Penjadwalan Mata Pelajaran di Sekolah: Studi Kasus di SMPIT Nurul Fajar Bogor
PENJADWALAN MATA PELAJARAN DI SEKOLAH:
STUDI KASUS DI SMPIT NURUL FAJAR BOGOR
MUHAMMAD IZZUDDIN
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2015
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Penjadwalan Mata
Pelajaran di Sekolah: Studi Kasus di SMPIT Nurul Fajar Bogor adalah benar
karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam
bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang
berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari
penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di
bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Februari 2015
Muhammad Izzuddin
NIM G54080050
ABSTRAK
MUHAMMAD IZZUDDIN. Penjadwalan Mata Pelajaran di Sekolah: Studi Kasus
di SMPIT Nurul Fajar Bogor. Dibimbing oleh FARIDA HANUM dan PRAPTO
TRI SUPRIYO.
Penjadwalan adalah salah satu masalah yang dihadapi oleh banyak lembaga
antara lain sekolah. Penjadwalan secara konvensional seringkali tidak optimal.
Agar diperoleh hasil yang optimal, masalah penjadwalan ini dimodelkan secara
matematis ke dalam pemrograman integer. Karya ilmiah ini membahas masalah
penjadwalan pelajaran sekolah yang diformulasikan ke dalam pemograman
integer taklinear. Model tersebut kemudian diimplementasikan untuk
menyelesaikan masalah penjadwalan di SMPIT Nurul Fajar Bogor. Dengan
software LINGO 11.0 diperoleh solusi optimal berupa jadwal mata pelajaran dan
pengajarnya yang memenuhi semua kendala yang diinginkan.
Kata kunci: pemograman integer taklinear, penjadwalan, mata pelajaran, sekolah.
ABSTRACT
MUMAMMAD IZZUDDIN. School Timetabling: Case Study in SMPIT Nurul
Fajar Bogor. Supervised by FARIDA HANUM and PRAPTO TRI SUPRIYO.
Scheduling is one of the problems faced by many institutions including
schools. However, the conventional scheduling is often sub-optimal. In this work,
the scheduling problem is modeled mathematically using integer programming
approach. In this paper the problem of scheduling of courses was formulated into
integer nonlinear programming. The model is then implemented to solve the
courses scheduling problem in SMPIT Nurul Fajar School Bogor. The computer
software LINGO 11.0 was used to obtain optimal solutions in the form of courses
and satisfying all constraints of subject and teachers’ schedules.
Keywords : integer nonlinear programming, scheduling, courses, school.
PENJADWALAN MATA PELAJARAN DI SEKOLAH:
STUDI KASUS DI SMPIT NURUL FAJAR BOGOR
MUHAMMAD IZZUDDIN
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2015
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala karuniaNya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Penulis bisa menyelesaikan
karya ilmiah ini karena banyak orang yang membantu dan berkontribusi dalam
pembuatan karya ilmiah ini. Oleh karena itu, penulis ingin mengucapkan terima
kasih kepada:
1 Allah SWT atas rahmat dan karunia yang tak terhitung banyaknya,
2 keluarga sebagai pemberi motivasi, semangat, dan doa,
3 semua guru dan staf SMPIT Nurul Fajar Bogor atas bantuan yang
diberikan,
4 Dra Farida Hanum, MSi dan Drs Prapto Tri Supriyo, MKom selaku dosen
pembimbing yang telah meluangkan waktu dan memberikan ilmu,
5 Ruhiyat, SSi MSi selaku dosen penguji yang telah meluangkan waktu dan
memberikan ilmu,
6 semua dosen Departemen Matematika IPB atas ilmu yang diberikan,
7 semua staf Departemen Matematika IPB untuk semua bantuan
administrasi,
8 teman-teman Matematika angkatan 45 atas bantuan, dukungan, dan
doanya,
9 teman-teman angkatan 44, 46, dan 47 yang sudah ikut membantu dan
memberikan doa,
10 semua pihak yang sudah membantu dalam penulisan karya ilmiah ini.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, Februari 2015
Muhammad Izzuddin
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
vi
DAFTAR LAMPIRAN
vi
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan Penelitian
1
TINJAUAN PUSTAKA
2
DESKRIPSI DAN FORMULASI MASALAH
3
Rumusan Masalah
3
Model Matematika
3
IMPLEMENTASI MODEL
5
Kasus 1
5
Kasus 2
9
SIMPULAN
12
DAFTAR PUSTAKA
12
LAMPIRAN
13
RIWAYAT HIDUP
23
DAFTAR TABEL
1 Mata pelajaran, banyak sesi, dan bobot ........................................................... 5
2 Mata pelajaran yang dikuasai guru .................................................................. 5
3 Jadwal pelajaran dan guru untuk Kasus 1 ........................................................ 7
4 Jumlah sesi per mata pelajaran untuk Kasus 1 ................................................ 8
5 Total mengajar (dalam sesi) setiap guru untuk Kasus 1 .................................. 8
6 Jadwal pelajaran dan guru untuk Kasus 2 ...................................................... 11
7 Jumlah sesi per mata pelajaran untuk Kasus 1 .............................................. 11
DAFTAR LAMPIRAN
1 Model pada LINGO 11.0 untuk kasus 1 dan hasilnya ................................... 13
2 Model pada LOINGO 11.0 untuk kasus 2 dan hasilnya ................................ 18
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Penjadwalan adalah masalah yang umum dihadapi oleh banyak lembaga di
dunia. Baik lembaga di bidang akademik, kesehatan, transportasi, dan lain lain.
