Metode Steepest Descent Dalam Pengoptimuman Fungsi Dan Penerapannya Menggunakan Aplikasi Android
METODE STEEPEST DESCENT DALAM PENGOPTIMUMAN
FUNGSI DAN PENERAPANNYA MENGGUNAKAN
APLIKASI ANDROID
ALFI AINI
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2016
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Metode Steepest
Descent dalam Pengoptimuman Fungsi dan Penerapannya Menggunakan Aplikasi
Android adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan
belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber
informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak
diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam
Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Januari 2016
Alfi Aini
NIM G54110067
ABSTRAK
ALFI AINI. Metode Steepest Descent dalam Pengoptimuman Fungsi dan
Penerapannya Menggunakan Aplikasi Android. Dibimbing oleh BIB PARUHUM
SILALAHI dan SISWANDI.
Pengoptimuman bertujuan mencari nilai minimum atau maksimum dari
suatu fungsi bernilai real. Dari segi fungsinya, pengoptimuman dapat dibedakan
menjadi pengoptimuman linear dan pengoptimuman nonlinear. Sedangkan dari
segi bentuknya, pengoptimuman dikelompokkan menjadi pengoptimuman
berkendala dan pengoptimuman tak berkendala. Untuk menyelesaikan
permasalahan pengoptimuman tak berkendala, khususnya untuk fungsi nonlinear,
dapat digunakan metode steepest descent. Metode ini adalah metode iteratif untuk
memperoleh solusi pendekatan dari masalah awal. Karya ilmiah ini mengkaji
metode steepest descent dan kemudian menerapkannya dalam aplikasi Android
Studio 1.0.1 dengan mencari titik minimum dari fungsi kuadratik dengan
konstanta tertentu. Dalam karya ilmiah ini diperoleh kesimpulan bahwa hasil
iterasi tidak hanya dipengaruhi oleh banyaknya variabel yang digunakan dan
besarnya toleransi, namun juga dipengaruhi oleh nilai fungsi.
Kata kunci: Android studio, Metode steepest descent, Pengoptimuman
ABSTRACT
ALFI AINI. Steepest Descent Method in Function Optimization and Its
Implementation Using Android. Supervised by BIB PARUHUM SILALAHI and
SISWANDI .
Optimization is performed for searching the minimum or maximum value of
a real function. Based on its function type, optimization can be distinguished into
linear and nonlinear optimizations. While based on its formulation, it can be
classified as constrained and unconstrained optimizations. To solve unconstrained
optimization problem, especially for nonlinear function, steepest descent method
can be used. This method is an iterative method which determines the
approximate solution from the initial problem. On this work, steepest descent
method is studied and implemented on Android Studio 1.0.1 by determining the
minimum point of a quadratic function with particular constant. It is concluded
that the iteration result does not only depend on the amount of variables and the
range of tolerable error used, but also the value of the function.
Keywords: Android studio, Optimization, Steepest descent method
METODE STEEPEST DESCENT DALAM PENGOPTIMUMAN
FUNGSI DAN PENERAPANNYA MENGGUNAKAN
APLIKASI ANDROID
ALFI AINI
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2016
Judul Skripsi : Metode Steepest Descent dalam Pengoptimuman Fungsi dan
Penerapannya Menggunakan Aplikasi Android
Nama
: Alfi Aini
NIM
: G54110067
Disetujui oleh
Dr Ir Bib Paruhum Silalahi, MKom
Pembimbing I
Diketahui oleh
Dr Toni Bakhtiar, MSc
Ketua Departemen
Tanggal Lulus:
Drs Siswandi, MSi
Pembimbing II
PRAKATA
Puji dan syukur saya panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas
segala nikmat, rahmat, karunia, dan pertolongan-Nya sehingga karya ilmiah ini
berhasil diselesaikan. Judul karya ilmiah ini adalah Metode Steepest Descent
dalam Pengoptimuman Fungsi dan Penerapannya Menggunakan Aplikasi
Android.
Terima kasih saya ucapkan kepada keluarga tercinta Ibunda Masruroh dan
Ayah Maroni, serta kakak saya Nadia Nur Rahmah atas segala doa, dukungan, dan
kasih sayangnya selama menulis karya ilmiah ini. Ungkapan terima kasih juga
saya ucapkan kepada Bapak Dr Ir Bib Paruhum Silalahi, MKom dan Bapak Drs
Siswandi, MSi selaku dosen pembimbing yang telah banyak memberi saran,
kesabaran, dan ilmu, serta Bapak Drs Prapto Tri Supriyo, MKom selaku dosen
penguji yang telah banyak memberi saran, serta kepada seluruh staf Departemen
Matematika. Tidak lupa saya mengucapkan terima kasih untuk para sahabat Intan
Fitria Sari, Riefdah Imro’atul Azizah, Imam Shalahuddin, Hasannudin, Resty
Bangun Pratiwi, Sifa Lusiana, Andini Qashrina Darmanagari, Riski Okfiana,
Hanna Rifatika, Lidya Yolanda, Atikah Nurbaiti, teman-teman seperjuangan
Matematika 48, kakak-kakak Matematika 47, adik-adik Matematika 49, serta
teman-teman sekalian di luar Departemen Matematika baik di dalam maupun di
luar IPB atas kritik, saran, dan doanya selama pembuatan karya ilmiah ini.
Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan
khususnya Matematika dan menjadi inspirasi bagi penelitian-penelitian
selanjutnya.
