah metrik

(Ketaksamaan segitiga).

fungsi jarak. Himpunan takkosong

pada

yang

disebut ruang metrik, ditulis ( , ) . Ang-

gota-anggota dari himpunan , yang merupakan sebuah ruang metrik, disebut titik.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
7

Contoh 2.1.1
Akan dibuktikan bahwa fungsi : ℝ × ℝ → ℝ didefinisikan sebagai berikut:
( , ) = | − |

merupakan metrik pada himpunan dari semua bilangan real ℝ.

Penyelesaian:

Untuk menunjukkan bahwa

( , ) merupakan metrik pada himpunan ℝ cukup

dibuktikan bahwa ( , ) memenuhi sifat-sifat pada Definisi 2.1.1.
(1) Nilai mutlak suatu bilangan real selalu bernilai taknegatif, yaitu
( , ) = | − | ≥ 0, ∀ ,
( , ) = 0, ∀ ,

(2)

| − | = 0, ∀ ,

−

ℝ⇔

,∀ ,

( , ) = | − |, ∀ ,

(3)

= |− +

ℝ

ℝ

|, ∀ ,

= | − |,∀ ,

= ( , ) ,∀ ,

( , ) = | − |,∀ ,

(4)

ℝ⇔

ℝ⇔

= 0, ∀ ,
=

ℝ.

=| − +

ℝ

ℝ

ℝ

ℝ

− |,∀ , ,

≤ | − | + | − |,∀ , ,
≤ ( , )+

( , ),∀ , ,

ℝ

ℝ

ℝ

Dari (1), (2), (3), dan (4) disimpulkan bahwa ( , ) merupakan metrik pada himpunan ℝ, dan disebut metrik biasa pada ℝ.
Contoh 2.1.2
Misalkan
kan oleh

= ℝ ,

= (

,

) dan

( , ) =

= (

(

−

,

) . Jarak Euclides ( , ) yang diberi-

) + (

−

) ,

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
8

adalah metrik dan disebut metrik biasa pada ℝ .
Definisi 2.1.2
Misal

adalah metrik pada ,

adalah titik di , dan
∈

song dari . Jarak antara titik

adalah subhimpunan takko-

dengan subhimpunan

( , )=

{ ( , ):

didefinisikan:

∈ }.

Contoh 2.1.3
= { ∈ ℝ: 0 <

Misalkan

≤ 1 } dan

adalah metrik biasa pada ℝ. Jarak

( 0, ) =

{ ( 0, ) : 0 <

( 0, ) =

{| 0 − | : 0 <

( 0, ) =

{ :0 <

≤ 1}

≤ 1}

≤ 1} = 0

Definisi 2.1.3
Misal

adalah metrik pada , dan diberikan sebarang dua subhimpunan takkosong

dan

dari ruang metrik ( , ) . Jarak antara dua subhimpunan takkosong

dari

didefinisikan ( , ) = sup { ( , ) :

dan

∈ }.

Definisi 2.1.4
Misal

adalah metrik pada

. Diameter dari

subhimpunan takkosong dari

didefinisikan:
( )=

Bila ( ) < ∞, maka diameter

ter

{ ( , ): ,

∈ }.

dikatakan berhingga. Bila ( ) = ∞, maka diame-

dikatakan takhingga. Selanjutnya ( ∅) didefinisikan sama dengan −∞.

Definisi 2.1.5
Suatu metrik
real

pada himpunan takkosong

> 0 sedemikian sehingga

dikatakan terbatas jika terdapat bilangan

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
9

( , ) ≤ ,∀ ,

∈ .

Ruang metrik ( , ) dengan metrik terbatas disebut ruang metrik terbatas.

Definisi 2.1.6
Diketahui ( , ) suatu ruang metrik,
dan jari-jari

didefinisikan

Himpunan

∈

( )= { ∈

: ( , )<

[ ]= { ∈

: ( , ) ≤ }

disebut bola tertutup dengan pusat

dan jari-jari

.

( )⊂

dan

= ∞. Dalam ruang metrik ( ℝ, ) , bola terbuka

( )

> 0. Himpunan kosong dan
= 0 dan jari-jari

}

∈

Berdasarkan dua defnisi di atas, jelas bahwa

jari-jari

> 0. Bola terbuka dengan pusat

dan

[ ] , untuk setiap

dapat dipandang berturut-turut sebagai bola dengan

merupakan selang terbuka ( − , + ) , sedangkan bola tertutup

selang tertutup [ − , + ] .

Dalam ruang diskret ( , ) , bola terbuka
( )=

Dan bola tertutup didefinisikan
[ ]=

[ ] merupakan

( ) dapat didefinisikan seperti berikut:

{ } jika 0 < ≤ 1
jika > 1.
{ } jika 0 < < 1
jik
≥ 1.

Definisi 2.1.7
Misalkan ( , ) adalah sebuah ruang metrik dan

∈ . Subhimpunan

sebut kitar dari titik

jika terdapat sebuah bola terbuka

termuat di

( )⊆

, yaitu

untuk suatu

> 0.

Contoh 2.1.4
Setiap bola terbuka merupakan kitar dari setiap titiknya.

dari

di-

( ) yang berpusat di

dan

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
10

( ) bola terbuka dan ambil sebarang

Misalkan
∈

( )⊆

( ) , yaitu

∈

( ) . Jika

=

, maka

≠ , untuk menunjukkan bahwa

( ) kitar dari . Jika

( ) merupakan kitar dari , harus ditunjukkan bahwa terdapat

> 0 sedemikian

sehingga
∈

Diketahui bahwa
bil sebarang ∈

( ) , maka

( ) , maka

( )⊆

( ).