Bagi institusi yang cukup besar, masalah ini bisa menjadi rumit dan menantang,
karena jadwal yang ditetapkan diharapkan bebas konflik, efisien, dan kadangkadang diperlukan juga yang sifatnya fleksibel.
Setiap lembaga memiliki kendala yang unik, bergantung pada kondisi dan
kebijakannya juga pada ketersediaan sumber daya. Penjadwalan yang baik harus
bisa mengidentifikasi kondisi optimal, yaitu kombinasi antara peristiwa (kursus,
ujian, operasi), sumber daya (guru, pengawas ujian, perawat, dokter), ruang
(ruang kelas, kamar operasi), waktu dan semua kendalanya, yang menghasilkan
tingkat kepuasan preferensi tertinggi.
Ada beberapa cara untuk menyelesaikan masalah penjadwalan tersebut.
Cara yang biasa dilakukan ialah dengan membuat jadwal secara manual. Tetapi
cara itu tidak efektif jika menyangkut banyak data. Cara lain adalah dibuat
menjadi model matematika. Berbagai metode yang pernah dipakai untuk
menyelesaikan masalah penjadwalan antara lain menggunakan algoritme column
generation untuk penjadwalan SMA di Yunani (Papoutsis et al. 2003),
pendekatan algoritme genetika (Beligiannis et al. 2009), dan pemrograman mixinteger untuk penjadwalan di Kuwait University yang ditulis oleh Al-Yakoob dan
Sherali (2007).
Salah satu model matematika yang dapat digunakan untuk menyelesaikan
masalah penjadwalan adalah pemrograman integer taklinear. Pemrograman
taklinear adalah suatu teknik optimasi untuk masalah yang memiliki fungsi
objektif atau kendala taklinear. Tulisan ini akan membahas masalah penjadwalan
pelajaran sekolah dalam pemograman integer taklinear dan menyelesaikannya
dengan mengambil contoh masalah penjadwalan di SMPIT Nurul Fajar Bogor.
.
Tujuan Penelitian
Tujuan dari tulisan ini ialah memodelkan masalah penjadwalan mata
pelajaran dan guru sekolah dengan pemrograman integer taklinear, lalu
mengaplikasikan model tersebut untuk masalah penjadwalan mata pelajaran di
SMPIT Nurul Fajar Bogor dengan meminimumkan bobot mata pelajaran untuk 2
kasus yaitu bila SMP tersebut memiliki:
1
tiga kelas dengan keadaan guru mencukupi,
2
empat kelas dengan keadaan guru tidak mencukupi.
2
TINJAUAN PUSTAKA
Integer Programming
Integer Programming (IP) adalah suatu model pemrograman dengan
variabel yang digunakan berupa integer. Jika semua variabel harus berupa integer,
maka masalah itu dinamakan pure integer programming. Jika hanya sebagian
yang harus berupa integer, maka disebut mixed integer programming. IP dengan
semua variabelnya harus bernilai 0 atau 1 disebut 0-1 IP (Garfinkel & Nemhauser
1972).
Multi-Objective Optimization Problem
Masalah optimasi multi-objektif memiliki sejumlah fungsi objektif yang
harus diminimumkan atau dimaksimumkan. Seperti halnya dalam masalah
optimasi fungsi objektif tunggal, masalah ini juga biasanya memiliki sejumlah
kendala yang harus dipenuhi oleh setiap solusi fisibel. Berikut ini dinyatakan
masalah optimasi multi-objektif dalam bentuk umum:
Meminimumkan/Memaksimumkan
,
= 1,2, … , ;
terhadap
0,
= 1,2, … , ,
= 0,
= 1,2, … , ,
( )
( )
,
= 1,2, … , .
Solusi x adalah vektor yang berukuran n dari variabel keputusan =
. Bagian terakhir dari kendala di atas disebut batas-batas variabel,
1, 2, … ,
membatasi setiap variabel keputusan untuk mengambil nilai paling rendah ( )
dan paling besar (�) (Deb 2001).
Weighted sum method
Weighted sum method menggabungkan serangkaian fungsi objektif dalam
satu fungsi objektif dengan mengalikan setiap fungsi objektif dengan bobot yang
disediakan oleh pengguna. Metode ini merupakan pendekatan yang paling
sederhana dan mungkin pendekatan klasik yang paling banyak digunakan.
Besarnya nilai bobot bergantung pada pentingnya setiap fungsi objektif dalam
konteks masalah dan faktor skala. Bobot dari fungsi objektif biasanya dipilih
secara proporsional dengan tujuan yang relatif penting dalam masalah.
Fungsi tujuan komposit F(x) dapat dibentuk dengan menjumlahkan fungsi
objektif yang telah terboboti. Masalah optimasi multi-objektif kemudian
dikonversi menjadi masalah optimasi objektif tunggal sebagai berikut
Meminimumkan/Memaksimumkan
terhadap
dengan
�
=
,
=1
= 1,2, … , ;
= 1,2, … , ;
( )
( )
,
= 1,2, … , ;
adalah bobot dari fungsi objektif ke-m (Deb 2001).