Bogor, Januari 2016
Alfi Aini
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
viii
DAFTAR GAMBAR
viii
DAFTAR LAMPIRAN
viii
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan Penelitian
1
LANDASAN TEORI
2
Fungsi
2
Pengoptimuman
2
Android Studio
2
HASIL DAN PEMBAHASAN
3
Hasil Numerik
6
Contoh Penghitungan Metode Steepest Descent
8
SIMPULAN
12
DAFTAR PUSTAKA
12
LAMPIRAN
13
RIWAYAT HIDUP
15
DAFTAR TABEL
1 Analisis perbedaan banyak iterasi dan besar toleransi metode steepest
descent untuk fungsi variabel
8
DAFTAR GAMBAR
1
2
3
4
5
Grafik hasil untuk fungsi dua variabel
Grafik hasil untuk fungsi tiga variabel
Grafik hasil untuk fungsi empat variabel
Grafik hasil untuk fungsi lima variabel
Hasil metode steepest descent
6
7
7
7
11
DAFTAR LAMPIRAN
1 Sintaks metode steepest descent untuk fungsi dua variabel
2 Tampilan Android hasil untuk fungsi dua variabel metode steepest
descent dengan toleransi 0.1
13
14
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Teknologi merupakan salah satu hal yang tidak mudah dilepaskan dari
kehidupan manusia. Tanpa adanya teknologi, manusia tentunya akan sulit untuk
melakukan komunikasi dan menyampaikan informasi. Salah satu teknologi yang
saat ini sedang berkembang pesat di dunia adalah Android. Android merupakan
suatu sistem operasi yang berbasis mobile untuk telepon seluler (handphone).
Permasalahan mengenai pengoptimuman adalah mencari penyelesaian
terbaik dari suatu masalah. Dari segi fungsinya, pengoptimuman dapat dibedakan
menjadi pengoptimuman linear dan pengoptimuman nonlinear. Sedangkan dari
segi bentuknya, pengoptimuman dikelompokkan menjadi pengoptimuman
berkendala dan pengoptimuman tak berkendala. Pengoptimuman berkendala
adalah pengoptimuman suatu fungsi dengan syarat-syarat tertentu yang
membatasinya.
Sebaliknya,
pengoptimuman
tak
berkendala
adalah
pengoptimuman tanpa adanya syarat-syarat tertentu yang membatasinya (Griva et
al. 2009).
Pada umumnya, metode pengoptimuman dapat dilakukan secara analitik
maupun secara numerik. Namun, untuk kasus pengoptimuman tak berkendala
dengan fungsi nonlinear multivariabel terdapat persoalan yang sulit diselesaikan
dengan metode analitik, sehingga diperlukan metode numerik untuk
mempermudah menyelesaikan permasalahan tersebut. Metode pengoptimuman
secara numerik umumnya bersifat iteratif, yaitu dimulai dari titik awal
yang
sudah ditentukan kemudian bergerak ke titik
hingga titik , yaitu titik yang
mendekati nilai optimal. Salah satu klasifikasi metode numerik adalah metode
dengan menggunakan gradien. Untuk metode dengan menggunakan gradien ini
diperlukan syarat fungsi terturunkan. Contoh metode dengan menggunakan
gradien, yaitu metode steepest descent, metode conjugate gradien, dan metode
Newton (Klerk et al. 2005).
Metode steepest descent merupakan salah satu metode klasik untuk
menyelesaikan masalah pengoptimuman tak berkendala fungsi banyak variabel.
Untuk beberapa kasus kekonvergenan dari metode steepest descent menuju ke
solusi optimal lambat, hal ini terjadi karena jalur zig-zag dalam menuju solusi
optimal. Metode ini merupakan prosedur paling mendasar untuk meminimumkan
fungsi terdiferensialkan beberapa variabel (Sun dan Yuan 2006).
Pembahasan karya ilmiah ini difokuskan pada salah satu bentuk persamaan
nonlinear tak berkendala khususnya untuk menyelesaikan fungsi kuadratik dengan
metode steepest descent dan penerapannya menggunakan aplikasi android.
Tujuan Penelitian
Tujuan dari karya ilmiah ini adalah mengkaji metode steepest descent
yang akan diterapkan dalam aplikasi Android Studio 1.0.1 dengan mencari titik
minimum dari persamaan kuadratik dengan konstanta tertentu. Selanjutnya model
diimplementasikan dengan menggunakan smartphone.
2
LANDASAN TEORI
Fungsi
Definisi 1 (Fungsi)
Fungsi
adalah aturan yang memadankan setiap
secara
tepat satu elemen yang disebut
, di mana dan adalah himpunan
bilangan real (Bartle dan Sherbert 1982).
Definisi 2 (Fungsi Kuadratik)
Suatu fungsi dikatakan fungsi kuadratik dalam
dituliskan sebagai
dengan
, vektor real berukuran ,
matriks berukuran
dengan elemen
Yinyu 2008).
variabel jika dapat
matriks real berukuran
, dan
. (Luenberger dan Ye
Definisi 3 (Fungsi Linear)
Suatu fungsi
dengan variabel
adalah suatu fungsi linear jika dan hanya jika untuk suatu himpunan konstanta
, dapat ditulis sebagai (
)
(Winston 2004).
Sebagai contoh, (
)
merupakan fungsi linear,
sementara (
)
bukan fungsi linear.
Pengoptimuman
Pengoptimuman adalah proses untuk mendapatkan keputusan terbaik yang
memberikan nilai maksimum atau minimum dari suatu fungsi dengan cara
penentuan solusi yang tepat. Secara umum, ada dua jenis pengoptimuman yang
sering dihadapi, yaitu pengoptimuman linear dan pengoptimuman nonlinear.
Kegiatan pengoptimuman selalu identik dengan nilai maksimum atau
minimum
yang
terbaik.
Pengoptimuman
yang
baik
seharusnya
mempertimbangkan juga metode yang akan digunakan serta pemrograman yang
tepat dalam aspek komputasi (Wungguli 2015).
Android Studio
Android Studio adalah suatu sistem dari pengembangan aplikasi di
Android. Ini tersedia untuk didownload pada Windows, Mac OS X, dan Linux.
