Perbandingan Waktu Eksekusi Metode Steepest Descent dan Metode Barzilai-Borwein Menggunakan Perangkat Lunak MATLAB
PERBANDINGAN WAKTU EKSEKUSI METODE STEEPEST
DESCENT DAN METODE BARZILAI-BORWEIN
MENGGUNAKAN PERANGKAT LUNAK
MATLAB
KIKI SEPTIANI
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2015
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Perbandingan Waktu
Eksekusi Metode Steepest Descent dan Metode Barzilai-Borwein Menggunakan
Perangkat Lunak MATLAB adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi
pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi
mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan
maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan
dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Januari 2015
Kiki Septiani
NIM G54100017
ABSTRAK
KIKI SEPTIANI. Perbandingan Waktu Eksekusi Metode Steepest Descent dan
Metode Barzilai-Borwein Menggunakan Perangkat Lunak MATLAB. Dibimbing
oleh BIB PARUHUM SILALAHI dan MUHAMMAD ILYAS.
Pengoptimuman adalah ilmu yang berhubungan dengan mencari nilai
maksimum dan minimum. Suatu masalah pengoptimuman terdiri dari masalah
pengoptimuman tak berkendala dan pengoptimuman berkendala. Selama lebih
dari empat puluh tahun telah banyak algoritme pencarian langsung untuk masalah
pengoptimuman tanpa kendala yang dikembangkan, antara lain adalah metode
steepest descent dan metode Barzilai-Borwein. Untuk beberapa kasus,
kekonvergenan dari metode steepest descent ke solusi optimal membutuhkan
waktu panjang. Hal ini terjadi karena jalur zig-zag dalam menuju solusi optimal.
Barzilai dan Borwein memperkenalkan dua stepsize yang menjamin konvergensi
yang lebih cepat. Penelitian ini mengonstruksi metode steepest descent dan
metode Barzilai-Borwein kemudian melakukan perbandingan waktu eksekusi
antara kedua metode tersebut dengan menggunakan perangkat lunak MATLAB.
Dalam penelitian ini diperoleh kesimpulan bahwa waktu eksekusi metode
Barzilai-Borwein lebih cepat dibandingkan dengan metode steepest descent.
Kata kunci: MATLAB, Metode Barzilai-Borwein, Metode Steepest Descent,
Pengoptimuman
ABSTRACT
KIKI SEPTIANI. Execution Time Comparison between the Steepest Descent and
Barzilai-Borwein Methods by Using MATLAB. Supervised by BIB PARUHUM
SILALAHI and MUHAMMAD ILYAS.
Optimization is a knowledge associated with problems of the maximum and
minimum determination. The optimization problems consist of the problems
without constraint and with constraint. In the last forty years time, many direct
search algorithms for optimization problems without constraint have been
developed, including the steepest descent method and the Barzilai-Borwein
method. In some cases, the convergence of the steepest descent method requires a
longer time to reach the optimal solution. This is due to the zig-zag path
undertaken. Barzilai and Borwein introduce two stepsize that guarantees to obtain
a convergent solution. This research reconstructs the steepest descent and the
Barzilai-Borwein methods and then the execution time required between the both
methods were compared using MATLAB. Based on the experiments obtained, the
Barzilai-Borwein method reached its convergence value faster than the steepest
descent method.
Keywords: Barzilai-Borwein Method, MATLAB, Optimization, Steepest Descent
Method
PERBANDINGAN WAKTU EKSEKUSI METODE STEEPEST
DESCENT DAN METODE BARZILAI-BORWEIN
MENGGUNAKAN PERANGKAT LUNAK
MATLAB
KIKI SEPTIANI
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2015
PRAKATA
Puji dan syukur saya panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas
segala nikmat, rahmat, karunia dan pertolongan yang telah diberikan sehingga
karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Judul karya ilmiah ini adalah Perbandingan
Waktu Eksekusi Metode Steepest Descent dan Metode Barzilai-Borwein
Menggunakan Perangkat Lunak MATLAB.
Terima kasih saya ucapkan kepada keluarga tercinta Ayahanda Rusdi,
Ibunda Dini, dan ketiga adik saya Yonanda, Elsa, dan Didi atas segala doa dan
dukungan selama menulis karya ilmiah ini. Ungkapan terima kasih juga saya
sampaikan kepada Bapak Dr Ir Bib Paruhum Silalahi, MKom dan Bapak
Muhammad Ilyas, MSi, MSc selaku dosen pembimbing yang telah banyak
memberi saran, kesabaran dan ilmu, serta Ibu Dra Farida Hanum, MSi selaku
dosen penguji. Tidak lupa penulis mengucapkan terima kasih untuk para sahabat
Mira Aisyah Romliyah, Leny Yustie Widiasari, Aisatul Mustaqimah, Erjodi
Cahyo, Fachriadi Fadhillah, Lola Oktasari, Novia Yuliani, Ervina Marviana,
teman-teman seperjuangan Matematika 47, dan kakak- kakak Matematika 46 atas
bantuan dan dukungannya serta teman-teman sekalian di luar Departemen
Matematika IPB.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, Januari 2015
Kiki Septiani
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
vi
DAFTAR GAMBAR
vi
DAFTAR LAMPIRAN
vi
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan Penelitian
1
TINJAUAN PUSTAKA
2
HASIL DAN PEMBAHASAN
4
Metode Steepest Descent
4
Metode Barzilai-Borwein
6
Ilustrasi Metode Steepest Descent dan Metode Barzilai-Borwein
8
Hasil Komputasi Metode Steepest Descent dan Metode Barzilai-Borwein
SIMPULAN DAN SARAN
11
15
Simpulan
15
Saran
15
DAFTAR PUSTAKA
16
LAMPIRAN
17
RIWAYAT HIDUP
32
DAFTAR TABEL
1 Analisis perbedaan banyak iterasi dan waktu eksekusi (dalam second)
metode steepest descent dan metode Barzilai-Borwein untuk fungsi dua
variabel dengan lima kali pengulangan
2 Analisis perbedaan banyak iterasi dan waktu eksekusi (dalam second)
metode steepest descent dan metode Barzilai-Borwein untuk fungsi tiga
variabel dengan tiga kali pengulangan
3 Analisis perbedaan banyak iterasi dan waktu eksekusi (dalam second)
metode steepest descent dan metode Barzilai-Borwein untuk fungsi
empat variabel dengan tiga kali pengulangan
4 Analisis perbedaan banyak iterasi dan waktu eksekusi (dalam second)
metode steepest descent dan metode Barzilai-Borwein untuk fungsi
lima variabel dengan tiga kali pengulangan
5 Analisis perbedaan banyak iterasi dan waktu eksekusi (dalam second)
metode steepest descent dan metode Barzilai-Borwein untuk fungsi
sepuluh variabel dengan lima kali pengulangan
6 Perbedaan iterasi rata-rata metode steepest descent dan metode
Barzilai-Borwein
7 Perbedaan waktu eksekusi (dalam second) rata-rata metode steepest
descent dan metode Barzilai-Borwein
11
11
12
12
12
13
13
DAFTAR GAMBAR
1
2
3
4
5
6
Hasil metode steepest descent
Hasil metode steepset descent yang diperbesar
Hasil metode Barzilai-Borwein 1
Hasil metode Barzilai-Borwein 2
Iterasi rata-rata metode steepest descent dan metode Barzilai-Borwein
Waktu eksekusi rata-rata metode steepest descent dan metode BarzilaiBorwein
9
9
10
10
14
14
DAFTAR LAMPIRAN
1 Sintaks metode steepest descent percobaan ke-1
dengan dua variabel
2 Sintaks metode Barzilai-Borwein 1 percobaan
fungsi dengan dua variabel
3 Sintaks metode Barzilai-Borwein 2 percobaan
fungsi dengan dua variabel
4 Sintaks metode steepest descent percobaan ke-1
dengan tiga variabel
5 Sintaks metode Barzilai-Borwein 1 percobaan
fungsi dengan tiga variabel
6 Sintaks metode Barzilai-Borwein 2 percobaan
fungsi dengan tiga variabel
Tabel 1 untuk fungsi
17
ke-1 Tabel 1 untuk
18
ke-1 Tabel 1 untuk
19
Tabel 2 untuk fungsi
20
ke-1 Tabel 2 untuk
21
ke-1 Tabel 2 untuk
22
7 Sintaks metode steepest descent percobaan ke-1
dengan empat variabel
8 Sintaks metode Barzilai-Borwein 1 percobaan
fungsi dengan empat variabel
9 Sintaks metode Barzilai-Borwein 2 percobaan
fungsi dengan empat variabel
10 Sintaks metode steepest descent percobaan ke-1
dengan lima variabel
11 Sintaks metode Barzilai-Borwein 1 percobaan
fungsi dengan lima variabel
12 Sintaks metode Barzilai-Borwein 2 percobaan
fungsi dengan lima variabel
13 Sintaks metode steepest descent percobaan ke-1
dengan sepuluh variabel
14 Sintaks metode Barzilai-Borwein 1 percobaan
fungsi dengan sepuluh variabel
15 Sintaks metode Barzilai-Borwein 2 percobaan
fungsi dengan sepuluh variabel
Tabel 3 untuk fungsi
23
ke-1 Tabel 3 untuk
24
ke-1 Tabel 3 untuk
25
Tabel 4 untuk fungsi
26
ke-1 Tabel 4 untuk
27
ke-1 Tabel 4 untuk
28
Tabel 5 untuk fungsi
29
ke-1 Tabel 5 untuk
30
ke-1 Tabel 5 untuk
31
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Pengoptimuman bertujuan mencari nilai minimum atau maksimum dari
suatu fungsi bernilai real. Secara umum, ada dua jenis pengoptimuman yang
sering dihadapi, yaitu pengoptimuman linear dan pengoptimuman taklinear.
