Perbandingan Waktu Eksekusi Metode Simpleks dan Metode Titik Interior dalam Menyelesaikan Masalah Optimasi Linear Menggunakan Mathematica
PERBANDINGAN WAKTU EKSEKUSI METODE SIMPLEKS DAN METODE
TITIK INTERIOR DALAM MENYELESAIKAN MASALAH
OPTIMASI LINEAR MENGGUNAKAN MATHEMATICA
ROCHMAT FERRY SANTO
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Perbandingan Waktu
Eksekusi Metode Simpleks dan Metode Titik Interior dalam Menyelesaikan
Masalah Optimasi Linear Menggunakan Mathematica adalah benar karya saya
dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun
kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip
dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah
disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir
disertasi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Mei 2014
Rochmat Ferry Santo
NIM G54090063
ABSTRAK
ROCHMAT FERRY SANTO. Perbandingan Waktu Eksekusi Metode Simpleks
dan Metode Titik Interior dalam Menyelesaikan Masalah Optimasi Linear
Menggunakan Mathematica. Dibimbing oleh BIB PARUHUM SILALAHI dan
PRAPTO TRI SUPRIYO.
Terdapat dua metode yang umum digunakan untuk menyelesaikan masalah
optimasi linear, yaitu metode simpleks dan metode titik interior. Pada metode
simpleks untuk mencari solusi optimal, algoritme berpindah dari verteks ke
verteks. Sementara itu pada metode titik interior, algoritme bergerak di dalam
interior daerah fisibel dari masalah optimasi linear. Pada karya ilmiah ini,
dilakukan perbandingan waktu eksekusi metode simpleks dan metode titik
interior dalam menyelesaikan masalah optimasi linear dengan menggunakan
sebuah perangkat lunak matematika, yaitu Mathematica. Ukuran dari masalah
optimasi linear dipilih bervariasi dari ukuran yang relatif kecil ke ukuran yang
relatif besar. Hasil utama yang diperoleh adalah metode titik interior lebih cepat
dibandingkan metode simpleks untuk masalah-masalah optimasi linear yang
berukuran besar.
Kata kunci: metode simpleks, metode titik interior, optimasi linear, waktu
eksekusi
ABSTRACT
ROCHMAT FERRY SANTO. Execution Time Comparation Between Simplex
Method and Interior Point Method in Solving Linear Optimization Problems
Using Mathematica. Supervised by BIB PARUHUM SILALAHI and PRAPTO
TRI SUPRIYO.
There are two famous methods for solving linear optimization problems,
namely simplex method and interior point method. In the simplex method, to find
an optimal solution, the algorithm moves from vertex to vertex. While in the
interior point method, the algorithm moves in the interior of the feasible region of
the problem. In this paper we compare the execution time of the simplex method
and the interior point method in solving several linear optimization problems by
using a mathematical software, that is Mathematica. The size of problems are
chosen from small to relatively big. The main result is that the interior point
method is faster than the simplex method for big size problems.
Keywords: simplex method, interior point method, linear optimization, execution
time
PERBANDINGAN WAKTU EKSEKUSI METODE SIMPLEKS DAN METODE
TITIK INTERIOR DALAM MENYELESAIKAN MASALAH
OPTIMASI LINEAR MENGGUNAKAN MATHEMATICA
ROCHMAT FERRY SANTO
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
Judul Skripsi : Perbandingan Waktu Eksekusi Metode Simpleks dan Metode Titik
Interior dalam Menyelesaikan Masalah Optimasi Linear
Menggunakan Mathematica
Nama
: Rochmat Ferry Santo
NIM
: G54090063
Disetujui oleh
Dr Ir Bib Paruhum Silalahi, MKom
Pembimbing I
Drs Prapto Tri Supriyo, MKom
Pembimbing II
Diketahui oleh
Dr Toni Bakhtiar, MSc
Ketua Departemen
Tanggal Lulus:
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas
segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang
dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Februari 2013 ini ialah
optimasi linear, dengan judul Perbandingan Waktu Eksekusi Metode Simpleks
dan Metode Titik Interior dalam Menyelesaikan Masalah Optimasi Linear
Menggunakan Mathematica.
Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Dr Ir Bib Paruhum Silalahi,
MKom dan Bapak Drs Prapto Tri Supriyo, MKom selaku pembimbing, serta
Bapak Ir Ngakan Komang Kutha Ardana, MSc yang telah banyak memberi saran,
motivasi, dan bimbingan dalam penulisan karya ilmiah ini, serta kepada seluruh
staf Departemen Matematika. Ungkapan terima kasih dan penghargaan
disampaikan kepada Papah, Mamah, Pa Raden, Mamah Ray, serta seluruh
keluarga, atas segala doa dan kasih sayangnya. Di samping itu, ucapan terima
kasih juga penulis berikan kepada Syukrio Idaman, Rudy Hariono, Qowiyyul
Siregar, Hidayattul Kamil, seluruh mahasiswa Departemen Matematika Angkatan
45, 46, 47, dan 48 serta teman-teman sekalian di luar Departemen Matematika
baik di dalam Institut Pertanian Bogor maupun di luar Institut Pertanian Bogor
atas kritik, saran dan doanya selama pembuatan karya ilmiah ini.
Penulis menyadari bahwa dalam kaya ilmiah ini masih jauh dari
kesempurnaan. Kritik dan saran berupa masukan yang bersifat membangun sangat
diharapkan penulis demi penyempurnaan di masa mendatang. Semoga karya
ilmiah ini dapat memberikan informasi yang bermanfaat bagi pembaca.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, Mei 2014
Rochmat Ferry Santo
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
vi
DAFTAR GAMBAR
vi
DAFTAR LAMPIRAN
vi
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan Penelitian
1
TINJAUAN PUSTAKA
2
Optimasi Linear
2
Bentuk Standar Primal dan Bentuk Standar Dual
2
Metode Pengali Lagrange
3
Metode Newton
3
Wolfram Mathematica
4
HASIL DAN PEMBAHASAN
Metode Simpleks
5
5
Metode Titik Interior
10
Studi Kasus
16
SIMPULAN
22
DAFTAR PUSTAKA
22
LAMPIRAN
24
RIWAYAT HIDUP
41
DAFTAR TABEL
1
2
3
4
Ilustrasi tabulasi simpleks
Tabulasi simpleks
Tabulasi simpleks kolom kunci dan baris kunci
Waktu eksekusi metode simpleks dan metode titik interior dengan lima
kali pengulangan
5 Waktu eksekusi rata-rata metode simpleks dan metode titik interior
serta perbandingan waktu eksekusi metode simpleks : metode titik
interior
8
9
10
19
21
DAFTAR GAMBAR
1 Perbandingan waktu eksekusi metode simpleks : metode titik interior
21
DAFTAR LAMPIRAN
1
2
3
4
5
6
7
Studi kasus 4 masalah OL dengan 50 kendala dan 50 variabel
Studi kasus 5 masalah OL dengan 100 kendala dan 100 variabel
Studi kasus 6 masalah OL dengan 100 kendala dan 200 variabel
Studi kasus 7 masalah OL dengan 200 kendala dan 200 variabel
Studi kasus 8 masalah OL dengan 500 kendala dan 500 variabel
Studi kasus 9 masalah OL dengan 500 kendala dan 1000 variabel
Studi kasus 10 masalah OL dengan 100 kendala dan 200000 variabel
24
25
27
29
31
35
40
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Optimasi adalah bagian dari matematika terapan yang mempelajari masalahmasalah dengan tujuan mencari nilai minimum atau maksimum suatu fungsi
terhadap kendala-kendala yang ada. Optimasi dalam matematika mengacu pada
pemilihan elemen terbaik dari beberapa himpunan alternatif yang tersedia. Bagian
dari optimasi adalah optimasi linear (linear optimization) di mana fungsi tujuan
dinyatakan dalam fungsi linear dan kendala-kendala dinyatakan dalam bentuk
persamaan/pertidaksamaan linear. Optimasi Linear (OL) muncul menjadi model
matematika setelah perang dunia ke-2, yaitu ketika Dantzig memaparkan metode
simpleks untuk menyelesaikan masalah optimasi linear. Untuk memperoleh solusi
optimal, metode simpleks bergerak dari verteks ke verteks. Metode ini dirancang
sedemikian rupa yang dalam pergerakannya dari satu verteks ke verteks, nilai
fungsi tujuan berubah secara monoton menuju nilai optimal.
Terobosan yang sangat efektif untuk menyelesaikan masalah OL terjadi
pada tahun 1984, ketika Karmarkar mengusulkan menggunakan metode titik
interior untuk menyelesaikan masalah OL dan memulai revolusi dalam bidang
optimasi. Tidak seperti metode simpleks yang bergerak dari verteks ke verteks,
metode titik interior bergerak di dalam interior dari domain secara monoton
menuju solusi optimal (Silalahi 2011).
Setelah periode 1960-an dengan digunakannya komputer, optimasi linear
tersebut dapat diformulasikan dalam perangkat lunak komputer yang menjadikan
optimasi linear sebagai alat canggih dalam optimasi untuk memperoleh
keputusan-keputusan yang optimum dengan cepat dan tepat. Perangkat lunak
komputasi yang dapat digunakan untuk menyelesaikan optimasi linear dalam
sistem persamaan linear antara lain Mathematica, Matlab, Maple, dan Mathcad.
Tujuan Penelitian
Penulisan karya ilmiah ini bertujuan untuk menunjukkan perbandingan
waktu eksekusi antara metode simpleks dan metode titik interior dalam
menyelesaikan masalah optimasi linear (OL) yang dilakukan terhadap beberapa
studi kasus permasalahan optimasi linear yang bervariasi dengan memuat fungsi
tujuan dan kendala yang dimulai dari ukuran sederhana sampai berukuran besar,
dengan menggunakan perangkat lunak Mathematica.
TINJAUAN PUSTAKA
Optimasi Linear
Optimasi linear adalah proses untuk mendapatkan hasil yang optimum.
Model optimasi linear (OL) meliputi pengoptimuman suatu fungsi linear terhadap
kendala linear (Nash dan Sofer 1996). Optimasi linear khusus mempelajari hal-hal
yang berkaitan dengan meminimumkan atau memaksimumkan fungsi-fungsi
linear, dengan kendala yang juga berbentuk linear (berupa persamaan atau
pertidaksamaan). Dikatakan sebuah fungsi linear, jika suatu fungsi f dalam
variabel-variabel �1 , �2 , … , �� adalah suatu fungsi linear jika dan hanya jika
untuk suatu himpunan konstanta �1 , �2 , … , �� , fungsi f dapat ditulis sebagai
�( �1 , �2 , … , �� ) = �1 �1 + �2 �2 + … + �� �� = � (Winston 2004). Misalkan
contoh sebagai berikut: �( �1 , �2 , �3 ) = 2�1 + �2 + �3 merupakan fungsi linear,
�( �1 , �2 ) = �1 2 + �2 bukan fungsi linear. Suatu persamaan linear dalam n
variabel adalah persamaan untuk sembarang fungsi linear f dan sembarang
bilangan b persamaan �( �1 , �2 , … , �� ) = � merupakan persamaan linear. Untuk
sembarang fungsi linear f dan sembarang bilangan b suatu pertidaksamaan
�( �1 , �2 , … , �� ) ≤ � dan �( �1 , �2 , … , �� ) ≥ � adalah pertidaksamaan linear.
Suatu optimasi linear dikatakan berbentuk standar jika dapat ditulis sebagai
berikut:
minimumkan/maksimumkan: z = cTx
terhadap
�� = �,
x ≥ 0,
dengan x dan c berupa vektor berukuran � × 1 , vektor b berukuran � × 1 ,
sedangkan � berupa matriks berukuran m × n, yang disebut juga sebagai matriks
kendala (Nash & Sofer 1996).
Dalam masalah maksimisasi, solusi optimal pada optimasi linear adalah
suatu titik pada daerah fisibel dengan nilai fungsi objektif paling besar. Untuk
minimisasi, solusi optimal suatu optimasi linear adalah suatu titik dalam daerah
fisibel dengan nilai fungsi objektif terkecil (Winston 2004). Daerah fisibel suatu
optimasi linear adalah himpunan semua titik yang memenuhi semua kendala dan
pembatasan tanda pada optimasi linear tersebut (Winston 2004).