( , ) <

( , )<

. Diambil

=

−

( , ) > 0 . Am-

, sehingga dengan menggunakan ke-taksa-

maan segitiga diperoleh
( , )≤ ( , )+

( , ) <

Diperoleh bahwa ( , ) < , berarti
kitar dari .

∈

+

( ) . Jadi

( , ) =
( )⊆

.
( ) , yaitu

( )

Definisi 2.1.8
Diberikan ( , ) suatu ruang metrik dan
∈

subhimpunan takkosong dari

disebut titik interior dari subhimpunan

hingga

(

)⊂

jika terdapat

. Titik

> 0 sedemikian se-

.

Definisi 2.1.9
Subhimpunan

disebut himpunan terbuka jika semua titik dari

di

interior. Dengan kata lain, subhimpunan
terbuka di
tuk setiap

terhadap metrik
∈ , terdapat

jika

adalah titik

dari suatu ruang metrik ( , ) dikatakan

merupakan kitar untuk setiap titiknya, yaitu un-

> 0 sedemikian sehingga

( )⊂ .

Teorema 2.1.1
Setiap bola terbuka

( ) adalah himpunan terbuka.

Bukti:
Diketahui
( , ) <

( ) bola terbuka yang berpusat di

. Misalkan

=

. Ambil sebarang ∈

( ) , maka

− ( , ) > 0 adalah jari-jari bola terbuka dengan pusat

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
11

, yaitu

( ) . Ambil sebarang

∈

( ) , maka ( , ) <

. Dengan menggunakan

sifat ketaksamaan segitiga diperoleh
( , ) ≤ ( , )+

( , )<

Jadi

( , )<

∈

, yang menunjukkan bahwa

( , )=

+

( ) . Maka

( ) merupakan himpunan terbuka.

bukti bahwa bola terbuka

.
( )⊆

( ) . Ter-

∎

Teorema 2.1.2
Dalam setiap ruang metrik ( , )
(1) Gabungan dari sebarang keluarga dari himpunan-himpunan terbuka adalah terbuka
(2) Irisan dari keluarga berhingga himpunan-himpunan terbuka adalah terbuka.
Bukti:
(1) Diberikan

sebarang himpunan dan

terbuka. Akan dibuktikan bahwa
∈ , maka terdapat

∈

∈

dengan
= ⋃

∈

adalah keluarga himpunan

adalah terbuka. Ambil sebarang

. Maka

( )⊆⋃

∈

=

. Jadi terbukti
,

= ⋂

> 0 sedemikian sehingga

Jika diambil

= min { ,

,

∈

, untuk setiap

, untuk masing-masing

= 1, 2, 3, …, .

∈ , maka

adalah himpunan yang terbuka, maka terdapat
( )⊆

, , …,

untuk setiap = 1, 2, 3, …, . Maka
terbuka.

terbuka.
. Akan dibuk-

terbuka. Ambil sebarang

= 1, 2, 3, …, . Diketahui

Himpunan

, …,

(2) Diberikan keluarga berhingga himpunan terbuka
tikan

.

> 0, sedemikian sehingga

merupakan himpunan terbuka, maka terdapat

( )⊆

∈

sedemikian sehingga

} , maka

> 0 dan

⊆⋂

=

( )⊆

. Terbukti bahwa

( )⊆

adalah
∎

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
12

Definisi 2.1.10
Diberikan ( , ) suatu ruang metrik dan
∈

(

subhimpunan takkosong dari

disebut titik limit dari subhimpunan
) ∩(

−{

jika untuk setiap

. Titik

> 0 berlaku

}) ≠ ∅.

Definisi 2.1.11
Himpunan

di

disebut himpunan tertutup jika semua titik limitnya adalah anggota

dari .

Lema 2.1.1
Misalkan ( , ) ruang metrik. Himpunan kosong ∅ dan

adalah himpunan terbuka.

Bukti:

Suatu implikasi bernilai benar apabila antesedennya salah. Implikasi “jika
maka

adalah titik interior dari ∅” adalah pernyataan yang benar untuk setiap

Jadi ∅ adalah himpunan terbuka.
Selanjutnya, ambil sebarang

Terbukti

terbuka.

∈ . Dipilih

= 1 , maka

( )⊆

∈ ∅,

∈ .

.
∎

Teorema 2.1.3
Himpunan

dalam ruang metrik ( , ) adalah tertutup jika dan hanya jika

ter-

buka.
Bukti:
Akan dibuktikan bahwa jika
nan

tertutup. Jika

rang

∈

limit

, berarti

, sehingga ada

Terbukti bahwa

=

tertutup, maka
−

= ∅, maka

∉ . Diketahui bahwa

terbuka. Diberikan sebarang himputerbuka. Jika

himpunan tertutup, maka

> 0 sedemikian sehingga

terbuka.

≠ ∅, diambil seba-

( )∩

= ∅. Jadi

bukan titik
( )⊆

.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
13

terbuka. Ambil sebarang

Sebaliknya, diberikan himpunan
. Akan dibuktikan
kian sehingga

∈ . Andaikan

( )⊆

. Maka

Hal ini kontradiksi karena

titik limit

∉ , yaitu

( )∩

. Jadi

∈

∈

dan

, maka ada

= ∅. Akibatnya

∈ . Terbukti

titik limit

> 0 sedemi-

bukan titik limit

.
∎

tertutup.