Masalah pengoptimuman terdiri dari fungsi tujuan dan kendala, jika kendalanya
tidak ada maka masalah pengoptimuman tersebut dinamakan masalah
pengoptimuman tak berkendala sebaliknya jika kendalanya ada maka masalah
pengoptimuman tersebut dinamakan pengoptimuman berkendala. Masalah
pengoptimuman tak berkendala satu variabel dapat diselesaikan dengan
menggunakan kalkulus. Selama lebih dari empat puluh tahun telah banyak
algoritme pencarian langsung (direct search) untuk masalah pengoptimuman tak
berkendala yang dikembangkan. Algoritme-algoritme ini memerlukan titik awal
(dinyatakan dengan ) untuk memulai proses pencarian solusi optimal langsung
dari titik
menuju
dan seterusnya. Proses akan berhenti jika tidak
diperoleh titik yang lebih baik (lebih kecil nilai fungsinya, untuk masalah
peminimuman) atau jika diperoleh titik
sehingga
, atau dengan
kriteria pemberhentian lainnya. Beberapa metode pencarian langsung untuk
meminimumkan fungsi banyak variabel, yaitu metode golden section, metode
Newton, dan algoritme interpolasi kuadratik Powell.
Metode steepest descent merupakan salah satu metode klasik untuk
menyelesaikan masalah pengoptimuman tak berkendala fungsi banyak variabel.
Untuk beberapa kasus kekonvergenan dari metode steepest descent menuju ke
solusi optimal lambat, hal ini terjadi karena jalur zig-zag dalam menuju solusi
optimal (Sun dan Yuan 2006).
Barzilai dan Borwein memperkenalkan dua stepsize yang menjamin
konvergensi yang lebih baik. Metode Barzilai-Borwein bertujuan mempercepat
konvergensi metode steepest descent (Barzilai dan Borwein 1988). Dalam karya
ilmiah ini dibahas perbandingan waktu eksekusi dan banyaknya iterasi antara
metode steepest descent dan metode Barzilai-Borwein dengan menggunakan
perangkat lunak MATLAB.
Tujuan Penelitian
Karya ilmiah ini disusun dengan tujuan melakukan perbandingan waktu
eksekusi antara metode steepest descent dan metode Barzilai-Borwein dengan
menggunakan perangkat lunak MATLAB.
2
TINJAUAN PUSTAKA
Fungsi Kuadratik
Suatu fungsi dinamakan fungsi kuadratik dalam
variabel jika dapat
dituliskan sebagai:
,
dengan
, dan vektor real berukuran , dan matriks real berukuran
(Luenberger dan Ye 2008).
Matriks Simetrik
Suatu matriks
atau
berorde
disebut matriks simetrik jika
. Matriks diagonal merupakan matriks simetrik. Contoh:
,
(Leon 2001).
Definit Positif
Misalkan matriks berukuran
dan misalkan
adalah
dikatakan definit positif
bentuk kuadratik yang berpadanan dengan , maka
jika
untuk setiap
(Luenberger dan Ye 2008).
Metode Interpolasi Kuadrat dengan Dua Titik
Metode interpolasi kuadrat dengan dua titik adalah metode untuk
menentukan hampiran titik minimum suatu fungsi kuadrat dengan menggunakan
dua titik. Misalkan diberikan dua titik
dan nilai fungsinya
(atau
), dan dua nilai turunan
dan
. Polinomial yang digunakan
untuk proses interpolasi adalah
. Dengan memasukkan dua
titik tersebut ke dalam fungsi diperoleh sistem persamaan linear:
sehingga diperoleh:
=
Oleh karena itu, didapatkan pola iterasi:
3
(Sun dan Yuan 2006).
Metode Newton
Metode Newton adalah salah satu prosedur iteratif untuk menyelesaikan
masalah taklinear. Misalkan persamaan
adalah persamaan taklinear
dengan merupakan penyelesaian dari persamaan tersebut. Fungsi
adalah
fungsi yang kontinu dan terturunkan. Pada solusi eksak , nilai fungsi dapat
dinyatakan sebagai
dan nilai dari fungsi turunan pertama adalah
.
Nilai
adalah solusi yang diperoleh pada iterasi ke- . Misalkan
,
dapat diartikan sebagai laju perubahan terhadap . Andaikan berubah dari
ke
maka perubahan pada
adalah
. Perubahan
ini
diperlukan untuk mengubah nilai fungsi
menuju nol. Selanjutnya, metode
Newton dapat diturunkan dari ekspansi deret Taylor orde pertama dari
di
sekitar , sebagai berikut:
.
Tetapkan pendekatan
sehingga didapat:
Barisan Newton yang diperoleh adalah:
dengan
menyatakan nilai yang diperoleh pada iterasi ke- . Jika titik awal
cukup dekat dengan
maka nilai dari
akan mendekati
dengan
(Jensen & Bard 2003).
Metode Least Square (LS)
memiliki solusi
Misalkan
pengamatan
diperoleh
untuk
(Draper dan Smith 1992).
suatu
model
maka
dan dari data
dengan
dapat diduga dengan cara berikut:
4
Hasil Kali Skalar di dalam
Vektor-vektor di dalam
dapat digambarkan dengan segmen-segmen
garis berarah. Jika diberikan sebuah vektor di
, maka panjang Euclidenya
dapat didefinisikan dalam bentuk hasil kali skalar:
jika
(Leon 2001).
HASIL DAN PEMBAHASAN
Metode Steepest Descent
Metode line search descent yang menggunakan vektor gradien
(turunan parsial orde pertama dari fungsi ) untuk menentukan arah pencarian di
setiap iterasi, dinamakan metode line search descent orde pertama. Metode
terkenal yang banyak digunakan adalah metode steepest descent yang pertama
kali diperkenalkan oleh Cauchy pada tahun 1847.
Metode steepest descent adalah salah satu metode yang tertua dan paling
banyak dikenal untuk meminimalkan fungsi dari beberapa variabel. Metode
steepest descent sangat penting karena metode ini merupakan salah satu dari yang
paling sederhana dan metode peminimuman yang paling mendasar untuk
pengoptimuman tanpa kendala (sering disebut sebagai metode gradien). Metode
steepest descent merupakan metode iteratif untuk memperoleh solusi pendekatan
dari masalah awal. Algoritme yang lebih maju sering termotivasi oleh upaya
untuk memodifikasi teknik dasar steepest descent sehingga algoritme baru akan
memiliki sifat konvergensi yang unggul. Teknik ini tidak hanya paling sering
digunakan dalam penyelesaian masalah baru, tetapi juga standar acuan terhadap
teknik lain yang diukur. Metode steepest descent selalu konvergen. Artinya,
secara teori metode ini tidak akan berhenti atau akan terus melakukan iterasi
sampai kriteria penghentian terpenuhi (Luenberger dan Ye 2008). Pencarian arah
adalah hal yang penting dalam metode steepest descent, dan pencarian ini yang
membedakan antara algoritme yang satu dengan yang lainnya. Begitu pencarian
arah telah ditentukan maka tahap selanjutnya adalah pencarian stepsize (line
search, step search).
Masalah model kuadrat dinyatakan sebagai berikut:
(1)
dengan
adalah symmetric positive definite (SPD) dan
ini setara dengan memecahkan sistem linear:
.
. Masalah
5
Karena diandaikan adalah definit positif, masalah (1) memiliki solusi
yang unik yang diberikan oleh
. Metode steepest descent yang dikenal
juga dengan metode gradien adalah metode yang mencari penurunan tercepat dari:
,
yang terjadi pada:
dan
Berikut bentuk iterasi gradien:
(2)
Untuk beberapa kasus, kekonvergenan dari metode steepest descent ke
solusi optimal lambat, hal ini karena jalur zig-zag dalam menuju solusi optimal.
Secara intuitif arah
adalah arah dengan penurunan tercepat, tetapi secara
global tidak berarti menuju titik minimum lokal yang tercepat.
Untuk mencari minimum dari
, diperoleh:
.
Ini berarti gradien dari titik awal menuju titik selanjutnya saling tegak lurus
(ortogonal) pada metode steepest descent. Dari persamaan (2) didapat pilihan
stepsize optimal
sebagai berikut:
dengan
6
Berikut ini diberikan algoritme metode steepest descent:
Langkah 1 Batas toleransi
. Diberikan titik awal
.
Langkah 2 Arah pencarian
.
Langkah 3 Tentukan stepsize
yang meminimumkan
Langkah 4 Tentukan
Langkah 5 Jika
Langkah 6 Selanjutnya
(Sun dan Yuan 2006).
dengan
sehingga
.
stop.
kembali ke langkah 2.
Metode Barzilai-Borwein
Barzilai dan Borwein memperkenalkan metode gradien two-point stepsize
yang biasanya disebut metode gradien Barzilai-Borwein (atau BB) untuk
memecahkan masalah peminimuman fungsi tak berkendala (Barzilai dan Borwein
1988).