Android Studio saat ini masih dalam tahap awal pengembangan. Beberapa fitur
belum lengkap atau belum dibuat. Namun, dalam keadaan ini sudah mampu untuk
membuat sebuah aplikasi berbasis Android yang berjalan dengan sempurna pada
perangkat Android.
3
HASIL DAN PEMBAHASAN
Metode line search descent (metode iteratif) yang menggunakan vektor
gradien
(turunan parsial orde pertama dari fungsi ) untuk menentukan
arah pencarian di setiap iterasi, dinamakan metode line search descent orde
pertama. Salah satu contoh metode ini adalah metode steepest descent.
Metode steepest descent merupakan salah satu dari yang paling sederhana
dan metode peminimuman yang paling mendasar untuk pengoptimuman tak
berkendala (sering disebut sebagai metode gradien). Metode ini bergerak dengan
langkah-langkah yang saling tegak lurus. Tepatnya, jika
adalah barisan
steepest descent untuk fungsi
, maka untuk setiap bilangan asli
, vektor
yang menghubungkan
dengan
adalah tegak lurus dengan vektor yang
menghubungkan dengan
.
Metode steepest descent merupakan metode iteratif untuk memperoleh
solusi pendekatan dari masalah awal. Algoritme yang lebih maju sering
termotivasi oleh upaya untuk memodifikasi teknik dasar steepest descent sehingga
algoritme baru akan memiliki sifat konvergensi yang unggul. Teknik ini tidak
hanya paling sering digunakan dalam penyelesaian masalah baru, tetapi juga
standar acuan terhadap teknik lain yang diukur. Metode steepest descent selalu
konvergen. Artinya, secara teori metode ini tidak akan berhenti atau akan terus
melakukan iterasi sampai kriteria penghentian terpenuhi (Luenberger dan Ye
Yinyu 2008).
Metode steepest descent adalah metode gradien sederhana untuk
pengoptimuman tak berkendala:
di mana
adalah fungsi terdiferensialkan secara kontinu di
dapat berupa fungsi nonlinear.
Masalah model kuadrat dinyatakan sebagai berikut:
dengan
adalah symmetric positive definite (SPD) dan
ini setara dengan memecahkan sistem linear:
. Secara umum
. Masalah
Karena diandaikan adalah matriks simetrik yang definit positif, masalah
tersebut memiliki solusi yang unik yang diberikan oleh
Metode
steepest descent yang dikenal juga dengan metode gradien adalah metode yang
mencari penurunan tercepat dari:
‖
‖‖ ‖
yang terjadi pada:
dan
Berikut bentuk iterasi gradien:
4
Untuk beberapa kasus, kekonvergenan dari metode steepest descent ke
solusi optimal lambat, hal ini karena jalur zig-zag dalam menuju solusi optimal.
adalah arah dengan penurunan tercepat, tetapi secara
Secara intuitif arah
global tidak berarti menuju titik minimum lokal yang tercepat.
Arah pencarian dalam metode ini berbanding terbalik dengan arah gradien,
yaitu dengan arah menurun tercuram (steepest descent), sehingga metode ini
diberi nama steepest descent. Arah curam menurun yang diterapkan dalam metode
ini merupakan arah terbaik dalam artian metode ini dapat mengurangi fungsi
dapat diperoleh dengan pencarian exact
objektif sebanyak mungkin. Stepsize
line, yaitu:
diperoleh:
Untuk mencari minimum dari
(
(
)
)
Ini berarti gradien dari titik awal menuju titik selanjutnya saling tegak
lurus (ortogonal) pada metode steepest descent. Dari persamaan di atas, didapat
pilihan stepsize optimal
sebagai berikut:
(1)
di mana
di
dan
adalah vektor gradien dari
dan
adalah stepsize (ukuran langkah).
(
)
Pencarian arah adalah hal yang penting dalam metode steepest descent,
dan pencarian ini yang membedakan antara algoritme yang satu dengan yang
lainnya. Begitu pencarian arah telah ditentukan maka tahap selanjutnya adalah
pencarian stepsize (line search, step search). Berikut ini algoritme metode
steepest descent:
Step 1. Batas toleransi
. Diberikan titik awal
, dengan
.
Step 2. Arah pencarian
.
yang meminimumkan
, sehingga
Step 3. Tentukan stepsize
.
Step 4. Tentukan
.
, maka selanjutnya
, kembali
, stop. Jika ‖ ‖
Step 5. Jika ‖ ‖
ke step 2.
(Sun dan Yuan 2006).
5
Lema 1 (Fungsi Error)
Error adalah selisih nilai dari solusi numerik dan analitik. Semakin kecil
error, maka semakin teliti solusi numerik yang didapatkan. Untuk menentukan
besarnya error dalam metode steepest descent salah satunya adalah dengan
menggunakan rumus sebagai berikut:
{
dengan
adalah error pada iterasi ke- ,
definit positif dan berukuran
, dan
adalah optimum.
Bukti:
Perhatikan bahwa
Dari fungsi
, dimana
sehingga
dan
adalah matriks simetrik yang
, dengan
dan
dan bentuk
, kemudian dapat dibuktikan sebagai
berikut:
di mana
}
.
6
Secara eksplisit, gradien fungsi
dapat
diperoleh dari
. Metode steepest descent dapat diekspresikan
seperti pada persamaan (1), dimana
dan
meminimumkan
. Namun, dalam kasus khusus ini kita dapat menentukan nilai
secara eksplisit. Kita peroleh dari definisi
yang dapat diperoleh dari pendiferensialan , dimana
minimal pada
maka bentuk eksplisit metode steepest descent diperoleh
di mana
Dengan
.
, didapatkan
Hasil Numerik
Fungsi yang digunakan adalah fungsi kuadratik sempurna, yaitu fungsi yang
dibangkitkan secara acak dengan ketentuan sebagai berikut:
dengan
dan
adalah matriks diagonal di mana nilai diagonalnya
diperoleh secara acak dengan interval [1,20].
