TEKNIK RESET OPERASI

(1)

TEKNIK RISET OPERASI

(2 SKS)

(2)

BAB I.

PENDAHULUAN

TEKNIK RISET OPERASI

(3)

Bab 1. Pendahuluan

1.1 Sejarah Perkembangan Riset Operasi (Operation Research)

Asal muasal teknik riset operasi tidak terlepas dari perang dunia II. Melalui perang

adanya suatu kebutuhan, bagaimana

mengalokasikan sumber daya yang terbatas kepada berbagai elemen operasi militer secara efektif. Sehingga pemimpin perang meminta saran kepada sejumlah ahli sains. Pada tahun 1940, riset operasi digunakan oleh McClosky dan Trefthen dari Inggris menemukan suatu alat

(4)

yang

dapat

melakukan

pendeteksian yaitu radar.

Setelah perang dunia, keberhasilan

dibidang militer menarik perhatian bagi

dunia

non

militer,

khususnya

para

industriawan.

Mereka

memperdalam

teknik-teknik yang ada untuk kegiatan

operasional perusahaannya.

(5)

1.2 Definisi Riset Operasi

(Operation Research)

a. Menurut

Operation Research Society of

Great Britain, operation research

adalah

Penerapan metode-metode ilmiah dalam

masalah yang kompleks dan suatu

pengelolaan sistem manajemen yang

besar, baik yang menyangkut manusia,

mesin, bahan dan uang dalam industri,

bisnis, pemerintahan dan pertahanan.

(6)

b. Menurut

Operation Research Society of

America (ORSA), operation research

adalah Berkaitan dengan pengambilan

keputusan secara ilmiah dan bagaimana

membuat suatu model yang baik dalam

merancang dan menjalankan sistem yang

melalui alokasi sumber daya yang

(7)

1.3 Model-model dalam Riset Operasi

Model merupakan suatu penyederhanaan

dari permasalahan yang kompleks

menjadi lebih sederhana.

Ada beberapa klasifikasi model dalam

riset operasi, yaitu

a. Model Iconic (psychical)

Model ini merupakan suatu model yang

bentuk penyajiannya berupa fisik

(8)

b. Model Analog (diagramatic)

Dalam model ini suatu kondisi dapat

dianalogikan melalui ciri-ciri yang ada,

misalnya jam dinding.

c. Model Matematik (symbolic)

Model ini menggunakan simbol-simbol

matematika dalam penggunaannya.

(9)

PROGRAM LINIER

(LINIER PROGRAMMING)

(10)

Bab 2. Program Linier

( Linier Programming)

Linier berarti bahwa semua fungsi

matematis dalam model ini harus

merupakan fungsi-fungsi linier atau

variabel-variabel yang bekerja pada

masalah tersebut berpangkat (berderajat)

satu.

Pemrograman sinonim untuk kata

perencanaan.

(11)

Menurut Frederick S.Hiller dan Gerald J.L

pengertian Program Linier adalah

Membuat rencana kegiatan-kegiatan

untuk memperoleh hasil yang optimal yaitu

suatu hasil untuk mencapai tujuan yang

ditentukan dengan cara yang paling baik

(sesuai dengan model matematis) di

(12)

Secara matematis pengertian Program

Linier adalah Sebuah metode matematis

yang berkarakteristik linier untuk

menemukan suatu penyelesaian optimal

dengan cara memaksimumkan atau

meminimumkan fungsi tujuan terhadap

suatu susunan kendala.

(13)

Dalam linier programming dikenal dua

macam fungsi, yaitu :

a. Fungsi Tujuan

Mengambarkan apa yang ingin dicapai

perusahaan dengan menggunakan

Mengambarkan apa yang ingin dicapai

perusahaan dengan menggunakan

sumber daya yang ada. Fungsi tujuan

digambarkan dalam bentuk maksimal

(misalnya laba, penerimaan, produksi dll)

atau minimasi (misalnya biaya).

(14)

b. Fungsi Kendala

Menggambarkan kendala-kendala yang

dihadapi perusahaan dalam kaitannya

dengan pencapaian tujuan tersebut,

misalnya mesin, tenaga kerja dan lain-lain.

Untuk kasus linier programming kendala

yang dihadapi berjumlah lebih dari satu

kendala.

(15)

Pada dasarnya persoalan program linier

ini dapat dibagi menjadi dua persoalan :

1. Persoalan Program Linier Maksimasi

Maksimisasi adalah Suatu proses

memaksimumkan fungsi objektif/fungsi

tujuan.

(16)

(17)

2. Persoalan Program Linier Minimisasi

Minimisasi adalah Suatu proses

meminimumkan fungsi objektif/fungsi

tujuan.