Berikut bentuk iterasi gradien:
(3)
Pada awalnya digunakan metode Newton untuk memecahkan suatu
persamaan nonlinear
,
dengan pendekatan yang berasal dari
(juga dikenal sebagai metode sekan) dengan iterasi sebagai berikut:
(4)
dengan
dan misalkan:
(5)
Dapat dilihat hubungan antara persamaan (3) dan persamaan (4) untuk
menyelesaikan persamaan
,
. Dalam kasus dimensi
lebih tinggi, yaitu
koefisien
akan dievaluasi
menggunakan persamaan (5).
Untuk menentukan stepsize metode Barzilai-Borwein 1, perhatikan
persamaan berikut:
.
(6)
7
Selanjutnya persamaan (6) diselesaikan dengan metode least-square, dengan
, sehingga diperoleh:
.
Dengan menggunakan syarat perlu minimum bahwa turunan pertama sama
dengan nol, sehingga diperoleh:
Untuk menentukan stepsize metode Barzilai-Borwein 2, perhatikan
persamaan berikut:
(7)
Selanjutnya persamaan (7) diselesaikan dengan metode least-square, dengan
, sehingga diperoleh:
8
.
Dengan menggunakan syarat perlu minimum bahwa turunan pertama sama
dengan nol, sehingga diperoleh:
Berikut ini diberikan algoritme metode gradien Barzilai-Borwein:
Langkah 1 Diberikan titik awal
, batas toleransi
, dengan
.
Langkah 2 Arah pencarian
.
Langkah 3 Jika
, tentukan dengan pencarian garis untuk
,
hitung
(untuk metode Barzilai-Borwein 1) atau
dengan
(untuk metode Barzilai-Borwein 2).
Langkah 4 Tentukan
Langkah 5 Jika
Langkah 6 Selanjutnya
(Sun dan Yuan 2006).
.
, stop.
, kembali ke langkah 2.
Ilustrasi Metode Steepest Descent dan Metode Barzilai-Borwein
Ilustrasi 1 Dengan menggunakan metode steepest descent, min
dengan titik awal
.
Berikut adalah solusi dari metode steepest descent untuk ilustrasi 1:
9
Gambar 1 Hasil metode steepest descent
Gambar 2 Hasil metode steepest descent yang diperbesar
Gambar 1 dan Gambar 2 menunjukkan bahwa dalam menuju solusi optimal,
metode steepest descent mengambil arah zig-zag dan tegak lurus (ortogonal)
seperti yang telah dijelaskan pada subbab metode steepest descent.
Ilustrasi 2 Dengan menggunakan metode Barzilai-Borwein 1,
dengan titik awal
dan arah:
10
Berikut adalah solusi dari metode Barzilai-Borwein 1 untuk ilustrasi 2:
Gambar 3 Hasil metode Barzilai-Borwein 1
Ilustrasi 3 Dengan menggunakan metode Barzilai-Borwein 2, min
dengan titik awal
dan arah:
Berikut adalah solusi dari metode Barzilai-Borwein 2 untuk ilustrasi 3:
Gambar 4 Hasil metode Barzilai-Borwein 2
Metode Barzilai-Borwein sebenarnya mirip dengan metode gradien, lebih
cepat konvergen sehingga membutuhkan sedikit pekerjaan komputasi. Berbeda
dengan metode steepest descent, metode Barzilai-Borwein dalam menuju solusi
optimal gradien dari titik awal menuju titik selanjutnya tidak saling tegak lurus
(ortogonal).
11
Hasil Komputasi Metode Steepest Descent dan Metode Barzilai-Borwein
Fungsi yang digunakan dibangkitkan secara acak dengan ketentuan sebagai
berikut:
.
dengan matriks simetrik berukuran
. Banyak variabel yang digunakan
yaitu
. Setiap komponen vektor
(
) dipilih
secara acak dengan
. Untuk semua kasus diberikan titik awal adalah
vektor nol
dan kriteria penghentian adalah
.
Perbedaan waktu eksekusi antara metode steepest descent dan metode
Barzilai-Borwein dapat dilihat pada Tabel 1 untuk fungsi dengan dua variabel,
Tabel 2 untuk fungsi dengan tiga variabel, Tabel 3 untuk fungsi dengan empat
variabel, Tabel 4 untuk fungsi dengan lima variabel, dan Tabel 5 untuk fungsi
dengan sepuluh variabel.
Tabel 1 Analisis perbedaan banyak iterasi dan waktu eksekusi (dalam second)
metode steepest descent dan metode Barzilai-Borwein untuk fungsi dua
variabel dengan lima kali pengulangan
Percobaan
I
II
III
IV
V
Rata-rata
Metode Steepest
Descent
Iterasi
Waktu (s)
46
22.818351
23
14.314749
7
4.408219
10
6.706132
5
3.055573
18.2
10.260604
Metode BarzilaiBorwein 1
Iterasi Waktu (s)
12
1.723524
8
1.394232
4
0.970558
9
1.510808
5
1.070897
7.6
1.334004
Metode BarzilaiBorwein 2
Iterasi Waktu (s)
11
1.617948
5
1.121589
5
1.084019
6
1.204922
3
0.848222
6
1.175340
Tabel 2 Analisis perbedaan banyak iterasi dan waktu eksekusi (dalam second)
metode steepest descent dan metode Barzilai-Borwein untuk fungsi tiga
variabel dengan lima kali pengulangan
Percobaan
I
II
III
IV
V
Rata-rata
Metode Steepest
Descent
Iterasi
Waktu (s)
177
135.238922
40
30.059106
80
57.168624
127
89.093572
111
80.613021
107
78.434649
Metode BarzilaiBorwein 1
Iterasi
Waktu (s)
53
10.028849
18
3.759644
22
4.444450
20
4.142495
22
4.485561
27
5.372200
Metode BarzilaiBorwein 2
Iterasi Waktu (s)
22
4.410716
19
3.904859
16
3.356958
17
3.615938
14
3.105823
17.6
3.678863
12
Tabel 3 Analisis perbedaan banyak iterasi dan waktu eksekusi (dalam second)
metode steepest descent dan metode Barzilai-Borwein untuk fungsi
empat variabel dengan lima kali pengulangan
Percobaan
I
II
III
IV
V
Rata-rata
Metode Steepest
Descent
Iterasi Waktu (s)
143
123.741029
138
124.063215
1605 1509.049946
153
175.922478
273
244.828021
462.4
435.520938
Metode BarzilaiBorwein 1
Iterasi
Waktu (s)
69
16.675415
36
9.484181
57
14.240666
54
13.315565
54
13.637498
54
13.470665
Metode BarzilaiBorwein 2
Iterasi
Waktu (s)
60
14.180025
38
9.644030
120
28.076128
37
9.364491
35
9.166513
58
14.086237
Tabel 4 Analisis perbedaan banyak iterasi dan waktu eksekusi (dalam second)
metode steepest descent dan metode Barzilai-Borwein untuk fungsi lima
variabel dengan lima kali pengulangan
Percobaan
I
II
III
IV
V
Rata-rata
Metode Steepest
Descent
Iterasi
Waktu (s)
285
311.986878
2108 1252.283148
417
467.571587
615
680.929252
122
139.450137
709.4
570.444200
Metode BarzilaiBorwein 1
Iterasi
Waktu (s)
64
20.818828
101
31.631661
72
23.047997
92
28.890522
42
14.685559
74.2
23.814913
Metode BarzilaiBorwein 2
Iterasi Waktu (s)
60
20.080747
370
116.418413
60
19.022880
82
25.553457
37
12.795110
121.8
38.774121
Tabel 5 Analisis perbedaan banyak iterasi dan waktu eksekusi (dalam second)
metode steepest descent dan metode Barzilai-Borwein untuk fungsi
sepuluh variabel dengan lima kali pengulangan
Percobaan
I
II
III
IV
V
Rata-rata
Metode Steepest
Descent
Iterasi
Waktu (s)
> 7000
> 7200
> 5000
> 3600
2296
1113.4
> 5000
> 3600
> 5000
> 3600
> 5000
> 3600
Metode BarzilaiBorwein 1
Iterasi
Waktu (s)
318
274.72489
1273
1404.82539
407
354.69158
311
288.00704
645
586.43346
590.8
581.73647
Metode BarzilaiBorwein 2
Iterasi Waktu (s)
360 309.878894
837 766.676187
445 391.399808
327 289.547620
311 298.056710
456 409.311843
Pada Tabel 1, 2, 3, 4, dan 5 dapat dilihat bahwa waktu eksekusi yang
diperoleh untuk menyelesaikan masalah pengoptimuman tak berkendala fungsi
banyak variabel dilakukan dengan pengulangan eksekusi. Untuk semua fungsi
dilakukan lima kali pengulangan eksekusi dengan fungsi yang sama, sehingga
mendapatkan hasil waktu eksekusi yang berbeda-beda. Hal tersebut dipengaruhi
oleh keadaan kinerja komputer pada saat melakukan komputasi. Adanya
13
perbedaan hasil eksekusi tersebut, selanjutnya dilakukan penghitungan nilai ratarata waktu eksekusi untuk mempermudah menganalisis perbedaan waktu eksekusi
antara metode steepest descent dan metode Barzilai-Borwein. Perbedaan rata-rata
banyak iterasi dan waktu eksekusi antara metode steepest descent dan metode
Barzilai-Borwein dengan menggunakan perangkat lunak MATLAB, dapat dilihat
pada Tabel 6 dan Tabel 7.
