Pengaruh Surplus Primer, Tingkat Pajak, dan Investasi Publik terhadap Modal dan Utang Publik dalam Model Pertumbuhan Ekonomi

PENGARUH SURPLUS PRIMER, TINGKAT PAJAK, DAN
INVESTASI PUBLIK TERHADAP MODAL DAN UTANG
PUBLIK DALAM MODEL PERTUMBUHAN EKONOMI

DANTY KARTIKA SARI

DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014

PERNYATAAN MENGENAI SRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Pengaruh Surplus
Primer, Tingkat Pajak, dan Investasi Publik terhadap Modal dan Utang Publik
dalam Model Pertumbuhan Ekonomi adalah benar karya saya dengan arahan dari
komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan
tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang
diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks
dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.

Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Maret 2014
Danty Kartika Sari
NIM G54090051

ABSTRAK
DANTY KARTIKA SARI. Pengaruh Surplus Primer, Tingkat Pajak, dan Investasi
Publik terhadap Modal dan Utang Publik dalam Model Pertumbuhan Ekonomi.
Dibimbing oleh RETNO BUDIARTI dan ALI KUSNANTO.
Pertumbuhan ekonomi suatu negara dapat dikatakan stabil bila keadaan
pertumbuhan ekonomi negara tersebut berlangsung secara berkelanjutan, artinya
pertumbuhan antara modal dan utang publik berjalan seimbang. Dalam tugas akhir ini
akan dipelajari pengaruh tiga buah faktor terhadap dua buah komponen, yaitu modal
publik dan utang publik. Ketiga faktor tersebut ialah pengaruh surplus primer, tingkat
pajak, dan investasi publik. Model pertumbuhan ekonomi diasumsikan bahwa surplus
primer terhadap PDB merupakan fungsi linear positif dari utang publik. Simulasi karya
ilmiah ini dibagi menjadi tiga kasus yaitu: pengaruh faktor surplus primer terhadap
modal publik dan utang publik; pengaruh faktor tingkat pajak terhadap modal publik
dan utang publik; dan pengaruh investasi publik terhadap modal publik dan utang

publik. Hasil simulasi menunjukan bahwa tingkat pertumbuhan ekonomi yang stabil
terjadi saat ketiga faktor tersebut mengalami kenaikan. Kenaikan ini menyebabkan
utang publik mengalami penurunan bahkan mencapai kondisi tidak adanya utang publik
dan modal publik mengalami peningkatan, sehingga modal publik dapat digunakan
untuk investasi publik.
Kata kunci : investasi publik, modal publik, surplus primer, tingkat pajak, utang publik

ABSTRACT
DANTY KARTIKA SARI. Effects of Primary Surplus, Tax Rate, and Public
Investment on Capital and Public Debt in Economic Growth Model. Suvervised by
RETNO BUDIARTI dan ALI KUSNANTO.
Economic growth of a country is stable if the state economic growth is
sustainable. It means that public capital and public debt of economic are in balance. In
this work, the influence of three factors into two components, there are public capital
and public debt. The factors are the influence of the primary surplus, the tax rate, and
the public investment. The economic growth model studied was assumed in such a way
that the primary surplus of GDP ratio is a positive linear function of the public debt. A
simulation conducted in this study is divided into three cases i.e,: the effect of the
primary surplus to public capital and public debt, the effect of the tax rate on public
capital and public debt, and the effect of public investment on public capital and public

debt. The simulation results showed that stable economic growth rate occurred when all
of these three factors increased. The increase causes the public debt get decreased even
reached the situation with no public debt and public capital increased. As a
consequence, the public capital can be used for public investment.
Keywords :

public investment, public capital, primary surplus, tax rate, public debt

PENGARUH SURPLUS PRIMER, TINGKAT PAJAK, DAN
INVESTASI PUBLIK TERHADAP MODAL DAN UTANG
PUBLIK DALAM MODEL PERTUMBUHAN EKONOMI

DANTY KARTIKA SARI

Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika

DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014

Judul Skripsi : Pengaruh Surplus Primer, Tingkat Pajak, dan Investasi Publik
terhadap Modal dan Utang Publik dalam Model Pertumbuhan
Ekonomi
Nama
: Danty Kartika Sari
NIM
: G54090051

Disetujui oleh

Ir Retno Budiarti, MS
Pembimbing I

Drs Ali Kusnanto, MSi

Pembimbing II

Diketahui oleh

Dr Toni Bakhtiar, MSc
Ketua Departemen

Tanggal Lulus:

Judul Skripsi: Pengaruh Surplus Primer, Tingkat Pajak, dan Investasi Publik
terhadap Modal dan Utang Publik dalam Model Pertumbuhan
Ekonomi
Nama
Danty Kartika Sari
NIM
: G54090051

Disetujui oleh

Ir Retno Budiarti, MS

Pembimbing I

Tanggal Lulus:

D5 MAR 2014

Drs Ali Kusnanto, MSi
Pembimbing II

PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala karuniaNya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang dipilih dalam
karya ilmiah ini adalah pertumbuhan ekonomi, dengan judul Pengaruh Surplus
Primer, Tingkat Pajak, dan Investasi Publik terhadap Modal dan Utang Publik
dalam Model Pertumbuhan Ekonomi.
Terima kasih penulis ucapkan kepada Ibu Ir Retno Budiarti, MS dan Bapak
Drs Ali Kusnanto, MSi selaku pembimbing, serta Bapak Dr Paian Sianturi selaku
dosen penguji yang telah banyak memberi saran dan bimbingannya. Ungkapan
terima kasih juga disampaikan kepada Bapakku, Ibuku, dan Kakakku yang sudah
memberikan doa, nasihat, semangat dan dukungannya selama ini. Penulis juga
mengucapkan terima kasih kepada Wirdania, Ivonne, Meliza, Uwi, Widia, Dita,

Windi, Bari, Yoyok, Putri, Amelia, Risa, Tita, Dedew, dan teman-teman Kost
Putri rumah warna atas dukungan serta bantuannya selama ini. Penulis juga
sampaikan terima kasih kepada seluruh dosen dan staf Departemen Matematika,
keluarga Matematika IPB, serta teman-teman satu almamater IPB.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.

Bogor, Maret 2014
Danty Kartika Sari

DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL

vi

DAFTAR GAMBAR

vi

DAFTAR LAMPIRAN

vi

PENDAHULUAN

1

Latar Belakang

1

Tujuan Karya Ilmiah

2

TINJAUAN PUSTAKA

2

Istilah Ekonomi

2

Istilah Matematis

4

PEMBAHASAN

8

Surplus Primer dan Dinamika Utang Publik

8

Struktur Model Pertumbuhan Ekonomi

10

Kondisi Ekuilibrium pada Dinamika Model Pertumbuhan Ekonomi

14

SIMULASI

16
terhadap Kestabilan Pertumbuhan Ekonomi

17

Pengaruh Parameter � terhadap Kestabilan Pertumbuhan Ekonomi

19

Pengaruh Parameter

Pengaruh Parameter � terhadap Kestabilan Pertumbuhan Ekonomi

21

SIMPULAN

24

Simpulan

24

Saran

25

DAFTAR PUSTAKA

25

LAMPIRAN

26

RIWAYAT HIDUP

38

DAFTAR TABEL
1
2
3
4
5
6
7
8
9

Nilai-nilai parameter untuk melihat pengaruh parameter β
Titik tetap, nilai eigen, dan jenis kestabilan saat = 0.35
Titik tetap, nilai eigen, dan jenis kestabilan saat = 3.5
Nilai-nilai parameter untuk melihat pengaruh parameter τ
Titik tetap, nilai eigen, dan jenis kestabilan saat � = 0.25
Titik tetap, nilai eigen, dan jenis kestabilan saat � = 0.55
Nilai-nilai parameter untuk melihat pengaruh parameter �
Titik tetap, nilai eigen, dan jenis kestabilan saat � = 0.001
Titik tetap, nilai eigen, dan jenis kestabilan saat � = -0.1

