xv v
1
v
2
v
4
v
3
v
5
LANDASAN TEORI
Pengetahuan yang cukup, sangat diperlukan untuk menyelesaikan suatu masalah dengan baik. Oleh karena itu, untuk mencapai tujuan penulisan, bagian
pertama bab ini memuat beberapa definisi yang merupakan pengertian dasar dalam teori graf dan konsep dasar pelabelan
γ untuk menentukan nilai minimum dan maksimum pelabelan
γ pada graf firecracker F
m,n
. Sebagian materi yang disajikan dalam bab ini dapat ditemui dalam buku–buku teks ataupun jurnal matematika yang
diacu. Pada bagian kedua, disusun kerangka pemikiran yang menjelaskan alur pemikiran penulis dalam penyusunan skripsi ini.
2.1 Tinjauan Pustaka
Pada tinjauan ini diberikan beberapa definisi dan teorema yang mendasari dilakukannya penulisan skripsi, yakni definisi-definisi dalam teori graf dan konsep
dasar pelabelan.
2.1.1 Graf Definisi 2.1.1 Chartrand and Lesniak [4]
Suatu graf G adalah himpunan tak kosong berhingga VG=
{v
1
, v
2
,. . ., v
n
} yang disebut vertex dan E ={e
1
, e
2
,. . . , e
n
} merupakan himpunan pasangan tidak berurutan dari anggota-anggota V disebut edge.
Graf G pada Gambar 2.1 mempunyai V = {
v
1
, v
2
, v
3
, v
4
, v
5
} dan E =
{e
1
,e
2
,, e
3
, e
4
, e
5
, e
6
}.
Banyaknya vertex dalam suatu graf disebut order dan banyaknya edge dalam suatu graf disebut ukuran.
Gambar 2.1 Graf G
Definisi 2.1.2 Chartrand [1]
e
1
e
2
e
3
e
4
e
5
e
6
4
xvi v
3
v
1
v
2
v
4
v
5
v v
e
1
e
4
e
11
e
2
e
3
e
8
e
9
e
10
e
12
e
13
Jika u dan v adalah sembarang dua vertex dari graf G yang dihubungkan oleh edge e, dinotasikan e = u,v maka dikatakan u dan v adalah vertex yang
adjacent. Kemudian vertex u dan v dikatakan incident dengan edge e dan e disebut join vertex u dan v.
Pada Gambar 2.1 vertex v
1
dan v
2
dikatakan vertex yang saling adjacent, vertex v
1
dan v
2
dikatakan incident dengan edge e
1
. Kemudian edge e
1
disebut join vertex v
1
dan v
2
.
Definisi 2.1.3 Harary [7]
Degree v
i
graf G, dinotasikan dengan deg
G
v
i
, adalah banyaknya edge yang incident dengan v
i
. Dari Gambar 2.1 deg v
1
= 3, deg v
2
= 2, deg v
3
= 2, deg v
4
= 2 dan deg v
5
= 3.
Definisi 2.1.4 Chartrand and Lesniak [4]
Suatu u – v walk dari graf G adalah barisan bergantian antara vertex dan edge, yang dimulai dari vertex u dan berakhir di vertex v, sehingga
e
i
=u
i-1,
u
i
untuk i = 1,2, ,….,n. Suatu u-v trail adalah u-v walk dengan tidak mengulang sembarang
edge. Suatu u-v path adalah u-v walk yang tidak mengulang sembarang vertex.
Berikut adalah contoh walk, trail dan path pada Gambar 2.2. Walk :
v
1
,e
1
, v
2
, e
2
, v
3
, e
3
, v
5
, e
4
, v
6
, e
9
, v
3
, e
10
, v
7
, e
8
, v
6
, e
9
, v
3
, e
12
, v
4
.
Trail :
v
1
, e
1
, v
2
, e
2
, v
3
, e
3
, v
5
, e
4
, v
6
, e
9
, v
3
, e
10
, v
7
, e
8
, v
6
, e
5
, v
9
, e
6
, v
8
, e
7
, v
7
, e
11
, v
4
.
Path :
v
1
, e
1
, v
2
, e
2
, v
3
, e
9
, v
6
, e
5
, v
9
, e
6
, v
8
, e
7
, v
7
, e
11
, v
4
.
xvii Gambar 2.2 Walk, trail, path.