Tabel 6 Perbedaan iterasi rata-rata metode steepest descent dan metode BarzilaiBorwein
Banyak Iterasi
Studi
Kasus
Ukuran
1
2
3
4
5
Metode Steepest
Descent
18.2
107.0
462.4
709.4
> 5000
Metode BarzilaiBorwein 1
7.6
27.0
54.0
74.2
509.8
Metode
BarzilaiBorwein 2
6.0
17.6
58.0
121.8
456.0
Tabel 7 Perbedaan waktu eksekusi (dalam second) rata-rata metode steepest
descent dan metode Barzilai-Borwein
Waktu Eksekusi (s)
Studi
Kasus
1
2
3
4
5
Ukuran
Metode Steepest
Descent
Metode BarzilaiBorwein 1
10.260604
78.434649
435.520938
570.444200
> 3600
1.334004
5.372200
13.470665
23.814913
581.736473
Metode
BarzilaiBorwein 2
1.175340
3.678863
14.086237
38.774121
409.311843
Perbedaan iterasi dan waktu eksekusi rata-rata metode steepest descent dan
metode Barzilai-Borwein disajikan juga dalam bentuk grafik sebagai berikut:
14
800
700
SD
600
Banyak Iterasi
BB 1
500
BB 2
400
300
200
100
0
2×2
3×3
4×4
5×5
10 × 10
Gambar 5 Iterasi rata-rata metode steepest descent dan metode BarzilaiBorwein
700
SD
600
BB 1
BB 2
Waktu Eksekusi (s)
500
400
300
200
100
0
2×2
3×3
4×4
5×5
10 × 10
Gambar 6 Waktu eksekusi rata-rata metode steepest descent dan metode
Barzilai-Borwein
Pada Gambar 5 menunjukkan perbedaan iterasi rata-rata metode steepest
descent dan metode Barzilai-Borwein. Iterasi metode steepest descent lebih besar
15
dibandingkan dengan metode Barzilai-Borwein. Untuk data berukuran
,
metode steepest descent tidak diplot pada grafik. Hal ini disebabkan iterasi yang
masih berlanjut selama lebih dari 24 jam.
Pada Gambar 6 jelas terlihat perbedaan waktu eksekusi rata-rata metode
steepest descent dan metode Barzilai-Borwein. Pada data berukuran
perbedaan waktu eksekusi rata-rata metode steepest descent dan metode BarzilaiBorwein tidak terlihat menonjol. Pada data berukuran
dan data berukuran
sudah mulai terlihat waktu eksekusi metode steepest descent semakin naik.
Sebaliknya, metode Barzilai-Borwein juga sudah mengalami kenaikan akan tetapi
sangat kecil. Pada data berukuran
terlihat sangat menonjol perbedaan waktu
eksekusi rata-rata antara metode steepest descent dan metode Barzilai-Borwein.
Untuk metode Barzilai-Borwein dengan kasus stepsize yang berbeda, perbedaan
waktu eksekusi rata-rata sangat kecil. Pada data berukuran
, data berukuran
, dan data berukuran
metode Barzilai-Borwein 1 waktu eksekusi
rata-rata lebih besar dibandingkan dengan waktu eksekusi rata-rata metode
Barzilai-Borwein 2. Sebaliknya, pada data berukuran
dan data berukuran
waktu eksekusi rata-rata metode Barzilai-Borwein 1 lebih kecil
dibandingkan dengan metode Barzilai-Borwein 2. Untuk data berukuran
,
waktu eksekusi rata-rata metode steepest descent tidak diplot pada grafik
sedangkan metode Barzilai-Borwein 1 dan metode Barzilai-Borwein 2 sebesar
581.7364732 second dan 409.311843 second. Hal ini disebabkan waktu eksekusi
yang sangat lama yaitu lebih dari 24 jam dan prosesnya masih berlanjut.
SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Metode steepest descent merupakan salah satu metode klasik untuk
menyelesaikan pengoptimuman tak berkendala fungsi banyak variabel dan paling
sering digunakan. Metode steepest descent sangat lambat ke solusi optimal, hal ini
terjadi karena jalur zig-zag dalam menuju solusi optimal. Metode steepest descent
berkinerja buruk dan iterasi yang dihasilkan lebih banyak untuk dimensi yang
lebih tinggi. Barzilai dan Borwein memperkenalkan dua stepsize yang menjamin
konvergensi yang lebih baik. Metode Barzilai-Borwein bertujuan mempercepat
konvergensi metode steepest descent. Berdasarkan analisis pada studi kasus yang
dilakukan dengan menggunakan perangkat lunak MATLAB, hasil perbandingan
waktu eksekusi metode Barzilai-Borwein lebih cepat dibandingkan dengan
metode steepest descent baik untuk dimensi rendah maupun untuk dimensi tinggi.
Saran
Karya Ilmiah ini dapat dilanjutkan dengan metode yang berbeda atau
dengan menggunakan perangkat lunak yang berbeda.
16
DAFTAR PUSTAKA
Barzilai J, Borwein JM. 1988. Two-point stepsize gradient methods. IMA Journal
of Numerical Analysis. 8(1):141-148.doi: 10.1093/imanum/8.1.141.
Draper N, Smith H. 1992. Analisis Regresi Terapan. Ed ke-2. Sumantri B,
penerjemah. Jakarta (ID): Gramedia Pustaka Utama. Terjemahan dari:
Applied Regression Analysis.
Jensen PA, Bard JF. 2003. Operations Research Models and Methods. New York
(US): John Wiley and Sons.
Leon SJ. 2001. Aljabar Linear dan Aplikasinya. Ed ke-5. Bondan A, penerjemah;
Hardani HW, editor. Jakarta (ID): Penerbit Erlangga. Terjemahan dari:
Linear Algebra with Applications.
Luenberger DG, Ye Y. 2008. Linear and Nonlinear Programming. Ed ke-3. New
York (US): Springer.
Sun W, Yuan YX. 2006. Optimization Theory and Methods. New York (US):
Springer.
17
Lampiran 1 Sintaks metode steepest descent percobaan ke-1 Tabel 1 untuk fungsi
dengan dua variabel
18
Lampiran 2 Sintaks metode Barzilai-Borwein 1 percobaan ke-1 Tabel 1 untuk
fungsi dengan dua variabel
19
Lampiran 3 Sintaks metode Barzilai-Borwein 2 percobaan ke-1 Tabel 1 untuk
fungsi dengan dua variabel
20
Lampiran 4 Sintaks metode steepest descent percobaan ke-1 Tabel 2 untuk fungsi
dengan tiga variabel
21
Lampiran 5 Sintaks metode Barzilai-Borwein 1 percobaan ke-1 Tabel 2 untuk
fungsi dengan tiga variabel
22
Lampiran 6 Sintaks metode Barzilai-Borwein 2 percobaan ke-1 Tabel 2 untuk
fungsi tiga variabel
23
Lampiran 7 Sintaks metode steepest descent percobaan ke-1 Tabel 3 untuk fungsi
dengan empat variabel
24
Lampiran 8 Sintaks metode Barzilai-Borwein 1 percobaan ke-1 Tabel 3 untuk
fungsi dengan empat variabel
25
Lampiran 9 Sintaks metode Barzilai-Borwein 2 percobaan ke-1 Tabel 3 untuk
fungsi dengan empat variabel
26
Lampiran 10 Sintaks metode steepest descent percobaan ke-1 Tabel 4 untuk
fungsi dengan lima variabel
27
Lampiran 11 Sintaks metode Barzilai-Borwein 1 percobaan ke-1 Tabel 4 untuk
fungsi dengan lima variabel
28
Lampiran 12 Sintaks metode Barzilai-Borwein 2 percobaan ke-1 Tabel 4 untuk
fungsi dengan lima variabel
29
Lampiran 13 Sintaks metode steepest descent percobaan ke-1 Tabel 5 untuk
fungsi dengan sepuluh variabel
30
Lampiran 14 Sintaks metode Barzilai-Borwein 1 percobaan ke-1 Tabel 5 untuk
fungsi dengan sepuluh variabel
31
Lampiran 15 Sintaks metode Barzilai-Borwein 1 percobaan ke-1 Tabel 5 untuk
fungsi dengan sepuluh variabel
32
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 14 September 1992 sebagai anak
pertama dari empat bersaudara, dari pasangan Rusdi dan Dini. Pada tahun 1998,
penulis lulus dari TK Islam Raudatul Amanah Bekasi. Pada tahun 2001, penulis
lulus dari SD Negeri Kaliabang Tengah V Bekasi. Pada tahun 2007, penulis lulus
dari SMP Negeri 234 Jakarta. Pada tahun 2010, penulis lulus dari SMA Negeri 89
Jakarta dan pada tahun yang sama penulis diterima di Departemen Matematika
IPB melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI).
Selama masa perkuliahan penulis aktif pada lembaga kemahasiswaan IPB,
di antaranya Staf Biro Keuangan Gumatika IPB tahun kepengurusan 2012/2013
dan menjadi Staf Divisi Kewirausahaan Gumatika IPB tahun kepengurusan
2011/2012. Penulis juga aktif dalam kepanitiaan di antaranya Olimpiade
Mahasiswa IPB (OMI), Matematika Ria, Math Ice, IPB Mathematics Challenge,
Math Camp, dan SPIRIT FMIPA IPB. Selain itu, penulis juga aktif di UKM
Futsal Putri IPB.
