APLIKASI MODEL GENERALIZED AUTOREGRESSIVE CONDITIONAL HETEROSCHEDASTICITY (GARCH) UNTUK MENENTUKAN VALUE AT RISK PADA ANALISIS RESIKO INVESTASI

ABSTRAK

APLIKASI MODEL GENERALIZED
AUTOREGRESSIVE CONDITIONAL HETEROSCHEDASTICITY (GARCH)
UNTUK MENENTUKAN VALUE AT RISK
PADA ANALISIS RESIKO INVESTASI

Oleh

Rohimatul Anwar

Tujuan dari penelitian ini adalah untuk memperoleh model time series
terbaikyaitu Model Generalized Autoregressive Conditional Heteroschedasticity
(GARCH), untuk meramalkan volatilitas, dan untuk menentukan Value at risk
pada Data Indeks Harga Saham Gabungan (IHSG) periode Januari 2011 hingga
Februari 2016. Didalam data time series, terkadang didapat variansi yang tidak
konstan atau heteroschedasticity. Salah satu model untuk menyelesaikan kondisi
ini adalah model GARCH. Model GARCH dapat digunakan untuk meramalkan
volatilitas. Berdasarkan perhitungan Value at Risk, model GARCH dapat
digunakan untuk mengestimasi risiko investasi. Berdasarkan hasil analisis,
diperoleh bahwa model terbaik adalah ARMA (2,2), GARCH (1,1) dan besarnya

Value at Risk pada tingkat kepercayaan 95% pada satu periode kedepan, dengan
mengakarkan hasil dari ramalan variansinya diperoleh peramalan volatilitas
sebesar 0,011943077. Jika seorang investor mengalokasikan dana sebesar
Rp100.000.000,00 untuk berinvestasi maka terdapat 5% peluang terjadinya
kerugian yang melebihi Rp1.966.458,00 selama 24 jam kedepan.

Kata kunci : Heteroskedasitas, Volatilitas, Value at Risk

ABSTRACT

APPLICATION GENERALIZED AUTOREGRESSIVE
CONDITIONAL HETEROSCHEDASTICITY (GARCH) MODEL
TO DETERMINE OF VALUE AT RISK IN ANALYSIS OF RISK

By

Rohimatul Anwar

The aim of this study were to find the best time series model, namely Generalized
Autoregressive Conditional Heteroschedasticity (GARCH) model, to avaluate the

forecast of volatility, and to determine the Value at Risk data Price Composite
Index From January 2011 to February 2016. In time series data, sometimes the
behaviour of variance of the time series data are not constant or
heteroschedasticity. One of the models to deal with this tipe of problem, we can
use GARCH model. GARCH model can be used to forecast volatility. Based on
the Value At Risk, GARCH model can be used to estimate the invesment risk.
Based on the analysis, it was found that the best model is ARMA (2,2), GARCH
(1,1) and at the level confidence interval 95% the Value at Risk on one future
period with multiplying the result of the variance for forecasting volatility it was
found that 0,011943077. If an investment give allocated funds of
Rp100.000.000,00 to invest as a result there was a 5% chance of occurrence of
losses in excess of Rp1.966.458,00 during the next 24 hours.

Keywords: Heteroschedasticity, Volatility, Value at Risk

APLIKASI MODEL GENERALIZED AUTOREGRESSIVE
CONDITIONAL HETEROSCHEDASTICITY (GARCH)
UNTUK MENENTUKANVALUE AT RISK
PADA ANALISIS RESIKO INVESTASI

(Skripsi)

Oleh
ROHIMATUL ANWAR

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS LAMPUNG
BANDAR LAMPUNG
2016

ABSTRAK

APLIKASI MODEL GENERALIZED
AUTOREGRESSIVE CONDITIONAL HETEROSCHEDASTICITY (GARCH)
UNTUK MENENTUKAN VALUE AT RISK
PADA ANALISIS RESIKO INVESTASI

Oleh

Rohimatul Anwar

Tujuan dari penelitian ini adalah untuk memperoleh model time series
terbaikyaitu Model Generalized Autoregressive Conditional Heteroschedasticity
(GARCH), untuk meramalkan volatilitas, dan untuk menentukan Value at risk
pada Data Indeks Harga Saham Gabungan (IHSG) periode Januari 2011 hingga
Februari 2016. Didalam data time series, terkadang didapat variansi yang tidak
konstan atau heteroschedasticity. Salah satu model untuk menyelesaikan kondisi
ini adalah model GARCH. Model GARCH dapat digunakan untuk meramalkan
volatilitas. Berdasarkan perhitungan Value at Risk, model GARCH dapat
digunakan untuk mengestimasi risiko investasi. Berdasarkan hasil analisis,
diperoleh bahwa model terbaik adalah ARMA (2,2), GARCH (1,1) dan besarnya
Value at Risk pada tingkat kepercayaan 95% pada satu periode kedepan, dengan
mengakarkan hasil dari ramalan variansinya diperoleh peramalan volatilitas
sebesar 0,011943077. Jika seorang investor mengalokasikan dana sebesar
Rp100.000.000,00 untuk berinvestasi maka terdapat 5% peluang terjadinya
kerugian yang melebihi Rp1.966.458,00 selama 24 jam kedepan.

Kata kunci : Heteroskedasitas, Volatilitas, Value at Risk

ABSTRACT

APPLICATION GENERALIZED AUTOREGRESSIVE
CONDITIONAL HETEROSCHEDASTICITY (GARCH) MODEL
TO DETERMINE OF VALUE AT RISK IN ANALYSIS OF RISK

By

Rohimatul Anwar

The aim of this study were to find the best time series model, namely Generalized
Autoregressive Conditional Heteroschedasticity (GARCH) model, to avaluate the
forecast of volatility, and to determine the Value at Risk data Price Composite
Index From January 2011 to February 2016. In time series data, sometimes the
behaviour of variance of the time series data are not constant or
heteroschedasticity. One of the models to deal with this tipe of problem, we can
use GARCH model. GARCH model can be used to forecast volatility. Based on
the Value At Risk, GARCH model can be used to estimate the invesment risk.
Based on the analysis, it was found that the best model is ARMA (2,2), GARCH
(1,1) and at the level confidence interval 95% the Value at Risk on one future
period with multiplying the result of the variance for forecasting volatility it was

found that 0,011943077. If an investment give allocated funds of
Rp100.000.000,00 to invest as a result there was a 5% chance of occurrence of
losses in excess of Rp1.966.458,00 during the next 24 hours.

Keywords: Heteroschedasticity, Volatility, Value at Risk

APLIKASI MODEL GENERALIZED AUTOREGRESSIVE
CONDITIONAL HETEROSCHEDASTICITY (GARCH)
UNTUK MENENTUKAN VALUE AT RISK
PADA ANALISIS RESIKO INVESTASI

Oleh

ROHIMATUL ANWAR

Skripsi

Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar
SARJANA SAINS

Pada
Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS LAMPUNG
BANDAR LAMPUNG
2016

PERSEMBAHAN

Dengan mengucap puji dan syukur kehadirat Allah SWT penulis persembahkan
karya kecil ini untuk :

Orang Tua Tercinta yang telah menjadi motivasi terbesar selama ini.

Kakak penulis Nurul dan Rohmat yang menjadi kebanggaan dan adik Ela
penyemangat penulis untuk menjadi kakak yang bisa dibanggakan.

Sahabat-sahabat yang selalu memberi semangat, motivasi dan doa kepada

penulis.

