16 Kelas VIII SMPMTs
Semester II Untuk mengukur panjang ruas garis yang menghubungkan dua titik pada
bidang koordinat, kita dapat menggambar titik-titik tersebut. Setelah itu, kita menentukan panjang setiap ruas garis. Misalkan, diminta untuk
menentukan jarak antara titik A −5, 3 dan B3, −4. Bagaimana kita
dengan mudah menentukan jarak dua titik pada bidang Kartesius? Untuk menyelesaikan masalah di atas, lakukan kegiatan di bawah terlebih
dahulu. 1. Gambar kedua titik A dan B pada bidang Kartesius. Tarik garis sehingga
menghubungkan kedua titik tersebut. Gambar yang kalian buat akan tampak sama seperti pada Gambar 6.9.
2. Perhatikan Gambar 6.9
. Apabila ditarik garis dari titik −5, 3 dan 3, −4 yang sejajar dengan sumbu-X dan sumbu-Y, maka kita bisa
melihat suatu segitiga siku-siku dengan panjang sisi tegaknya 7 satuan dan 8 satuan. Sehingga, kita bisa menggunakan teorema Pythagoras untuk
menentukan jarak kedua titik tersebut. Berdasarkan Gambar 6.9, jarak kedua titik adalah 8
7
2 2
+ atau 113 satuan.
Gambar 6.9
1 2
3 4 5
6 7
− − −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 5
4 3
2 1
−2 −1
−3 −4
−5 −
− −
−
−
A B
X Y
−5, 3
3, −4 7 satuan
8 satuan
Ayo Kita Menanya
? ?
Kalian telah mengamati cara menentukan jarak dua titik yang sudah diketahui. Bagaimana kalian menentukan jarak sebarang dua titik, yakni titik Ax
1
, y
1
dan Bx
2
, y
2
? Buatlah pertanyaan lainnya terkait dengan penerapan teorema Pythagoras, baik penerapannya pada bangun datar maupun pada bangun ruang.
17 Kurikulum 2013
MATEMATIKA
+
=
+
Ayo Kita Menggali Informasi
Mari kita mencoba menyelesaikan masalah permainan benteng-bentengan. Dengan menggunakan bidang Kartesius, kita bisa menentukan jarak kalian
dengan benteng lawan kalian.
Kalian berada 50 meter sebelah utara dan 20 meter sebelah timur dari benteng kalian. Benteng lawan berada di 80 meter sebelah utara dan 60 meter dari
benteng kalian. Sehingga posisi kalian dan benteng lawan kalian dapat disajikan dalam bidang Kartesius seperti berikut.
20 50
80
Benteng kalian kalian
Benteng lawan
40 40 meter
30 meter
60 80
T
S B
U
Gambar 6.10
Setelah kita menentukan koordinat kalian dan benteng lawan, selanjutnya kita menentukan jarak kalian dan benteng lawan dengan menggunakan teorema
Pythagoras.
Jarak kalian dan benteng lawan kalian dapat ditentukan seperti berikut. x = 40
30
2 2
+ =
. 1 600
900 +
= .
2 500 = 50
Jadi, jarak kalian dengan benteng lawan kalian adalah 50 meter. Untuk lebih memahami penerapan teorema Pythagoras, amatilah beberapa
contoh berikut.
18 Kelas VIII SMPMTs
Semester II
Contoh 6.5
Suatu hari Wachid dan Dani merencanakan akan pergi berlibur ke pantai. Wachid menjemput Dani untuk berangkat bersama-sama ke pantai. Rumah
Wachid berada di sebelah barat rumah Dani dan pantai yang akan mereka kunjungi terletak tepat di sebelah utara rumah Dani. Jarak rumah Wachid dan
Dani adalah 15 km, sedangkan jarak rumah Dani ke pantai adalah 20 km. Jika kecepatan rata-rata bersepeda motor Wachid adalah 30 kmjam, tentukan
selisih waktu yang ditempuh Wachid, antara menjemput Dani dengan langsung berangkat sendiri ke pantai.
Penyelesaian Alternatif
Berdasarkan gambar dapat diketahui total jarak yang ditempuh Wachid
menuju ke pantai adalah 15 + 20 = 35 km. Sehingga dengan kecepatan
rata-rata 30 kmjam, waktu yang dibutuhkan untuk sampai ke pantai
adalah 35 km
÷ 30 kmjam = 1,67 jam atau setara dengan 70 menit.
Namun, jika Wachid tidak perlu menjemput Dani, maka menggunakan
teorema Pythagoras dapat dicari jarak terpendek dari rumah Wachid
ke pantai yaitu:
15 20
2 2
+ = 225
400 +
= 625 = 25 km Dengan kecepatan 30 kmjam Wachid hanya memerlukan waktu 25
÷ 30 = 0,83 jam atau setara dengan 50 menit.