(18)

(19)

Kedua persoalan program linier diatas

(maksimasi dan minimasi) sering disebut model matematika.

Model matematika adalah suatu hasil Model matematika adalah suatu hasil

interpretasi manusia dalam menerjemahkan atau merumuskan persoalan sehari-hari

kebentuk matematika hingga persoalan tersebut dapat diselesaikan secara matematis.

(20)

Contoh :

Sebuah firma memproduksi sendiri rak buku dalam dua model, yaitu model A dan B. Produksi rak buku dibatasi oleh persediaan material (papan kualitas tinggi) dan

waktu yang terbatas mesin pemroses. Tiap unit A memerlukan 3m persegi papan dan tiap unit B

memerlukan 4m persegi papan. Firma memperoleh

Model Matematika masalah Program Linear

memerlukan 4m persegi papan. Firma memperoleh

1.700m persegi papan tiap minggu dari pemasok. Tiap unit A membutuhkan 12 menit dari mesin pemroses dan tiap unit B membutuhkan 30 menit. Setiap minggu

memungkinkan total waktu mesin 160 jam. Jika

keuntungan (profit) tiap unit A sebesar $2 dan tiap unit B sebesar $4, berapa banyak unit dari tiap model akan

(21)

Rumusan masalah :

1. Terdapat tujuan yang dicapai yaitu mencapai keuntungan melalui produksi rak buku jenis A dan B (keluaran atau output) dimana tiap jenis produksi itu telah direncanakan mempunyai produksi itu telah direncanakan mempunyai harga tertentu. Apabila jenis rak buku A dan B disebut x1 dan x2 (menentukan variabel

keputusan) dengan keuntungan/profit tiap unit c1dan c2 maka fungsi objektif (tujuan) tersebut

(22)

2. Terdapat sumberdaya atau masukan atau

persediaan (input) yang berada dalam keadaan terbatas. Dalam hal ini firma mempunyai

persediaan melalui pemasok sendiri yaitu tiap minggu 1700m persegi dan waktu kerja mesin pemroses yang terbatas yaitu tiap minggu

pemroses yang terbatas yaitu tiap minggu 160jam.

(23)

Tabel.

Bahan Baku

(kendala)

Produk Mebel Kapasitas Model A Model B

Papan kualitas tinggi

3 4 1700

Papan kualitas tinggi

Mesin 2 5 1600

(24)

Sehingga dapat dirumuskan dalam

hubungan yang linier yaitu

(25)

`

• Rumusan masalah yang direncanakan

oleh firma tersebut dan disajikan dalam

bentuk rumusan kuantitatif menjadi model

matematika program linier adalah

(26)

Catatan :

1. Keluaran non negatif berarti paling

sedikit tidak memproduksi yaitu

2. Tanda pertidaksamaan kurang dari

mengandung makna paling banyak

papan yang tersedia 1700 m persegi

habis terpakai dan jam kerja mesin tidak

boleh lebih 160 jam/minggu.

(27)

3. Masukan (input) positif berarti papan

dan mesin yang akan dipakai untuk

memproses tersedia.

(28)

1. Perusahaan aneka mendapat jatah merakit sepeda dan sepeda motor. Karena jumlah pekerja terbatas, perusahaan hanya dapat

merakit sepeda 120 unit tiap bulan dan sepeda motor 10 unit dan paling banyak 60 unit.

Keuntungan dari tiap unit sepeda sebesar Rp

Soal-soal Latihan

Keuntungan dari tiap unit sepeda sebesar Rp 40.000,00 dan tiap unit sepeda motor Rp

268.000,00. Berapa pendapatan maksimum tiap bulan kalau kapasitas produksi dua jenis 180 unit.

a. rumuskan fungsi tujuan b. rumuskan pembatas

(29)

2. Seorang penjahit mempunyai 60m wol dan 40m

katun. Dengan yang tersedia itu, penjahit membuat stelan jas dan rok kepada beberapa orang

pelanggan. Satu stel jas memerlukan 3m wol dan 1m katun, satu rok memerlukan 2m wol dan 2m katun. Beberapa stel jas dan rok harus dibuat oleh penjahit kalau keuntungan satu stel jas Rp

katun. Beberapa stel jas dan rok harus dibuat oleh penjahit kalau keuntungan satu stel jas Rp

120.000,00 dan keuntungan satu stel rok Rp 75.000,00 untuk memperoleh pendapatan maksimum.

a. Tentukan fungsi tujuan

b. Tentukan pertidaksamaan yang menunjukkan pembatas lengkap dengan syarat yang

(30)

3. Seorang tukang roti mempunyai bahan A,

B dan C dengan persedian berturut-turut

300 unit, 180 unit dan 300 unit. Dengan

bahan yang tersedia, tukang membuat

dua macam roti sesuai dengan pesanan

pelanggan. Pembuat roti menetapkan

keperluan bahan sebagai berikut :

Macam Roti Bahan A Bahan B Bahan C

I II 2 10 2 4 4 2

(31)

Keuntungan yang diperoleh dari roti I

sebesar Rp 350,- dan roti II sebesar Rp

800,-.