Banyak variabel yang digunakan adalah 2, 3, 4, dan 5. Vektor adalah
random integer dengan batas [-5,5]. Dimulai dari titik awal
dan setiap
variabel diberikan toleransi
.
Iterasi
Untuk fungsi dengan dua variabel didapatkan nilai numerik sebagai berikut:
(
)
25
20
15
10
5
0
Toleransi
7
Gambar 1 Grafik hasil untuk fungsi dua variabel
Untuk fungsi dengan tiga variabel didapatkan nilai numerik sebagai berikut:
(
)
50
Iterasi
40
30
20
10
0
Toleransi
Gambar 2 Grafik hasil untuk fungsi tiga variabel
Iterasi
Untuk fungsi dengan empat variabel didapatkan nilai numerik sebagai berikut:
(
)
120
100
80
60
40
20
0
Toleransi
Gambar 3 Grafik hasil untuk fungsi empat variabel
Untuk fungsi dengan lima variabel didapatkan nilai numerik sebagai berikut:
(
)
200
Iterasi
150
100
50
0
Toleransi
8
Gambar 4 Grafik hasil untuk fungsi lima variabel
Tabel 1 Analisis perbedaan banyak iterasi dan besar toleransi metode steepest
descent untuk fungsi n variabel
Toleransi
Banyak Iterasi untuk n Variabel
3
4
2
5
1E-10
2.5E-09
0.00001
0.000025
0.1
0.25
22
19
12
11
4
3
41
36
23
21
8
7
100
87
55
51
18
15
152
132
83
77
28
22
Titik
Minimum
(-2.9999999999,
0.9999999999)
(-2.9999999999,
1, 2)
(-2.9999999999,
0.9999999999, 2,
2.9999999999)
(-2.9999999999,
0.9999999999, 2, 3,
-3.9999999999)
Contoh Penghitungan Metode Steepest Descent
Diketahui: (
)
Penyelesaian:
Gradien dari
⁄
[
Matriks Hesse
Cek kedefinitan
Karena
Iterasi 1:
dan
⁄
]
[
]
[ ]
, maka
definit positif.
9
Jadi,
‖
‖
Jadi,
[
]
√
belum memenuhi kriteria penghentian.
Iterasi 2:
Jadi,
‖
Jadi,
[
]
‖ √
belum memenuhi kriteria penghentian.
10
Iterasi 3:
Jadi,
‖
Jadi,
[
]
‖ √
belum memenuhi kriteria penghentian.
Iterasi 4:
11
Jadi,
[
]
‖ √
‖
Jadi, memenuhi kriteria penghentian.
STOP.
Gambar 5 Hasil metode steepest descent
Gambar 5 menunjukkan bahwa dalam menuju solusi optimal, metode
steepest descent mengambil arah tegak lurus (ortogonal) seperti yang telah
dijelaskan pada subbab metode steepest descent.
12
SIMPULAN
Metode steepest descent merupakan metode yang paling mendasar untuk
pengoptimuman tak berkendala dan metode iteratif untuk memperoleh solusi
pendekatan dari masalah awal. Hasil percobaan menunjukkan bahwa hasil iterasi
tidak hanya dipengaruhi oleh banyaknya variabel yang digunakan dan besarnya
toleransi, namun juga dipengaruhi oleh nilai fungsi. Karena pada setiap iterasi
terdapat penurunan nilai fungsi objektif.
DAFTAR PUSTAKA
Bartle RG, Sherbert DR. 1982. Introduction to Real Analysis. Second Edition.
New York (US): John Wiley and Sons.
Griva I, Nash SG, Sofer A. 2009. Linear and Nonlinear Optimization.
Philadelphia (USA): Society for Industrial and Applied Mathematics.
Klerk E, Roos C, Terlaky T. 2005. Optimization. Netherland: Delft University of
Technology.
Luenberger DG, Ye Y. 2008. Linear and Nonlinear Programming. Ed ke-3. New
York (US): Springer.
Sun W, Yuan YX. 2006. Optimization Theory and Methods. New York (US):
Springer.
Varberg, Purcell, Rigdon. 2010. Kalkulus. Ed ke-9. Jakarta (IN): Erlangga.
Terjemahan dari: Calculus Ninth Edition.
Winston WL. 2004. Operations Research Applications and Algorithms. Ed ke-4.
New York (US): Duxbury.
Wungguli D. 2015. Metode Steepest Descent dengan Ukuran Langkah Baru untuk
Pengoptimuman Nirkendala [tesis]. Bogor (ID): Institut Pertanian Bogor.
13
Lampiran 1 Sintaks metode steepest descent untuk fungsi dua variabel
14
Lampiran 2 Tampilan Android hasil untuk fungsi dua variabel metode steepest
descent dengan toleransi 0.1
15
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 28 Mei 1993 sebagai anak kedua
dari dua bersaudara, dari pasangan Maroni dan Masruroh. Tahun 2011 penulis
lulus dari SMAN 82 Jakarta dan pada tahun yang sama penulis lulus seleksi
masuk Institut Pertanian Bogor (IPB) melalui jalur Ujian Talenta Masuk (UTM)
IPB dan diterima di Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam.
Selama masa perkuliahan, penulis aktif pada lembaga kemahasiswaan,
yaitu staf Departemen Infokom Gumatika IPB periode 2012/2013 dan periode
2013/2014, dan beberapa kegiatan kepanitiaan, antara lain bendahara kegiatan
MPD Matematika IPB tahun 2013, staf Divisi Acara kegiatan SPIRIT FMIPA IPB
tahun 2013, staf Divisi Pubmaslo kegiatan IPB Mathematics Challenge tahun
2013, staf Divisi DDD kegiatan Math Camp tahun 2013, staf Divisi DDD
kegiatan Matematika Ria tahun 2014, dan staf Divisi Medis kegiatan MPD
Matematika IPB tahun 2014.
