Mathematics Finance No Arbitrage Princip

  Mathematics Finance Assignment Indira Puteri K. No Arbitrage Principle

“There is never an opportunity to make a risk-free profit that gives a greater return

than that provided by the interest from a bank deposit”

  1.   P dan opsi put Amerika   P , yaitu nilai _{E E} Perbandingan nilai opsi put Eropa opsi put Amerika lebih dari nilai opsi put Eropa, atau secara matematis dituliskan :

  

P  P

_{A E}

  Akan dibuktikan P  P dengan memakai metode kontradiksi. Misalkan _{A E}

  P  P , dengan asumsi memiliki waktu jatuh tempo yang sama  T  T  T  , _{A E A E}

  dan nilai kontrak yang sama pula  K  K  K  . Melalui kondisi ini, akan _{A E} dibuktikan dimungkinkan terjadi risk-free profit.

  Bukti :

  Pada saat t , lakukanlah hal berikut :

  

  Beli satu opsi put Amerika Jual satu opsi put Eropa

  Dari kegiatan ini, akan diperoleh dana sebesar P  P  , untuk kemudian _{E A} disimpan di bank sebagai tabungan.

  t T

  Pada saat  , akan terdapat dua macam kemungkinan kondisi harga. Kedua kondisi ini akan dianalisa dampaknya masing-masing terhadap pelaku kegiatan diatas. Kondisi tersebut adalah harga pasar S T lebih dari harga kontrak K ,

       

  atau harga pasar  S   T  kurang dari harga kontrak K . Berikut disajikan analisa

   

  pada setiap kondisi :

  a. S   T  K Opsi put Eropa tidak akan di-exercise (dijual) oleh pemiliknya kepada writer.

  Sedangkan opsi Put Amerika yang kita miliki juga tidak akan dikenai tindakan apapun (didiamkan). Pada kondisi ini, kita tetap akan memiliki simpanan dana di bank yang dapat diambil, sebesar _rT

   P  P  e  _{E A}

  b. S   T  K

  Holder dapat membeli aset seharga S   T di pasar dan meng-exercise

  (menjual) opsi put Eropa pada writer seharga K . Sedangkan, opsi put Amerika yang kita miliki juga dapat di-exercise (dijual) seharga K , sehingga dengan kata lain akan didapat dana sebesar K . Dana inilah yang dapat digunakan untuk membeli aset seharga S T di pasar. Karena S T  , K

     

  maka sisa dana kita adalah K S . Selain itu, kita masih memiliki  T    _rT cadangan dana di bank sebesar P P e .

     

_{E A} Artinya, dengan kondisi P  P , selalu dapat diperoleh risk-free profit yang _{A E} melanggar prinsip No Arbitrage. Oleh karena itu, kondisi yang berlaku haruslah

  P P berupa  . _{A E rT}  2.

  P   S  Ke , dengan S

  Batas atas dan batas bawah opsi Put Eropa, yaitu E adalah nilai saham pada saat t .

   _rT  Akan dibuktikan P   S  Ke dengan menggunakan metode kontrakdiksi. _{E rT}

  

  Misalkan P   S  Ke . Pada kondisi ini akan diperlihatkan bahwa _E dimungkinkan terjadi risk-free profit.

  Bukti :

  Pada saat t  , lakukan hal berikut : Pinjam sejumlah uang di bank sebesar  P  S  , tentunya akan dilunasi pada saat _{rT E}

  t  T , sebesar  P  S  e . Kemudian, lakukan pula hal berikut : _E

  Beli satu opsi put Eropa Beli satu lembar saham

  Pada saat t T , akan terdapat dua macam kemungkinan kondisi harga. Kedua

  

  kondisi ini akan dianalisa dampaknya masing-masing terhadap pelaku kegiatan diatas. Kondisi tersebut adalah harga pasar  S   T  lebih dari harga kontrak K ,

   

  atau harga pasar  S   T  kurang dari harga kontrak K . Berikut disajikan analisa

   

  pada setiap kondisi :

  a. S   T  K Opsi put Eropa tidak dapat di-exercise, karena tidak akan memberi keuntungan apapun. Sedangkan saham yang kita miliki, dapat dijual (dilepas) ke writer seharga K . Artinya, kita telah mendapatkan dana sebesar K . Sehingga dana yang tersisa setelah membayar kewajiban pelunasan pinjaman di bank adalah _rT

