TEORI DASAR METODE CHAIN LADDER STOKASTI

JUDUL

: PREDIKSI CADANGAN KLAIM DENGAN METODE CHAIN LADDER STOKASTIK DAN
TEKNIK BOOTSTRAP PADA MODEL OVER DISPERSED POISSON (ODP)
APLIKASI TEKNIK BOOTSTRAP UNTUK MENAKSIR STANDAR ERROR SUATU STATISTIK
PADA GENERALIZED LINEAR MODEL (GLM) DALAM MEMPREDIKSI CADANGAN KLAIM

#METODE CHAIN LADDER
Data segitiga run-off klaim incremental:
i\j

1

2

3

…

1

C(1,1)

C(1,2)

C(1,3)

…

2

C(2,1)

C(2,2)

C(2,3)

…

C(3,3)

…

3
…
n-1
n

C(3,1)
C(3,2)
…
…
C(n-1,1) C(n-1,2)
C(n,1)

n-1
C(1, n1)
C(2, n-

n
C(1,n)

1)

Dapat ditulis sebagai {C i , j :i=1, … , n ; j=1, … , n−i+1 } , dimana n adalah angka pada origin years.
Ci , j : Besar Klaim Incremental
Di , j : Besar Klaim Kumulatif
Dengan
j

D i , j=∑ C ik
k=1

Faktor development

F ( i , j )=F j=

Di , j
Di , j−1

Asumsi bahwa pada setiap tahun kejadian (accident year) tiap data memiliki faktor development yang

¿ 1,2, 3, … , n :

sama untuk
n− j+1

^
F j=

∑

i=1
n− j +1

∑
i=1

Di , j
Di , j −1

Taksiran nilai klaim ultimate untuk

i=1, 2,… , n

n

^
D i ,n= D i , j

∏

u= j +1

^
Fu

pustaka: [4]england verrall-predictive distributions of outstanding liabilities in general insurance

#Generalized Linear Model & Claim Reserving Methods
[Pendahuluan GLM secara umum – dari buku Piet De Jong]

Keluarga Distribusi Eksponensial
***
Model stokastik untuk menghitung cadangan klaim melalui nilai rataan dari suatu keluarga distribusi
pada generalized linear model (McCullagh dan Nelder (1989) pada pengenalan GLM).
Struktur pada GLM yaitu:
(1)

Y ij f ( y ; μ ij , ∅)
(peluang) dari

Y ij

dengan

Y ij

μij =E(Y ij ) , dan

saling bebas,

f (.)

yang termasuk ke dalam distribusi keluarga eksponensial.

fungsi density

∅

adalah

scale parameter.
(2)

μij
); g(.) disebut fungsi link.
ηij =g ¿

(3)

ηij =c +α i+ β j dengan α 1=β 1=0 untuk menghindari adanya over-parameterization.

Asumsi distribusi pada variable respons ( Y ij ¿

var (Y ij ) = ∅ V ( μij ) , dimana V (.)

dengan

adalah fungsi variansi.

V ( μij ) =1

Normal dist.
Poisson dist.

V ( μ ij ) =μij

Gamma dist.

V ( μ ij ) =μij

2

Diketahui bahwa model GLM dengan struktur pada (3) dengan nilai

V ( μ ij ) =μij , adalah distribusi

quasi over-dispersed Poisson yang memberikan nilai prediksi yang sama dengan teknik Chain Ladder
(Renshaw and Verral (1994)).
Saat menggunakan distribusi quasi over-dispersed Poisson, diperlukan adanya konstrain (kendala)
dimana penjumlahan klaim incremental pada setiap kolom lebih besar dari nol.
Pada prediksi cadangan klaim, the figures of interest will be the aggregate value
n

Y ¿ =∑

n

∑

i=2 j=n−i +2

Y ij

dan total pada baris
n

i∗¿=

∑

j=n−i+ 2

Y¿

Y ij

n

Nilai taksiran akan dihasilkan pada

^μ¿ =∑

n

n

∑

i=2 j=n−i +2

μ^ ij dan

i∗¿=

∑

j=n−i+ 2

μ^ ij

.

^μ¿

Prosedur yang perlu dilakukan untuk memperoleh nilai prediksi/taksiran yaitu:
(1) Mendefinisikan model.
(2) Estimasi parameter

c , α i , β j untuk i, j=1,2, … ,n dan ∅ .

(3) Diperoleh nilai hasil fit model

^μij ( i=1,2, … , n dan j=1,2, … , n−i+1 )

(4) Periksa model
(5) Diperoleh nilai prediksi individu yaitu

^μij =c^ + α^ i+ ^β j

( i=2, … , n dan j=n−i+ 2, … ,n )

(6) Memperoleh prediksi nilai untuk besar cadangan pada baris (masing-masing tahun kejadian)
n

i∗¿=

∑

j=n−i+ 2

μ^ ij

( 2, … , n )

^μ¿
^μi∗¿
(7) Memperoleh prediksi nilai cadangan total

n

^μ¿ =∑ ¿
i=2

pustaka: [7]pineiro_silva_centeno-bootstrap methodology in claim reserving

# Distribusi Tweedie > Keluarga Distribusi Dispersed Exponential
Pustaka: modern actuarial risk theory book p.317

#Model Over-Dispersed Poisson
Model distribusi over-dispersed poisson merupakan jenis model non-rekursif. Pada model ini
diasumsikan bahwa besar klaim incremental
incremental

Cij

berdistribusi saling bebas (independent). Klaim

Cij merupakan variabel acak berdistribusi over-dispersed poisson dengan nilai mean dan

variansi sebagai berikut

E [ Cij ]=m ij
Var [C ij ]=∅ E [C ij ]=∅ mij

Sebagai contoh berikut bentuk model over-dispersed poisson yang digunakan untuk memprediksi besar
klaim/banyak klaim dimasa mendatang dengan metode chain ladder (dibawah kondisi tertentu)

log ( m ij ) =c +α i+ β j ,
dimana

i=1,2, … , n ,

j=1,2,… , n dan α 1=β 1=0.

Fungsi link yang digunakan yaitu fungsi log. Dengan
(accident year),

∅

β

α

menyatakan parameter pada tahun kejadian

parameter terhadap tahun development, dan

c

level parameter. Parameter

merupakan scale parameter.

#Estimasi Parameter ( α , β , c dan ∅ ¿
Pustaka: buku piet de jong (materi MLE)

#Prediksi Standar Error (dkk)
Paper: a flexible framework for stochastic claims (verral-England)/ di pinheiro jg ada

#Metode Bootstrap
Metode Bootstrap adalah metode untuk menghasilkan distribusi sampling untuk Ini adalah metode
untuk mendapatkan distribusi sampling untuk sejumlah statistic dengan membuat sampel semu
(pseudo-sample) yang diperoleh secara acak dengan penggantian, dari data pengamatan.
Contoh sederhana*

*Aplikasi Metode Bootstrap Pada Model Over-dispersed Poisson

Akan dilakukan proses resampling data residual dari model ODP. Asumsi yang harus dipenuhi yaitu
variabel respon berdistribusi saling bebas dan identik (iid)
Berikut langkah-langkah:
1.
2.
3.
4.

Fit model ODP ke data klaim dan hitung nilai besar klaim inkremental.
Hitung nilai adjusted residual dan scaled residual
Lakukan bootstrap resampling residuals
Diperoleh pseudo data dari resampled residual dan lakukan fit untuk menentukan nilai klaim

inkremental
5. Dengan metode chain ladder, dilakukan estimasi nilai klaim inkremental di masa yang akan
datang
6. Lakukan simulasi sebanyak N kali
7.