102 Kelas VIII SMPMTs
Semester II
2 2
1 2
QS PQ
r r
= −
− Seperti uraian sebelumnya, bahwa panjang QS sama dengan FH sama dengan
garis singgung persekutuan luar lingkaran P dan Q.
Ayo Kita Menalar
1. Uraikan langkah untuk menentukan jarak kedua titik singgung kedua lingkaran. Sebaiknya kalian mengingat kembali materi Pythagoras.
2. Bagaimana panjang garis singgung persekutuan dua lingkaran jika jari- jari kedua lingkarannya sama?
Ayo Kita Berbagi
Silakan presentasikan langkah kalian dalam menentukan jarak dua titik singgung tersebut kepada teman dan guru kalian di kelas. Mintalah saran dan
komentar perbaikan dari langkah yang kalian temukan tersebut.
Ayo Kita
? ?
Berlatih
7.4
A. Pilihan Ganda
1. Sudut yang terbentuk antara diameter dengan garis singgung lingkaran adalah ....
A. lancip
C. tumpul
B. siku-siku D. tidak pasti
2. Diketahui jarak antara pusat lingkaran A dan B adalah 20 cm. Lingkaran A dan B memiliki jari-jari berturut-turut 22 cm dan 6 cm. Panjang garis
singgung persekutuan luarnya adalah ... cm. A.
9 cm C.
17 cm
B. 12
cm D.
30 cm
103 Kurikulum 2013
MATEMATIKA 3. Pada gambar di samping, suatu busur
dibuat dengan pusat P dan memotong garis di titik Q. Kemudian dengan jari-
jari yang sama, dibuat busur dengan pusat Q, sedemikian hingga memotong
busur pertama di titik R. Dari titik P, Q, dan R, dibuat sudut PRQ. Ukuran sudut
yang terbentuk dari sudut PRQ adalah ....
A. 30 °
C. 60
° B. 45
° D.
75 °
TIMSS 2003 8th-Grade Mathematics Items
4. Pada gambar berikut, ABCD adalah suatu persegi panjang. Lingkaran P dan Q adalah lingkaran yang sisi-sisinya saling bersinggungan
dengan sisi persegi panjang.
P Q
A B
C D
Jika jari-jari masing-masing lingkaran tersebut adalah 5 cm, maka luas persegi panjang adalah ....
A. 50 cm
2
C. 100
cm
2
B. 60 cm
2
D. 200
cm
2
TIMSS 2003 8th-Grade Mathematics Items
5. Diketahui dua lingkaran berbeda. Jari-jari lingkaran pertama adalah 15 cm, sedangkan jari-jari lingkaran kedua adalah 8 cm. Jika jarak pusat
kedua lingkaran tersebut adalah 25 cm, maka panjang garis singgung persekutuan luar kedua lingkaran tersebut adalah ... cm
A. 23
cm C.
25 cm
B. 24
cm D.
26 cm
P Q
R
104 Kelas VIII SMPMTs
Semester II
B. Esai
1. Diketahui jarak antara pusat lingkaran A dan B adalah 10 cm. Lingkaran A dan B memiliki jari-jari berturut-turut 11 cm dan 3 cm. Tentukan:
a. panjang garis singggung persekutuan luarnya jika ada; b. sketsa gambarnya lengkap dengan garis singgung persekutuan
luarnya, jika ada.
2. Diketahui panjang garis singgung persekutuan luar lingkaran C dan D adalah 24 cm. Jari-jari lingkaran C dan D berturut-turut 15 cm dan 8
cm. Tentukan: a. jarak pusat kedua lingkaran tersebut jika ada;
b. jarak kedua lingkaran tersebut jika ada.
3. Diketahui jarak antara lingkaran E dan F adalah 5 cm. Lingkaran E dan F memiliki jari-jari berturut-turut 13 cm dan 4 cm. Tentukan panjang
garis singgung persekutuan luar kedua lingkaran tersebut. jika ada
4. Diketahui jumlah diameter lingkaran G dan H adalah 30 cm. Panjang garis singgung persekutuan luarnya adalah 24 cm. Sedangkan jarak
kedua pusat lingkaran tersebut adalah 26 cm. Tentukan: a. jari-jari kedua lingkaran tersebut,
b. jarak kedua lingkaran.
5. Diketahui jarak pusat lingkaran I dan J adalah 12 cm. Lingkaran I memiliki jari-jari 8 cm. Tentukan jari-jari J maksimal agar terdapat
garis singgung persekutuan luar antara lingkaran I dan J. Jelaskan alasanmu.
105 Kurikulum 2013
MATEMATIKA
Menentukan Garis Singgung Persekutuan
dalam Dua Lingkaran egiatan
K 7.5
Pada kegiatan sebelumnya kita telah membahas tentang cara menentukan jarak dua titik singgung pada garis singgung persekutuan luar dua lingkaran.
Pada kegiatan ini, kita akan menentukan jarak dua titik pada garis singgung persekutuan dalam antara dua lingkaran dengan cara mencari hubungan antara
jarak antara kedua titik singgung, jari-jari kedua lingkaran, dengan jarak titik pusat kedua lingkaran.
Ayo Kita Amati
Misal kita memiliki dua lingkaran dengan pusat P dan Q. Jari-jari P dan Q berturut-turut adalah r
1
dan r
2
. Garis singgung persekutuan dalam lingkaran P dan Q adalah ruas garis terpendek yang menyinggung kedua lingkaran tersebut
dan melalui daerah di antara kedua lingkaran. Perhatikan gambar berikut ini. Ruang garis FI adalah satu dari dua garis singgung persekutuan dalam pada
lingkaran P dan Q. Titik F adalah titik singgung pada lingkaran I. Sedangkan titik I adalah titik singgung lingkaran Q.