0,
= 0,
3
Pengubahan Tipe Fungsi Objektif
Fungsi objektif yang memaksimumkan/meminimumkan dapat diubah
menjadi fungsi meminimumkan/memaksimumkan dengan mengubah tanda (+
atau −) pada fungsi tersebut. Memaksimumkan fungsi objektif 1 =
sebanding dengan meminimumkan fungsi objektif 2 = −
(Sarker &
Newton 2008).
DESKRIPSI DAN FORMULASI MASALAH
Rumusan Masalah
Masalah penjadwalan mata pelajaran di sekolah berkaitan dengan kendala
kelas, guru, dan mata pelajaran. Pada umumnya, penjadwalan di suatu sekolah
dibuat untuk periode 6 hari kerja dalam seminggu dengan 3 sesi setiap harinya.
Dalam penjadwalan sekolah ini ada beberapa syarat yang harus dipenuhi yaitu:
1 tidak ada guru yang mengajar lebih dari 1 pelajaran dalam satu sesi,
2 setiap mata pelajaran memenuhi jumlah sesi yang ditentukan dalam seminggu,
3 guru hanya mengajar pelajaran yang dikuasainya.
Dalam penjadwalan ini diasumsikan ruangan selalu tersedia.
Model Matematika
Dari rumusan masalah dibuat formulasi dalam bentuk pemrograman integer
taklinear.
Indeks:
Terdapat lima indeks dalam model ini, yaitu:
g = indeks untuk guru,
p = indeks untuk mata pelajaran,
k = indeks untuk kelas,
h = indeks untuk hari,
s = indeks untuk sesi.
Variabel Keputusan:
Misalkan
�
�
1, jika guru
0, lainnya,
mengajar mata pelajaran � di kelas
1, jika mata pelajaran � untuk kelas dijadwalkan di hari
0, lainnya.
sesi
4
Parameter:
Misalkan
�
1, jika guru
0, lainnya,
menguasai mata pelajaran �
bpk = jumlah sesi untuk mata pelajaran p di kelas k,
cps = bobot mata pelajaran p di sesi s. Jika bobotnya kecil maka mata pelajaran
tersebut lebih disukai diselenggarakan di sesi tersebut.
Fungsi Objektif:
Fungsi objektif masalah ini ialah meminimumkan total bobot mata pelajaran,
yaitu:
min
�
Kendala:
1
2
3
4
5
�
�
.
Setiap mata pelajaran harus memenuhi jumlah sesi yang ditetapkan,
=
�
�
,
∀ �, .
Dalam 1 sesi hanya ada 1 guru dan 1 mata pelajaran untuk 1 kelas,
�
�
�
= 1,
�
�
1,
∀ , , .
Setiap guru maksimal hanya mengajar di 1 kelas di tiap sesi,
�
∀ , , .
Hanya terdapat 1 guru di setiap mata pelajaran dan setiap kelas,
�
= 1 ,
∀ �, .
Guru hanya mengajar sesuai dengan keahliannya,
�
�,
∀ , �, .
Ditambahkan dengan
6
Kendala yang terkait dengan mata pelajaran.
7
Kendala khusus yang berkaitan dengan kesediaan guru.
8
Kendala tentang variabel.
5
IMPLEMENTASI MODEL
Kasus 1
SMPIT Nurul Fajar Bogor memiliki 3 kelas, yaitu kelas 1 dengan indeks k =
1, kelas 2 dengan indeks k = 2, dan kelas 3 dengan indeks k = 3. Setiap kelas
memiliki 13 mata pelajaran dan banyak sesi untuk tiap minggu dan bobot di
setiap sesi dapat dilihat pada Tabel 1.
Tabel 1 Mata pelajaran, banyak sesi, dan bobot
Indeks
(p)
Mata
Pelajaran
Singkatan
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Matematika
IPA
Bhs Indonesia
Bhs Inggris
IPS
PKn
Agama
PLH
SBK
Olah Raga
Bhs Arab
Kelas Baca
Komputer
MAT
IPA
IND
ING
IPS
PKN
AGA
PLH
SBK
OR
ARA
BAC
KOM
Jumlah sesi per minggu
Kelas 1
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
Kelas 2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
Kelas 3
3
3
3
3
1
0
1
0
1
1
1
0
1
Sesi 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
3
1
Bobot
Sesi 2 Sesi 3
2
3
2
3
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
3
1
1
1
3
1
1
1
1
1
1
SMPIT Nurul Fajar Bogor memiliki 12 guru dengan bidang keahlian yang
berbeda-beda yang ditunjukkan pada Tabel 2.
Tabel 2 Mata pelajaran yang dikuasai guru
Indeks guru (g)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Mata pelajaran yang dikuasai
Matematika, IPA
Matematika, IPA
Bhs Indonesia, Kelas Baca
Bhs Indonesia, Bhs Inggris
Bhs Inggris
IPS, PLH
PKn
Agama
Olah Raga
Bhs Arab
SBK
Komputer
6
SMPIT Nurul Fajar Bogor memiliki beberapa batasan khusus yaitu:
1
setiap pelajaran di setiap kelas maksimal hanya 1 sesi per hari,
2
pelajaran olahraga tidak diselenggarakan pada hari Senin dan Kamis,
3
setiap guru maksimal hanya mengajar 2 sesi per hari,
4
memperhatikan ketidaksediaan guru di sesi atau hari tertentu,
maka model matematika untuk masalah penjadwalan ini adalah sebagai berikut.