Dosen Pembimbing dan Penguji yang sangat berjasa dalam mengarahkan dan
membimbing penulis dan Almamaterku Universitas Lampung

KATA INSPIRASI

.....Dan sesungguhnya Allah ilmuNya benar-benar meliputi segala sesuatu
(Q.S. At Talaq 12)

Belajar memang melelahkan, namun akan lebih melelahkan lagi bila saat ini
kamu tidak belajar
(Anonim)

You Are What You Think
(Ima)

Jangan lihat kemampuan kita, tapi lihatlah kemampuan Allah
(Ima)

SANWACANA

Puji syukur kehadirat Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat dan karuniaNya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Shalawat serta salam
senantiasa tercurahkan kepada the real idol kita yaitu Nabi Muhammad SAW.

Skripsi dengan judul “ Aplikasi Model Generalized Autoregressive Conditional
Heteroschedasticity (GARCH) Untuk Menentukan Value At Risk Pada Analisis
Resiko Investasi” disusun sebagai salah satu syarat memperoleh gelar Sarjana
Sains (S.Si.) di Universitas Lampung.

Dengan ketulusan hati penulis ingin mengucapkan terima kasih banyak kepada :
1.

Bapak Mustofa Usman, P.h.D. selaku Dosen Pembimbing I, terima kasih
untuk bimbingan dan kesediaan waktunya selama penyusunan skripsi ini.

2.

Ibu Widiarti, S.Si., M.Si.. selaku Dosen Pembimbing II, terima kasih untuk
bantuan dan masukannya selama penyusunan skripsi.

3.

Ibu Dian Kurniasari, S.Si., M.Sc. selaku Dosen Penguji, terima kasih atas
kesediannya untuk menguji, memberikan saran dan kritik yang membangun
dalam penyelesaian skripsi ini.

4.

Ibu Dr. Asmiati, S.Si., M.Si. selaku Pembimbing Akademik atas bimbingan
dan pembelajarannya selama ini.

5.

Bapak Drs. Tiryono Ruby, M.Sc., P.hD. selaku Ketua Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.

6.

Bapak Prof. Warsito, S.Si., D.E.A., Ph.D., selaku Dekan Fakultas

Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.

7.

Seluruh dosen dan karyawan Jurusan Matematika.

8.

Orang tua tercinta yang tak pernah berhenti melantunkan doa,selalu memberi
semangat dan nasehat, serta memberikan banyak pembelajaran hidup serta
kakak Nurul dan Rohmat yang penulis banggakan dan adik Ela tersayang.

9.

Sahabat satu bimbingan skripsi yaitu Riyama, Anisa, Hana, Mbak Desti dan
Rendy yang bersama-sama saling memberikan doa, semangat, dukungan, dan
belajar dalam menyelesaikan skripsi.

10. Sahabat-sahabat seperjuangan yaitu Gerry, Yefta, Ernia, Selvi, Yanti, Anggy,
Maya, Ratih, Audi, Naelu, Erni, Agnes, Elva, Mput, Dwi, Chandra, Danar, Jo,
Topik, Angger, Bapak Anwar dan teman-teman Matematika 2012.
11. Presidium BEM FMIPA 2015-2016 yaitu Anwar, Moko dan Taqiya, serta
Pimpinan dan pengurus BEM FMIPA 2015-2016 terima kasih atas doanya.
12. Presidium, pimpinan serta seluruh pengurus BEM FMIPA 2014-2015 terima
kasih atas ukhuwah yang telah terjalin sampai saat ini.
13. Keluarga KKN KEBANGSAAN 2015 Desa Teluk Mesjid Kecamatan Sungai
Apit Kabupaten Siak Provinsi Riau.
14. Almamater tercinta Universitas Lampung.

Bandar Lampung, September 2016
Penulis

Rohimatul Anwar

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Desa Labuhan Ratu Satu, Kecamatan Way Jepara, Lampung
Timur pada tanggal 7 Oktober 1994, sebagai anak ketiga dari empat bersaudara,
pasangan Bapak Drs. H. Popon Saeful Anwar dan Ibu Siti Barroh, S.Pd.I.

Menempuh pendidikan di Taman Kanak-Kanak (TK) Baitul Muslim pada tahun
1998-2000, SD N 4 Braja Sakti pada tahun 2000-2006, SMP N 1 Way Jepara pada
tahun 2006-2009, kemudian bersekolah di SMA N 1 Way Jepara pada tahun
2009-2012.

Tahun 2012 penulis terdaftar sebagai mahasiswa Jurusan Matematika Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung melalui Jalur
SNMPTN tulis. Selama menjadi mahasiswa, penulis pernah aktif di beberapa
organisasi internal dan eksternal kampus seperti Rohani Islam (ROIS) FMIPA
Unila 2013-2014 sebagai Anggota Bidang Kajian, Himpunan Mahasiswa Jurusan
Matematika (HIMATIKA) FMIPA Unila 2013-2014 sebagai anggota Kaderisasi
dan Kepemimpinan, Badan Eksekutif Mahasiswa (BEM) FMIPA Unila 20142015 sebagai Bendahara Departemen Hubungan Luar dan Pengabdian Masyarakat
(HLPM), Ikatan Mahasiswa Lampung Timur (IKAM LAMTIM) sebagai
Sekretaris Departemen Sosial Masyarakat 2014-2015 dan Badan Eksekutif
Mahasiswa (BEM) FMIPA Unila 2015-2016 sebagai Bendahara Eksekutif.

Pada Februari 2015 penulis melakukan Kerja Praktik (KP) di Kantor Badan Pusat
Statistik (BPS) Kota Bandar Lampung dan Agustus 2015 penulis melaksanakan
Kuliah Kerja Nyata Kebangsaan (KKN Kebangsaan) di Provinsi Riau, dan
ditempatkan di Desa Teluk Mesjid, Kecamatan Sungai Apit, Kabupaten Siak,
Provinsi Riau. Penulis pernah mendapatkan beasiswa Peningkatan Prestasi
Akademik (PPA) tahun 2014/2015.

DAFTAR ISI

halaman
DAFTAR GAMBAR .................................................................................
DAFTAR TABEL .....................................................................................
I.

PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang ........................................................................
1.2. Tujuan Penelitian......................................................................
1.3. Manfaat Penelitian....................................................................

II.

x
xi

1
2
3

TINJAUAN PUSTAKA
2.1
2.2
2.3
2.4

2.5
2.6

2.7
2.8
2.9

2.10
2.11
2.12
2.13

Jenis Data Bedasarkan Waktu Pengumpulannya ....................
Analisis Deret Waktu (Time Series) .........................................
Stasioneritas ............................................................................
2.3.1 Uji Augmented Dickey Fuller (ADF) ..............................
Fungsi Autokorelasi dan Fungsi Autokorelasi Parsial .............
2.4.1 Fungsi Autokorelasi ........................................................
2.4.2 Fungsi Autokorelasi Parsial ............................................
Proses White Noise ...................................................................
Model Autoregressive (AR) .....................................................
2.6.1 Bentuk Umum Model Autoregressive AR (p).................
2.6.2 Order Pertama Autoregressive AR (1) ............................
Model Moving Average (MA) ..................................................
2.7.1 Order Pertama Moving Average MA (1) .........................
Model Autoregressive Moving Average (ARMA) ...................
Metode Pembentukan ARIMA.................................................
2.9.1 Identifikasi Model ..........................................................
2.9.2 Pendugaan Parameter Model ARIMA ............................
2.9.3 Uji Signifikansi Parameter ..............................................
2.9.4 Pemeriksaan Diagnostik .................................................
Model Autoregressive Conditional Heteroschedasticity (ARCH)
..................................................................................................
Uji ARCH Lagrange Multiplier (LM) .....................................
Model Generalized ARCH (GARCH) .....................................
Pendugaan Parameter Model GARCH .....................................