DESCENT DAN METODE BARZILAI-BORWEIN
MENGGUNAKAN PERANGKAT LUNAK
MATLAB
KIKI SEPTIANI
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2015
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Perbandingan Waktu
Eksekusi Metode Steepest Descent dan Metode Barzilai-Borwein Menggunakan
Perangkat Lunak MATLAB adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi
pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi
mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan
maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan
dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Januari 2015
Kiki Septiani
NIM G54100017
ABSTRAK
KIKI SEPTIANI. Perbandingan Waktu Eksekusi Metode Steepest Descent dan
Metode Barzilai-Borwein Menggunakan Perangkat Lunak MATLAB. Dibimbing
oleh BIB PARUHUM SILALAHI dan MUHAMMAD ILYAS.
Pengoptimuman adalah ilmu yang berhubungan dengan mencari nilai
maksimum dan minimum. Suatu masalah pengoptimuman terdiri dari masalah
pengoptimuman tak berkendala dan pengoptimuman berkendala. Selama lebih
dari empat puluh tahun telah banyak algoritme pencarian langsung untuk masalah
pengoptimuman tanpa kendala yang dikembangkan, antara lain adalah metode
steepest descent dan metode Barzilai-Borwein. Untuk beberapa kasus,
kekonvergenan dari metode steepest descent ke solusi optimal membutuhkan
waktu panjang. Hal ini terjadi karena jalur zig-zag dalam menuju solusi optimal.
Barzilai dan Borwein memperkenalkan dua stepsize yang menjamin konvergensi
yang lebih cepat. Penelitian ini mengonstruksi metode steepest descent dan
metode Barzilai-Borwein kemudian melakukan perbandingan waktu eksekusi
antara kedua metode tersebut dengan menggunakan perangkat lunak MATLAB.
Dalam penelitian ini diperoleh kesimpulan bahwa waktu eksekusi metode
Barzilai-Borwein lebih cepat dibandingkan dengan metode steepest descent.
Kata kunci: MATLAB, Metode Barzilai-Borwein, Metode Steepest Descent,
Pengoptimuman
ABSTRACT
KIKI SEPTIANI. Execution Time Comparison between the Steepest Descent and
Barzilai-Borwein Methods by Using MATLAB. Supervised by BIB PARUHUM
SILALAHI and MUHAMMAD ILYAS.
Optimization is a knowledge associated with problems of the maximum and
minimum determination. The optimization problems consist of the problems
without constraint and with constraint. In the last forty years time, many direct
search algorithms for optimization problems without constraint have been
developed, including the steepest descent method and the Barzilai-Borwein
method. In some cases, the convergence of the steepest descent method requires a
longer time to reach the optimal solution. This is due to the zig-zag path
undertaken. Barzilai and Borwein introduce two stepsize that guarantees to obtain
a convergent solution. This research reconstructs the steepest descent and the
Barzilai-Borwein methods and then the execution time required between the both
methods were compared using MATLAB. Based on the experiments obtained, the
Barzilai-Borwein method reached its convergence value faster than the steepest
descent method.
Keywords: Barzilai-Borwein Method, MATLAB, Optimization, Steepest Descent
Method
PERBANDINGAN WAKTU EKSEKUSI METODE STEEPEST
DESCENT DAN METODE BARZILAI-BORWEIN
MENGGUNAKAN PERANGKAT LUNAK
MATLAB
KIKI SEPTIANI
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2015
PRAKATA
Puji dan syukur saya panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas
segala nikmat, rahmat, karunia dan pertolongan yang telah diberikan sehingga
karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Judul karya ilmiah ini adalah Perbandingan
Waktu Eksekusi Metode Steepest Descent dan Metode Barzilai-Borwein
Menggunakan Perangkat Lunak MATLAB.
Terima kasih saya ucapkan kepada keluarga tercinta Ayahanda Rusdi,
Ibunda Dini, dan ketiga adik saya Yonanda, Elsa, dan Didi atas segala doa dan
dukungan selama menulis karya ilmiah ini. Ungkapan terima kasih juga saya
sampaikan kepada Bapak Dr Ir Bib Paruhum Silalahi, MKom dan Bapak
Muhammad Ilyas, MSi, MSc selaku dosen pembimbing yang telah banyak
memberi saran, kesabaran dan ilmu, serta Ibu Dra Farida Hanum, MSi selaku
dosen penguji. Tidak lupa penulis mengucapkan terima kasih untuk para sahabat
Mira Aisyah Romliyah, Leny Yustie Widiasari, Aisatul Mustaqimah, Erjodi
Cahyo, Fachriadi Fadhillah, Lola Oktasari, Novia Yuliani, Ervina Marviana,
teman-teman seperjuangan Matematika 47, dan kakak- kakak Matematika 46 atas
bantuan dan dukungannya serta teman-teman sekalian di luar Departemen
Matematika IPB.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, Januari 2015
Kiki Septiani
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
vi
DAFTAR GAMBAR
vi
DAFTAR LAMPIRAN
vi
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan Penelitian
1
TINJAUAN PUSTAKA
2
HASIL DAN PEMBAHASAN
4
Metode Steepest Descent
4
Metode Barzilai-Borwein
6
Ilustrasi Metode Steepest Descent dan Metode Barzilai-Borwein
8
Hasil Komputasi Metode Steepest Descent dan Metode Barzilai-Borwein
SIMPULAN DAN SARAN
11
15
Simpulan
15
Saran
15
DAFTAR PUSTAKA
16
LAMPIRAN
17
RIWAYAT HIDUP
32
DAFTAR TABEL
1 Analisis perbedaan banyak iterasi dan waktu eksekusi (dalam second)
metode steepest descent dan metode Barzilai-Borwein untuk fungsi dua
variabel dengan lima kali pengulangan
2 Analisis perbedaan banyak iterasi dan waktu eksekusi (dalam second)
metode steepest descent dan metode Barzilai-Borwein untuk fungsi tiga
variabel dengan tiga kali pengulangan
3 Analisis perbedaan banyak iterasi dan waktu eksekusi (dalam second)
metode steepest descent dan metode Barzilai-Borwein untuk fungsi
empat variabel dengan tiga kali pengulangan
4 Analisis perbedaan banyak iterasi dan waktu eksekusi (dalam second)
metode steepest descent dan metode Barzilai-Borwein untuk fungsi
lima variabel dengan tiga kali pengulangan
5 Analisis perbedaan banyak iterasi dan waktu eksekusi (dalam second)
metode steepest descent dan metode Barzilai-Borwein untuk fungsi
sepuluh variabel dengan lima kali pengulangan
6 Perbedaan iterasi rata-rata metode steepest descent dan metode
Barzilai-Borwein
7 Perbedaan waktu eksekusi (dalam second) rata-rata metode steepest
descent dan metode Barzilai-Borwein
11
11
12
12
12
13
13
DAFTAR GAMBAR
1
2
3
4
5
6
Hasil metode steepest descent
Hasil metode steepset descent yang diperbesar
Hasil metode Barzilai-Borwein 1
Hasil metode Barzilai-Borwein 2
Iterasi rata-rata metode steepest descent dan metode Barzilai-Borwein
Waktu eksekusi rata-rata metode steepest descent dan metode BarzilaiBorwein
9
9
10
10
14
14
DAFTAR LAMPIRAN
1 Sintaks metode steepest descent percobaan ke-1
dengan dua variabel
2 Sintaks metode Barzilai-Borwein 1 percobaan
fungsi dengan dua variabel
3 Sintaks metode Barzilai-Borwein 2 percobaan
fungsi dengan dua variabel
4 Sintaks metode steepest descent percobaan ke-1
dengan tiga variabel
5 Sintaks metode Barzilai-Borwein 1 percobaan
fungsi dengan tiga variabel
6 Sintaks metode Barzilai-Borwein 2 percobaan
fungsi dengan tiga variabel
Tabel 1 untuk fungsi
17
ke-1 Tabel 1 untuk
18
ke-1 Tabel 1 untuk
19
Tabel 2 untuk fungsi
20
ke-1 Tabel 2 untuk
21
ke-1 Tabel 2 untuk
22
7 Sintaks metode steepest descent percobaan ke-1
dengan empat variabel
8 Sintaks metode Barzilai-Borwein 1 percobaan
fungsi dengan empat variabel
9 Sintaks metode Barzilai-Borwein 2 percobaan
fungsi dengan empat variabel
10 Sintaks metode steepest descent percobaan ke-1
dengan lima variabel
11 Sintaks metode Barzilai-Borwein 1 percobaan
fungsi dengan lima variabel
12 Sintaks metode Barzilai-Borwein 2 percobaan
fungsi dengan lima variabel
13 Sintaks metode steepest descent percobaan ke-1
dengan sepuluh variabel
14 Sintaks metode Barzilai-Borwein 1 percobaan
fungsi dengan sepuluh variabel
15 Sintaks metode Barzilai-Borwein 2 percobaan
fungsi dengan sepuluh variabel
Tabel 3 untuk fungsi
23
ke-1 Tabel 3 untuk
24
ke-1 Tabel 3 untuk
25
Tabel 4 untuk fungsi
26
ke-1 Tabel 4 untuk
27
ke-1 Tabel 4 untuk
28
Tabel 5 untuk fungsi
29
ke-1 Tabel 5 untuk
30
ke-1 Tabel 5 untuk
31
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Pengoptimuman bertujuan mencari nilai minimum atau maksimum dari
suatu fungsi bernilai real. Secara umum, ada dua jenis pengoptimuman yang
sering dihadapi, yaitu pengoptimuman linear dan pengoptimuman taklinear.