(32)

2.1 Pemecahan dengan metode grafik

Metode grafik hanya cocok digunakan untuk 2 variabel. Apabila memiliki lebih dari dua variabel keputusan maka metode ini tidak dapat

digunakan tapi menggunakan metode simpleks. Langkah-langkah pengerjaan metode grafik :

Langkah-langkah pengerjaan metode grafik : 1. Mengidentifikasi variabel keputusan.

2. Tentukan model matematis program linier. a. fungsi tujuan

b. fungsi kendala

3. Gambarkan fungsi-fungsi kendala dalam suatu sistem koordinat

(33)

4.Tentukan feasible area (area layak) pada

grafik yaitu daerah yang mungkin untuk

memperoleh nilai-nilai x

dan x

yang

memenuhi kendala. Apabila kendala

berbentuk ≤, maka daerah arsiran/layak

terjadi pada bagian kiri/bawah/kiri bawah

tetapi apabila bentuk persamaan ≥, maka

pengarsiran dilakukan ke

(34)

5. Tentukan titik sudut daerah layak.

6. Memilih variabel keputusan dengan

metode trial error

yaitu menguji setiap

titik sudut yang ada pada daerah layak

dengan mensubstitusikan ke fungsi tujuan.

7. Kemudian diperoleh hasil optimum, untuk

maksimasi dipilih hasil tertinggi, untuk

minimasi dipilih hasil terendah.

(35)

Contoh.

Sebuah firma memproduksi sendiri rak buku dalam dua model, yaitu model A dan B. Produksi rak buku dibatasi oleh persediaan material (papan kualitas tinggi) dan waktu yang terbatas mesin pemroses. Tiap unit A memerlukan 3m persegi papan dan tiap unit B memerlukan 4m persegi papan. Firma memperoleh 1.700m persegi papan tiap

minggu dari pemasok. Tiap unit A membutuhkan 12 menit minggu dari pemasok. Tiap unit A membutuhkan 12 menit dari mesin pemroses dan tiap unit B membutuhkan 30

menit. Setiap minggu memungkinkan total waktu mesin 160 jam. Jika keuntungan (profit) tiap unit A sebesar $2 dan tiap unit B sebesar $4, berapa banyak unit dari tiap model akan perusahaan rencanakan untuk produksi tiap minggu.

Tentukan keuntungan maksimum yang diperoleh firma tersebut.

(36)

Latihan.

1. Perusahaan aneka mendapat jatah

merakit sepeda dan sepeda motor.

Karena jumlah pekerja terbatas,

perusahaan hanya dapat merakit sepeda

120 unit tiap bulan dan sepeda motor 10

unit dan paling banyak 60 unit.

Keuntungan dari tiap unit sepeda

sebesar Rp 40.000,00 dan tiap unit

sepeda motor Rp 268.000,00. Berapa

pendapatan maksimum tiap bulan kalau

kapasitas produksi dua jenis 180 unit.

(37)

2. Seorang penjahit mempunyai 60m wol

dan 40m katun. Dengan yang tersedia itu,

penjahit membuat stelan jasdan rok

kepada beberapa orang pelanggan. Satu

stel jas memerlukan 3m wol dan 1m katun,

satu rok memerlukan 2m wol dan 2m

Latihan.

stel jas memerlukan 3m wol dan 1m katun,

satu rok memerlukan 2m wol dan 2m

katun. Beberapa stel jas dan rok harus

dibuat oleh penjahit kalau keuntungan

satu stel jas Rp 120.000,00 dan

keuntungan satu stel rok Rp 75.000,00

(38)

3. Seorang tukang roti mempunyai bahan A,

B dan C dengan persedian berturut-turut

300 unit, 180 unit dan 300 unit. Dengan

bahan yang tersedia, tukang membuat

Latihan

bahan yang tersedia, tukang membuat

dua macam roti sesuai dengan pesanan

pelanggan. Pembuat roti menetapkan

keperluan bahan sebagai berikut :

Macam Roti Bahan A Bahan B Bahan C

I II 2 10 2 4 4 2

(39)

Keuntungan yang diperoleh dari roti I

sebesar Rp 350,- dan roti II sebesar Rp

800,-.