17
17
17
18
18
20
22
22
22

DAFTAR GAMBAR
1 Hubungan kurva modal publik (x), utang publik (b), dan tingkat
konsumsi (c) terhadap tingkat pertumbuhan ekonomi saat β = 0.35
2 Hubungan kurva modal publik (x), utang publik (b), dan tingkat
konsumsi (c) terhadap tingkat pertumbuhan ekonomi saat = 3.5
3 Hubungan kurva dua dimensi antara modal publik (x), utang publik (b),
dan tingkat konsumsi (c) saat β = 0.35
4 Hubungan kurva dua dimensi antara modal publik (x), utang publik (b),
dan tingkat konsumsi (c) saat β = 3.5
5 Hubungan kurva modal publik (x), utang publik (b), dan tingkat
konsumsi (c) terhadap tingkat pertumbuhan ekonomi saat � = 0.25
6 Hubungan kurva modal publik (x), utang publik (b), dan tingkat
konsumsi (c) terhadap tingkat pertumbuhan ekonomi saat � = 0.55
7 Hubungan kurva dua dimensi antara modal publik (x), utang publik (b),
dan tingkat konsumsi (c) saat τ = 0.25
8 Hubungan kurva dua dimensi antara modal publik (x), utang publik (b),
dan tingkat konsumsi (c) saat τ = 0.55
9 Hubungan kurva modal publik (x), utang publik (b), dan tingkat
konsumsi (c) terhadap tingkat pertumbuhan ekonomi saat � = 0.001
10 Hubungan kurva modal publik (x), utang publik (b), dan tingkat
konsumsi (c) terhadap tingkat pertumbuhan ekonomi saat � = - 0.1
11 Hubungan kurva dua dimensi antara modal publik (x), utang publik (b),
dan tingkat konsumsi (c) saat � = 0.001
12 Hubungan kurva dua dimensi antara modal publik (x), utang publik (b),
dan tingkat konsumsi (c) saat � = - 0.1

18
18
18
18
20
20
21
21
23
23
23
23

DAFTAR LAMPIRAN
1 Penurunan laju pertumbuhan ekonomi pada kondisi yang seimbang
dengan kendala modal swasta (Persamaan (24))
2 Penurunan persamaan differensial tiga dimensi terhadap waktu
3 (Persamaan (28), (29), (30))
4 Kode program Gambar 1
5 Kode program Gambar 2
6 Kode program Gambar 3
7 Kode program Gambar 4
8 Kode program Gambar 5
9 Kode program Gambar 6
10 Kode program Gambar 7
11 Kode program Gambar 8
12 Kode program Gambar 9
13 Kode program Gambar 10
14 Kode program Gambar 11
15 Kode program Gambar 12

26
27
29
30
30
31
32
32
33
34
34
35
36
37

PENDAHULUAN
Latar Belakang
Pertumbuhan ekonomi adalah pertumbuhan output riil suatu perekonomian
sepanjang tahun. Pertumbuhan ekonomi diukur dengan peningkatan pendapatan
per kapita sepanjang waktu, dari peningkatan Produk Nasional Bruto (PNB) atau
Produk Domestik Bruto (PDB) (Mankiw 2003). Pertumbuhan ekonomi dikaitkan
dengan sebuah proses pembangunan ekonomi suatu negara. Pembangunan
ekonomi tersebut bertujuan untuk mencapai target pertumbuhan ekonomi yang
pada akhirnya mendorong perekonomian sehingga mampu menyejahterakan
masyarakatnya. Setiap negara membutuhkan pertumbuhan ekonomi agar menjadi
negara yang maju. Oleh karena itu, pentingnya pertumbuhan ekonomi
mengakibatkan banyak para ahli ekonomi yang semakin tertarik untuk
mempelajari teori pertumbuhan ekonomi.
Pertama ialah teori pertumbuhan ekonomi Solow-Swan. Teori ini
menjelaskan bagaimana tingkat tabungan, investasi, dan kemajuan teknologi
mempengaruhi tingkat output perekonomian dan pertumbuhan sepanjang waktu.
Dalam teori ini kemajuan teknologi diasumsikan sebagai variabel eksogen
(Mankiw 2003).
Seiring dan berjalannya waktu, teori pertumbuhan ekonomi Solow-Swan
mendapatkan banyak kritik, salah satunya dipelopori oleh Paul M Romer pada
tahun 1986. Teori ini muncul karena ketidakpuasan Paul M Romer terhadap
model pertumbuhan ekonomi Solow-Swan yang dinilai memiliki kelemahan
karena tidak cukup menjelaskan pertumbuhan ekonomi jangka panjang.
Kelemahan dari model pertumbuhan ekonomi Solow-Swan adalah tingkat
tabungan akan mendorong pertumbuhan ekonomi, sementara pengembalian modal
akan terus menurun secara berangsur-angsur. Sebaliknya, model pertumbuhan
ekonomi yang diterangkan oleh Paul M Romer adalah tingkat tabungan dan
investasi dapat mendorong pertumbuhan ekonomi yang berkesinambungan. Teori
pertumbuhan ekonomi Paul M Romer lebih dikenal dengan teori pertumbuhan
ekonomi endogen (Mankiw 2003).
Para ahli ekonomi semakin tertarik untuk mempelajari teori pertumbuhan
ekonomi endogen. Menurut Futugami et al (1993), model pertumbuhan ekonomi
endogen diartikan sebagai sebuah model dengan modal publik yang menghasilkan
pertumbuhan ekonomi per-kapita. Teori Futugami menjelaskan adanya
kemungkinan dari pengeluaran publik yang bersifat produktif maupun non
produktif. Hal tersebut menunjukkan bahwa pertumbuhan yang dapat
memaksimalisasi kesejahteraan mungkin berbeda bahkan pada saat kondisi
pertumbuhan ekonomi yang seimbang.
Salah satu ahli ekonomi Turnovsky (1995) juga mempelajari mengenai teori
pertumbuhan ekonomi endogen. Menurut Turnovsky model pertumbuhan
ekonomi endogen memungkinkan adanya utang publik. Turnovsky menunjukkan
bahwa peningkatan investasi publik oleh utang publik yang lebih tinggi dapat
meningkatkan tingkat pertumbuhan ekonomi yang seimbang. Hal tersebut karena
modal publik dapat merangsang investasi dan utang publik.

2
Teori pertumbuhan ekonomi endogen Futugami et al. (1993) dan Turnovsky
(1995) terus mengalami perkembangan. Penggabungan kedua teori tersebut
menghasilkan sebuah analisis yaitu rasio antara surplus primer terhadap produk
domestik bruto (PDB) merupakan fungsi linear positif dari rasio utang publik
terhadap produk domestik bruto (PDB). Hal tersebut, jika pemerintah menaikkan
surplus primer akibat kenaikan utang publik dibutuhkan tindakan yang dapat
menstabilkan rasio utang publik. Rasio utang publik menunjukkan adanya tingkat
pengembalian. Oleh karena itu, rasio utang publik akan tetap dibatasi yang
menyiratkan bahwa kondisi utang publik yang berkelanjutan (Greiner A 2007).
Dalam karya ilmiah ini akan dijelaskan lebih lanjut mengenai pengaruh
surplus primer, tingkat pajak, dan investasi publik terhadap besarnya modal dan
utang publik suatu negara sehingga pertumbuhan ekonomi mencapai kestabilan.
Tingkat pajak dan investasi publik ditetapkan oleh pemerintah sebagai bentuk
tindakan dari kebijakan fiskal perekonomian suatu negara. Selanjutnya, dilakukan
simulasi untuk mengetahui sifat stabilitas model pertumbuhan ekonomi.
Tujuan Karya Ilmiah
Berdasarkan latar belakang di atas, tujuan karya ilmiah ini ialah:
1 Mempelajari pengaruh surplus primer, tingkat pajak, dan investasi publik
terhadap modal dan utang publik dalam model pertumbuhan ekonomi.
2 Menganalisis kestabilan titik tetap dari model pertumbuhan ekonomi.
3 Melakukan simulasi dan mempelajari pengaruh dari perubahan parameter
berdasarkan simulasi tersebut.

