Dimensi fraktal himpunan Julia - USD Repository

  

DIMENSI FRAKTAL HIMPUNAN JULIA

SKRIPSI

  Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains

  Program Studi Matematika Oleh:

  Titik Murwani NIM: 063114002

  

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2011

  

FRACTAL DIMENSION OF JULIA SETS

THESIS

  Presented as Partial Fulfillment of the Requirements To Obtain the Sarjana Sains Degree

  In Mathematics By :

  Titik Murwani Student Number: 063114002

  

MATHEMATICS STUDY PROGRAM MATHEMATICS DEPARTMENT

SCIENCE AND TECHNOLOGY FACULTY

SANATA DHARMA UNIVERSITY

YOGYAKARTA

2011

HALAMAN PERSEMBAHAN

  Ji ka An da men er i ma Tuhan , An da har us memahami bahwa Di a ada dal am semua y an g ki t a l akukan . dal am semua r el asi , dal am semua t an t an gan , dal am semua r i n t an gan . Ker j a men j adi sebuah i badah j i ka di l akukan ber samaNy a di pi ki r an ki t a.

  (Vi j ay Eswar an )

  

Semuan y a kuper sembahakan un t uk

Bapak dan Ibu M ar to Wi yon o

Or an g t uaku dan saudar aku

dan j uga Di a

  

ABSTRAK

  Dimensi fraktal memberikan kemungkinan untuk mengukur kompleksitas suatu fraktal. Dua metode yang umum digunakan untuk menghitung dimensi fraktal adalah dimensi Hausdorff dan dimensi hitung kotak. Ciri umum dari dua dimensi tersebut adalah tidak harus bilangan bulat. Dimensi Hausdorff dan dimensi kotak dari himpunan Julia dihitung dengan menggunakan konsep similaritas fungsi teriterasi. Himpunan Julia dibangun dari fungsi kompleks kuadratik, yaitu :

  ℂ → ℂ, dengan

  ( ) = ( )

• dan adalah bilangan kompleks. Himpunan Julia penuh adalah

  himpunan titik-titik di ℂ yang memiliki orbit yang terbatas terhadap . Himpunan

  ( ) ( )

  Julia adalah batas dari himpunan Julia penuh . Beberapa sifat dari sistem fungsi teriterasi akan digunakan untuk menunjukkan bahwa dimensi Hausdorff dan dimensi hitung kotak dari himpunan Julia adalah sama.

  

ABSTRACT

Fractal dimension provides the possibility to measure complexity of fractal geometry.

  Two methods commonly used to calculate dimension are Hausdorff dimension and box counting dimension. The common feature of these dimensions is that they need not be integer. The Hausdorff and box counting dimension of Julia set is calculated using the self-similarity concept of iterated function. The Julia sets are generated

  ( ) =

  from the quadratic complex function, i.e : + and is a ℂ → ℂ, where

  

( )

  complex number. The filled Julia set is the collection of points in ℂ whose

  ( ) ( ) orbits with respect to are bounded. The Julia set is the boundary of .

  Some properties of the iterated function system are used to show that Hausdorff and box counting dimension of Julia sets are the same.

KATA PENGANTAR

  Segala puji dan syukur kepada Tuhan yang selalu memberikan kasih dan berkat sehingga penulis dapat meneyelesaikan skripsi ini.

  Skripsi ini disusun untuk memenuhi salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains. Penulis menyadari bahwa skripsi tidak akan selesai tanpa dukungan dari berbagai pihak. Oleh karena itu, penulis ingin menyampaikan terima kasih kepada:

  1. Prof. Drs. Frans Susilo, S.J.,Ph.D. selaku dosen pembimbing yang telah berkenan membimbing, memberikan ilmu, dan perhatiannya kepada penulis selama penulisan skripsi.

  2. Bapak Yosef Agung Cahyanta, S.T., M.T. selaku Dekan Fakultas Sains dan Teknologi yang telah mendukung penulis selama penyusunan skripsi ini.

  3. Ibu Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si, M.Si selaku Kaprodi Matematika dan Ibu Maria Vianney Any Herawati, S.Si.,M.Si. selaku Wakaprodi Matematika sekaligus Dosen Pembimbing Akademik angkatan 2006 yang telah berkenan untuk menguji skripsi ini dan selalu memberikan nasehat, saran, dukungan dan ilmu yang sangat berharga kepada penulis.

  4. Bapak Herry Pribawanto Suryawan, S.Si.,M.Si yang telah memberikan ide dalam pemilihan topik skripsi ini, atas nasehat, saran, pengalaman, pengetahuan serta atas pinjaman buku-bukunya dan berbagai kesempatan diskusi yang diberikan kepada penulis selama menempuh pendidikan.

  5. Bapak Zaerilus Tukija dan segenap staff sekretariat Fakultas Sains dan Teknologi yang telah membantu dalam penulis selama menempuh studi.

  6. Perpustakaan Universitas Sanata Dharma dan staf yang telah menyediakan fasilitas dan kemudahan kepada penulis selama masa studi.

  7. Orang tuaku, Bapak Darwinto dan Ibu Sri Darmini yang selalu memberikan dukungan, nasehat dan doa dalam segala hal dan menyediakan apa saja yang dibutuhkan.

  8. Sahabat-sahabatku, Diyah Sayekti, S.Si., Rochi Ifahyani Siagian, S.Si., Laurencia Rosarianes Yogimurti, Maria Endah Savitri, Marcellina Dewi Abu, Fery Kristianingrum, Metta Diwya Kundalini, dan Sisiria Mardiawati yang selalu menemani dalam suka dan duka dan yang selalu memahami penulis.