Rumuskan fungsi tujuan, pembatas dan

hasil optimum.

(40)

Latihan.

4 . Nyonya desi sedang mempertimbangkan

diet khusus yang diajukan oleh konsultan gizi

untuk memenuhi rasio berat badan idealnya.

Saat ini proporsi antara tinggi dan berat

badannya masih belum sesuai dengan rasio

normal. Pola makan yang digunakan

memenuhi unsur lemak, protein dan

karbonhidrat. Dalam 1 minggu, Nyonya desi

memerlukan paling sedikit 8 ons lemak, 30

ons protein dan 270 ons karbonhidrat.

(41)

Kebutuhan ini dapat dicukupi dengan

mengkonsumsi 2 jenis makanan. Makanan jenis A mengandung 2 ons lemak dan 30 ons karbonhidrat, sedangkan makanan jenis B mengandung 6 ons

protein dan 15 ons karbonhidrat. Biaya untuk tiap protein dan 15 ons karbonhidrat. Biaya untuk tiap

jenis makanan berturut-turut adalah Rp 30.000,- dan Rp 50.000,- . Dengan menggunakan metode grafik tentukan berapa banyak makanan jenis A dan jenis B yang harus dikonsumsi untuk memenuhi program diet serta berapa biaya minimal yang dikeluarkan nyonya desi untuk memenuhi program dietnya.

(42)

5. Dua buah perusahaan menghasilkan produk A dan B. Produk A melalui mesin I dan II masing-masing selama 2jam dan 1jam. Sedangkan

produk B selama 1jam di mesin I dan 3jam di mesin II. Kapasitas mesin I dan II adalah 18jam

Latihan.

mesin II. Kapasitas mesin I dan II adalah 18jam dan 10jam. Tentukanlah jumlah produk A dan B yang harus diproduksi untuk memperoleh

keuntungan maks. Jika keuntungan untuk A dan B masing-masing Rp 40,-/unit dan Rp 30,-/unit.

(43)

a. Tentukan fungsi tujuan

b. Tentukan fungsi kendala

c. Cari solusi optimum dengan

menggunakan metode grafik.

(44)

2.2 Pemecahan dengan metode Simpleks

Metode simpleks merupakan bagian dari

linier programming yang digunakan sebagai

alat untuk memecahkan permasalahan yang

menyangkut dua variabel keputusan atau

lebih. Metode ini menggunakan pendekatan

tabel yang dinamakan tabel simpleks.

Proses eksekusi untuk mendapatkan hasil

optimum dengan mengubah-ubah tabel

simpleks sampai diperoleh hasil positif di

seluruh elemen nilai di baris Cj – Zj.

(45)

Langkah-langkah pengerjaan metode

simpleks :

1. Mengidentifikasikan variabel keputusan

dan memformulasikan dalam simbol

matematika.

2. Mengidentifikasikan tujuan yang akan

dicapai dan kendala-kendala yang terjadi.

3. Memformulasikan tujuan dan kendala

ke dalam fungsi model matematika.

(46)

4. Mengubah pertidaksamaan “≤” pada

kendala menjadi “=“ dengan menambahkan

variabel slack (S).

5. Memasukkan data fungsi tujuan dan

kendala-kendala yang telah diubah tersebut

ke dalam tabel simpleks. Disamping itu juga

menentukan nilai Cj, yaitu angka pada

masing-masing kolom yang akan dicari

dikalikan dengan koefisien dasar (kd) dan

kemudian mencari nilai Cj – Zj.

(47)

6. Mencari kolom kunci : negatif terbesar

pada baris Cj – Zj.

7. Mencari baris kunci : positif terkecil

pada indeks (indeks = hj pada

masing-masing baris dibagi angka pada kolom

kunci di masing-masing baris).

8. Mencari angka kunci : pertemuan

antara kolom kunci dan baris kunci.

(48)

9.Mengubah variabel keputusan pada baris

kunci dengan variabel keputusan pada kolom

kunci dan kemudian mengubah seluruh

elemen pada baris kunci dengan cara

membagi seluruh elemen tersebut dengan

angka kunci.

10. Mengubah nilai-nilai pada baris lain (di luar

baris kunci) dengan menggunakan pendekatan

nilai baris yang baru = nilai-nilai baris yang

lama dikurangi nilai-nilai pada baris kunci baru

yang telah dikalikan dengan koefisien kolom

kunci pada baris awal tersebut.

