Program Linier Model-model dalam Riset Operasi

Bab 2. Program Linier

Linier Programming Linier berarti bahwa semua fungsi matematis dalam model ini harus merupakan fungsi-fungsi linier atau variabel-variabel yang bekerja pada variabel-variabel yang bekerja pada masalah tersebut berpangkat berderajat satu. Pemrograman sinonim untuk kata perencanaan. Menurut Frederick S.Hiller dan Gerald J.L pengertian Program Linier adalah Membuat rencana kegiatan-kegiatan untuk memperoleh hasil yang optimal yaitu untuk memperoleh hasil yang optimal yaitu suatu hasil untuk mencapai tujuan yang ditentukan dengan cara yang paling baik sesuai dengan model matematis di antara semua alternatif yang mungkin. Secara matematis pengertian Program Linier adalah Sebuah metode matematis yang berkarakteristik linier untuk menemukan suatu penyelesaian optimal menemukan suatu penyelesaian optimal dengan cara memaksimumkan atau meminimumkan fungsi tujuan terhadap suatu susunan kendala. Dalam linier programming dikenal dua macam fungsi, yaitu : a. Fungsi Tujuan Mengambarkan apa yang ingin dicapai perusahaan dengan menggunakan Mengambarkan apa yang ingin dicapai perusahaan dengan menggunakan sumber daya yang ada. Fungsi tujuan digambarkan dalam bentuk maksimal misalnya laba, penerimaan, produksi dll atau minimasi misalnya biaya. Dinotasikan dalam Z. b. Fungsi Kendala Menggambarkan kendala-kendala yang dihadapi perusahaan dalam kaitannya dengan pencapaian tujuan tersebut, dengan pencapaian tujuan tersebut, misalnya mesin, tenaga kerja dan lain-lain. Untuk kasus linier programming kendala yang dihadapi berjumlah lebih dari satu kendala. Pada dasarnya persoalan program linier ini dapat dibagi menjadi dua persoalan : 1. Persoalan Program Linier Maksimasi 1. Persoalan Program Linier Maksimasi Maksimisasi adalah Suatu proses memaksimumkan fungsi objektiffungsi tujuan. 2. Persoalan Program Linier Minimisasi Minimisasi adalah Suatu proses meminimumkan fungsi objektiffungsi meminimumkan fungsi objektiffungsi tujuan. Kedua persoalan program linier diatas maksimasi dan minimasi sering disebut model matematika. Model matematika adalah suatu hasil Model matematika adalah suatu hasil interpretasi manusia dalam menerjemahkan atau merumuskan persoalan sehari-hari kebentuk matematika hingga persoalan tersebut dapat diselesaikan secara matematis. Contoh : Sebuah firma memproduksi sendiri rak buku dalam dua model, yaitu model A dan B. Produksi rak buku dibatasi oleh persediaan material papan kualitas tinggi dan waktu yang terbatas mesin pemroses. Tiap unit A memerlukan 3m persegi papan dan tiap unit B memerlukan 4m persegi papan. Firma memperoleh Model Matematika masalah Program Linear memerlukan 4m persegi papan. Firma memperoleh 1.700m persegi papan tiap minggu dari pemasok. Tiap unit A membutuhkan 12 menit dari mesin pemroses dan tiap unit B membutuhkan 30 menit. Setiap minggu memungkinkan total waktu mesin 160 jam. Jika keuntungan profit tiap unit A sebesar 2 dan tiap unit B sebesar 4, berapa banyak unit dari tiap model akan perusahaan rencanakan untuk produksi tiap minggu. Rumusan masalah : 1. Terdapat tujuan yang dicapai yaitu mencapai keuntungan melalui produksi rak buku jenis A dan B keluaran atau output dimana tiap jenis produksi itu telah direncanakan mempunyai produksi itu telah direncanakan mempunyai harga tertentu. Apabila jenis rak buku A dan B disebut x 1 dan x 2 menentukan variabel keputusan dengan keuntunganprofit tiap unit c 1 dan c 2 maka fungsi objektif tujuan tersebut adalah 2. Terdapat sumberdaya atau masukan atau persediaan input yang berada dalam keadaan terbatas. Dalam hal ini firma mempunyai persediaan melalui pemasok sendiri yaitu tiap minggu 1700m persegi dan waktu kerja mesin pemroses yang terbatas yaitu tiap minggu pemroses yang terbatas yaitu tiap minggu 160jam. Tabel. Bahan Baku kendala Produk Mebel Kapasitas Model A Model B Papan kualitas tinggi 3 4 1700 Papan kualitas tinggi Mesin 2 5 1600 Profit 2 4 Sehingga dapat dirumuskan dalam hubungan yang linier yaitu pertidaksamaan linier. ` • Rumusan masalah yang direncanakan oleh firma tersebut dan disajikan dalam bentuk rumusan kuantitatif menjadi model matematika program linier adalah matematika program linier adalah Catatan : 1. Keluaran non negatif berarti paling sedikit tidak memproduksi yaitu 2. Tanda pertidaksamaan kurang dari mengandung makna paling banyak papan yang tersedia 1700 m persegi habis terpakai dan jam kerja mesin tidak boleh lebih 160 jamminggu. 