FUNGSI DAN PENERAPANNYA MENGGUNAKAN
APLIKASI ANDROID
ALFI AINI
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2016
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Metode Steepest
Descent dalam Pengoptimuman Fungsi dan Penerapannya Menggunakan Aplikasi
Android adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan
belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber
informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak
diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam
Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Januari 2016
Alfi Aini
NIM G54110067
ABSTRAK
ALFI AINI. Metode Steepest Descent dalam Pengoptimuman Fungsi dan
Penerapannya Menggunakan Aplikasi Android. Dibimbing oleh BIB PARUHUM
SILALAHI dan SISWANDI.
Pengoptimuman bertujuan mencari nilai minimum atau maksimum dari
suatu fungsi bernilai real. Dari segi fungsinya, pengoptimuman dapat dibedakan
menjadi pengoptimuman linear dan pengoptimuman nonlinear. Sedangkan dari
segi bentuknya, pengoptimuman dikelompokkan menjadi pengoptimuman
berkendala dan pengoptimuman tak berkendala. Untuk menyelesaikan
permasalahan pengoptimuman tak berkendala, khususnya untuk fungsi nonlinear,
dapat digunakan metode steepest descent. Metode ini adalah metode iteratif untuk
memperoleh solusi pendekatan dari masalah awal. Karya ilmiah ini mengkaji
metode steepest descent dan kemudian menerapkannya dalam aplikasi Android
Studio 1.0.1 dengan mencari titik minimum dari fungsi kuadratik dengan
konstanta tertentu. Dalam karya ilmiah ini diperoleh kesimpulan bahwa hasil
iterasi tidak hanya dipengaruhi oleh banyaknya variabel yang digunakan dan
besarnya toleransi, namun juga dipengaruhi oleh nilai fungsi.
Kata kunci: Android studio, Metode steepest descent, Pengoptimuman
ABSTRACT
ALFI AINI. Steepest Descent Method in Function Optimization and Its
Implementation Using Android. Supervised by BIB PARUHUM SILALAHI and
SISWANDI .
Optimization is performed for searching the minimum or maximum value of
a real function. Based on its function type, optimization can be distinguished into
linear and nonlinear optimizations. While based on its formulation, it can be
classified as constrained and unconstrained optimizations. To solve unconstrained
optimization problem, especially for nonlinear function, steepest descent method
can be used. This method is an iterative method which determines the
approximate solution from the initial problem. On this work, steepest descent
method is studied and implemented on Android Studio 1.0.1 by determining the
minimum point of a quadratic function with particular constant. It is concluded
that the iteration result does not only depend on the amount of variables and the
range of tolerable error used, but also the value of the function.
Keywords: Android studio, Optimization, Steepest descent method
METODE STEEPEST DESCENT DALAM PENGOPTIMUMAN
FUNGSI DAN PENERAPANNYA MENGGUNAKAN
APLIKASI ANDROID
ALFI AINI
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2016
Judul Skripsi : Metode Steepest Descent dalam Pengoptimuman Fungsi dan
Penerapannya Menggunakan Aplikasi Android
Nama
: Alfi Aini
NIM
: G54110067
Disetujui oleh
Dr Ir Bib Paruhum Silalahi, MKom
Pembimbing I
Diketahui oleh
Dr Toni Bakhtiar, MSc
Ketua Departemen
Tanggal Lulus:
Drs Siswandi, MSi
Pembimbing II
PRAKATA
Puji dan syukur saya panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas
segala nikmat, rahmat, karunia, dan pertolongan-Nya sehingga karya ilmiah ini
berhasil diselesaikan. Judul karya ilmiah ini adalah Metode Steepest Descent
dalam Pengoptimuman Fungsi dan Penerapannya Menggunakan Aplikasi
Android.
Terima kasih saya ucapkan kepada keluarga tercinta Ibunda Masruroh dan
Ayah Maroni, serta kakak saya Nadia Nur Rahmah atas segala doa, dukungan, dan
kasih sayangnya selama menulis karya ilmiah ini. Ungkapan terima kasih juga
saya ucapkan kepada Bapak Dr Ir Bib Paruhum Silalahi, MKom dan Bapak Drs
Siswandi, MSi selaku dosen pembimbing yang telah banyak memberi saran,
kesabaran, dan ilmu, serta Bapak Drs Prapto Tri Supriyo, MKom selaku dosen
penguji yang telah banyak memberi saran, serta kepada seluruh staf Departemen
Matematika. Tidak lupa saya mengucapkan terima kasih untuk para sahabat Intan
Fitria Sari, Riefdah Imro’atul Azizah, Imam Shalahuddin, Hasannudin, Resty
Bangun Pratiwi, Sifa Lusiana, Andini Qashrina Darmanagari, Riski Okfiana,
Hanna Rifatika, Lidya Yolanda, Atikah Nurbaiti, teman-teman seperjuangan
Matematika 48, kakak-kakak Matematika 47, adik-adik Matematika 49, serta
teman-teman sekalian di luar Departemen Matematika baik di dalam maupun di
luar IPB atas kritik, saran, dan doanya selama pembuatan karya ilmiah ini.
Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan
khususnya Matematika dan menjadi inspirasi bagi penelitian-penelitian
selanjutnya.