Fungsi objektif dari kasus ini ialah:
13
3
6
3
min
�=1 =1 =1 =1
Kendala-kendalanya ialah
1
�
=
�
∀� = 1,2, … ,13;
,
= 1,2,3.
Dalam 1 sesi hanya ada 1 guru dan 1 mata pelajaran untuk 1 kelas,
12
13
�
=1 �=1
∀
= 1,
�
= 1,2, … ,6;
= 1,2,3;
= 1,2,3.
Setiap guru maksimal hanya mengajar di 1 kelas di tiap sesi,
13
4
.
3
=1 =1
3
�
setiap mata pelajaran harus memenuhi jumlah sesi yang ditetapkan,
6
2
�
3
�=1 =1
�
∀ = 1,2,3, … ,12;
1,
�
= 1,2,3, … ,6; = 1,2,3.
Hanya terdapat 1 guru di setiap mata pelajaran dan setiap kelas,
12
=1
5
6
= 1 ,
�
∀ � = 1,2,3, … ,12;
= 1,2,3.
Guru hanya mengajar sesuai dengan bidang keahliannya,
�
�
�
1,
∀ = 1,2, … ,12; � = 1,2, … ,13;
= 1,2,3.
Setiap pelajaran maksimal hanya 1 sesi per hari di setiap kelas,
3
=1
7
∀� = 1,2, … ,13;
= 1,2,3;
Olahraga tidak dilaksanakan di hari Senin dan Kamis,
3
10 1
=1
= 0,
∀ = 1,2,3.
= 1,2, … ,6.
7
3
10 4
=1
8
= 0,
∀ = 1,2,3.
Setiap guru maksimal mengajar 2 sesi per hari
12
3
3
�=1 =1 =1
9
�
2,
�
∀ = 1,2, … ,12;
= 1,2, … , 6.
Kendala kesediaan guru
Guru 7 tidak bisa mengajar di Sesi 3
7�
� 3 = 0, ∀� = 1,2, … ,13; = 1,2,3; = 1,2, … ,6.
Guru 8 tidak bisa mengajar di Sesi 1
8�
� 1 = 0, ∀� = 1,2, . . ,13; = 1,2,3; = 1,2, … , 6.
10 Kendala biner
∀ = 1,2, … , 12; � = 1,2, … ,13; = 1,2,3.
� ∈ 0,1 ,
∈ 0,1 ,
∀� = 1,2, … ,13; = 1,2,3; = 1,2, … ,6; = 1,2,3.
�
Hasil Kasus 1:
Dengan bantuan LINGO 11.0 didapatkan nilai optimal 56 (dapat dilihat di
Lampiran 1) dengan jadwal yang diperoleh ditunjukkan di Tabel 3.
Tabel 3 Jadwal pelajaran dan guru untuk Kasus 1
Kelas 1
Hari
Senin
Selasa
Rabu
Kamis
Jumat
Sabtu
Sesi
sesi 1
sesi 2
sesi 3
sesi 1
sesi 2
sesi 3
sesi 1
sesi 2
sesi 3
sesi 1
sesi 2
sesi 3
sesi 1
sesi 2
sesi 3
sesi 1
sesi 2
sesi 3
Mapel
ING
PKN
IPS
IPA
ING
IND
IPA
IND
SBK
MAT
KOM
AGA
MAT
PLH
BAC
IPS
OR
ARA
Guru
5
7
6
2
5
4
2
4
11
1
12
8
1
6
3
6
9
10
Kelas 2
Mapel
IPA
SBK
BAC
ING
PLH
IPS
IPA
OR
IPS
MAT
PKN
ARA
KOM
IND
AGA
MAT
ING
IND
Guru
1
11
3
5
6
6
1
9
6
2
7
10
12
4
8
2
5
4
Kelas 3
Mapel
Guru
IPA
2
ING
5
ARA
10
MAT
1
IPA
2
KOM
12
ING
5
MAT
1
IND
4
SBK
11
ING
5
IPS
6
IPA
2
OR
9
IND
4
MAT
1
IND
4
AGA
8
8
Pada Tabel 4 diberikan jumlah sesi per mata pelajaran di setiap minggunya.
Tabel 4 Jumlah sesi per mata pelajaran untuk Kasus 1
Mata pelajaran
Matematika
IPA
Bhs Indonesia
Bhs Inggris
IPS
PKn
Agama
PLH
SBK
Olah Raga
Bhs Arab
Kelas Baca
Komputer
Bobot di sesi
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
3
1
1
1
2
1
3
1
1
1
3
1
1
1
1
1
Terjadwal di sesi
1
2
3
6
1
0
6
1
0
0
3
4
3
4
0
1
0
4
0
2
0
0
0
3
0
2
0
1
1
1
0
3
0
0
0
3
0
0
2
1
1
1
Total
sesi
7
7
7
7
5
2
3
2
3
3
3
2
3
Hasil yang didapat cukup baik karena hanya ada 1 sesi Matematika dan 1
sesi IPA yang dijadwalkan pada sesi dengan bobot 2. Pada Tabel 5 diberikan total
mengajar setiap guru setiap harinya. Dari tabel tersebut dapat dilihat semua
kendala terpenuhi.