3. Masukan input positif berarti papan dan mesin yang akan dipakai untuk dan mesin yang akan dipakai untuk memproses tersedia. 1. Perusahaan aneka mendapat jatah merakit sepeda dan sepeda motor. Karena jumlah pekerja terbatas, perusahaan hanya dapat merakit sepeda 120 unit tiap bulan dan sepeda motor 10 unit dan paling banyak 60 unit. Keuntungan dari tiap unit sepeda sebesar Rp Soal-soal Latihan Keuntungan dari tiap unit sepeda sebesar Rp 40.000,00 dan tiap unit sepeda motor Rp 268.000,00. Berapa pendapatan maksimum tiap bulan kalau kapasitas produksi dua jenis 180 unit. a. rumuskan fungsi tujuan b. rumuskan pembatas 2. Seorang penjahit mempunyai 60m wol dan 40m katun. Dengan yang tersedia itu, penjahit membuat stelan jas dan rok kepada beberapa orang pelanggan. Satu stel jas memerlukan 3m wol dan 1m katun, satu rok memerlukan 2m wol dan 2m katun. Beberapa stel jas dan rok harus dibuat oleh penjahit kalau keuntungan satu stel jas Rp katun. Beberapa stel jas dan rok harus dibuat oleh penjahit kalau keuntungan satu stel jas Rp 120.000,00 dan keuntungan satu stel rok Rp 75.000,00 untuk memperoleh pendapatan maksimum. a. Tentukan fungsi tujuan b. Tentukan pertidaksamaan yang menunjukkan pembatas lengkap dengan syarat yang diperlukan 3. Seorang tukang roti mempunyai bahan A, B dan C dengan persedian berturut-turut 300 unit, 180 unit dan 300 unit. Dengan bahan yang tersedia, tukang membuat bahan yang tersedia, tukang membuat dua macam roti sesuai dengan pesanan pelanggan. Pembuat roti menetapkan keperluan bahan sebagai berikut : Macam Roti Bahan A Bahan B Bahan C I II 2 10 2 4 4 2 Keuntungan yang diperoleh dari roti I sebesar Rp 350,- dan roti II sebesar Rp sebesar Rp 350,- dan roti II sebesar Rp 800,-. Rumuskan Fungsi tujuan dan pembatas. 2.1 Pemecahan dengan metode grafik Metode grafik hanya cocok digunakan untuk 2 variabel. Apabila memiliki lebih dari dua variabel keputusan maka metode ini tidak dapat digunakan tapi menggunakan metode simpleks. Langkah-langkah pengerjaan metode grafik : Langkah-langkah pengerjaan metode grafik : 1. Mengidentifikasi variabel keputusan. 2. Tentukan model matematis program linier. a. fungsi tujuan b. fungsi kendala 3. Gambarkan fungsi-fungsi kendala dalam suatu sistem koordinat 4.Tentukan feasible area area layak pada grafik yaitu daerah yang mungkin untuk memperoleh nilai-nilai x 1 dan x 2 yang memenuhi kendala. Apabila kendala memenuhi kendala. Apabila kendala berbentuk ≤, maka daerah arsiranlayak terjadi pada bagian kiribawahkiri bawah tetapi apabila bentuk persamaan ≥, maka pengarsiran dilakukan ke kananataskanan atas. 5. Tentukan titik sudut daerah layak. 6. Memilih variabel keputusan dengan metode trial error yaitu menguji setiap titik sudut yang ada pada daerah layak titik sudut yang ada pada daerah layak dengan mensubstitusikan ke fungsi tujuan. 7. Kemudian diperoleh hasil optimum, untuk maksimasi dipilih hasil tertinggi, untuk minimasi dipilih hasil terendah. Contoh. Sebuah firma memproduksi sendiri rak buku dalam dua model, yaitu model A dan B. Produksi rak buku dibatasi oleh persediaan material papan kualitas tinggi dan waktu yang terbatas mesin pemroses. Tiap unit A memerlukan 3m persegi papan dan tiap unit B memerlukan 4m persegi papan. Firma memperoleh 1.700m persegi papan tiap minggu dari pemasok. Tiap unit A membutuhkan 12 menit minggu dari pemasok. Tiap unit A membutuhkan 12 menit dari mesin pemroses dan tiap unit B membutuhkan 30 menit. Setiap minggu memungkinkan total waktu mesin 160 jam. Jika keuntungan profit tiap unit A sebesar 2 dan tiap unit B sebesar 4, berapa banyak unit dari tiap model akan perusahaan rencanakan untuk produksi tiap minggu. Tentukan keuntungan maksimum yang diperoleh firma tersebut. Latihan. 