(49)

11. Memastikan seluruh elemen pada baris Cj – Zj tidak ada yang bernilai negatif, apabila masih

terdapat nilai negatif maka di ulangi melalui langkah ke-6 dan seterusnya.

12. Apabila seluruh elemen pada baris Cj-Zj tidak 12. Apabila seluruh elemen pada baris Cj-Zj tidak ada yang bernilai negatif maka proses eksekusi telah selesai, nilai Z optimum dan besarnya

variabel keputusan berada pada kolom tersebut (Zj dan hj).

(50)

(51)

Contoh.

(52)

Jawab.

1,2 dan 3 tidak perlu dikerjakan karena contoh soalnya dalam bentuk model matematika.

4. Mengubah pertidaksamaan ≤ pada kendala menjadi persamaan dengan menambah variabel slack (S).

(53)

5. Memasukkan data fungsi tujuan dan kendala-kendala yang telah diubah tersebut kedalam

tabel simpleks. Disamping itu juga menentukan nilai Cj, yaitu angka pada masing-masing kolom yang akan dicari dikalikan dengan koefisien

dasar (kd) dan kemudian mencari nilai Cj – Zj. dasar (kd) dan kemudian mencari nilai Cj – Zj.

(54)

6. Mencari kolom kunci : negatif terbesar

pada baris Cj – Zj.

(55)

7. Mencari baris kunci : positif terkecil pada

indeks (indeks = hj pada masing-masing

baris dibagi angka pada kolom kunci di

masing-masing baris).

(56)

8. Mencari angka kunci : pertemuan antara kolom kunci dan baris kunci, untuk kasus ini angka

kuncinya adalah 5.

9. Mengubah variabel keputusan pada baris kunci dengan variabel keputusan pada kolom kunci dan kemudian mengubah seluruh elemen pada baris kunci dengan cara membagi seluruh

baris kunci dengan cara membagi seluruh elemen tersebut dengan angka kunci.

(57)

10.

Mengubah nilai-nilai pada baris lain (di luar baris kunci) dengan menggunakan pendekatan nilai baris yang baru = nilai-nilai baris yang lama dikurangi nilai-nilai pada baris kunci baru yang telah dikalikan dengan koefisien kolom kunci pada baris awal tersebut.

pada baris awal tersebut.

(58)

(59)

11.Memastikan seluruh elemen pada baris Cj – Zj tidak ada yang bernilai negatif, karena kasus ini masih terdapat nilai negatif (-1) maka proses

selanjutnya mengikuti langkah ke-6 dan seterusnya

.

(60)

Jadi kunci yang baru = 19/5.

(61)

12. Apabila seluruh elemen pada baris Cj-Zj tidak ada yang bernilai negatif maka proses eksekusi telah selesai. Berdasarkan tabel simpleks

terakhir, tidak ditemukan nilai negatif pada Cj-Zj dengan demikian tabel simpleks tersebut telah optimal.

optimal.

Kesimpulan :

Tingkat produksi x1 sebanyak 20/19 dan x2

sebanyak 45/19. Besar keuntungan maksimum perusahaan 235/19.

(62)

Contoh.

2. PT. Alpha Tekstil memiliki sebuah pabrik yang memproduksi dua jenis produk yaitu kain sutra dan wol. Produk tersebut dihasilkan perusahaan untuk memenuhi permintaan luar negeri (ekspor). Untuk memproduksi kedua produk tersebut diperlukan bahan baku benang sutera, benang wol dan tenaga kerja. Maksimum penyediaan barang benang sutra adalah 60 kg per hari dan benang wol 30 kg per hari dan tenaga kerja 40 kg per hari dan benang wol 30 kg per hari dan tenaga kerja 40 jam per hari. Kebutuhan setiap unit produk akan bahan baku dan jam tenaga kerja dapat dilihat pada tabel dibawah ini :

Jenis bahan baku Kain sutera Kain wol

Benang sutera 2 3

Benang wol - 2

(63)

Contoh.

Kedua jenis produk tersebut memberikan keuntungan sebesar US$ 400 untuk kain sutra dan US$300 untuk kain wol. Berdasarkan kondisi diatas, tentukan besarnya tingkat produksi kain sutera dan kain wol agar keuntungan maksimum sutera dan kain wol agar keuntungan maksimum tersebut, serta tentukan apakah kapasitas seluruh kendala digunakan secara penuh (habis terpakai).