  9. Teman-teman 2004-2009 yang telah menemani, mendukung dan berbagi banyak pengalaman kepada penulis.

  10. Semua pihak yang telah membantu penulis selama menempuh studi dan penuyusunan skripsi ini yang tidak bisa disebutkan satu persatu.

  Yogyakarta, 24 Januari 2010 Penulis

  Titik Murwani

  DAFTAR ISI

  Halaman HALAMAN JUDUL ........................................................................................ i HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS ......................................... ii HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING .................................................. iii HALAMAN PENGESAHAN ............................................................................ iv HALAMAN PERSEMBAHAN ......................................................................... v HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ......................................... vi HALAMAN ABSTRAK .................................................................................... vii HALAMAN ABSTRACT.................................................................................. viii LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS ........................................................... ix KATA PENGANTAR ....................................................................................... x DAFTAR ISI ..................................................................................................... xii BAB I PENDAHULUAN ..................................................................................

  1 A. Latar Belakang Masalah .....................................................................

  1 B. Rumusan Masalah ...............................................................................

  3 C. Pembatasan Masalah ...........................................................................

  3 D. Tujuan Penulisan ................................................................................

  4

  F. Metode Penulisan ................................................................................

  51 C. Dimensi Hitung Kotak ......................................................................

  74 DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................

  73 5.2 Saran ...............................................................................................

  73 5.1 Kesimpulan .....................................................................................

  68 BAB V PENUTUP ............................................................................................

  63 B. Penghitungan Dimensi Fraktal Himpunan Julia ................................

  63 A. Himpunan Julia ................................................................................

  54 BAB IV DIMENSI FRAKTAL HIMPUNAN JULIA ........................................

  43 B. Dimensi Hausdorff ...........................................................................

  4 G. Sistematika Penulisan .........................................................................

  43 A. Ukuran Hausdorff ............................................................................

  39 BAB III DIMENSI FRAKTAL ..........................................................................

  37 E. Sistem Fungsi Iterasi ........................................................................

  28 D. Fungsi Kompleks .............................................................................

  26 C. Ukuran Lebesgue ..............................................................................

  6 B. Ruang Fraktal ...................................................................................

  6 A. Ruang Metrik....................................................................................

  4 BAB II RUANG METRIK DAN RUANG FRAKTAL ......................................

  75

BAB I PENDAHULUAN A. LATAR BELAKANG MASALAH Fraktal adalah cabang baru dalam matematika dan seni. Orang semakin

  

mengenali fraktal karena gambar–gambar yang dihasilkan menarik. Sistem–sistem

fisika dan benda–benda kreatifitas manusia bukanlah bentuk–bentuk geometri

yang teratur. Hal yang membuat fraktal semakin menarik adalah kemampuannya

dalam mendeskripsikan fenomena-fenomena alam seperti garis pantai, gunung,

kehidupan organisme dalam persamaan matematika.

  Fraktal bisa dihasilkan dengan cara mengulang suatu pola sehingga memi-

liki struktur yang serupa dengan bentuk semula untuk tiap bagiannya. Pengulang-

an pola–pola tersebut menyebabkan suatu fraktal dapat memiliki detil tak hingga.

Geometri fraktal mampu mendeskripsikan bentuk–bentuk yang tak hingga ba-

nyaknya.

  Meskipun fraktal sangat berkaitan dengan teknologi komputer, tetapi frak-

tal ditemukan sebelum teknologi komputer berkembang. Benoit Mandelbrot ada-

lah orang yang pertama kali mengenalkan istilah fraktal pada tahun 1982 dalam

bukunya yang berjudul “ The Fractal Geometry of Nature ”. Kata fraktal berasal

dari kata fractus ( Bahasa Latin ) yang berarti patah, rusak atau tidak teratur. Se-

belum istilah fraktal digunakan, benda–benda yang tidak teratur disebut kurva

monster.

  Dua sifat penting yang dimiliki fraktal adalah sifat self–similarity ( kese-

bangunan diri ) dan dimensinya yang tidak bulat. Sifat self–similarity dapat terli-

hat jelas pada pohon pakis. Setiap bagian dari pohon pakis itu memiliki bentuk

yang serupa dengan bentuk awalnya atau bentuk utuhnya.

  Mandlebrot mendefinisikan fraktal sebagai himpunan yang mempunyai

dimensi tak bulat. Setiap bangun dalam geometri Euclid memiliki dimensi yang

bulat, misalnya titik berdimensi nol, garis lurus dan kurva berdimensi satu, bidang

datar dan luasan berdimensi dua, dan benda–benda ruang seperti bola, kubus ber-

  

sinya tidak bulat, sehingga konsep fraktal tidak dapat dijelaskan dengan konsep

geometri klasik (Geometri Euclid).

  Bilangan yang digunakan untuk membandingkan fraktal yang satu dengan

yang lain disebut dimensi fraktal. Secara intuitif, gagasan mengenai dimensi me-

ngarah pada bilangan bulat seperti pada objek geometri pada umumnya, namun

gagasan tersebut dipatahkan oleh Hausdorff dan Besicovitch. Konsep mengenai

dimensi yang takbulat ini pertama kali dikenalkan oleh Felix Hausdorff dan Ab-

ram Samoilovitch Besicovitch pada tahun 1918, dan kemudian dimensi ini disebut

  .

dimensi Hausdorff- Besicovitch, atau dimensi Hausdorff Dimensi Hausdorff dari

himpunan sangat bergantung pada ukuran Hausdorff berdimensi dari himpu-

nan , yaitu ( ) , dengan adalah bilangan real positif, yaitu

  ( ) = inf{ : ( ) = 0} = sup{ : ( ) = }, ∞

  | } dengan ( ) = lim inf{ | : { adalah selimut- dari }.

