Matematika Kelas X Matriks

  OLEH : [ RIA NUR PUSPA SARI ]

  [X IPA 1] [ ABSEN 25 ] SMA NEGERI 2 BANDAR LAMPUNG 2013/2014 MATRIKS

1.1 PENGERTIAN

  Beberapa pengertian tentang matriks :

  1. Matriks adalah himpunan skalar (bilangan riil atau kompleks) yang disusun atau dijajarkan secara empat persegi panjang menurut baris-baris dan kolom-kolom.

  2. Matriks adalah jajaran elemen (berupa bilangan) berbentuk empat persegi panjang.

  3. Matriks adalah suatu himpunan kuantitas-kuantitas (yang disebut elemen), disusun dalam bentuk persegi panjang yang memuat baris-baris dan kolom-kolom.

  Notasi yang digunakan : Atau Atau

NOTASI MATRIKS

  Matriks kita beri nama dengan huruf kapital seperti A, B, C, dll. Matriks yang mempunyai I baris dan j kolom ditulis A=(a ij ), artinya suatu matriks A yang elemen-elemennya a ij dimana indeks I menyatakan baris ke I dan indeks j menyatakan kolom ke j dari elemen tersebut.

  Secara umum : _ij Matriks A=(a ), i=1, 2, 3,…..m dan j=1, 2, 3,……., n yang berarti bahwa banyaknya baris m dan banyaknya kolom n.

  Contoh :

• 1
• 3 2 3 12

  A= -3 B= C=

• 1
• 4

  2 Ukuran matriks 2 x 2 2 x 1 1 x 4 Jumlah baris

  2

  2

  1 Jumlah kolom

  2

  1

  4 Matriks yang hanya mempunyai satu baris disebut MATRIKS BARIS, sedangkan matriks yang hanya mempunyai satu kolom disebut MATRIKS KOLOM. Dua buah matriks A dan B dikatakan SAMA jika ukurannya sama (mxn) dan berlaku a ij = b ij untuk setiap i dan j KESAMAAN MATRIKS

  ) ) Dua matriks A=(a dan matriks B=(b yang berukuran sama _{jk jk} (memiliki jumlah baris dan kolom yang sama), dikatakan sama jika dan

  = b hanya jika a . Sebagai contoh, _{jk jk}

  x r u

  2 0 8 = ,

  ( y s v ) ( − 1 4 3 ) x=3, y=−1,r =0, s=4,u=8, dan v=3

  Maka

1.2 OPERASI PADA MATRIKS PENJUMLAHAN MATRIKS

  Penjumlahan matriks hanya dapat dilakukan terhadap matriks- _{ij ij} matriks yang mempunyai ukuran (orde) yang sama. Jika A=(a ) dan B=(b ) adalah matriks-matriks berukuran sama, maka A+B adalah suatu matriks C=(c ij ) dimana (c ij ) = (a ij ) +(b ij ) atau [A]+[B] = [C] mempunyai ukuran yang sama dan elemennya (c ij ) = (a ij ) +(b ij ) Contoh :

  3 1 0

  1

  2

  2 A= B= C= maka

  4 1 1 0 3 3+0

  3

  1 2 1+2

  3 A+B = + = =

  4

1 4+1

  5

  3 1 0

  2

1 A+C = +

  4 1 0

  A+C tidak terdefinisi (tidak dapat dicari hasilnya) karena matriks A dan B mempunyai ukuran yang tidak sama.

PENGURANGAN MATRIKS

  Sama seperti pada penjumlahan matriks, pengurangan matriks hanya dapat dilakukan pada matriks-matriks yang mempunyai ukuran yang sama. Jika ukurannya berlainan maka matriks hasil tidak terdefinisikan.

  Contoh :

  3 A= B=

2 maka

  4

  3

  4

  3 3-0 4-

  3

  2

  

2

• 4

  2 A-B = = =

  4

  3 4-3 5-

  1 PERKALIAN MATRIKS DENGAN SKALAR

  Jika k adalah suatu bilangan skalar dan A=(a ij ) maka matriks kA=(ka ij ) yaitu suatu matriks kA yang diperoleh dengan mengalikan semua elemen matriks A dengan k. Mengalikan matriks dengan skalar dapat dituliskan di depan atau dibelakang matriks. Misalnya [C]=k[A]=[A]k dan (c ij ) = (ka ij ) Contoh :

  1 2 2 x 1 2 x 2 3 2 x 3

  A= maka 2A=

  0 -1 2 x 0 2 x-1

  Pada perkalian skalar berlaku hukum distributif dimana k(A+B)=kA+kB Contoh :

  3

  1

  4 A= B= dengan k=2, maka

  2

  1 K(A+B) = 2(A+B) = 2A+2B

  3

  6

  3

  5

  2(A+B) = 2 + = 2 =

  10

  4

  1

  3

  6

  1

  2

  6

  3

  10

  2A+2B = 2 + 2 =

  1

  4

  6

  2

1 PERKALIAN MATRIKS DENGAN MATRIKS

  Beberapa hal yang perlu diperhatikan : 1. Perkalian matriks dengan matriks umumnya tidak komutatif.