4
4
5
5
6
7
9
14
16
17
18
19
20
21
22
22
23
25
25
27
27
28
29

2.14
2.15
2.16
2.17
2.18
2.19

Metode Newton Raphson .........................................................
Kriteria Informasi untuk Memilih Model GARCH .................
Return ......................................................................................
Resiko ......................................................................................
Volatilitas ................................................................................
Value at Risk (VaR) .................................................................

29
32
32
33
34
34

III. METODOLOGI PENELITIAN
3.1
3.2
3.3

Waktu dan Tempat Penelitian .................................................
Data Penelitian .........................................................................
Metode Penelitian .....................................................................

36
36
36

IV. HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1
4.2

4.3

4.4
4.5
V.

Uji Stasioneritas Data ...............................................................
Prosedur Box-Jenkins ...............................................................
4.2.1 Identifikasi Model ..........................................................
4.2.2 Estimasi Model ARIMA ................................................
4.2.3 Pendugaan Parameter dan Uji Signifikansi Parameter ..
4.2.4 Uji Kecocokan Model ....................................................
Identifikasi Model GARCH .....................................................
4.3.1 Pendeteksian Efek ARCH ..............................................
4.3.2 Pendugaan Parameter Model GARCH (1,1) ..................
4.3.2.1 Metode Maximum Likelihood Estimation (MLE)
4.3.2.2 Metode Newton Raphson ...................................
Peramalan Volatilitas ...............................................................
Perhitungan VaR ......................................................................

KESIMPULAN

DAFTAR PUSTAKA
LAMPIRAN

41
42
42
43
45
46
49
49
51
51
54
57
57

DAFTAR TABEL

Tabel
2.1
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
4.10

Halaman
Identifikasi Order Model ARIMA dengan Pola Grafik ACF dan PACF
Hasil Output Uji Augmented Dickey Fuller....................................... .
Hasil Output Best model ARIMA......................................................
Nilai SBC pada ARMA (2,2).............................................................
Nilai AICC pada ARMA (2,2) ..........................................................
Nilai Duga Parameter ARMA (2,2)...................................................
Output Uji Komogorov Smirnov........................................................
Output Uji Lagrange Multiplier ........................................................
Hasil Mean Model dan Variansi Model secara Bersama...................
Hasil Perhitungan Cornish Fisher Expansion ...................................
Hasil Perhitungan VaR Model ARMA(2,2) GARCH (1,1) ..............

22
42
43
44
44
45
48
49
50
57
58

DAFTAR GAMBAR

Gambar
3.1
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7

Halaman

Flow Chart Metode Penelitian ..........................................................
Plot Return Harga Saham .................................................................. .
Plot Ln Return Harga Saham.............................................................
Grafik ACF dan PACF ln return IHSG Januari 2011 - Februari 2016
...........................................................................................................
Grafik Standar Residual, ACF dan p-value Statistik Ljung-Box Model
ARMA (2,2).......................................................................................
QQ-Plot ARMA (2,2)........................................................................
Plot ACF Kuadrat Residual .............................................................
Plot PACF Kuadrat Residual ...........................................................

39
41
41
43
47
48
50
50

`

I.

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Data time series merupakan data yang dicatat selama periode tertentu. Biasanya
berupa data harian, mingguan, bulanan, enam bulanan maupun tahunan. Polanya
dapat berupa pengulangan masa lalu maupun tidak memiliki pola. Data time series
yang memiliki pola pengulangan disebut time series musiman, sebagai contoh
adalah data pergerakan saham sebuah perusahaan.

Pada kasus time series non musiman, metode Box Jenkins memodelkan dengan
menentukan beberapa kriteria yang kemudian dikenal dengan model ARMA dan
ARIMA. Kriteria-kriteria tersebut meliputi fungsi Autocorelation (ACF) dan
Parcial Autorcorelation (PACF). Sama halnya pada kasus time series musiman,
Box Jenkins memodelkan dengan memanfaatkan kriteria yang sama. Model
ARIMA musiman atau Seasonal-ARIMA (SARIMA) terkadang memberikan
model yang estimasinya jauh dari hasil yang diharapkan. Sedangkan model
Autoregresive Moving Average (ARMA) mengasumsikan bahwa variansi sesaat
dari model adalah konstan.

Pada kenyataan dilapangan sering dijumpai data time series yang memiliki
variansi sesaat tidak konstan. Seperti pada data saham memiliki ragam
pengembalian harga saham yang tidak konstan di setiap titiknya. Kondisi yang

2

seperti ini disebut heteroskedastisitas. Heteroskedastisitas adalah gangguan model
regresi dengan variansi pengamatan tidak konstan. Jika diketahui secara pasti
bahwa data time series memiliki variansi sesaat tidak konstan kemudian dipaksa
menggunakan model ARMA, maka akan diperoleh nilai ramalan dengan selang
kepercayaan yang lebar.

Value at Risk merupakan pengukuran resiko terburuk dari investasi dengan tingkat
kepercayaan tertentu pada kondisi pasar yang normal. Untuk menghitung Value at
Risk dibutuhkan peramalan volatilitas. Dalam matematika, volatilitas ini disebut
dengan variansi. Model time series dengan asumsi variansi sesaat tidak konstan
(heteroskedastisitas) dapat diterapkan pada pemodelan volatilitas tersebut.
Menurut Bollerslev (1986), data runtun waktu yang mengandung unsur
heteroskedastisitas dapat dimodelkan dengan Generalized Autoregressive
Conditional Heteroscedasticity (GARCH). Pada penelitian ini akan diterapkan
model GARCH dalam perhitungan Value at Risk pada data saham harian
penutupan Index Harga Saham Gabungan (IHSG).

1.2 Tujuan Penelitian

Tujuan dari penelitian ini adalah :
1.

Mengestimasi parameter model GARCH

2.

Memperoleh model terbaik pada studi kasus saham harian penutupan IHSG
Januari 2011 hingga Februari 2016 dengan model GARCH

3.

Menerapkan model GARCH dalam menentukan nilai Value at Risk

3

1.3 Manfaat Penelitian

Manfaat dari penelitian ini adalah :
1.

Mengetahui tahapan proses dalam memodelkan data dengan pendekatan
model GARCH

2.

Mengetahui model terbaik pada studi kasus data harga saham harian
penutupan IHSG Januari 2011 hingga Februari 2016

3.

Menerapkan model terbaik pada studi kasus data harga saham harian
penutupan IHSG Januari 2011 hingga Februari 2016 dalam menentukan nilai
Value at Risk

II. TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Jenis Data Berdasarkan Waktu Pengumpulannya

Menurut

Gujarati

dan

Porter

(2009)

jenis

data

berdasarkan

waktu

pengumpulannya terbagi menjadi tiga, yaitu time series, cross-section dan panel.
1. Data Time series
Data time series adalah kumpulan nilai-nilai pengamatan dari suatu
variabel yang diambil pada waktu yang berbeda. Data jenis ini
dikumpulkan pada interval waktu tertentu, misalnya harian,mingguan,
bulanan, dan tahunan.
2. Data Cross-section
Data cross-section adalah data dari satu variabel atau lebih yang dikumpulkan
pada waktu tertentu secara bersamaan.
3. Data Panel
Data panel adalah data yang elemen-elemennya merupakan kombinasi dari
data time series dan data cross-section.