  ∑ ℋ →

  Metode lain yang sering digunakan untuk mencari dimensi fraktal dari .

suatu himpunan adalah dimensi hitung kotak atau dimensi Minkowski–Bouligand

Untuk menghitung dimensi hitung kotak dari suatu himpunan, misal himpunan ,

himpuna n tersebut diselimuti oleh jaring-jaring kemudian dihitung banyaknya jaring

yang menyelimuti . Gagasan mendasar dari dimensi ini adalah menghitung berapa

banyak perubahan yang terjadi bila ukuran dari jaring tersebut diubah. Dimensi

bergantung pada konsep lim inf dan lim sup. Misalkan hitung kotak

  ( , ) adalah

jumlah minimum dari jaring-jaring bersisi yang menyelimuti . Dimensi hitung

kotak bawah dari dihitung dengan rumus

  ( ) log dim = li m i nf

  → log − dan dimensi hitung kotak atas dari

  ( ) log = lim sup . dım

  → log − Jika dim = , maka nilainya disebut dimensi hitung kotak . dım Beberapa contoh fraktal yang umum adalah himpunan Mandelbrot, himpu-

nan Julia, himpunan Cantor, segitiga Sierpinski, karpet Sierpinski, spons Menger,

  

yang sangat terkenal, yang tergolong ke dalam fraktal bilangan kompleks. Him-

punan Julia ditemukan lebih dulu daripada himpunan Mandelbrot. Himpunan Julia

ditemukan oleh Gaston Maurice Julia, seorang matematikawan Perancis yang ber-

profesi sebagai tentara.

  Himpunan Julia dibangun dari pemetaan fungsi teriterasi : ℂ → ℂ yang

• didefinisikan dengan = , dengan adalah bilangan kompleks. Barisan

  

bilangan kompleks , ( ) , yang terbentuk disebut orbit dari

( ) , …, ( ) , … titik ℂ terhadap pemetaan fungsi kompleks . Barisan bilangan kompleks dari

dikatakan terbatas jika terdapat bilangan positif sedemikian sehingga

| untuk semua bilangan bulat positif . Himpunan semua titik yang

( ) | <

orbitnya terhadap pemetaan yang terbatas disebut himpunan Julia penuh, dan

  ( )

dinotasikan dengan . Batas dari himpunan Julia penuh tersebut yang ke-

mudian disebut himpunan Julia dan dinotasikan dengan ( ) .

  Dimensi himpunan Julia dihitung dengan menggunakan sifat invarian ter-

hadap suatu pemetaan kontraksi : , = 1, 2, … di ruang metrik ( , )

ℝ → ℝ dengan adalah konstanta kontraksi untuk . Himpunan Julia bersifat invarian

terhadap sehingga dim ( ) = ( ) = untuk tertentu dan dengan

memenuhi = 1 .

  ∑ B.

RUMUSAN MASALAH

  1. Apa yang dimaksud dengan dimensi fraktal?

  2. Bagaimana menghitung dimensi hitung kotak dan dimensi Hausdorff ?

  3. Bagaimana menghitung dimensi fraktal pada himpunan Julia? C.

PEMBATASAN MASALAH

  Dalam penulisan skripsi ini hanya akan dibahas dimensi fraktal. Penulis

tidak akan membahas mengenai komputasi tentang dimensi fraktal. Penulis hanya

akan menggunakan dua metode untuk menghitung dimensi fraktal, yaitu dimensi

Hausdorff dan dimensi hitung kotak.

  D. TUJUAN PENULISAN Penyusunan skripsi ini bertujuan untuk mempelajari dimensi fraktal, khu- susnya dimensi Hausdorff dan dimensi hitung kotak pada himpunan Julia.

  E. MANFAAT PENULISAN Manfaat yang akan diperoleh setelah mempelajari topik ini adalah dapat

memahami dimensi fraktal dan mengetahui langkah penghitungan dimensi Haus-

dorff dan dimensi hitung kotak pada himpunan Julia.

  F. METODE PENULISAN Metode yang digunakan penulis adalah metode studi pustaka, yaitu dengan

mempelajari buku-buku dan karangan-karangan yang berkaitan dengan topik

skripsi ini, sehingga tidak ada hal-hal baru.

  G. SISTEMATIKA PENULISAN

BAB I. PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah B. Rumusan Masalah C. Pembatasan Masalah D. Tujuan Penulisan E. Manfaat Penulisan F. Metode Penulisan G. Sistematika Penulisan BAB II. RUANG METRIK DAN RUANG FRAKTAL A. Ruang Metrik B. Ruang Fraktal C. Ukuran Lebesgue D. Fungsi Kompleks E. Sistem Fungsi Iterasi

BAB III. DIMENSI FRAKTAL A. Ukuran Hausdorff B. Dimensi Hausdorff C. Dimensi Hitung Kotak BAB IV. DIMENSI FRAKTAL HIMPUNAN JULIA. A. Himpunan Julia B. Penghitungan Dimensi Fraktal Himpunan Julia BAB V. PENUTUP A. Kesimpulan B. Saran

BAB II RUANG METRIK DAN RUANG FRAKTAL Dalam bab ini dibahas tentang pengertian-pengertian dasar yang akan diguna-

  kan dalam pembahasan selanjutnya, antara lain: ruang metrik, ruang fraktal, ukuran Lebesgue, fungsi kompleks dan sistem fungsi iterasi.