Definisi 2.1.5 Chartrand [1]
Suatu u-v trail dengan u = v, paling sedikit terdiri dari 3 vertex disebut circuit. Circuit dengan tidak mengulang sembarang vertex disebut cycle.
Definisi 2.1.6 Chartrand and Oellerman [3]
Jika u dan v adalah vertex dari graf G, dikatakan u connected dengan v jika terdapat path yang menghubungkannya. Suatu graf G dikatakan connected jika pada
setiap pasang vertex terdapat path yang menghubungkan, jika tidak maka graf G disconnected.
Gambar 2.3 a merupakan contoh dari graf connected, karena setiap 2 vertex terhubung dengan sebuah path. Sedangkan Gambar 2.3 b merupakan contoh graf
disconnected karena terdapat path yang tidak menghubungkan pasang vertex.
v
1
v
2
v
3
v
4
v
1
v
2
xviii Gambar 2.3 a Graf connected b Graf disconnected
Definisi 2.1.7 Chartrand dan Lesniak [4]
Pohon P adalah graf terhubung yang tidak memuat cycle. Contoh Pohon berorder 8 ditunjukkan pada Gambar 2.4
Gambar 2.4 Graf pohon order 8
Definisi 2.1.8 Harary [7], Pemmaraju and Skiena [8] , Tutte [9]
Graf Star S
n
,atau dikenal dengan “n-star” adalah pohon dengan n vertex dimana 1 vertex mempunyai degree n-1 titik pusat dan vertex yang lain mempunyai
degree 1.
Definisi 2.1.9 Chen et al. [5] dan Gallian [6]
Graf firecracker F
m,n
adalah sebuah graf yang berasal dari rangkaian m star S
n
dan n adalah banyaknya vertex pada star S
n
, dengan menghubungkan salah satu daunnya untuk tiap – tiap star
Ilustrasi graf firecracker F
m,n
ditunjukkan pada Gambar 2.5 v
3
v
4
v
1n-1
v
13
v
12
v
1
xix Gambar 2.5 Graf firecracker F
m,n
2.1.2 Pelabelan Graf
Menurut Wallis [10], pelabelan pada graf adalah fungsi bijektif yang menghubungkan elemen-elemen graf dengan satu himpunan bilangan bulat
nonnegatif.
Definisi 2.1.10 Chartrand et al. [2]
Untuk sebuah graf yang berorder |VG| dan berukuran |EG|, pelabelan γ graf G
adalah sebuah fungsi 1-1, f : VG
à
{0, 1, 2, . . . |EG|} yang menurunkan sebuah pelabelan f’ : EG
à
{1, 2, . . . |EG|} terhadap edge-edge G yang didefinisikan sebagai selisih dari label pada vertex-vertex pada kedua ujung edge,
f’e =| fu – fv|, untuk setiap edge e = u, v dari G.
Definisi 2.1.11Chartrand et al. [2]
Untuk sebuah graf yang berorder |VG| dan berukuran |EG|, ditentukan sebuah nilai yang dinotasikan dengan valf, didefinisikan dengan
valf=
å
Î G
E e
e f
. Dalam hal ini f adalah fungsi 1-1 dari VG
à
{0, 1, 2, . . . |EG|}.
Definisi 2.1.12 Chartrand et al. [2]
v
m 1
v
m 2
v
m 3
v
m n-1
v
m
v
21
v
23
v
2n-1
v
22
v
2
v
11
xx Untuk sebuah graf G yang berorder |VG| dan ukuran |EG| ditentukan nilai
maksimum dari sebuah pelabelan γ dari graf G yang didefinisikan sebagai val
max
G = max{valf} di mana f adalah pelabelan
γ graf G. Sedangkan nilai minimum dari sebuah pelabelan
γ dari graf G didefinisikan sebagai val
min
G = min{valf} di mana f adalah pelabelan
γ graf G.
Definisi 2.1.13 Chartrand et al. [2]
Sebuah pelabelan γ dari graf G disebut pelabelan maksimum γ jika valf = val
max
G dan sebuah pelabelan
γ dari graf G disebut pelabelan minimum γ jika valf = val
min
G.
2.2 Kerangka Pemikiran
