Bab 2. Program Linier
Linier Programming
Linier berarti bahwa semua fungsi matematis dalam model ini harus
merupakan fungsi-fungsi linier atau variabel-variabel yang bekerja pada
variabel-variabel yang bekerja pada masalah tersebut berpangkat berderajat
satu. Pemrograman sinonim untuk kata
perencanaan.
Menurut Frederick S.Hiller dan Gerald J.L pengertian Program Linier adalah
Membuat rencana kegiatan-kegiatan untuk memperoleh hasil yang optimal yaitu
untuk memperoleh hasil yang optimal yaitu suatu hasil untuk mencapai tujuan yang
ditentukan dengan cara yang paling baik sesuai dengan model matematis di
antara semua alternatif yang mungkin.
Secara matematis pengertian Program Linier adalah Sebuah metode matematis
yang berkarakteristik linier untuk menemukan suatu penyelesaian optimal
menemukan suatu penyelesaian optimal dengan cara memaksimumkan atau
meminimumkan fungsi tujuan terhadap suatu susunan kendala.
Dalam linier programming dikenal dua macam fungsi, yaitu :
a. Fungsi Tujuan
Mengambarkan apa yang ingin dicapai perusahaan dengan menggunakan
Mengambarkan apa yang ingin dicapai perusahaan dengan menggunakan
sumber daya yang ada. Fungsi tujuan digambarkan dalam bentuk maksimal
misalnya laba, penerimaan, produksi dll atau minimasi misalnya biaya.
Dinotasikan dalam Z.
b. Fungsi Kendala
Menggambarkan kendala-kendala yang dihadapi perusahaan dalam kaitannya
dengan pencapaian tujuan tersebut,
dengan pencapaian tujuan tersebut, misalnya mesin, tenaga kerja dan lain-lain.
Untuk kasus linier programming kendala yang dihadapi berjumlah lebih dari satu
kendala.
Pada dasarnya persoalan program linier ini dapat dibagi menjadi dua persoalan :
1. Persoalan Program Linier Maksimasi 1. Persoalan Program Linier Maksimasi
Maksimisasi adalah Suatu proses memaksimumkan fungsi objektiffungsi
tujuan.
2. Persoalan Program Linier Minimisasi
Minimisasi adalah Suatu proses
meminimumkan fungsi objektiffungsi meminimumkan fungsi objektiffungsi
tujuan.
Kedua persoalan program linier diatas maksimasi dan minimasi sering disebut model
matematika.
Model matematika adalah suatu hasil Model matematika adalah suatu hasil
interpretasi manusia dalam menerjemahkan atau merumuskan persoalan sehari-hari
kebentuk matematika hingga persoalan tersebut dapat diselesaikan secara matematis.
Contoh : Sebuah firma memproduksi sendiri rak buku dalam dua
model, yaitu model A dan B. Produksi rak buku dibatasi oleh persediaan material papan kualitas tinggi dan
waktu yang terbatas mesin pemroses. Tiap unit A memerlukan 3m persegi papan dan tiap unit B
memerlukan 4m persegi papan. Firma memperoleh
Model Matematika masalah Program Linear
memerlukan 4m persegi papan. Firma memperoleh 1.700m persegi papan tiap minggu dari pemasok. Tiap
unit A membutuhkan 12 menit dari mesin pemroses dan tiap unit B membutuhkan 30 menit. Setiap minggu
memungkinkan total waktu mesin 160 jam. Jika keuntungan profit tiap unit A sebesar 2 dan tiap unit B
sebesar 4, berapa banyak unit dari tiap model akan perusahaan rencanakan untuk produksi tiap minggu.
