8
BAGIAN III
SEGIBANYAK BERATURAN A.
Pengertian Segibanyak Beraturan
Segitiga, segiempat, segilima, segienam, dan seterusnya merupakan contoh dari suatu segibanyak, seperti ditunjukkan gambar berikut ini:
Suatu segibanyak yang semua sisinya sama panjang, dan semua sudutnya sama besar disebut segibanyak beraturan. Segitiga samasisi, persegi, segilima
beraturan, dan segienam beraturan merupakan contoh dari segibanyak beraturan, seperti diperlihatkan gambar berikut ini:
B. Sudut Pusat dan Sudut Segibanyak Beraturan
Perhatikan gambar paling kiri atas. ∆AOB, ∆BOC, ∆AOC merupakan suatu segitiga
samakaki yang alasnya merupakan suatu sisi segibanyak beraturan, sedangkan puncaknya adalah titik pusat segibanyak beraturan. Ketiga segitiga tersebut dinamakan
segitiga titik pusat segibanyak beraturan.
Latihan 3.1
1. Pada gambar atas paling kiri, ∠AOB, ∠BOC, dan ∠COA merupakan sudut
puncak segitiga titik pusat dan disebut sudut titik pusat segibanyak beraturan. Tentukan besar sudut pusat AOB, BOC, dan COA.
2. Berbentuk apakah segitiga titik pusat AOB, BOC, dan COA? Mengapa? 3. Pada gambar paling kiri atas,
∠ABO, ∠CBO, ∠BCO, … disebut sudut alas segitiga titik pusat. Tentukan besar sudut alas segitiga titik pusat tersebut.
4. Masih pada gambar paling kiri atas, ∠ABC, ∠BCA, dan ∠CAB disebut sudut
segibanyak. Tentukan besar sudut-sudut segibanyak ABC, BCA, dan CAB tersebut.
A B C
O
9
5. Masukkan hasil mengerjakan soal di atas tadi ke dalam tabel di bawah ini, lalu lanjutkan mengisi titik-titik yang kosong.
Segibanyak Beraturan
Sudut Pusat Sudut Alas
Segitiga Samakaki
Sudut Segibanyak
Jumlah Besar Sudut-sudut
Segibanyak Segitiga 120
o
30
o
60
o
180
o
Segiempat Segilima
Segienam Segisepuluh
Segiseratus …
Segi-n 6. Tulislah hal-hal menarik pada kotak di bawah ini yang Anda dapatkan ketika
mengerjakan kegiatan di atas.
7. Dapatkah Anda menentukan jumlah besar sudut-sudut segibanyak dengan cara lain?
C. Melukis Segibanyak Beraturan
Berdasar hasil pengerjaan di atas, dapatlah disimpulkan bahwa untuk setiap segi- n beraturan; jumlah besar sudut-sudutnya adalah n – 2
× 180
o
. Sehingga tiap sudut sebuah segi-n beraturan besarnya adalah
n 180
2 n
o
× −
. Sebagai contoh, pada segilima; jumlah besar sudutnya adalah 5 – 2
× 180
o
= 540
o
, sehingga untuk segitiga samasisi, besar tiap sudutnya adalah
o o
108 5
540 =
. Pada segiempat, jumlah besar sudutnya adalah 4 – 2
× 180
o
= 360
o
; sehingga untuk persegi segiempat beraturan, besar tiap sudutnya adalah
o o
90 4
360 = .
Jika pada keliling sebuah lingkaran terdapat n buah titik-titik yang membagi suatu lingkaran dalam n busur-busur yang sama maka terbentuklah suatu segibanyak
beraturan oleh:
10
a. Tali busur-tali busur yang menghubungkan titik bagi-titik bagi yang beraturan segibanyak dalam beraturan
b. Garis singgung-garis singgung di titik-titik bagi segibanyak luar beraturan.
Contoh:
Selanjutnya makalah ini hanya akan membahas segibanyak dalam beraturan. Pada gambar i di bagian kiri atas, nampak talibusur-talibusur yang membentuk
segienam beraturan. Notasi S
6
menyatakan panjang sisi segienam beraturan dengan lingkaran luar berpusat di P dan berjari-jari R.
Karena besar tiap sudut sebuah segienam beraturan adalah 6
180 2
6
o
× −
= 120
o
, sehingga didapat
∠ABC = 120
o
. Sebagai akibatnya, ∠ABO = ∠BOA = ∠BAO = 60
o
. Dengan demikian,
∆ABC merupakan segitiga samasisi, sehingga didapat AB = S
6
= OB = R.
Pengetahuan bahwa panjang sisi suatu segienam beraturan = S
6
= R menjadi sangat penting. Aplikasi pengetahuan tersebut, salah satunya adalah untuk membuat
segienam beraturan dengan panjang sisi tertentu. Untuk membuat segienam beraturan dengan panjang sisi 5 cm misalnya, langkahnya adalah sebagai berikut:
1. Melukis lingkaran yang berjari-jari 5 cm dengan pusat O.
2. Mentukan salah satu titik titik A misalnya pada lingkaran tersebut.
3. Membuat busur lingkaran dengan pusat A dan jari-jari 5 cm sehingga memotong lingkaran
awal yang sudah dibuat tadi di dua titik, yaitu titik B dan F.
4. Lakukan hal yang sama dengan langkah 3 di atas namun dengan pusat B sehingga didapat
titik C, lalu dengan pusat C sehingga didapat titik D lalu ditentukan titik E sehingga
terbentuk segienam beraturan ABCDEF.
Hal-hal yang dipaparkan di atas menunjukkan bahwa pengetahuan tentang panjang sisi segienam beraturan sangat berguna untuk melukis segienam beraturan ini
sangat penting. F
E
D O
C B
A
i ii
O R
S
Q P
U T
F E
D O
C B
A
i 1
2
11
Latihan 3.2 1. Buktikan bahwa panjang sisi segiempat beraturan persegi adalah R
√2, dengan R merupakan jari-jari lingkaran luar segiempat beraturan persegi.
2. Buktikan bahwa panjang sisi segitiga beraturan segitiga samasisi adalah R √3,
dengan R merupakan jari-jari lingkaran luar segitiga beraturan segitiga samasisi. 3. Buktikan bahwa panjang sisi segidelapan beraturan adalah R
2 2
− dengan R
merupakan jari-jari lingkaran luar segidelapan beraturan.
D. Melukis Segilima Beraturan
