Proyeksi cadangan klaim dengan metode Munich chain-ladder

PROYEKSI CADANGAN KLAIM DENGAN METODE
MUNICH CHAIN-LADDER

IKHWAN ABIYYU

DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2015

PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Proyeksi Cadangan
Klaim dengan Metode Munich Chain-Ladder adalah benar karya saya dengan
arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada
perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya
yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam
teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.

Bogor, Mei 2015
Ikhwan Abiyyu
NIM G54110015

ABSTRAK
IKHWAN ABIYYU. Proyeksi Cadangan Klaim dengan Metode Munich ChainLadder. Dibimbing oleh I GUSTI PUTU PURNABA dan RUHIYAT.
Perusahaan asuransi wajib mempersiapkan cadangan klaim secara tepat
untuk menutupi pengeluaran dari klaim yang akan terjadi di masa yang akan
datang. Salah satu metode estimasi cadangan klaim yang sering digunakan adalah
metode chain-ladder. Karena kesederhanaan dari metode tersebut, banyak
perusahaan asuransi menggunakannya dalam estimasi cadangan klaim di masa
yang akan datang. Namun, metode chain-ladder tidak bisa mengurangi gap antara
proyeksi IBNR (Incurred but Not Reported) dari kerugian yang dibayarkan dan
kerugian yang sebenarnya terjadi. Metode Munich chain-ladder adalah
pengembangan metode dari metode chain-ladder yang dikembangkan oleh
Gerhard Quarg dan Thomas Mack. Metode Munich chain-ladder dalam
aplikasinya dapat mengurangi gap yang terjadi. Karya ilmiah ini menjelaskan cara
estimasi cadangan klaim menggunakan metode Munich chain-ladder dan
membandingkan hasilnya dengan menggunakan metode chain-ladder, serta
memberikan contoh data di mana metode Munich chain-ladder tidak

menghasilkan proyeksi yang baik.
Kata kunci: cadangan klaim, chain-ladder, IBNR, outstanding claim.

ABSTRACT
IKHWAN ABIYYU. Projection of Claim Reserves Using the Munich ChainLadder Method. Supervised by I GUSTI PUTU PURNABA and RUHIYAT.
Insurance companies are required to manage the appropriate claim
reserves to cover the expenses of the claims that will occur in the future. One of
the claim reserves estimation method that frequently used is the chain-ladder
method. Because of the simplicity of this method, many insurance companies use
the method to estimate the claim reserves in the future. However, the chain-ladder
method is not able to reduce the gap between the projection of IBNR (Incurred but
Not Reported) paid losses and incurred losses. The Munich chain-ladder is the
development of the chain-ladder method introduced by Gerhard Quarg and
Thomas Mack. The Munich chain-ladder method can be applied to reduce the gap
between the projection of IBNR paid losses and incurred losses. This paper
describes how to estimate the claim reserves using the Munich chain-ladder
method and to compare the results with using the chain-ladder method. In
addition, we provide examples of data, where the Munich chain-ladder method
does not produce a good projection.
Keywords: claim reserve, chain-ladder, IBNR, outstanding claim.

PROYEKSI CADANGAN KLAIM DENGAN METODE
MUNICH CHAIN-LADDER

IKHWAN ABIYYU

Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika

DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2015

PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala rahmat

dan karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Penulisan karya
ilmiah ini juga tidak lepas dari bantuan berbagai pihak. Untuk itu penulis
mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada:
1. Ibundaku tersayang Ibu Mardiana. Terima kasih atas doa, cinta,
semangat, pengorbanan, dan segalanya kepada penulis. Terima kasih
telah menjadi mama terhebat untuk anak-anaknya.
2. Adik-adikku Sayyid Abyan dan Siti Najwa Assyyfa atas semangatnya
kepada penulis.
3. Bapak Dr Ir I Gusti Putu Purnaba, DEA sebagai dosen pembimbing I
dan Bapak Ruhiyat, MSi sebagai dosen pembimbing II. Terima kasih
atas segala waktu, ilmu, nasihat, dan bantuannya selama penulisan karya
ilmiah ini.
4. Bapak Dr Donny Citra Lesmana, SSi, MFinMath sebagai dosen penguji
atas kritik dan saran untuk perbaikan skripsi ini.
5. Dosen dan staf penunjang Departemen Matematika FMIPA IPB atas
semua ilmu, nasihat, dan bantuannya.
6. Teman-teman satu bimbingan yaitu Lilyani dan Sinta atas semua saran,
semangat, dan bantuannya.
7. Sahabat satu kontrakan yaitu Median, Firi, dan Fakhri serta sahabat
dekat selama perkuliahan yaitu Adam, Irma, Henny, Restu, Hendar,

Hasan, dan Resty. Terima kasih atas kebersamaannya, perhatian,
semangat, dan bantuannya kepada penulis selama 4 tahun perkuliahan.
8. Teman-teman Matematika 48, kakak-kakak Matematika 47, dan adikadik Matematika 49 atas kebersamaan dan suka-duka selama penulis
menempuh studi di Departemen Matematika.
9. Sahabat dari SMA hingga saat ini Fadhlulrahman Azis, serta Sahabat
dari TPB yaitu Diko, Adoy, Feber, dan Dody. Terima kasih atas
kebersamaannya dan semangatnya kepada penulis.
10. Kak Julianto, SSi yang telah membagi ilmu dan wawasannya tentang
teknik cadangan klaim dalam asuransi, khususnya asuransi kerugian.
11. Pihak-pihak lain yang telah membantu penulisan skripsi ini yang tidak
dapat disebutkan satu per satu.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, Mei 2015
Ikhwan Abiyyu

DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL

viii

DAFTAR GAMBAR

viii

DAFTAR LAMPIRAN

viii

PENDAHULUAN

1

Latar Belakang

1

Tujuan Penelitian

2

TINJAUAN PUSTAKA

2

Teori Peluang

2

Total Klaim

3

Outstanding Claims Liability

3

Teknik Chain-Ladder

5

HASIL DAN PEMBAHASAN

6

Metode Chain-Ladder

6

Metode Munich Chain-Ladder

7

Implementasi Praktis

11

Contoh Penerapan Metode Cadangan Klaim Munich Chain-Ladder

14

SIMPULAN DAN SARAN

26

Simpulan

26

Saran

27

DAFTAR PUSTAKA

27

LAMPIRAN

28

RIWAYAT HIDUP

36

DAFTAR TABEL
1 Run-off triangle data dan future triangle data dalam bentuk inkremental
2 Run-off triangle data dan future triangle data dalam bentuk kumulatif
3 Run-off triangle untuk kerugian yang dibayarkan dari data Quarg dan
Mack
4 Run-off triangle untuk kerugian yang terjadi dari data Quarg dan Mack
5 Estimasi faktor penundaan rata-rata dan parameter � dari data Quarg
dan Mack
6 Rasio (P/I) dan (I/P) serta parameter � dari data Quarg dan Mack
̂ ( , ) dari data Quarg dan Mack
7 Hasil perhitunan Res
̂ (� , ) dari data Quarg dan Mack
8 Hasil perhitunan Res
̂ ( −, ) dari data Quarg dan Mack
9 Hasil perhitunan Res
̂ ( , ) dari data Quarg dan Mack

10 Hasil perhitunan Res
11 Hasil proyeksi untuk kerugian yang dibayarkan dari data Quarg dan
Mack dengan metode Munich chain-ladder
12 Hasil proyeksi untuk kerugian yang terjadi dari data Quarg dan Mack
dengan metode Munich chain-ladder
13 Gap antara proyeksi untuk kerugian yang dibayarkan dan kerugian
yang terjadi dari data Quarg dan Mack dengan metode Munich chainladder
14 Gap antara proyeksi untuk kerugian yang dibayarkan dan kerugian
yang terjadi dari data Quarg dan Mack dengan metode chain-ladder
15 Gap antara proyeksi untuk kerugian yang dibayarkan dan kerugian
yang terjadi dari data Lloyd's dengan metode Munich chain-ladder