Tabel 5 Total mengajar (dalam sesi) setiap guru untuk Kasus 1
Guru (g)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Senin
1
1
1
0
2
1
1
0
0
1
1
0
Selasa
1
2
0
1
2
2
0
0
0
0
0
1
Rabu
2
1
0
2
1
1
0
0
1
0
1
0
Kamis
1
1
0
0
1
1
1
1
0
1
1
1
Jumat
1
1
1
2
0
1
0
1
1
0
0
1
Sabtu
1
1
0
2
1
1
0
1
1
1
0
0
9
Kasus 2
Misalkan SMPIT Nurul Fajar Bogor ingin menambah satu kelas baru untuk
kelas 1 sehingga terdapat 4 kelas dengan kondisi sama seperti pada Kasus 1.
Empat kelas tersebut ialah Kelas 1A ( dengan indeks k=1), kelas 1B (dengan
indeks k=2), Kelas 2 (dengan indeks k=3), dan Kelas 3 (dengan indeks k=4). Ada
aturan baru yang ditambahkan yaitu guru di Kelas 1A harus sama dengan guru di
Kelas 1B untuk suatu mata pelajaran tertentu. Dalam kasus ini akan ditentukan
berapa banyak guru tambahan yang diperlukan dengan penambahan kelas baru ini.
Fungsi objektif pada Kasus 2 ada dua macam:
1
meminimumkan bobot penyelenggaraan mata pelajaran, yaitu
13
4
6
3
min
2
�=1 =1 =1 =1
�
�
,
memaksimumkan banyak guru yang dapat dijadwalkan, yaitu
13
12
4
max
=1 �=1 =1
�
.
Karena fungsi objektif yang kedua dianggap lebih penting dibandingkan
dengan fungsi objektif pertama, maka bobot fungsi objektif kedua diberikan lebih
besar dibandingkan dengan fungsi objektif pertama. Misalkan fungsi objektif
pertama diberi bobot 1 dan fungsi objektif kedua diberi bobot 2, maka fungsi
objektif pada Kasus 2 ialah
13
4
6
3
12
min
1
�=1 =1 =1 =1
�
−2
4
=1 �=1 =1
�
Kendala-kendalanya adalah
Setiap mata pelajaran harus memenuhi jumlah sesi yang ditetapkan
6
3
�
=1 =1
2
�
13
=
�
,
∀� = 1,2, … ,13;
= 1,2,3,4.
Dalam 1 sesi hanya ada 1 mata pelajaran untuk 1 kelas
13
3
= 1,2, … ,6; = 1,2,3.
Setiap guru maksimal hanya mengajar di 1 kelas di tiap sesi
13
4
�=1
= 1 ∀ = 1,2,3,4;
�
4
�=1 =1
�
1,
�
∀ = 1,2, … ,12;
= 1,2, … ,6; = 1,2,3.
Hanya terdapat 1 guru di setiap mata pelajaran dan setiap kelas
12
=1
�
1 ,
∀ � = 1,2, … ,13;
= 1,2,3,4;
10
5
Guru hanya mengajar sesuai dengan bidang keahliannya
�
6
∀ = 1,2, … ,12; � = 1,2, … ,13;
�
= 1,2,3,4.
Setiap pelajaran maksimal hanya 1 sesi per hari
3
=1
7
∀� = 1,2, … ,13;
1,
�
= 1,2,3,4;
= 1,2, … ,6.
Olahraga tidak dilaksanakan di hari Senin dan Kamis
3
8 1
= 0,
∀ = 1,2,3,4.
8 4
= 0,
∀ = 1,2,3,4.
=1
3
=1
8
Setiap guru maksimal mengajar 2 sesi per hari
13
3
3
�=1 =1 =1
�
�
2,
∀ = 1,2, … ,12;
= 1,2, … ,6;
9
Kendala kesediaan guru
10
Guru 7 tidak bisa mengajar di Sesi 3
7�
� 3 = 0, ∀� = 1,2, … ,13; = 1,2,3,4; = 1,2, … ,6.
Guru 8 tidak bisa mengajar di Sesi 1
8�
� 1 = 0, ∀� = 1,2, … ,13; = 1,2,3,4; = 1,2, … ,6.
11
Guru di Kelas 1A dan 1B harus sama
�1 =
� 2 ∀ = 1,2, … ,12; � = 1,2, … ,13.
Kendala biner
∀ = 1,2, … ,12; � = 1,2, … ,13; = 1,2,3,4.
� ∈ 0,1 ,
∈ 0,1 ,
∀� = 1,2, … ,13; = 1,2,3,4; = 1,2, … 6; = 1,2,3.
�
Hasil Kasus 2
Dengan bantuan LINGO 11.0 didapatkan nilai optimal −28 (lihat Lampiran
2 ) dengan jadwal yang ditunjukkan di Tabel 6.
