x
b
y
b
z
b
z
mg
= mg cos q cosf
y
mg
= mg sin f cosq
x
mg
= mg sin q
mg
q f
Gambar 1: Komponen berat dari suatu roket Dari persamaan 11 sampai 13 serta Gambar 1, maka diperoleh persamaan diferensial dari kecepatan
linear roket [4].
q
sin g
a wq
vr u
x
14
f q
sin cos
g a
ur wp
v
y
15
f q
cos cos
g a
vp uq
w
z
16
2.2 Transformasi gerak roket
Transformasi direction cosine merupakan transformasi sebuah vektor satuan pada kerangka navigasi ke dalam kerangka roket. Pada Gambar 2 diperlihatkan koordinat referensi. Gambar 2.a merupakan koordinat
referensi roket. Sumbu x adalah sumbu yang membujur dan merupakan arah depan bagi roket, sumbu y merupakan sumbu ke arah sebelah kanannya, dan sumbu z merupakan bagian dasar roket. Gerak rotasi pada
sumbu x disebut roll
f, rotasi pada sumbu y disebut pitch q, dan rotasi pada sumbu z disebut yaw azimuth
. Rotasi roll dikatakan positif jika sumbu y bergerak ke bawah, rotasi pitch dikatakan positif jika sumbu x bergerak ke atas, dan rotasi yaw dikatakan positif jika dilihat dari atas rotasi searah putaran
jarum jam. Gambar 2.b merupakan koordinat referensi untuk kerangka navigasi.
y Sisi Kanan x Depan
z Dasar
Y Utara
X Timur Z Naik
a. Koordinat referensi roket. b. Koordinat referensi kerangka navigasi.
Gambar 2: Koordinat referensi Urutan rotasi matriks yang digunakan oleh Litton adalah rotasi terhadap sumbu z, rotasi terhadap sumbu y,
dan kemudian rotasi terhadap sumbu x. Matriks R
BN
mentransformasikan vektor satuan dari kerangka navigasi ke dalam vektor satuan pada kerangka roket.
t R
t R
t R
t R
z y
x BN
q
f
q f
f
q
f
f
q f
q f
f
q
f
f
q f
q
q
q
cos cos
cos sin
sin sin
cos sin
sin cos
sin cos
cos sin
cos cos
sin sin
sin sin
cos cos
sin sin
sin sin
cos cos
cos t
R
BN
17 Hubungan antara sudut Euler
f, q dan dengan kecepatan sudut keluar sensor gyroscope p, q dan r dapat diperoleh dengan menurunkan persamaan R
BN
[3].
t
t t
t t
t t
t t
t t
r t
q t
p
q
f f
q f
f q
f q
cos cos
sin sin
cos cos
sin 1
18 Persamaan 18 mentransformasikan kecepatan sudut Euler ke dalam kecepatan sudut dalam kerangka roket,
sehingga dengan mencari invers suku pertama ruas kanan pada persamaan 19 diperoleh persamaan sebagai berikut.
t r
t q
t p
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t cos
cos cos
sin sin
cos tan
cos tan
sin 1
q f
q f
f f
q f
q f
q
f
19
2.3 Tapis Kalman Tapis Kalman digunakan untuk menyelesaikan permasalahan estimasi state pada suatu proses yang dapat
dinyatakan dalam persamaan deferensial linear seperti pada persamaan berikut [8].
k k
k k
k k
w u
B x
A x
1
20 Noise pada proses diasumsikan sebagai proses random berdistribusi normal seperti pada persamaan berikut.
w
E
dan
k T
k i
Q w
w E
untuk i = k. 21
Nilai matrik Q
k
dapat dihitung dengan menggunakan persamaan berikut [1].
T k
k w
k
w w
E S
Q
22 Dari persamaan 20 terlihat bahwa state x belum bisa diobservasi, sehingga untuk melakukan observasi
diperlukan model pengukuran yang memetakan state ke keluaran y yang dapat diobservasi seperti pada persamaan berikut.
k k
k k
v x
H y
23 Noise pada pengukuran diasumsikan sebagai proses random berdistribusi normal.
v
E
dan
k T
k i
R v
v E
untuk i = k. 24
Diasumsikan pula bahwa proses random w dan v adalah saling bebas, sehingga nilai crosscorrelation adalah nol.
T k
i
v w
E
untuk semua i dan k. 25
Nilai estimasi state
k
x ˆ
pada tapis Kalman ditentukan dari estimasi posteriori
k
x ˆ
serta selesih antara pengukuran sebenarnya
k
y
dan estimasi pengukuran
k
x H
ˆ
seperti pada persamaan berikut.
k k
k k
k k
k
x H
v x
H K
x x
ˆ ˆ
ˆ
26 Pada tapis Kalman dipilih nilai
k
K
sehingga estimasi posteriori adalah optimal atau mempunyai galat yang minimum. Nilai P
k
minimum diperoleh jika nilai K
k
dapat menyediakan estimasi yang mempunyai covariance minimum.
1
k T
k k
k T
k k
k
R H
P H
H P
K
27 Nilai
k
P
minimun adalah sebagai berikut
k k
k k
P H
K I
P
28 Karena tidak ada nilai korelasinya dengan noise yang lain
k
w
1
, maka nilai estimasi priori diberikan dengan menghilangkan noise
k
w
,
k k
k k
k
u B
x A
x
ˆ ˆ
1
29 Nilai covariance dari galat
k T
k k
k k
Q A
P A
P
1
30 Proses perhitungan pada filter Kalman dapat dilihat pada Gambar 3 [7].
1. Perhitungan Kalman gain
1
k T
k k
k T
k k
k
R H
P H
H P
K
2. Perbarui perkiraan
k k
k k
k
x H
y K
x x
ˆ ˆ
ˆ
3. Perbarui covariance kesalahan
k k
k k
P H
K I
P
Inisialisasi
ˆ P
dan x
Data pengukuran
k
y
Hasil perkiraan
k
x ˆ
1. Perkiraan state
1 1
1 1
ˆ ˆ
k k
k k
k
u B
x A
x
2. Perhitungan matrik covariace
1 1
1 1
k T
k k
k k
Q A
P A
P
Gambar 3: Proses perhitungan pada filter Kalman
3. PERANCANGAN
