63
Matematika
konsep perkalian dua matriks di atas, diperoleh: 1
3 5
2 4
6 2
1 3
2 4
1 2 2 1
3 2 4 1
5 2 6 1
1 3
=
+ +
+ .
. .
. .
. .
. + +
+ +
+ +
+
=
2 2 3 3
4 2 5 3
6 2 1 4
2 0 3 4
4 0 5 4
6 0 4
10 16
. .
. .
. .
. .
. .
. 7
7 17
27 4
12 20
.
Dengan menggunakan hasil diskusi yang kamu peroleh pada contoh a dan b, silahkan periksa apakah matriks
2 1
3 2
4
dapat dikalikan terhadap matriks
1 3
5 2
4 6
? Berikan penjelasanmu
a. Sifat Asosiatif dan Distributif Operasi Perkalian Matriks
Misalkan Matriks A =
5 12
3 1
; B =
− −
5 12
3 1
C =
2 1
1 1
−
A × B =
5 12
3 1
5 12
3 1
×
− −
A × B =
− +
− +
− −
25 36
60 12
15 3
36 1
A × B =
11 48
12 35
−
B × A =
− −
×
5 12
3 1
5 12
3 1
B × A =
− +
− −
+ −
25 36
60 12 15
3 36 1
B × A =
11 48
12 35
−
Berdasarkan hasil perhitungan di atas, dapat disimpulkan bahwa perkalian matriks tidak memenuhi sifat komutatif sebab
A × B ≠ B × A
Mari kita cek sifat asosiatif A
×
B
×
C
= 5
12 3
1 5
12 3
1 2
1 1
1
× −
−
× −
A
×
B
×
C
= 5
12 3
1 7
23 8
13
× −
−
Di unduh dari : Bukupaket.com
64
Kelas XI SMAMASMKMAK Semester 1
A
×
B
×
C
= 34
61 1
83 −
Sekarang perhatikan hasil perkalian matriks A
×
B
×
C
= 5
12 3
1 5
12 3
1 2
1 1
1
× −
−
× −
A
×
B
×
C
= 11
48 12
35 2
1 1
1 −
×
− −
A
×
B
×
C
= 34
61 1
83 −
Dari hasil perhitungan di atas dapat disimpulkan A × B × C = A × B × C.
Sifat 2.3
Misalkan matriks A berordo m × n, B berordo n × p dan C berordo p × q dengan
m, n, p, q ∈ N. Perkalian matriks memenuhi sifat asosiatif jika dan hanya jika A × B × C = A ×
B × C.
Perhatikan kembali matriks A, B, dan C di atas.
Matriks A =
5 12
3 1
; B =
− −
5 12
3 1
dan C =
2 1
1 1
−
A × B + C =
5 12
3 1
5 12
3 1
2 1
1 1
×
− −
+
−
= 5
12 3
1 3
13 2
×
−
=
24 23
10 24
−
A × B + A × C =
5 12
3 1
5 12
3 1
5 12
3 1
2 1
×
− −
+
×
− −
1 1
=
11 48
12 35
13 25
2 11
−
+
− −
=
24 23
10 24
−
Di unduh dari : Bukupaket.com
65
Matematika
Dari hasil perhitungan di atas, dapat disimpulkan bahwa
A × B + C = A × B + A × C.
Sifat 2.4
Misalkan matriks A berordo m × n, B berordo n × p dan C berordo n × p dengan m,
n, p, q
∈
N. Perkalian matriks memenuhi sifat distributif operasi perkalian terhadap operasi pen–jumlahan matriks jika dan hanya jika
A × B + C = A × B + A × C.
Nah, sekarang mari kita cermati untuk perkalian berulang suatu matriks A berordo
p × q.
Diketahui matriks A =
1 1
−
.
Tentukanlah A
2013
Contoh 2.7
Alternatif Penyelesaian
Mari cermati langkah-langkah berikut
A
2
= A.A =
1 1
1 1
1 1
1 1
1 −
−
= −
−
= −
. .
= = −1
Jika A
2
= –I, maka A
4
= I. Artinya, untuk setiap pangkat matriks A kelipatan 4,
akan ditemukan matriks identitas. Selanjutnya, 2013 dapat kita tuliskan sebagai berikut:
2013=4.503+1. Akibatnya
,
A
2013
= A
4.503+1
= A
4 503
.A
1
. Matriks A
4
= I, dan I
n
= I, n = 1,2,3,…, akibatnya berlaku, A
4 503
= I. Oleh karena itu,
A
2013
= I. A = A =
1 1
−
.
Dari hasil pembahasan Contoh 2.7, secara umum dapat kita nyakan dalam deinisi berikut ini.