11
Tabel 6 Jadwal pelajaran dan guru untuk Kasus 2
Hari
Senin
Selasa
Rabu
Kamis
Jumat
Sabtu
Sesi
sesi 1
sesi 2
sesi 3
sesi 1
sesi 2
sesi 3
sesi 1
sesi 2
sesi 3
sesi 1
sesi 2
sesi 3
sesi 1
sesi 2
sesi 3
sesi 1
sesi 2
sesi 3
Kelas 1A
Mapel Guru
IPA
1
ING
5
IND
3
MAT
2
SBK
11
IPS
6
MAT
2
AGA
8
BAC
3
PKN
7
KOM
12
IPS
6
IPA
1
IND
3
ARA
10
PLH
6
OR
9
ING
5
Kelas 1B
Mapel Guru
MAT
2
SBK
11
IPS
6
IPA
1
IND
3
KOM
12
PLH
6
OR
9
ING
5
MAT
2
IND
3
AGA
8
ARA
10
PKN
7
ING
5
IPA
1
IPS
6
BAC
3
Kelas 2
Mapel Guru
IND
4
IPS
6
SBK
11
IPS
6
OR
9
AGA
8
MAT
1
ING
4
IND
4
MAT
1
ARA
10
BAC
3
IPA
2
PLH
6
KOM
12
IPA
2
PKN
7
ING
4
Kelas 3
Mapel Guru
MAT
IND
3
ING
5
MAT
AGA
8
ING
5
IPA
ING
5
KOM
12
IPA
IPS
6
SBK
11
IPA
OR
9
IND
3
MAT
IND
3
ARA
10
Ternyata banyaknya guru tidak mencukupi untuk Kasus 2. Dibutuhkan guru
untuk pelajaran Matematika di Kelas 3 dan guru pelajaran IPA di Kelas 3. Untuk
Hasil jadwalnya sangat baik karena semua pelajaran mendapat bobot 1 seperti
yang terlihat pada Tabel 7.
Tabel 7 Jumlah sesi per mata pelajaran untuk Kasus 2
Bobot di sesi
Mapel
Matematika
IPA
Bhs Indonesia
Bhs Inggris
IPS
PKn
Agama
PLH
SBK
Olah Raga
Bhs Arab
Kelas Baca
Komputer
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
3
1
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
3
3
3
1
1
1
1
1
3
1
3
1
1
1
Terjadwal di sesi
1
2
9
0
9
0
1
5
0
3
1
3
1
2
0
2
2
1
0
2
0
4
1
1
0
0
0
1
3
0
0
3
6
3
0
2
0
2
0
2
3
3
Total
sesi
9
9
9
9
7
3
4
3
4
4
4
3
4
12
SIMPULAN
Masalah penjadwalan mata pelajaran di sekolah, khususnya di SMPIT Nurul
Fajar Bogor, dapat diselesaikan dengan pemograman integer taklinear. Masalah
tersebut bisa diselesaikan dengan menggunakan bantuan LINGO 11.0.
Dalam kasus pertama, diperoleh jadwal yang memenuhi semua kendala
yang ada dengan bobot mata pelajaran yang minimum, sedangkan di kasus kedua,
ternyata banyaknya guru tidak memenuhi sehingga diperlukan guru tambahan
untuk pelajaran Matematika dan IPA di kelas 3.
DAFTAR PUSTAKA
Al-Yakob SM, Sherali HD. 2007. A mixed-integer programming approach to a
class timetabling problem: A case study with gender policies and traffic
considerations. Journal of the Operational Research Society. 180:1028-1044
doi: 10.1016/j.ejor.2006.04.035.
Beligiannis GN, Moschopoulos C, Likothanassis SD. 2009. A genetic algorithm
apporoach to school timetabling. Journal of the Operational Research Society.
(60):23-42 doi: 10.1057/palgrave.jors.2602525.
Deb K. 2001. Multi-objective Optimization using Evolutionary Algorithms. Ed
ke-4. New York (US): Duxbury.
Garfinkel RS, Nemhauser GL. 1972. Integer Programming. New York (US):
Wiley.
Papoutsis K, Valouxis C, Housos E. 2003. A column generation approach for the
timetabling problem of Greek high schools. Journal of the Operational
Research Society. (54):230–238 doi:10.1057/palgrave.jors.2601495.
Sarker RA, Newton CS. 2008. Optimization Modelling: A Practical Approach.
(US): CRC Press.
13
LAMPIRAN
lampiran 1 Model pada LINGO 11.0 untuk kasus 1 dan hasilnya
model:
sets:
guru/1..12/;
mapel/1..13/;
!