Rumusan masalah : 1. Terdapat tujuan yang dicapai yaitu mencapai
keuntungan melalui produksi rak buku jenis A dan B keluaran atau output dimana tiap jenis
produksi itu telah direncanakan mempunyai
produksi itu telah direncanakan mempunyai harga tertentu. Apabila jenis rak buku A dan B
disebut x
1
dan x
2
menentukan variabel keputusan dengan keuntunganprofit tiap unit
c
1
dan c
2
maka fungsi objektif tujuan tersebut adalah
2. Terdapat sumberdaya atau masukan atau persediaan input yang berada dalam keadaan
terbatas. Dalam hal ini firma mempunyai persediaan melalui pemasok sendiri yaitu tiap
minggu 1700m persegi dan waktu kerja mesin pemroses yang terbatas yaitu tiap minggu
pemroses yang terbatas yaitu tiap minggu 160jam.
Tabel.
Bahan Baku kendala
Produk Mebel Kapasitas
Model A Model B
Papan kualitas tinggi
3 4
1700 Papan kualitas
tinggi Mesin
2 5
1600
Profit 2
4
Sehingga dapat dirumuskan dalam hubungan yang linier yaitu
pertidaksamaan linier.
`
• Rumusan masalah yang direncanakan oleh firma tersebut dan disajikan dalam
bentuk rumusan kuantitatif menjadi model matematika program linier adalah
matematika program linier adalah
Catatan : 1. Keluaran non negatif berarti paling
sedikit tidak memproduksi yaitu
2. Tanda pertidaksamaan kurang dari mengandung makna paling banyak
papan yang tersedia 1700 m persegi habis terpakai dan jam kerja mesin tidak
boleh lebih 160 jamminggu.
3. Masukan input positif berarti papan dan mesin yang akan dipakai untuk
dan mesin yang akan dipakai untuk memproses tersedia.
1. Perusahaan aneka mendapat jatah merakit sepeda dan sepeda motor. Karena jumlah
pekerja terbatas, perusahaan hanya dapat merakit sepeda 120 unit tiap bulan dan sepeda
motor 10 unit dan paling banyak 60 unit. Keuntungan dari tiap unit sepeda sebesar Rp
Soal-soal Latihan
Keuntungan dari tiap unit sepeda sebesar Rp 40.000,00 dan tiap unit sepeda motor Rp
268.000,00. Berapa pendapatan maksimum tiap bulan kalau kapasitas produksi dua jenis 180
unit. a. rumuskan fungsi tujuan
b. rumuskan pembatas
2.
Seorang penjahit mempunyai 60m wol dan 40m katun. Dengan yang tersedia itu, penjahit membuat
stelan jas dan rok kepada beberapa orang pelanggan. Satu stel jas memerlukan 3m wol dan
1m katun, satu rok memerlukan 2m wol dan 2m katun. Beberapa stel jas dan rok harus dibuat oleh
penjahit kalau keuntungan satu stel jas Rp katun. Beberapa stel jas dan rok harus dibuat oleh
penjahit kalau keuntungan satu stel jas Rp 120.000,00 dan keuntungan satu stel rok Rp
75.000,00 untuk memperoleh pendapatan maksimum.
a. Tentukan fungsi tujuan b. Tentukan pertidaksamaan yang menunjukkan
pembatas lengkap dengan syarat yang diperlukan
3. Seorang tukang roti mempunyai bahan A, B dan C dengan persedian berturut-turut
300 unit, 180 unit dan 300 unit. Dengan bahan yang tersedia, tukang membuat
bahan yang tersedia, tukang membuat dua macam roti sesuai dengan pesanan
pelanggan. Pembuat roti menetapkan keperluan bahan sebagai berikut :
Macam Roti Bahan A
Bahan B Bahan C
I II
2 10
2 4
4 2
Keuntungan yang diperoleh dari roti I sebesar Rp 350,- dan roti II sebesar Rp
sebesar Rp 350,- dan roti II sebesar Rp 800,-.
Rumuskan Fungsi tujuan dan pembatas.