P
Bentuk Standar Primal dan Bentuk Standar Dual
Masalah optimasi linear dalam bentuk standar diberikan sebagai berikut:
{� � � ∶ �� = �, � ≥ �}
min
(�)
dengan vektor �, � ∈ ℝ� , � ∈ ℝ� , serta � ∈ ℝ�×� adalah matriks berpangkat
baris penuh. Masalah (�) disebut masalah primal.
Masalah dual dari masalah primal (�) diberikan sebagai berikut:
maks {�� � ∶ �� � + � = �, � ≥ �} (�)
dengan � ∈ ℝ� dan � ∈ ℝ� . Masalah (�) disebut masalah dual.
Daerah fisibel dari masalah (�) didefinisikan sebagai berikut:
� ={� ∶ �� = �, � ≥ �}
3
sedangkan daerah fisibel dari (�) didefinisikan sebagai berikut:
� = {(�, �): �� � + � = �, � ≥ �}.
Daerah interior masalah (�) didefinisikan sebagai berikut:
� 0 ={� ∶ �� = �, � > �}
sedangkan daerah interior dari masalah (�) didefinisikan sebagai berikut:
� 0 = {(�, �): �� � + � = �, � > �}
(Silalahi 2011).
Metode Pengali Lagrange
Metode pengali Lagrange adalah suatu prosedur untuk menentukan
minimum atau maksimum fungsi objektif terhadap kendala persamaan. Misalkan
diberikan masalah pengoptimuman sebagai berikut:
maks
�(�)
terhadap
�� (�) = 0, � = 1, … , �
dengan �(�) dan �� (�) adalah fungsi dari vektor � berukuran �.
Fungsi Lagrange dari masalah ini ialah
�
�(�, �) = �(�) − � �� �� (�)
�=1
dengan variabel � = (�1 , �2 , … , �� ) adalah pengali Lagrange. Syarat perlu untuk
titik stasioner dari �(�) adalah turunan parsial pertama dari fungsi Lagrange sama
dengan nol
��
= 0, � = 1, … , �
���
��
= 0, � = 1, … , �
���
(Jensen & Bard 2002).
Metode Newton
Metode Newton adalah salah satu prosedur iteratif untuk menyelesaikan
masalah taklinear. Misalkan persamaan �(�) = 0 adalah persamaan taklinear
dengan � merupakan penyelesaian dari persamaan tersebut. Fungsi � adalah
fungsi yang kontinu dan terturunkan. Pada solusi eksak � ∗ , nilai fungsi dapat
dinyatakan sebagai �(� � ) dan nilai dari fungsi turunan pertama adalah �′(� � ).
Nilai � � adalah solusi � yang diperoleh pada iterasi ke-�. Misalkan � = �(�),
turunan dapat diartikan sebagai laju perubahan � terhadap �. Andaikan � berubah
dari � � ke � �+1 maka perubahan pada � adalah ∆= � �+1 − � � . Perubahan ∆ ini
diperlukan untuk mengubah nilai fungsi � menuju nol. Selanjutnya, metode
Newton dapat diturunkan dari ekspansi deret Taylor orde pertama dari �(�) di
sekitar � � , sebagai berikut:
�′(� � )
�(� �+1 ) ≈ �(� � ) + (� �+1 − � � )
1!
sehingga
4
�(� �+1 ) ≈ �(� � ) + ∆� ′ (� � ).
Tetapkan pendekatan �(� �+1 ) sama dengan 0 sehingga didapat
−�(� � )
∆= ′ � .
� (� )
�+1
�
Titik �
= � + ∆ adalah solusi pendekatan fungsi �(�) . Jika titik awal � 0
cukup dekat dengan � ∗ maka nilai dari � � akan mendekati � ∗ dengan � → ∞.
Metode Newton dapat juga digunakan untuk mengubah bentuk suatu fungsi
taklinear menjadi bentuk fungsi linear dari fungsi multivariabel. Misalkan
persamaan �(�) = 0 adalah persamaan taklinear dengan vektor � ∗ dari persamaan
multivariabel tersebut dan matriks Jacobi J pada � � dinyatakan sebagai berikut:
��1 ��1
��1
⋯
��� ⎞
⎛��1 ��2
��2 ⎟
⎜ ��2 ��2
�(� � ) = ⎜��1 ��2 ⋯ ��� ⎟
⎜
⎟
⋮
⋱
⋮ ⎟
⎜ ⋮
��� ���
���
⋯
��� ⎠
⎝��1 ��2
kemudian dengan menggunakan deret Taylor orde pertama di sekitar titik � � dan
dengan menetapkan �(� �+1 ) = 0 diperoleh
�(� �+1 ) = �(� � ) + �(� � )� = 0
�(� � ) + �(� � )� = 0
dengan � = � �+1 − � � dan � = 0,1,2, … , � . Titik � �+1 = � � + � adalah solusi
pendekatan fungsi �(�). Jika titik � 0 cukup dekat dengan titik � ∗ maka nilai dari
� � akan mendekati � ∗ dengan � → ∞ (Jensen & Bard 2002).
Wolfram Mathematica
Mathematica merupakan suatu sistem aljabar komputer (CSA, Computer
Algebra System) yang mengintegrasikan kemampuan komputasi (simbolik,
numerik), visualisasi (grafik), bahasa pemrograman, dan pengolahan kata (word
processing) ke dalam suatu lingkungan yang mudah digunakan (Ardana 2002).
Mathematica pertama kali diperkenalkan pada tahun 1988. Pada saat ini
Mathematica merupakan salah satu aplikasi pilihan dalam pendidikan dan
penelitian, khususnya untuk melakukan komputasi matematik baik simbolik
maupun numerik, pengembangan algoritme dan aplikasi, pemodelan dan simulasi,
serta eksplorasi, analisis, dan visualisasi data.
Mathematica merupakan program aplikasi Wolfarm Research yang handal
dengan fasilitas terintegrasi lengkap untuk menyelesaikan beragam masalah
matematika yang meliputi komputasi numerik, simbolik, dan visualisasi grafik.
Mathematica dapat menyelesaikan beragam kasus komputasi matematika, mulai
dari komputasi yang paling sederhana hingga yang paling rumit dapat diselesaikan
dengan mudah, ringkas, cepat, dan tepat. Mathematica memiliki fasilitas fungsi
(built in Mathematics functions) yang menjadikan sintaks programnya dapat
dinyatakan dalam satu atau beberapa baris sederhana .
Dilengkapi dengan fasilitas terintegrasi Mathematica mampu mengerjakan
beragam perhitungan matematika, salah satunya adalah menyelesaikan masalah
5
optimasi linear (linear optimization). Mathematica dapat dengan mudah
menyelesaikan masalah optimasi linear untuk mencari nilai optimum dari suatu
fungsi objektif dan kedala yang berbentuk linear dalam masalah optimasi linear
yang berkaitan dengan meminimumkan atau memaksimumkan.
Mathematica mempunyai beragam algoritme untuk menyelesaikan suatu
masalah optimasi dengan variabel real yang dapat diformulasikan dalam bentuk
fungsi
Mathematica,
seperti:
LinearProgramming,
FindMinimum,
FindMaximum, Nminimize, Nmaximize, dan Maximize.
Sintaks LinearProgramming memberikan perintah untuk mengakses ke
penyelesaian optimasi linear, dengan sangat mudah menyesuaikan untuk
menentukan berbagai metode yang akan digunakan, dan sangat efisien untuk
menyelesaikan masalah optimasi linear yang berukuran besar.
Bentuk umum untuk optimasi linear pada Mathematica, yaitu:
1.
LinearProgramming[c, m, b]
Implementasi dari sintaks di atas ialah untuk menemukan suatu nilai vektor
x yang meminimumkan jumlah nilai �� pada fungsi objektif, dengan kendala
�� ≥ � dan � ≥ �. Di mana c adalah konstanta dari fungsi objektif, m
adalah konstanta (nilai ruas kiri) dalam kendala, dan b adalah nilai dari suatu
kendala (nilai ruas kanan).
2. LinearProgramming[c, m, {{�1 , �1 }, {�2 , �2 },……}]
Implementasi dari sintaks di atas ialah untuk menemukan nilai vektor x yang
meminimumkan fungsi objektif �� dengan kendala �� ≥ � untuk � ≥ � ,
dan kendala berupa linear dengan matriks m yang berpasangan {�� , �� }.
Untuk setiap baris �� dari m, sesuai dengan kendala jika �� � ≥ �� maka
�� == 1 , atau jika �� � == �� maka �� == 0 , atau jika �� � ≤ �� maka
�� == −1.
Untuk menyelesaikan optimasi linear yang lebih kompleks pada
Mathematica dapat dikerjakan dengan metode yang lebih spesifik, yaitu dengan
menggunakan
perintah
“Simplex”,
”RevisedSimplex”,
dan
“InteriorPoint”. Secara otomatis Mathematica akan mengerjakan masalah
optimasi linear dengan algoritme yang dipilih sesuai pada perintah sintaks dan
berdasarkan ukuran masalah dan tingkat ketelitian.
HASIL DAN PEMBAHASAN
Penelitian ini membahas perbandingan waktu eksekusi metode simpleks dan
metode titik interior dalam menyelesaikan masalah optimasi linear yang dilakukan
terhadap beberapa kasus, menggunakan bantuan perangkat lunak Mathematica.
Metode Simpleks
Metode simpleks adalah sebuah cara untuk menyelesaikan masalah optimasi
linear, dengan melakukan pengulangan pada pengujian titik-titik sudut hingga
menemukan penyelesaian optimal (Siswanto 2007). Algoritme simpleks
merupakan prosedur berulang, berarti cara yang sama digunakan di dalam
6
pengujian setiap titik sudut hingga ditemukan penyelesaian optimal, yaitu
penyelesaian yang memenuhi seluruh kendala dan menghasilkan nilai tujuan.
Dalam model optimasi linear, titik sudut adalah perpotongan antara paling sedikit
dua garis kendala. Selain membentuk titik sudut, juga akan membentuk sebuah
daerah fisibel dengan kemungkinan nilai optimal pada seluruh koordinat yang
memenuhi kendala-kendala yang ada.
Adapun istilah-istilah yang terdapat dalam algoritme simpleks, yaitu:
1
Variabel Slack
Variabel slack adalah variabel basis yang berfungsi untuk menampung sisa
kapasitas pada kendala yang berupa pembatas (Siswanto 2007).
2
Variabel Surplus
Variabel surplus adalah variabel yang berfungsi untuk menampung
kelebihan nilai ruas kiri pada kendala yang berupa syarat (Siswanto 2007).
3
Variabel Artificial
Variabel artificial adalah variabel yang bernilai positif, berfungsi untuk
memulai penyelesaian dan harus dijadikan nol pada solusi akhir. Variabel ini
digunakan untuk setiap persamaan yang tidak memiliki variabel basis.
4
Variabel Basis dan Nonbasis
Variabel basis (basic variable) dan variabel nonbasis (nonbasic variable)
merupakan dua terminologi penting yang akan selalu digunakan di dalam
algoritme simpleks. Variabel basis adalah variabel yang bernilai positif, dan
variabel nonbasis adalah variabel yang bernilai nol (Siswanto 2007).
Algoritme simpleks memerlukan sebuah tabel simpleks atau yang biasa
dikenal dengan tabulasi simpleks pada pengujian suatu titik sudut untuk
menentukan apakah variabel keputusan pada titik sudut itu telah menghasilkan
nilai tujuan yang optimal. Di dalam tabulasi simpleks menghendaki suatu bangun
matematik tertentu agar pengujian titik-titik sudut tersebut bisa dilakukan. Bangun
matematik tersebut dikenal sebagai bangun metematik yang sudah tereduksi
lengkap, di dalam bangun tersebut terdapat sebuah bangun matriks simetri di
mana elemen-elemen diagonalnya bernilai “+1” yang disebut sebagai matriks
identitas. Untuk membentuk bangun matematik yang sudah tereduksi lengkap
membutuhkan peranan kehadiran variabel slack, variabel surplus, dan variabel
artificial.
Peranan variabel slack, variabel surplus, dan variabel artificial adalah untuk
menampung selisih antara nilai ruas kiri dengan nilai ruas kanan pada kendala
yang berbentuk pertidaksamaan sehingga dapat diubah menjadi bentuk persamaan
yang sesuai dengan bangun matriks identitas. Bangun matriks identitas adalah
syarat agar sebuah model matematis optimasi linear dapat dituangkan ke dalam
tabulasi simpleks dan selanjutnya diselesaikan. Selain itu bangun matriks identitas
juga akan menandai variabel-variabel basis pada setiap koordinat yang diuji.