(64)

2.3 Analisis Sensitivitas

Apabila permasalahan dalam

linier

programming

telah diselesaikan dan telah

menghasilkan solusi optimum belum

berarti permasalahan telah selesai. Masih

terdapat kemungkinan-kemungkinan yang

dapat terjadi sebagai akibat

perubahan-perubahan pada pembatas, koefisien pada

kendala, koefisien fungsi tujuan,

(65)

penambahan kendala baru. Untuk mengatasi

perubahan yang demikian maka diperlukan

suatu alat analisis yang digunakan agar

proses perhitungan tidak dilakukan dari awal.

Alat analisis yang digunakan menggunakan

pendekatan analisis sensitivitas (

sensitivity

analysis

). Pendekatan ini digunakan tanpa

mengulang proses eksekusi dari awal tetapi

harus tersedia data tabel simpleks optimum.

(66)

(67)

(68)

(69)

(70)

(71)

(72)

BAB 3. TEORI DUALITAS

(PRIMAL – DUAL)

(73)

3.1 Konsep Dasar Primal dan Dual

Konsep dualitas menyatakan dalam setiap

permasalahan linier programming

mempunyai dua bentuk yang saling

berhubungan dan berkaitan. Dapat pula

diartikan sebagai “lawan dari”, maksudnya

jika terdapat persamaan awal dalam bentuk

primal maka lawannya dalam bentuk dual.

Dalam solusi optimum pada tabel simpleks

dapat menjawab permasalahan primal dan

dual-nya.

(74)

Ketentuan bentuk primal – dual.

Adapun ketentuan primal dan dualnya

sebagai berikut :

No Bentuk Primal Bentuk Dual

1. Umumnya notasi fungsi tujuan adalah Z

Umumnya notasi fungsi tujuan adalah W

adalah Z adalah W 2. Umumnya notasi variabel

keputusan dalam bentuk X

Umumnya notasi variabel keputusan adalah Y

3. Unsur koefisien matriks pembatas Transpose koefisien matriks pembatas

4. Vektor ruas kanan pada kendala Koefisien fungsi tujuan

5. Koefisien fungsi tujuan Vektor ruas kanan pada kendala 6. Pembatas ke-i berupa “=“ Yi tidak terbatas dalam tanda 7. Xj tidak terbatas dalam tanda Pembatas ke-j berupa “=“

(75)

• Fungsi tujuan berbentuk maksimasi

No Bentuk primal Bentuk dual

1. Fungsi tujuan berbentuk maksimasi Fungsi tujuan berbentuk minimasi 2. Pembatas ke-i berupa “≤” Yi ≥ 0

2. Pembatas ke-i berupa “≤” Yi ≥ 0 3. Pembatas ke-i berupa “≥” Yi ≤ 0

4. Xj ≥ 0 Pembatas ke-j berupa “≥” 5. Xj ≤ 0 Pembatas ke-j berupa “≤”

(76)

• Fungsi tujuan berbentuk minimasi

No Bentuk primal Bentuk dual

1. Fungsi tujuan berbentuk minimasi Fungsi tujuan berbentuk maksimasi 2. Pembatas ke-i berupa “≤” Yi ≤ 0

2. Pembatas ke-i berupa “≤” Yi ≤ 0 3. Pembatas ke-i berupa “≥” Yi ≥ 0

4. Xj ≥ 0 Pembatas ke-j berupa “≤” 5. Xj ≤ 0 Pembatas ke-j berupa “≥”

(77)

(78)

(79)

(80)

(81)

4.1 Pengertian Metode Penugasan

Metode penugasan (

assignment method

)

adalah bagian dari

linier programming

yang digunakan untuk mengalokasikan

pekerjaan kepada subjek/orang tertentu

agar diperoleh hasil yang optimal (biaya

yang minimal/keuntungan yang

maksimal/waktu yang minimal dan

lain-lain).

(82)

Alat analisis yang digunakan adalah

pendekatan metode Hungaria, metode

Hungaria bersifat saling meniadakan artinya

apabila seseorang telah mengerjakan satu

jenis pekerjaan maka tidak dapat

mengerjakan pekerjaan yang lain.

Persyaratan yang harus dipenuhi adalah

jumlah baris (orang yang mengerjakan) sama

dengan jumlah kolom (pekerjaan).

(83)

Langkah-langkah pengerjaan metode

Penugasan (kasus minimasi) :

1. Susunlah tabel yang memuat pekerja dan pekerjaan atau tugas tertentu beserta biaya atau waktunya (pastikan jumlah baris sama dengan kolom).

2. Pada masing-masing baris, cari angka terkecil kemudian selisihkan angka terkecil tersebut pada angka-angka lainnya di baris tersebut.