Masalah pengoptimuman terdiri dari fungsi tujuan dan kendala, jika kendalanya
tidak ada maka masalah pengoptimuman tersebut dinamakan masalah
pengoptimuman tak berkendala sebaliknya jika kendalanya ada maka masalah
pengoptimuman tersebut dinamakan pengoptimuman berkendala. Masalah
pengoptimuman tak berkendala satu variabel dapat diselesaikan dengan
menggunakan kalkulus. Selama lebih dari empat puluh tahun telah banyak
algoritme pencarian langsung (direct search) untuk masalah pengoptimuman tak
berkendala yang dikembangkan. Algoritme-algoritme ini memerlukan titik awal
(dinyatakan dengan ) untuk memulai proses pencarian solusi optimal langsung
dari titik
menuju
dan seterusnya. Proses akan berhenti jika tidak
diperoleh titik yang lebih baik (lebih kecil nilai fungsinya, untuk masalah
peminimuman) atau jika diperoleh titik
sehingga
, atau dengan
kriteria pemberhentian lainnya. Beberapa metode pencarian langsung untuk
meminimumkan fungsi banyak variabel, yaitu metode golden section, metode
Newton, dan algoritme interpolasi kuadratik Powell.
Metode steepest descent merupakan salah satu metode klasik untuk
menyelesaikan masalah pengoptimuman tak berkendala fungsi banyak variabel.
Untuk beberapa kasus kekonvergenan dari metode steepest descent menuju ke
solusi optimal lambat, hal ini terjadi karena jalur zig-zag dalam menuju solusi
optimal (Sun dan Yuan 2006).
Barzilai dan Borwein memperkenalkan dua stepsize yang menjamin
konvergensi yang lebih baik. Metode Barzilai-Borwein bertujuan mempercepat
konvergensi metode steepest descent (Barzilai dan Borwein 1988). Dalam karya
ilmiah ini dibahas perbandingan waktu eksekusi dan banyaknya iterasi antara
metode steepest descent dan metode Barzilai-Borwein dengan menggunakan
perangkat lunak MATLAB.
Tujuan Penelitian
Karya ilmiah ini disusun dengan tujuan melakukan perbandingan waktu
eksekusi antara metode steepest descent dan metode Barzilai-Borwein dengan
menggunakan perangkat lunak MATLAB.
2
TINJAUAN PUSTAKA
Fungsi Kuadratik
Suatu fungsi dinamakan fungsi kuadratik dalam
variabel jika dapat
dituliskan sebagai:
,
dengan
, dan vektor real berukuran , dan matriks real berukuran
(Luenberger dan Ye 2008).
Matriks Simetrik
Suatu matriks
atau
berorde
disebut matriks simetrik jika
. Matriks diagonal merupakan matriks simetrik. Contoh:
,
(Leon 2001).
Definit Positif
Misalkan matriks berukuran
dan misalkan
adalah
dikatakan definit positif
bentuk kuadratik yang berpadanan dengan , maka
jika
untuk setiap
(Luenberger dan Ye 2008).
Metode Interpolasi Kuadrat dengan Dua Titik
Metode interpolasi kuadrat dengan dua titik adalah metode untuk
menentukan hampiran titik minimum suatu fungsi kuadrat dengan menggunakan
dua titik. Misalkan diberikan dua titik
dan nilai fungsinya
(atau
), dan dua nilai turunan
dan
. Polinomial yang digunakan
untuk proses interpolasi adalah
. Dengan memasukkan dua
titik tersebut ke dalam fungsi diperoleh sistem persamaan linear:
sehingga diperoleh:
=
Oleh karena itu, didapatkan pola iterasi:
3
(Sun dan Yuan 2006).
Metode Newton
Metode Newton adalah salah satu prosedur iteratif untuk menyelesaikan
masalah taklinear. Misalkan persamaan
adalah persamaan taklinear
dengan merupakan penyelesaian dari persamaan tersebut. Fungsi
adalah
fungsi yang kontinu dan terturunkan. Pada solusi eksak , nilai fungsi dapat
dinyatakan sebagai
dan nilai dari fungsi turunan pertama adalah
.
Nilai
adalah solusi yang diperoleh pada iterasi ke- . Misalkan
,
dapat diartikan sebagai laju perubahan terhadap . Andaikan berubah dari
ke
maka perubahan pada
adalah
. Perubahan
ini
diperlukan untuk mengubah nilai fungsi
menuju nol. Selanjutnya, metode
Newton dapat diturunkan dari ekspansi deret Taylor orde pertama dari
di
sekitar , sebagai berikut:
.
Tetapkan pendekatan
sehingga didapat:
Barisan Newton yang diperoleh adalah:
dengan
menyatakan nilai yang diperoleh pada iterasi ke- . Jika titik awal
cukup dekat dengan
maka nilai dari
akan mendekati
dengan
(Jensen & Bard 2003).
Metode Least Square (LS)
memiliki solusi
Misalkan
pengamatan
diperoleh
untuk
(Draper dan Smith 1992).
suatu
model
maka
dan dari data
dengan
dapat diduga dengan cara berikut:
4
Hasil Kali Skalar di dalam
Vektor-vektor di dalam
dapat digambarkan dengan segmen-segmen
garis berarah. Jika diberikan sebuah vektor di
, maka panjang Euclidenya
dapat didefinisikan dalam bentuk hasil kali skalar:
jika
(Leon 2001).
HASIL DAN PEMBAHASAN
Metode Steepest Descent
Metode line search descent yang menggunakan vektor gradien
(turunan parsial orde pertama dari fungsi ) untuk menentukan arah pencarian di
setiap iterasi, dinamakan metode line search descent orde pertama. Metode
terkenal yang banyak digunakan adalah metode steepest descent yang pertama
kali diperkenalkan oleh Cauchy pada tahun 1847.
Metode steepest descent adalah salah satu metode yang tertua dan paling
banyak dikenal untuk meminimalkan fungsi dari beberapa variabel. Metode
steepest descent sangat penting karena metode ini merupakan salah satu dari yang
paling sederhana dan metode peminimuman yang paling mendasar untuk
pengoptimuman tanpa kendala (sering disebut sebagai metode gradien). Metode
steepest descent merupakan metode iteratif untuk memperoleh solusi pendekatan
dari masalah awal. Algoritme yang lebih maju sering termotivasi oleh upaya
untuk memodifikasi teknik dasar steepest descent sehingga algoritme baru akan
memiliki sifat konvergensi yang unggul. Teknik ini tidak hanya paling sering
digunakan dalam penyelesaian masalah baru, tetapi juga standar acuan terhadap
teknik lain yang diukur. Metode steepest descent selalu konvergen. Artinya,
secara teori metode ini tidak akan berhenti atau akan terus melakukan iterasi
sampai kriteria penghentian terpenuhi (Luenberger dan Ye 2008). Pencarian arah
adalah hal yang penting dalam metode steepest descent, dan pencarian ini yang
membedakan antara algoritme yang satu dengan yang lainnya. Begitu pencarian
arah telah ditentukan maka tahap selanjutnya adalah pencarian stepsize (line
search, step search).
Masalah model kuadrat dinyatakan sebagai berikut:
(1)
dengan
adalah symmetric positive definite (SPD) dan
ini setara dengan memecahkan sistem linear:
.
. Masalah
5
Karena diandaikan adalah definit positif, masalah (1) memiliki solusi
yang unik yang diberikan oleh
. Metode steepest descent yang dikenal
juga dengan metode gradien adalah metode yang mencari penurunan tercepat dari:
,
yang terjadi pada:
dan
Berikut bentuk iterasi gradien:
(2)
Untuk beberapa kasus, kekonvergenan dari metode steepest descent ke
solusi optimal lambat, hal ini karena jalur zig-zag dalam menuju solusi optimal.
Secara intuitif arah
adalah arah dengan penurunan tercepat, tetapi secara
global tidak berarti menuju titik minimum lokal yang tercepat.
Untuk mencari minimum dari
, diperoleh:
.
Ini berarti gradien dari titik awal menuju titik selanjutnya saling tegak lurus
(ortogonal) pada metode steepest descent. Dari persamaan (2) didapat pilihan
stepsize optimal
sebagai berikut:
dengan
6
Berikut ini diberikan algoritme metode steepest descent:
Langkah 1 Batas toleransi
. Diberikan titik awal
.
Langkah 2 Arah pencarian
.
Langkah 3 Tentukan stepsize
yang meminimumkan
Langkah 4 Tentukan
Langkah 5 Jika
Langkah 6 Selanjutnya
(Sun dan Yuan 2006).
dengan
sehingga
.
stop.
kembali ke langkah 2.
Metode Barzilai-Borwein
Barzilai dan Borwein memperkenalkan metode gradien two-point stepsize
yang biasanya disebut metode gradien Barzilai-Borwein (atau BB) untuk
memecahkan masalah peminimuman fungsi tak berkendala (Barzilai dan Borwein
1988).