  2. Syarat perkalian adalah jumlah banyaknya kolom pertama matriks sama dengan jumlah banyaknya baris matriks kedua.

  3. Jika matriks A berukuran mxp dan matriks pxn maka perkalian A*B adalah suatu matriks C=(c ij ) berukuran mxn dimana c + ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j a i3 b 3j + ………………….+ a ip b pj

  3 Contoh : 1) A= 3 2 dan B= maka

  1

  1

  3

  11 A x B= x = (3x3) + (2x1) + = 3 2 1 (1x0)

  1 3 2

  3

  2) A= dan B= maka

  1

  1 (3x3) + (2x1) +

  11 A x B = = (1x0) 5 (1x3) + (2x1) +

  Beberapa Hukum Perkalian Matriks :

  1. Hukum Distributif, Ax(B+C) = AB + AC

  2. Hukum Assosiatif, Ax(BxC) = (AxB)xC

  3. Tidak Komutatif, AxB  BxA

  4. Jika AxB = 0, maka beberapa kemungkinan (i) A=0 dan B=0 (ii) A=0 atau B=0 (iii) A

  0 dan B0

  5. Bila AxB = AxC, belum tentu B = C

1.3 TRANSPOSE MATRIKS

  Jika diketahui suatu matriks A=a ij berukuran mxn maka transpose _T dari A adalah matriks A =nxm yang didapat dari A dengan menuliskan _T baris ke-i dari A sebagai kolom ke-i dari A .

  Beberapa Sifat Matriks Transpose : _{T T T} (i) (A+B) = A + B

  (ii) (A ^T ) = A (iii) k(A ^T ) = (kA) ^T (iv) (AB) ^T = B ^T A ^T

1.4 JENIS-JENIS MATRIKS KHUSUS

  Berikut ini diberikan beberapa jenis matriks selain matriks kolom dan matriks baris.

  1) MATRIKS NOL, adalah matriks yang semua elemennya nol Sifat-sifat :

  1. A+0=A, jika ukuran matriks A = ukuran matriks 0 2. Ax0=0, begitu juga 0xA=0.

  2) MATRIKS BUJURSANGKAR, adalah matriks yang jumlah baris dan jumlah kolomnya sama. Barisan elemen a ^{11 , a 22 , a 33 , ….a nn disebut} diagonal utama dari matriks bujursangkar A tersebut.

  Contoh : Matriks berukuran 2x2 A=

  3) MATRIKS BUJURSANGKAR ISTIMEWA

  a. Bila A dan B merupakan matriks-matriks bujursangkar sedemikian sehingga AB=BA maka A dan B disebut COMMUTE (saing).

  b. Bila A dan B sedemikian sehingga AB=-BA maka A dan B disebut ANTI COMMUTE.

  c. Mtriks M dimana M ^k+1 =M untuk k bilangan bulat positif disebut matriks PERIODIK.

  d. Jika k bilangan bulat positif terkecil sedemikian sehingga M ^k+1 =M maka M disebut PERIODIK dengan PERIODE k.

  e. Jika k=1 sehingga M ² =M maka M disebut IDEMPOTEN.

  1

  2 p

  f. Matriks A dimana A =0 untuk p bilangan bulat positif disebut dengan matriks NILPOTEN.

  g. Jika p bilangan positif bulat terkecil sedemikian hingga _p A =0 maka A disebut NILPOTEN dari indeks p.

  4) MATRIKS DIAGONAL, adalah matriks bujursangkar yang semua elemen diluar diagonal utamanya nol.

  Contoh : 1 0 A= 0 2

  5) MATRIKS SATUAN/IDENTITY, adalah matriks diagonal yang semua elemen diagonalnya adalah 1.

  Contoh : 1 0 A= 0 1

  Sifat-sifat matriks identitas :

  1. A x I=A

  2. I x A=A 6) MATRIKS SKALAR, adalah matriks diagonal yang semua elemennya sama tetapi bukan nol atau satu.

  Contoh : 4 0

  A= 7) MATRIKS SEGITIGA ATAS (UPPER TRIANGULAR), adalah matriks bujursangkar yang semua elemen dibawah diagonal elemennya = 0.