A. Ruang Metrik

  Konsep jarak memiliki peran penting untuk mendefinisikan kekonvergenan, ke- kontinuan, dan keterdiferensialan suatu fungsi. Jarak dari titik ke titik , ditulis

  ( , )

  , adalah sebuah bilangan real positif. Ruang metrik merupakan himpunan yang dilengkapi dengan konsep jarak antara dua titik. Konsep ruang metrik diformulasikan oleh M. Frechet pada tahun 1906. Pada bagian ini akan dibahas konsep-konsep him- punan terbuka, himpunan tertutup, kekonvergenan, kekontinuan, dan kekompakan dalam ruang metrik.

  Definisi 2.1.1

  Misalkan adalah suatu himpunan takkosong. Metrik pada adalah fungsi bernilai real : × → ℝ yang memenuhi sifat-sifat berikut ini:

  ( , ) 1. 0, , .

  ≥ ∀ 2. ( , ) = 0 = , , .

  ↔ ∀ 3. ( , ) = ( , ) , , (Simetri).

  ∀ 4. ( , ) ( , ) + ( , ) , , , (Ketaksamaan segitiga). ≤ ∀

  Sebuah metrik juga disebut fungsi jarak. Himpunan takkosong yang dilengkapi dengan sebuah metrik pada disebut ruang metrik, ditulis ( , ) . Ang- gota-anggota dari himpunan , yang merupakan sebuah ruang metrik, disebut titik.

  Contoh 2.1.1

  Akan dibuktikan bahwa fungsi : × ℝ ℝ → ℝ didefinisikan sebagai berikut:

  

( , ) = | |

  − merupakan metrik pada himpunan dari semua bilangan real ℝ.

  Penyelesaian:

  ( , )

  Untuk menunjukkan bahwa merupakan metrik pada himpunan ℝ cukup

  ( , ) dibuktikan bahwa memenuhi sifat-sifat pada Definisi 2.1.1.

  (1) Nilai mutlak suatu bilangan real selalu bernilai taknegatif, yaitu

  ( , ) = | | 0, ,

  − ≥ ∀ ℝ.

  ( , ) = 0,

  (2)

  ,

  ∀ ℝ ⇔

  

| | = 0, ,

  − ∀ ℝ ⇔

  = 0, ,

  − ∀ ℝ ⇔

  

= , ,

  ∀ ℝ

  ( , ) = | |,

  (3)

  ,

  − ∀ ℝ = | |, ,

• = | |, ,

  − ∀ ℝ

  − ∀ ℝ = ( , ) , ,

  ∀ ℝ

  ( , ) = | |,

  (4)

  ,

  − ∀ ℝ

  |,

  = | , , − − ∀ ℝ

• | + | |, | , ,

  ≤ − − ∀ ℝ

  ( , ) + ( , ) , , ,

  ≤ ∀ ℝ

  ( , )

  Dari (1), (2), (3), dan (4) disimpulkan bahwa merupakan metrik pada himpu- nan ℝ, dan disebut metrik biasa pada ℝ.

  Contoh 2.1.2 ) ) ( , )

  Misalkan = = ( , dan = ( , . Jarak Euclides yang diberi- ℝ , kan oleh

  

( , ) = ( ) + ( ) , adalah metrik dan disebut metrik biasa pada ℝ .

  Definisi 2.1.2

  Misal adalah metrik pada , adalah titik di , dan adalah subhimpunan takko- song dari . Jarak antara titik ∈ dengan subhimpunan didefinisikan:

( , ) = { ( , ) : }.

  ∈

  Contoh 2.1.3

  Misalkan = { : 0 < 1} dan adalah metrik biasa pada ∈ ℝ ≤

  ℝ. Jarak

  ( 0, ) = { ( 0, ) : 0 < 1}

  ≤

  ( 0, ) = {|0 |: 0 < 1}

  − ≤

  ( 0, ) = { : 0 < 1} = 0

  ≤

  Definisi 2.1.3

  Misal adalah metrik pada , dan diberikan sebarang dua subhimpunan takkosong dan dari ruang metrik ( , ) . Jarak antara dua subhimpunan takkosong dan

  ( , ) = sup{ ( , ) : } dari didefinisikan .

  ∈

  Definisi 2.1.4

  Misal adalah metrik pada . Diameter dari subhimpunan takkosong dari didefinisikan:

  

( ) = { ( , ) : , }.

  ∈

  ( ) < ( ) =

  Bila ∞, maka diameter dikatakan berhingga. Bila ∞, maka diame-

  

( )

  ter dikatakan takhingga. Selanjutnya didefinisikan sama dengan ∅ −∞.

  Definisi 2.1.5

  Suatu metrik pada himpunan takkosong dikatakan terbatas jika terdapat bilangan real > 0 sedemikian sehingga

  

( , ) , , .

  ≤ ∀ ∈

  ( , ) Ruang metrik dengan metrik terbatas disebut ruang metrik terbatas.