2.2 Analisis Deret Waktu (Time Series)

Time series merupakan serangkaian observasi terhadap suatu variabel yang
diambil secara beruntun berdasarkan interval waktu yang tetap (Wei, 2006).

5

Rangkaian data pengamatan time series dinyatakan dengan variabel Xt dimana t
adalah indeks waktu dari urutan pengamatan.

2.3 Stasioneritas

Stasioner berarti bahwa tidak terdapat perubahan drastis pada data. Fluktuasi data
berada di sekitar suatu nilai rata-rata yang konstan, tidak tergantung pada waktu
dan variansi dari fluktuasi tersebut.
Stasioneritas dibagi menjadi 2 yaitu:
1. Stasioner dalam rata-rata
Stasioner dalam rata-rata adalah fluktuasi data berada di sekitar suatu nilai
rata-rata yang konstan, tidak bergantung pada waktu dan variansi dari
fluktuasi tersebut. Dari bentuk plot data seringkali dapat diketahui bahwa
data tersebut stasioner atau tidak stasioner.
2. Stasioner dalan variansi
Sebuah data time series dikatakan stasioner dalam variansi apabila struktur
dari waktu ke waktu mempunyai fluktuasi data yang tetap atau konstan
dan tidak berubah-ubah. Secara visual untuk melihat hal tersebut dapat
dibantu dengan menggunakan plot time series, yaitu dengan melihat
fluktuasi data dari waktu ke waktu (Wei, 2006).

2.3.1 Uji Augmented Dickey-Fuller (ADF)

Proses unit root merupakan proses analisis deret waktu yang mengalami
ketidakstasioneran. Indikasi terdapatnya unit root adalah adanya random walk

6

yang artinya data deret waktu tidak stasioner pada ragam karena ragamnya
merupakan fungsi dari waktu. Misalkan persamaan regresi
=

+

+

Salah satu uji unit root adalah Uji Augmented Dickey Fuller (ADF). Uji ADF
dilakukan dengan menghitung nilai (tau) statistik dengan rumus:
=

(

)

Hipotesis dilakukan sebagai berikut:
:
:
Jika

= 0 (yang artinya X tidak stasioner)
0 (yang artinya X stasioner)
statistik <

tabel maka

tidak ditolak yang berarti data dikatakan tidak

stasioner (Gujarati dan Porter, 2009).

2.4 Fungsi Autokorelasi dan Fungsi Autokorelasi Parsial

Dalam metode time series, alat utama untuk mengidentifikasi model dari data
yang akan diramalkan menggunakan fungsi autokorelasi /Autocorrelation
Function (ACF) dan fungsi autokorelasi parsial / Partial Autocorrelation
Function (PACF).

7

2.4.1 Fungsi Autokorelasi

Menurut Wei (2006) proses stasioner suatu data time series (Xt) memilih E(Xt) =µ
dan variansi Var (Xt) = E (Xt - µ)2 = σ2 yang konstan dan kovarian Cov (Xt,Xt+k),
yang fungsinya hanya pada perbedaan waktu │t- (t+k)│. Maka dari itu, hasil
tersebut dapat ditulis sebagai kovariansi antara Xt dan Xt+k sebagai berikut :
= Cov (Xt,Xt+k) = E (Xt - µ)(Xt+k - µ)
dan korelasi antara Xt dan Xt+k didefinisikan sebagai
( ,

=

)

( )

(

( ) dan

dimana notasi

dan

=

(

fungsi autokovarian dan
time series,

)

)=

. Sebagai fungsi dari k,

disebut

disebut fungsi autokorelasi (ACF). Dalam analisis

menggambarkan kovarian dan korelasi antara Xt dan Xt+k

dari proses yang sama, hanya dipisahkan oleh lag ke-k.

Fungsi autokovariansi

dan fungsi autokorelasi

memiliki sifat-sifat sebagai

berikut :
1.

= Var ( ) ;
;

2.
3.

= 1.

=

1.

dan

=

untuk semua k,

dan

adalah fungsi yang sama

dan simetrik lag k=0.
Bukti
1. Dengan menggunakan definisi korelasi antara Xt dan Xt+k, akan dibuktikan
bahwa
=

= Var ( ) ;
( ,
( )

= 1.
)

(

)

=

8

Diberikan k = 0, maka
=

=

=

=

( ,
( )
( ,
( )

)
(

)

)
( )

( )
( )
( )
( )

=
=1
2. Sifat kedua merupakan akibat dari persamaan autokorelasi kurang dari
atau sama dengan 1 dalam nilai mutlak.
3. Sifat tersebut diperoleh dari perbedaan waktu antara
= Cov (Xt+k, Xt) = Cov (Xt, Xt+k) =

(

dan

.

)

Oleh sebab itu, fungsi autokorelasi sering hanya diplotkan untuk lag
nonnegatif. Plot tersebut kadang disebut korrelogram.

Menurut Pankratz (1991), penduga koefisien ( ) adalah dugaan dari koefisien
autokorelasi secara teoritis yang bersangkutan (
dengan

) . Nilai

tidak sama persis

yang berkorespondensi dikarenakan error sampling. Distribusi dari

kemungkinan nilai-nilai disebut dengan distribusi sampel. Galat baku dari
distribusi sampling adalah akar dari penduga variansinya.

9

Pengujian koefisien autokorelasi :
H0 :

= 0 (Koefisien autokorelasi tidak berbeda secara signifikan)

H1 :

≠ 0 (Koefisien autokorelasi berbeda secara signifikan)

Statistik uji : t =
=

(

)(
(

)
)

dan

SE ( ) =

dengan
SE ( ): standard error autokorelasi pada saat lag k
: autokorelasi pada saat lag k
k

: time lag

T

: jumlah observasi dalam data time series

Kriteria keputusan : tolak H0 jika nilai│t

hitung│> tα/2,df

dengan derajat bebas df =

T-1, T merupakan banyaknya data dan k adalah lag koefisien autokorelasi yang
diuji.

2.4.2 Fungsi Autokorelasi Parsial

Autokorelasi parsial digunakan untuk mengukur tingkat keeratan antara Xt dan
Xt+k, apabila pengaruh dari time lag 1, 2, 3, . . . ,dan seterusnya sampai k-1
dianggap terpisah. Ada beberapa prosedur untuk menentukan bentuk PACF. Salah
satunya akan dijelaskan sebagai berikut. Fungsi autokorelasi parsial dapat
dinotasikan dengan:
corr (Xt, Xt+k | Xt+1 , ....... , Xt+k-1)

10

Misalkan Xt adalah proses yang stasioner dengan E (Xt) = 0, selanjutnya Xt+k
dapat dinyatakan sebagai model linear
+

Xt+k =
dengan

+

+

+

adalah parameter regresi ke-i dan

(2.1)

adalah nilai kesalahan yang

dengan j=1,2, … , k. Untuk mendapatkan nilai

tidak berkorelasi dengan

PACF, langkah pertama yang dilakukan adalah mengalikan persamaan (2.1)
dengan

pada kedua ruas sehingga diperoleh :
+

Xt+k =

+

+

+

Selanjutnya nilai harapannya adalah
(

+

Xt+k)=E(
(

=

+
)+

(

+

+

)+

+

(

)
)+

)

Dimisalkan nilai

(

Xt+k) =

+

+

, j=0,1,…,k dan karena

(

) = 0,

maka diperoleh
=

+

(2.2)