3. Pada masing-masing kolom, cari angka terkecil kemudian selisihkan angka terkecil tersebut

(84)

4. Buat garis buatan seminimal mungkin (secara vertikal/horizontal) dengan melewati angka nol terbanyak pada baris/kolom tersebut. Angka nol yang telah terkena garis tidak dapat digunakan kembali untuk membuat garis yang lain.

kembali untuk membuat garis yang lain.

5. Jika jumlah garis yang ada sama dengan jumlah baris/kolom, maka pengerjaan tersebut telah

(85)

6. Jika jumlah garis buatan belum sama dengan jumlah baris/kolom maka dilakukan proses

eksekusi lanjutan dengan menentukan angka terkecil dari angka-angka yang tidak terlewati

garis, kemudian kurangi angka-angka yang tidak garis, kemudian kurangi angka-angka yang tidak terlewati garis dengan angka terkecil tersebut

dan tambahkan angka terkecil tersebut pada yang terletak pada perpotongan garis (terkena dua garis) serta angka yang terlewat satu garis tidak berubah (tetap).

(86)

7. Lanjutkan kembali ke langkah 4, jika jumlah garis yang ada sama dengan jumlah

baris/kolom, maka pengerjaan tersebut telah optimal.

8. Apabila penugasan telah optimal, langkah selanjutnya mengalokasikan para pekerja dengan jenis pekerjaan yang ada. Alokasi pekerjaan dilakukan dengan memperhatikan angka nol pada pekerja dan pekerjaannya.

(87)

Untuk masalah maksimasi, perbedaan terdapat pada langkah ke-2 yaitu mencari angka terbesar yang kemudian diselisihkan pada

masing-masing baris tersebut. Untuk langkah

selanjutnya mengikuti langkah-langkah yang masing baris tersebut. Untuk langkah

selanjutnya mengikuti langkah-langkah yang telah ada.

(88)

4.2 Model Umum Tabel Penugasan

Subjek Objek/Pekerjaan

A B … … … n

X C11 C12 … … … C1n

Y C21 C22 C2n

. . . . . . . . . . . .

(89)

Keterangan :

 Subjek : orang yang mengerjakan pekerjaan tertentu.

 Objek : pekerjaan yang akan dikerjakan dapat

 

 Objek : pekerjaan yang akan dikerjakan dapat berupa jenis pekerjaan, mesin dan lain-lain.

 Tabel payoff (C11 – Cmn) : hasil/nilai yang terjadi

dari pekerjaan tersebut dapat berupa biaya, waktu, pendapatan, dan lain-lain.

(90)

4.3 Contoh Soal

1. La’Crescendo merupakan sebuah tempat khursus musik yang telah berpengalaman di

bidangnya. Saat ini La’Crescendo memiliki lima pengajar yang menguasai lima alat musik.

Tsukimori sebagai pemilik La’Crescendo, ingin Tsukimori sebagai pemilik La’Crescendo, ingin memfokuskan setiap pengajar untuk mengajar masing-masing alat musik. Berikut adalah data biaya (dalam ribuan) yang dibayarkan kepada pemberi kursus untuk sekali memberi kursus dengan alat musik yang ada.

(91)

Nama Pengajar

Alat Musik

Biola Piano Cello Gitar Drum Azuma 120 135 100 170 200

Keichi 180 95 205 150 125 Keichi 180 95 205 150 125 Ryotaro 90 150 115 190 215

Kahoko 90 98 170 135 155

(92)

Berdasarkan data di atas bantulah Tsukimori untuk :

a. Menentukan alokasi penugasan yang sebaiknya diterapkan agar biaya minimum.

diterapkan agar biaya minimum.

b. Menentukan biaya terendah yang dikeluarkan untuk membayar para pengajarnya.

(93)

Jawab.

1. Susunlah tabel yang memuat pekerja dan

pekerjaan atau tugas tertentu beserta biaya atau waktunya (pastikan jumlah baris sama dengan kolom).

Nama Alat Musik Nama

Pengajar

Alat Musik

Biola Piano Cello Gitar Drum Azuma 120 135 100 170 200

Keichi 180 95 205 150 125 Ryotaro 90 150 115 190 215 Kahoko 90 98 170 135 155 Len 210 160 100 122 180

(94)

2.Pada masing-masing baris, cari angka terkecil kemudian selisihkan angka terkecil tersebut pada angka-angka lainnya di baris tersebut.