  Definisi 2.1.6 ( , )

  Diketahui suatu ruang metrik, > 0. Bola terbuka dengan pusat ∈ dan dan jari-jari didefinisikan

  

( ) = { : ( , ) < }

  ∈ Himpunan

  

[ ] = { }

: ( , )

  ∈ ≤ disebut bola tertutup dengan pusat dan jari-jari .

  ( ) [ ],

  Berdasarkan dua defnisi di atas, jelas bahwa untuk setiap ⊂ ∈ dan

  

> 0. Himpunan kosong dan dapat dipandang berturut-turut sebagai bola dengan

  jari-jari = 0 dan jari-jari = ( , ) , bola terbuka ( ) ∞. Dalam ruang metrik ℝ merupakan selang terbuka ( , ) , sedangkan bola tertutup [ ] merupakan

• selang tertutup [ + , ] .

  −

  − Dalam ruang diskret ( , ) , bola terbuka ( ) dapat didefinisikan seperti berikut:

  { } jika 0 <

  1

  ≤

  ( ) = jika > 1.

  Dan bola tertutup didefinisikan

  { } jika 0 < < 1 [ ] = jik 1.

  ≥

  Definisi 2.1.7 ( , )

  Misalkan adalah sebuah ruang metrik dan . Subhimpunan dari di- ∈

  ( )

  sebut kitar dari titik jika terdapat sebuah bola terbuka yang berpusat di dan termuat di , yaitu ( ) untuk suatu > 0.

  ⊆

  Contoh 2.1.4

  ( ) ( )

  Misalkan bola terbuka dan ambil sebarang . Jika = , maka ∈

  ( ) ( ) ( )

  , yaitu kitar dari . Jika ∈ ⊆ ≠ , untuk menunjukkan bahwa

  ( ) merupakan kitar dari , harus ditunjukkan bahwa terdapat > 0 sedemikian

  sehingga ( ) ( ) .

  ⊆

  ( ) ( , ) <

  Diketahui bahwa , maka . Diambil = ( , ) > 0 . Am- ∈

  −

  ( ) ( , ) <

  bil sebarang , maka , sehingga dengan menggunakan ke-taksa- ∈ maan segitiga diperoleh

  

( , ) ( , ) + ( , ) < ( , ) = .

• ( ) ( ) ( ) ( )

  ≤

  Diperoleh bahwa ( , ) < , berarti . Jadi , yaitu ∈ ⊆ kitar dari .

  Definisi 2.1.8 ( , )

  Diberikan suatu ruang metrik dan subhimpunan takkosong dari . Titik

  > 0 sedemikian se-

  ∈ disebut titik interior dari subhimpunan jika terdapat

  ( )

  hingga ⊂ .

  Definisi 2.1.9

  Subhimpunan di disebut himpunan terbuka jika semua titik dari adalah titik interior. Dengan kata lain, subhimpunan dari suatu ruang metrik ( , ) dikatakan

  

terbuka di terhadap metrik jika merupakan kitar untuk setiap titiknya, yaitu un-

> 0 ( )

  tuk setiap sedemikian sehingga ∈ , terdapat ⊂ .

  Teorema 2.1.1 ( ) Setiap bola terbuka adalah himpunan terbuka.

  Bukti:

  ( ) ( )

  Diketahui bola terbuka yang berpusat di . Ambil sebarang , maka ∈

  ( , ) < ( , ) > 0

  ( ) ( ) ( , ) <

  , yaitu . Ambil sebarang , maka . Dengan menggunakan ∈ sifat ketaksamaan segitiga diperoleh

  

( , ) ( , ) + ( , ) < ( , ) = .

• ( , ) < ( ) ( ) ( ) .

  ≤

  Jadi , yang menunjukkan bahwa . Maka Ter- ∈ ⊆ bukti bahwa bola terbuka ( ) merupakan himpunan terbuka.

  ∎

  Teorema 2.1.2 ( , )

  Dalam setiap ruang metrik (1) Gabungan dari sebarang keluarga dari himpunan-himpunan terbuka adalah ter- buka (2) Irisan dari keluarga berhingga himpunan-himpunan terbuka adalah terbuka. Bukti: (1) Diberikan sebarang himpunan dan dengan

  ∈ adalah keluarga himpunan terbuka. Akan dibuktikan bahwa = adalah terbuka. Ambil sebarang ⋃ ∈

  Himpunan ∈ , maka terdapat ∈ sedemikian sehingga ∈ . merupakan himpunan terbuka, maka terdapat > 0, sedemikian sehingga ( ) . Maka ( ) = . Jadi terbukti terbuka.

  ⊆ ⊆ ⋃ ∈

  (2) Diberikan keluarga berhingga himpunan terbuka , , , …, . Akan dibuk- tikan = terbuka. Ambil sebarang ⋂ ∈ , maka ∈ , untuk setiap

  = 1, 2, 3, …, . Diketahui adalah himpunan yang terbuka, maka terdapat ( ) > 0 sedemikian sehingga = 1, 2, 3, …, .

  ⊆ , untuk masing-masing

  ( ) ( )

  Jika diambil = min { , , , …, } , maka > 0 dan ⊆ ⊆ untuk setiap = 1, 2, 3, …, . Maka = . Terbukti bahwa adalah

  ⊆ ⋂ terbuka.

  ∎

  Definisi 2.1.10 ( , )

  Diberikan suatu ruang metrik dan subhimpunan takkosong dari . Titik

  > 0 berlaku

  ∈ disebut titik limit dari subhimpunan jika untuk setiap

  ( ) ( { }) ∩ − ≠ ∅.