Deinisi 2.7
Misalkan matriks A berordo p × q dan n
∈
N. A
A A
A A
n n faktor
= × × × …
Di unduh dari : Bukupaket.com
66
Kelas XI SMAMASMKMAK Semester 1
A
2013
pada contoh di atas, dengan A=
1 1
−
, kebetulan memiliki pola untuk menentukan hasilnya. Namun, jika kamu menjumpai masalah untuk menentukan
A
n
, n bilangan asli dapat kamu kerjakan dengan menentukan hasil kali matriks A
sebanyak n faktor.
Pertanyaan Kritis:
Apakah A
4
= I berlaku untuk sembarang matriks persegi berordo 2 × 2 ?
Uji Kompetensi 2.1
1. Hasil penjumlahan matriks
p p
q +
+
+
=
2
3 2
5 6
6 3
4 9
8 5
.
Tentukan nilai p
dan q.
2. Misalkan matriks A =
p +
2 3
2 5
B =
p q
6 6
3 +
Bila 3 A = B, Tentukan nilai p
dan q.
3. Diberikan matriks A =
4 3
2 5
− −
B =
4 3
6 3
−
dan C =
− −
−
26
3 2
35
Tunjukkan bahwa
A + B = B
2
. + C.
4. Tentukanlah hasil perkalian matriks -matriks berikut
a.
1 2
2 5
4 1
5 2
4
c.
− −
2 3
1 1
1 1
1 1
1 1
b.
2 7
1 6
5 7
3 1
−
d.
1 1
1 1
3 5
3 4
6 2
5 3
5. Apa yang dapat kamu jelaskan tentang operasi pembagian matriks? Misalnya diketahui persamaan matriks A.C = B, dengan matriks A dan B matriks yang
diketahui. Bagaimana kita menentukan matriks C? Paparkan di depan kelas 6. Berikan dua matriks yang memenuhi kesamaan:
i. A + B
2
= A
2
+ B
2
ii. A
2
– B
2
= A – B.A + B
Di unduh dari : Bukupaket.com
67
Matematika
7. Seorang agen perjalanan menawarkan paket perjalanan ke Danau Toba. Paket I terdiri atas 3 malam menginap, 2 tempat wisata dan 4 kali makan. Paket II dengan
4 malam menginap, 5 tempat wisata dan 8 kali makan. Paket III dengan 3 malam menginap, 2 tempat wisata dan tidak 1 makan. Sewa hotel Rp 250.000,00 per
malam, biaya pengangkutan ke tiap tempat wisata Rp 35.000,00, dan makan di restoran yang ditunjuk Rp 75.000,00.
a Dengan menggunakan perkalian matriks, tentukan matriks biaya untuk tiap paket.
b Paket mana yang menawarkan biaya termurah? 8. Sebuah perusahaan angkutan menawarkan tiket pulang bersama ke Provinsi Jawa
Timur. Perusahaan angkutan tersebut mempunyai tiga jenis bus, yaitu Excecutif, Economi, dan AC. Setiap bus dilengkapi dengan kursi penumpang untuk kelas
umum, mahasiswa dan pelajar. Jumlah kursi penumpang tiga jenis bus tersebut disajikan pada tabel di bawah ini.
Eksekutif Ekonomi
AC
Umum 40
42 41
Mahasiswa 33
41 35
Pelajar 30
39 28
Perusahaan telah mendaftar jumlah penumpang yang mengikuti perjalanan wisata ke negara A, seperti pada tabel berikut.
Kategori penumpang
Jumlah penumpang
Umum 123
Mahasiswa 109
Pelajar 94
Berapa banyak bus yang harus disediakan untuk perjalaan tersebut?
Di unduh dari : Bukupaket.com
68
Kelas XI SMAMASMKMAK Semester 1
9. Tentukanlah B
3
– 4 B
2
+ B – 4I, dengan matriks I merupakan matriks identitas
berordo 3 × 3 dan matriks B =
1 1
2 1
2 1
2 1
1
10. Jika matriks D =
1 1
2 1
2 1
2 1
1
, maka tentukanlah matriks D
3
– 4 D
2
+ D + 4.I,
dengan matriks I merupakan matriks identitas berordo 3 × 3
11. Tentukanlah nilai p dan q yang memenuhi syarat berikut ini a R =
p q
2
dan R
2
= I b S =
. .
3 2
1 5
− −
dan S
2
= p.S + q.I
Projek
Rancang sebuah permasalahan terkait pekerjaan tukang pos yang melibatkan matriks. Beri bobot lintasan kenderaan dari sisi jarak atau
biaya dalam pelaksanaan tugas mengantar surat atau barang dari rumah ke rumah penduduk. Selesaikan tugas ini secara berkelompok. Buat laporan
hasil kerjamu dan sajikan di depan kelas.
5. DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS a. Determinan Matriks.