4
4
15
15
17
19
20
20
21
21
23
23

24
25
26

DAFTAR GAMBAR
1
2
3
4

Plot residual dari kerugian yang dibayarkan dari data Quarg dan Mack
Plot residual dari kerugian yang terjadi dari data Quarg dan Mack
Plot residual dari kerugian yang dibayarkan dari data Lloyd’s
Plot residual dari kerugian yang terjadi dari data Lloyd’s

22
22
25
26

DAFTAR LAMPIRAN
1 Pengolahan data Quarg dan Mack dengan metode Munich chain-ladder
2 Pengolahan data Quarg dan Mack dengan metode chain-ladder
3 Pengolahan data Lloyd's dengan metode Munich chain-ladder

28
30
32

PENDAHULUAN
Latar Belakang
Setiap orang tidak mengetahui bagaimana kehidupan ke depannya akan
berjalan seperti apa. Ketidakpastian bisa saja terjadi seperti bahaya, kerusakan,
dan kerugian yang pasti akan dialami kapanpun dan oleh siapapun. Risiko
ketidakpastian tersebut dapat merusak kestabilan ekonomi yang sangat besar.
Salah satu solusi untuk mengantisipasi risiko tersebut adalah melalui asuransi.
Asuransi adalah sebuah janji dari pihak penanggung dalam hal ini perusahaan
asuransi kepada pihak tertanggung yakni nasabah, bahwa bila terjadi risiko maka
perusahaan asuransi tersebut akan memberikan santunan (benefit) dengan jumlah
tertentu kepada nasabahnya.
Industri asuransi dewasa ini semakin berkembang dari tahun ke tahun. Ini
bisa digambarkan dengan semakin banyaknya orang yang tertarik untuk membeli
produk berupa jasa yang ditawarkan oleh suatu perusahaan asuransi. Dengan
membayarkan sejumlah uang yang disebut premi, risiko kerugian yang mungkin
dapat timbul dari nasabah pada waktu mendatang telah ditanggung oleh
perusahaan asuransi tersebut sesuai dengan polis yang berlaku. Perusahaan
asuransi wajib mempersiapkan dana siap pakai secara tepat untuk menutupi
pengeluaran oleh klaim yang terjadi pada periode ke depan. Dana inilah yang
disebut sebagai cadangan klaim.
Pembayaran klaim mungkin dilakukan tidak lama setelah klaim dilaporkan,
namun pada beberapa jenis asuransi, terkadang pembayaran klaimnya
membutuhkan waktu yang cukup lama diukur dari saat terjadinya klaim.
Hubungan antara waktu kejadian dan penundaan terkait klaim ini dikenal dengan
istilah outstanding claims. Ada dua jenis outstanding claims, yaitu Incurred but
Not Reported (IBNR) yaitu peristiwa yang telah terjadi tetapi belum dilaporkan ke
perusahaan asuransi dan Reported but Not Settled (RBNS) yaitu peristiwa yang
telah dilaporkan namun pembayarannya belum terselesaikan (Hossack 1999).
Taksiran outstanding claims memegang peranan yang penting, mengingat
perusahaan asuransi dituntut untuk selalu dapat menyediakan cadangan yang
cukup, guna menutup pembayaran klaim di masa yang akan datang. Jika perkiraan
outstanding claims buruk, maka bisa saja perusahaan dapat mengalami
kebangkrutan. Ada beberapa metode statistik untuk menaksir outstanding claims
baik secara deterministik maupun stokastik. Metode chain-ladder merupakan
metode deterministik yang paling populer untuk menaksir outstanding claims,
karena kesederhanaannya dan bersifat bebas distribusi (Mack 1993).
Sebuah masalah besar dalam cadangan klaim adalah perbedaan perkiraan
IBNR yang dibayarkan dan yang terjadi, yaitu total akhir dari kerugian yang
dibayarkan menyimpang lebih atau kurang dari perkiraan yang sesuai dengan
kerugian yang terjadi. Metode chain-ladder tidak cukup membantu dalam
menyelesaikan masalah ini. Metode Munich chain-ladder, pengembangan dari
metode chain-ladder yang akan mempersempit gap antara proyeksi IBNR dari
kerugian yang dibayarkan dan kerugian yang terjadi.

2
Tujuan Penelitian

1.

2.
3.

Tujuan dari karya ilmiah ini adalah:
Menjelaskan cara proyeksi cadangan klaim dengan metode Munich chainladder.
Memberikan contoh penerapan proyeksi cadangan klaim dengan metode
Munich chain-ladder.
Membandingkan hasil proyeksi cadangan klaim dengan metode chainladder dan metode Munich chain-ladder.

TINJAUAN PUSTAKA
Teori Peluang
Nilai Harapan
1. Jika adalah peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang
nilai harapan dari , dinotasikan dengan
, adalah:

maka

,

= ∑
∀�

asalkan jumlah tersebut kovergen mutlak.
2. Jika adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang �
maka nilai harapan dari adalah:
= ∫

∞

−∞

�

� ,

asalkan integral tersebut konvergen mutlak (Hogg et al. 2014).
Nilai Harapan Bersyarat
Misalkan dan adalah peubah acak kontinu dan � | | adalah fungsi
kepekatan peluang bersyarat dari dengan syarat = . Nilai harapan dari
dengan syarat = adalah:
| =

(Hogg et al. 2014).

Ragam
Ragam dari peubah acak
var

= [

=∫

∞

−∞

�

|

|

�

dapat ditunjukkan oleh:
−

]=

Notasi lain untuk ragam adalah � , sehingga didapat

−

;

=

3
−

� =

(Hogg et al. 2014).

Martingale
Kejadian disebut martingale (relatif terhadap {ℱ� }, Ρ ) jika:
1. bersesuaian,
2. � | � | < ∞, ∀ ,
3. �[ � |ℱ�− ] = �− , ketika
(Williams 1991).
Total Klaim

Total klaim (claim amounts) atau bisa juga disebut sekumpulan kerugian
(aggregate loss) adalah jumlahan dari total semua klaim yang terjadi dalam
periode tertentu dari kontrak asuransi yang telah ditetapkan. Ini merupakan suatu
metode yang digunakan untuk merekam pembayaran yang dibuat dan kemudian
menambahkannya dengan pembayaran berikutnya. Dalam kasus ini, total klaim
direpresentasikan sebagai jumlahan, banyaknya klaim (number of claims) �, dari
total pembayaran individu
, , … , � , sehingga
dengan

=

=

jika � =

+

+⋯+

�,

(Yunawan 2013).

untuk � = , , , …

Outstanding Claims Liability

Umumnya penaksiran klaim-klaim yang belum terselesaikan (outstanding
claims liability) untuk asuransi kelas bisnis jangka panjang (long-tail) didasarkan
pada run-off triangle data. Run-off triangle data memuat gambaran klaim
keseluruhan (aggregate), dan merupakan ringkasan dari suatu data set klaimklaim individu (Antonio et al. 2006). Data yang ada dalam run-off triangle data
biasanya merupakan besarnya klaim (claims amount) dan juga banyaknya klaim
(number of claims), di mana keduanya tersaji dalam bentuk inkremental atau
kumulatif.
Misalkan , menyatakan peubah acak besarnya klaim (dalam bentuk
inkremental) untuk klaim-klaim yang terjadi pada periode kejadian (accident
period) dan dibayarkan pada periode penundaan (development period) , dengan
dan
(Olofsson 2006).
Tabel 1 mengilustrasikan run-off triangle data dan future triangle data
dalam bentuk inkremental, di mana baris menunjukkan tahun kejadian (accident
year), kolom menunjukkan tahun penundaan (development year), sedangkan
diagonal (kiri bawah sampai kanan atas) merepresentasikan pembayaran klaim
dalam setiap periode pembayaram (payment period). Run-off triangle data adalah
sel-sel , (untuk +
+ ) yang berwarna putih dan berada dalam segitiga
atas, sedangkan future triangle data adalah sel-sel , (untuk + > + ) yang
berwarna abu-abu dan berada dalam segitiga bawah.