TINJAUAN PUSTAKA
Definisi Beberapa Istilah Ekonomi
Pertumbuhan ekonomi (economic growth) adalah perkembangan kegiatan
dalam perekonomian yang menyebabkan barang dan jasa yang diproduksi dalam
masyarakat bertambah. Tingkat pertumbuhan ekonomi menujukkan persentase
kenaikan pendapatan nasional riil pada suatu tahun tertentu dibandingkan pada
pendapatan riil pada tahun sebelumnya (Sukirno 2004).
Pendapatan nasional adalah jumlah pendapatan yang diterima oleh faktorfaktor produksi yang digunakan untuk memproduksikan barang dan jasa dalam
suatu tahun tertentu. Berikut ini adalah persamaan dari pendapatan nasional:
Y = C + I + G + (X − M),

dengan Y merupakan pendapatan nasional, C merupakan konsumsi rumah
tangga, I merupakan investasi, G merupakan pengeluaran pemerintah, X
merupakan ekspor, dan M merupakan impor. Data yang dikumpulkan dalam
perhitungan pendapatan nasional adalah jumlah pembelanjaan yang dilakukan
dalam satu tahun (Sukirno 2004). Salah satu faktor lain dari pendapatan nasional

3
adalah investasi. Investasi adalah pembelian alat-alat modal, persediaan barang
(inventory) dan struktur usaha (Mankiw 2006).
Konsumsi rumah tangga merupakan suatu kegiatan yang dilakukan oleh
masyarakat yaitu jumlah pembelian rumah tangga atas barang dan jasa yang
dilakukan untuk memenuhi kebutuhannya. Untuk memaksimumkan tingkat
konsumsi sebuah rumah tangga biasanya dipengaruhi oleh faktor diskon. Faktor
diskon adalah pengurangan jumlah yang seharusnya dibayarakan yang dibayar
dimuka (Sukirno 2004).
Ada tiga macam ukuran untuk menilai pertumbuhan ekonomi yaitu
pertumbuhan output, pertumbuhan output per pekerja, dan pertumbuhan output
per kapita. Pertumbuhan output digunakan untuk menilai pertumbuhan kapasitas
produksi yang dipengaruhi oleh adanya peningkatan tenaga kerja dan modal.
Pertumbuhan output per tenaga kerja sering digunakan sebagai indikator adanya
perubahan daya saing di suatu wilayah. Sedangkan pertumbuhan output per kapita
digunakan sebagai indikator perubahan kesejahteraan ekonomi di suatu wilayah.
Umumnya tingkat pertumbuhan perekonomian suatu wilayah diukur dari Produk
Domestik Bruto (PDB). Produk Domestik Bruto adalah nilai barang dan jasa
dalam suatu negara yang diproduksikan oleh faktor-faktor produksi milik warga
negara tersebut dan juga negara asing. Berikut adalah persamaan Produk
Domestik Bruto (PDB):
PDB = C + I + G,
dengan PDB merupakan Produk domestik bruto, C merupakan konsumsi
pemerintah, I merupakan investasi, dan G merupakan pengeluaran pemerintah
(Sukirno 2004).
Ada beberapa pandangan mengenai teori pertumbuhan ekonomi. Menurut
teori Solow, ada beberapa hal yang dilakukan untuk memacu pertumbuhan
ekonomi. Pertama, meningkatkan porsi tabungan akan meningkatkan akumulasi
modal dan mempercepat pertumbuhan ekonomi. Kedua, meningkatkan investasi
yang sesuai dalam perekonomian baik dalam bentuk maupun non-fisik dapat
mendorong kemajuan teknologi dan dapat meningkatkan pendapatan per tenaga
kerja sehingga pemberian kesempatan untuk berinovasi pada sektor swasta akan
berpengaruh besar dalam pertumbuhan ekonomi. Teori pertumbuhan Solow juga
berpegang pada konsep skala hasil yang terus berkurang dari input tenaga kerja
dan modal jika keduanya dianalisis secara terpisah. Model pertumbuhan Solow
dalam bentuk formal memakai fungsi produksi agregat standar, yakni:
�=

∝

(

)1−∝ ,

pada persamaan tersebut Y adalah Produk Domestik Bruto (PDB), K adalah stok
modal fisik dan modal manusia, L adalah tenaga kerja, dan A adalah produktivitas
tenaga kerja yang pertumbuhannya ditentukan secara eksogen. Adapun simbol α
melambangkan elastisitas (Mankiw 2003).
Teori pertumbuhan ekonomi Solow semakin mengalami perkembangan,
diantaranya adalah teori pertumbuhan ekonomi endogen. Teori pertumbuhan
endogen adalah peningkatan akumulasi modal. Modal dalam hal ini tidak hanya
dalam sifat fisik tetapi juga yang bersifat non-fisik berupa ilmu pengetahuan dan
teknologi. Perkembangan teknologi ini akan mengembangkan inovasi sehingga
meningkatkan produktivitas dan berujung pada peningkatan pertumbuhan

4
ekonomi. Adanya penemuan-penemuan baru berawal dari proses learning by
doing dapat memunculkan penemuan-penemuan baru yang meningkatkan
efisiensi produksi. Efisiensi ini dapat meningkatkan produktivitas, sehingga dalam
hal ini kualitas sumber daya manusia adalah faktor yang berpengaruh terhadap
pertumbuhan ekonomi (Todaro & Smith 2006).
Adapun yang dilakukan pemerintah untuk mencapai pertumbuhan
perekonomian yang stabil yaitu dengan melakukan sebuah kebijakan. Kebijakan
tersebut terdiri dari kebijakan fiskal dan kebijakan moneter. Kebijakan fiskal
merupakan satu instrumen dari kebijakan makroekonomi yang bertujuan untuk
mencapai output yang tinggi dengan laju pertumbuhan yang cepat, kesempatan
kerja yang tinggi, stabilitas harga serta keseimbangan dalam neraca pembayaran.
Kebijakan fiskal merupakan salah satu proses pembentukan perpajakan dan
pengeluaran pemerintah atau publik. Proses tersebut merupakan upaya menekan
fluktuasi siklus ekonomi dan ikut berperan menjaga ekonomi yang tumbuh dengan
penggunaan tenaga kerja penuh dimana tidak terjadi laju inflasi yang tinggi dan
berubah-ubah. Berdasarkan definisi tersebut terdapat dua instrumen pokok di
dalamnya, yaitu belanja negara dan perpajakan. Pemerintah dapat menetapkan
program pengeluaran publik serta penerimaannya yang sebagian besar adalah
pajak. Pajak adalah beralihnya sumber daya dari sektor swasta ke sektor
pemerintah wajib dibayar oleh sektor swasta dan berdasarkan ketentuan yang
ditetapkan pemerintah, penerimaan pajak digunakan untuk pembiayaan
pembangunan negara (Mankiw 2003).
Kebijakan fiskal yang dilakukan oleh pemerintah bertujuan untuk dapat
menutupi utang pemerintah dan mencegah terjadinya defisit anggaran pemerintah.
Utang pemerintah adalah akumulasi pinjaman dari sektor swasta yang digunakan
untuk mendanai defisit anggaran. Keadaan ini terjadi bila pengeluaran pemerintah
lebih banyak daripada kegiatan mengumpulkan dana melalui pajak. Defisit
anggaran pemerintah adalah selisih pengeluaran pemerintah dengan penerimaan
pemerintah, yang sama dengan jumlah utang baru yang dibutuhkan pemerintah
untuk mendanai operasinya (Mankiw 2006).