Teorema 2.1.4
Dalam setiap ruang metrik ( , )
(1) Irisan dari sebarang keluarga himpunan-himpunan tertutup adalah tertutup
(2) Gabungan keluarga berhingga himpunan-himpunan tertutup adalah tertutup
Bukti:
(1) Misalkan ℱ = {

,

∈ Λ} adalah suatu keluarga himpunan tertutup. Dengan hu-

kum De Morgan diperoleh

=
∈

Menurut Teorema 2.1.3, jika

.
∈

tertutup, maka

terbuka. Himpunan

lah himpunan terbuka, sehingga menurut Teorema 2.1.2, ⋃
buka. Jadi ( ⋃

) = ⋂

∈

∈

ada-

adalah ter-

∈

adalah tertutup karena komplemen himpunan

terbuka adalah himpunan tertutup menurut Teorema 2.1.3.
(2) Diberikan keluarga berhingga himpunan-himpunan tertutup
= ⋃

dan misalkan

,

=

adalah himpunan tertutup untuk setiap

= ⋂

Terbukti bahwa

= ⋃

}

.

= 1, 2, 3, …, . Jadi

terbuka untuk setiap = 1, 2, 3, …, . Dengan Teorema 2.1.2, maka ⋂

buka. Jadi

, …,

. Dengan hukum De Morgan diperoleh
=

Himpunan

= {

terbuka. Karena
tertutup.

terbuka, maka

ter-

tertutup.
∎

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
14

Teorema 2.1.5
Setiap bola tertutup adalah himpunan tertutup.
Bukti:
[ ] sebarang bola tertutup di ruang metrik ( , ) . Akan dibuktikan

Diberikan

∈

[ ] terbuka. Ambil sebarang

bahwa
( , ) >

. Misalkan

( , )<

, sehingga

( , )−

=

<

Karena

( , ) >

ngan demikian

, maka

∈

( ) , maka

( , )−

( , )− ( , )
( , )+

( , ).

<

[ ] . Hal ini berarti

> 0 . Ambil sebarang

( , )<
<

∉

[ ] , maka

∉

( , )− ( , )

[ ] , yaitu

[ ] terbuka.

∈

( )⊂

[ ] . Jadi

[ ] . De-

∎

Definisi 2.1.12
Misal ( , ) adalah ruang metrik dan
ngan dari

⊆ . Penutup dari , ditulis ̅, adalah gabu-

dengan himpunan semua titik limitnya. Jadi ̅ =

lah himpunan semua titik limit .

∪ ′, dengan ′ ada-

Contoh 2.1.5
Misal ( ℚ, ) ruang metrik dengan metrik biasa dan

anggota himpunan
=

=

:

∈ ℕ ⊂ ℚ. Semua titik

bukan titik limit. Satu-satunya titik limit

adalah nol. Jadi

∪ { 0} .

Teorema 2.1.6
Misalkan
(1)

dan

tertutup.

adalah sebarang himpunan dari ruang metrik ( , ) . Maka

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
15

(2) Jika
(3)

=

⊆ , maka ̅ ⊆ .

jika dan hanya jika

tertutup.

(4) ̅ adalah irisan dari semua himpunan tertutup yang memuat .

(5) ̅ adalah himpunan tertutup terkecil yang memuat .

(6)

(7)

∪
∩

Bukti:

=

̅∪ .

⊆ ̅∩ .

(1) Untuk membuktikan bahwa ̅ tertutup, akan dibuktikan bahwa
∈ ̅ ada

untuk setiap

maka

̅ ≠ ∅, ambil sebarang

∉

dan

∈

( ) , maka ( , ) <

sebarang

sehingga

∈

∉ ′. Maka ada
( ) , maka

( ) . Jadi

= ∅, yang berarti
( )⊆ ̅

( )∩

( , )<

. Misal

̅ = ∅,

∉ ̅, sehingga

= ∅. Ambil

− ( , ) . Ambil sebarang

=

. Dengan ketaksamaan segitiga diperoleh
( ) ⊆

( , ) <
( ) . Karena

+

=

( )∩

= ∅, maka

( )∩

∉ ̅, sehingga

∈ ̅ . Maka

≠ ∅, ∀ > 0. Karena

⊆ , maka

∉ ′, yaitu

dan

−

Jadi ̅ terbuka. Dengan Teorema 2.1.3, terbukti ̅ tertutup.

(2) Ambil sebarang
( )∩

∉

∈ ̅ , maka

> 0 sedemikian sehingga

( , ) ≤ ( , )+

∈

( ) ⊆ ̅ . Jika

> 0 sedemikian sehingga

̅ terbuka. Jika

̅ terbuka, yaitu

∈ ,̅ maka

≠ ∅. Jadi

(3) Akan dibuktikan jika
tertutup. Karena
tup, maka

=

=

( )∩

∈ , sehingga terbukti ̅ ⊆ .
=

̅, jadi

̅, maka

tertutup. Dari (1) sudah terbukti bahwa

tertutup. Berikutnya akan dibuktikan jika

̅. Untuk membuktikannya akan ditunjukkan bahwa

⊇ ̅. Berdasarkan definisi penutup , yaitu ̅ =

Kemudian diambil sebarang
⊇ ̅. Jika

∈ ′, maka

. Jadi terbukti

∈ ̅, maka

titik limit

∈

∪ ′, maka

atau

∈ ′. Jika

. Diketahui bahwa

⊇ ̅. Dengan demikian terbukti bahwa

⊆ ̅.