  Definisi 2.1.11

  Himpunan di disebut himpunan tertutup jika semua titik limitnya adalah anggota dari .

  Lema 2.1.1 ( , )

  Misalkan ruang metrik. Himpunan kosong ∅ dan adalah himpunan terbuka. Bukti: Suatu implikasi bernilai benar apabila antesedennya salah. Implikasi “jika

  ∈ ∅, maka adalah titik interior dari ∅” adalah pernyataan yang benar untuk setiap ∈ .

  Jadi ∅ adalah himpunan terbuka.

  ( )

  Selanjutnya, ambil sebarang = 1 , maka ∈ . Dipilih ⊆ . Terbukti terbuka.

  ∎

  Teorema 2.1.3 ( , )

  Himpunan dalam ruang metrik adalah tertutup jika dan hanya jika ter- buka. Bukti: Akan dibuktikan bahwa jika tertutup, maka terbuka. Diberikan sebarang himpu-

  = =

  nan tertutup. Jika − ∅, maka terbuka. Jika ≠ ∅, diambil seba- rang , berarti

  ∈ ∉ . Diketahui bahwa himpunan tertutup, maka bukan titik

  ( ) ( ) limit , sehingga ada > 0 sedemikian sehingga = .

  ∩ ∅. Jadi ⊆ Terbukti bahwa terbuka. Sebaliknya, diberikan himpunan terbuka. Ambil sebarang ∈ dan titik limit

  . Akan dibuktikan ∈ . Andaikan ∉ , yaitu ∈

  ∈ .

  ⋃ tertutup.

  =

  ⋂ terbuka. Karena terbuka, maka tertutup. Terbukti bahwa

  Himpunan adalah himpunan tertutup untuk setiap = 1, 2, 3, …, . Jadi terbuka untuk setiap = 1, 2, 3, …, . Dengan Teorema 2.1.2, maka ⋂ ter- buka. Jadi =

  . Dengan hukum De Morgan diperoleh = = .

  dan misalkan = ⋃

  }

  adalah tertutup karena komplemen himpunan terbuka adalah himpunan tertutup menurut Teorema 2.1.3. (2) Diberikan keluarga berhingga himpunan-himpunan tertutup = { , , …,

  ∈

  ⋂

  ) =

  ⋃ ∈

  Menurut Teorema 2.1.3, jika tertutup, maka terbuka. Himpunan ada- lah himpunan terbuka, sehingga menurut Teorema 2.1.2, ⋃ ∈ adalah ter- buka. Jadi (

  ∈ =

  , maka ada > 0 sedemi-

  adalah suatu keluarga himpunan tertutup. Dengan hu- kum De Morgan diperoleh

  }

  ∈ Λ

  = { ,

  ℱ

  (1) Irisan dari sebarang keluarga himpunan-himpunan tertutup adalah tertutup (2) Gabungan keluarga berhingga himpunan-himpunan tertutup adalah tertutup Bukti: (1) Misalkan

  ( , )

  Dalam setiap ruang metrik

  Teorema 2.1.4

  Hal ini kontradiksi karena titik limit . Jadi ∈ . Terbukti tertutup. ∎

  = ∅. Akibatnya bukan titik limit .

  . Maka ( ) ∩

  kian sehingga ( ) ⊆

  ∎

  Teorema 2.1.5 Setiap bola tertutup adalah himpunan tertutup.

  Bukti:

  [ ] ( , )

  Diberikan sebarang bola tertutup di ruang metrik . Akan dibuktikan

  [ ] [ ] [ ]

  bahwa terbuka. Ambil sebarang , maka . Hal ini berarti ∈ ∉

  

( , ) > . Misalkan = ( , ) > 0 . Ambil sebarang ( ) , maka

  − ∈

  ( , ) <

  , sehingga

  ( , ) < ( , )

  −

  ( , ) ( , ) <

  −

  

< ( , ) + ( , ) ( , )

  − < ( , ) .

  ( , ) > , [ ] [ ] ( ) [ ]

  Karena maka , yaitu . Jadi . De- ∉ ∈ ⊂

  [ ] ngan demikian terbuka.

  ∎

  Definisi 2.1.12 ( , )

  Misal adalah ruang metrik dan ⊆ . Penutup dari , ditulis ̅, adalah gabu- ngan dari dengan himpunan semua titik limitnya. Jadi ̅ =

  ∪ ′, dengan ′ ada- lah himpunan semua titik limit .

  Contoh 2.1.5 (

  Misal , ) ruang metrik dengan metrik biasa dan = : ℚ

  ∈ ℕ ⊂ ℚ. Semua titik anggota himpunan bukan titik limit. Satu-satunya titik limit adalah nol. Jadi

  {0} = .