Bogor, Januari 2016
Alfi Aini
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
viii
DAFTAR GAMBAR
viii
DAFTAR LAMPIRAN
viii
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan Penelitian
1
LANDASAN TEORI
2
Fungsi
2
Pengoptimuman
2
Android Studio
2
HASIL DAN PEMBAHASAN
3
Hasil Numerik
6
Contoh Penghitungan Metode Steepest Descent
8
SIMPULAN
12
DAFTAR PUSTAKA
12
LAMPIRAN
13
RIWAYAT HIDUP
15
DAFTAR TABEL
1 Analisis perbedaan banyak iterasi dan besar toleransi metode steepest
descent untuk fungsi variabel
8
DAFTAR GAMBAR
1
2
3
4
5
Grafik hasil untuk fungsi dua variabel
Grafik hasil untuk fungsi tiga variabel
Grafik hasil untuk fungsi empat variabel
Grafik hasil untuk fungsi lima variabel
Hasil metode steepest descent
6
7
7
7
11
DAFTAR LAMPIRAN
1 Sintaks metode steepest descent untuk fungsi dua variabel
2 Tampilan Android hasil untuk fungsi dua variabel metode steepest
descent dengan toleransi 0.1
13
14
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Teknologi merupakan salah satu hal yang tidak mudah dilepaskan dari
kehidupan manusia. Tanpa adanya teknologi, manusia tentunya akan sulit untuk
melakukan komunikasi dan menyampaikan informasi. Salah satu teknologi yang
saat ini sedang berkembang pesat di dunia adalah Android. Android merupakan
suatu sistem operasi yang berbasis mobile untuk telepon seluler (handphone).
Permasalahan mengenai pengoptimuman adalah mencari penyelesaian
terbaik dari suatu masalah. Dari segi fungsinya, pengoptimuman dapat dibedakan
menjadi pengoptimuman linear dan pengoptimuman nonlinear. Sedangkan dari
segi bentuknya, pengoptimuman dikelompokkan menjadi pengoptimuman
berkendala dan pengoptimuman tak berkendala. Pengoptimuman berkendala
adalah pengoptimuman suatu fungsi dengan syarat-syarat tertentu yang
membatasinya.
Sebaliknya,
pengoptimuman
tak
berkendala
adalah
pengoptimuman tanpa adanya syarat-syarat tertentu yang membatasinya (Griva et
al. 2009).
Pada umumnya, metode pengoptimuman dapat dilakukan secara analitik
maupun secara numerik. Namun, untuk kasus pengoptimuman tak berkendala
dengan fungsi nonlinear multivariabel terdapat persoalan yang sulit diselesaikan
dengan metode analitik, sehingga diperlukan metode numerik untuk
mempermudah menyelesaikan permasalahan tersebut. Metode pengoptimuman
secara numerik umumnya bersifat iteratif, yaitu dimulai dari titik awal
yang
sudah ditentukan kemudian bergerak ke titik
hingga titik , yaitu titik yang
mendekati nilai optimal. Salah satu klasifikasi metode numerik adalah metode
dengan menggunakan gradien. Untuk metode dengan menggunakan gradien ini
diperlukan syarat fungsi terturunkan. Contoh metode dengan menggunakan
gradien, yaitu metode steepest descent, metode conjugate gradien, dan metode
Newton (Klerk et al. 2005).
Metode steepest descent merupakan salah satu metode klasik untuk
menyelesaikan masalah pengoptimuman tak berkendala fungsi banyak variabel.
Untuk beberapa kasus kekonvergenan dari metode steepest descent menuju ke
solusi optimal lambat, hal ini terjadi karena jalur zig-zag dalam menuju solusi
optimal. Metode ini merupakan prosedur paling mendasar untuk meminimumkan
fungsi terdiferensialkan beberapa variabel (Sun dan Yuan 2006).
Pembahasan karya ilmiah ini difokuskan pada salah satu bentuk persamaan
nonlinear tak berkendala khususnya untuk menyelesaikan fungsi kuadratik dengan
metode steepest descent dan penerapannya menggunakan aplikasi android.
Tujuan Penelitian
Tujuan dari karya ilmiah ini adalah mengkaji metode steepest descent
yang akan diterapkan dalam aplikasi Android Studio 1.0.1 dengan mencari titik
minimum dari persamaan kuadratik dengan konstanta tertentu. Selanjutnya model
diimplementasikan dengan menggunakan smartphone.
2
LANDASAN TEORI
Fungsi
Definisi 1 (Fungsi)
Fungsi
adalah aturan yang memadankan setiap
secara
tepat satu elemen yang disebut
, di mana dan adalah himpunan
bilangan real (Bartle dan Sherbert 1982).
Definisi 2 (Fungsi Kuadratik)
Suatu fungsi dikatakan fungsi kuadratik dalam
dituliskan sebagai
dengan
, vektor real berukuran ,
matriks berukuran
dengan elemen
Yinyu 2008).
variabel jika dapat
matriks real berukuran
, dan
. (Luenberger dan Ye
Definisi 3 (Fungsi Linear)
Suatu fungsi
dengan variabel
adalah suatu fungsi linear jika dan hanya jika untuk suatu himpunan konstanta
, dapat ditulis sebagai (
)
(Winston 2004).
Sebagai contoh, (
)
merupakan fungsi linear,
sementara (
)
bukan fungsi linear.
Pengoptimuman
Pengoptimuman adalah proses untuk mendapatkan keputusan terbaik yang
memberikan nilai maksimum atau minimum dari suatu fungsi dengan cara
penentuan solusi yang tepat. Secara umum, ada dua jenis pengoptimuman yang
sering dihadapi, yaitu pengoptimuman linear dan pengoptimuman nonlinear.
Kegiatan pengoptimuman selalu identik dengan nilai maksimum atau
minimum
yang
terbaik.
Pengoptimuman
yang
baik
seharusnya
mempertimbangkan juga metode yang akan digunakan serta pemrograman yang
tepat dalam aspek komputasi (Wungguli 2015).
Android Studio
Android Studio adalah suatu sistem dari pengembangan aplikasi di
Android. Ini tersedia untuk didownload pada Windows, Mac OS X, dan Linux.
Android Studio saat ini masih dalam tahap awal pengembangan. Beberapa fitur
belum lengkap atau belum dibuat. Namun, dalam keadaan ini sudah mampu untuk
membuat sebuah aplikasi berbasis Android yang berjalan dengan sempurna pada
perangkat Android.