=

tertu-

⊆ ̅ dan

∈ , maka

tertutup, maka
̅.

̅

∈

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
16

(4) Misalkan

adalah irisan dari semua himpunan tertutup yang memuat

⊆ . Dengan menggunakan (2) dan ( 3 )

merupakan himpunan tertutup dan
̅⊆

diperoleh

=

karena

̅ ⊆ . Selanjutnya

tertutup. Jadi

himpunan tertutup yang memuat . Himpunan

̅ merupakan

adalah irisan dari semua himpu-

⊆ ̅. Terbukti

nan tertutup yang memuat . Jadi

. Jadi

(5) Akibat dari bukti (4), maka ̅ ⊆ . Penutup dari

=

̅.

merupakan himpunan tertutup

yang memuat . Jadi ̅ merupakan himpunan tertutup terkecil yang memuat .
⊆

(6) Karena
⊆

∪

∪ . Jadi

dan

̅∪

⊆

̅ ∪ . Diambil sebarang

⊆

∪ , maka dengan ( 2 ) diperoleh

∪ . Kemudian, harus dibuktikan bahwa
∈

∪ . Andaikan

∉ , sehingga terdapat bola terbuka
} . Bola terbuka

min { ,

kontradiksi karena
tidak benar. Jadi
(7) Karena
∩

∩

⊆

⊆ . Jadi

∪

∈

dan

∉ ̅ ∪ . Maka

∪

⊆

∉ ̅ dan
, dan
=

∪ . Hal ini
∉ ̅∪

∪ . Dengan demikian pengandaian bahwa

⊆ ̅∪ .

⊆ , maka dengan ( 2 ) diperoleh

⊆ ̅∩ .

∩

dan

. Misalkan

( ) tidak memuat titik-titik dari

∩

∪

( ) yang tidak memuat titik di

( ) yang tidak memuat titik di

terdapat bola terbuka

̅⊆

⊆ ̅ dan

∩

∎

Teorema 2.1.7
Misalkan ( , ) ruang metrik dan
̅= { ∈ :

Bukti:
Ambil sebarang
( )∩

hingga

∈ ,̅ maka

≠ ∅, ∀ > 0 . Jika

( )∩

( ) ∩(

( )∩

∈

atau

∈ ′, maka

≠ ∅, ∀ > 0 }

∈ ′. Jika

∉ , maka

=

− { }) ≠ ∅, ∀

∈

∈ , maka jelas bahwa

( ) ∩(

≠ ∅, ∀ > 0 . Terbukti ̅ ⊆ { ∈ :

Selanjutnya, ambil sebarang
Misalkan

⊂ , maka

− { }) ≠ ∅, ∀ > 0 , se-

( )∩

sedemikian sehingga

− { } . Diketahui bahwa

> 0 , yaitu

∈ ′. Jadi

∈

( )∩

atau

≠ ∅, ∀ > 0 } .

( )∩

≠ ∅, ∀ > 0 .

≠ ∅, ∀

> 0 , maka

∈ ′, yaitu

∈ ̅.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
17

̅⊇{ ∈ :

Terbukti

( )∩

≠ ∅, ∀ > 0 } .

Dengan demikian terbukti ̅ = { ∈ :

( )∩

Definisi 2.1.13

Misalkan ( , ) suatu ruang metrik. Barisan {
∈

titik
(
lim

=

→

≥

, untuk setiap

∎

dikatakan konvergen ke suatu
sedemikian sehingga

disebut limit barisan {

. Titik

} dan ditulis

→ . Barisan yang tidak konvergen disebut divergen. Dengan

atau

perkataan lain, barisan {

} di

dikatakan konvergen ke suatu titik
( ) yang berpusat di

hanya jika untuk sebarang bola terbuka
positif

} di

> 0 terdapat bilangan positif

jika untuk setiap

, )<

≠ ∅, ∀ > 0 } .

sedemikian sehingga

∈

≥

( ) untuk semua

∈

jika dan

terdapat bilangan

.

Teorema 2.1.8
Jika ( , ) adalah suatu ruang metrik, maka setiap barisan di

yang konvergen akan

konvergen ke satu titik.
Bukti:
Diberikan barisan {

} yang konvergen. Andaikan barisan {

dan titik

yang berbeda. Ambil sebarang

sehingga

(

Ambil

, )<

= max {

untuk setiap
,

} , maka untuk

( , ) ≤ ( ,

> 0 berlaku

Jadi untuk setiap

≥

)+

> 0, maka ada

dan
≥

( , )<

} konvergen ke titik

(

, ) <

,

∈ ℕ sedemikian

untuk setiap

berlaku

(

, ) <

2

. Ini berarti

+

2
=

=

≥

.

.

. Terbukti bahwa bari∎

san konvergen ke satu titik.

Definisi 2.1.14
Sebuah barisan {
setiap

} dalam ruang metrik ( , ) disebut barisan Cauchy jika untuk

> 0 terdapat bilangan bulat positif

untuk setiap ,

>

.

sedemikian sehingga

(

,

)<

,

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
18

Teorema 2.1.9
Setiap barisan {

} yang konvergen di ruang metrik ( , ) adalah barisan Cauchy.

Bukti:
Diberikan ruang metrik ( , ) dan barisan {

> 0 terdapat

ngan Definisi 2.1.13 maka untuk setiap
(

, )<

berlaku (

>

untuk setiap
,

Cauchy.