4
Tabel 1 Run-off triangle data dan future triangle data dalam bentuk inkremental
Tahun
Tahun penundaan
…
…
−
kejadian
,

,

,

,

�− ,

�− ,

,

−

�,

…
…

,

,

,

…

,

…
…

�,

�− ,
�,

…
…

Run-off triangle data dalam bentuk kumulatif,
berdasarkan inkremental, , , melalui hubungan berikut:
=∑

,

=

,�

,�−

,�

�− ,�−

�− ,�

,�−

…

…
…

,�−

�,�−

,

,�

�,�

dapat dibentuk

,

,
, dan +
+ .
, dapat dinyatakan sebagai besarnya klaim kumulatif untuk klaim-klaim
yang terjadi pada tahun kecelakaan ke- dan dibayarkan sampai dengan tahun
penundaan ke- . Run-off triangle data dalam bentuk kumulatif disajikan dalam
Tabel 2. Besarnya klaim kumulatif sampai dengan tahun penundaan ke- , yaitu
untuk

,�

�

=∑
=

,

untuk = , , … , , disebut ultimate claims (Mack 1993).

Tabel 2 Run-off triangle data dan future triangle data dalam bentuk kumulatif
Tahun
Tahun penundaan
…
…
−
kejadian
,

,

,

,

�− ,

�− ,

,

−

�,

,

�,

…
…
…
…
…

,

,

,
�− ,
�,

…
…

…

…
…

,�−

,�

,�−

,�

�− ,�−

�− ,�

,�−

�,�−

,�

�,�

5
Outstanding claims liability untuk tahun kecelakaan kesebagai
�

=

∑

didefinisikan

,

=�+ −

= ,� − ,�+ − , untuk = , , … , .
Outstanding claims liability untuk tahun kecelakaan ke- merupakan
penjumlahan sel-sel , di baris yang ada pada future triangle, sedangkan total
outstanding claims liability
didefinisikan sebagai penjumlahan outstanding
claims liability untuk semua tahun kecelakaan ( = , , … , ), yaitu
atau

�

�

=∑

∑

=

,

=�+ −

dengan kata lain, total outstanding claims liability
, dalam future triangle (Mack 1993).

, merupakaan jumlah semua

Teknik Chain-Ladder

Misalkan , menunjukkan total klaim yang diakumulasikan dari waktu
kejadian , untuk = , , … , , yang dilaporkan sampai dengan waktu penundaan
j, untuk = , , … , . Jika = , , … , dan = , , … , − + maka besarnya
, diketahui. Tujuan yang ingin dicapai adalah untuk memberikan estimasi total
klaim ,� untuk waktu kejadian = , , … , dan total besarnya klaim , untuk
= , , … , dan = − + , … , .
Asumsi dasar untuk teknik chain-ladder adalah terdapat nilai faktor
penundaan (development factor) , , … , � dengan
untuk = , , … , dan
estimasi dengan

(

, +

|

,

,

,

�− + ,�

=

∑�−
=

+

+
∑�−
=

dan estimasi total besarnya klaim oleh

(Mack 1993).

,

)=

,

,

= , , … , − + . Teknik chain-ladder terdiri atas
̂ =

untuk = , , … ,

,…,

�− + ,

,

, −
+

+

…

…

�

�

atau dengan bentuk lain untuk = , , … ,
̂ ,� =

,�− +

�− +

berikut:

6

HASIL DAN PEMBAHASAN
Metode Chain-Ladder
Pertama-tama akan diperkenalkan beberapa
merumuskan asumsi dari metode chain-ladder (CL).

notasi

dan

kemudian

Notasi
Misalkan ∈ ℕ adalah tahun terjadinya kecelakaan dan
∈ ℕ adalah
tahun penundaan (biasanya
= ). Untuk = , , … , , misalkan
adalah
kerugian yang dibayarkan (paid) oleh perusahaan asuransi pada tahun kecelakaan
ke- dan � adalah kerugian yang terjadi (incurred) pada waktu ke- . Dengan
demikian, , menyatakan kerugian yang dibayarkan pada tahun kecelakaan keyang mengalami penundaan selama tahun, dan � , mengartikan kerugian yang
terjadi pada tahun kecelakaan ke- yang mengalami penundaan selama tahun.
≔ { , , … , , } menjelaskan kondisi bahwa waktu tunda
Selain itu, �
dari kerugian yang dibayarkan pada tahun kecelakaan ke- diberikan sampai akhir
≔ {� , , … , � , } menjelaskan kondisi bahwa waktu
tahun penundaan ke- dan ℐ
tunda dari kerugian yang terjadi pada tahun kecelakaan ke- diberikan sampai
akhir tahun penundaan ke- .
Asumsi Model
Beberapa asumsi dalam proses metode CL untuk kerugian yang dibayarkan
dan kerugian yang terjadi.
1.

Asumsi model untuk kerugian yang dibayarkan (P)
PE (Asumsi Nilai Harapan)
Untuk , ∈ � dengan = + , terdapat faktor penundaan � → >
sehingga untuk setiap = , , … , ,
,

(

,

|�

) = �→ .

PV (Asumsi Ragam)
Untuk , ∈ � dengan = + , terdapat proporsi konstan � →
sehingga untuk setiap = , , … , ,
var (

,

,

|�

)=

�→
,

.

PU (Asumsi Kebebasan)
Berbagai
tahun
kerugian
yang
independen,
{ , | ∈ �}, { , | ∈ �}, … , { �, | ∈ �} bebas stokastik.

yaitu

7
2.

Asumsi model untuk kerugian yang terjadi (I)
IE (Asumsi Nilai Harapan)
Untuk , ∈ � dengan = + , terdapat faktor penundaan � �→ >
sehingga untuk setiap = , , … , ,
(

�,
|ℐ
�,

) = � �→ .

IV (Asumsi Ragam)
Untuk , ∈ � dengan = + , terdapat proporsi konstan � �→
sehingga untuk setiap = , , … , ,
var (

�,
|ℐ
�,

)=

� �→
�,

.

IU (Asumsi Kebebasan)
Berbagai
tahun
kerugian
yang
independen,
{� , | ∈ �}, {� , | ∈ �}, … , {��, | ∈ �} bebas stokastik.

yaitu

Dengan demikian, asumsi metode CL menjelaskan bahwa tahun
kecelakaan yang stokastik independen, tetapi memiliki faktor penundaan yang
sama dan parameter σ setiap tahun penundaan. Asumsi di atas dirancang untuk
proyeksi segitiga bawah dan untuk menjelaskan tentang hubungan antara proses
kerugian yang dibayarkan dan terjadi. Ekspektasi bersyarat menggambarkan
kemungkinan terbaik peramalan , jika hanya diketahui proses kerugian yang
dibayar dari tahun kecelakaan, sampai dengan saat ini. Hal ini berlaku analog
dengan proses kerugian yang terjadi
�,

�,

|ℬ

��,

dan

��,

|ℬ

= { , , , , … , , , � , , � , , … , � , } adalah himpunan waktu
dengan ℬ
penundaan yang diketahui hingga akhir tahun penundaan dari proses kerugian
yang dibayarkan dan kerugian yang terjadi.
Metode Munich Chain-Ladder
Untuk metode Munich chain-ladder (MCL), asumsi independensi PU dan
IU dari metode chain-ladder diperluas, yaitu dengan menambahkan asumsi PIU
(kebebasan dari tahun kerugian yang dibayarkan dan dari tahun kerugian yang
terjadi). Set kebebasan stokastik untuk asumsi kebebasan PIU adalah
{ , , � , | ∈ �}, { , � , | ∈ �}, … , { �, , ��, | ∈ �}. Didefinisikan
=

�

��

= ( � �, )
�,

∈�

dan

−

=

��

�

=(

��,

�,

)

∈�

8
untuk menjelaskan rasio (P/I) dan rasio (I/P).
Selanjutnya, dengan menambahkan konsep residual bersyarat: jika
peubah acak, dengan syarat , maka
�

|

= √var

res

|

=

menjelaskan standar deviasi bersyarat dari

adalah

|

oleh , dan

−
�

|

|

menjelaskan residual bersyarat oleh . Residual bersyarat adalah standardisasi
yang berkaitan dengan nilai harapan bersyarat dan ragam bersyarat, dengan
res

|

|

|

= dan var res

|

= .