1. Perusahaan aneka mendapat jatah merakit sepeda dan sepeda motor. Karena jumlah pekerja terbatas, perusahaan hanya dapat merakit sepeda 120 unit tiap bulan dan sepeda motor 10 120 unit tiap bulan dan sepeda motor 10 unit dan paling banyak 60 unit. Keuntungan dari tiap unit sepeda sebesar Rp 40.000,00 dan tiap unit sepeda motor Rp 268.000,00. Berapa pendapatan maksimum tiap bulan kalau kapasitas produksi dua jenis 180 unit. 2. Seorang penjahit mempunyai 60m wol dan 40m katun. Dengan yang tersedia itu, penjahit membuat stelan jasdan rok kepada beberapa orang pelanggan. Satu stel jas memerlukan 3m wol dan 1m katun, satu rok memerlukan 2m wol dan 2m Latihan. stel jas memerlukan 3m wol dan 1m katun, satu rok memerlukan 2m wol dan 2m katun. Beberapa stel jas dan rok harus dibuat oleh penjahit kalau keuntungan satu stel jas Rp 120.000,00 dan keuntungan satu stel rok Rp 75.000,00 untuk memperoleh pendapatan maksimum. 3. Seorang tukang roti mempunyai bahan A, B dan C dengan persedian berturut-turut 300 unit, 180 unit dan 300 unit. Dengan bahan yang tersedia, tukang membuat Latihan bahan yang tersedia, tukang membuat dua macam roti sesuai dengan pesanan pelanggan. Pembuat roti menetapkan keperluan bahan sebagai berikut : Macam Roti Bahan A Bahan B Bahan C I II 2 10 2 4 4 2 Keuntungan yang diperoleh dari roti I sebesar Rp 350,- dan roti II sebesar Rp sebesar Rp 350,- dan roti II sebesar Rp 800,-. Rumuskan fungsi tujuan, pembatas dan hasil optimum. Latihan. 4 . Nyonya desi sedang mempertimbangkan diet khusus yang diajukan oleh konsultan gizi untuk memenuhi rasio berat badan idealnya. Saat ini proporsi antara tinggi dan berat Saat ini proporsi antara tinggi dan berat badannya masih belum sesuai dengan rasio normal. Pola makan yang digunakan memenuhi unsur lemak, protein dan karbonhidrat. Dalam 1 minggu, Nyonya desi memerlukan paling sedikit 8 ons lemak, 30 ons protein dan 270 ons karbonhidrat. Kebutuhan ini dapat dicukupi dengan mengkonsumsi 2 jenis makanan. Makanan jenis A mengandung 2 ons lemak dan 30 ons karbonhidrat, sedangkan makanan jenis B mengandung 6 ons protein dan 15 ons karbonhidrat. Biaya untuk tiap protein dan 15 ons karbonhidrat. Biaya untuk tiap jenis makanan berturut-turut adalah Rp 30.000,- dan Rp 50.000,- . Dengan menggunakan metode grafik tentukan berapa banyak makanan jenis A dan jenis B yang harus dikonsumsi untuk memenuhi program diet serta berapa biaya minimal yang dikeluarkan nyonya desi untuk memenuhi program dietnya. 5. Dua buah perusahaan menghasilkan produk A dan B. Produk A melalui mesin I dan II masing- masing selama 2jam dan 1jam. Sedangkan produk B selama 1jam di mesin I dan 3jam di mesin II. Kapasitas mesin I dan II adalah 18jam Latihan. mesin II. Kapasitas mesin I dan II adalah 18jam dan 10jam. Tentukanlah jumlah produk A dan B yang harus diproduksi untuk memperoleh keuntungan maks. Jika keuntungan untuk A dan B masing-masing Rp 40,-unit dan Rp 30,-unit. a. Tentukan fungsi tujuan b. Tentukan fungsi kendala c. Cari solusi optimum dengan menggunakan metode grafik. menggunakan metode grafik.

2.2 Pemecahan dengan metode Simpleks

Metode simpleks merupakan bagian dari linier programming yang digunakan sebagai alat untuk memecahkan permasalahan yang menyangkut dua variabel keputusan atau lebih. Metode ini menggunakan pendekatan lebih. Metode ini menggunakan pendekatan tabel yang dinamakan tabel simpleks. Proses eksekusi untuk mendapatkan hasil optimum dengan mengubah-ubah tabel simpleks sampai diperoleh hasil positif di seluruh elemen nilai di baris Cj – Zj. Langkah-langkah pengerjaan metode simpleks : 1. Mengidentifikasikan variabel keputusan dan memformulasikan dalam simbol matematika. 2. Mengidentifikasikan tujuan yang akan 2. Mengidentifikasikan tujuan yang akan dicapai dan kendala-kendala yang terjadi. 3. Memformulasikan tujuan dan kendala ke dalam fungsi model matematika. 4. Mengubah pertidaksamaan “≤” pada kendala menjadi “=“ dengan menambahkan variabel slack S. 5. Memasukkan data fungsi tujuan dan kendala-kendala yang telah diubah tersebut kendala-kendala yang telah diubah tersebut ke dalam tabel simpleks. Disamping itu juga menentukan nilai Cj, yaitu angka pada masing-masing kolom yang akan dicari dikalikan dengan koefisien dasar kd dan kemudian mencari nilai Cj – Zj.