  ∪

  Teorema 2.1.6 ( , )

  Misalkan dan adalah sebarang himpunan dari ruang metrik . Maka

  (2) Jika ⊆ , maka ̅ ⊆ . (3) = jika dan hanya jika tertutup. (4) ̅ adalah irisan dari semua himpunan tertutup yang memuat . (5) ̅ adalah himpunan tertutup terkecil yang memuat . (6) =

  ∪ ̅ ∪ . (7) ∩ ⊆ ̅ ∩ . Bukti: (1) Untuk membuktikan bahwa ̅ tertutup, akan dibuktikan bahwa ̅ terbuka, yaitu

  ( )

  untuk setiap > 0 sedemikian sehingga = ∈ ̅ ada ⊆ ̅ . Jika ̅ ∅, maka ̅ terbuka. Jika ̅

  ≠ ∅, ambil sebarang ∈ ̅ , maka ∉ ̅, sehingga

  ( ) > 0 sedemikian sehingga =

  ∉ dan ∉ ′. Maka ada ∩ ∅. Ambil sebarang ( ) , maka ( , ) < . Misal = ( , ) . Ambil sebarang ∈ −

  ( ) ( , ) <

  , maka . Dengan ketaksamaan segitiga diperoleh ∈

  ( , ) ( , ) + ( , ) < =

• sehingga ( ) . Jadi ( ) ( ) . Karena ( ) = ( )

  ≤ −

  ∈ ⊆ ∩ ∅, maka ∩

  =

  ∅, yang berarti ∉ dan ∉ ′, yaitu ∉ ̅, sehingga ∈ ̅ . Maka

  ( ) ⊆ ̅ Jadi ̅ terbuka. Dengan Teorema 2.1.3, terbukti ̅ tertutup.

  ( )

  (2) Ambil sebarang , > 0. Karena ∈ ̅, maka ∩ ≠ ∅ ∀ ⊆ , maka

  ( ) ∩ ≠ ∅. Jadi ∈ , sehingga terbukti ̅ ⊆ .

  ̅, maka tertutup. Dari (1) sudah terbukti bahwa ̅ (3) Akan dibuktikan jika = tertutup. Karena = ̅, jadi tertutup. Berikutnya akan dibuktikan jika tertu- tup, maka =

  ̅. Untuk membuktikannya akan ditunjukkan bahwa ⊆ ̅ dan

  = ⊇ ̅. Berdasarkan definisi penutup , yaitu ̅ ∪ ′, maka ⊆ ̅.

  Kemudian diambil sebarang ∈ ̅, maka ∈ atau ∈ ′. Jika ∈ , maka

  ⊇ ̅. Jika ∈ ′, maka titik limit . Diketahui bahwa tertutup, maka ∈ ̅. . Jadi terbukti

  =

  ⊇ ̅. Dengan demikian terbukti bahwa

  (4) Misalkan adalah irisan dari semua himpunan tertutup yang memuat . Jadi merupakan himpunan tertutup dan ⊆ . Dengan menggunakan (2) dan

  ≠ ∅

  ∀

  ,

  hingga ( ) ∩ ≠ ∅

  > 0 , se-

  ∀

  ,

  { })

  ⊆

  −

  (

  ∩

  ( )

  ∈ ′, maka

  > 0 . Jika

  ∀

  > 0 . Terbukti ̅

  {

  ∩ ≠ ∅

  ∀ > 0 . Misalkan

  ∀

  ,

  ∩ ≠ ∅

  { } . Diketahui bahwa ( )

  −

  =

  ∉ , maka

  ,

  ∈

  ∩ ≠ ∅

  ( )

  ∈ sedemikian sehingga

  ∀ > 0} . Selanjutnya, ambil sebarang

  ,

  ∩ ≠ ∅

  : ( )

  ,

  ( )

  ( 3)

  ⊆ ∪ . Jadi ̅ ∪ ⊆ ∪ . Kemudian, harus dibuktikan bahwa ∪ ⊆ ̅ ∪ . Diambil sebarang ∈ ∪ . Andaikan ∉ ̅ ∪ . Maka ∉ ̅ dan

  . Bola terbuka

  min { , }

  yang tidak memuat titik di . Misalkan =

  ( )

  yang tidak memuat titik di , dan terdapat bola terbuka

  ( )

  ∉ , sehingga terdapat bola terbuka

  diperoleh ̅ ⊆ ∪ dan

  tidak memuat titik-titik dari ∪ . Hal ini kontradiksi karena

  ( 2)

  ⊆ ∪ dan ⊆ ∪ , maka dengan

  ⊆ . Penutup dari merupakan himpunan tertutup yang memuat . Jadi ̅ merupakan himpunan tertutup terkecil yang memuat . (6) Karena

  ⊆ ̅. Terbukti = ̅. (5) Akibat dari bukti (4), maka ̅

  ⊆ . Selanjutnya ̅ merupakan himpunan tertutup yang memuat . Himpunan adalah irisan dari semua himpu- nan tertutup yang memuat . Jadi

  = karena tertutup. Jadi ̅

  diperoleh ̅ ⊆

  ( )

  ∈ ∪ . Dengan demikian pengandaian bahwa ∉ ̅ ∪ tidak benar. Jadi ∪ ⊆ ̅ ∪ . (7) Karena

  ∈ ̅, maka ∈ atau ∈ ′. Jika ∈ , maka jelas bahwa

  = {

  Bukti: Ambil sebarang

  > 0}

  ∀

  ,

  ∩ ≠ ∅

  : ( )

  ∈

  ̅

  ∩ ⊆ dan ∩ ⊆ , maka dengan

  ruang metrik dan ⊂ , maka

  ( , )

  Misalkan

  Teorema 2.1.7

  ∩ ⊆ . Jadi ∩ ⊆ ̅ ∩ . ∎

  diperoleh ∩ ⊆ ̅ dan

  ( 2)

  > 0 , maka

  { ( ) Terbukti : , > 0} .

  ∈ ∩ ≠ ∅ ∀ ̅ ⊇

  ( ) Dengan demikian terbukti ̅ = { : , > 0}.

