22
1 1
2
5 4 x t
x t x t
2 1
2 2
2 4 6 x t
x t x t
x t
Bila lama waktu tundaan berpengaruh terhadap
2
4x , maka sistem tersebut dapat dituliskan dalam bentuk persamaan diferensial tundaan sebagai berikut,
1 1
2
5 4 x t
x t x t
2 1
2 2
2 4 6
x t x t
x t x t
dengan
0, t
dan
2 1
2
, x t x t
.
2.4. Titik Ekuilibrium
Titik ekuilibrium merupakan solusi dari sistem
x f x
yang tidak mengalami perubahan terhadap waktu.
Definisi 2.7 Perko, 2001 : 102
Titik
ˆ
n
x
disebut titik ekuilibrium dari
x f x
jika
ˆ f x
.
Contoh 2.6
Akan dicari titik ekuilibrium dari sistem 2.19. Misalkan
x f x
, maka
sistem 2.19 dapat dituliskan sebagai
1 2 2
2 1
2
x x x
f x x
x
. Titik ekuilibrium sistem
2.19 dapat diperoleh jika
ˆ f x
. Misal
1 2
ˆ ˆ ˆ ,
T
x x x
merupakan titik ekuilibrium sistem 2.19, maka
1 2 2
ˆ ˆ ˆ 0 x x
x
2.22
23
2 1
2
ˆ ˆ x
x
. 2.23
Dari persamaan 2.23 diperoleh
2 1
2
ˆ ˆ
x x
. 2.24
Selanjutnya, substitusikan persamaan 2.24 ke persamaan 2.22, sehingga diperoleh
3 2
2
ˆ ˆ
x x
2 2
2
ˆ ˆ 1
x x
2
ˆ 0 x
atau
2
ˆ 1
x .
Selanjutnya, substitusikan
2
ˆ x
ke persamaan 2.24 diperoleh
1
ˆ 0 x
, substitusikan
2
ˆ 1 x
dan
2
ˆ 1
x ke persamaan 2.24 diperoleh
1
ˆ 1 x
. Jadi, titik ekuilibrium dari sistem 2.19 adalah
0,0
T
, 1,1
T
, dan 1, 1
T
.
2.5. Linearisasi
Linearisasi merupakan proses mengubah suatu sistem nonlinear menjadi sistem linear. Diberikan sistem persamaan diferensial nonlinear
x
x f
2.25
dengan x
n
L
, f :
n
L
, f fungsi nonlinear dan kontinu.
Sebelum ditunjukkan proses linearisasi dari persamaan diferensial non linear, akan dibahas terlebih dahulu matriks Jacobian berdasarkan teorema berikut.
Teorema 2.2 Perko, 2001 : 67
Jika :
n n
f terdiferensial di
x maka diferensial parsial , ,
1, 2,...,
i j
f i j
n x
,
di x ada untuk semua
n
x
dan
1 n
j j
j
f Df x x
x x x
Bukti :
24
1 1
1 1
2 1
2 2
2 2
1 2
1 2
1 1
2 1
2
...
n n
n n
n j
j j
n n
n n
n
f f
f x x
x x x x
x x
x f
f f
x x x x
x x f
x x
x x x
x f
f f
x x x x
x x x
x x
1 1
1 1
2 1
2 2
2 2
1 2
1 2
n n
n n
n n
n
f f
f x
x x
x x
x x
f f
f x
x x
x x
x x
x f
f f
x x
x x
x x
Df x x
.
∎ dengan
Df x disebut sebagai matriks Jacobian dari fungsi :
n n
f yang
terdifrensial pada
n
x
dan Df x dapat dinotasikan sebagai
Jf x . Selanjutnya, akan ditunjukkan proses linearisasi dari sistem persamaan
diferensial. Misalkan
1 2
ˆ ˆ ˆ
ˆ ,
,...,
T n
x x x
x
merupakan titik ekuilibrium sistem 2.25.