Persamaan (2.2) dibagi dengan
=

1

1

0

+

0

2

2

0

+

+
0

diperoleh
=

+

1

+

2

+

, j = 1,2,3,…,k

untuk j = 1,2,3,…,k didapatkan sistem persamaan sebagai berikut :
=

1

+

2

+

+

,

=

1

+

2

+

+

,

=

1

+

2

+

+

(2.3)

11

Sistem persamaan (2.3) dapat diselesaikan dengan menggunakan aturan Cramer.
Persamaan (2.3) untuk j = 1,2,3,…,k digunakan untuk mencari nilai-nilai fungsi
,

autokorelasi parsial lag k yaitu

,

,

.

a. Untuk lag pertama (k = 1) dan (j = 1) diperoleh sistem persamaan sebagai
berikut :
=

11

= 1 sehingga

karena

,

=

11

yang berarti bahwa fungsi

autokorelasi parsial pada lag pertama akan sama dengan fungsi autokorelasi
pada lag pertama.
b. Untuk lag kedua (k = 2) dan (j = 1,2) diperoleh sistem persamaan
=
=

+

11

11

+

22

(2.4)

22

Persamaan (2.4) jika ditulis dalam bentuk matriks akan menjadi
11
22

=

1

1

=

,

1

=

, dan dengan menggunakan aturan Cramer

diperoleh
1

det( 2 )
= 1
=
1
det( )
1

1
2
1

1

c. Untuk lag ketiga (k = 3) dan (j = 1,2,3) diperoleh sistem persamaan
=

11

+

22

+

33

=

11

+

22

+

33

=

11

+

22

+

33

(2.5)

12

Persamaan (2.5) jika ditulis dalam bentuk matriks akan menjadi
11
22

=

33

=

1

1

1

=

,

1

1

dan dengan menggunakan aturan

Cramer diperoleh
1

1

1

1

2

1

3

1

2

1

1

2

1

1

1

det( 3 )
=
= 2
1
det( )

1

d. Untuk lagke j = 1,2,3,…, k diperoleh sistem persamaannya adalah
=

11

+

22

+

33

+

+

=

11

+

22

+

33

+

+

=

11

+

22

+

33

+

+

=

11

+

22

+

33

+

+

(2.6)

Persamaan (2.6) jika dinyatakan dalam bentuk matriks menjadi
1

1

11

1

Dengan aturan Cramer diperoleh
1
=

1

1

22
33

=

13

Nilai autokorelasi parsial lag k hasilnya adalah
1

=

det( )
=
det( )

1

1

2

1
1

1
2

1
1

dengan

1

3
3
1

2

1

1

2

1

2

1

1

2

1

2

1

1
2

3
3

1

disebut PACF antara Xt dan Xt+k.

Fungsi autokorelasi parsial (PACF) adalah himpunan dari
=

Fungsi

1
0

{

;

= 1,2,

}

=0
0

menjadi notasi standar untuk autokorelasi parsial antara observasi Xt

dan Xt+k dalam analisis time series. Fungsi

akan bernilai nol untuk k > p.

Sifat ini dapat digunakan untuk identifikasi model AR dan MA, yaitu pada model
Autoregressive berlaku ACF akan menurun secara bertahap menuju nol dan
Moving Average berlaku ACF menuju ke-0 setelah lag ke-q sedangkan nilai
PACF model AR yaitu

= 0, k > p dan model MA yaitu

= 0, k > q

Hipotesis untuk menguji koefisien autokorelasi parsial adalah sebagai berikut
H0 :

=0

H1 :

≠0

Taraf signifikansi : α = 5%
Statistik uji :

=

(

)

14

dengan
(

)=

Kriteria keputusan :
Tolak H0 jika t hitung >

, dengan derajat bebas df= T-1, T adalah banyaknya

,

data dan k adalah lag autokorelasi parsial yang akan diuji (Wei, 2006).

2.5 Proses White Noise
Suatu proses εt disebut proses white noise jika data terdiri dari variabel acak yang
independen dan berdistribusi identik dengan rata-rata konstan E (εt)=0, variansi
konstan Var (εt) = σ2 dan

= Cov (εt, εt+k) = 0 untuk k ≠ 0. Pada umumnya proses

white noise diasumsikan berdistribusi normal dengan mean nol dan variansi
konstan

.

Bukti
Dengan diasumsikan bahwa εt ~ N(0,
(εt) =

(εt,εt-i)=

dan

(

). Maka:
(εt-i) =

)

Dimana = correlation (εt,εt-i)
Akan dibuktikan bahwa εt adalah variabel acak yang independen dan berdistribusi
identik yaitu (εt,εt-i)= (εt). (εt-i)

15

(εt,εt-i)=

(

)

( )
(

=

)

( )

=

=

=

=
= (εt) (εt-i) Terbukti
Sehingga dapat ditulis εt ~ N (0,
i.i.d

). Berikut merupakan proses white noise

stasioner.
Fungsi autokovariansi
=

,
0,

=0
0

Fungsi autokorelasi
=

1,
0,

=0
0

Fungsi autokorelasi parsial
=

1,
0,

=0
0

Proses white noise dapat dideteksi menggunakan uji autokorelasi residual pada
analisis error-nya.

Uji korelasi residual digunakan untuk mendeteksi ada

16

tidaknya korelasi residual antar lag. Langkah-langkah pengujian korelasi residual
yaitu :
H0 :
H1:

=

=

=

= 0 (residual tidak terdapat autokorelasi)

0 , k= 1, 2, …, K (residual terdapat autokorelasi)

Taraf signifikansi α = 5%
Statistik uji Ljung Box-Pierce. Rumus uji Ljung Box-Pierce :
= ( + 2)
dengan
T

: banyaknya data

K

: banyaknya lag yang diuji
: dugaan autokorelasi residual periode k

Kriteria keputusan yaitu tolak H0 jika

-hitung >

( ,

)

tabel , dengan derajat

kebebasan K dikurangi banyaknya parameter pada model atau p-value < α, artinya

εt adalah barisan yang tidak memiliki korelasi (Wei, 2006).

2.6 Model Autoregressive (AR)

Autoregressive adalah suatu bentuk regresi tetapi bukan yang menghubungkan
variabel tak bebas, melainkan menghubungkan nilai-nilai sebelumnya pada time
lag (selang waktu) yang bermacam-macam. Jadi suatu model Autoregressive akan
menyatakan suatu ramalan sebagai fungsi nilai-nilai sebelumnya dari time series
tertentu (Makridarkis et.al., 1992).

17

2.6.1 Bentuk Umum Model Autoregressive AR(p)

Bentuk umum orde ke-p model Autoregressive adalah
=
Dimana

+

+

+

+

(2.7)

white noise. Persamaan (2.7) dapat juga ditulis
(B)

Dimana

+

=

+

(B) = 1

.

untuk AR (p) stasioner
( )=
dan

( )=
=

=

1
( ,
(

)

+

+
(

=

)+

,

(

=

+

)+

0

+

( ,

+
)

,

)
(2.8)

=0
>0

Kemudian kita peroleh
(0) =

( )+

(0) 1

() =

Hasil pembagian persamaan (2.8) dengan

(0) untuk k > 0 dapat digunakan

untuk mencari nilai ACF pada proses AR (p) yang memenuhi persamaan YuleWalker
( )=

(

)

k = 1, 2, …
(Montgomery, Jennings, & Kulachi, 2008).