  1 3 2

  1 A= 0 1 2 3 0 0 4

  8) MATRIKS SEGITIGA BAWAH (LOWER TRIANGULAR), adalah matriks bujursangkar yang semua elemen diatas diagonal elemennya = 0.

  1 0 0 A= 4 2 0

  1 2 3 9) MATRIKS SIMETRIS, adalah matriks bujursangkar yang elemennya simetris secara diagonal. Dapat juga dikatakan bahwa matriks simetris adalah matriks yang transposenya sama dengan dirinya sendiri. Contoh : 1 2 _T 1 2

  A= dan A = 2 3 2 3

  1

  1 10) MATRIKS ANTISIMETRIS, adalah matriks yang trnsposenya adalah _T negatif dari matriks tersebut. Maka A =-A dan a ij =-a ij , elemen diagonal utamanya = 0 Contoh :

  0 1 -3 0 -1 3 _T A= maka A =

• 1 0 4 1 0 -4 2 -2 3 -4 0 -3 4 0

  11) MATRIKS TRIDIAGONAL, adalah matriks bujursangkar yang semua

  1 elemen-elemennya = 0 kecuali elemen-elemen pada diagonal utama serta samping kanan dan kirinya. Contoh : 1 2 0

  A= 1 2 3 0 2 3

  12) MATRIKS JODOH Ā, adalah jika A matriks dengan elemen-elemen bilangan kompleks maka matriks jodoh Ā dari A didapat dengan mengambil kompleks jodoh (CONJUGATE) dari semua elemen- elemnya. Contoh :

  2-3i 2+3i

  A= maka Ā=

• 2i 2i

  5

  5 13) MATRIKS HERMITIAN. Matriks bujursangkar A=(a ij ) dengan elemen- elemen bilangan kompleks dinamakan MATRIKS HERMITIAN jika

  (Ā)'=A atau matriks bujursangkar A disebut hermitian jika a ij = ā ij . dengan demikian jelas bahwa elemen-elemen diagonal dari matriks hermitian adalah bilangan-bilangan riil.

  Contoh :

  2

  2

  2 A= maka dan Ā'= 5+i

  5+i 5-i 5-i

  14) MATRIKS KOFAKTOR, yaitu matriks yang didefinisikan sebagai

  c A = A . _jk a a a A A A _{11 12 13}

_c

_{11 12 13} a a a = A A A

  Jika A= maka A , dengan _{21 22 23 21 22 23}

  a a a A A A _{31 32 33 31 32 33} [ ] [ ] _{1 +1 a a 1+2 a a 22 23 21 23} A =(− 1) =(− 1) _{11 , A 12 , dan seterusnya.} a a a a

  [ ^{32 33 ] [ 31 33 ]}

  15) MATRIKS ADJOINT, yaitu matriks yang diperoleh dari transpose _cT . matriks kofaktor. Jadi, adj A=A _{c cT} 1 3

  1 −

  2 1 −

  3 Untuk A= , A = , dan adj A=A = .

  [ 2 1 ] [ −

  3 1 ] [ −

  2 1 ]

  adj A=A 16) Jika , matriks A dikatakan self-adjoint. ₂ A dikatakan involuntary.

  17) Jika A = I , matriks 18) Jika A= ´A , matriks A dinamakan matriks real. _T I , matriks A dinamakan matriks orthogonal. 19) Jika A A = _† A dinamakan matriks uniter. 20) Jika A A = I , matriks 21) Jika A=− ´A , matriks A dinamakan matriks imajiner murni. ₂

  22) Jika A = A , matriks A dinamakan matriks idempotent (indepotent matrix).

1.5 TRANSFORMASI ELEMENTER PADA BARIS DAN KOLOM SUATU

  MATRIKS

  Yang dimaksud dengan transformai pada baris atau kolom suatu matriks A adalah sebagai berikut.

  1. Penukaran tempat baris ke-i dan baris ke-j atau penukaran kolom ke-i dan kolom ke-j dan ditulis H ij (A) untuk transformasi baris dan K ij (A) untuk transformasi kolom. Contoh :

  a. Penukaran baris

   1 2 2 3

  1 A= H ^{12 (A)}

  H ^{12 (A) berarti menukar baris ke-1 matriks A dengan baris ke-2}

  b. Penukaran kolom

  1 2

  1

  2 A= K ^{23 (A)} 2 3

  2

  1

  1

  3 K ^{13 (A) berarti menukar kolom ke-2 matriks A dengan kolom ke-3}

  2. memperkalikan baris ke-i dengan suatu bilangan skalar h _{i (h)} 0, ditulis _{i (k)}

  H (A) dan memperkalikan kolom ke-i dengan skalar k 0, ditulis K (A).