Variabel Basis pada Tabel Simpleks
Seperti yang telah diketahui, algoritme simpleks menghendaki suatu bangun
matematik yang tereduksi. Bangun ini kemudian dituangkan ke dalam tabulasi
simpleks. Perhatikan bangun matematik optimasi linear yang siap dituangkan ke
dalam tabulasi simpleks pada ilustrasi sistem persamaan (1) berikut ini:
7
�11 �1 + �12 �2 + ⋯ + �1� �� + 1 + 0 + ⋯ + 0 = �1 ,
�21 �1 + �22 �2 + ⋯ + �2� �� + 0 + 1 + ⋯ + 0 = �2 ,
⋮
�m1 �1 + �m2 �2 + ⋯ + ��� �� + 0 + 0 + ⋯ + 1 = �m .
(1)
Kendala Pembatasan Membentuk Matriks Identitas
Bangun matriks identitas yang ada pada ilustrasi sistem persamaan (1) di
atas dapat dibentuk dengan cara menghadirkan variabel slack pada kendala.
Pertidaksamaan kendala:
�
diubah menjadi
� ��� �� ≤ �� , ∀� = 1, 2, … , �
�=1
�
� ��� �� + �� = ��
�=1
di mana,
�� : variabel keputusan ke-j
��� : koefisien kendala ke-i variabel keputusan ke-j
�� : variabel slack kendala ke-i
�� : nilai ruas kanan kendala ke-i
Bentuk standar kendala yang siap diolah dalam algoritme simpleks tampak
seperti ilustrasi sistem persamaan (2) berikut ini:
�11 �1 + �12 �2 + ⋯ + �1� �� + �1 + 0 + ⋯ + 0 = �1 ,
(2)
�21 �1 + �22 �2 + ⋯ + �2� �� + 0 + �1 + ⋯ + 0 = �2 ,
⋮
�m1 �1 + �m2 �2 + ⋯ + ��� �� + 0 + 0 + ⋯ + �� = �m .
Kendala Syarat Membentuk Matriks Identitas
Bangun matematik yang memuat matriks identitas seperti pada ilustrasi
sistem persamaan (1) dan ilustrasi sistem persamaan (2) tidak mungkin dapat
dibentuk secara langsung pada kendala-kendala syarat yang menampung
kelebihan nilai ruas kiri, karena karakteristiknya memiliki koefisien “-1” pada
variabel surplus. Hal ini akan menyebabkan kendala tidak akan diperhitungkan
oleh algoritme simpleks. Karena variabel surplus mempunyai koefisien “-1”,
maka kondisi di mana kendala harus mempunyai satu varibel yang memiliki
koefisien “+1” menjadi tidak terpenuhi. Oleh karena itu, pada setiap kendala
syarat harus ditambahkan sebuah variabel yang berkoefisien “+1” yaitu variabel
artificial dengan notasi “ �� ” di samping variabel surplus, agar kendala itu
memiliki variabel basis sehingga dapat dituangkan ke dalam tabulasi simpleks.
Variabel artificial harus bernilai nol di dalam penyelesaian optimal agar
kehadirannya tidak mempengaruhi hasil penyelesaian.
Pertidaksamaan kendala syarat:
�
diubah menjadi
� ��� �� ≥ �� , ∀� = 1, 2, … , �
�=1
8
�
� ��� �� − �� + �� = ��
�=1
di mana,
�� : variabel keputusan ke-j
��� : koefisien kendala ke-i variabel keputusan ke-j
�� : variabel surplus kendala ke-i
�� : variabel artificial kendala ke-i
�� : nilai ruas kanan kendala ke-i
Bentuk standar kendala syarat yang siap diolah oleh algoritme simpleks
tampak seperti yang ditampilkan oleh ilustrasi sistem persamaan (3) berikut ini:
�11 �1 + �12 �2 + ⋯ + �1� �� − �1 + �1 + 0 + ⋯ + 0 = �1 ,
(3)
�21 �1 + �22 �2 + ⋯ + �2� �� + 0 − �2 + �2 + ⋯ + 0 = �2 ,
⋮
�m1 �1 + �m2 �2 + ⋯ + ��� �� + 0 + 0 + ⋯ − �� + �� = �m .
Seperti yang sudah dijelaskan di atas, bentuk umum masalah optimasi
linear harus diubah ke dalam bentuk standar atau bentuk persamaan, sehingga
dalam matriks A terbentuk matriks identitas dan dapat dituangkan ke dalam
tabulasi simpleks. Berikut ini merupakan ilustrasi tabulasi simpleks:
Table 1 Ilustrasi Tabulasi Simpleks
��
�1
�2
⋮
��
��
Basis
��
�� − ��
�1
�1
�11
�21
⋮
��1
�1
�1 − �1
�2
�2
�12
�22
⋮
��2
�2
�2 − �2
…
…
…
…
…
…
…
…
��
��
�1�
�2�
⋮
���
��
�� − ��
0
�1
0 … M
�2 … �1
…
…
…
…
��
�1
�2
⋮
��
Keterangan:
a. Baris �� diisi dengan koefisien fungsi tujuan.
b. Kolom �� diisi dengan koefisien variabel yang menjadi basis.
c. Kolom basis diisi dengan nama-nama variabel yang menjadi basis (variabel yang
menyusun matriks identitas).
d. Kolom �� diisi dengan nilai ruas kanan dari kendala.
e. Baris �� diisi dengan rumus �� = ∑��=1 �� ��� , j = 1, …, n.
1
Berikut ini akan diberikan proses algoritme simpleks, yaitu:
Mengubah terlebih dahulu masalah optimasi linear ke bentuk standar, fungsi
tujuan dan kendala-kendala diubah ke dalam bentuk persamaan. Seperti
yang sudah dijelaskan di atas, dengan menambahkan variabel slack, variabel
surplus, dan variabel artificial terhadap kendala yang berbentuk
pertidaksamaan. Untuk fungsi tujuan, tambahkan variabel slack (dengan
koefisien 0), variabel surplus (dengan koefisien 0), dan variabel artificial
(dengan koefisien M untuk masalah meminimumkan dan –M untuk masalah
memaksimumkan, M adalah bilangan yang cukup besar). Perhatikan contoh
sebagai berikut:
9
� = 2�1 + 3�2
5�1 + 6�2 ≤ 60,
�1 + 2�2 ≤ 16,
�1 ≤ 10,
�2 ≤ 6.
maksimumkan
terhadap
2
Bentuk standar:
maksimumkan � − 2�1 − 3�2 + 0�1 + 0�2 + 0�3 + 0�4 = 0
terhadap
5�1 + 6�2 + �1
= 60,
�1 + 2�2
+ �2
= 16,
�1
+ �3
= 10,
�2
+ �4 = 6.
Memasukkan bentuk standar masalah optimasi ke dalam tabulasi simpleks
yang terdiri dari kolom basis, kolom variabel keputusan, kolom nilai ruas
kanan, dan baris �� − �� (untuk tujuan meminimumkan atau
memaksimumkan). Bentuk tabulasi sebagai berikut:
Table 2 Tabulasi Simpleks
��
0
0
0
0
3
4
��
Basis
�1
�2
�3
�4
��
�� − ��
3
�2
6
2
0
1
0
-3
0
�1
1
0
0
0
0
0
0
�2
0
1
0
0
0
0
0
�3
0
0
1
0
0
0
0
�4
0
0
0
1
0
0
��
60
16
10
6
0
0
Menentukan kolom kunci (variabel masuk), yaitu untuk masalah maksimum
memilih �� − �� yang terkecil, sedangkan untuk masalah minimum memilih
�� − �� yang terbesar.
Menentukan baris kunci (variabel keluar), yaitu dari nilai rasio antara nilai
ruas kiri ( �� ) dengan koefisien kolom kunci, pilih yang terkecil (untuk
masalah minimum atau maksimum).
Rasio =
5
2
�1
5
1
1
0
0
-2
��
���
, j adalah kolom baris, di mana rasio > 0.
Menentukan pivot dari perpotongan antara kolom kunci dan baris kunci
yang dinamakan elemen kunci atau elemen penentu iterasi algoritme
simpleks dan akan diubah nilainya menjadi 1. Perhatikan contoh berikut:
10
Table 3 Tabulasi Simpleks Kolom Kunci dan Baris Kunci
��
0
0
0
0
��
Basis
�1
�2
�3
�4 *
��
�� − ��
2
�1
5
1
1
0
0
-2
3
�2 *
6
2
0
1
0
-3
0
�1
1
0
0
0
0
0
0
�2
0
1
0
0
0
0
0
�3
0
0
1
0
0
0
0
�4
0
0
0
1
0
0
��
60
16
10
6
Rasio
10
8
6
Keterangan:
�2 ∗
adalah
kolom
kunci
dengan
nilai
baris
�� − �� terkecil, yaitu �� − �� = −3 dan �4 ∗ adalah kolom baris dengan nilai
rasio terkecil, yaitu 6. Pivot berada pada elemen (4;2) dengan nilai elemennya
adalah 1.
6
7
Selanjutnya melakukan operasi baris dasar (OBD) berdasarkan pivot untuk
baris lainnya, termasuk baris �� − �� dengan nilai elemen-elemen yang
termasuk di dalam kolom kunci dijadikan nol (selain elemen yang dijadikan
pivot).
Proses iterasi untuk masalah maksimum berhenti jika semua nilai pada baris
�� − �� ≥ 0 berarti solusi sudah optimal, apabila masih ada �� − �� < 0
(negatif) maka iterasi metode simpleks masih berlanjut. Untuk masalah
minimum berhenti jika semua nilai pada baris �� − �� ≤ 0, apabila masih
ada �� − �� > 0 (positif) maka iterasi algoritme simpleks masih berlanjut.
Fungsi Mathematica untuk Metode Simpleks
Mathematica dengan fasilitas terintegrasi lengkap, mampu memberikan
perintah untuk menyelesaikan masalah optimasi linear sesuai metode yang
diinginkan dan memberikan waktu eksekusi dalam menyelesaikannya. Fasilitas
yang unik dari implementasi ini adalah:
LinearProgramming[c,{m},{{b}}Method →”Simplex”]//Timing
dengan c merupakan nilai konstanta pada fungsi tujuan, m merupakan nilai
konstanta (nilai ruas kiri) pada kendala, dan b merupakan nilai ruas kanan pada
kendala. Sintaks Method → ”Simplex” adalah perintah untuk mengakses ke
algoritme simpleks dalam menyelesaikan masalah optimasi linear dan Timing
untuk memberikan waktu eksekusi dalam penyelesaian.
Metode Titik Interior
Perkembangan baru dalam masalah optimasi linear adalah penemuan metode
titik interior yang berhasil mengembangkan algoritme baru dengan pendekatan
titik interior untuk menyelesaikan masalah optimasi linear. Metode titik interior
adalah metode yang dibangun dari beberapa metode iterasi, di mana algoritme
titik interior bergerak dengan menentukan titik-titik interior yang masuk di dalam
interior daerah solusi penyelesaian atau daerah fisibel. Algoritme titik interior
berbeda dengan algoritme simpleks, di mana dalam algoritme simpleks iterasinya
menggunakan titik ekstrim yaitu bergerak dari verteks ke verteks untuk
menentukan solusi daerah fisibel.
11
Algoritme titik interior digunakan untuk menyelesaikan masalah optimasi
linear yang kompleks, dalam artian memiliki kendala dan variabel keputusan
dengan jumlah yang besar. Karena algoritme titik interior membutuhkan jumlah
iterasi yang sedikit dengan mempertimbangkan waktu hitung rata-rata dalam
iterasinya, sehingga penyelesaian teknik komputasi algoritme titik interior
umumnya membutuhkan waktu penyelesaian yang lebih sedikit, maka waktu
eksekusi penyelesaian yang dibutuhkan untuk menyelesaikan masalah optimasi
linear tersebut sering kali lebih cepat dibandingkan dengan metode simpleks,
terutama jika dipakai untuk menyelesaikan permasalahan yang kompleks serta
memiliki banyak kendala dan variabel yang harus diselesaikan untuk masalah
dengan ukuran yang sama (Mitchell 1998).
Penyelesaian masalah optimasi linear metode titik interior berkaitan dengan
pendekatan metode barrier, metode pengali Lagrange serta metode Newton, baik
itu pada bentuk primal ataupun bentuk dual (Vanderbei 2001). Pendekatan metode
barrier diperkenalkan oleh Frisch pada tahun 1955 (Roos et al. 2006). Metode ini
bermula dari suatu titik di interior dari pertidaksamaan � > � dan � > � , lalu
dikonstruksi barrier sedemikian rupa sehingga variabel tidak menyentuh batas
daerah fisibel.