)≤ (

} di ( , ) yang konvergen ke . De-

sedemikian sehingga
,

. Dengan ketaksamaan segitiga, untuk

, )+

( ,

)<

+

. Jadi {

=

≥

} merupakan barisan

∎

Contoh 2.1. 6
Diberikan barisan {
real dan

}=

= ( 0, 1 ] pada garis

di ruang metrik ( , ) dengan

adalah metrik biasa. Tunjukkan bahwa barisan {

} merupakan barisan

Cauchy yang konvergen ke 0 tetapi 0 ∉ .
Penyelesaian:
Diberikan
dimisalkan

Barisan {

> 0, terdapat

≥

sehingga

<

≥

. Untuk setiap

berlaku
(

,

1 1
,

)=

=

1

−

1

<

1

≤

1

<

≥

dan

dan

.

} merupakan barisan Cauchy yang konvergen ke 0 tetapi 0 ∉

.

Definisi 2.1.15
Misalkan {

} adalah barisan di ruang metrik ( , ) . Barisan {

langan bulat positif dengan
san dari {

}.

<

<

< ⋯, maka barisan

} adalah barisan bi-

disebut subbari-

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
19

Korolari 2.1.1
Jika suatu barisan Cauchy dalam ruang metrik ( , ) memuat subbarisan yang
konvergen, maka barisan tersebut konvergen ke limit subbarisannya.
Bukti:
Diberi {

} barisan Cauchy di

sedemikian sehingga

positif

> 0, terdapat bilangan bulat

. Maka untuk setiap
(

)<

,

adalah subbarisan yang konvergen ke . Karena {

)≤

( ,

Untuk

→ ∞, maka

<

,

positif yang bersifat naik, maka
,

<

→ 0 , sehingga ( ,

,

≥

. Misalkan

} adalah barisan bilangan

,

untuk
,

+

,

untuk setiap

,
)<

≥

. Diperoleh
+ .

∎

.

Definisi 2.1.16
Suatu ruang metrik ( , ) dikatakan lengkap jika setiap barisan Cauchy dalam

kon-

vergen ke suatu titik di .

Contoh 2.1.7
Ruang ℝ dengan metrik biasa merupakan ruang metrik yang lengkap.
Diberikan {

sehingga |

} barisan Cauchy di ℝ, maka untuk

−

|<

untuk semua
−

sedemikian sehingga|

,

, dan misalkan

=

kian sehingga |

−

|<

|

−

dan diperoleh barisan {

|

,

=

. Kemudian dipilih

, maka terdapat

≥

. Misal

=

, maka terdapat

−

|=

−

−

< , untuk
<

>

=

−

.
|<

sedemi-

. Langkah di atas terus berlanjut

} sedemikian sehingga
|=

∈ ℕ sedemikian

sedemikian sehingga |

>

dan misalkan

=

. Dipilih

| < , untuk semua

= , maka terdapat

Kemudian dipilih

≥

> 0 terdapat

, untuk

>
>

.

.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
20

−

|

−

|

Karena

−

=
|

−

Diperoleh |

−

−

|=

−

|=

| < . Jadi {

terbukti bahwa {

−

⋮

−

|=
+

<

+

|

}=

−

, untuk

>

.

, untuk

<

−⋯−

>

.

, maka

|<

2

=

konvergen ke

2

.

. Dengan Korolari 2.1.1,

} barisan Cauchy yang konvergen. Maka menurut Definisi 2.1.16,

ℝ dengan metrik biasa merupakan ruang metrik lengkap.
Contoh 2.1.8
= { ∈ ℝ| 0 <

Himpunan

dak lengkap. Diberikan

=

≤ 1} dengan metrik biasa merupakan ruang metrik ti. Dalam Contoh 2.1.6 sudah dibuktikan bahwa {

adalah barisan Cauchy yang konvergen ke 0 . Ruang metrik
terdapat barisan Cauchy di

}

tidak lengkap karena

yang tidak konvergen.

Definisi 2.1.17
Misal ( ,
∈

) dan ( ,

jika untuk setiap

untuk setiap
Jika

) adalah ruang metrik . Fungsi :
> 0 terdapat

yang memenuhi

dikatakan kontinu di
( ), ( ) <

> 0 sedemikian sehingga

( , ) <

kontinu di setiap titik di , maka

→

.

dikatakan kontinu pada .

Contoh 2.1.9
Jika ( ,

) dan ( ,

) ruang metrik, maka fungsi konstan :

Penyelesaian:
Diberikan

> 0

( ), ( ) =

dan

∈ .

( , )= 0<

Untuk

fungsi

untuk setiap

konstan

∈ .

→

kontinu.

( )=

,

berlaku

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
21

Contoh 2.1.10
Diketahui ruang metrik ℝ dengan metrik biasa. Diberikan fungsi : ℝ → ℝ dengan
definisi ( ) =

untuk semua

Penyelesaian:

∈ ℝ. Diberikan

Diambil sebarang

Dengan demikian jika dipilih
| − |<

untuk = 1 ≤

|

| ( ) − ( )| = |

Terbukti

> 0 sedemikian sehingga

+ 2 | ≤ | − | + |2 | < 1 + |2 |

= min

1,

|

|

, maka untuk

yang memenuhi

berlaku

| ( ) − ( )| = |

=

kontinu.

berlaku | ( ) − ( ) | < .

= 1 , maka untuk | − | < 1 berlaku
| + |= | −

untuk

> 0, harus dicari

∈ ℝ yang memenuhi | − | <

untuk setiap
Jika

∈ ℝ. Tunjukkan bahwa

|

|

|

−

|<

, dan

| = | − || +

( 1 + | 2 |) ≤

−

| = | − || +

|<

( + | 2 |) ≤

< 1.

|

|

|

|

( 1 + | 2 |) =

( 1 + | 2 |) =

,

,

kontinu di .