2.1 Pemecahan dengan metode grafik
Metode grafik hanya cocok digunakan untuk 2 variabel. Apabila memiliki lebih dari dua variabel
keputusan maka metode ini tidak dapat digunakan tapi menggunakan metode simpleks.
Langkah-langkah pengerjaan metode grafik :
Langkah-langkah pengerjaan metode grafik : 1. Mengidentifikasi variabel keputusan.
2. Tentukan model matematis program linier.
a. fungsi tujuan b. fungsi kendala
3. Gambarkan fungsi-fungsi kendala dalam suatu sistem koordinat
4.Tentukan feasible area area layak pada grafik yaitu daerah yang mungkin untuk
memperoleh nilai-nilai x
1
dan x
2
yang memenuhi kendala. Apabila kendala
memenuhi kendala. Apabila kendala berbentuk ≤, maka daerah arsiranlayak
terjadi pada bagian kiribawahkiri bawah tetapi apabila bentuk persamaan ≥, maka
pengarsiran dilakukan ke kananataskanan atas.
5. Tentukan titik sudut daerah layak. 6. Memilih variabel keputusan dengan
metode trial error yaitu menguji setiap titik sudut yang ada pada daerah layak
titik sudut yang ada pada daerah layak dengan mensubstitusikan ke fungsi tujuan.
7. Kemudian diperoleh hasil optimum, untuk maksimasi dipilih hasil tertinggi, untuk
minimasi dipilih hasil terendah.
Contoh.
Sebuah firma memproduksi sendiri rak buku dalam dua model, yaitu model A dan B. Produksi rak buku dibatasi
oleh persediaan material papan kualitas tinggi dan waktu yang terbatas mesin pemroses. Tiap unit A memerlukan
3m persegi papan dan tiap unit B memerlukan 4m persegi papan. Firma memperoleh 1.700m persegi papan tiap
minggu dari pemasok. Tiap unit A membutuhkan 12 menit
minggu dari pemasok. Tiap unit A membutuhkan 12 menit dari mesin pemroses dan tiap unit B membutuhkan 30
menit. Setiap minggu memungkinkan total waktu mesin 160 jam. Jika keuntungan profit tiap unit A sebesar 2 dan tiap
unit B sebesar 4, berapa banyak unit dari tiap model akan perusahaan rencanakan untuk produksi tiap minggu.
Tentukan keuntungan maksimum yang diperoleh firma tersebut.
Latihan.
1.
Perusahaan aneka mendapat jatah merakit sepeda dan sepeda motor.
Karena jumlah pekerja terbatas, perusahaan hanya dapat merakit sepeda
120 unit tiap bulan dan sepeda motor 10 120 unit tiap bulan dan sepeda motor 10
unit dan paling banyak 60 unit. Keuntungan dari tiap unit sepeda
sebesar Rp 40.000,00 dan tiap unit sepeda motor Rp 268.000,00. Berapa
pendapatan maksimum tiap bulan kalau kapasitas produksi dua jenis 180 unit.
2. Seorang penjahit mempunyai 60m wol dan 40m katun. Dengan yang tersedia itu,
penjahit membuat stelan jasdan rok kepada beberapa orang pelanggan. Satu
stel jas memerlukan 3m wol dan 1m katun, satu rok memerlukan 2m wol dan 2m
Latihan.
stel jas memerlukan 3m wol dan 1m katun, satu rok memerlukan 2m wol dan 2m
katun. Beberapa stel jas dan rok harus dibuat oleh penjahit kalau keuntungan
satu stel jas Rp 120.000,00 dan keuntungan satu stel rok Rp 75.000,00
untuk memperoleh pendapatan maksimum.
3. Seorang tukang roti mempunyai bahan A, B dan C dengan persedian berturut-turut
300 unit, 180 unit dan 300 unit. Dengan bahan yang tersedia, tukang membuat
Latihan
bahan yang tersedia, tukang membuat dua macam roti sesuai dengan pesanan
pelanggan. Pembuat roti menetapkan keperluan bahan sebagai berikut :
Macam Roti Bahan A
Bahan B Bahan C
I II
2 10
2 4
4 2
Keuntungan yang diperoleh dari roti I sebesar Rp 350,- dan roti II sebesar Rp
sebesar Rp 350,- dan roti II sebesar Rp 800,-.