Penambahan ln � ke fungsi objektif merupakan salah satu cara dari
pendekatan barrier. Penambahan ln � menyebabkan nilai fungsi objektif
mengalami kenaikan atau penurunan tanpa batas (apabila � → � atau � → � ).
Kesulitan ini ialah jika titik optimal berada pada batas, misalnya satu atau lebih
�� = 0. Untuk mengatasi kesulitan ini, digunakan parameter � untuk menentukan
nilai minimum atau maksimum fungsi objektif dari bentuk barrier.
Berdasarkan definisi bentuk standar masalah optimasi linear dengan fungsi
tujuan serta kendala berbentuk linear, dalam penyelesaian masalah optimasi linear
dengan menggunakan metode titik interior perlu ditentukan batasan masalah,
dengan fungsi tujuan meminimumkan sehingga diperoleh bentuk optimasi linear
dalam model matematik sebagai berikut:
minimumkan
�T�
terhadap
�� = �,
(4)
�≥�
dengan
�1
�1
�1
�2
�2
�
� = � 2�,
� = � ⋮ �,
� = � ⋮ �,
⋮
��
��
��
dan
�11 �12 ⋯ �1�
�21 �22 ⋯ �2�
� =� ⋮
⋮
⋱
⋮ �.
��1 ��2 ⋯ ���
Jika x dan c merupakan vektor berukuran � × 1, dan b adalah vector berukuran
� × 1, maka A dapat dikatakan sebagai fungsi metode barrier dengan model
masalah primal-barrier ditulis sebagai berikut:
minimumkan
� T � − � ∑��=1 ln��� �
…(5.1)
terhadap
�� = �,
…(5.2)
(5)
� ≥ �.
…(5.3)
12
Di mana � adalah parameter suatu konstanta positif.
lim ln(�� ) = −∞
x→0
(6)
(7)
Oleh karena itu, logaritme dalam fungsi objektif merupakan model barrier
yang memberikan solusi negatif. Pada dasarnya ini akan menunjukkan solusi
optimal yang memenuhi pertidaksamaan � ≥ �, karena fungsi tujuan
meminimumkan persamaan (5.1). Berdasarkan keadaan tersebut maka didapat
pertidaksamaan pada kendala � > � persamaan (5.3) yang membuat masalah
optimasi tidak linear, sehingga dapat diselesaikan dengan metode pengali
Lagrange untuk � > 0 definisi (6).
Misalkan ��(�,�) adalah fungsi Lagrange masalah primal, dapat ditulis
sebagai berikut:
�
��(�,�) = � T � − � � ln��� � − � T (�� − �)
�=1
di mana � ∈ � � merupakan pengali Lagrange sesuai dengan sistem persamaan (4).
Fungsi ��(�,�) diturunkan sesuai aturan pengali Lagrange secara parsial
terhadap �� dan �� dengan � = 1, … , �. Pertama fungsi ��(�,�) diturunkan terhadap
�� dengan � = 1, … , �.
���(�,�)
=0
���
�
�
⇔ �� − − � ��� �� = �
��
�=1
���(�,�)
⇔
= �� − ��� −1 − �� � = �
���
(8)
�1 0 ⋯ 0
0� ⋯0
dengan pemisalan � ∶= diag (�) = � ⋮ 2 ⋱ ⋮ �, � ∶= (1, … , 1)� , dan simbol �
⋮
0 0 ⋯��
adalah vektor nol. Persamaan (8) dalam notasi vektor:
⇔ ∇� ���(�,�) = � − �� −1 � − �� � = �.
(9)
Selain itu, dengan pemisalan � = �� −1 � subtitusikan ke dalam persamaan (9),
didapat
⇔ � − � − �� � = �
⇔ �� � + � = �.
(10)
Kemudian fungsi ��(�,�) diturunkan terhadap �� dengan � = 1, … , �.
���(�,�)
=0
���
⇔
���(�,�)
= � − �� = �
���
⇔ �� = �.
(11)
13
Dari bentuk standar optimasi linear pada sistem persamaan (4), dapat
dibentuk masalah dual-barrier dengan daerah fisibel masalah dual dan juga daerah
interior dual. Masalah dual-barrier ditulis sebagai berikut:
�� � + � ∑��=1 ln��� �
�� � + � = �,
� ≥ �.
maksimumkan
terhadap
…(12.1)
…(12.2)
…(12.3)
(12)
Persamaan dual dalam fungsi Lagrange:
T
�
��(�,�,�) = � � + � � ln��� � − (�� � + � − �)�.
�=1
Fungsi ��(�,�,�) diturunkan secara parsial terhadap �� , �� dan �� dengan � =
1, … , �. Pertama fungsi ��(�,�,�) diturunkan terhadap �� dengan � = 1, … , �.
���(�,�,�)
=0
���
�
⇔ � ��� �� − �� = ��
�=1
�
⇔ � � + � = �.
(13)
Kemudian fungsi ��(�,�,�) diturunkan terhadap �� dengan � = 1, … , �.
���(�,�,�)
=0
���
�
⇔ � ��� �� = ��
�=1
⇔ � − �� = �
⇔ �� = �.
(14)
Selanjutnya fungsi ��(�,�,�) diturunkan terhadap �� dengan � = 1, … , �.
���(�,�,�)
=0
���
�
⇔ − �� = �
��
�
⇔ �� =
��
⇔ �� �� = �.
(15)
Variabel dual � merupakan pengali Lagrange untuk masalah primal dan variabel
primal � merupakan pengali Lagrange untuk masalah dual.
Kendala pelengkap diganti menjadi �� = ��, agar solusi sistem dari sistem
yang baru mendekati solusi sistem persamaan (5), dengan parameter � adalah
sembarang bilangan positif dan � adalah vektor yang semua unsurnya bernilai satu.
Kendala �� = �� ini disebut juga kondisi-pemusat pada � (Silalahi 2011).
14
Melihat sistem persamaan (4) kondisi primal dan sistem persamaan (12)
dalam kondisi dual, dengan melakukan pendekatan metode barrier dan melakukan
iterasi menggunakan metode pengali Lagrange dari kedua sistem persamaan
tersebut diperoleh daerah titik interior sebagai sistem persamaan yang baru, yaitu:
…(16.1)
�� = �,
� ≥ �,
…(16.2)
(16)
� ≥ �,
�� � + � = �,
…(16.3)
�� = ��
�
dengan vektor-vektor �, �, � ∈ ℝ , sedangkan vektor-vektor �, � ∈ ℝ� , serta
matriks � ∈ ℝ�×� adalah matriks berpangkat baris penuh. Vektor � adalah vektor
yang semua unsurnya bernilai satu dengan � ∈ ℝ� . Sistem ini merupakan kondisi
optimal untuk masalah minimisasi (Silalahi 2011).
Jika sistem persamaan (16) memiliki solusi untuk beberapa nilai positif dari
parameter � maka daerah fisibel primal mengandung vektor � positif, dan daerah
fisibel dual mengandung pasangan (�, �) dengan vektor � positif sehingga daerah
fisibel primal dan daerah fisibel dual mengandung vektor positif. Hal tersebut
merupakan kondisi fisibel titik interior. Demikian juga sebaliknya, jika daerah
fisibel primal dan dual mengandung vektor positif maka sistem persamaan (16)
memiliki solusi untuk setiap � positif. Hal ini merupakan konsekuensi dari
teorema berikut.
Teorema 1
Misalkan � > 0 . Daerah fisibel primal ( �) dan dual (�) mengandung
vektor positif jika dan hanya jika sistem persamaan (16) memiliki solusi yang
tunggal (Roos et al. 2006).
Iterasi dari algoritme titik interior dalam menyelesaikan masalah optimasi
linear dilanjutkan dengan tahapan Newton, yaitu untuk mencari nilai solusi
optimalnya. Tahap ini dikenal dengan tahap prediksi nilai solusi optimal yang
layak. Langkah selanjutnya yaitu menentukan sistem persamaan baru yang sesuai
dengan sistem persamaan (16), serta dapat menentukan nilai matriks Jacobi J(y)
sebagai berikut:
…(17.1)
�� − � = �,
�
…(17.2)
(17)
� � + � − � = �,
…(17.3)
�� − �� = �.
Sistem persamaan (17) merupakan persamaan f(y) dengan matriks Jacobi J(y):
� 0 0
�(�) = � 0 �� � �.
� 0 �
0
0
0
Asumsi titik awal ( � , � , � ) memenuhi � 0 > 0 dan �0 > 0 terhadap
kendala awal persamaan primal-dual dinotasikan sebagai sistem berikut:
�� = � + �� 0
�� = � − �T � 0 − �0
Kondisi optimal dapat ditulis sebagai berikut:
dengan � = (�� , �� , �� ), adalah
�(�)� = −�(�),
15
�
�0
�
0
��
0
��
0 ��
�
� � � � � = � �� �
�� − ��
�
��
⇔ ��� = �� ,
�
� �� + �� = �� ,
��� + ��� = �� − ��,
dengan manipulasi aljabar untuk menentukan � = (�� , �� , �� ) didapat
1.
2.
3.
�� = (���−1 �� )−1 (� − ��� −� )
�� = −�� − �� ��
�� = � −1 (�� − �� − ��� ).
Proses iterasi algoritme titik interior primal-dual selanjutnya, yaitu:
Menentukan solusi fisibel awal �(0) > 0 , � (0) > 0 , � (0) > 0 , dengan
� = 0 toleransi optimal � > 0, dan parameter 0 < � < 1.
Tes optimalisasi, selama (�� )� �� ≥ � lanjut ke langkah berikutnya. Jika
(�� )� �� < �, iterasi berhenti.
Hitung langkah Newton-penuh, dan perbarui solusi
�(�+1) = �(�) + �� ���
�(�+1) = �(�) + �� ���
�(�+1) = �(�) + �� ���
−��
dengan �� = � min� �(�
� )�
4.
−��
; (�� )� < 0� , �� = � min� �(�
� )�
adalah nilai pendekatan dengan � sebagai parameter pembatas.
; (�� )� < 0�
Selanjutnya � ← � + 1, kembali ke Langkah 2.
Nilai akhir yang diperoleh menyatakan nilai objektif dari fungsi optimasi
linear yang telah dicari solusinya, sehingga tahapan-tahapan koreksi yang
dilakukan memperoleh titik interior sebagai daerah jawab terutama setelah
melakukan beberapa iterasi sampai memperoleh titik optimum sebagai solusi
penyelesaian dari masalah optimasi linear.
Fungsi Mathematica untuk Metode Titik Interior
Mathematica dengan fasilitas terintegrasi lengkap, mampu memberikan
perintah untuk menyelesaikan masalah optimasi linear sesuai metode yang
diinginkan dan memberikan waktu eksekusi dalam menyelesaikannya.
Mathematica mengimplementasikan algoritme titik interior dengan menggunakan
fasilitas yang unik, yaitu:
LinearProgramming[c,{m},{{b}}Method → ”InteriorPoint”]//Timin
g, dengan c merupakan konstanta pada fungsi tujuan, m merupakan konstanta
kendala,
dan
kanan pada kendala. Sintaks
untuk menyelesaikan masalah
optimasi linear dengan metode titik interior dan Timing untuk memberikan
waktu eksekusi dalam penyelesaian.
b
merupakan
nilai
ruas
Method →”InteriorPoint” adalah perintah
16
Melihat secara teoritis iterasi antara metode simpleks dan metode titik
interior sangat berbeda, seperti yang telah dijelaskan di atas. Untuk melihat
perbedaan waktu dalam menyelesaikan masalah optimasi linear, dilihat dari
perbandingan waktu eksekusi penyelesaian antara kedua metode tersebut.
Perbandingan dilakukan terhadap studi kasus dengan bantuan perangkat lunak
Mathematica, dan ukuran masalah optimasi linear dipilih bervariasi secara kontinu
dari masalah optimasi linear yang sederhana (berukuran kecil) sampai masalah
optimasi linear yang kompleks dengan kendala dan variabel berukuran besar.
Studi Kasus
Kasus 1:
Masalah optimasi linear dengan 2 kendala dan 2 variabel
min
x + 2y
kendala
x + 2y ≥ 3,
x + y ≤ 2,
x, y ≥ 0.