Istilah Matematika
Current-Value Hamilton
Tingkat diskon merupakan ciri dasar dalam masalah pengoptimuman
dinamik, terutama dalam bidang ekonomi. Dalam kontrol optimum fungsi nilai
sekarang (present value) sering memuat faktor diskon e- rt . Secara umum fungsi
nilai sekarang dari fungs integran f0 dapat dituliskan sebagai berikut:
0

, ,

=

−

( , , )

,

sehingga masalah kontrol optimum dengan faktor diskon yang memaksimumkan
fungsi suatu nilai didefinisikan dengan persamaan sebagai berikut:
max

=

, ,
0

−

,

5
dengan kendala = f( , , ) ditambah dengan syarat batas. Dalam Pontryagin et al
(1962), definisi fungsi Hamilton dari masalah kontrol optimum diatas dapat
dituliskan dalam bentuk:
, , ,� =

−

, ,

+ �

( , , ).

Prinsip maksimumkan menggunakan turunan fungsi Hamilton terhadap s dan u.
Hadirnya faktor diskon akan menambah kerumitan penentuan turunan tersebut.
Oleh karena itu, dikenalkan fungsi Hamilton baru yang sering disebut dengan
current-value Hamiltonian. Untuk mendapatkan persamaan current-value
Hamiltonian diperlukan konsep current-value adjoin. Misalkan λ(t) menyatakan
current-value fungsi adjoin, yang didefinisikan � ( ) = �( ) � berimplikasi
dengan persamaan �( ) = �( ) − , sehingga fungsi current-value Hamiltonian
yang dinotasikan dengan ℋ dapat dituliskan menjadi:
ℋ=

( , , ) + � ( ) ( , , ).

=

Perhatikan bahwa ℋ, sebagaimana yang diinginkan sudah tidak memuat faktor
diskon (ℋ =
). Penerapan prinsip maksimum Pontryagin terhadap ℋ harus
disesuaikan, karena u yang memaksimumkan H maka juga akan memaksimumkan
ℋ, maka
max
�

ℋ,

∀ ∈ [0, ].

=

Persamaan state yang muncul dalam sistem kanonik aslinya adalah
Karena
=

�ℋ
��

�

��

=

0

, ,

=

�ℋ
��

�ℋ
��

.

, maka persamaan ini disesuaikan menjadi

. Persamaan untuk peubah adjoin yang muncul dalam sistem kanonik
�

aslinya adalah dalam bentuk (t) = −
. Pertama, transformasikan masing�
masing suku dalam bentuk yang melibatkan peubah adjoin baru, � ( ), kemudian
hasilnya disamakan. Persamaan suku kiri dari persamaan = − �� adalah
sebagai berikut:
( ) = �( )

−

–

�( )

−

Dengan memanfaatkan definisi H, suku kanan dari persamaan
dituliskan kembali dalam bentuk:
−

�
�ℋ
= −
�
��

−

(1)

.

.

=

−

�
�

dapat
(2)

Dengan menyamakan kedua persamaan dari persamaan (1) dan (2), persamaan
adjoin menjadi seperti berikut:
�( ) = −

�ℋ
�

+

�( ),

6
selanjutnya akan diperiksa kondisi (syarat) batas. Syarat batas yang sesuai untuk
syarat batas p(T) = 0 adalah �( ) − = 0 dan syarat batas yang sesuai untuk
syarat batas [ ]� = = 0 [ℋ e- rt ]� = = 0 (Pontryagin et al 1962).

Titik Tetap dan Jenis Kestabilan
Diberikan sistem persamaan diferensial sederhana dalam bentuk sebagai
berikut:
=

∈ �� ,

,

(3)

y(t) adalah nilai real fungsi dari waktu dan ( ) adalah nilai real fungsi dari y.
Persamaan (3) disebut sistem dimensi satu atau sistem orde satu. Persamaan (3)
mempunyai titik tetap y = y* ketika memenuhi ( ∗ ) = 0. Titik tetap juga
disebut sebagai titik keseimbangan. Ada dua jenis titik tetap yaitu titik tetap stabil
dan titik tetap tak stabil (Strogatz 1994).
Menurut Verhulst (1990) titik ∗ disebut sebagai titik tetap stabil jika untuk
sebarang radius ε > 0 ada r > 0 sedemikian sehingga jika posisi awal 0
memenuhi 0 − ∗ < maka solusi y(t) memenuhi ( ) − ∗ < �, untuk
setiap t > t0 . Titik ∗ disebut sebagai titik tetap tak stabil jika ada radius ε > 0 dan
r > 0. Posisi awal 0 dan suatu t0 memenuhi 0 − ∗ <
tetapi solusi y(t)
memenuhi ( ) − ∗ > �, untuk t > t0 .
Misalkan dilakukan perluasan Taylor terhadap persamaan (3) pada titik
tetapnya akan diperoleh sebagai berikut:

sehingga

= �

+ �

,

∗

� =

�
�
�
A = �
�
�

1
1
2
1
�

1

�
�
�
�
�
�

= �

1
2
2
2
�

2

⋱

�
�
�
�
�
�

|

= ∗

,

(4)

1
�

2

,

�

�

�

= ∗

A disebut matriks Jacobi pada titik tetap y* dan fungsi 
memenuhi
limy→0  y = 0, hal ini menyebabkan persamaan diferensial (3) dapat didekati
oleh persamaan
= � .

(5)

Persamaan (5) disebut sebagai pelinearan dari persamaan diferensial (3) (Tu 1994).
Anton & Rorres (2004) menyatakan jika A adalah sebuah matriks berukuran
n x n, sebuah vektor tak nol di Rn dinamakan vektor eigen dari A jika A adalah
kelipatan skalar dari , yaitu:

7
�

= � .

(6)

Skalar � ini dinamakan nilai eigen dari A, sedangkan dinamakan vektor eigen
yang bersesuaian dengan �. Matriks A yang berukuran n x n digunakan untuk
mencari nilai eigen, maka:
�� = � ,
�� � = � � ,
� − �� = 0,

(7)

persamaan di atas akan mempunyai penyelesaian tak nol jika dan hanya jika:
det � − �� = 0.

(8)

Persamaan (8) adalah sebuah persamaan polinomial dalam � yang dinamakan
polinomial karakteristik dari A.
Misalkan
�=

.

Dari persamaan (8), maka persamaan karakteristiknya menjadi
−�

−�
sedemikian sehingga diperoleh persamaan

= 0,

�2 − �� + Δ = 0,

dengan

� = trace � =
Δ = det � =

+
−

= �1 + �2 ,
= �1 �2 .

Dengan demikian diperoleh nilai eigen dari matriks

sebagai berikut:

� ± � 2 − 4Δ
.
2
Menurut Strogatz (1994), untuk menentukan kestabilan dari suatu sistem
dapat dilihat dari nilai Δ . Ada tiga kasus untuk nilai Δ, yaitu:
�1,2 =

1

Δ < 0.

Jika kedua nilai eigen berbeda tanda maka titik tetap bersifat sadel.
2

Δ > 0.