  ∈ ∩ ≠ ∅ ∀ ∎

  Definisi 2.1.13 ( , ) { }

  Misalkan suatu ruang metrik. Barisan di dikatakan konvergen ke suatu titik > 0 terdapat bilangan positif sedemikian sehingga ∈ jika untuk setiap

  ( { } , ) < , untuk setiap

  dan ditulis ≥ . Titik disebut limit barisan

  lim = atau

  → . Barisan yang tidak konvergen disebut divergen. Dengan

  → { }

  perkataan lain, barisan di dikatakan konvergen ke suatu titik ∈ jika dan hanya jika untuk sebarang bola terbuka ( ) yang berpusat di terdapat bilangan positif sedemikian sehingga ( ) untuk semua ∈ ≥ .

  Teorema 2.1.8 ( , )

  Jika adalah suatu ruang metrik, maka setiap barisan di yang konvergen akan konvergen ke satu titik. Bukti: Diberikan barisan { } yang konvergen. Andaikan barisan { } konvergen ke titik dan titik yang berbeda. Ambil sebarang > 0 , maka ada ,

  ∈ ℕ sedemikian sehingga ( , ) < untuk setiap ( , ) < untuk setiap ≥ dan ≥ .

  }

  Ambil = max { , , maka untuk ≥ berlaku

  ( , ) ( , ) + ( , ) < + = .

  ≤

  2

  2 Jadi untuk setiap > 0 berlaku ( , ) < . Ini berarti = . Terbukti bahwa bari- san konvergen ke satu titik.

  ∎

  Definisi 2.1.14 { } ( , )

  Sebuah barisan dalam ruang metrik disebut barisan Cauchy jika untuk

  ( ) <

  setiap > 0 terdapat bilangan bulat positif sedemikian sehingga , , untuk setiap , > .

  Teorema 2.1.9 { } ( , ) Setiap barisan yang konvergen di ruang metrik adalah barisan Cauchy.

  Bukti:

  ( , ) { } ( , )

  Diberikan ruang metrik dan barisan di yang konvergen ke . De- ngan Definisi 2.1.13 maka untuk setiap > 0 terdapat sedemikian sehingga

  ( , ) < untuk setiap > . Dengan ketaksamaan segitiga, untuk ,

  ≥

  ( ) ( ( , ) < { }

  berlaku , , ) + = . Jadi merupakan barisan ≤

• Cauchy.

  ∎

  Contoh 2.1. 6 { } = ( , ) = ( 0, 1]

  Diberikan barisan di ruang metrik dengan pada garis

  { }

  real dan adalah metrik biasa. Tunjukkan bahwa barisan merupakan barisan Cauchy yang konvergen ke 0 tetapi ∉ . Penyelesaian: Diberikan > 0 , terdapat sehingga < . Untuk setiap

  ≥ dan ≥ dan dimisalkan ≥ berlaku

  1

  1

  1

  1

  1

  1 ( ) = , , = < < .

  − ≤

  { }

  Barisan merupakan barisan Cauchy yang konvergen ke 0 tetapi ∉ .

  Definisi 2.1.15

  Misalkan { } adalah barisan di ruang metrik ( , ) . Barisan { } adalah barisan bi- langan bulat positif dengan < < < disebut subbari- ⋯, maka barisan

  { } san dari .

  Korolari 2.1.1 ( , )

  Jika suatu barisan Cauchy dalam ruang metrik memuat subbarisan yang konvergen, maka barisan tersebut konvergen ke limit subbarisannya. Bukti: Diberi { } barisan Cauchy di . Maka untuk setiap > 0 , terdapat bilangan bulat positif sedemikian sehingga ( , ) < untuk setiap ,

  ≥ . Misalkan

  { }

  adalah subbarisan yang konvergen ke . Karena adalah barisan bilangan positif yang bersifat naik, maka , < untuk , ≥ . Diperoleh

( , ) + , , < , .

• ( , ) < Untuk , , sehingga .

  ≤

  → ∞, maka → ∎

  Definisi 2.1.16 ( , )

  Suatu ruang metrik dikatakan lengkap jika setiap barisan Cauchy dalam kon- vergen ke suatu titik di .

  Contoh 2.1.7

  Ruang ℝ dengan metrik biasa merupakan ruang metrik yang lengkap.

  { }

  Diberikan barisan Cauchy di > 0 terdapat ℝ, maka untuk ∈ ℕ sedemikian

  | | <

  sehingga untuk semua , = , maka terdapat − ≥ . Dipilih sedemikian sehingga | | < , untuk semua , . Misal = .

  − ≥

  | | <

  Kemudian dipilih = , maka terdapat > sedemikian sehingga −

  , dan misalkan = . Kemudian dipilih = , maka terdapat > sedemi-

  | | <

  kian sehingga dan misalkan = . Langkah di atas terus berlanjut −

  { }

  dan diperoleh barisan sedemikian sehingga

  | | = < , untuk > .

  − −

  | | = < , untuk > .

  − −

  | | = < , untuk > .

  − − ⋮

  | | = < , untuk > .

  − −

  = + +

  Karena − − − − ⋯ − , maka

  | | = | | < = .

  − −

  2

  2 | | < { } =

  Diperoleh . Jadi konvergen ke . Dengan Korolari 2.1.1, − terbukti bahwa { } barisan Cauchy yang konvergen. Maka menurut Definisi 2.1.16,

  ℝ dengan metrik biasa merupakan ruang metrik lengkap.

  Contoh 2.1.8 |0 <

  Himpunan = { 1} dengan metrik biasa merupakan ruang metrik ti- ∈ ℝ ≤

  { }