Contoh 2.1.11
Diberikan fungsi : ℝ → ℝ yang didefinsikan oleh
( ) = sin

di ruang metrik ℝ dengan metrik biasa. Fungsi

merupakan fungsi yang kontinu.

Himpunan terbuka ( 0, 2 ) di ℝ dipetakan ke himpunan tertutup [ −1,1 ] di ℝ.
Teorema 2.1.10
Diketahui ( ,

) dan ( ,

) ruang metrik. Fungsi :

jika untuk setiap himpunan terbuka
Bukti:

di ,

→

kontinu jika dan hanya

( ) adalah himpunan terbuka di .

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
22

Misalkan

kontinu dan
( )= { ∈

ditunjukkan

Diketahui bahwa

: ( )∈

kian sehingga
terbuka.

. Karena

( ) ⊆

( ) ⊆

∈

( )

∈

( )

dari .

sedemikian se( ) sedemi-

( ) sehingga

> 0 . Bola

dan

.

( )

di

( ) adalah

juga terbuka.
> 0 sedemikian sehingga

, maka terdapat
( ) ⊆

. Jadi

( )⊆

. Jadi

kontinu. Ambil sebarang

( )

( )

( )∈

( ) terbuka untuk setiap himpunan terbuka

himpunan terbuka di , maka
Karena

( ) , maka

kontinu, maka terdapat bola terbuka

Berikutnya akan dibuktikan jika
→

∈

. Akan

( ) = ∅, maka

. Jika

terbuka, maka terdapat bola terbuka

( ) ⊆

, maka :

} terbuka di

( ) ≠ ∅, ambil sebarang

( ) terbuka. Jika

hingga

adalah sebarang subhimpunan terbuka di

( ) . Terbukti bahwa

( )⊆

kontinu di setiap titik
∎

Teorema 2.1.11
Diketahui ( ,

) dan ( ,

) ruang metrik. Fungsi :

di ,

jika untuk setiap subhimpunan tertutup

→

kontinu jika dan hanya

( ) tertutup di .

Bukti:
Diberikan :

→

kontinu dan

terbuka sehingga

(

himpunan tertutup di . Karena

) terbuka. Karena

( ) tertutup. Jadi terbukti bahwa

Sebaliknya, misalkan
Maka

=

terbuka di

)=

( )

terbuka, maka

( ) tertutup di .

( ) tertutup di

dan

(

tertutup, maka

( )

ngan Teorema 2.1.10 terbukti bahwa fungsi

untuk setiap subhimpunan tertutup
=

(

kontinu.

)=

( ) terbuka di

di .
. De∎

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
23

Definisi 2.1.18
Misalkan ( ,

) dan ( ,

) adalah dua ruang metrik. Fungsi

kontinu seragam jika untuk setiap
( ), ( ) <

> 0 ada

∈

untuk setiap ,

→

:

dikatakan

> 0 sedemikian sehingga
( , ) <

yang memenuhi

.

Contoh 2.1.12
Fungsi : ( 0, 1 ) → ℝ yang didefinisikan oleh ( ) =
Ambil

=

dan sebarang

> 0 . Dipilih

=

tidak kontinu seragam.

dan

=

1

1

<

di mana

.

Maka
( , ) = | − |=
( ) , ( ) = | − ( + 1) | = 1 >

+ 1

1

=

tetapi

−

<

( + 1)

1

<

.

Contoh 2.1.13
Fungsi : [ 0, 1 ] → ℝ yang didefinisikan oleh ( ) =
tinu seragam. Diberikan

> 0 dan dipilih

= . Untuk sebarang

memenuhi | − | < , berlaku

| ( ) − ( )| = |

= | +

Terbukti bahwa fungsi

merupakan fungsi yang kon-

−

,

∈ [ 0, 1 ] yang

|

|| − | ≤ 2 | − | <

.

kontinu seragam pada interval [ 0, 1 ] .

Definisi 2.1.19
Misal ( , ) adalah ruang metrik. Keluarga subhimpunan
sebut selimut dari subhimpunan
Jika setiap

terbuka di , maka

di

jika

= {

:

⊆⋃

∈

.

= {

:

∈ } di

∈ } disebut selimut terbuka dari .

di-

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
24

Jika ℋ merupakan selimut terbuka dari

dan ℋ ⊂ , maka ℋ disebut subselimut

terbuka dari .

Definisi 2.1.20
dari ruang metrik ( , ) dikatakan kompak jika setiap selimut ter-

Subhimpunan
buka dari

memuat subselimut berhingga, yaitu untuk setiap keluarga himpunan ter-

= {

buka
,

,

:
, …,

∈ } dengan

⊆⋃

∈

sedemikian sehingga

,

terdapat subkeluarga berhingga

⊆⋃

.

Contoh 2.1.14
Ruang metrik ( , ) dengan
Misalkan
⊆⋃
∈

∈

= {

,

,

himpunan berhingga adalah himpunan kompak.
} , dan

…,

. Untuk

, ada

sedemikian sehingga

kian sehingga

∈

∈

∈

= {

:

∈ } selimut terbuka untuk , yaitu

sedemikian sehingga

, dan seterusnya, untuk

. Diperoleh ℋ =

,

,

, …,

berhingga dari

yang merupakan subselimut dari , maka

hingga ℋ. Jadi

kompak.