18

2.6.2 Order Pertama Autoregressive AR(1)

Order pertama autoregressive artinya autoregressive hanya dipengaruhi satu
periode sebelumnya saja. Diberikan persamaan time series stasioner sebagai
berikut :

dimana

=

+

=

+

=

+

( )

( )=

=

. Dengan pendekatan eksponensial

dimana

| | < 1 sehingga dapat ditulis
=

+

+

+

2

+

(2.9)

diperoleh
=

+

+

+

2

+

(2.10)

Kita dapat mengkombinasikan persamaan (2.9) dan (2.10) sebagai
=

+

+

2

+

+

1

=
=

Dimana

=

+
+

+
+

.

(2.11)

Persamaan

(2.11)

disebut

order

pertama

proses

autoregressive karena merupakan regresi dari xt pada xtProses AR (1) stasioner jika | | < 1. Rata-rata dari AR (1) yang stasioner adalah
( )=

=

(2.12)

19

Autokovarian dari AR (1) dapat dihitung dari persamaan (2.9)
( )=

untuk k = 0, 1, 2, …

Nilai varian diberikan sebagai:
(0) =
Hubungan dengan fungsi autokorelasi diberikan sebagai:
( )=
Ini

( )
( )

untuk k = 0, 1, 2, 3,…

menyebabkan proses stasioner AR

(1) turun

secara

eksponensial

(Montgomery, Jennings, & Kulachi, 2008).

2.7 Model Moving Average (MA)

Model moving average dengan order q dinotasikan MA (q) didefinisikan sebagai :
xt = µ + εt - θ1 εt-1- θ2 εt-2- θ3 εt-3- … - θq εt-q ; εt ~ N (0,σ2)
xt

: nilai variabel pada waktu ke-t

εt

: nilai error pada waktu t

θi

: koefisien regresi, i: 1,2,3, …,q

q

: order MA

Persamaandi atas dapat ditulis dengan operator backshift (B), menjadi :
xt = µ + (1 + θ1 B + θ2 B2 + … + θq Bq) εt
= µ + (1 = µ + ( ) εt
dimana ( ) = 1 -

) εt
(2.13)

20

Karena εt white noise, nilai harapan MA (q) adalah
E (Xt) = E (µ + εt - θ1 εt-1 - θ2 εt-2 - θ3 εt-3 - … - θq εt-q)
=µ
Var (xt) = (0) = Var (µ + εt - θ1 εt-1 - θ2 εt-2 - θ3 εt-3 - … - θq εt-q)
= σ2 (1 + θ12 + θ22 + … + θq2 )
Dengan cara yang sama diperoleh nilai autokovarian pada lag k
( ) = Cov (xt, xt+k)
= E [(µ + εt - θ1 εt-1 - … - θq εt-q) ( µ + εt+k - θ1 εt+k-1 - … - θq εt+k-q)]
+
0

=

+

+

>

= 1, 2,

,

Diperoleh nilai autokorelasi pada lag k yaitu
( )=

( )
=
(0)

(

+
1+
0 ,

+
+

+
+

)

,

= 1, 2, 3,
>

Dari bagian ini diperoleh bahwa nilai ACF sangat membantu dalam
mengindentifikasi model MA dan order cut off tepat setelah lag q (Montgomery,
Jennings, & Kulachi, 2008)

.
2.7.1 Order Pertama Moving Average MA(1)

Model paling sederhana dari Moving Averageyakni MA (1) ketika nilai q =1
yaitu:
xt = µ + εt - θ1 εt-1
untuk model MA (1) kita peroleh nilai autocovariance function
(0) =

(1 +

)

21

(1) =
( )=0 k>1

Demikian pula, kita peroleh fungsi autokorelasi
(1) =

1+

( )= 0

>1

Kita dapat lihat bahwa lag pertama fungsi autokorelasi pada MA (1) dibatasi
(1) =

1
2

1+

dan autokorelasi cut off setelah lag 1(Montgomery, Jennings, & Kulachi, 2008).

2.8 Model Autoregressive Moving Average (ARMA)

Dalam bentuk umum, model Autoregressive Moving Average atau ARMA(p,q)
diberikan sebagai
=

+

=

+

+

+

+

+
+

(2.14)

Persamaan 2.14 dapat ditulis dengan backshift operator menjadi:
(1atau

+
( )

+
=

+

) Xt = (1+

+ ( )

dengan

xt

= nilai variabel pada waktu ke-t
= koefisien regresi ke-1 , i=1,2,3,...,p

p

= order AR

)

22

= parameter model MA ke-i, i=1,2,3,...,q
= nilai error pada waktu ke-t
,

,

,

.,

= error pada saat t, t-1, t-2,....,t-q dan

diasumsikan White

Noise dan normal
(Wei, 2006 ).

2.9

Metode Pembentukan ARIMA

2.9.1 Identifikasi Model

Menurut Makridarkis, et.al (1992) hal pertama yang dilakukan pada tahap ini
adalah apakah time series bersifat stasioner atau tidak. Kestasioneran suatu time
series dapat dilihat dari plot ACF dan PACF yaitu koefisien autokorelasinya dan
autokorelasi parsialnya menuju nol
1. Jika terdapat lag autokorelasi sebanyak q yang berbeda dari nol secara
signifikan maka prosesnya adalah MA(q).
2. Jika terdapat autokorelasi parsial sebanyak p yang berbeda dari nol secara
signifikan maka prosesnya adalah AR(p).

Tabel 2.1 Identifikasi Order Model ARIMA dengan Pola Grafik ACF dan PACF
Model
White Noise
ARIMA (0,0,0)
ARIMA (0,1,0)
d=1

ACF
tidak ada lag yang signifikan
turun secara lambat

Autoregressive (AR)
ARIMA (1,0,0) turun secara eksponensial
(negative spikes)
1>0
ARIMA (1,0,0) Bergerak naik-turun (dimulai
dari negative spike)
1 0

turun secara eksponensial
(negative spikes)

ARIMA (2,0,0)
1 > 0, 2 < 0

Bergerak naik-turun secara
eksponensial

lag 1 dan lag 2 signifikan
(negative spikes)
signifikan pada lag 1
(negative spike), signifikan
pada lag 2 (negative spike)

Moving Average (MA)
ARIMA (0,0,1)
θ1 > 0

Cut off setelah lag 1
(negative spike)

ARIMA (0,0,1)
θ1 < 0

Cut off setelah lag 1
(negative spike)

ARIMA (0,0,2)
θ1,θ2 > 0

lag 1 dan lag 2 signifikan
(negative spikes)

ARIMA (0,0,2)
θ1,θ2 < 0

lag 1 dan lag 2 signifikan
(negative spikes)

turun secara eksponensial
(negative spike)
Bergerak naik-turun menuju
nol (positive and negative
spikes)
turun secara eksponensial
(negative spikes)
Bergerak naik-turun menuju
nol (positive and negative
spikes)

AR dan MA
ARIMA (1,0,1)
1 > 0, θ1 > 0
ARIMA (1,0,1)
1 > 0, θ1 < 0
ARIMA (1,0,1)
1 < 0, θ1 > 0
ARIMA (1,0,1)
1 < 0, θ1 < 0

turun secara eksponensial
(negative spikes)
turun secara eksponensial
(negative spikes)
Bergerak naik-turun secara
tidak beraturan
Bergerak naik-turun secara
tidak beraturan (positive and
negative spikes)

turun secara eksponensial
(negative spikes)
turun menuju nol (positive
and negative spikes)
turun secara eksponensial
(negative spikes)
Bergerak naik-turun secara
tidak beraturan (positive and
negative spikes)

2.9.2 Pendugaan Parameter Model ARIMA

Pendugaan parameter model ARIMA dilakukan dengan menggunakan metode
Maximum

likelihood

estimation.

