mendapatkan informasi sudut pada sensor gyroscop diperlukan integral satu kali. Pada makalah ini, disajikan perbandingan kinerja tapis Kalman dan eksponensial yang proses integralnya menggunakan
metode trapesiodal orde 2 metode Runge Kutta.
2. TAPIS KALMAN DAN TAPIS EKSPONENSIAL
Tapis Kalman merupakan salah satu solusi optimal dalam menapis data dari isyarat pada suatu proses yang linear. Tapis Kalman digunakan pada proses yang dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan state linear
sebagai berikut [7].
k k
k k
k k
w u
B x
A x
1
1 dengan parameter :
x
k
= vektor keadaan nx1 pada saat waktu t
k
,x R
n
u
k
= vektor kontrol lx1 pada saat waktu t
k
,u R
l
A
k
= matriks transisi nxn yang memetakan x
k
ke x
k+1
B
k
= matriks kontrol nxl yang memetakan u
k
ke x
k+1
w
k
= vektor derau proses nx1 dengan covariance Q Derau pada proses diasumsikan sebagai proses random berdistribusi normal.
Q N
w p
,
Nilai matriks Q
k
dapat dihitung dengan menggunakan persamaan sebagai berikut [1,4].
T k
k w
k
w w
E S
Q
2 Fungsi G
k
merupakan fungsi alih yang menghubungkan antara isyarat masukan u dengan keluaran state x
k
. Dari persamaan 1 terlihat bahwa state x belum bisa diobservasi, sehingga untuk melakukan observasi
diperlukan model pengukuran yang memetakan state ke keluaran y yang dapat diobservasi.
k k
k k
v x
H y
3 dengan
y
k
= vektor yang diobservasi nx1 pada saat waktu t
k
,x R
n
H
k
= matriks pengukuran nxn yang memetakan x
k
ke y
k
pada saat waktu t
k
v
k
= vektor derau pengukuran nx1 dengan covariance R Derau pada pengukuran diasumsikan sebagai proses random berdistribusi normal.
R N
v p
,
4 Diasumsikan pula bahwa proses random w dan proses random v adalah saling bebas, sehingga nilai
crosscorrelation adalah nol.
T k
i
v w
E
untuk semua i dan k. 5
Pada keadaan sebenarnya, nilai A dan B pada persamaan 1, nilai Q pada persamaan 2, nilai R pada persamaan 4, dan nilai H pada persamaan 3 bisa selalu berubah, tetapi dalam hal ini bahwa nilai tersebut
diasumsikan konstan. Jika
n k
R x
ˆ
adalah estimasi priori dan
n k
R x
ˆ
menjadi estimasi posteriori, maka galat estimasi priori dan posteriori adalah
k k
k
x x
e ˆ
a priori estimate error 6
k k
k
x x
e ˆ
a posteriori estimate error Nilai covariance dari galat estimasi priori dan posteriori diberikan pada persamaan 7 dan persamaan 8.
T k
k k
e e
E P
7
T k
k k
e e
E P
8 Nilai estimasi state
k
x ˆ
pada tapis Kalman ditentukan dari estimasi posteriori
k
x ˆ
serta selesih antara pengukuran sebenarnya
k
y
dan estimasi pengukuran
k
x H
ˆ
.
k k
k k
k
x H
y K
x x
ˆ ˆ
ˆ
9 Selisih nilai antara pengukuran sebenarnya
k
y
dan estimasi pengukuran
k
x H
ˆ
disebut sebagai residual atau pengukuran innovation. Jika nilai residual adalah nol, maka hal itu menunjukkan bahwa hasil estimasi
sama dengan hasil pengukuran. Nilai
k
K
adalah faktor gain pada tapis Kalman.
Pada tapis Kalman dipilih nilai
k
K
sehingga estimasi posteriori adalah optimal atau mempunyai galat yang minimum. Nilai P
k
minimum diperoleh jika nilai K
k
dapat menyediakan estimasi yang mempunyai covariance
minimum. Penyelesaian untuk mendapatkan P
k
minimum adalah sebagai berikut.
T k
k k
e e
E P
T k
T k
k k
T k
k T
k k
k T
k T
k k
k k
T k
k T
k k
k k
k
K v
v K
H K
I e
v K
K v
e H
K I
H K
I e
e H
K I
E P
10 Variabel acak
k
v
dan
k
e
adalah saling bebas, sehingga persamaan covariance dari galat estimasi posteriori adalah
T k
k k
T k
k k
k k
k
K R
K H
K I
P H
K I
P
11 Nilai K
k
optimum dapat diperoleh dengan meminimalkan persamaan 11 sehingga didapat
k k
dK P
d
2 2
k T
k k
k k
T k
k
R H
P H
K P
H 12
Dari persamaan 12 dapat dicari gain tapis Kalman
1
k T
k k
k T
k k
k
R H
P H
H P
K
13 Dari persamaan 13 didapat bahwa jika covariance dari galat pengukuran R mendekati nol, maka nilai
1
H K
k
dan jika covariance dari galat estimasi a priori
k
P
mendekati nol, maka nilai
k
K
= 0. Nilai covariance
dari galat estimasi posteriori yang optimal adalah
k k
k k
P H
K I
P
14 Langkah priori tapis melibatkan estimasi priori
1
ˆ
k
x
dan covariance dari galat estimasi priori
1
k
P
. Karena tidak ada nilai korelasinya dengan derau yang lain
k
w
1
, maka nilai estimasi priori diberikan pada persamaan 15 yang diperoleh dengan menghilangkan derau
k
w
dari persamaan 1,
k k
k k
k
u B
x A
x
ˆ ˆ
1
15 Estimasi priori ditentukan dengan menyatakan
k k
k k
k k
k k
k k
u B
x A
w u
B x
A e
ˆ
1
Nilai covariance dari galat
k T
k k
k k
Q A
P A
P
1
16 Tapis eksponensial merupakan tapis linear rekursif sederhana. Isyarat analog keluaran sensor diubah
menjadi digital dan sebagai masukan dari tapis eksponensial orde satu sebagai berikut.
1
. .
1
n n
n
y x
y
17 Isyarat masukan tapis adalah xn dan isyarat keluarannya adalah yn, parameter
bernilai anatara 0 dan 1 1. Bila derau banyak maka nilai parameter yang optimal adalah mendekati satu, jika sebaliknya
maka nilai lebih baik dekat ke nol. Penentuan parameter ini dapat secara langsung dicari sesuai dengan
kondisi isyarat. Tapis digital ini mempunyai kemampuan yang sama dengan analog tapis RC satu kutub. Persamaan tapis eksponensial orde dua dapat dituliskan sebagai berikut.
2 2
1
. .
1
n n
n
y x
x n
y
18 Tanda [2] menunjukkan isyarat keluaran tapis eksponensial orde 2. Secara umum proses diatas jika
dilakukan berulang-ulang akan menjadi tapis eksponensial orde banyak dan dapat ditulis menjadi persamaan berikut.
] [
1 1
1
. .
1
M M
n M
k k
n k
y x
n y
19 Secara umum dengan analogi dari persamaan lowpass filter dengan tahanan dan kapasitor pada penentuan
cutoff frekuensi, parameter
dapat ditentukan dengan persamaan berikut [8].
. 2
1 1
s c
f f
20
Di sini f
c
adalah frekuensi cut off dan f
s
adalah frekuensi sampling.
3. PERANCANGAN