� 2 − 4Δ > 0.
 Jika � > 0 dan kedua nilai eigen real bernilai positif, maka titik tetap
bersifat simpul tak stabil.
 Jika � < 0 dan kedua nilai eigen real bernilai negatif, maka titik tetap
bersifat simpul stabil.
2
� − 4Δ < 0.

8
Jika � > 0 dan kedua nilai eigen imajiner ( ± � ), maka titik tetap
bersifat spiral tak stabil.
 Jika � < 0 dan kedua nilai eigen imajiner ( ± � ), maka titik
tetap bersifat spiral stabil.
 Jika � = 0 dan kedua nilai eigen imajiner ( ± � ), maka titik
tetap bersifat center.
2
 � − 4Δ = 0.
Parabola � 2 − 4Δ = 0 adalah garis batas antara simpul dan spiral.
Star nodes atau degenerate terletak pada parabola ini. Jika kedua nilai
eigen bernilai sama mama titik tetap bersifat simpul sejati.
Δ = 0.
Jika salah satu nilai eigen bernilai nol, maka titik asal bersifat titik tetap
tak terisolasi.


3

PEMBAHASAN
Surplus Primer dan Dinamika Utang Publik Berkelanjutan
Utang merupakan akumulasi dari defisit anggaran yang pembiayaannya
dilakukan dengan meminjam. Pinjaman dapat dilakukan melalui bank sentral,
bank konvensional, lembaga non bank, ataupun pinjaman dari luar negeri.
Pembayaran utang dapat dilakukan dengan menaikkan pajak atau memotong salah
satu komponen dalam pembiayaan negara. Secara teori, pemerintah dapat
membayar utang tanpa menaikkan pajak ataupun memotong komponen
pembiayaan negara dengan cara mengeluarkan utang baru yang berfungsi
membayar bunga dan pokok utang lama. Kebijakan ini akan berhasil menurunkan
utang pemerintah jika tingkat pertumbuhan PDB lebih tinggi daripada tingkat
pertumbuhan bunga. Apabila jumlah utang terus menurun dibandingkan
pertumbuhan ekonomi maka utang pemerintah makin lama akan habis.
Greiner A (2007) memodelkan model dinamika utang publik yang
didefinisikan sebagai laju perubahan utang publik terhadap waktu yang sama
dengan besarnya bunga dari utang nominal ditambah belanja pemerintah
dikurangi penerimaan pajak. Definisi tersebut dapat dibentuk menjadi persamaan:
( ) =
dengan
(t) :
B(t) :
r(t)
:
S(t)
:
T(t) :
Ip (t) :

( ) ( ) − ( ),

laju perubahan utang publik pada periode t,
utang pada akhir periode t,
tingkat bunga riil pada periode t,
surplus primer pada periode t,
penerimaan pajak pada periode t,
pengeluaran pemerintah pada periode t,

(9)

9
yang didefinisikan sebagai
( ) −

( ) =

�(

).

Model dinamika ini dapat digunakan untuk menganalisis kesinambungan utang
pemerintah dengan cara mengubah model tersebut menjadi persamaan rasio utang
terhadap PDB.
Adapun asumsi yang dicantumkan pada karya ilmiah ini digunakan saat
suatu negara mengalami kondisi ekonomi yang efisien dinamis (kondisi dimana
anggaran negara dipergunakan sepenuhnya dan mengalami peningkatan dari tahun
ke tahun), diasumsikan rasio surplus primer terhadap PDB adalah fungsi linear
positif dari rasio utang terhadap PDB, atau dapat ditulis sebagai berikut:

β > 0,
�, β ∈ R.

�

β

Y(t)

− �
�( )

= � +

()
,
�( )

(10)

: parameter dari rasio persamaan surplus primer terhadap PDB yang
menggambarkan tingkat kenaikan atau penurunan dari surplus primer
akibat dari kenaikan PDB,
: parameter dari koefisien kemiringan persamaan rasio surplus primer
terhadap PDB yang menggambarkan bagimana kuatnya reaksi surplus
primer untuk merubah utang publik.
: Produk Domestik Bruto (PDB),

Perubahan persamaan utang publik yang diperoleh dengan menyubtitusikan
persamaan (10) ke persamaan (9) sehingga persamaan tersebut dapat dituliskan
sebagai berikut:
( ) =

( ) ( )– ( ) +

�(

) = ( ( )–

) ( ) − � �( ).

(11)

Persamaan (11) diperoleh berdasarkan persamaan (9) dan (10). Pertama
formulasikan kembali persamaan (9) dengan S(t) = T(t) + Ip (t), sehingga
diperoleh:
( ) = �_�( ) ( ) − ( )
( ) ( )– ( ) +

( ) =

�(

).

Rasio utang terhadap PDB berdasarkan persamaan (10) dilakukan dengan
mengalikan kedua ruas tersebut terhadap Y(t), PDB sehingga diperoleh:
( ) −

�(

) = � �( ) +

( ).

Selanjutnya didapatkan persamaan baru dari utang publik, yaitu:
( ) =

( ) ( )– ( ) +

�(

)

10
( ) =

( ) ( ) – (� �( ) +

( ) = ( ( )–

( ))

) ( ) − � �( ).

Struktur Model Pertumbuhan Ekonomi
Pertumbuhan ekonomi didefinisikan mengenai faktor-faktor yang
menentukan kenaikan output per kapita dalam jangka panjang dan penjelasan
mengenai bagaimana faktor-faktor tersebut berinteraksi satu sama lain sehingga
terjadi proses pertumbuhan. Teori model pertumbuhan ekonomi yang dimodelkan
oleh Greiner A (2007) memiliki struktur ekonomi yang terdiri dari tiga sektor.
Pertama, sektor rumah tangga dimana besarnya penerimaan berasal dari
pendapatan tenaga kerja dan pendapatan yang dialokasikan untuk tabungan.
Kedua, sektor produktivitas. Ketiga, sektor pemerintah. Selanjutnya akan dibahas
masing-masing sektor untuk mengetahui dan menggambarkan model dari
pertumbuhan ekonomi.
Sektor Rumah Tangga
Sektor rumah tangga dapat diartikan sebuah rumah tangga dengan tujuan
akan memaksimumkan tingkat diskon dari hasil utilitas konsumsi per-kapita yang
dilambangkan sebagai C. Konsumsi rumah tangga memiliki porsi yang lebih besar
dalam pengeluaran agregat jika dibandingkan dengan konsumsi pemerintah.
Selain itu konsumsi rumah tangga bersifat endogen, yaitu besarnya konsumsi
rumah tangga berkaitan erat dengan faktor-faktor lain yang mempengaruhinya.
Fungsi utilitas dari konsumsi rumah tangga diasumsikan sebagai fungsi logaritma,
U(C) = ln C dan dalam sektor rumah tangga diasumsikan memiliki satu unit
tenaga kerja, L. Tujuan akhir dari sektor rumah tangga adalah untuk
memaksimumkan setiap anggota rumah tangga. Masalah pemaksimuman rumah
tangga dapat dituliskan sebagai berikut:
max ( ) =

∞

0

−�

dengan batasan sebagai berikut:
= (1 − �) (

dengan
ρ
w
r
B
K


:
:
:
:
:
:
:

+

��
)–

,

(12)

,

(13)

laju pertumbuhan antara utang publik dan modal swasta,
tingkat diskon,
tingkat upah,
tingkat bunga,
utang publik,
modal swasta,
tingkat pajak, ϵ (0,1)

11
yang didefinisikan sebagai
W = B + K.
Rumusan model yang diperoleh dari persamaan (10) dan (11) merupakan
masalah kontrol optimum dengan W ialah variabel tetap dan C ialah variabel
peubah. Tujuan ini adalah memaksimumkan utilitas sektor rumah tangga.
Penentuan alokasi optimal konsumsi rumah tangga dapat diselesaikan dengan
memformulasikan masalah tersebut dengan menggunakan formula current-value
Hamiltonian sehingga dapat dituliskan dalam bentuk:
+ � 1 − �

= ln

−

+

(14)

,

dengan λ ialah shadow price dari konsumsi. Syarat perlu untuk solusi optimal
adalah sebagai berikut:
1

� =

(15)

,

� = �� – �(1 – �) ,

(16)

Persamaan (14) diperoleh dengan memformulasikan formula current-value
Hamiltonian. Menggunakan teori kontrol optimum pada persamaan (12) yang
memaksimumkan konsumsi rumah tangga adalah sebgai berikut:
max

=

∞

0

−�

Kendala pada persamaan (13), yaitu:
= (1 − �) (

��

+

.