Penyelesaian komputasi dengan metode simpleks:
input:
LinearProgramming[{1.,2},{{1,2},{1,1}},{{3,1},{2,output:
input:
output:
input:
input:
output:
input:
output:
1}},Method →”Simplex”]//Timing
{0.,{0., 1.5}}
First[%]
TITIK INTERIOR DALAM MENYELESAIKAN MASALAH
OPTIMASI LINEAR MENGGUNAKAN MATHEMATICA
ROCHMAT FERRY SANTO
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Perbandingan Waktu
Eksekusi Metode Simpleks dan Metode Titik Interior dalam Menyelesaikan
Masalah Optimasi Linear Menggunakan Mathematica adalah benar karya saya
dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun
kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip
dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah
disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir
disertasi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Mei 2014
Rochmat Ferry Santo
NIM G54090063
ABSTRAK
ROCHMAT FERRY SANTO. Perbandingan Waktu Eksekusi Metode Simpleks
dan Metode Titik Interior dalam Menyelesaikan Masalah Optimasi Linear
Menggunakan Mathematica. Dibimbing oleh BIB PARUHUM SILALAHI dan
PRAPTO TRI SUPRIYO.
Terdapat dua metode yang umum digunakan untuk menyelesaikan masalah
optimasi linear, yaitu metode simpleks dan metode titik interior. Pada metode
simpleks untuk mencari solusi optimal, algoritme berpindah dari verteks ke
verteks. Sementara itu pada metode titik interior, algoritme bergerak di dalam
interior daerah fisibel dari masalah optimasi linear. Pada karya ilmiah ini,
dilakukan perbandingan waktu eksekusi metode simpleks dan metode titik
interior dalam menyelesaikan masalah optimasi linear dengan menggunakan
sebuah perangkat lunak matematika, yaitu Mathematica. Ukuran dari masalah
optimasi linear dipilih bervariasi dari ukuran yang relatif kecil ke ukuran yang
relatif besar. Hasil utama yang diperoleh adalah metode titik interior lebih cepat
dibandingkan metode simpleks untuk masalah-masalah optimasi linear yang
berukuran besar.
Kata kunci: metode simpleks, metode titik interior, optimasi linear, waktu
eksekusi
ABSTRACT
ROCHMAT FERRY SANTO. Execution Time Comparation Between Simplex
Method and Interior Point Method in Solving Linear Optimization Problems
Using Mathematica. Supervised by BIB PARUHUM SILALAHI and PRAPTO
TRI SUPRIYO.
There are two famous methods for solving linear optimization problems,
namely simplex method and interior point method. In the simplex method, to find
an optimal solution, the algorithm moves from vertex to vertex. While in the
interior point method, the algorithm moves in the interior of the feasible region of
the problem. In this paper we compare the execution time of the simplex method
and the interior point method in solving several linear optimization problems by
using a mathematical software, that is Mathematica. The size of problems are
chosen from small to relatively big. The main result is that the interior point
method is faster than the simplex method for big size problems.
Keywords: simplex method, interior point method, linear optimization, execution
time
PERBANDINGAN WAKTU EKSEKUSI METODE SIMPLEKS DAN METODE
TITIK INTERIOR DALAM MENYELESAIKAN MASALAH
OPTIMASI LINEAR MENGGUNAKAN MATHEMATICA
ROCHMAT FERRY SANTO
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
Judul Skripsi : Perbandingan Waktu Eksekusi Metode Simpleks dan Metode Titik
Interior dalam Menyelesaikan Masalah Optimasi Linear
Menggunakan Mathematica
Nama
: Rochmat Ferry Santo
NIM
: G54090063
Disetujui oleh
Dr Ir Bib Paruhum Silalahi, MKom
Pembimbing I
Drs Prapto Tri Supriyo, MKom
Pembimbing II
Diketahui oleh
Dr Toni Bakhtiar, MSc
Ketua Departemen
Tanggal Lulus:
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas
segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang
dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Februari 2013 ini ialah
optimasi linear, dengan judul Perbandingan Waktu Eksekusi Metode Simpleks
dan Metode Titik Interior dalam Menyelesaikan Masalah Optimasi Linear
Menggunakan Mathematica.
Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Dr Ir Bib Paruhum Silalahi,
MKom dan Bapak Drs Prapto Tri Supriyo, MKom selaku pembimbing, serta
Bapak Ir Ngakan Komang Kutha Ardana, MSc yang telah banyak memberi saran,
motivasi, dan bimbingan dalam penulisan karya ilmiah ini, serta kepada seluruh
staf Departemen Matematika. Ungkapan terima kasih dan penghargaan
disampaikan kepada Papah, Mamah, Pa Raden, Mamah Ray, serta seluruh
keluarga, atas segala doa dan kasih sayangnya. Di samping itu, ucapan terima
kasih juga penulis berikan kepada Syukrio Idaman, Rudy Hariono, Qowiyyul
Siregar, Hidayattul Kamil, seluruh mahasiswa Departemen Matematika Angkatan
45, 46, 47, dan 48 serta teman-teman sekalian di luar Departemen Matematika
baik di dalam Institut Pertanian Bogor maupun di luar Institut Pertanian Bogor
atas kritik, saran dan doanya selama pembuatan karya ilmiah ini.
Penulis menyadari bahwa dalam kaya ilmiah ini masih jauh dari
kesempurnaan. Kritik dan saran berupa masukan yang bersifat membangun sangat
diharapkan penulis demi penyempurnaan di masa mendatang. Semoga karya
ilmiah ini dapat memberikan informasi yang bermanfaat bagi pembaca.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, Mei 2014
Rochmat Ferry Santo
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
vi
DAFTAR GAMBAR
vi
DAFTAR LAMPIRAN
vi
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan Penelitian
1
TINJAUAN PUSTAKA
2
Optimasi Linear
2
Bentuk Standar Primal dan Bentuk Standar Dual
2
Metode Pengali Lagrange
3
Metode Newton
3
Wolfram Mathematica
4
HASIL DAN PEMBAHASAN
Metode Simpleks
5
5
Metode Titik Interior
10
Studi Kasus
16
SIMPULAN
22
DAFTAR PUSTAKA
22
LAMPIRAN
24
RIWAYAT HIDUP
41
DAFTAR TABEL
1
2
3
4
Ilustrasi tabulasi simpleks
Tabulasi simpleks
Tabulasi simpleks kolom kunci dan baris kunci
Waktu eksekusi metode simpleks dan metode titik interior dengan lima
kali pengulangan
5 Waktu eksekusi rata-rata metode simpleks dan metode titik interior
serta perbandingan waktu eksekusi metode simpleks : metode titik
interior
8
9
10
19
21
DAFTAR GAMBAR
1 Perbandingan waktu eksekusi metode simpleks : metode titik interior
21
DAFTAR LAMPIRAN
1
2
3
4
5
6
7
Studi kasus 4 masalah OL dengan 50 kendala dan 50 variabel
Studi kasus 5 masalah OL dengan 100 kendala dan 100 variabel
Studi kasus 6 masalah OL dengan 100 kendala dan 200 variabel
Studi kasus 7 masalah OL dengan 200 kendala dan 200 variabel
Studi kasus 8 masalah OL dengan 500 kendala dan 500 variabel
Studi kasus 9 masalah OL dengan 500 kendala dan 1000 variabel
Studi kasus 10 masalah OL dengan 100 kendala dan 200000 variabel
24
25
27
29
31
35
40
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Optimasi adalah bagian dari matematika terapan yang mempelajari masalahmasalah dengan tujuan mencari nilai minimum atau maksimum suatu fungsi
terhadap kendala-kendala yang ada. Optimasi dalam matematika mengacu pada
pemilihan elemen terbaik dari beberapa himpunan alternatif yang tersedia. Bagian
dari optimasi adalah optimasi linear (linear optimization) di mana fungsi tujuan
dinyatakan dalam fungsi linear dan kendala-kendala dinyatakan dalam bentuk
persamaan/pertidaksamaan linear. Optimasi Linear (OL) muncul menjadi model
matematika setelah perang dunia ke-2, yaitu ketika Dantzig memaparkan metode
simpleks untuk menyelesaikan masalah optimasi linear. Untuk memperoleh solusi
optimal, metode simpleks bergerak dari verteks ke verteks. Metode ini dirancang
sedemikian rupa yang dalam pergerakannya dari satu verteks ke verteks, nilai
fungsi tujuan berubah secara monoton menuju nilai optimal.
Terobosan yang sangat efektif untuk menyelesaikan masalah OL terjadi
pada tahun 1984, ketika Karmarkar mengusulkan menggunakan metode titik
interior untuk menyelesaikan masalah OL dan memulai revolusi dalam bidang
optimasi. Tidak seperti metode simpleks yang bergerak dari verteks ke verteks,
metode titik interior bergerak di dalam interior dari domain secara monoton
menuju solusi optimal (Silalahi 2011).
Setelah periode 1960-an dengan digunakannya komputer, optimasi linear
tersebut dapat diformulasikan dalam perangkat lunak komputer yang menjadikan
optimasi linear sebagai alat canggih dalam optimasi untuk memperoleh
keputusan-keputusan yang optimum dengan cepat dan tepat. Perangkat lunak
komputasi yang dapat digunakan untuk menyelesaikan optimasi linear dalam
sistem persamaan linear antara lain Mathematica, Matlab, Maple, dan Mathcad.
Tujuan Penelitian
Penulisan karya ilmiah ini bertujuan untuk menunjukkan perbandingan
waktu eksekusi antara metode simpleks dan metode titik interior dalam
menyelesaikan masalah optimasi linear (OL) yang dilakukan terhadap beberapa
studi kasus permasalahan optimasi linear yang bervariasi dengan memuat fungsi
tujuan dan kendala yang dimulai dari ukuran sederhana sampai berukuran besar,
dengan menggunakan perangkat lunak Mathematica.
TINJAUAN PUSTAKA
Optimasi Linear
Optimasi linear adalah proses untuk mendapatkan hasil yang optimum.
Model optimasi linear (OL) meliputi pengoptimuman suatu fungsi linear terhadap
kendala linear (Nash dan Sofer 1996). Optimasi linear khusus mempelajari hal-hal
yang berkaitan dengan meminimumkan atau memaksimumkan fungsi-fungsi
linear, dengan kendala yang juga berbentuk linear (berupa persamaan atau
pertidaksamaan). Dikatakan sebuah fungsi linear, jika suatu fungsi f dalam
variabel-variabel �1 , �2 , … , �� adalah suatu fungsi linear jika dan hanya jika
untuk suatu himpunan konstanta �1 , �2 , … , �� , fungsi f dapat ditulis sebagai
�( �1 , �2 , … , �� ) = �1 �1 + �2 �2 + … + �� �� = � (Winston 2004). Misalkan
contoh sebagai berikut: �( �1 , �2 , �3 ) = 2�1 + �2 + �3 merupakan fungsi linear,
�( �1 , �2 ) = �1 2 + �2 bukan fungsi linear. Suatu persamaan linear dalam n
variabel adalah persamaan untuk sembarang fungsi linear f dan sembarang
bilangan b persamaan �( �1 , �2 , … , �� ) = � merupakan persamaan linear. Untuk
sembarang fungsi linear f dan sembarang bilangan b suatu pertidaksamaan
�( �1 , �2 , … , �� ) ≤ � dan �( �1 , �2 , … , �� ) ≥ � adalah pertidaksamaan linear.
Suatu optimasi linear dikatakan berbentuk standar jika dapat ditulis sebagai
berikut:
minimumkan/maksimumkan: z = cTx
terhadap
�� = �,
x ≥ 0,
dengan x dan c berupa vektor berukuran � × 1 , vektor b berukuran � × 1 ,
sedangkan � berupa matriks berukuran m × n, yang disebut juga sebagai matriks
kendala (Nash & Sofer 1996).
Dalam masalah maksimisasi, solusi optimal pada optimasi linear adalah
suatu titik pada daerah fisibel dengan nilai fungsi objektif paling besar. Untuk
minimisasi, solusi optimal suatu optimasi linear adalah suatu titik dalam daerah
fisibel dengan nilai fungsi objektif terkecil (Winston 2004). Daerah fisibel suatu
optimasi linear adalah himpunan semua titik yang memenuhi semua kendala dan
pembatasan tanda pada optimasi linear tersebut (Winston 2004).
P
Bentuk Standar Primal dan Bentuk Standar Dual
Masalah optimasi linear dalam bentuk standar diberikan sebagai berikut:
{� � � ∶ �� = �, � ≥ �}
min
(�)
dengan vektor �, � ∈ ℝ� , � ∈ ℝ� , serta � ∈ ℝ�×� adalah matriks berpangkat
baris penuh. Masalah (�) disebut masalah primal.