3
HASIL DAN PEMBAHASAN
Metode line search descent (metode iteratif) yang menggunakan vektor
gradien
(turunan parsial orde pertama dari fungsi ) untuk menentukan
arah pencarian di setiap iterasi, dinamakan metode line search descent orde
pertama. Salah satu contoh metode ini adalah metode steepest descent.
Metode steepest descent merupakan salah satu dari yang paling sederhana
dan metode peminimuman yang paling mendasar untuk pengoptimuman tak
berkendala (sering disebut sebagai metode gradien). Metode ini bergerak dengan
langkah-langkah yang saling tegak lurus. Tepatnya, jika
adalah barisan
steepest descent untuk fungsi
, maka untuk setiap bilangan asli
, vektor
yang menghubungkan
dengan
adalah tegak lurus dengan vektor yang
menghubungkan dengan
.
Metode steepest descent merupakan metode iteratif untuk memperoleh
solusi pendekatan dari masalah awal. Algoritme yang lebih maju sering
termotivasi oleh upaya untuk memodifikasi teknik dasar steepest descent sehingga
algoritme baru akan memiliki sifat konvergensi yang unggul. Teknik ini tidak
hanya paling sering digunakan dalam penyelesaian masalah baru, tetapi juga
standar acuan terhadap teknik lain yang diukur. Metode steepest descent selalu
konvergen. Artinya, secara teori metode ini tidak akan berhenti atau akan terus
melakukan iterasi sampai kriteria penghentian terpenuhi (Luenberger dan Ye
Yinyu 2008).
Metode steepest descent adalah metode gradien sederhana untuk
pengoptimuman tak berkendala:
di mana
adalah fungsi terdiferensialkan secara kontinu di
dapat berupa fungsi nonlinear.
Masalah model kuadrat dinyatakan sebagai berikut:
dengan
adalah symmetric positive definite (SPD) dan
ini setara dengan memecahkan sistem linear:
. Secara umum
. Masalah
Karena diandaikan adalah matriks simetrik yang definit positif, masalah
tersebut memiliki solusi yang unik yang diberikan oleh
Metode
steepest descent yang dikenal juga dengan metode gradien adalah metode yang
mencari penurunan tercepat dari:
‖
‖‖ ‖
yang terjadi pada:
dan
Berikut bentuk iterasi gradien:
4
Untuk beberapa kasus, kekonvergenan dari metode steepest descent ke
solusi optimal lambat, hal ini karena jalur zig-zag dalam menuju solusi optimal.
adalah arah dengan penurunan tercepat, tetapi secara
Secara intuitif arah
global tidak berarti menuju titik minimum lokal yang tercepat.
Arah pencarian dalam metode ini berbanding terbalik dengan arah gradien,
yaitu dengan arah menurun tercuram (steepest descent), sehingga metode ini
diberi nama steepest descent. Arah curam menurun yang diterapkan dalam metode
ini merupakan arah terbaik dalam artian metode ini dapat mengurangi fungsi
dapat diperoleh dengan pencarian exact
objektif sebanyak mungkin. Stepsize
line, yaitu:
diperoleh:
Untuk mencari minimum dari
(
(
)
)
Ini berarti gradien dari titik awal menuju titik selanjutnya saling tegak
lurus (ortogonal) pada metode steepest descent. Dari persamaan di atas, didapat
pilihan stepsize optimal
sebagai berikut:
(1)
di mana
di
dan
adalah vektor gradien dari
dan
adalah stepsize (ukuran langkah).
(
)
Pencarian arah adalah hal yang penting dalam metode steepest descent,
dan pencarian ini yang membedakan antara algoritme yang satu dengan yang
lainnya. Begitu pencarian arah telah ditentukan maka tahap selanjutnya adalah
pencarian stepsize (line search, step search). Berikut ini algoritme metode
steepest descent:
Step 1. Batas toleransi
. Diberikan titik awal
, dengan
.
Step 2. Arah pencarian
.
yang meminimumkan
, sehingga
Step 3. Tentukan stepsize
.
Step 4. Tentukan
.
, maka selanjutnya
, kembali
, stop. Jika ‖ ‖
Step 5. Jika ‖ ‖
ke step 2.
(Sun dan Yuan 2006).
5
Lema 1 (Fungsi Error)
Error adalah selisih nilai dari solusi numerik dan analitik. Semakin kecil
error, maka semakin teliti solusi numerik yang didapatkan. Untuk menentukan
besarnya error dalam metode steepest descent salah satunya adalah dengan
menggunakan rumus sebagai berikut:
{
dengan
adalah error pada iterasi ke- ,
definit positif dan berukuran
, dan
adalah optimum.
Bukti:
Perhatikan bahwa
Dari fungsi
, dimana
sehingga
dan
adalah matriks simetrik yang
, dengan
dan
dan bentuk
, kemudian dapat dibuktikan sebagai
berikut:
di mana
}
.
6
Secara eksplisit, gradien fungsi
dapat
diperoleh dari
. Metode steepest descent dapat diekspresikan
seperti pada persamaan (1), dimana
dan
meminimumkan
. Namun, dalam kasus khusus ini kita dapat menentukan nilai
secara eksplisit. Kita peroleh dari definisi
yang dapat diperoleh dari pendiferensialan , dimana
minimal pada
maka bentuk eksplisit metode steepest descent diperoleh
di mana
Dengan
.
, didapatkan
Hasil Numerik
Fungsi yang digunakan adalah fungsi kuadratik sempurna, yaitu fungsi yang
dibangkitkan secara acak dengan ketentuan sebagai berikut:
dengan
dan
adalah matriks diagonal di mana nilai diagonalnya
diperoleh secara acak dengan interval [1,20].