∈

, untuk

ada

∈

ada

sedemi-

adalah subkeluarga
memuat subselimut ber-

Teorema 2.1.12
Setiap subhimpunan tertutup dari ruang metrik yang kompak merupakan himpunan
yang kompak.
Bukti:
Misalkan ( , ) ruang metrik yang kompak, dan

adalah sebarang subhimpunan

takkosong dan tertutup dari . Akan ditunjukkan bahwa
Misalkan
⋃

∈

bahwa
kompak.

= {

. Jika

:

kompak.

∈ } keluarga himpunan-himpunan terbuka di

= (⋃

∈

kompak, maka

)∪

, maka

selimut terbuka dari

dan

⊆

. Diketahui

memiliki subselimut berhingga yang memuat

. Jadi
∎

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
25

Contoh 2.1.15
Ruang metrik ℝ dengan metrik biasa bukan merupakan ruang yang kompak. Selimut
– ,

terbuka

:

∈ ℕ dengan ⋃

( − , ) = ℝ tidak memiliki subselimut ber-

hingga. Jadi ℝ tidak kompak.
Definisi 2.1.21

dikatakan terbatas jika terdapa bilangan

Himpunan

untuk setiap , ∈

berlaku ( , ) <

> 0 sedemikian sehingga

.

Teorema 2.1.13
Setiap subhimpunan

yang kompak di ruang metrik ( , ) adalah himpunan yang

tertutup dan terbatas.
Bukti :
Diketahui

subhimpunan yang kompak. Untuk membuktikan bahwa
∈

terbuka. Diambil sebarang

dibuktikan

( ) dan

sehingga dapat dibuat bola terbuka
( )( ) ∩

, yaitu

dari
,

,

, …,

( ) = ∅. Koleksi

⊆⋃

( ):

=

( ).

∈

∈ . Misal

dan

⊆⋃

( , ) > 0

=

( ) sedemikian sehingga

∈

merupakan selimut terbuka

Diketahui bahwa

sedemikian sehingga

tertutup, akan

(

kompak, maka ada

) . Misal

= ⋂

( ).

Dengan Teorema 2.1.2 (2), yaitu irisan dari keluarga berhingga himpunan terbuka
adalah terbuka, maka
(
(

Karena

)∩

)∩ ⋂

merupakan himpunan yang terbuka yang memuat . Karena

( ) = ∅, ∀ = 1,2,3, … , maka

⊆⋃

( ) =
(

(

)∩

) , maka

∩

= ∅. Sehingga ⋃
= ∅. Jadi

(

⊆

)∩

. Karena

= ∅.
=

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
26

⋃

bukti bahwa

tertutup.
adalah himpunan terbatas. Misalkan {

Selanjutnya akan dibuktikan bahwa
adalah selimut dari
,

terbuka. Dengan Teorema 2.1.3 ter-

, maka dengan Teorema 2.1.2 (1)

∈

,

, …,

= max

, yaitu
sedemikian
,1 ≤ <

,

∈

sedemikian sehingga
diperoleh

( , ) ≤ ( ,

Terbukti bahwa

⊆⋃

(

⊆⋃

sehingga

∈

( ) dan

,

+

)}

kompak, maka terdapat
(

).

Misalkan

. Ambil sebarang , ∈ , maka ada

≤

)+

) . Karena

(

dan

. Dengan ketaksamaan segitiga

,

terbatas.

≤1+

+ 1= 2+

.

∎

B. Ruang Fraktal
Diberikan ( , ) adalah ruang metrik lengkap. Misalkan ℋ( ) adalah keluarga

subhimpunan takkosong yang kompak dari , yaitu
ℋ( ) = { :

Definisi 2.2.1

⊂ ,

≠ ∅,

kompak } .

Misal ( , ) adalah ruang metrik lengkap. Jarak Hausdorff antara

dan

adalah

di ℋ ( )

ℎ( , ) = max{ ( , ) , ( , ) } .

Teorema 2.2.1

ℎ adalah sebuah metrik pada ℋ( ) .
Bukti:

Untuk menunjukkan bahwa ℎ adalah metrik, maka harus dibuktikan bahwa ℎ meme-

nuhi sifat-sifat metrik.

(1) ℎ( , ) = max { ( , ) , ( , ) } . Jika ℎ( , ) =
ℎ( , ) =

( , ) = sup { ( , ) :

( , ) , maka

∈ }

= sup inf { ( , ) :

∈ }:

∈

≥ 0,

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
27

adalah sebuah metrik, sehingga ( , ) ≥ 0 .

karena

Jika ℎ( , ) =

karena
=

(2) Jika

( , ) , maka

ℎ( , ) =

∈ }

( , ) = sup { ( , ) :

= sup inf { ( , ) :

adalah sebuah metrik, sehingga ( , ) ≥ 0 .
, maka untuk ∀ ∈

∈ }:

∈

memenuhi ( , ) = 0 dan ∀ ∈

≥ 0,
memenuhi

( , ) = 0 . Dengan Definisi 2.2.1, maka

ℎ( , ) = max { ( , ) , ( , ) }

∈ } , sup { ( , ) :

= max sup { ( , ) :

= 0

∈ }

Selanjutnya, jika ℎ( , ) = 0 , maka max{ ( , ) , ( , ) } = 0 sehingga
( , ) = 0 dan ( , ) = 0 . Karena
} = 0 sehingga ∀ ∈

maka inf { ( , ) :
( , ) = 0 , yaitu

Begitu juga untuk

( , ) = 0 , yaitu
=

maka
=

.