Berikut bentuk iterasi gradien:
(3)
Pada awalnya digunakan metode Newton untuk memecahkan suatu
persamaan nonlinear
,
dengan pendekatan yang berasal dari
(juga dikenal sebagai metode sekan) dengan iterasi sebagai berikut:
(4)
dengan
dan misalkan:
(5)
Dapat dilihat hubungan antara persamaan (3) dan persamaan (4) untuk
menyelesaikan persamaan
,
. Dalam kasus dimensi
lebih tinggi, yaitu
koefisien
akan dievaluasi
menggunakan persamaan (5).
Untuk menentukan stepsize metode Barzilai-Borwein 1, perhatikan
persamaan berikut:
.
(6)
7
Selanjutnya persamaan (6) diselesaikan dengan metode least-square, dengan
, sehingga diperoleh:
.
Dengan menggunakan syarat perlu minimum bahwa turunan pertama sama
dengan nol, sehingga diperoleh:
Untuk menentukan stepsize metode Barzilai-Borwein 2, perhatikan
persamaan berikut:
(7)
Selanjutnya persamaan (7) diselesaikan dengan metode least-square, dengan
, sehingga diperoleh:
8
.
Dengan menggunakan syarat perlu minimum bahwa turunan pertama sama
dengan nol, sehingga diperoleh:
Berikut ini diberikan algoritme metode gradien Barzilai-Borwein:
Langkah 1 Diberikan titik awal
, batas toleransi
, dengan
.
Langkah 2 Arah pencarian
.
Langkah 3 Jika
, tentukan dengan pencarian garis untuk
,
hitung
(untuk metode Barzilai-Borwein 1) atau
dengan
(untuk metode Barzilai-Borwein 2).
Langkah 4 Tentukan
Langkah 5 Jika
Langkah 6 Selanjutnya
(Sun dan Yuan 2006).
.
, stop.
, kembali ke langkah 2.
Ilustrasi Metode Steepest Descent dan Metode Barzilai-Borwein
Ilustrasi 1 Dengan menggunakan metode steepest descent, min
dengan titik awal
.
Berikut adalah solusi dari metode steepest descent untuk ilustrasi 1:
9
Gambar 1 Hasil metode steepest descent
Gambar 2 Hasil metode steepest descent yang diperbesar
Gambar 1 dan Gambar 2 menunjukkan bahwa dalam menuju solusi optimal,
metode steepest descent mengambil arah zig-zag dan tegak lurus (ortogonal)
seperti yang telah dijelaskan pada subbab metode steepest descent.
Ilustrasi 2 Dengan menggunakan metode Barzilai-Borwein 1,
dengan titik awal
dan arah:
10
Berikut adalah solusi dari metode Barzilai-Borwein 1 untuk ilustrasi 2:
Gambar 3 Hasil metode Barzilai-Borwein 1
Ilustrasi 3 Dengan menggunakan metode Barzilai-Borwein 2, min
dengan titik awal
dan arah:
Berikut adalah solusi dari metode Barzilai-Borwein 2 untuk ilustrasi 3:
Gambar 4 Hasil metode Barzilai-Borwein 2
Metode Barzilai-Borwein sebenarnya mirip dengan metode gradien, lebih
cepat konvergen sehingga membutuhkan sedikit pekerjaan komputasi. Berbeda
dengan metode steepest descent, metode Barzilai-Borwein dalam menuju solusi
optimal gradien dari titik awal menuju titik selanjutnya tidak saling tegak lurus
(ortogonal).
11
Hasil Komputasi Metode Steepest Descent dan Metode Barzilai-Borwein
Fungsi yang digunakan dibangkitkan secara acak dengan ketentuan sebagai
berikut:
.
dengan matriks simetrik berukuran
. Banyak variabel yang digunakan
yaitu
. Setiap komponen vektor
(
) dipilih
secara acak dengan
. Untuk semua kasus diberikan titik awal adalah
vektor nol
dan kriteria penghentian adalah
.
Perbedaan waktu eksekusi antara metode steepest descent dan metode
Barzilai-Borwein dapat dilihat pada Tabel 1 untuk fungsi dengan dua variabel,
Tabel 2 untuk fungsi dengan tiga variabel, Tabel 3 untuk fungsi dengan empat
variabel, Tabel 4 untuk fungsi dengan lima variabel, dan Tabel 5 untuk fungsi
dengan sepuluh variabel.
Tabel 1 Analisis perbedaan banyak iterasi dan waktu eksekusi (dalam second)
metode steepest descent dan metode Barzilai-Borwein untuk fungsi dua
variabel dengan lima kali pengulangan
Percobaan
I
II
III
IV
V
Rata-rata
Metode Steepest
Descent
Iterasi
Waktu (s)
46
22.818351
23
14.314749
7
4.408219
10
6.706132
5
3.055573
18.2
10.260604
Metode BarzilaiBorwein 1
Iterasi Waktu (s)
12
1.723524
8
1.394232
4
0.970558
9
1.510808
5
1.070897
7.6
1.334004
Metode BarzilaiBorwein 2
Iterasi Waktu (s)
11
1.617948
5
1.121589
5
1.084019
6
1.204922
3
0.848222
6
1.175340
Tabel 2 Analisis perbedaan banyak iterasi dan waktu eksekusi (dalam second)
metode steepest descent dan metode Barzilai-Borwein untuk fungsi tiga
variabel dengan lima kali pengulangan
Percobaan
I
II
III
IV
V
Rata-rata
Metode Steepest
Descent
Iterasi
Waktu (s)
177
135.238922
40
30.059106
80
57.168624
127
89.093572
111
80.613021
107
78.434649
Metode BarzilaiBorwein 1
Iterasi
Waktu (s)
53
10.028849
18
3.759644
22
4.444450
20
4.142495
22
4.485561
27
5.372200
Metode BarzilaiBorwein 2
Iterasi Waktu (s)
22
4.410716
19
3.904859
16
3.356958
17
3.615938
14
3.105823
17.6
3.678863
12
Tabel 3 Analisis perbedaan banyak iterasi dan waktu eksekusi (dalam second)
metode steepest descent dan metode Barzilai-Borwein untuk fungsi
empat variabel dengan lima kali pengulangan
Percobaan
I
II
III
IV
V
Rata-rata
Metode Steepest
Descent
Iterasi Waktu (s)
143
123.741029
138
124.063215
1605 1509.049946
153
175.922478
273
244.828021
462.4
435.520938
Metode BarzilaiBorwein 1
Iterasi
Waktu (s)
69
16.675415
36
9.484181
57
14.240666
54
13.315565
54
13.637498
54
13.470665
Metode BarzilaiBorwein 2
Iterasi
Waktu (s)
60
14.180025
38
9.644030
120
28.076128
37
9.364491
35
9.166513
58
14.086237
Tabel 4 Analisis perbedaan banyak iterasi dan waktu eksekusi (dalam second)
metode steepest descent dan metode Barzilai-Borwein untuk fungsi lima
variabel dengan lima kali pengulangan
Percobaan
I
II
III
IV
V
Rata-rata
Metode Steepest
Descent
Iterasi
Waktu (s)
285
311.986878
2108 1252.283148
417
467.571587
615
680.929252
122
139.450137
709.4
570.444200
Metode BarzilaiBorwein 1
Iterasi
Waktu (s)
64
20.818828
101
31.631661
72
23.047997
92
28.890522
42
14.685559
74.2
23.814913
Metode BarzilaiBorwein 2
Iterasi Waktu (s)
60
20.080747
370
116.418413
60
19.022880
82
25.553457
37
12.795110
121.8
38.774121
Tabel 5 Analisis perbedaan banyak iterasi dan waktu eksekusi (dalam second)
metode steepest descent dan metode Barzilai-Borwein untuk fungsi
sepuluh variabel dengan lima kali pengulangan
Percobaan
I
II
III
IV
V
Rata-rata
Metode Steepest
Descent
Iterasi
Waktu (s)
> 7000
> 7200
> 5000
> 3600
2296
1113.4
> 5000
> 3600
> 5000
> 3600
> 5000
> 3600
Metode BarzilaiBorwein 1
Iterasi
Waktu (s)
318
274.72489
1273
1404.82539
407
354.69158
311
288.00704
645
586.43346
590.8
581.73647
Metode BarzilaiBorwein 2
Iterasi Waktu (s)
360 309.878894
837 766.676187
445 391.399808
327 289.547620
311 298.056710
456 409.311843
Pada Tabel 1, 2, 3, 4, dan 5 dapat dilihat bahwa waktu eksekusi yang
diperoleh untuk menyelesaikan masalah pengoptimuman tak berkendala fungsi
banyak variabel dilakukan dengan pengulangan eksekusi. Untuk semua fungsi
dilakukan lima kali pengulangan eksekusi dengan fungsi yang sama, sehingga
mendapatkan hasil waktu eksekusi yang berbeda-beda. Hal tersebut dipengaruhi
oleh keadaan kinerja komputer pada saat melakukan komputasi. Adanya
13
perbedaan hasil eksekusi tersebut, selanjutnya dilakukan penghitungan nilai ratarata waktu eksekusi untuk mempermudah menganalisis perbedaan waktu eksekusi
antara metode steepest descent dan metode Barzilai-Borwein. Perbedaan rata-rata
banyak iterasi dan waktu eksekusi antara metode steepest descent dan metode
Barzilai-Borwein dengan menggunakan perangkat lunak MATLAB, dapat dilihat
pada Tabel 6 dan Tabel 7.