Banyak variabel yang digunakan adalah 2, 3, 4, dan 5. Vektor adalah
random integer dengan batas [-5,5]. Dimulai dari titik awal
dan setiap
variabel diberikan toleransi
.
Iterasi
Untuk fungsi dengan dua variabel didapatkan nilai numerik sebagai berikut:
(
)
25
20
15
10
5
0
Toleransi
7
Gambar 1 Grafik hasil untuk fungsi dua variabel
Untuk fungsi dengan tiga variabel didapatkan nilai numerik sebagai berikut:
(
)
50
Iterasi
40
30
20
10
0
Toleransi
Gambar 2 Grafik hasil untuk fungsi tiga variabel
Iterasi
Untuk fungsi dengan empat variabel didapatkan nilai numerik sebagai berikut:
(
)
120
100
80
60
40
20
0
Toleransi
Gambar 3 Grafik hasil untuk fungsi empat variabel
Untuk fungsi dengan lima variabel didapatkan nilai numerik sebagai berikut:
(
)
200
Iterasi
150
100
50
0
Toleransi
8
Gambar 4 Grafik hasil untuk fungsi lima variabel
Tabel 1 Analisis perbedaan banyak iterasi dan besar toleransi metode steepest
descent untuk fungsi n variabel
Toleransi
Banyak Iterasi untuk n Variabel
3
4
2
5
1E-10
2.5E-09
0.00001
0.000025
0.1
0.25
22
19
12
11
4
3
41
36
23
21
8
7
100
87
55
51
18
15
152
132
83
77
28
22
Titik
Minimum
(-2.9999999999,
0.9999999999)
(-2.9999999999,
1, 2)
(-2.9999999999,
0.9999999999, 2,
2.9999999999)
(-2.9999999999,
0.9999999999, 2, 3,
-3.9999999999)
Contoh Penghitungan Metode Steepest Descent
Diketahui: (
)
Penyelesaian:
Gradien dari
⁄
[
Matriks Hesse
Cek kedefinitan
Karena
Iterasi 1:
dan
⁄
]
[
]
[ ]
, maka
definit positif.
9
Jadi,
‖
‖
Jadi,
[
]
√
belum memenuhi kriteria penghentian.
Iterasi 2:
Jadi,
‖
Jadi,
[
]
‖ √
belum memenuhi kriteria penghentian.
10
Iterasi 3:
Jadi,
‖
Jadi,
[
]
‖ √
belum memenuhi kriteria penghentian.
Iterasi 4:
11
Jadi,
[
]
‖ √
‖
Jadi, memenuhi kriteria penghentian.
STOP.
Gambar 5 Hasil metode steepest descent
Gambar 5 menunjukkan bahwa dalam menuju solusi optimal, metode
steepest descent mengambil arah tegak lurus (ortogonal) seperti yang telah
dijelaskan pada subbab metode steepest descent.
12
SIMPULAN
Metode steepest descent merupakan metode yang paling mendasar untuk
pengoptimuman tak berkendala dan metode iteratif untuk memperoleh solusi
pendekatan dari masalah awal. Hasil percobaan menunjukkan bahwa hasil iterasi
tidak hanya dipengaruhi oleh banyaknya variabel yang digunakan dan besarnya
toleransi, namun juga dipengaruhi oleh nilai fungsi. Karena pada setiap iterasi
terdapat penurunan nilai fungsi objektif.
DAFTAR PUSTAKA
Bartle RG, Sherbert DR. 1982. Introduction to Real Analysis. Second Edition.
New York (US): John Wiley and Sons.
Griva I, Nash SG, Sofer A. 2009. Linear and Nonlinear Optimization.
Philadelphia (USA): Society for Industrial and Applied Mathematics.
Klerk E, Roos C, Terlaky T. 2005. Optimization. Netherland: Delft University of
Technology.
Luenberger DG, Ye Y. 2008. Linear and Nonlinear Programming. Ed ke-3. New
York (US): Springer.
Sun W, Yuan YX. 2006. Optimization Theory and Methods. New York (US):
Springer.
Varberg, Purcell, Rigdon. 2010. Kalkulus. Ed ke-9. Jakarta (IN): Erlangga.
Terjemahan dari: Calculus Ninth Edition.
Winston WL. 2004. Operations Research Applications and Algorithms. Ed ke-4.
New York (US): Duxbury.
Wungguli D. 2015. Metode Steepest Descent dengan Ukuran Langkah Baru untuk
Pengoptimuman Nirkendala [tesis]. Bogor (ID): Institut Pertanian Bogor.
13
Lampiran 1 Sintaks metode steepest descent untuk fungsi dua variabel
14
Lampiran 2 Tampilan Android hasil untuk fungsi dua variabel metode steepest
descent dengan toleransi 0.1
15
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 28 Mei 1993 sebagai anak kedua
dari dua bersaudara, dari pasangan Maroni dan Masruroh. Tahun 2011 penulis
lulus dari SMAN 82 Jakarta dan pada tahun yang sama penulis lulus seleksi
masuk Institut Pertanian Bogor (IPB) melalui jalur Ujian Talenta Masuk (UTM)
IPB dan diterima di Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam.
Selama masa perkuliahan, penulis aktif pada lembaga kemahasiswaan,
yaitu staf Departemen Infokom Gumatika IPB periode 2012/2013 dan periode
2013/2014, dan beberapa kegiatan kepanitiaan, antara lain bendahara kegiatan
MPD Matematika IPB tahun 2013, staf Divisi Acara kegiatan SPIRIT FMIPA IPB
tahun 2013, staf Divisi Pubmaslo kegiatan IPB Mathematics Challenge tahun
2013, staf Divisi DDD kegiatan Math Camp tahun 2013, staf Divisi DDD
kegiatan Matematika Ria tahun 2014, dan staf Divisi Medis kegiatan MPD
Matematika IPB tahun 2014.