)–

.

Jika persamaan (12) ditambah dengan syarat batas pada persamaan (13), fungsi
Hamilton dapat dituliskan dalam bentuk sebagai berikut:
=

−�

ln

+ �( ) ( (1 − �) (

+

)–

).

–

.

Adanya faktor diskon akan menambah kerumitan karena prinsip maksimum
merupakan fungsi turunan terhadap konsumsi rumah tangga, C. Oleh karena itu,
dikenalkan fungsi Hamilton baru yang sering disebut dengan current-value
Hamiltonian. Misalkan �( ) yaitu shadow price dari konsumsi rumah tangga yang
menyatakan current-value fungsi adjoin, didefinisikan �
= �
yang
berimplikasi �
= �
. Selanjutnya fungsi current-value Hamiltonian yang
dinotasikan dengan ℋ, dapat dituliskan menjadi:
ℋ=

= ��

+ � 1 − �

+

Persamaan (15) dan (16) diperoleh dari syarat perlu optimal current-value
Hamiltonian. Persamaan (15) diperoleh dengan menurunkan persamaan (14)

12
terhadap fungsi konsumsi rumah tangga, C yang memiliki tujuan untuk
memaksimumkan konsumsi rumah tangga ialah sebagai berikut:
�ℋ
�

1

= 0

− � = 0
� =

1

.

Sebaliknya pada persamaan (16), yaitu persamaan adjoin yang menggambarkan
shadow price dari kendala laju pertumbuhan antara utang publik dan modal
swasta dapat diperoleh sebagai berikut:
� = −

�ℋ
+ ��
�

� = − � – ��

+ ��

� = � �� − � 1 − �

.

Sektor Produksi
Sektor produksi menggambarkan sebuah perusahaan yang memiliki peran
sebagai produsen, pengguna faktor produksi, agen pembangunan, dan penyedia
serta penyalur barang dan jasa yang mempunyai tujuan untuk memaksimumkan
keuntungan. Fungsi produksi dari sebuah perusahaan adalah sebagai berikut:
=
dengan
Q
:
K
:
L
:
G
:
α
:

1−

(

(16)

) ,

tingkat output,
modal swasta,
tenaga kerja,
modal publik,
elastisitas.

Sektor produksi suatu perusahaan memiliki tujuan untuk memaksimumkan
keuntungan. Diasumsikan bahwa tenaga kerja bersifat elastis, sehingga dari
persamaan (17) diinterpretasikan bahwa keuntungan maksimum suatu perusahaan
dibagi menjadi dua bagian, yaitu untuk modal publik yang diinterpretasikan
dengan memiliki tingkat upah, w, untuk para tenaga kerja suatu perusahaan
tersebut dan untuk modal swasta yang diinterpretasikan dengan memiliki tingkat
bunga, r, untuk para tenaga kerja perusahaan tersebut. Persamaan tersebut dapat
digambarkan sebagai berikut:
=
= (1 –

1−

(18)

,
)

−

.

(19)

13
Berdasarkan kedua sektor antara konsumsi rumah tangga dan sektor
produktivitas suatu perusahaan memiliki hubungan yang harus memenuhi kondisi
yang seimbang. Sehingga muncul persamaan tingkat pertumbuhan konsumsi
dalam keadaan seimbang yang diperoleh dari persamaan (15), (16), (18), dan (19)
dapat dituliskan sebagai berikut:
�

−

= −� + 1 − � 1 −

(20)

.

Persamaan (20), yaitu persamaan tingkat pertumbuhan konsumsi dapat
diperoleh dari persamaan (15), (16), (18), dan (19):
� =
−

1

� = −

� = �� − � 1 − �

1

1

= �� − � 1 − �

−�

= �� − � 1 − �

−

2

2

= �� − � 1 − �

= −� + 1 − �
= − � + 1 − � (1 –

)

−

.

Sektor Pemerintah
Pemerintah adalah suatu sistem yang menjalankan wewenang dan kekuasaan
dalam mengatur kehidupan sosial, ekonomi, dan politik suatu negara atau bagianbagiannya. Peran utama pemerintah dalam bidang ekonomi adalah meminimalisir
terjadinya kegagalan pasar. Suatu mekanisme pasar tidak dapat berfungsi tanpa
keberadaan hukum yang dibuat oleh pemerintah.
Sistem pemerintah dalam model ekonomi disini ialah pemerintah menerima
pajak penerimaan dari pajak pendapatan serta dari pengeluaran pemerintah untuk
obligasi yang kemudian dialokasikan untuk kegiatan investasi publik. Selanjutnya
pemerintah harus tetap dalam kondisi pada persamaan (13) yang menyatakan
bahwa surplus primer memiliki fungsi produksi yang positif dari utang publik
dimana kondisi ini menjamin keseimbangan dari utang publik.
Sejak pemerintah tetap pada kondisi persamaan (13), besarnya investasi
publik berasal dari persamaan tersebut yang dituliskan sebagai berikut:

14
�

1 −

=

�

�

−

= ��

�

−

,

(21)

yang didefinisikan �� = (1 − ).
�
Persamaan diferensial dari perubahan modal publik dengan mengabaikan
penyusutan dapat dituliskan sebagai berikut:
Ġ = ��

–

.

(22)

Selanjutnya dengan menyubtitusikan persamaan (19) ke dalam persamaan (9) dan
definisi dari ip , persamaan kendala anggaran pemerintah atau yang disebut
pengeluaran pemerintah dapat dituliskan pada persamaan sebagai berikut:
+

=

+

��

↔

= (1 – �)

+

(�� − 1).

(23)

Persamaan (23), yaitu persamaan kendala anggaran pengeluaran pemerintah
diperoleh dengan menyubstitusikan persamaan (21) ke persamaan (11) dengan
menggunakan definisi ip ialah sebagai berikut:
= �

+
=
=

+
−

=

–

��

+

+
+
−

�

�

−

( �� − 1).

Ada dua poin parameter utama berdasarkan kondisi sektor pemerintah
tersebut. Pertama, pada kendala anggaran pengeluaran pemerintah terdapat pada
Persamaan (8) dan kemudian mengalami perubahan menjadi persamaan (21) yaitu
pemerintah harus mengkontrol investasi publik. Kondisi tersebut disebabkan
karena adanya kenaikan dari utang publik yang menyebabkan penurunan dari
investasi publik, yang digambarkan dari parameter yang diberikan yaitu parameter
� dan β. Pemerintah melakukan kebijakan fiskal terhadap perubahan anggaran
pemerintah dengan menaikan surplus primer untuk mencapai kondisi yang
seimbang pada saat terjadi kenaikan utang publik. Kedua, terdapat parameter ip
yang didalamnya terdapat parameter � dan τ yang menggambarkan bahwa
investasi publik berasal dari pajak penerimaan. Kondisi tersebut menggambarkan
bahwa seberapa besar pajak penerimaan yang dialokasikan untuk investasi publik
dan untuk pembayaran utang publik. Pemerintah kemudian melakukan kebijakan
fiskal dengan mengubah parameter �, β, dan τ. Variasi dari parameter � dan τ
terdapat dari definisi ip .
Kondisi ekuilibrium pada dinamika model pertumbuhan ekonomi
Kondisi ekuilibrium didefinisikan dari alokasi perusahaan memaksimumkan
keuntungan yang mengimplikasikan adanya faktor harga sama dengan produk
marjinal yang terdapat pada persamaan (18) & (19), serta alokasi konsumsi rumah

15
tangga yang terdapat pada persamaan (11) & (13) dan kendala anggaran
pemerintah pada persamaan (23). Kondisi ekuilibrium berdasarkan ketiga sektor
tersebut harus terpenuhi sehingga diperoleh persamaan yang menggambarkan laju
pertumbuhan ekonomi dengan kendala modal swasta yang dinotasikan sebagai
ialah sebagai berikut:
1−

= −

− ��

+

−

(24)

.