P Q
F
I Ikuti langkah berikut untuk melukis garis singgung persekutuan dalam antara
dua lingkaran.
106 Kelas VIII SMPMTs
Semester II
No. Langkah-langkah
Kegiatan Keterangan
1. Lukislah dua lingkaran
yang berpusat di P dan Q, dengan jari-jari r
1
dan r
2
, kemudian hubungkan titik pusat P dan Q
keterangan: r
1
r
2
. P
r
1
r
2
Q
2. Lukislah busur lingkaran
dengan pusat P dan Q dengan jari-jari r
1 2
PQ, sehingga berpotongan di
titik A. P
r
1
r
2
Q B
A
3. Hubungkan titik A dan
B, sehingga memotong PQ di titik C.
P r
1
r
2
Q B
A
C
4. Lukislah lingkaran yang
berpusat di C, dengan jari-jari CP = CQ.
P r
1
r
2
Q B
A
C
107 Kurikulum 2013
MATEMATIKA
No. Langkah-langkah
Kegiatan Keterangan
5. Lukislah busur lingkaran
berpusat di P dengan jari-jari r
1
+ r
2
, sehingga memotong
lingkaran berpusat di C dengan jari-jari CP = CQ
di titik D dan E. P
r
1
r
2
Q B
A
C D
E r
2
{
{
r
1
6. Hubungkan titik P
dengan titik D dan titik P dengan titik E, sehingga
memotong lingkaran berpusat P di titik F dan
G.
P r
1
r
2
Q B
A
C D
F
E G
r
2
{
{
r
1
7. Lukislah busur lingkaran
dengan pusat F dan panjang jari-jarinya DQ,
sehingga memotong lingkaran berpusat di Q
di titik I jadi FI = DQ. Lukislah busur lingkaran
dengan pusat G dan panjang jari-jarinya EQ,
sehingga memotong lingkaran berpusat di Q di
titik H jadi GH = EQ.
P r
1
r
2
Q B
A
C D
F
E G
r
2
{
{
r
1
H
I
108 Kelas VIII SMPMTs
Semester II
Ayo Kita Menanya
? ?
Setelah kita mengamati bentuk dan cara melukis garis singgung tersebut, mungkin muncul pertanyaan sebagai berikut.
a. Bagaimana cara menentukan panjang garis singgung persekutuan dalam antara dua lingkaran?
b. Apa hubungan antara garis singgung persekutuan dalam, jari-jari, dan jarak titik pusat kedua lingkaran?
Silakan sampaikan pertanyaan kalian, jika masih ada hal lain yang ingin ditanyakan terkait pengamatan kalian.
+
=
+
Ayo Kita Menggali Informasi
Untuk menentukan panjang garis singgung persekutuan dalam lingkaran P dan Q
, kita perlu mengumpulkan beberapa informasi penting. 1. Garis singgung FI menyinggung lingkaran P dan Q masing-masing tepat
di satu titik. 2. Dari titik F dan P dapat dibuat jari-jari lingkaran P sepanjang r
1
dan siku- siku dengan FI. Mengapa?
No. Langkah-langkah
Kegiatan Keterangan
8. Hubungkan titik F
dengan titik I dan titik G dengan titik H, sehingga
terbentuk garis singgung persekutuan dalam FI
dan GH.
P r
1
r
2
Q B
A
C D
F
E G
r
2
{
{
r
1
H
I
109 Kurikulum 2013
MATEMATIKA 3. Dari titik I dan Q dapat dibuat jari-jari lingkaran Q sepanjang r
2
dan siku- siku dengan FI. Mengapa?
Dari ketiga informasi tersebut, kita membuat ilustrasi sebagai berikut.
P Q
F
I
Gambar 7.8 Garis FI, Garis singgung persekutuan dalam lingkaran P dan Q
Mari kita perhatikan gambar sebelumnya, ada beberapa informasi penting yang kita peroleh.
1. Ruang garis FI tegak lurus dengan jari-jari PF dan QI. 2. Kita dapat memperpanjang garis PF menjadi PZ, sedemikian sehingga
panjang FZ = r
2
. 3. Kemudian dengan menghubungkan titik P, Q, dan Z kita dapat
memembentuk segitiga QPZ. Segitiga QPZ adalah suatu segitiga siku- siku, dengan sudut siku-siku di Z. Mengapa?
Berikut ini gambar setelah terbentuk segitiga PQZ.
P r
1
Q r
2
r
2
F Z
I
Gambar 7.8 Garis ZQ sejajar dengan garis singgung FI
Setelah segitiga PQZ terbentuk, kita dapat menggunakan teorema Pythagoras untuk menentukan panjang QZ.
Jika perhitungan kalian benar, kalian akan mendapatkan bentuk berikut.
2 2
1 2
QZ PQ
r r
= −
+ Seperti uraian sebelumnya, bahwa panjang QZ sama dengan FI sama dengan
panjang garis singgung persekutuan dalam lingkaran P dan Q.
110 Kelas VIII SMPMTs
Semester II
Ayo Kita Menalar
Uraikan langkah untuk menentukan jarak kedua titik singgung kedua lingkaran. Sebaiknya kalian mengingat kembali materi Pythagoras.
Ayo Kita Berbagi
Silakan presentasi langkah kalian dalam menentukan jarak dua titik singgung tersebut kepada teman dan guru kalian di kelas. Mintalah saran dan komentar
perbaikan dari langkah yang kalian temukan tersebut.
Ayo Kita
? ?
Berlatih
7.5
A. Pilihan Ganda