  K   P  S  e . Jelas, nilai dana ini bernilai positif, karena kita telah _E

  mengasumsikan di awal bahwa _rT

   P   S  Ke _{E rT}

  

   P  S  Ke _{E rT}

  

P S e K

        _{E rT}  K  P  S e 

  

 

_E

  b. S   T  K Opsi put dapat di-exercise (dijual), dengan menjualnya pada writer seharga

  K . Artinya, kita telah mendapatkan dana sebesar K . Sedangkan saham yang

  dimiliki juga dapat dilepas seharga K , sehingga total dana kita sementara adalah K 2 . Namun, kita tetap wajib melunasi pinjaman di bank, maka dana _rT yang tersisa adalah

  2 K   P  S  e  . _E

  rT 

  Dengan demikian, kondisi P   S  Ke selalu memungkinkan terjadinya risk- _E

  free profit, hal ini melanggar prinsip No Arbitrage. Sehingga kondisi yang berlaku  rT

  haruslah P   S  Ke _E

  rT 

  3. P  S  C  Ke . Pembuktian pernyataan ini dilakukan _{E E} Put Call Parity, yaitu _rT

  

  dengan membuktikan bahwa kondisi P  S  C  Ke akan mengakibatkan _{E E rT}

   risk-free profit (telah tuntas dibuktikan), dan kondisi P  S  C  Ke juga _{E E} akan mengakibatkan risk-free profit.

   rT

  Dengan kata lain, kita akan membuktikan bahwa kondisi P  S  C  Ke _{E E} akan mengakibatkan situasi risk-free profit.

  Bukti :

  Pada saat t  , lakukanlah hal berikut : Jual satu opsi put Eropa Jual satu lembar saham (dapat memakai mekanisme short selling) Beli satu opsi call Eropa

  rT

  Dari kegiatan tersebut, diperoleh dana sebesar P S C Ke . Dana

        _{E E}

  ini dapat disimpan di bank untuk kemudian diambil kembali pada saat t  T , _rT menjadi sebesar  P  S  C  e  K  . _{E E} Pada saat t  T , akan terdapat dua macam kemungkinan kondisi harga. Kedua kondisi ini akan dianalisa dampaknya masing-masing terhadap pelaku kegiatan diatas. Kondisi tersebut adalah harga pasar S T lebih dari harga kontrak K ,

       

  atau harga pasar S T kurang dari harga kontrak K . Berikut disajikan analisa

       

  pada setiap kondisi :

  a. S   T  K Opsi put Eropa tidak dapat di exercise. Opsi call Eropa dapat di-exercise, dengan membelinya pada writer seharga K . Dana yang kita dapat dari penjualan opsi call Eropa tadi (dibeli oleh holder), kita gunakan untuk membeli saham seharga K , untuk kemudian saham tersebut dikembalikan pada pemiliknya (jika ketika menjual, kita memakai mekanisme short selling). Sehingga dana yang tersisa adalah dana simpanan di bank yang telah dapat _rT diambil, dikurangi oleh dana sebesar K tadi, yaitu  P  S  C  e  K  . _{E E}

  b. S   T  K Opsi call Eropa tidak dapat di-exercise, karena tidak akan memberikan keuntungan apapun. Opsi put Eropa dapat di-exercise. Apabila pembelian saham dilakukan dengan mekanisme short selling, kita harus mengembalikan saham tersebut pada pemiliknya dengan terlebih dahulu membeli saham di bank dikurangi oleh dana pembelian saham seharga S   T . Secara matematis, _rT dapat ditulis  P  S  C  e  S   T  . _{E E}

   rT

  Dengan demikian, kondisi P  S  C  Ke selalu memungkinkan terjadinya _{E E}

  

risk-free profit, hal ini melanggar prinsip No Arbitrage. Sehingga kondisi yang

_rT 

  berlaku haruslah P S C Ke _{E E}   