Masalah dual dari masalah primal (�) diberikan sebagai berikut:
maks {�� � ∶ �� � + � = �, � ≥ �} (�)
dengan � ∈ ℝ� dan � ∈ ℝ� . Masalah (�) disebut masalah dual.
Daerah fisibel dari masalah (�) didefinisikan sebagai berikut:
� ={� ∶ �� = �, � ≥ �}
3
sedangkan daerah fisibel dari (�) didefinisikan sebagai berikut:
� = {(�, �): �� � + � = �, � ≥ �}.
Daerah interior masalah (�) didefinisikan sebagai berikut:
� 0 ={� ∶ �� = �, � > �}
sedangkan daerah interior dari masalah (�) didefinisikan sebagai berikut:
� 0 = {(�, �): �� � + � = �, � > �}
(Silalahi 2011).
Metode Pengali Lagrange
Metode pengali Lagrange adalah suatu prosedur untuk menentukan
minimum atau maksimum fungsi objektif terhadap kendala persamaan. Misalkan
diberikan masalah pengoptimuman sebagai berikut:
maks
�(�)
terhadap
�� (�) = 0, � = 1, … , �
dengan �(�) dan �� (�) adalah fungsi dari vektor � berukuran �.
Fungsi Lagrange dari masalah ini ialah
�
�(�, �) = �(�) − � �� �� (�)
�=1
dengan variabel � = (�1 , �2 , … , �� ) adalah pengali Lagrange. Syarat perlu untuk
titik stasioner dari �(�) adalah turunan parsial pertama dari fungsi Lagrange sama
dengan nol
��
= 0, � = 1, … , �
���
��
= 0, � = 1, … , �
���
(Jensen & Bard 2002).
Metode Newton
Metode Newton adalah salah satu prosedur iteratif untuk menyelesaikan
masalah taklinear. Misalkan persamaan �(�) = 0 adalah persamaan taklinear
dengan � merupakan penyelesaian dari persamaan tersebut. Fungsi � adalah
fungsi yang kontinu dan terturunkan. Pada solusi eksak � ∗ , nilai fungsi dapat
dinyatakan sebagai �(� � ) dan nilai dari fungsi turunan pertama adalah �′(� � ).
Nilai � � adalah solusi � yang diperoleh pada iterasi ke-�. Misalkan � = �(�),
turunan dapat diartikan sebagai laju perubahan � terhadap �. Andaikan � berubah
dari � � ke � �+1 maka perubahan pada � adalah ∆= � �+1 − � � . Perubahan ∆ ini
diperlukan untuk mengubah nilai fungsi � menuju nol. Selanjutnya, metode
Newton dapat diturunkan dari ekspansi deret Taylor orde pertama dari �(�) di
sekitar � � , sebagai berikut:
�′(� � )
�(� �+1 ) ≈ �(� � ) + (� �+1 − � � )
1!
sehingga
4
�(� �+1 ) ≈ �(� � ) + ∆� ′ (� � ).
Tetapkan pendekatan �(� �+1 ) sama dengan 0 sehingga didapat
−�(� � )
∆= ′ � .
� (� )
�+1
�
Titik �
= � + ∆ adalah solusi pendekatan fungsi �(�) . Jika titik awal � 0
cukup dekat dengan � ∗ maka nilai dari � � akan mendekati � ∗ dengan � → ∞.
Metode Newton dapat juga digunakan untuk mengubah bentuk suatu fungsi
taklinear menjadi bentuk fungsi linear dari fungsi multivariabel. Misalkan
persamaan �(�) = 0 adalah persamaan taklinear dengan vektor � ∗ dari persamaan
multivariabel tersebut dan matriks Jacobi J pada � � dinyatakan sebagai berikut:
��1 ��1
��1
⋯
��� ⎞
⎛��1 ��2
��2 ⎟
⎜ ��2 ��2
�(� � ) = ⎜��1 ��2 ⋯ ��� ⎟
⎜
⎟
⋮
⋱
⋮ ⎟
⎜ ⋮
��� ���
���
⋯
��� ⎠
⎝��1 ��2
kemudian dengan menggunakan deret Taylor orde pertama di sekitar titik � � dan
dengan menetapkan �(� �+1 ) = 0 diperoleh
�(� �+1 ) = �(� � ) + �(� � )� = 0
�(� � ) + �(� � )� = 0
dengan � = � �+1 − � � dan � = 0,1,2, … , � . Titik � �+1 = � � + � adalah solusi
pendekatan fungsi �(�). Jika titik � 0 cukup dekat dengan titik � ∗ maka nilai dari
� � akan mendekati � ∗ dengan � → ∞ (Jensen & Bard 2002).
Wolfram Mathematica
Mathematica merupakan suatu sistem aljabar komputer (CSA, Computer
Algebra System) yang mengintegrasikan kemampuan komputasi (simbolik,
numerik), visualisasi (grafik), bahasa pemrograman, dan pengolahan kata (word
processing) ke dalam suatu lingkungan yang mudah digunakan (Ardana 2002).
Mathematica pertama kali diperkenalkan pada tahun 1988. Pada saat ini
Mathematica merupakan salah satu aplikasi pilihan dalam pendidikan dan
penelitian, khususnya untuk melakukan komputasi matematik baik simbolik
maupun numerik, pengembangan algoritme dan aplikasi, pemodelan dan simulasi,
serta eksplorasi, analisis, dan visualisasi data.
Mathematica merupakan program aplikasi Wolfarm Research yang handal
dengan fasilitas terintegrasi lengkap untuk menyelesaikan beragam masalah
matematika yang meliputi komputasi numerik, simbolik, dan visualisasi grafik.
Mathematica dapat menyelesaikan beragam kasus komputasi matematika, mulai
dari komputasi yang paling sederhana hingga yang paling rumit dapat diselesaikan
dengan mudah, ringkas, cepat, dan tepat. Mathematica memiliki fasilitas fungsi
(built in Mathematics functions) yang menjadikan sintaks programnya dapat
dinyatakan dalam satu atau beberapa baris sederhana .
Dilengkapi dengan fasilitas terintegrasi Mathematica mampu mengerjakan
beragam perhitungan matematika, salah satunya adalah menyelesaikan masalah
5
optimasi linear (linear optimization). Mathematica dapat dengan mudah
menyelesaikan masalah optimasi linear untuk mencari nilai optimum dari suatu
fungsi objektif dan kedala yang berbentuk linear dalam masalah optimasi linear
yang berkaitan dengan meminimumkan atau memaksimumkan.
Mathematica mempunyai beragam algoritme untuk menyelesaikan suatu
masalah optimasi dengan variabel real yang dapat diformulasikan dalam bentuk
fungsi
Mathematica,
seperti:
LinearProgramming,
FindMinimum,
FindMaximum, Nminimize, Nmaximize, dan Maximize.
Sintaks LinearProgramming memberikan perintah untuk mengakses ke
penyelesaian optimasi linear, dengan sangat mudah menyesuaikan untuk
menentukan berbagai metode yang akan digunakan, dan sangat efisien untuk
menyelesaikan masalah optimasi linear yang berukuran besar.
Bentuk umum untuk optimasi linear pada Mathematica, yaitu:
1.
LinearProgramming[c, m, b]
Implementasi dari sintaks di atas ialah untuk menemukan suatu nilai vektor
x yang meminimumkan jumlah nilai �� pada fungsi objektif, dengan kendala
�� ≥ � dan � ≥ �. Di mana c adalah konstanta dari fungsi objektif, m
adalah konstanta (nilai ruas kiri) dalam kendala, dan b adalah nilai dari suatu
kendala (nilai ruas kanan).
2. LinearProgramming[c, m, {{�1 , �1 }, {�2 , �2 },……}]
Implementasi dari sintaks di atas ialah untuk menemukan nilai vektor x yang
meminimumkan fungsi objektif �� dengan kendala �� ≥ � untuk � ≥ � ,
dan kendala berupa linear dengan matriks m yang berpasangan {�� , �� }.
Untuk setiap baris �� dari m, sesuai dengan kendala jika �� � ≥ �� maka
�� == 1 , atau jika �� � == �� maka �� == 0 , atau jika �� � ≤ �� maka
�� == −1.
Untuk menyelesaikan optimasi linear yang lebih kompleks pada
Mathematica dapat dikerjakan dengan metode yang lebih spesifik, yaitu dengan
menggunakan
perintah
“Simplex”,
”RevisedSimplex”,
dan
“InteriorPoint”. Secara otomatis Mathematica akan mengerjakan masalah
optimasi linear dengan algoritme yang dipilih sesuai pada perintah sintaks dan
berdasarkan ukuran masalah dan tingkat ketelitian.
HASIL DAN PEMBAHASAN
Penelitian ini membahas perbandingan waktu eksekusi metode simpleks dan
metode titik interior dalam menyelesaikan masalah optimasi linear yang dilakukan
terhadap beberapa kasus, menggunakan bantuan perangkat lunak Mathematica.
Metode Simpleks
Metode simpleks adalah sebuah cara untuk menyelesaikan masalah optimasi
linear, dengan melakukan pengulangan pada pengujian titik-titik sudut hingga
menemukan penyelesaian optimal (Siswanto 2007). Algoritme simpleks
merupakan prosedur berulang, berarti cara yang sama digunakan di dalam
6
pengujian setiap titik sudut hingga ditemukan penyelesaian optimal, yaitu
penyelesaian yang memenuhi seluruh kendala dan menghasilkan nilai tujuan.
Dalam model optimasi linear, titik sudut adalah perpotongan antara paling sedikit
dua garis kendala. Selain membentuk titik sudut, juga akan membentuk sebuah
daerah fisibel dengan kemungkinan nilai optimal pada seluruh koordinat yang
memenuhi kendala-kendala yang ada.
Adapun istilah-istilah yang terdapat dalam algoritme simpleks, yaitu:
1
Variabel Slack
Variabel slack adalah variabel basis yang berfungsi untuk menampung sisa
kapasitas pada kendala yang berupa pembatas (Siswanto 2007).
2
Variabel Surplus
Variabel surplus adalah variabel yang berfungsi untuk menampung
kelebihan nilai ruas kiri pada kendala yang berupa syarat (Siswanto 2007).
3
Variabel Artificial
Variabel artificial adalah variabel yang bernilai positif, berfungsi untuk
memulai penyelesaian dan harus dijadikan nol pada solusi akhir. Variabel ini
digunakan untuk setiap persamaan yang tidak memiliki variabel basis.
4
Variabel Basis dan Nonbasis
Variabel basis (basic variable) dan variabel nonbasis (nonbasic variable)
merupakan dua terminologi penting yang akan selalu digunakan di dalam
algoritme simpleks. Variabel basis adalah variabel yang bernilai positif, dan
variabel nonbasis adalah variabel yang bernilai nol (Siswanto 2007).
Algoritme simpleks memerlukan sebuah tabel simpleks atau yang biasa
dikenal dengan tabulasi simpleks pada pengujian suatu titik sudut untuk
menentukan apakah variabel keputusan pada titik sudut itu telah menghasilkan
nilai tujuan yang optimal. Di dalam tabulasi simpleks menghendaki suatu bangun
matematik tertentu agar pengujian titik-titik sudut tersebut bisa dilakukan. Bangun
matematik tersebut dikenal sebagai bangun metematik yang sudah tereduksi
lengkap, di dalam bangun tersebut terdapat sebuah bangun matriks simetri di
mana elemen-elemen diagonalnya bernilai “+1” yang disebut sebagai matriks
identitas. Untuk membentuk bangun matematik yang sudah tereduksi lengkap
membutuhkan peranan kehadiran variabel slack, variabel surplus, dan variabel
artificial.
Peranan variabel slack, variabel surplus, dan variabel artificial adalah untuk
menampung selisih antara nilai ruas kiri dengan nilai ruas kanan pada kendala
yang berbentuk pertidaksamaan sehingga dapat diubah menjadi bentuk persamaan
yang sesuai dengan bangun matriks identitas. Bangun matriks identitas adalah
syarat agar sebuah model matematis optimasi linear dapat dituangkan ke dalam
tabulasi simpleks dan selanjutnya diselesaikan. Selain itu bangun matriks identitas
juga akan menandai variabel-variabel basis pada setiap koordinat yang diuji.