1. matematika
2. ipa
3. bahasa indonesia
4. bahasa inggris
5. IPS
6. PKn
7. Agama
8. PLH
9. SBK
10.OR
11.bahasa arab
12.kelas baca
13.Komputer
;
kelas/1..3/;
hari/1..6/;
sesi/1..3/;
link1(guru,mapel,kelas):x;
link2(mapel,kelas,hari,sesi):y;
link3(mapel,kelas):b;
link4(kelas,hari,sesi);
link5(guru,hari,sesi);
link6(mapel,kelas,hari);
link7(mapel,sesi):c;
link8(guru,mapel):a;
link9(kelas,hari);
link10(guru,hari);
endsets
data:
!keahlian guru;
a=
1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1;
!jumlah sesi dalam seminggu;
b=
2 2 3
14
2 2 3
2 2 3
2 2 3
2 2 1
1 1 0
1 1 1
1 1 0
1 1 1
1 1 1
1 1 1
1 1 0
1 1 1;
!bobot mata pelajaran per sesi;
c=
1 2 3
1 2 3
1 1 1
1 1 1
1 1 1
1 1 1
1 1 1
1 1 3
1 1 1
2 1 3
1 1 1
3 1 1
1 1 1;
enddata
@for(link10(g,h):@sum(mapel(p):@sum(kelas(k):@sum(sesi(s):x(g,p,k)
*y(p,k,h,s))))
STUDI KASUS DI SMPIT NURUL FAJAR BOGOR
MUHAMMAD IZZUDDIN
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2015
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Penjadwalan Mata
Pelajaran di Sekolah: Studi Kasus di SMPIT Nurul Fajar Bogor adalah benar
karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam
bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang
berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari
penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di
bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Februari 2015
Muhammad Izzuddin
NIM G54080050
ABSTRAK
MUHAMMAD IZZUDDIN. Penjadwalan Mata Pelajaran di Sekolah: Studi Kasus
di SMPIT Nurul Fajar Bogor. Dibimbing oleh FARIDA HANUM dan PRAPTO
TRI SUPRIYO.
Penjadwalan adalah salah satu masalah yang dihadapi oleh banyak lembaga
antara lain sekolah. Penjadwalan secara konvensional seringkali tidak optimal.
Agar diperoleh hasil yang optimal, masalah penjadwalan ini dimodelkan secara
matematis ke dalam pemrograman integer. Karya ilmiah ini membahas masalah
penjadwalan pelajaran sekolah yang diformulasikan ke dalam pemograman
integer taklinear. Model tersebut kemudian diimplementasikan untuk
menyelesaikan masalah penjadwalan di SMPIT Nurul Fajar Bogor. Dengan
software LINGO 11.0 diperoleh solusi optimal berupa jadwal mata pelajaran dan
pengajarnya yang memenuhi semua kendala yang diinginkan.
Kata kunci: pemograman integer taklinear, penjadwalan, mata pelajaran, sekolah.
ABSTRACT
MUMAMMAD IZZUDDIN. School Timetabling: Case Study in SMPIT Nurul
Fajar Bogor. Supervised by FARIDA HANUM and PRAPTO TRI SUPRIYO.
Scheduling is one of the problems faced by many institutions including
schools. However, the conventional scheduling is often sub-optimal. In this work,
the scheduling problem is modeled mathematically using integer programming
approach. In this paper the problem of scheduling of courses was formulated into
integer nonlinear programming. The model is then implemented to solve the
courses scheduling problem in SMPIT Nurul Fajar School Bogor. The computer
software LINGO 11.0 was used to obtain optimal solutions in the form of courses
and satisfying all constraints of subject and teachers’ schedules.
Keywords : integer nonlinear programming, scheduling, courses, school.
PENJADWALAN MATA PELAJARAN DI SEKOLAH:
STUDI KASUS DI SMPIT NURUL FAJAR BOGOR
MUHAMMAD IZZUDDIN
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2015
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala karuniaNya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Penulis bisa menyelesaikan
karya ilmiah ini karena banyak orang yang membantu dan berkontribusi dalam
pembuatan karya ilmiah ini. Oleh karena itu, penulis ingin mengucapkan terima
kasih kepada:
1 Allah SWT atas rahmat dan karunia yang tak terhitung banyaknya,
2 keluarga sebagai pemberi motivasi, semangat, dan doa,
3 semua guru dan staf SMPIT Nurul Fajar Bogor atas bantuan yang
diberikan,
4 Dra Farida Hanum, MSi dan Drs Prapto Tri Supriyo, MKom selaku dosen
pembimbing yang telah meluangkan waktu dan memberikan ilmu,
5 Ruhiyat, SSi MSi selaku dosen penguji yang telah meluangkan waktu dan
memberikan ilmu,
6 semua dosen Departemen Matematika IPB atas ilmu yang diberikan,
7 semua staf Departemen Matematika IPB untuk semua bantuan
administrasi,
8 teman-teman Matematika angkatan 45 atas bantuan, dukungan, dan
doanya,
9 teman-teman angkatan 44, 46, dan 47 yang sudah ikut membantu dan
memberikan doa,
10 semua pihak yang sudah membantu dalam penulisan karya ilmiah ini.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, Februari 2015
Muhammad Izzuddin
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
vi
DAFTAR LAMPIRAN
vi
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan Penelitian
1
TINJAUAN PUSTAKA
2
DESKRIPSI DAN FORMULASI MASALAH
3
Rumusan Masalah
3
Model Matematika
3
IMPLEMENTASI MODEL
5
Kasus 1
5
Kasus 2
9
SIMPULAN
12
DAFTAR PUSTAKA
12
LAMPIRAN
13
RIWAYAT HIDUP
23
DAFTAR TABEL
1 Mata pelajaran, banyak sesi, dan bobot ........................................................... 5
2 Mata pelajaran yang dikuasai guru .................................................................. 5
3 Jadwal pelajaran dan guru untuk Kasus 1 ........................................................ 7
4 Jumlah sesi per mata pelajaran untuk Kasus 1 ................................................ 8
5 Total mengajar (dalam sesi) setiap guru untuk Kasus 1 .................................. 8
6 Jadwal pelajaran dan guru untuk Kasus 2 ...................................................... 11
7 Jumlah sesi per mata pelajaran untuk Kasus 1 .............................................. 11
DAFTAR LAMPIRAN
1 Model pada LINGO 11.0 untuk kasus 1 dan hasilnya ................................... 13
2 Model pada LOINGO 11.0 untuk kasus 2 dan hasilnya ................................ 18
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Penjadwalan adalah masalah yang umum dihadapi oleh banyak lembaga di
dunia. Baik lembaga di bidang akademik, kesehatan, transportasi, dan lain lain.