  Contoh :

  1 2 1 2 1 2

_{(-2) (1/2)}

  A= H ^{2 (A)= K 3 (A)=}

  2 3

• -4 -6

  2 3 ^(k)

  3. Menambah kolom ke-i dengan k kali koom ke-j, ditulis K ij (A) dan _(h)

  1/2 -2

  1 menambah baris ke-i dengan h kali baris ke-j, ditulis H ij (A).

  Contoh : _(-1) 1 2 1 2 H ^{23 (A)}

  A=

  2 2 2 3 _{2 3} H + (-1*H )

  1 (2) 1 2

  K ^{31 (A)}

  2 2 2 K ^{3 + (2*K 1 )}

1.6 MATRIKS EKUIVALEN

  Dua buah matriks A dan B disebut ekuivalen (A~B) apabila salah satunya dapat diperoleh dari yang lain dengan transformasi-transformasi elementer terhadap baris dan kolom. Kalau transformasi elementer hanya terjadi pada baris saja disebut ELEMENTER BARIS, sedangkan jika transformasi terjadi pada kolom saja disebut ELEMENTER KOLOM. Contoh :

  4 1 2 3

  A= dan B=

1 A dan B adalah ekuivalen baris karena jika kita mempertukarkan

  baris ke-1 dengan baris ke-2 pada matriks A atau H ^{12 (A), maka akan} didapat matriks B. _{12 (1) (-1) 42} K K

  4 0 2 3 0 2

  A=

  1

  1 K ^{1 +(1*K 2 ) K 4 +(-1*K 2 )} 5 1 3

  4 1 3

  1

  1 H ¹² 3 0 2 5 1 3

  1

  1 5 1 3 3 0 2

1.7 MATRIKS ELEMENTER

  Anxn disebut matriks elementer jika dengan sekali melakukan transformasi elementer terhadap suatu matriks identity I diperoleh Anxn. Contoh : Diketahui matriks

  1 0

0 1 I ^{3 = H 12 (I)}

  1 0 H ^{31 (k)(I)} _{3 2} 0 1

   H +(k* H ) 1 0

   H ^{32 (-4)(I)} 0 1

   H ^{3 +(-4* H 2 )}

1.8 INVERS MATRIKS

  Jika A dan B adalah matriks persegi, dan berlaku A . B=B . A=I maka dikatakan matriks A dan B saling invers. B disebut invers dari A, atau _{− 1} . Matriks yang mempunyai invers disebut invertible atau ditulis A matriks non singular, sedangkan matriks yang tidak mempunyai invers disebut matriks singular.

  Untuk mencari invers matriks persegi berordo 2×2, coba perhatikan :

  a b ad−bc ≠ 0

  Jika A= dengan , maka invers dari matriks A (ditulis

  ) adalah sebagai berikut:

  A _{− 1}

  c d _{− 1} [ ]

  1

  d − b A = ad−bc [ − c a ]

  Jika ad−bc=0 maka matriks tersebut tidak mempunyai invers, atau disebut matriks singular. Sifat-sifat matriks persegi yang mempunyai invers: _{− 1 − 1 − 1}

   ( A . B) = B . A _{− 1 − 1 − 1}

   (

B. A) = A . B

  A A ^{− 1}

   ( ¿ ¿ t) ( ¿¿ − 1)= ¿

  ¿

1.9 DETERMINAN MATRIKS

  Syarat suatu matriks dapat dicari determinannya adalah matriks tersebut

  a b

  harus merupakan matriks persegi. Jika A= , maka rumus untuk

  [ c d ]

  mencari determinan matriks berordo 2×2:

  a b detA= [ A ] = = ad−bc [ c d ]

  Sedangkan untuk mencari determinan matriks berordo 3×3 menggunakan aturan Sarrus. Contoh:

  a a a _{11 12 13}

  3 ×3= ¿

  a a a _{21 22 2 3}

  Jika

  a a a _{31 32 33} [ ]

  A _¿ a a a a a _{11 12 13 11 12} Determinan A= a a a a a _{21 22 2 3 21 22} a a a a a _{31 32 33 31 32} [ ]

  [ A ] = a a a a a a a a a − a a a − a a a + + − a a a _{11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22}

₃₁

_{11 23 32 12 21 33}

  Sumber :

  1. Beninglarashati.files.wordpress.com/2008/10/bab-1-matriks.doc Alamat Download:

  

  

  Diambil Kamis, 31 Oktober 2013 Pkl 14.14 2. staff.uny.ac.id/sites/default/files/Matriks%20dan

  %20Determinan.docx Alamat Download:

  

  Diambil Kamis, 31 Oktober Pkl 19.44

  3.

  Diambil Kamis, 31 Oktober 2013 Pkl 19.53

  4.

  Diambil Kamis, 31 Oktober 2013 Pkl 20.10