berlaku inf { ( , ) :

∈ } = 0 . Ambil sebarang

∈ } = 0 . Jadi terdapat

=

. Jadi

∈ , maka

( , ) = 0 . Karena

} = 0 sehingga ∀ ∈

maka inf { ( , ) :

( , ) = 0, maka sup { ( , ) :

⊆ .

sedemikian sehingga

∈ } = 0 . Ambil sebarang

∈ } = 0 . Jadi terdapat
Jadi

∈ ,

( , ) = 0, maka sup { ( , ) :

berlaku inf{ ( , ) :

=

∈

∈ , maka

∈

∈

∈

∈ ,

sedemikian sehingga

⊆ . Terbukti jika ℎ( , ) = 0 ,

. Dengan demikian terbukti bahwa ℎ( , ) = 0 jika dan hanya jika

(3) ℎ( , ) = max { ( , ) , ( , ) } = max { ( , ) , ( , ) } = ℎ( , ) .
(4) ℎ( , ) = max { ( , ) , ( , ) }
≤ max{ ( , ) +

( , ), ( , ) +

( , )}

≤ max{ ( , ) , ( , ) } + max{ ( , ) , ( , ) }
≤ ℎ ( , ) + ℎ( , )

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
28

Dari ( 1 ) , ( 2 ) , ( 3 ) dan ( 4 ) terbukti bahwa ℎ adalah metrik pada ℋ ( ) .

∎

C. Ukuran Lebesgue
Sebelum pembahasan yang lebih lanjut, berikut ini adalah kesepakatan-kesepakatan yang akan digunakan dalam pembahasan Teori Ukuran:
(1) Jika
(2) Jika

∈ ℝ, maka −∞ <
∈ ℝ, maka

< ∞.

+ ∞ = ∞,

∞ = tidak terdefinisi.

(3) Jika
(4) Jika
(5) Jika

∈ ℝ dan
∈ ℝ dan

> 0, maka
< 0, maka

= 0 ∈ ℝ, maka

− ∞ = −∞, ∞ + ∞ = ∞, −∞ − ∞ = −∞, ∞ −

× ∞ = ∞.

× ∞ = −∞, × ( −∞) = ∞.

× ∞ = 0.

Definisi 2.3.1
Panjang interval-interval ( , ) , ( , ] , [ , ) , [ , ] adalah
ℓ( ) =

− .

Definisi 2.3.2
Misalkan

, , , … adalah interval-interval yang saling asing. Maka

ℓ(

∪

∪

∪ … ) = ℓ( ) + ℓ( ) + ℓ( ) + ⋯ .

Berdasarkan definisi di atas jelas bahwa panjang dari gabungan interval-interval
yang saling asing adalah jumlah panjang interval-interval tersebut.

Definisi 2.3.3
Panjang dari himpunan terbuka
buka yang saling asing, adalah
ℓ(

= ⋃

, dengan

) = ℓ( ) + ℓ( ) + ℓ( ) + ⋯ =

Panjang dari himpunan kosong adalah

adalah interval-interval ter-

ℓ( ) .

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
29

ℓ( ∅ ) = 0.

Contoh 2.3.1
Hitunglah panjang himpunan
=

:

=

:

1
2

Penyelesaian:

=

, 1 ) , maka ℓ( ) = 1 − ,

=

,

, maka ℓ( ) =

,

, maka ℓ( ) =

. Interval

,

2

<

≤

<

1

1
2

.

1
2

=

2

− ,

dan seterusnya sampai ke
−

2

1

=

=

1

≤

− ,

=

dan diperoleh

yang panjangnya ℓ( ) =

,

adalah interval yang saling asing sehingga
ℓ( ) = ℓ

= ∑

ℓ( )

= ℓ( ) + ℓ( ) + ℓ( ) + ⋯ + ℓ(
= 1− +

= lim

Jadi panjang himpunan

adalah 1.

→

− +

1−

− + ⋯+

)+ ⋯

= 1.

−

+ ⋯

berhingga atau

tak berhingga

Definisi 2.3.4
Himpunan

dikatakan terhitung jika

≠ ∅ atau

yang ekivalen dengan himpunan semua bilangan asli.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
30

Definisi 2.3.5
yang terdiri dari subhimpunan-subhimpunan dari

Koleksi

disebut aljabar

himpunan jika dan hanya jika memenuhi
(1) ∅,

(2) Jika

∈

(3) Jika ,

;

∈

∈

, maka
∈

;

∪

, maka

∈

.

Definisi 2.3.6
Koleksi

yang terdiri dari subhimpunan-subhimpunan dari

disebut aljabar- jika

dan hanya jika memenuhi
(1) ∅,

(2) Jika

∈

;

∈

, maka

,

(3) Jika

,

Pasangan ( ,

,… ∈

∈

;

, maka ⋃

) disebut ruang terukur.

∈

.

Definisi 2.3.7
→ ℝ, dengan

Fungsi :
(1)
(2)

suatu aljabar- disebut ukuran pada

( ) ≥ 0 untuk setiap
,

Jika

(⋃

Tripel ( ,

) = ∑

,

,… ∈

(

∈

dan

jika :

;

∩

= ∅ untuk ≠ , maka

) (sifat aditif terhitung)

, ) disebut ruang ukuran.

Definisi 2.3.8
Ukuran luar Lebesgue dari suatu himpunan

dengan
⋃

}.

= {∑

ℓ( ) :

∗(

⊆ ℝ adalah bilangan real tak negatif

) = inf

adalah barisan interval s