Asumsi Model
Mengacu pada asumsi model oleh Mack, dilakukan analisis lebih lanjut
untuk menghitung faktor nilai harapan bersyarat dari penundaan proses kerugian
yang dibayarkan dan kerugian yang terjadi guna mendapatkan residual masingmasingnya, dengan
,

res

|�

,

dan res

�,
|ℐ
�,

.

Dibandingkan dengan model CL, kelebihan dari model Munich chainladder (MCL) yang menentukan adalah merumuskan asumsi untuk istilah-istilah
berikut, yaitu
res (

�,

|�

�,

) |ℬ

dan

�

res (��, |ℐ

) |ℬ

�,

dan residual dari rasio (I/P) dan rasio (P/I), didefinisikan
res(

−
,

|�

) atau res(

,

|ℐ

Asumsi tambahan untuk rasio (P/I) dan rasio (I/P)

.

).

PQ
Terdapat konstanta
setiap = , … , ,
(res

yang ekuivalen dengan

untuk

,

,

|�

|ℬ

, ∈ � dengan
) =

res(

= +

sehingga untuk

−
,

)

|�

9

(
IQ

,

,

|ℬ

) = �→ +

Terdapat konstanta
setiap = , … , ,
(res

yang ekuivalan dengan
�,
( |ℬ
�,

|�

�,

−
,

�(

|�

�

� (��, |ℐ

�(

)

)=

|ℬ
�

)

−
,

− (

, ∈ � dengan

untuk

�,
|ℐ
�,

) = � �→ +

�,

�(

�,

,

|ℐ

)

)

res(

,

−
,

|�

= +
,

|ℐ

− (

,

) .

(1)

sehingga untuk

)

|ℐ

) .

(2)

Parameter
dan � yang merupakan kemiringan garis regresi dari plot
residual masing-masing proses, tidak tergantung pada penundaan tahun ke- .
Persamaan (1) dan (2) mewakili harapan bersyarat untuk faktor penundaan
sebagai jumlah faktor dari chain-ladder dan koreksi dari kedua jenis data. Akan
dianalisis lebih rinci istilah tersebut pada bagian berikutnya.
Analisis Asumsi Model
Akan diperiksa lebih dekat model MCL dan khususnya persamaan bentuk
PQ dan IQ, dimisalkan , � > . Kondisi nilai harapan yaitu faktor penundaan
dari proses kerugian yang terjadi akan digunakaan untuk proyeksi tahun
kecelakaan ke- dari ke , adalah monoton naik, fungsi linear dari rasio (P/I)
atau , . Hal ini menunjukkan bahwa pengamatan dari praktik dinyatakan sebagai
asumsi teoritis. Persamaan IQ merupakan ekspektasi bersyarat dari jumlah chainladder faktor penundaan � �→ dan istilah linear dalam , . Terdapat tiga faktor
terkoreksi yang dijelaskan sebagai berikut:
 Faktor � adalah koefisien korelasi dari residual faktor penundaan dan residual
rasio (P/I), yang akan dibuktikan pada bagian selanjutnya. Oleh karena itu �
sebagai fakor korelasi atau parameter korelasi. Nilai dari � haruslah di antara
dan , dan mengukur keterkaitan faktor penundaan sebelumnya dari rasio
(P/I). Jika hampir tidak ada ketergantungan atau hubungan pada data, maka
�
≈ dan faktor penundaan rata-rata diproyeksikan seperti pada metode CL.
 Faktor standar deviasi adalah hasil bagi dari standar deviasi bersyarat faktor
penundaan yang terjadi dan rasio (P/I). Hal ini menyebabkan penyimpangan
rasio (P/I) dari rata-rata yang diukur sebagai deviasi dari faktor penundaan.
Semakin besar standar deviasi dari faktor penundaan, semakin besar
kemungkinan akan menjadi deviasi yang signifikan dari rata-rata, dan semakin
besar terkoreksi. Semakin kecil standar deviasi dari rasio (P/I), akan semakin
untypical dan menyimpang signifikan dari rata-rata.

10
 Linear , − ( , |ℐ
) meliputi proyeksi rasio (P/I). Jika rasio (P/I) di atas
rata-rata memiliki efek memperbaiki faktor penundaan ke atas, dan sebaliknya.
Semakin jauh rasio (P/I) dari rata-rata akan semakin besar koreksinya. Jika
rasio (P/I) berada pada rata-rata, faktor penundan yang digunakan akan
menjadi rata-rata dari data, seperti dalam metode CL. Berlaku untuk faktor
penundaan untuk rasio (I/P).
Parameter korelasi
dan � memperlihatkan hubungan antara segitiga dari
kerugian yang dibayarkan dan segitiga dari kerugian yang terjadi. Besarnya
parameter ini menunjukkan sejauh mana waktu penundaan dari kecelakaan yang
dibayarkan dan kecelakaan yang terjadi, dipengaruhi oleh jenis data masingmasingnya, karenanya parameter ini sangat penting untuk ukuran proyeksi utama.
Karena pendekatan residual memungkinkan untuk mempertimbangkan semua
tahun penundaan, yaitu menyediakan jumlah yang cukup di titik data, estimasi ini
relatif stabil.
Selanjutnya akan dibuktikan formula
dan � sebagai parameter korelasi.
Menggunakan informasi cov � , ≔ cov , | untuk koragam bersyarat dari
dua variabel acak dan dengan diberikan kondisi
(

(

= cov ��
= cov
=
=

(

��

��,

�(

��,
�( �,−

�(

�,

�,

−
,

−
,

|��

|��

|�

�,

,

−
,

�,

,

)

)

)

�,

�,

|ℬ

var(

) �(

��,
��,

−
,

,(

�,
�,

adalah ℬ

�,

|��

�( �,− |��

−
,

−
,

|�

|�

|�

)

)

−
,

.

,

yang terukur, maka

−
,

− (

|�

)

).

) =

untuk koefisien korelasi bersyarat, maka
corr (res(

,

)=

)

Mengacu ke pada bentuk berikut:
corr

�,

)

�(

,�→ +

|ℬ

,

Diketahui kondisi martingale jika
cov ��

,

−
,

|�

dan corr

), res

,

,

,

|�

�

, ( �, |ℐ
��,

)=

) =

�

11
dan
corr (res(

,

|ℐ

�,
|ℐ
�,

), res

)=

�

.