Tabel 6 Perbedaan iterasi rata-rata metode steepest descent dan metode BarzilaiBorwein
Banyak Iterasi
Studi
Kasus
Ukuran
1
2
3
4
5
Metode Steepest
Descent
18.2
107.0
462.4
709.4
> 5000
Metode BarzilaiBorwein 1
7.6
27.0
54.0
74.2
509.8
Metode
BarzilaiBorwein 2
6.0
17.6
58.0
121.8
456.0
Tabel 7 Perbedaan waktu eksekusi (dalam second) rata-rata metode steepest
descent dan metode Barzilai-Borwein
Waktu Eksekusi (s)
Studi
Kasus
1
2
3
4
5
Ukuran
Metode Steepest
Descent
Metode BarzilaiBorwein 1
10.260604
78.434649
435.520938
570.444200
> 3600
1.334004
5.372200
13.470665
23.814913
581.736473
Metode
BarzilaiBorwein 2
1.175340
3.678863
14.086237
38.774121
409.311843
Perbedaan iterasi dan waktu eksekusi rata-rata metode steepest descent dan
metode Barzilai-Borwein disajikan juga dalam bentuk grafik sebagai berikut:
14
800
700
SD
600
Banyak Iterasi
BB 1
500
BB 2
400
300
200
100
0
2×2
3×3
4×4
5×5
10 × 10
Gambar 5 Iterasi rata-rata metode steepest descent dan metode BarzilaiBorwein
700
SD
600
BB 1
BB 2
Waktu Eksekusi (s)
500
400
300
200
100
0
2×2
3×3
4×4
5×5
10 × 10
Gambar 6 Waktu eksekusi rata-rata metode steepest descent dan metode
Barzilai-Borwein
Pada Gambar 5 menunjukkan perbedaan iterasi rata-rata metode steepest
descent dan metode Barzilai-Borwein. Iterasi metode steepest descent lebih besar
15
dibandingkan dengan metode Barzilai-Borwein. Untuk data berukuran
,
metode steepest descent tidak diplot pada grafik. Hal ini disebabkan iterasi yang
masih berlanjut selama lebih dari 24 jam.
Pada Gambar 6 jelas terlihat perbedaan waktu eksekusi rata-rata metode
steepest descent dan metode Barzilai-Borwein. Pada data berukuran
perbedaan waktu eksekusi rata-rata metode steepest descent dan metode BarzilaiBorwein tidak terlihat menonjol. Pada data berukuran
dan data berukuran
sudah mulai terlihat waktu eksekusi metode steepest descent semakin naik.
Sebaliknya, metode Barzilai-Borwein juga sudah mengalami kenaikan akan tetapi
sangat kecil. Pada data berukuran
terlihat sangat menonjol perbedaan waktu
eksekusi rata-rata antara metode steepest descent dan metode Barzilai-Borwein.
Untuk metode Barzilai-Borwein dengan kasus stepsize yang berbeda, perbedaan
waktu eksekusi rata-rata sangat kecil. Pada data berukuran
, data berukuran
, dan data berukuran
metode Barzilai-Borwein 1 waktu eksekusi
rata-rata lebih besar dibandingkan dengan waktu eksekusi rata-rata metode
Barzilai-Borwein 2. Sebaliknya, pada data berukuran
dan data berukuran
waktu eksekusi rata-rata metode Barzilai-Borwein 1 lebih kecil
dibandingkan dengan metode Barzilai-Borwein 2. Untuk data berukuran
,
waktu eksekusi rata-rata metode steepest descent tidak diplot pada grafik
sedangkan metode Barzilai-Borwein 1 dan metode Barzilai-Borwein 2 sebesar
581.7364732 second dan 409.311843 second. Hal ini disebabkan waktu eksekusi
yang sangat lama yaitu lebih dari 24 jam dan prosesnya masih berlanjut.
SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Metode steepest descent merupakan salah satu metode klasik untuk
menyelesaikan pengoptimuman tak berkendala fungsi banyak variabel dan paling
sering digunakan. Metode steepest descent sangat lambat ke solusi optimal, hal ini
terjadi karena jalur zig-zag dalam menuju solusi optimal. Metode steepest descent
berkinerja buruk dan iterasi yang dihasilkan lebih banyak untuk dimensi yang
lebih tinggi. Barzilai dan Borwein memperkenalkan dua stepsize yang menjamin
konvergensi yang lebih baik. Metode Barzilai-Borwein bertujuan mempercepat
konvergensi metode steepest descent. Berdasarkan analisis pada studi kasus yang
dilakukan dengan menggunakan perangkat lunak MATLAB, hasil perbandingan
waktu eksekusi metode Barzilai-Borwein lebih cepat dibandingkan dengan
metode steepest descent baik untuk dimensi rendah maupun untuk dimensi tinggi.
Saran
Karya Ilmiah ini dapat dilanjutkan dengan metode yang berbeda atau
dengan menggunakan perangkat lunak yang berbeda.
16
DAFTAR PUSTAKA
Barzilai J, Borwein JM. 1988. Two-point stepsize gradient methods. IMA Journal
of Numerical Analysis. 8(1):141-148.doi: 10.1093/imanum/8.1.141.
Draper N, Smith H. 1992. Analisis Regresi Terapan. Ed ke-2. Sumantri B,
penerjemah. Jakarta (ID): Gramedia Pustaka Utama. Terjemahan dari:
Applied Regression Analysis.
Jensen PA, Bard JF. 2003. Operations Research Models and Methods. New York
(US): John Wiley and Sons.
Leon SJ. 2001. Aljabar Linear dan Aplikasinya. Ed ke-5. Bondan A, penerjemah;
Hardani HW, editor. Jakarta (ID): Penerbit Erlangga. Terjemahan dari:
Linear Algebra with Applications.
Luenberger DG, Ye Y. 2008. Linear and Nonlinear Programming. Ed ke-3. New
York (US): Springer.
Sun W, Yuan YX. 2006. Optimization Theory and Methods. New York (US):
Springer.
17
Lampiran 1 Sintaks metode steepest descent percobaan ke-1 Tabel 1 untuk fungsi
dengan dua variabel
18
Lampiran 2 Sintaks metode Barzilai-Borwein 1 percobaan ke-1 Tabel 1 untuk
fungsi dengan dua variabel
19
Lampiran 3 Sintaks metode Barzilai-Borwein 2 percobaan ke-1 Tabel 1 untuk
fungsi dengan dua variabel
20
Lampiran 4 Sintaks metode steepest descent percobaan ke-1 Tabel 2 untuk fungsi
dengan tiga variabel
21
Lampiran 5 Sintaks metode Barzilai-Borwein 1 percobaan ke-1 Tabel 2 untuk
fungsi dengan tiga variabel
22
Lampiran 6 Sintaks metode Barzilai-Borwein 2 percobaan ke-1 Tabel 2 untuk
fungsi tiga variabel
23
Lampiran 7 Sintaks metode steepest descent percobaan ke-1 Tabel 3 untuk fungsi
dengan empat variabel
24
Lampiran 8 Sintaks metode Barzilai-Borwein 1 percobaan ke-1 Tabel 3 untuk
fungsi dengan empat variabel
25
Lampiran 9 Sintaks metode Barzilai-Borwein 2 percobaan ke-1 Tabel 3 untuk
fungsi dengan empat variabel
26
Lampiran 10 Sintaks metode steepest descent percobaan ke-1 Tabel 4 untuk
fungsi dengan lima variabel
27
Lampiran 11 Sintaks metode Barzilai-Borwein 1 percobaan ke-1 Tabel 4 untuk
fungsi dengan lima variabel
28
Lampiran 12 Sintaks metode Barzilai-Borwein 2 percobaan ke-1 Tabel 4 untuk
fungsi dengan lima variabel
29
Lampiran 13 Sintaks metode steepest descent percobaan ke-1 Tabel 5 untuk
fungsi dengan sepuluh variabel
30
Lampiran 14 Sintaks metode Barzilai-Borwein 1 percobaan ke-1 Tabel 5 untuk
fungsi dengan sepuluh variabel
31
Lampiran 15 Sintaks metode Barzilai-Borwein 1 percobaan ke-1 Tabel 5 untuk
fungsi dengan sepuluh variabel
32
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 14 September 1992 sebagai anak
pertama dari empat bersaudara, dari pasangan Rusdi dan Dini. Pada tahun 1998,
penulis lulus dari TK Islam Raudatul Amanah Bekasi. Pada tahun 2001, penulis
lulus dari SD Negeri Kaliabang Tengah V Bekasi. Pada tahun 2007, penulis lulus
dari SMP Negeri 234 Jakarta. Pada tahun 2010, penulis lulus dari SMA Negeri 89
Jakarta dan pada tahun yang sama penulis diterima di Departemen Matematika
IPB melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI).
Selama masa perkuliahan penulis aktif pada lembaga kemahasiswaan IPB,
di antaranya Staf Biro Keuangan Gumatika IPB tahun kepengurusan 2012/2013
dan menjadi Staf Divisi Kewirausahaan Gumatika IPB tahun kepengurusan
2011/2012. Penulis juga aktif dalam kepanitiaan di antaranya Olimpiade
Mahasiswa IPB (OMI), Matematika Ria, Math Ice, IPB Mathematics Challenge,
Math Camp, dan SPIRIT FMIPA IPB. Selain itu, penulis juga aktif di UKM
Futsal Putri IPB.