Rumuskan fungsi tujuan, pembatas dan hasil optimum.
Latihan.
4
. Nyonya desi sedang mempertimbangkan diet khusus yang diajukan oleh konsultan gizi
untuk memenuhi rasio berat badan idealnya. Saat ini proporsi antara tinggi dan berat
Saat ini proporsi antara tinggi dan berat badannya masih belum sesuai dengan rasio
normal. Pola makan yang digunakan memenuhi unsur lemak, protein dan
karbonhidrat. Dalam 1 minggu, Nyonya desi memerlukan paling sedikit 8 ons lemak, 30
ons protein dan 270 ons karbonhidrat.
Kebutuhan ini dapat dicukupi dengan mengkonsumsi 2 jenis makanan. Makanan jenis A
mengandung 2 ons lemak dan 30 ons karbonhidrat, sedangkan makanan jenis B mengandung 6 ons
protein dan 15 ons karbonhidrat. Biaya untuk tiap
protein dan 15 ons karbonhidrat. Biaya untuk tiap jenis makanan berturut-turut adalah Rp 30.000,- dan
Rp 50.000,- . Dengan menggunakan metode grafik tentukan berapa banyak makanan jenis A dan jenis
B yang harus dikonsumsi untuk memenuhi program diet serta berapa biaya minimal yang dikeluarkan
nyonya desi untuk memenuhi program dietnya.
5. Dua buah perusahaan menghasilkan produk A dan B. Produk A melalui mesin I dan II masing-
masing selama 2jam dan 1jam. Sedangkan produk B selama 1jam di mesin I dan 3jam di
mesin II. Kapasitas mesin I dan II adalah 18jam
Latihan.
mesin II. Kapasitas mesin I dan II adalah 18jam dan 10jam. Tentukanlah jumlah produk A dan B
yang harus diproduksi untuk memperoleh keuntungan maks. Jika keuntungan untuk A dan
B masing-masing Rp 40,-unit dan Rp 30,-unit.
a. Tentukan fungsi tujuan b. Tentukan fungsi kendala
c. Cari solusi optimum dengan
menggunakan metode grafik. menggunakan metode grafik.
2.2 Pemecahan dengan metode Simpleks
Metode simpleks merupakan bagian dari linier programming yang digunakan sebagai
alat untuk memecahkan permasalahan yang menyangkut dua variabel keputusan atau
lebih. Metode ini menggunakan pendekatan
lebih. Metode ini menggunakan pendekatan tabel yang dinamakan tabel simpleks.
Proses eksekusi untuk mendapatkan hasil optimum dengan mengubah-ubah tabel
simpleks sampai diperoleh hasil positif di seluruh elemen nilai di baris Cj – Zj.
Langkah-langkah pengerjaan metode simpleks :
1. Mengidentifikasikan variabel keputusan dan memformulasikan dalam simbol
matematika. 2. Mengidentifikasikan tujuan yang akan
2. Mengidentifikasikan tujuan yang akan dicapai dan kendala-kendala yang terjadi.
3. Memformulasikan tujuan dan kendala ke dalam fungsi model matematika.
4. Mengubah pertidaksamaan “≤” pada kendala menjadi “=“ dengan menambahkan
variabel slack S. 5. Memasukkan data fungsi tujuan dan
kendala-kendala yang telah diubah tersebut
kendala-kendala yang telah diubah tersebut ke dalam tabel simpleks. Disamping itu juga
menentukan nilai Cj, yaitu angka pada masing-masing kolom yang akan dicari
dikalikan dengan koefisien dasar kd dan kemudian mencari nilai Cj – Zj.