Dengan demikian, parameter λ model MCL sebagai korelasi antara run-off
triangle untuk kerugian yang dibayarkan dan kerugian yang terjadi. Pada
pembahasannya selanjutnya akan dijelaskan perkiraan nilai parameter yang
digunakan untuk memperoleh residual masing-masing data serta cara memperoleh
nilai λ.
Implementasi Praktis
Pada bagian ini, akan dijelaskan lebih rinci tentang semua perkiraan
parameter yang diperlukan untuk Metode MCL, sebelum melakukan perhitungan
MCL lengkap untuk contoh konkret.
Mengestimasi Parameter
Untuk menghitung residual dan nilai harapan faktor penundaan, harus
diperkirakan setiap parameter dari Model MCL.
Parameter Metode Chain-Ladder
Untuk setiap = + , faktor penundaan � → dan � �→ untuk
, , … , − digunakan estimasi Metode chain-ladder
�̂
→ =

dan

∑�−
=

�
�̂
→ =

,

�−

∑

∑�−
= �,

,

,

=

�−

∑�,
=

,

=

∑�−
=
∑�−
=

,

,

∑�−
�,
= �,
= �−
∑= �,
�,

=
(3)

(4)

untuk = , , … , − . Paramter � juga diestimasi sebagai berikut:
̂) =
(�
→

dan
�
̂
(�
→ ) =

− −
− −

�−

∑
=

�−

,

∑�,
=

,

,

− �̂
→

�,
�
− �̂
→
�,

�
�
̂ = √(�
̂
̂) dan �
√ ̂
dengan standar deviasinya �
→
→ = (� → ) .
→

(5)

(6)

12
Parameter Metode Munich Chain-Ladder
Untuk menghitung residual bersyarat dari rasio (P/I) dan (I/P), perlu
−
dan
dan
pendugaan untuk nilai harapan bersyarat
, |ℐ
, |�
standar deviasi bersyarat �

,

dan �

|ℐ

−
,

|�

. Asumsi pertama

adalah konstan, analog dengan model IE chain-ladder untuk
bahwa
, |ℐ
kerugian yang terjadi. Selanjutnya, diasumsikan keterkaitan ragam bersyarat dari
rasio (P/I) pada kerugian yang terjadi, analog dengan kondisi IV. Untuk =
, , … , , asumsi berikut untuk nilai harapan bersyarat dan ragam bersyarat dari
adalah sebagai berikut:
rasio (P/I). Estimasi nilai harapan bersyarat
, |ℐ
̂ =

∑�−
=

+

�− +

∑ �,

�,

=

,

=

+
∑�−
,
=
+
∑�−
�,
=

(7)

berlaku sama untuk semua tahun terjadinya kecelakaan. Estimasi untuk
yaitu
�
, |ℐ
�̂�

√� ,

dengan �̂� didefinisikan
�̂� =

�− +

∑ �, (

−

,

=

− ̂)

(8)

untuk setiap = , , … , , dengan �̂� bersifat bebas dari tahun kecelakaan ke- .
Kemudian diasumsikan bahwa estimasi untuk rasio (P/I) berlaku analog
dengan nilai harapan bersyarat dan ragam dari rasio (I/P) dengan mengestimasi
−
sebagai berikut:
nilai harapan bersyarat
, |�
̂

−

=

∑�−
=

serta mengestimasi �

+
−
,

,

∑
=

|�

,

�̂

−

�− +

∑
=

−
,

+
∑�−
�,
=
= �− +
∑=
,

−
,

− ̂− ) .

yaitu

√

dengan �̂ didefinisikan
�̂ =

�− +

,

(

(9)

,

(10)

13
Masalah akan timbul karena mengikuti kondisi bahwa kedua nilai harapan
−
menjadi konstan dengan , yang
dan
bersyarat
, |ℐ
, |�
sudah konstan, ini bertentangan dengan kenyataan di lapangan. Oleh karena itu,
hal ini tidak dapat diasumsikan, harus ada struktur ketergantungan yang lebih
.
dan �
rumit dari nilai harapan yang keduanya tergantung pada ℐ
dengan rata-rata di atas rasio (P/I) dari
Akan diperkirakan
, |ℐ
.
serupa dengan ℐ
, dari kerugian yang terjadi pada tahun ke- untuk ℐ
Pada aturan chain-ladder, serupa berarti tingkat � , dekat dengan � , , atau faktor
penundaan � , /� , − dekat dengan � , /� , − . Setidaknya, akan terjadi kecelakaan
. Tentu saja, konsep ini berlaku
jelas berbeda dengan ℐ
tahun ke- dimana ℐ
−
. Pendekatan ini akan menghasilkan perkiraan untuk
analog dengan
, |�
nilai harapan bersyarat yang tidak timbal balik dengan definisi dan dengan
kecelakaan setiap tahun.
Begitupun untuk ragam bersyarat dengan situasi serupa. Data yang cukup
diberikan dari struktur ketergantungan lebih rumit untuk ragam bersyarat dari ,
, sehingga masing-masing dapat diperhitungkan.
dan �
dan −, pada ℐ

Kesederhanaan uraian benar jika
dan �
tidak konstan terhadap ℐ
res (

,

,

|�

) , res (

−
adalah fungsi
dan
|ℐ
, |�
. Akan diperkirakan residual bersyarat dari
,

�,
|ℐ
�,

dengan penyederhanaan notasi res
̂(
sehingga
res
̂(

,

)=

res
̂ (� , ) =

− �̂
→

�,

�,

̂
�
→

�
− �̂
→

��,

��,

�
̂
�
→

dan
res
̂(
res
̂(

−
,

)=
,

)=

−
,

,

−
,

) , res
,

|�

, res

), res
̂ (� , ), res
̂(

√

−̂
√� , .
�̂�

|ℐ

), dan res
̂(

,

),

(11)

,

√� ,

− ̂−
√
�̂

−
,

,

(12)

(13)
,

(14)

14
Diestimasikan nilai dugaan
̂=
dan

∑ , res
̂(

̂� =

−
,

∑ , res
̂(

)

,

)

dan

∑ res
̂(
,

∑ res
̂(
,

�

sebagai berikut:

−
,

)

,

)

res
̂(

res
̂(

,
−
,

)

)

res
̂ (� , )

res
̂(

,

)

=

=

∑ , res
̂(

−
,

∑ , res
̂(

,

∑ , res
̂(

) res
̂(
−
,

)

)

,

) res
̂ (� , )

∑ , res
̂(

,

)

Dalam semua penjumlahan ini, indeks bergerak dari sampai − dan
indeks bergerak dari sampai − . Jika limpasan segitiga ini berakhir dalam
waktu kurang dari waktu penundaan tahun, akan lebih tepat untuk memilih
indeks yang diperpanjang hanya sampai akhir periode run-off.
Perubahan tahun penundaan dalam formula estimasi
dan �
menyimpulkan hanya sejumlah menghasilkan perkiraan tahun penundaan untuk
parameter λ. Parameter λ untuk setiap tahun penundaan harus berfluktuasi secara
acak dan tidak menunjukkan trend yang akan melanggar asumsi model MCL, ini
biasanya terjadi dalam praktek.
Menurut asumsi PQ dan IQ, diperoleh formula rekursif untuk menduga ,
dan � , , yaitu
̂
̂ �→
�̂
+
→
�̂

̂
̂
�, = �,
dan
̂
�̂
�, = ��,
untuk

− +

�
̂
�
̂� � →
�̂
+
→
�̂�

dengan nilai ̂
�, =

�̂
�,
− ̂−
̂
�,
̂
�,

�̂
�,
,

− ̂

(15)

(16)

dan �̂
�, = � , .

Contoh Penerapan Metode Cadangan Klaim Munich Chain-Ladder
Metode Munich chain-ladder hanya diaplikasikan untuk asuransi kerugian,
contohnya asuransi kebakaran dan asuransi kendaraan. Pada bagian ini, akan
dilakukan perhitungan MCL lengkap untuk contoh konkret dari data oleh Quarg
dan Mack (2006), serta data dari perusahaan insurance market Llyod’s dengan
perhitungan lengkap pada Lampiran 3.
Pada data oleh Quarg dan Mack, diberikan data awal dari segitiga atas
kerugian yang dibayarkan (Tabel 3) dan kerugian yang terjadi (Tabel 4), yang
melibatkan 7 tahun waktu kejadian dan 7 tahun waktu penundaan.