Jadi, selisih waktu antara Wachid menjemput dengan tidak menjemput Dani adalah 70 − 50 = 20 menit.
15 km 20 km
Pantai
Rumah Wachid
Rumah Dani
Ilustrasi gambar
19 Kurikulum 2013
MATEMATIKA
Contoh 6.6
Dua pesawat sedang terbang melintasi kapal induk. Suatu radar yang berlokasi sejauh 9 km dari kapal induk mendeteksi bahwa posisi kedua pesawat tempur
tersebut berjarak 10 km dan 12 km dari radar. Tentukan jarak kedua pesawat diukur berdasarkan ketinggiannya.
Penyelesaian Alternatif
Perhatikan bahwa masalah di atas bisa digambarkan seperti berikut.
Berdasarkan gambar di samping, jarak kedua pesawat yang dimaksud adalah
panjang CD.
Untuk menentukan panjang CD, terlebih dahulu kita akan menentukan panjang BC dan BD.
Berdasarkan teorema Pythagoras, BC
2
= AC
2
− AB
2
= 10
2
− 9
2
= 100 − 81 = 19 BC =
19 ≈ 4,35
BD
2
= AD
2
− AB
2
A B
C D
10 km 12 km
9 km
20 Kelas VIII SMPMTs
Semester II = 12
2
− 9
2
= 144 − 81 = 63 BD =
63 ≈ 7,93
DC = BD
− BC = 7,93 − 4,35 = 3,58 Sehingga jarak kedua pesawat adalah 3,58 km.
Selain pada bidang Kartesius, teorema Pythagoras juga diterapkan dalam bangun datar dan bangun ruang 3-dimensi 3-D. Banyak masalah nyata yang
melibatkan bangun datar dan bangun 3-D. Khusus pada bangun 3-D, hal yang penting adalah gambar, karena sudut siku-siku sering tidak nampak seperti
sudut siku-siku. Sehingga penting untuk menggambar bangun yang dimaksud untuk memperjelas sudut siku-sikunya.
Contoh 6.7
Tentukan panjang AG dari balok di samping.
Penyelesaian Alternatif
Untuk mempermudah, gambarlah dalam 2-D segitiga siku-siku yang terdapat EG kemudian berilah nama. Hanya ada 1 sisi yang diketahui, sehingga kita
perlu menentukan segitiga siku-siku lainnya untuk menggunakannya.
Gambarlah EFGH dan tunjukkan diagonal EG. Kemudian tandai EG sebagai x. Gunakan teorema Pythagoras untuk menentukan
panjang EG. x
2
= a
2
+ b
2
x
2
= 5
2
+ 10
2
x
2
= 25 + 100 = 125 x = 125
x = 25 5 × = 5 5
Tempatkan pada segitiga AEG. Beri nama sisi AG dengan y.
A B
F G
H D
E C
6
5 10
10 H
E F
G 5
5 x
A B
F G
H D
C 6
5 E
10 x
21 Kurikulum 2013
MATEMATIKA Selesaikan segitiga ini untuk AG.
c
2
= a
2
+ b
2
y
2
= 6
2
+ 5 5
2
y
2
= 36 + 125 = 161 y = 161
≈ 12,69 Jadi, panjang AG adalah 12,69 satuan.
Ayo Kita Menalar
1. Jika suatu ruangan berbentuk balok, seperti tampak pada gambar di
samping, dengan ukuran panjang, lebar, dan tinggi masing-masing p,
l, dan t. Bagaimanakah cara untuk menentukan panjang AB? Jelaskan.
2. Perhatikan berbagai bentuk bangun ruang selain kubus dan balok.
Temukan pemanfaatan teorema Pythagoras pada setiap bangun tersebut.
3. Andi dan Dina mengerjakan soal seperti berikut. “Jarak dua titik a,
−11 dan 3, −11 adalah 17 satuan. Berapakah nilai a?” Setelah menyelesaikannya, mereka memperoleh jawaban yang berbeda.
Saat dicek dengan menggantikan nilai a pada kedua titik, ternyata jawaban keduanya benar. Berapakah nilai a yang diperoleh Andi dan Dina? Jelaskan
bagaimana Andi dan Dina memperoleh jawaban yang berbeda.
Ayo Kita Berbagi
Jelaskan bagaimana cara kalian menentukan panjang diagonal ruang di depan kelas. Kemudian diskusikan jawaban dengan teman kalian.