Nama Pengajar

Alat Musik

Biola Piano Cello Gitar Drum Azuma 120 135 100 170 200

Keichi 180 95 205 150 125 Ryotaro 90 150 115 190 215 Kahoko 90 98 170 135 155 Kahoko 90 98 170 135 155 Len 210 160 100 122 180

Nama Pengajar

Alat Musik

Biola Piano Cello Gitar Drum

Azuma 20 35 0 70 100

Keichi 85 0 110 55 30

Ryotaro 0 60 25 100 125

Kahoko 0 8 80 45 65

(95)

3. Pada masing-masing kolom, cari angka terkecil kemudian selisihkan angka terkecil tersebut

pada angka-angka lainnya di kolom tersebut

Nama Pengajar

Alat Musik

Biola Piano Cello Gitar Drum

Azuma 20 35 0 70 100

Keichi 85 0 110 55 30

Ryotaro 0 60 25 100 125

Kahoko 0 8 80 45 65

Len 110 60 0 22 80

Nama Pengajar

Alat Musik

Biola Piano Cello Gitar Drum

Azuma 20 35 0 48 70

Keichi 85 0 110 33 0

Ryotaro 0 60 25 78 95

Kahoko 0 8 80 23 35

(96)

Nama Alat Musik Nama

Pengajar

Alat Musik

Biola Piano Cello Gitar Drum

Azuma 20 35 0 48 70

Keichi 85 0 110 33 0

Ryotaro 0 60 25 78 95

Kahoko 0 8 80 23 35

(97)

5.Jika jumlah garis yang ada sama dengan jumlah baris/kolom, maka pengerjaan tersebut telah

optimal. Tetapi dalam soal ini karena jumlah garis buatan belum sama dengan jumlah

baris/kolom maka dilakukan proses eksekusi lanjutan (garis buatan berjumlah empat tetapi jumlah baris berjumlah lima).

Nama Pengajar

Alat Musik

Biola Piano Cello Gitar Drum

Azuma 20 35 0 48 70

Keichi 85 0 110 33 0

Ryotaro 0 60 25 78 95

Kahoko 0 8 80 23 35

(98)

6. Tentukan angka terkecil (dalam hal ini angka 8) dari angka-angka yang tidak terlewati oleh garis, kemudian kurangi angka-angka yang tidak

terlewati garis dengan angka terkecil tersebut dan tambahkan angka terkecil tersebut pada angka yang terletak pada perpotongan garis.

Nama Pengajar

Alat Musik

Biola Piano Cello Gitar Drum

Azuma 20 35 0 48 70

Keichi 85 0 110 33 0

Ryotaro 0 60 25 78 95

Kahoko 0 8 80 23 35

(99)

Nama Pengajar

Alat Musik

Biola Piano Cello Gitar Drum

Azuma 20 27 0 48 62

Keichi 93 0 118 41 0

Ryotaro 0 52 25 78 87

Kahoko 0 0 80 23 27

Len 110 52 0 0 42

7. Kembali ke langkah 4. 7. Kembali ke langkah 4.

Jika jumlah garis yang ada sama dengan jumlah baris/kolom, maka pengerjaan tersebut telah

optimal.

Karena jumlah garis buatan sama dengan jumlah baris/kolom berarti penyelesaian telah optimal.

(100)

Nama Pengajar

Alat Musik

Biola Piano Cello Gitar Drum

Pengajar _Biola _Piano _Cello _Gitar _Drum

Azuma 20 27 0 48 62

Keichi 93 0 118 41 0

Ryotaro 0 52 25 78 87

Kahoko 0 0 80 23 27

(1)

a. Tentukan alokasi penugasan operator pada mesin yang paling tepat.

b. Jika data tersebut ternyata data biaya

per-bulan dalam ratusan ribu rupiah, untuk per-bulan dalam ratusan ribu rupiah, untuk menugaskan seorang operator pada suatu mesin, maka bagaimana penugasan yang paling tepat agar biaya minimum dan

(2)

METODE TRANSPORTASI

(3)

A. Pengertian Metode Transportasi

Metode Transportasi adalah bagian dari linier programming yang digunakan untuk mengatur dan mendistribusikan mengatur dan mendistribusikan sumber-sumber yang menyediakan produk ke

tempat-tempat yang membutuhkan untuk mencapai efisiensi biaya transportasi.

(4)

(5)

Syarat metode transportasi

Besarnya kebutuhan(permintaan) sama dengan kapasitas, apabila kebutuhan tidak sama

dengan kapasitas maka untuk menyamakannya ditambahkan variable dummy dengan biaya

distribusi sama dengan nol. distribusi sama dengan nol.

Terdapat 2 solusi dalam metode transportasi, yaitu solusi awal yang terdiri dari metode sudut barat laut (NWCR), biaya terendah (leas cost), vogel Approximation (VAM), dan solusi optimal yang terdiri dari metoda batu loncatan (stepping stone), MODI (modified distribution)

(6)