Pembuktian persamaan (24) dapat dilihat pada Lampiran 1.
Kondisi pertumbuhan ekonomi yang seimbang didefinisikan dengan semua
jalur pada variabel pertumbuhan endogen memiliki tingkat yang sama yang
diidentitasikan sebagai

=

Ġ
G

Ḃ

=

B

Ċ

=

C

, seperti yang telah dijelaskan pada

persamaan (10), yaitu pemerintah menetapkan surplus primer yang dikaitkan
dengan utang publik, dengan β > 0. Penjelasan lebih lanjut lagi akan dibahas
mengenai pertumbuhan ekonomi yang seimbang.
Analisis untuk menjelaskan model dari pertumbuhan ekonomi yang
seimbang dinotasikan dengan adanya variabel baru, yaitu dapat didefinisikan
sebagai berikut:

≡

≡

≡

,

(25)

,

(26)

,

(27)

sehingga dari ketiga variabel tersebut memiliki model dalam bentuk system
persamaan diferensial sebagai berikut:
=
=

( –

( –
=

dengan
x(t) :
b(t) :
c(t) :
x(t) :
b(t) :
c(t) :

−1

1 +
1 +

+

− � −

−

− �

−

−1 ),

(28)

�� − 1 + � �� ),

(29)

+ � �� + � ��

−1

+ �� � ,

laju pertumbuhan ekonomi terhadap modal publik,
laju pertumbuhan ekonomi terhadap utang publik,
laju pertumbuhan ekonomi terhadap tingkat konsumsi,
tingkat pertumbuhan ekonomi terhadap modal publik,
tingkat pertumbuhan ekonomi terhadap utang publik,
tingkat pertumbuhan ekonomi terhadap tingkat konsumsi,

(30)

16
β
ρ
ip

�
τ

: parameter dari koefisien kemiringan persamaan rasio surplus primerPDB yang menggambarkan bagaimana kuatnya reaksi surplus primer
untuk merubah utang publik,
: tingkat diskon,
: parameter yang menggambarkan investasi publik yang berasal dari
pajak penerimaan,
: parameter dari rasio persamaan surplus primer-PDB yang
menggambarkan tingkat kenaikan atau penurunan dari surplus primer
akibat dari kenaikan PDB,
: tingkat pajak,

yang didefinisikan sebagai
�� = (1 −

�
).
�

Pembuktian persamaan (28), (29), dan (30) dapat dilihat pada Lampiran 2.
Simulasi yang akan dilakukan untuk menganalisis struktur model sistem
persamaan diferensial (28), (29), dan (30) yang akan dijelaskan pada bab
selanjutnya. Tujuan menganalisis struktur ketiga model tersebut untuk
menyelidiki bagaimana peningkatan keuangan yang defisit dalam investasi publik
yang mempengaruhi kestabilan dari laju pertumbuhan ekonomi.

SIMULASI
Simulasi dari persamaan (28), (29), dan (30) akan dilakukan pada bab ini.
Definisikan terlebih dahulu ip , yaitu ip = (1 −

�
τ

), sehingga sistem persamaan

diferensial (28), (29), dan (30) dapat dituliskan menjadi persamaan (31) ialah
sebagai berikut:
�
�
dx
= x c – x β b − b β – x x + x τ (1 − ) + τ (1 − ),
dt
τ
τ
�
�
db
x, b, c =
= b c – b β – b b β + b x – τ (1 − ) − 1 + b τ (1− ),
τ
τ
dt
�
dc
h x, b, c =
= c c − c � − c x − c b + c � (1 − ).
τ
dt

f ( x, b, c) =

(31)

Dalam model tersebut, diasumsikan pemerintah sebagai pengatur dari
seluruh kegiatan ekonomi yang berwenang melakukan kebijakan fiskal untuk
mencapai perekonomian yang seimbang. Dari ketiga persamaan tersebut yaitu laju
pertumbuhan ekonomi terhadap modal publik, laju pertumbuhan ekonomi
terhadap utang publik, serta laju pertumbuhan ekonomi terhadap tingkat konsumsi
dipengaruhi oleh besranya surplus primer, tingkat pajak, dan investasi publik.
Selanjutnya dilakukan penentuan kestabilan titik tetap dari model persamaan
diferensial (31). Kestabilan dari sistem persamaan diferensial (31) dapat
ditentukan dengan menganalisis nilai eigen yang diperoleh dari masing-masing
matriks Jacobi pada setiap titik tetap. Diasumsikan titik tetap pada setiap kasus

17
ialah bernilai positif. Matriks Jacobi dan nilai eigen dari masing-masing titik tetap
tersebut cukup sulit diperoleh sehingga untuk mendapatkannya dengan cara
memasukkan nilai-nilai parameter. Hal tersebut akan dibahas lebih lanjut ke
dalam beberapa kasus untuk mengetahui kestabilan dari pertumbuhan ekonomi.
Pengaruh Parameter � terhadap Kestabilan Pertumbuhan Ekonomi

Pengaruh surplus primer terhadap kestabilan sistem pertumbuhan ekonomi
diberikan pada kasus pertama dengan adalah parameter yang menggambarkan
koefisien rasio tingkat kenaikan atau penurunan surplus primer terhadap
perubahan utang publik. Kasus ini akan menganalisis pengaruh dari nilai
parameter , sedangkan nilai parameter lain tetap. Nilai-nilai parameter yang
digunakan dapat dilihat pada Tabel 1.
Kasus
1
2

Tabel 1 Nilai-nilai parameter untuk melihat pengaruh
�
�
0.35
0.1
0.015
3.5
0.1
0.015

�
0.03
0.03

Selanjutnya pada kasus 1 saat β = 0.35 diperoleh titik tetap, nilai eigen, dan jenis
kestabilan. Nilai nilai tersebut dapat dilihat pada tabel di bawah ini:
Tabel 2 Titik tetap, nilai eigen, dan jenis kestabilan saat β = 0.35
Titik
tetap
A1
A2

(0.377, 0.505, 0.590)

A3
A4

(0.304, 0.590, 0.439)

A5
A6

-

(x, b, c)

�1

0.186+
0.746i
-0.089+
0.655i
-

�2

0.1860.746i
-0.0890.655i
-

�3

0.338
-0.594
-

Jenis
Kestabilan
Spiral tak
stabil
Spiral
stabil
-

Selanjutnya pada kasus 2 saat β = 3.5 diperoleh titik tetap, nilai eigen, dan jenis
kestabilan. Nilai nilai tersebut dapat dilihat pada tabel di bawah ini:
Tabel 3 Titik tetap, nilai eigen, dan jenis kestabilan saat β = 3.5
Titik
tetap
A1
A2
A3
A4

(0.278, 0.267, 0.497)
(0.074, 0.072, 0.534)