Variabel Basis pada Tabel Simpleks
Seperti yang telah diketahui, algoritme simpleks menghendaki suatu bangun
matematik yang tereduksi. Bangun ini kemudian dituangkan ke dalam tabulasi
simpleks. Perhatikan bangun matematik optimasi linear yang siap dituangkan ke
dalam tabulasi simpleks pada ilustrasi sistem persamaan (1) berikut ini:
7
�11 �1 + �12 �2 + ⋯ + �1� �� + 1 + 0 + ⋯ + 0 = �1 ,
�21 �1 + �22 �2 + ⋯ + �2� �� + 0 + 1 + ⋯ + 0 = �2 ,
⋮
�m1 �1 + �m2 �2 + ⋯ + ��� �� + 0 + 0 + ⋯ + 1 = �m .
(1)
Kendala Pembatasan Membentuk Matriks Identitas
Bangun matriks identitas yang ada pada ilustrasi sistem persamaan (1) di
atas dapat dibentuk dengan cara menghadirkan variabel slack pada kendala.
Pertidaksamaan kendala:
�
diubah menjadi
� ��� �� ≤ �� , ∀� = 1, 2, … , �
�=1
�
� ��� �� + �� = ��
�=1
di mana,
�� : variabel keputusan ke-j
��� : koefisien kendala ke-i variabel keputusan ke-j
�� : variabel slack kendala ke-i
�� : nilai ruas kanan kendala ke-i
Bentuk standar kendala yang siap diolah dalam algoritme simpleks tampak
seperti ilustrasi sistem persamaan (2) berikut ini:
�11 �1 + �12 �2 + ⋯ + �1� �� + �1 + 0 + ⋯ + 0 = �1 ,
(2)
�21 �1 + �22 �2 + ⋯ + �2� �� + 0 + �1 + ⋯ + 0 = �2 ,
⋮
�m1 �1 + �m2 �2 + ⋯ + ��� �� + 0 + 0 + ⋯ + �� = �m .
Kendala Syarat Membentuk Matriks Identitas
Bangun matematik yang memuat matriks identitas seperti pada ilustrasi
sistem persamaan (1) dan ilustrasi sistem persamaan (2) tidak mungkin dapat
dibentuk secara langsung pada kendala-kendala syarat yang menampung
kelebihan nilai ruas kiri, karena karakteristiknya memiliki koefisien “-1” pada
variabel surplus. Hal ini akan menyebabkan kendala tidak akan diperhitungkan
oleh algoritme simpleks. Karena variabel surplus mempunyai koefisien “-1”,
maka kondisi di mana kendala harus mempunyai satu varibel yang memiliki
koefisien “+1” menjadi tidak terpenuhi. Oleh karena itu, pada setiap kendala
syarat harus ditambahkan sebuah variabel yang berkoefisien “+1” yaitu variabel
artificial dengan notasi “ �� ” di samping variabel surplus, agar kendala itu
memiliki variabel basis sehingga dapat dituangkan ke dalam tabulasi simpleks.
Variabel artificial harus bernilai nol di dalam penyelesaian optimal agar
kehadirannya tidak mempengaruhi hasil penyelesaian.
Pertidaksamaan kendala syarat:
�
diubah menjadi
� ��� �� ≥ �� , ∀� = 1, 2, … , �
�=1
8
�
� ��� �� − �� + �� = ��
�=1
di mana,
�� : variabel keputusan ke-j
��� : koefisien kendala ke-i variabel keputusan ke-j
�� : variabel surplus kendala ke-i
�� : variabel artificial kendala ke-i
�� : nilai ruas kanan kendala ke-i
Bentuk standar kendala syarat yang siap diolah oleh algoritme simpleks
tampak seperti yang ditampilkan oleh ilustrasi sistem persamaan (3) berikut ini:
�11 �1 + �12 �2 + ⋯ + �1� �� − �1 + �1 + 0 + ⋯ + 0 = �1 ,
(3)
�21 �1 + �22 �2 + ⋯ + �2� �� + 0 − �2 + �2 + ⋯ + 0 = �2 ,
⋮
�m1 �1 + �m2 �2 + ⋯ + ��� �� + 0 + 0 + ⋯ − �� + �� = �m .
Seperti yang sudah dijelaskan di atas, bentuk umum masalah optimasi
linear harus diubah ke dalam bentuk standar atau bentuk persamaan, sehingga
dalam matriks A terbentuk matriks identitas dan dapat dituangkan ke dalam
tabulasi simpleks. Berikut ini merupakan ilustrasi tabulasi simpleks:
Table 1 Ilustrasi Tabulasi Simpleks
��
�1
�2
⋮
��
��
Basis
��
�� − ��
�1
�1
�11
�21
⋮
��1
�1
�1 − �1
�2
�2
�12
�22
⋮
��2
�2
�2 − �2
…
…
…
…
…
…
…
…
��
��
�1�
�2�
⋮
���
��
�� − ��
0
�1
0 … M
�2 … �1
…
…
…
…
��
�1
�2
⋮
��
Keterangan:
a. Baris �� diisi dengan koefisien fungsi tujuan.
b. Kolom �� diisi dengan koefisien variabel yang menjadi basis.
c. Kolom basis diisi dengan nama-nama variabel yang menjadi basis (variabel yang
menyusun matriks identitas).
d. Kolom �� diisi dengan nilai ruas kanan dari kendala.
e. Baris �� diisi dengan rumus �� = ∑��=1 �� ��� , j = 1, …, n.
1
Berikut ini akan diberikan proses algoritme simpleks, yaitu:
Mengubah terlebih dahulu masalah optimasi linear ke bentuk standar, fungsi
tujuan dan kendala-kendala diubah ke dalam bentuk persamaan. Seperti
yang sudah dijelaskan di atas, dengan menambahkan variabel slack, variabel
surplus, dan variabel artificial terhadap kendala yang berbentuk
pertidaksamaan. Untuk fungsi tujuan, tambahkan variabel slack (dengan
koefisien 0), variabel surplus (dengan koefisien 0), dan variabel artificial
(dengan koefisien M untuk masalah meminimumkan dan –M untuk masalah
memaksimumkan, M adalah bilangan yang cukup besar). Perhatikan contoh
sebagai berikut:
9
� = 2�1 + 3�2
5�1 + 6�2 ≤ 60,
�1 + 2�2 ≤ 16,
�1 ≤ 10,
�2 ≤ 6.
maksimumkan
terhadap
2
Bentuk standar:
maksimumkan � − 2�1 − 3�2 + 0�1 + 0�2 + 0�3 + 0�4 = 0
terhadap
5�1 + 6�2 + �1
= 60,
�1 + 2�2
+ �2
= 16,
�1
+ �3
= 10,
�2
+ �4 = 6.
Memasukkan bentuk standar masalah optimasi ke dalam tabulasi simpleks
yang terdiri dari kolom basis, kolom variabel keputusan, kolom nilai ruas
kanan, dan baris �� − �� (untuk tujuan meminimumkan atau
memaksimumkan). Bentuk tabulasi sebagai berikut:
Table 2 Tabulasi Simpleks
��
0
0
0
0
3
4
��
Basis
�1
�2
�3
�4
��
�� − ��
3
�2
6
2
0
1
0
-3
0
�1
1
0
0
0
0
0
0
�2
0
1
0
0
0
0
0
�3
0
0
1
0
0
0
0
�4
0
0
0
1
0
0
��
60
16
10
6
0
0
Menentukan kolom kunci (variabel masuk), yaitu untuk masalah maksimum
memilih �� − �� yang terkecil, sedangkan untuk masalah minimum memilih
�� − �� yang terbesar.
Menentukan baris kunci (variabel keluar), yaitu dari nilai rasio antara nilai
ruas kiri ( �� ) dengan koefisien kolom kunci, pilih yang terkecil (untuk
masalah minimum atau maksimum).
Rasio =
5
2
�1
5
1
1
0
0
-2
��
���
, j adalah kolom baris, di mana rasio > 0.
Menentukan pivot dari perpotongan antara kolom kunci dan baris kunci
yang dinamakan elemen kunci atau elemen penentu iterasi algoritme
simpleks dan akan diubah nilainya menjadi 1. Perhatikan contoh berikut:
10
Table 3 Tabulasi Simpleks Kolom Kunci dan Baris Kunci
��
0
0
0
0
��
Basis
�1
�2
�3
�4 *
��
�� − ��
2
�1
5
1
1
0
0
-2
3
�2 *
6
2
0
1
0
-3
0
�1
1
0
0
0
0
0
0
�2
0
1
0
0
0
0
0
�3
0
0
1
0
0
0
0
�4
0
0
0
1
0
0
��
60
16
10
6
Rasio
10
8
6
Keterangan:
�2 ∗
adalah
kolom
kunci
dengan
nilai
baris
�� − �� terkecil, yaitu �� − �� = −3 dan �4 ∗ adalah kolom baris dengan nilai
rasio terkecil, yaitu 6. Pivot berada pada elemen (4;2) dengan nilai elemennya
adalah 1.
6
7
Selanjutnya melakukan operasi baris dasar (OBD) berdasarkan pivot untuk
baris lainnya, termasuk baris �� − �� dengan nilai elemen-elemen yang
termasuk di dalam kolom kunci dijadikan nol (selain elemen yang dijadikan
pivot).
Proses iterasi untuk masalah maksimum berhenti jika semua nilai pada baris
�� − �� ≥ 0 berarti solusi sudah optimal, apabila masih ada �� − �� < 0
(negatif) maka iterasi metode simpleks masih berlanjut. Untuk masalah
minimum berhenti jika semua nilai pada baris �� − �� ≤ 0, apabila masih
ada �� − �� > 0 (positif) maka iterasi algoritme simpleks masih berlanjut.
Fungsi Mathematica untuk Metode Simpleks
Mathematica dengan fasilitas terintegrasi lengkap, mampu memberikan
perintah untuk menyelesaikan masalah optimasi linear sesuai metode yang
diinginkan dan memberikan waktu eksekusi dalam menyelesaikannya. Fasilitas
yang unik dari implementasi ini adalah:
LinearProgramming[c,{m},{{b}}Method →”Simplex”]//Timing
dengan c merupakan nilai konstanta pada fungsi tujuan, m merupakan nilai
konstanta (nilai ruas kiri) pada kendala, dan b merupakan nilai ruas kanan pada
kendala. Sintaks Method → ”Simplex” adalah perintah untuk mengakses ke
algoritme simpleks dalam menyelesaikan masalah optimasi linear dan Timing
untuk memberikan waktu eksekusi dalam penyelesaian.
Metode Titik Interior
Perkembangan baru dalam masalah optimasi linear adalah penemuan metode
titik interior yang berhasil mengembangkan algoritme baru dengan pendekatan
titik interior untuk menyelesaikan masalah optimasi linear. Metode titik interior
adalah metode yang dibangun dari beberapa metode iterasi, di mana algoritme
titik interior bergerak dengan menentukan titik-titik interior yang masuk di dalam
interior daerah solusi penyelesaian atau daerah fisibel. Algoritme titik interior
berbeda dengan algoritme simpleks, di mana dalam algoritme simpleks iterasinya
menggunakan titik ekstrim yaitu bergerak dari verteks ke verteks untuk
menentukan solusi daerah fisibel.
11
Algoritme titik interior digunakan untuk menyelesaikan masalah optimasi
linear yang kompleks, dalam artian memiliki kendala dan variabel keputusan
dengan jumlah yang besar. Karena algoritme titik interior membutuhkan jumlah
iterasi yang sedikit dengan mempertimbangkan waktu hitung rata-rata dalam
iterasinya, sehingga penyelesaian teknik komputasi algoritme titik interior
umumnya membutuhkan waktu penyelesaian yang lebih sedikit, maka waktu
eksekusi penyelesaian yang dibutuhkan untuk menyelesaikan masalah optimasi
linear tersebut sering kali lebih cepat dibandingkan dengan metode simpleks,
terutama jika dipakai untuk menyelesaikan permasalahan yang kompleks serta
memiliki banyak kendala dan variabel yang harus diselesaikan untuk masalah
dengan ukuran yang sama (Mitchell 1998).
Penyelesaian masalah optimasi linear metode titik interior berkaitan dengan
pendekatan metode barrier, metode pengali Lagrange serta metode Newton, baik
itu pada bentuk primal ataupun bentuk dual (Vanderbei 2001). Pendekatan metode
barrier diperkenalkan oleh Frisch pada tahun 1955 (Roos et al. 2006). Metode ini
bermula dari suatu titik di interior dari pertidaksamaan � > � dan � > � , lalu
dikonstruksi barrier sedemikian rupa sehingga variabel tidak menyentuh batas
daerah fisibel.