Deret Taylor dari fungsi f disekitar titik ekuilibrium
ˆx
adalah sebagai berikut :
1
1 1
1 1
2 1
1 2
1 2
1 1
1 2
1
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ
, ,...,
, ,...,
, ,...,
... ,
,...,
T T
T T
n n
n n
n n
f n
f f
f x x x
f x x x
x x x
x x
x x x
x x
R x
x
2
2 2
2 1
2 2
1 2
1 2
1 1
1 2
1
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ
, ,...,
, ,...,
, ,...,
... ,
,...,
T T
T T
n n
n n
n n
f n
f f
f x x x
f x x x
x x x
x x
x x x
x x
R x
x
25
1 2
1 2
1 2
1 1
1 2
1
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ
, ,...,
, ,...,
, ,...,
... ,
,...,
n
T T
T T
n n
n n
n n
n n
n n
f n
f f
f x x x
f x x x
x x x
x x
x x x
x x
R x
x
dengan
1 2
, ,...,
n
f f
f
R R
R
disebut sebagai bagian nonlinear yang selanjutnya dapat diabaikan karena nilainya mendekati nol. Karena
1 2
ˆ ˆ ˆ
, ,...,
T n
x x x
titik ekuilibrium sistem 2.25 maka
1 1
2 2
1 2
1 2
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
, ,...,
, ,...,
... ,
,...,
T T
T n
n n
n
f x x x
f x x x
f x x x
sehingga diperoleh,
1 1
1 1
1 2
1 1
1 2
2 2
1 2
1 2
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
ˆ ,
,..., ,
,..., ...
, ,...,
T T
T n
n n
n n
n
f f
f x
x x x
x x
x x x
x x
x x x
x x
x x
x
2 2
2 2
1 2
1 1
1 2
2 2
1 2
1 2
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
ˆ ,
,..., ,
,..., ...
, ,...,
T T
T n
n n
n n
n
f f
f x
x x x
x x
x x x
x x
x x x
x x
x x
x
1 2
1 1
1 2
2 2
1 2
1 2
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
ˆ ,
,..., ,
,..., ...
, ,...,
T T
T n
n n
n n
n n
n n
n
f f
f x
x x x
x x
x x x
x x
x x x
x x
x x
x
2.26. Sistem 2.26 dapat dituliskan dalam bentuk sebagai berikut :
1 1
1 1
2 1
2 1
2 1
2 1
2 2
2 1
2 1
2 1
2 2
1 2
1 2
1
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
, ,...,
, ,...,
, ,...,
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
, ,...,
, ,...,
, ,...,
ˆ ˆ ˆ
, ,...,
T T
T n
n n
n T
T T
n n
n n
n T
n n
n
f f
f x x
x x x
x x x
x x
x x
x f
f f
x x x
x x x
x x x
x x
x x
x f
f x x
x x
1 1
2 2
1 2
1 2
2
ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
ˆ ,
,..., ,
,...,
n n
T T
n n
n n
x x
x x
x x
f x x
x x x
x x
x
2.27
Misalkan
1 1
1 2
2 2
3
ˆ ˆ
ˆ ,
,
n n
y x
x y x
x y x
x
maka dari sistem 2.27 diperoleh :
26
1 1
1 1
2 1
2 1
2 1
2 1
2 2
2 1
2 1
2 1
2 2
1 2
1 2
1
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
, ,...,
, ,...,
, ,...,
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
, ,...,
, ,...,
, ,...,
ˆ ˆ ˆ
, ,...,
T T
T n
n n
n T
T T
n n
n n
n T
n n
n
f f
f x x
x x x
x x x
x x
x x
x f
f f
x x x
x x x
x x x
x x
x x
x f
f x x
x x
1 2
1 2
1 2
2
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
, ,...,
, ,...,
n T
T n
n n
n
y y
y f
x x x
x x x
x x
2.28
Sistem 2.28 merupakan linearisasi sistem 2.25, sehingga diperoleh matriks Jacobian dari sistem 2.25 yaitu,
1 1
1 1
2 1
2 1
2 1
2 2
2 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
, ,...,
, ,...,
, ,...,
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
, ,...,
, ,...,
, ,...,
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
, ,...,
, ,...,
T T
T n
n n
n T
T T
n n
n n
T n
n n
f f
f x x
x x x
x x x
x x
x x
f f
f x x
x x x
x x x
x x
x x
Jf x f
f x x
x x x
x x
1 2
ˆ ˆ ˆ
ˆ ,
,...,
T T
n n
n n
f x
x x x
x
.
Contoh 2.7
Akan dicari matriks Jacobian dari
1 2 2
2 1
2
x x x
f x x
x
pada titik
1, 1
T
x
.
Matriks Jacobian dari fungsi
f x
adalah
1 1
1 2
2 1
2 2
2 1
2
1 1
2 f
f x
x x
x Df
x f
f x
x
,
maka
2 1
2
1 1 2
1, 1 1
2 1
2 x
x Df
x
.
Jadi, matriks Jacobian dari sistem tersebut adalah 1 2
1, 1 1
2 Jf
.
27
2.6. Kestabilan Titik Ekuilibrium Definisi 2.8 Perko, 2001 : 102