A
B panjang
tinggi
lebar C
5 5 E
A
G 6
y A
B
F G
H D
C 6
5 E
10 y
22 Kelas VIII SMPMTs
Semester II
Ayo Kita
? ?
Berlatih
6.2
1. Tentukan jarak antara dua titik dari pasangan titik berikut. a. 10, 20, 13, 16
b. 15, 37, 42, 73 c. −19, −16, −2, 14
2. Diketahui ∆ABC dengan titik-titik A
−1, 5, B−1, 1, dan C2, 1. Apakah segitiga ABC merupakan segitiga siku-siku? Jelaskan.
3. Tentukan luas daerah yang diarsir dari setiap gambar berikut. a.
20 cm
16 cm b.
20 cm 15 cm
12 cm A
B C
D
4.
Guru meminta kalian untuk menentukan jarak antara dua titik 4, 2 dan 7, 6. Kamu menggunakan 4, 2 sebagai x
1
, y
1
sedangkan temanmu menggunakan 7, 6 sebagai x
1
, y
1
. Apakah kamu dan temanmu memperoleh hasil yang sama? Jelaskan.
5. Ahmad dan Udin berdiri saling membelakangi untuk main tembak- tembakan pistol bambu. Ahmad berjalan 20 langkah ke depan
kemudian 15 langkah ke kanan. Pada saat yang sama, Udin berjalan 16 langkah ke depan kemudian 12 langkah ke kanan. Udin berhenti
kemudian menembak Ahmad.
a. Gambar situasi di atas dengan menggunakan bidang Kartesius. b. Berapa langkah jarak mereka berdua saat Udin menembak Ahmad
dengan pistol bambu?
23 Kurikulum 2013
MATEMATIKA 6. Seorang atlet tenis mengajukan pertanyaan kepada wasit. Suara
atlet mampu didengar wasit hanya pada jarak maksimum 30 kaki. Berdasarkan posisi wasit dan atlet tenis pada gambar berikut, dapatkah
wasit mendengar suara sang atlet? Jelaskan jawaban kalian.
24 kaki
12 kaki 5 kaki
7. Tinggi sebuah jendela lantai 2 pada sebuah gedung kira-kira 8 meter. Di depan gedung tersebut ada sebuah taman dengan lebar 6 m.
Berapakah panjang tangga minimum yang dibutuhkan agar kaki-kaki tangga tidak merusak taman tersebut?
8. Seorang penyelam dari Tim SAR mengaitkan dirinya pada
tali sepanjang 25 m untuk mencari sisa-sisa bangkai
pesawat di dasar laut. Laut diselami memiliki kedalaman
20 meter dan dasarnya rata. Berapakah luas daerah yang
mampu dijangkau oleh penyelam tersebut?
9. Tentukan panjang AG dari bangun berikut.
A B
F G
H D
E C
10 10
10 a.
b.
10
5 H
G F
D B
A
E C
5 20 m
25 m
24 Kelas VIII SMPMTs
Semester II 10.
Bola A dan bola B digantung pada suatu kawat lurus seperti pada gambar di samping.
Diameter Bola A dan Bola B berturut-turut adalah 8 dan 18. Jika jarak ujung tali l dan n
pada kawat adalah 5 dan panjang tali l adalah 10, berapakah panjang minimum tali n agar kedua
tali bisa sejajar dan bola tidak saling menekan?
OMV, 2013
A B
l n
Sedikit Informasi
Kebalikan Teorema Pythagoras Di Kegiatan 6.1, kalian telah mengamati bahwa jika diberikan suatu segitiga
siku-siku, maka berlaku kuadrat panjang hipotenusa sama dengan jumlah dari kuadrat panjang kedua sisi tegaknya. Nah, bagaimana jika dibalik? Jika x,
y, dan z adalah panjang ketiga sisi suatu segitiga dan ketiganya memenuhi teorema Pythagoras, apakah segitiga tersebut merupakan segitiga siku-siku?
Ayo kita cari kebenarannya dengan mengikuti Kegiatan 6.2 ini.
Berdasarkan teorema Pythagoras, kita dapat membuat pernyataan yang berkebalikan dari teorema.
Teorema Pythagoras menyatakan bahwa:
Untuk ∆ABC, jika ∠C adalah sudut siku-siku, maka c
2
= a
2
+ b
2
.
Kebalikan dari teorema Pythagoras adalah:
Untuk ∆ABC, jika c
2
= a
2
+ b
2
, maka
∠C adalah sudut siku-siku.
Selanjutnya kita akan menyelidiki pernyataan dari kebalikan Teorema Pythagoras tersebut.
25 Kurikulum 2013
MATEMATIKA ii
b
x a
D E
F
i A
c a