1.351
-0.136

3.961
-3.187

-0.271
-0.757

A5
A6

-

-

-

-

(x, b, c)

�1

�2

�3

Jenis
Kestabilan
Sadel
Simpul
stabil
-

18
Berdasarkan Tabel 2 dan 3 dari kedua kasus tersebut memberikan informasi
bahwa banyaknya titik tetap tidak mengalami perubahan. Selanjutnya perbedaan
antara kasus β = 0.35 dan β = 3.5 dapat dilihat dengan menggunakan gambar, yaitu
sebagai berikut:

x

Gambar 1

b

c

Hubungan kurva modal
publik (x), utang publik
(b),
dan
tingkat
konsumsi (c) terhadap
tingkat
pertumbuhan
ekonomi saat β = 0.35

x

Gambar 2

b

c

Hubungan kurva modal
publik (x), utang publik
(b), dan tingkat konsumsi
(c)
terhadap
tingkat
pertumbuhan
ekonomi
saat β = 3.5

Gambar 3 Hubungan kurva dua dimensi antara modal publik (x), utang
publik (b), dan tingkat konsumsi (c) saat β = 0.35

Gambar 4 Hubungan kurva dua dimensi antara modal publik (x), utang
publik (b), dan tingkat konsumsi (c) saat β = 3.5

19
Kestabilan dari pertumbuhan ekonomi pada Gambar 1 terjadi pada titik (x, b,
c) = (0.304, 0.754, 0.439). Gambar tersebut menunjukkan bahwa pada awal waktu
terjadi peningkatan pada utang publik, sedangkan modal publik dan tingkat
konsumsi mengalami penurunan. Setelah itu, utang publik kian waktu mengalami
peningkatan sedangkan modal publik dan tingkat konsumsi tetap mengalami
penurunan. Hal tersebut dikarenakan besarnya nilai surplus primer tidak dapat
menutupi nilai utang publik yang terlalu tinggi, sehingga pada akhirnya dari ketiga
tingkat pertumbuhan ekonomi tersebut stabil menuju suatu nilai.
Gambar 2 menggambarkan terjadi peningkatan suplus primer akibat naiknya
utang publik. Kestabilan dari pertumbuhan ekonomi terjadi pada titik (x, b, c) =
(0.074, 0.072, 0.534). Terlihat perbedaan pada Gambar 2 jika dibandingkan
dengan Gambar 1, yaitu terjadi penurunan yang sangat besar pada utang publik,
tetapi pada kondisi tersebut modal publik masih belum dapat menutupi nilai utang
publik. Hal tersebut dikarenakan besarnya kenaikan surplus primer secara
perlahan dapat menutupi nilai dari utang publik yang semakin mengalami
penurunan, sehingga pada akhirnya dari ketiga tingkat pertumbuhan ekonomi
tersebut stabil menuju suatu nilai.
Pengaruh Parameter � terhadap Kestabilan Pertumbuhan Ekonomi

Pengaruh tingkat pajak terhadap kestabilan sistem pertumbuhan ekonomi
diberikan pada kasus kedua dengan � adalah parameter yang menggambarkan
tingkat pajak. Kasus ini akan menganalisis pengaruh dari nilai parameter � ,
sedangkan nilai parameter lain tetap. Nilai-nilai parameter dapat dilihat pada
Tabel 4.
Tabel 4 Nilai-nilai parameter untuk melihat pengaruh �
Kasus
�
�
1
3.5
0.25
0.015
2
3.5
0.55
0.015

�
0.03
0.03

Selanjutnya pada kasus 1 saat τ = 0.25 diperoleh titik tetap, nilai eigen, dan jenis
kestabilan. Nilai - nilai tersebut dapat dilihat pada tabel di bawah ini:
Tabel 5 Titik tetap, nilai eigen, dan jenis kestabilan saat τ = 0.25
Titik
tetap
A1
A2
A3
A4

(0.347, 0.137, 0.440)
(0.228, 0.101, 0.564)

-0.457
-0.070

-3.260
-2.971

0.239
-0.611

A5
A6

-

-

-

-

(x, b, c)

�1

�2

�3

Jenis
Kestabilan
Sadel
Simpul
stabil
-

20
Selanjutnya pada kasus 2 saat τ = 0.55 diperoleh titik tetap, nilai eigen, dan jenis
kestabilan. Nilai - nilai tersebut dapat dilihat pada tabel di bawah ini:
Tabel 6 Titik tetap, nilai eigen, dan jenis kestabilan saat τ = 0.55
Titik
tetap
A1
A2
A3
A4

(0.302, 0.402, 0.511)
(0.573, 0.088, 0.601)

-1.671
-0.339

4.171
-2.050

0.283
-0.482

A5
A6

-

-

-

-

(x, b, c)

�1

�2

Jenis
Kestabilan
Sadel
Simpul
stabil
-

�3

Berdasarkan Tabel 5 dan 6 dari kedua kasus tersebut memberikan informasi
bahwa banyaknya titik tetap tidak mengalami perubahan. Selanjutnya perbedaan
antara kasus τ = 0.25 dan τ = 0.55 dapat dilihat dengan menggunakan gambar
yaitu sebagai berikut:

x

b

c

Gambar 5 Hubungan kurva modal Gambar 6
publik (x), utang publik
(b), dan tingkat konsumsi
(c)
terhadap
tingkat
pertumbuhan ekonomi saat
τ = 0.25

x

b

c

Hubungan kurva modal
publik (x), utang publik
(b), dan tingkat konsumsi
(c)
terhadap
tingkat
pertumbuhan
ekonomi
saat τ = 0.55

21

Gambar 7 Hubungan kurva dua dimensi antara modal publik (x), utang
publik (b), dan tingkat konsumsi (c) saat τ = 0.25

Gambar 8 Hubungan kurva dua dimensi antara modal publik (x), utang
publik (b), dan tingkat konsumsi (c) saat τ = 0.55
Gambar 5 menggambarkan kestabilan dari pertumbuhan ekonomi terjadi
pada titik (x, b, c) = (0.228, 0.101, 0.564). Gambar tersebut menunjukkan bahwa
pada awal waktu terjadi penurunan pada utang publik, modal publik, dan tingkat
konsumsi. Setelah itu, modal publik dan tingkat konsumsi mengalami peningkatan
secara perlahan, sedangkan pada utang publik tetap mengalami penurunan. Hal
tersebut karena semakin besar tingkat pajak maka akan mengakibatkan
meningkatnya penerimaan negara sehingga dapat menurunkan nilai utang publik
yang terlalu tinggi. Dari ketiga tingkat pertumbuhan ekonomi tersebut pada
akhirnya akan stabil menuju suatu nilai.
Gambar 6 menggambarkan terjadi peningkatan dari tingkat pajak.
Kestabilan dari pertumbuhan ekonomi terjadi pada titik (x, b, c) = (0.573, 0.088,
0.601). Terlihat perbedaan antara Gambar 5 dengan Gambar 6 yaitu peningkatan
modal publik dalam kasus ini sangat besar sedangkan penurunan utang publik
sangat besar, sehingga pada akhirnya dari ketiga tingkat pertumbuhan ekonomi
tersebut stabil menuju suatu nilai.
Pengaruh Parameter � terhadap Kestabilan Pertumbuhan Ekonomi

Pengaruh investasi publik terhadap kestabilan sistem pertumbuhan ekonomi
diberikan pada kasus ketiga dengan � adalah parameter yang menggambarkan
tingkat kenaikan atau penurunan surplus primer terhadap perubahan PDB yang

22
berpengaruh terhadap investasi publik. Kasus ini akan menganalisis pengaruh dari
nilai parameter � sedangkan nilai parameter lain tetap. Nilai-nilai parameter da