15
Run-off triangle untuk kerugian yang dibayarkan dari data Quarg dan
Mack
Tahun
Tahun penundaan
kejadian
1
2
3
4
5
6
7

Tabel 3

1

576

1804

1970

2024

2074

2102

2

866

1948

2162

2232

2284

2348

3

1412

3758

4252

4416

4494

4
5
6

2286
1868
1442

5292
3778
4010

5724
4648

5850

7

2044

2131

Data run-off triangle pada Tabel 3 adalah klaim dalam bentuk besarnya
klaim. Sebagai contoh, ambil baris kedua dan kolom ketiga, besaran klaim
sejumlah 2162 merupakan total klaim yang dibayarkan dari akumulasi kejadian
pada tahun kecelakaan kedua yang dilaporkan sampai dengan tahun ketiga. Data
pada Tabel 3, terdapat bagian yang masih kosong berbentuk segitiga di sebelah
kanan bawah yang disebut future triangle, ini merupakan pembayaran klaim di
masa yang akan datang dan belum diketahui besarnya.
Tabel 4 Run-off triangle untuk kerugian yang terjadi dari data Quarg dan Mack
Tahun
Tahun penundaan
kejadian
1
2
3
4
5
6
7
1
978
2104
2134
2144
2174
2182
2174
2
1844
2552
2466
2480
2508
2454
3
2904
4354
4698
4600
4644
4
3502
5958
6070
6142
5
2812
4882
4852
6
2642
4406
7
5022
Ambil contoh baris kedua dan kolom ketiga, besaran klaim sejumlah 2466
merupakan total klaim yang dilaporkan dari akumulasi kejadian pada tahun
kecelakaan kedua yang dilaporkan sampai dengan tahun ketiga. Jika dibandingkan
nilai-nilai total klaim pada run-off triangle kerugian yang dibayarkan dan
kerugian yang terjadi, total klaim pada run-off kerugian yang terjadi lebih besar
dari pada besaran klaim pada run-off kerugian yang dibayarkan. Hal ini terjadi
karena total klaim pada run-off kerugian yang terjadi adalah penjumlahan dari
klaim yang sudah dibayarkan dan klaim yang belum diselesaikan. Klaim yang
belum diselesaikan tersebut bisa jadi tidak dibayarkan oleh perusahaan karena
beberapa sebab, misalnya besaran klaim tersebut di bawah nilai minimal klaim
(deductible). Lain halnya dengan run-off triangle kerugian yang dibayarkan, data
klaim yang terdapat di dalamnya adalah penjumlahan dari besaran klaim yang
dilaporkan dan sudah dibayarkan oleh perusahaan. Kelebihan dari metode Munich

16
chain-ladder ini adalah mengurangi gap seminimal mungkin antara proyeksi
IBNR kerugian yang dibayarkan dan kerugian yang terjadi.
Menghitung faktor penundaan rata-rata dan parameter σ
Langkah pertama adalah mengestimasi parameter dengan metode Chain�
̂
ladder, yakni menghitung faktor penundaan �̂
→ dan � → serta menghitung
̂ dan �
̂.
parameter �
→
→
Sebagai contoh, perhitungan ̂
� → dan ̂
� �→ dengan menggunakan
persamaan (3) dan (4). ̂
� → adalah estimasi faktor penundaan untuk kerugian
yang dibayarkan dari tahun penundaan ke- hingga tahun penundaan ke- , dengan
diketahui infomasi , adalah proses kerugian yang dibayarkan pada tahun
kecelakaan ke- dan , proses kerugian yang dibayarkan pada tahun kecelakaan
ke- , maka
̂
�→ =

=

=

∑ =−

∑=

,

+
+

,

−

(∑
=

(∑
=

+
+

,
,

,
,

,
,

)=

)=

+
+

∑ =−
∑ =−

∑=
∑=
+
+

,

,

,
,

=

= .

.

=

= .

.

Faktor ̂
� �→ adalah estimasi faktor penundaan untuk kerugian yang terjadi
dari tahun penundaan ke- hingga tahun penundaan ke- , dengan diketahui
infomasi � , adalah proses kerugian yang terjadi pada tahun kecelakaan ke- dan
� , proses kerugian yang terjadi pada tahun kecelakaan ke- , maka
̂
� �→

=

=

∑ =− � ,

∑= �,
+
=
+

−

∑ =− � ,
�,
(∑ � ,
)= −
∑= �,
�,
=

(∑ � ,
=

+
+

∑= �,
�,
)=
�,
∑= �,
+
+
+
+

Jadi, besarnya faktor penudaan dari tahun kejadian ke- yang ditunda
hingga tahun ke- adalah sebesar .
untuk kerugian yang dibayarkan dan
.
untuk kerugian yang terjadi.
�
Sebagai contoh, perhitungan σ̂
dan σ̂
dengan menggunakan
→
→
̂
persamaan (5) dan (6). σ → adalah estimasi parameter � untuk kerugian yang
dibayarkan dari tahun penundaan ke- hingga tahun penundaan ke- , dengan
diketahui informasi ̂
� → yang telah diperoleh pada perhitungan sebelumnya, serta
, dan , , maka

17
̂) = (
(�
→

−

= ( )∑

,

=

−

−

)∑
,
,

= ( )[

.
+ .
=
̂ =√ .
Jadi, �
→

,

,

=

,

− .

(

+ .

− .

= .

+

.

−̂
�→

)
.

+ ⋯+
+

.

(

.

=

=

− .
.

.

)

]

�
Faktor σ̂
→ adalah estimasi parameter � untuk kerugian yang terjadi dari
tahun penundaan ke- hingga tahun penundaan ke- , dengan diketahui informasi
̂
� �→ yang telah diperoleh pada perhitungan sebelumnya, serta � , dan � , , maka
�
̂
(�
→ ) =(

−

= ( )∑� ,
=

= ( )[

. + .
=
�
̂
Jadi, �
→ =√ .

−

−

�,
�
̂
−�
→
�,

)∑� ,
=

�,
− .
�,
(

+

= .

.

− .
.

+ .

)

+ ⋯+
+ .

=

.

(

− .

= .

.

)

]

Estimasi parameter � untuk tahun kejadian ke- yang ditunda hingga tahun
ke- adalah sebesar .
untuk kerugian yang dibayarkan dan .
untuk
kerugian yang terjadi. Secara keseluruhan faktor penundaan rata-rata dan
parameter σ akan disajikan pada Tabel 5.
Tabel 5

Estimasi faktor penundaan rata-rata dan parameter σ dari data Quarg
dan Mack
1→2
2→3
3→4
4→5
5→6
6→7
̂
�→
2.437
1.131
1.029
1.021
1.021
1.014

�
�̂
→
̂
�
→

�
̂
�
→

1.652

1.019

1.000

1.011

0.990

13.456

3.666

0.482

0.210

0.479

9.727

2.544

1.004

0.120

0.860

0.996

18
Menghitung rasio (P/I) dan (I/P) serta parameter ρ
Setelah diperoleh estimasi untuk faktor penudaan dan parameter � untuk
masing-masing kecelakaan yang dibayarkan dan terjadi, selanjutnya akan dicari
parameter Metode MCL, dengan menghitung nilai harapan bersyarat dan standar
deviasi bersyarat.
Menghitung (P/I) atau ̂ serta (I/P) atau ̂ − dengan formula yang telah
diperoleh dari pembahsan parameter Metode MCL. Sebagai contoh perhitungan
�

atau ̂ dan

�

=̂

−

dengan menggunakan persamaan (7) dan (9). ̂

adalah nilai harapan bersyarat
informasi , dan � , , maka
∑ =−
= −
∑=

̂

=

+

+

+
+

,

=

�,

|ℐ

,

diperoleh dengan diketahui

∑= ,
∑= �,
+
+
+
+

+
+

+
+

∑ = �,
∑= ,
+
+
+
+

+
+

+
+

Nilai ̂− adalah nilai harapan bersyarat
diketahui informasi , dan � , , maka
̂

−

∑ =−
= −
∑=
=

+

+

�,

+
+

,

=

Diperoleh nilai harapan bersyarat
−
,

−
,

,

|ℐ

=

|�

=

= .