Penambahan ln � ke fungsi objektif merupakan salah satu cara dari
pendekatan barrier. Penambahan ln � menyebabkan nilai fungsi objektif
mengalami kenaikan atau penurunan tanpa batas (apabila � → � atau � → � ).
Kesulitan ini ialah jika titik optimal berada pada batas, misalnya satu atau lebih
�� = 0. Untuk mengatasi kesulitan ini, digunakan parameter � untuk menentukan
nilai minimum atau maksimum fungsi objektif dari bentuk barrier.
Berdasarkan definisi bentuk standar masalah optimasi linear dengan fungsi
tujuan serta kendala berbentuk linear, dalam penyelesaian masalah optimasi linear
dengan menggunakan metode titik interior perlu ditentukan batasan masalah,
dengan fungsi tujuan meminimumkan sehingga diperoleh bentuk optimasi linear
dalam model matematik sebagai berikut:
minimumkan
�T�
terhadap
�� = �,
(4)
�≥�
dengan
�1
�1
�1
�2
�2
�
� = � 2�,
� = � ⋮ �,
� = � ⋮ �,
⋮
��
��
��
dan
�11 �12 ⋯ �1�
�21 �22 ⋯ �2�
� =� ⋮
⋮
⋱
⋮ �.
��1 ��2 ⋯ ���
Jika x dan c merupakan vektor berukuran � × 1, dan b adalah vector berukuran
� × 1, maka A dapat dikatakan sebagai fungsi metode barrier dengan model
masalah primal-barrier ditulis sebagai berikut:
minimumkan
� T � − � ∑��=1 ln��� �
…(5.1)
terhadap
�� = �,
…(5.2)
(5)
� ≥ �.
…(5.3)
12
Di mana � adalah parameter suatu konstanta positif.
lim ln(�� ) = −∞
x→0
(6)
(7)
Oleh karena itu, logaritme dalam fungsi objektif merupakan model barrier
yang memberikan solusi negatif. Pada dasarnya ini akan menunjukkan solusi
optimal yang memenuhi pertidaksamaan � ≥ �, karena fungsi tujuan
meminimumkan persamaan (5.1). Berdasarkan keadaan tersebut maka didapat
pertidaksamaan pada kendala � > � persamaan (5.3) yang membuat masalah
optimasi tidak linear, sehingga dapat diselesaikan dengan metode pengali
Lagrange untuk � > 0 definisi (6).
Misalkan ��(�,�) adalah fungsi Lagrange masalah primal, dapat ditulis
sebagai berikut:
�
��(�,�) = � T � − � � ln��� � − � T (�� − �)
�=1
di mana � ∈ � � merupakan pengali Lagrange sesuai dengan sistem persamaan (4).
Fungsi ��(�,�) diturunkan sesuai aturan pengali Lagrange secara parsial
terhadap �� dan �� dengan � = 1, … , �. Pertama fungsi ��(�,�) diturunkan terhadap
�� dengan � = 1, … , �.
���(�,�)
=0
���
�
�
⇔ �� − − � ��� �� = �
��
�=1
���(�,�)
⇔
= �� − ��� −1 − �� � = �
���
(8)
�1 0 ⋯ 0
0� ⋯0
dengan pemisalan � ∶= diag (�) = � ⋮ 2 ⋱ ⋮ �, � ∶= (1, … , 1)� , dan simbol �
⋮
0 0 ⋯��
adalah vektor nol. Persamaan (8) dalam notasi vektor:
⇔ ∇� ���(�,�) = � − �� −1 � − �� � = �.
(9)
Selain itu, dengan pemisalan � = �� −1 � subtitusikan ke dalam persamaan (9),
didapat
⇔ � − � − �� � = �
⇔ �� � + � = �.
(10)
Kemudian fungsi ��(�,�) diturunkan terhadap �� dengan � = 1, … , �.
���(�,�)
=0
���
⇔
���(�,�)
= � − �� = �
���
⇔ �� = �.
(11)
13
Dari bentuk standar optimasi linear pada sistem persamaan (4), dapat
dibentuk masalah dual-barrier dengan daerah fisibel masalah dual dan juga daerah
interior dual. Masalah dual-barrier ditulis sebagai berikut:
�� � + � ∑��=1 ln��� �
�� � + � = �,
� ≥ �.
maksimumkan
terhadap
…(12.1)
…(12.2)
…(12.3)
(12)
Persamaan dual dalam fungsi Lagrange:
T
�
��(�,�,�) = � � + � � ln��� � − (�� � + � − �)�.
�=1
Fungsi ��(�,�,�) diturunkan secara parsial terhadap �� , �� dan �� dengan � =
1, … , �. Pertama fungsi ��(�,�,�) diturunkan terhadap �� dengan � = 1, … , �.
���(�,�,�)
=0
���
�
⇔ � ��� �� − �� = ��
�=1
�
⇔ � � + � = �.
(13)
Kemudian fungsi ��(�,�,�) diturunkan terhadap �� dengan � = 1, … , �.
���(�,�,�)
=0
���
�
⇔ � ��� �� = ��
�=1
⇔ � − �� = �
⇔ �� = �.
(14)
Selanjutnya fungsi ��(�,�,�) diturunkan terhadap �� dengan � = 1, … , �.
���(�,�,�)
=0
���
�
⇔ − �� = �
��
�
⇔ �� =
��
⇔ �� �� = �.
(15)
Variabel dual � merupakan pengali Lagrange untuk masalah primal dan variabel
primal � merupakan pengali Lagrange untuk masalah dual.
Kendala pelengkap diganti menjadi �� = ��, agar solusi sistem dari sistem
yang baru mendekati solusi sistem persamaan (5), dengan parameter � adalah
sembarang bilangan positif dan � adalah vektor yang semua unsurnya bernilai satu.
Kendala �� = �� ini disebut juga kondisi-pemusat pada � (Silalahi 2011).
14
Melihat sistem persamaan (4) kondisi primal dan sistem persamaan (12)
dalam kondisi dual, dengan melakukan pendekatan metode barrier dan melakukan
iterasi menggunakan metode pengali Lagrange dari kedua sistem persamaan
tersebut diperoleh daerah titik interior sebagai sistem persamaan yang baru, yaitu:
…(16.1)
�� = �,
� ≥ �,
…(16.2)
(16)
� ≥ �,
�� � + � = �,
…(16.3)
�� = ��
�
dengan vektor-vektor �, �, � ∈ ℝ , sedangkan vektor-vektor �, � ∈ ℝ� , serta
matriks � ∈ ℝ�×� adalah matriks berpangkat baris penuh. Vektor � adalah vektor
yang semua unsurnya bernilai satu dengan � ∈ ℝ� . Sistem ini merupakan kondisi
optimal untuk masalah minimisasi (Silalahi 2011).
Jika sistem persamaan (16) memiliki solusi untuk beberapa nilai positif dari
parameter � maka daerah fisibel primal mengandung vektor � positif, dan daerah
fisibel dual mengandung pasangan (�, �) dengan vektor � positif sehingga daerah
fisibel primal dan daerah fisibel dual mengandung vektor positif. Hal tersebut
merupakan kondisi fisibel titik interior. Demikian juga sebaliknya, jika daerah
fisibel primal dan dual mengandung vektor positif maka sistem persamaan (16)
memiliki solusi untuk setiap � positif. Hal ini merupakan konsekuensi dari
teorema berikut.
Teorema 1
Misalkan � > 0 . Daerah fisibel primal ( �) dan dual (�) mengandung
vektor positif jika dan hanya jika sistem persamaan (16) memiliki solusi yang
tunggal (Roos et al. 2006).
Iterasi dari algoritme titik interior dalam menyelesaikan masalah optimasi
linear dilanjutkan dengan tahapan Newton, yaitu untuk mencari nilai solusi
optimalnya. Tahap ini dikenal dengan tahap prediksi nilai solusi optimal yang
layak. Langkah selanjutnya yaitu menentukan sistem persamaan baru yang sesuai
dengan sistem persamaan (16), serta dapat menentukan nilai matriks Jacobi J(y)
sebagai berikut:
…(17.1)
�� − � = �,
�
…(17.2)
(17)
� � + � − � = �,
…(17.3)
�� − �� = �.
Sistem persamaan (17) merupakan persamaan f(y) dengan matriks Jacobi J(y):
� 0 0
�(�) = � 0 �� � �.
� 0 �
0
0
0
Asumsi titik awal ( � , � , � ) memenuhi � 0 > 0 dan �0 > 0 terhadap
kendala awal persamaan primal-dual dinotasikan sebagai sistem berikut:
�� = � + �� 0
�� = � − �T � 0 − �0
Kondisi optimal dapat ditulis sebagai berikut:
dengan � = (�� , �� , �� ), adalah
�(�)� = −�(�),
15
�
�0
�
0
��
0
��
0 ��
�
� � � � � = � �� �
�� − ��
�
��
⇔ ��� = �� ,
�
� �� + �� = �� ,
��� + ��� = �� − ��,
dengan manipulasi aljabar untuk menentukan � = (�� , �� , �� ) didapat
1.
2.
3.
�� = (���−1 �� )−1 (� − ��� −� )
�� = −�� − �� ��
�� = � −1 (�� − �� − ��� ).
Proses iterasi algoritme titik interior primal-dual selanjutnya, yaitu:
Menentukan solusi fisibel awal �(0) > 0 , � (0) > 0 , � (0) > 0 , dengan
� = 0 toleransi optimal � > 0, dan parameter 0 < � < 1.
Tes optimalisasi, selama (�� )� �� ≥ � lanjut ke langkah berikutnya. Jika
(�� )� �� < �, iterasi berhenti.
Hitung langkah Newton-penuh, dan perbarui solusi
�(�+1) = �(�) + �� ���
�(�+1) = �(�) + �� ���
�(�+1) = �(�) + �� ���
−��
dengan �� = � min� �(�
� )�
4.
−��
; (�� )� < 0� , �� = � min� �(�
� )�
adalah nilai pendekatan dengan � sebagai parameter pembatas.
; (�� )� < 0�
Selanjutnya � ← � + 1, kembali ke Langkah 2.
Nilai akhir yang diperoleh menyatakan nilai objektif dari fungsi optimasi
linear yang telah dicari solusinya, sehingga tahapan-tahapan koreksi yang
dilakukan memperoleh titik interior sebagai daerah jawab terutama setelah
melakukan beberapa iterasi sampai memperoleh titik optimum sebagai solusi
penyelesaian dari masalah optimasi linear.
Fungsi Mathematica untuk Metode Titik Interior
Mathematica dengan fasilitas terintegrasi lengkap, mampu memberikan
perintah untuk menyelesaikan masalah optimasi linear sesuai metode yang
diinginkan dan memberikan waktu eksekusi dalam menyelesaikannya.
Mathematica mengimplementasikan algoritme titik interior dengan menggunakan
fasilitas yang unik, yaitu:
LinearProgramming[c,{m},{{b}}Method → ”InteriorPoint”]//Timin
g, dengan c merupakan konstanta pada fungsi tujuan, m merupakan konstanta
kendala,
dan
kanan pada kendala. Sintaks
untuk menyelesaikan masalah
optimasi linear dengan metode titik interior dan Timing untuk memberikan
waktu eksekusi dalam penyelesaian.
b
merupakan
nilai
ruas
Method →”InteriorPoint” adalah perintah
16
Melihat secara teoritis iterasi antara metode simpleks dan metode titik
interior sangat berbeda, seperti yang telah dijelaskan di atas. Untuk melihat
perbedaan waktu dalam menyelesaikan masalah optimasi linear, dilihat dari
perbandingan waktu eksekusi penyelesaian antara kedua metode tersebut.
Perbandingan dilakukan terhadap studi kasus dengan bantuan perangkat lunak
Mathematica, dan ukuran masalah optimasi linear dipilih bervariasi secara kontinu
dari masalah optimasi linear yang sederhana (berukuran kecil) sampai masalah
optimasi linear yang kompleks dengan kendala dan variabel berukuran besar.
Studi Kasus
Kasus 1:
Masalah optimasi linear dengan 2 kendala dan 2 variabel
min
x + 2y
kendala
x + 2y ≥ 3,
x + y ≤ 2,
x, y ≥ 0.
Penyelesaian komputasi dengan metode simpleks:
input:
LinearProgramming[{1.,2},{{1,2},{1,1}},{{3,1},{2,output:
input:
output:
input:
input:
output:
input:
output:
1}},Method →”Simplex”]//Timing
{0.,{0., 1.5}}
First[%]