Metode

ini

menggunakan

prinsip

memaksimumkan fungsi likelihood dari model ARIMA untuk menduga parameter
dan θ. Diberikan bentuk umum model ARIMA (p,q) sebagai berikut :
=

+

+

=

+
=1

=1

24

(0,

dimana
,

=( ,

), dan vektor parameter yang akan diestimasi adalah

, ....,

,

,

,

,

fungsi kepekatan peluang dari

)

=( ,

,

) didefinisikan sebagai berikut :

.,

( )=
,

Kita dapat menuliskan fungsi likelihood dari = ( ,
L( )=

, ....,

,

,

,

,

)

( )
(

)

=

=
Kemudian ln likelihood

ln L( ) =

=

ln

+ ln

=

ln (2 )

+ ln (

= ln (2 )
=

ln 2

+ ln (

)

ln

2

)
2

=1 2

2

2

=1 2

Selanjutnya turunan dari ln L( | ) terhadap

2

(2.15)
ditentukan menggunakan

persamaan (2.15) yaitu sebagai berikut :
(

(

)

=0
2

2
=12

2)

=0

(Wei, 2006).

25

2.9.3 Uji Signifikansi Parameter

Uji signifikansi parameter digunakan untuk mengetahui apakah parameter yang
diperoleh signifikan dalam model atau tidak. Pengujian hipotesis dapat dilakukan
sebagai berikut :

Parameter Autoregressive AR (p), yaitu:
H0 :

= 0 (parameter

tidak signifikan dalam model)

H1 :

≠ 0 (parameter

signifikan dalam model)

Taraf signifikansi α = 0,05
Jika nilai p-value < α maka tolak H0 atau dapat dikatakan parameter

signifikan

dalam model. Jika nilai p-value > α maka tidak ada alasan menolak H0
Parameter Moving Average MA (q), yaitu:
H0 :

= 0 (parameter

tidak signifikan dalam model)

H1 :

≠ 0 (parameter

signifikan dalam model)

Taraf signifikansi α = 0,05
Jika nilai p-value < α maka tolak H0 atau dapat dikatakan parameter

signifikan

dalam model. Jika nilai p-value > α maka tidak ada alasan menolak H0.

2.9.4 Pemeriksaan Diagnostik

Pemeriksaan diagnostik dilakukan dengan mengamati apakah residual dari model
terestimasi merupakan proses white noise atau tidak. Model dikatakan memadai
jika asumsi dari error ( t) memenuhi proses white noise dan berdistribusi normal.

26

Uji kenormalan error digunakan untuk melihat apakah suatu proses error
berdistribusi normal atau tidak. Uji kenormalan dapat dilakukan dengan uji
Kolmogorov Smirnov dengan hipotesis
H0 = residual berdistribusi normal
H1 = residual tidak berdistribusi normal
Dengan statistik uji
Dhitung =| Ft – Fs |<

,

maka terima H0. Jika Dhitung > Dtabel maka tolak H0.

Dengan
Ft

= Probabilitas komulatif normal (Ft=0,05 - Ztabel).

Fs = Probabilitas komulatif empiris (banyaknya angka sampai angka ke ni
/banyaknya seluruh angka pada data).
Salah satu pemilihan model terbaik dari beberapa model yang sesuai dapat
berdasarkan nilai AIC (Akaike’s Information Criterion) dan SBC (Schwarz
Bayesian Criteria), rumus AIC dan SBC :
AIC = T ln (

) + 2k

SBC = T ln (

) + k ln (T)

Dengan
MSE =

(

)

SSE

=

(

k

= jumlah parameter yang diduga

T

= jumlah pengamatan

)

Nilai minimum pada AIC dan SBC mengindikasikan model terbaik (Yafee, 2000).

27

2.10 Model Autoregressive Conditional Heteroschedasticity (ARCH)

Conditional variance dari residual

yang dilambangkan dengan

t

2

, dapat ditulis

dengan
t

=

+

2

+

+

+

(2.16)

Dimana variance residual bergantung pada lag ke q dari kuadrat residual, yang
dikenal sebagai Autoregresive Conditional Heteroscedastic (ARCH). Secara
Lengkap Model ARCH dapat dituliskan sebagai berikut.
=

+

+

~ (0,
t

=

2

+

2

+

)
+

+

merupakan persamaan conditional mean (Brooks, 2014).

dengan

Uji ARCH Lagrange Multiplier (LM)

2.11

Uji untuk menentukan apakah ‘efek-ARCH’ ada pada residual dari model
dilakukan dengan langkah-langkah berikut.
1. Jalankan sebarang bentuk regresi linear, seperti:
=

+

+

2. Kuadratkan residualnya dan regresikan residual tersebut pada lag ke q untuk
menguji order ke-q ARCH,
t

=

2

dengan

+

+

+

+

adalah residual. Dapatkan

dari regresi ini.

28

3. Statistik uji didefinisikan sebagai
=

(2.17)

dimana
(
(

=

)
)
adalah r-square, dan berdistribusi

T menyatakan jumlah observasi dan
( ).

4. Menentukan hipotesis nol dan alternatif adalah
:

= 0,

0 atau

i=1,2,...,q
0 atau .... atau

0

(Brooks, 2014)

2.12

Model Generalized ARCH (GARCH)

Model GARCH dikembangkan oleh Bollerslev (1986). Model GARCH
mengizinkan conditional variance

bergantung terhadap conditional variance

pada lag sebelumnya. Dengan demikian, persamaan conditional variance menjadi
t

=

2

+

+

(2.18)

Dimana nilai sekarang dari conditional variance diparameterisasi untuk
bergantung terhadap lag ke-q dari kuadrat residualnya dan lag ke-p dari
conditional variance, dilambangkan dengan GARCH (p,q). Secara lengkap model
GARCH dapat dituliskan sebagai berikut.
=

+

+

~ (0,

2

)

29

t

Dengan

=

2

+

+

merupakan persamaan conditional mean (Brooks, 2014).

2.13 Pendugaan Parameter Model GARCH

Metode yang digunakan untuk menduga parameter model GARCH adalah metode
kemungkinan maksimum. Metode kemungkinan maksimum adalah metode untuk
menduga satu sebaran dengan memilih dugaan-dugaan yang nilai-nilai
parameternya diduga dengan memaksimalkan fungsi kemungkinannya, metode
kemungkinan maksimum merupakan salah satu metode yang paling sering
digunakan untuk mencari nilai estimasi dari suatu parameter.
Menurut Herhyanto (2003), misalkan X adalah peubah acak kontinu atau diskrit
dengan fungsi kepekatan peluang

( ; ), dengan

yang tidak diketahui. Misalkan

, ...,

,

adalah salah satu sampel

merupakan sampel acak berukuran n

maka fungsi kemungkinan likelihood dari sampel acak itu adalah
L( ) = ( ; ), ( ; ),..., (

; )

Dalam hal ini, fungsi kemungkinan adalah fungsi dari parameter yang tidak
diketahui . Biasanya untuk mempermudah penganalisaan, fungsi kemungkinan
L( ) diberi log natural (ln). Penduga kemungkinan maksimum dari

adalah nilai

yang memaksimalkan fungsi L( ).