.

= .

.

diperoleh dengan

sebesar

.

dan

sebesar .
.
|�
Setelah itu, akan dihitung parameter standar deviasi bersyarat ρ. Sebagai
̂� dan �̂ dengan menggunakan persamaan (8) dan (10).
contoh perhitungan �
̂� = (
�

− +

) ∑ �, (

−

=

= ( )∑�, (

,

= ( )[

(

=

=

.

+

= .
.
�
̂
Jadi, � = √ .

.

− ̂)

,

− .

+ .

= .

)
− .

+ .

.

)

+. . . +

+

.

+

.

(

=

− .
.

)

]

19
�̂ = (

− +

) ∑

−

,

=

−
,

= ( )∑�, ∗ (
=

= ( )[
.

=

+

= .
.
̂
Jadi, � = √ .

.

(

−
,

(

− ̂− )

− .

)

− ,

+ .

+

= .

)

+ ⋯+

.

+

.

(

+

.

.

Diperoleh nilai harapan bersyarat �

,

|ℐ

=

− ,

)

.

sebesar

.

]

dan

sebesar .
. Secara keseluruhan, hasil perhitungan untuk nilai
� −, |�
harapan bersyarat dan standar deviasi bersyarat untuk kerugian yang dibayarkan
dan kerugian yang terjadi disajikan pada Tabel 6.
Tabel 6 Rasio (P/I) dan (I/P) serta parameter ρ dari data Quarg dan Mack
s
1
2
3
4
5
6
7
̂
53.3% 84.9% 92.8% 94.5% 94.9%
96.0% 98.0%
̂
−

187.8% 117.8% 107.8% 105.8% 105.4%

̂
�
�̂�

104.2% 102.0%

14.943

4.990

2.167

1.619

1.791

0.236

5.711

3.819

1.918

1.461

1.637

0.222

Menghitung residual masing-masing parameter
Langkah berikutnya adalah menghitung nilai residual masing-masing dari
res
̂ ( , ), res
̂ (� , ), res
̂ ( −, ), dan res
̂ ( , ).
Contoh untuk perhitungan res
̂ ( , ) dengan menggunakan persamaan (11),
̂.
akan dihitung res
̂ ( , ) dengan mengetahui informasi , , , , ̂
� → dan �
→
Hasil perhitungan yang lengkap untuk res
̂ ( , ) tersaji pada Tabel 7.
res
̂(

,

)=

,
,

̂
−�
→

̂
�
→

(√

,

)=

− .
.

(√

)=− .

.

20
Tabel 7
P
1
2
3
4
5
6
7

Hasil perhitungan res
̂ ( , ) dari data Quarg dan Mack
1→2
2→3
3→4
4→5
5→6
6→7
1.240
-0.454 -0.178
0.846
-0.724
-0.410 -0.258
0.293
0.572
0.690
0.628
0.004
1.248
-0.979
-0.433 -0.985 -1.151
-1.330
1.661
0.971

Contoh untuk perhitungan res
̂ (� , ) dengan menggunakan persamaan (12),
�
̂
akan dihitung res
̂ (� , ) dengan mengetahui informasi � , , � , , ̂
� �→ dan �
→ .
Hasil perhitungan yang lengkap untuk res
̂ (� , ) tersaji pada Tabel 8.
res
̂ (� , ) =

� ,
� ,

�
̂
−�
→

�
�̂
→

(√� , ) =

− .

(√

.

)=− .

.

Tabel 8 Hasil perhitungan res
̂ (� , ) dari data Quarg dan Mack
I
1→2
2→3
3→4
4→5
5→6
6→7
1
1.605
-0.079
0.222
1.131
0.732
2
-1.184 -1.039
0.287
0.096
-0.681
3
-0.846
1.565
-1.415 -0.843
4
0.299
0.005
0.931
5
0.458
-0.681
6
0.082
7
−
,

Contoh untuk perhitungan res
̂(

) dengan menggunakan persamaan (13),
akan dihitung res
̂(
) dengan mengetahui informasi −, , ̂− , , dan �̂ .
Hasil perhitungan yang lengkap untuk res
̂ ( −, ) tersaji pada Tabel 9.
−
,

̂(
Res

−
,

)=

−
,

− ̂−
(√
�̂

,

)=

,

.

− .

(√

)= .

.

21

I/P
1
2
3
4
5
6
7

Tabel 9 Hasil perhitungan res
̂(
1
2
3
-0.289 -0.100
0.106
0.496
1.168
1.343
0.450
-0.239
0.808
-1.106 -0.761 -0.615
-1.077
1.406
-1.075
-0.116 -1.006
1.753

−
,

) dari data Quarg dan Mack
4
5
6
7
0.033
-0.136 -0.726
1.547
1.188
0.687
-0.675 -0.755
-0.388

Contoh untuk perhitungan res
̂ ( , ) dengan menggunakan persamaan (14),
̂� . Hasil
akan dihitung res
̂ ( , ) dengan mengetahui informasi , , ̂,� , dan �
perhitungan yang lengkap untuk res
̂ ( , ) tersaji pada Tabel 10.
res
̂(

,

P/I
1
2
3
4
5
6
7

)=

,

−̂
.
(√� , ) =
̂�
�

.

− .

(√

)=− .

.

Tabel 10 Hasil perhitungan res
̂ ( , ) dari data Quarg dan Mack
1
2
3
4
5
6
7
0.309
0.103
-0.107 -0.033
0.137
0.728
-0.473 -1.131 -1.317 -1.537 -1.177 -0.686
-0.437
0.246
-0.805
0.693
0.771
1.245
0.795
0.626
0.396
1.223
-1.372
1.102
0.119
1.065
-1.558

Menggunakan hasil perhitungan residual dari kerugian yang dibayarkan dan
residual (I/P) dapat ditarik plot residual kerugian yang dibayarkan (Gambar 3).
Sisaan dari kerugian yang dibayarkan menunjukkkan korelasi sebesar 64%.
Estimasi slop dari garis regresi melalui titik asal ̂ = . , yang menjelaskan
sebagai parameter korelasi yang dijelaskan pada pembahasan sebelumnya.
Plot residual dari kerugian yang terjadi (Gambar 4), menunjukkan korelasi
45%. Namun nilai estimasi ̂� yang dipilih adalah sebesar . . ̂ dan ̂�
memenuhi syarat dimana parameter bernilai antara sampai .

22
Residual kerugian yang dibayarkan
2

1

y = 0.6479x - 0.0486

0
-2

-1

0

1

2

-1

-2

Gambar 1 Plot residual dari kerugian yang dibayarkan dari data Quarg dan Mack
Residual kerugian yang terjadi
2

1

y = 0.4558x + 0.0982

0
-2

-1

0

1

2

-1

-2

Gambar 2 Plot residual dari kerugian yang terjadi dari data Quarg dan Mack
Pada akhirnya digunakan metode Munich chain-ladder untuk proyeksi
kerugian yang akan dibayarkan dan kerugian yang akan terjadi. Dengan
menggunakan persamaan (15) dan (16) dilakukan perhitungan guna mencari
faktor pengali − dan untuk menduga , dan � , . Sebagai faktor penundaan
dari kerugian yang dibayar terlebih dahulu, akan digunakan nilai rata-rata
�̂
untuk menghitung −,
→ = .
̂
̂�→ (
�̂
+
→
�

= .

+

.

(

−
,

.
.

− ̂− )
)

.

− .

= .

.