2.14 Metode Newton Raphson

Kebanyakan persoalan model matematika dalam bentuk yang rumit. Sehingga
tidak dapat diselesaikan dengan metode analitik yang sudah umum untuk

30

mendapatkan solusi eksak. Bila metode analitik tidak dapat lagi diterapkan, maka
solusi dari persoalan model matematika tersebut masih dapat diselesaikan metode
numerik.

Dalam metode numerik, pencarian akar

( ) = 0 dilakukan dengan iterasi.

Diantara semua metode akar, metode Newton Rapshonlah yang paling terkenal
dan paling banyak dipakai dalam terapan sains dan rekayasa. Metode ini paling
disukai karena tingkat konvergensinya paling cepat diantara metode lain. Metode
Newton Raphson adalah metode untuk menyelesaikan persamaan non linear
secara iteratif seperti persamaan likelihood yang mencari lokasi yang
memaksimalkan suatu fungsi.
Dasar dari metode ini adalah pendekatan deret Taylor:
p

1
) + pi=1

f( )
(
i! ( )i

( +1 ) = (

+1

)

i

Bila pada suku orde 1:
( +1 ) = (

)+ (

- ) ( )

Karena persoalan mencari akar, maka (

0 = ( )+ (
=

-

) = 0, sehingga

- ) ( )

(

)

(

)

Metode ini dapat diperluas untuk menyelesaikan sistem persamaan dengan lebih
dari satu parameter. Misal
=

(H ) G

,

,

..,

maka iterasinya sebagai berikut:

31

Dengan indeks t menyatakan ukuran iteratif. Adapun langkah-langkah metode
iterasi Newton Raphson adalah sebagai berikut:
1. Ambil estimasi awal dari
2.

3..

=

H

misal

G( ) merupakan derivative pertama dari f( ) pada

=

H

=

(H ) G .

4. Estimator

G( )

dengan

H

= H dan

G( )=G

diiteratif hingga diperoleh nilai jarak antara

dan

= .

sehingga

sangat

= .

kecil atau
Untuk G,

dan

dalam bentuk vektor , dan H dalam bentuk matriks yaitu :

H=

:

F( )
( )

F( )

F( )

F( )

( )

Dan G =

.

:

( )

(Gilat dan Subramaniam, 2011).

...
. ..

F( )
F( )

32

2.15

Kriteria Informasi untuk Memilih Model GARCH

Kriteria Informasi yang paling sering digunakan ada tiga yaitu Akaike’s (1974)
Information Criterion (AIC), Schwarz’s (1978) Bayesian Information Criterion
(SBIC) dan Hannan-Quin Criterion (HQIC). Secara aljabar ketiga informasi
kriteria tersebut dapat ditulis sebagai berikut :
= ln

Dengan

=

+

+

(2.19)

= ln

+ ln

= ln

+

ln(ln )

(2.20)
(2.21)

+ 1 adalah jumlah total parameter yang diduga dan T adalah

ukuran sampel. Kriteria informasi sebenarnya adalah meminimumkan dengan
kendala

,

, dimana limit atas ditentukan pada jumlah dari moving

average ( ) dan atau autoregressive ( ) yang akan dipertimbangkan (Brooks,
2014).

2.16 Return

Return dari suatu aset adalah tingkat pengembalian atau hasil yang diperoleh
akibat melakukan investasi (Halim,2003). Return mudah dipakai dibandingkan
nilai sebenarnya karena bentuknya memiliki sifat statistik yang baik (Tsay, 2002).
Ln return digunakan untuk membuat data lebih stasioner didalam rata-rata.
Perubahan harga relatif didefinisikan sebagai berikut
R=

(2.22)

33

R adalah perubahan harga relatif
Pt adalah harga saham pada waktu ke-t
Pt-1 adalah harga saham pada waktu ke- (t-1)
Logaritma natural dirumuskan
rt = ln (

)

(2.23)

dengan rt adalah log natural return pada waktu ke-t.

2.17 Resiko

Resiko merupakan besarnya penyimpangan antara return yang diharapkan dengan
return yang dicapai (actual return). Semakin besar penyimpangan berarti semakin
besar resikonya (Halim,2003). Apabila resiko dinyatakan sebagai seberapa jauh
hasil yang diperoleh bisa menyimpang dari hasil yang diharapkan, maka
digunakan ukuran penyebaran. Alat statistik yang digunakan sebagai ukuran
penyebaran tersebut adalah variansi atau standar deviasi. Semakin besar nilainya,
berarti semakin besar penyimpangannya atau resikonya semakin besar. Van Horne
dan Wachowics Jr pada tahun 1992 mendefinsikan resiko sebagai variabilitas
(keragaman) return terhadap return yang diharapkan (Jogiyanto, 2003).
Jika terdapat n (jumlah observasi) return, maka ekspektasi return dapat diestimasi
yaitu
=

t

t

(2.24)

adalah rata-rata sampel return. Rata-rata return kemudian digunakan untuk

mengestimasi variansi tiap periode yaitu

34

S2=

(

t

- )2

(2.25)

Akar dari variansi (standar deviansi) merupakan estimasi resiko dari harga saham
yaitu
S=

(

)

(2.26)

2.18 Volatilitas

Volatilitas digunakan sebagai salah satu ukuran untuk melihat seberapa besar dan
seringnya perubahan atau fluktuasi yang terjadi pada indikator-indikator ekonomi.
Biasanya besaran ini dinyatakan sebagai standar deviasi perubahan data time
series keuangan. Dengan pemodelan volatilitas, para investor diharapkan dapat
mengendalikan resiko pasar dengan lebih baik.

2.19 Value at Risk (VaR)

Value at Risk merupakan sebuah konsep yang digunakan dalam pengukuran
resiko risk management yang didefinisikan sebagai estimasi kerugian maksimum
yang akan didapat selama periode waktu tertentu dalam kondisi pasar normal pada
tingkat kepercayaan tertentu (Tsay, 2002). Value at Risk menjelaskan seberapa
besar investor dapat merugi selama waktu investasi T dengan tingkat kepercayaan
sebesar 1 – α.
Distribusi return akan lebih baik diuraikan sebagai distribusi parametrik, seperti
distribusi

normal.

Hal

ini

mempermudah

analisis

karena

distribusi

35

dikarakteristikkan semata-mata oleh dua parameter, rata-rata

dan standar deviasi

. Kuantil di sekitar rata-rata menjadi perkalian dari , menggunakan pengali
yang bergantung pada tingkat kepercayaan. Oleh sebab itu, VaR dapat
didefinisikan sebagai
VaR =

(2.27)

Sebagai contoh, jika Z mempunyai distribusi normal dan tingkat kepercayaan
95%, diketahui dari tabel statistik bahwa
diperoleh nilai

= 1,645. Jika

P (Z

1,645 ) = 95%. Sehingga

diukur pada satuan ln return, maka akan

dikalikan dengan nilai yang berlaku dari portofolio W, memberikan nilai VaR
sebagai berikut
VaR =

Dengan

W

(2.28)

adalah estimasi volatilitas dan W adalah nilai pada portofolio. Bila

distribusi data ln return tidak normal, maka

dapat dikoreksi dengan corner

fisher expansion ( ) yang menggunakan nilai kemiringan dari data tersebut.

Rumus untuk mendapatkan

adalah
=

- ( -1) S

(2.29)

dengan S adalah nilai kemiringan. Sehingga besarnya VaR dapat dihitung sebagai
VaR =

(2.30)

III. METODOLOGI PENELITIAN

3.1 Waktu dan Tempat Penelitian

Penelitian ini dilakukan pada semester genap tahun akademik 2015/2016,
bertempat di Jurusan Matematika Fakultas Matematik