23
�
sedangkan untuk kerugian yang terjadi dengan informasi �̂
→ = .
menghitung ,
�
̂
�
̂� � → (
�̂
+
→
��

,

untuk

− ̂)

.
)
. %− . % = .
.
.
Hasil perhitungan lengkap, terdapat di Lampiran 1.
Hasil di atas sebagai estimasi untuk nilai , sebesar
.
=
dan untuk nilai � , sebesar
.
=
. Untuk proyeksi di
tahun lainnya, tersaji di Tabel 11 untuk kerugian yang dibayarkan dan Tabel 12
untuk kerugian yang terjadi.
= .

+

.

(

Tabel 11

Hasil proyeksi untuk kerugian yang dibayarkan dari data Quarg dan
Mack dengan metode Munich chain-ladder
Tahun penundaan
Tahun
kejadian
1
2
3
4
5
6
7
1

576

1804

1970

2024

2074

2102

2131

2

866

1948

2162

2232

2284

2348

2383

3

1412

3758

4252

4416

4494

4573

4597

4
5
6

2286
1868
1442

5292
3778
4010

5724
4648
4387

5850
4762
4492

5967
4848
4573

6081
4922
4642

6119
4937
4655

7

2044

5663

6948

7180

7332

7487

7549

Tabel 11 merupakan hasil akhir dari proyeksi IBNR untuk kerugian yang
dibayarkan, dengan melengkapi segitiga bawah dari run-off sebelumnya. Sebagai
contoh, perhatikan baris ke-6 kolom ke-4, besarnya cadangan klaim yang harus
disediakan adalah sejumlah 4492, merupakan proyeksi total klaim yang
dibayarkan dari akumulasi kejadian pada tahun kecelakaan keenam yang
dilaporkan sampai dengan tahun keempat.
Tabel 12 Hasil proyeksi untuk kerugian yang terjadi dari data Quarg dan Mack
dengan metode Munich chain-ladder
Tahun penundaan
Tahun
kejadian
1
2
3
4
5
6
7
1
978
2104
2134
2144
2174
2182
2174
2
1844
2552
2466
2480
2508
2454
2444
3
2904
4354
4698
4600
4644
4618
4629
4
3502
5958
6070
6142
6212
6167
6176
5
2812
4882
4852
4885
4945
4932
4951
6
2642
4406
4567
4601
4657
4647
4666
7
5022
7824
7683
7641
7724
7648
7649

24
Tabel 12 merupakan hasil akhir dari proyeksi IBNR untuk kerugian yang
terjadi, dengan melengkapi segitiga bawah dari run-off sebelumnya. Sebagai
contoh, perhatikan baris ke-6 kolom ke-4, besarnya cadangan klaim yang harus
disediakan adalah sejumlah 4601, merupakan proyeksi total klaim yang
dilaporkan dari akumulasi kejadian pada tahun kecelakaan keenam yang dilporkan
sampai dengan tahun keempat.
Langkah selanjutnya yaitu, melihat bagaiamana metode MCL dapat
mengurangi gap antara proyeksi IBNR kerugian yang dibayarkan dan kerugian
yang terjadi, sebagai kelebihan dari metode ini. Tabel 13, menjelaskan gap antara
proyeksi IBNR dari kerugian yang dibayarkan dan kerugian yang terjadi, kolom
berwarna putih menunjukkan data klaim sebelum dilakukan proyeksi, dan kolom
berwarna biru menunjukkan proyeksi klaim dengan metode MCL.
Gap antara proyeksi untuk kerugian yang dibayarkan dan kerugian
yang terjadi dari data Quarg dan Mack dengan metode Munich chainladder
Tahun penundaan
Tahun
kejadian
1
2
3
4
5
6
7
1
402
300
164
120
100
80
43
2
978
604
304
248
224
106
61
3
1492
596
446
184
150
45
32
4
1216
666
346
292
244
87
57
5
944
1104
204
124
97
9
14
6
1200
396
180
109
84
5
11
7
2978
2161
735
461
392
161
100

Tabel 13

Dibandingkan dengan hasil perhitungan menggunakan metode chain-ladder,
hasil proyeksi dari metode MCL jauh lebih baik dalam mengurangi gap antara
proyeksi IBNR kerugian yang terjadi dengan kerugian yang dibayarkan.
Perhitungan CL jauh lebih sederhana dibandingkan MCL, langkah perhitungan
lengkapnya tersaji pada Lampiran 2.
Dilihat dari Tabel 14, dengan metode CL gap antara proyeksi kerugian
yang dibayarkan dan kerugian yang terjadi terdapat nilai negatif. Artinya, ada
proyeksi dari kerugian yang dibayarkan lebih besar dibandingkan dengan proyeksi
dari kerugian yang terjadi. Hasil proyeksi ini tentu saja tidak sesuai dengan
prediksi yang diharapkan, karena hasil perhitungan dari metode CL menghasilkan
prediksi yang kurang baik.

25
Gap antara proyeksi kerugian yang dibayarkan dan kerugian yang
terjadi dari data Quarg dan Mack dengan metode chain-ladder
Tahun penundaan
Tahun
kejadian
1
2
3
4
5
6
7
1
402
300
164
120
100
80
43
2
978
604
304
248
224
106
111
3
1492
596
446
184
150
75
78
4
1216
666
346
292
12
-104
-110
5
944
1104
204
-72
-331
-450
-472
6
1200
396
36
-244
-507
-631
-663
7
2978
2706
2589
2530
2456
2503
2628

Tabel 14

Pada contoh kasus yang kedua, digunakan data dari perusahaan Lloyd’s.
Diberikan data awal dari run-off triangle untuk kerugian yang dibayarkan dan
kerugian yang terjadi yang melibatkan 10 tahun waktu kejadian dan 10 tahun
waktu penundaan. Dengan menggunakan metode MCL dilakukan perhitungan
mencari parameter yang diperlukan (perhitungan lengkapnya pada Lampiran 3).
Pada akhirnya, diperoleh estimasi untuk
dari Gambar 5 sebesar .
dan �
dari Gambar 6 sebesar − .
. Estimasi ini tidak memenuhi syarat bahwa nilai
harus berada antara dan , akibatnya metode MCL tidak dapat melakukan
proyeksi dengan baik karena tidak memenuhi syarat yang ditetapkan.

Residual kerugian yang dibayarkan
25
20
15
10

y = 1.3296x + 0.7009
5
0
-2

-1

0
-5

1

2

Gambar 3 Plot residual dari kerugian yang dibayarkan dari data Lloyd’s

3

26
Residual kerugian yang terjadi
12
10
8
6
4
2

y = -0.081x + 0.374
0
-2

-1

0

1

2

-2
-4

Gambar 4 Plot residual dari kerugian yang terjadi dari data Lloyd’s
Dilihat dari Tabel 17, gap antara proyeksi untuk kerugian yang dibayarkan
dan kerugian yang terjadi dengan metode MCL terdapat nilai negatif, artinya
metode MCL tidak cukup baik untuk memproyeksi cadangan klaim untuk data
tersebut. Oleh karena itu, diperlukan metode lain saat metode MCL tidak
menghasilkan proyeksi yang baik.
Tabel 17
Tahun
Kejadian
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

Gap antara proyeksi untuk kerugian yang dibayarkan dan kerugian
yang terjadi dari data Lloyd’s dengan metode Munich chain-ladder
1
1346
1350
1829
137
1363
247
1195
274
1984
1473

2
6393
4664
3863
2381
2668
5061
2222
1751
4670
5023

3
6816
4960
7302
7910
2819
3790
4207
2542
6214
7198

4
6932
2601
6041
10288
4193
6773
5942
2708
7015
8088

Tahun Penundaan
5
6
5942
1570
6383
2925
7334
4511
10194
3441
5661
6984
5768
3093
6340
3062
3682
2542
7725
3963
9072
4808

7
931
1485
2334
2758
5922
2211
2168
1853
2821
3433

8
308
934
800
1943
5398
1571
1513
1361
1990
2435

9
290
342
437
-205
-1371
-175
-1