Bagi institusi yang cukup besar, masalah ini bisa menjadi rumit dan menantang,
karena jadwal yang ditetapkan diharapkan bebas konflik, efisien, dan kadangkadang diperlukan juga yang sifatnya fleksibel.
Setiap lembaga memiliki kendala yang unik, bergantung pada kondisi dan
kebijakannya juga pada ketersediaan sumber daya. Penjadwalan yang baik harus
bisa mengidentifikasi kondisi optimal, yaitu kombinasi antara peristiwa (kursus,
ujian, operasi), sumber daya (guru, pengawas ujian, perawat, dokter), ruang
(ruang kelas, kamar operasi), waktu dan semua kendalanya, yang menghasilkan
tingkat kepuasan preferensi tertinggi.
Ada beberapa cara untuk menyelesaikan masalah penjadwalan tersebut.
Cara yang biasa dilakukan ialah dengan membuat jadwal secara manual. Tetapi
cara itu tidak efektif jika menyangkut banyak data. Cara lain adalah dibuat
menjadi model matematika. Berbagai metode yang pernah dipakai untuk
menyelesaikan masalah penjadwalan antara lain menggunakan algoritme column
generation untuk penjadwalan SMA di Yunani (Papoutsis et al. 2003),
pendekatan algoritme genetika (Beligiannis et al. 2009), dan pemrograman mixinteger untuk penjadwalan di Kuwait University yang ditulis oleh Al-Yakoob dan
Sherali (2007).
Salah satu model matematika yang dapat digunakan untuk menyelesaikan
masalah penjadwalan adalah pemrograman integer taklinear. Pemrograman
taklinear adalah suatu teknik optimasi untuk masalah yang memiliki fungsi
objektif atau kendala taklinear. Tulisan ini akan membahas masalah penjadwalan
pelajaran sekolah dalam pemograman integer taklinear dan menyelesaikannya
dengan mengambil contoh masalah penjadwalan di SMPIT Nurul Fajar Bogor.
.
Tujuan Penelitian
Tujuan dari tulisan ini ialah memodelkan masalah penjadwalan mata
pelajaran dan guru sekolah dengan pemrograman integer taklinear, lalu
mengaplikasikan model tersebut untuk masalah penjadwalan mata pelajaran di
SMPIT Nurul Fajar Bogor dengan meminimumkan bobot mata pelajaran untuk 2
kasus yaitu bila SMP tersebut memiliki:
1
tiga kelas dengan keadaan guru mencukupi,
2
empat kelas dengan keadaan guru tidak mencukupi.
2
TINJAUAN PUSTAKA
Integer Programming
Integer Programming (IP) adalah suatu model pemrograman dengan
variabel yang digunakan berupa integer. Jika semua variabel harus berupa integer,
maka masalah itu dinamakan pure integer programming. Jika hanya sebagian
yang harus berupa integer, maka disebut mixed integer programming. IP dengan
semua variabelnya harus bernilai 0 atau 1 disebut 0-1 IP (Garfinkel & Nemhauser
1972).
Multi-Objective Optimization Problem
Masalah optimasi multi-objektif memiliki sejumlah fungsi objektif yang
harus diminimumkan atau dimaksimumkan. Seperti halnya dalam masalah
optimasi fungsi objektif tunggal, masalah ini juga biasanya memiliki sejumlah
kendala yang harus dipenuhi oleh setiap solusi fisibel. Berikut ini dinyatakan
masalah optimasi multi-objektif dalam bentuk umum:
Meminimumkan/Memaksimumkan
,
= 1,2, … , ;
terhadap
0,
= 1,2, … , ,
= 0,
= 1,2, … , ,
( )
( )
,
= 1,2, … , .
Solusi x adalah vektor yang berukuran n dari variabel keputusan =
. Bagian terakhir dari kendala di atas disebut batas-batas variabel,
1, 2, … ,
membatasi setiap variabel keputusan untuk mengambil nilai paling rendah ( )
dan paling besar (�) (Deb 2001).
Weighted sum method
Weighted sum method menggabungkan serangkaian fungsi objektif dalam
satu fungsi objektif dengan mengalikan setiap fungsi objektif dengan bobot yang
disediakan oleh pengguna. Metode ini merupakan pendekatan yang paling
sederhana dan mungkin pendekatan klasik yang paling banyak digunakan.
Besarnya nilai bobot bergantung pada pentingnya setiap fungsi objektif dalam
konteks masalah dan faktor skala. Bobot dari fungsi objektif biasanya dipilih
secara proporsional dengan tujuan yang relatif penting dalam masalah.
Fungsi tujuan komposit F(x) dapat dibentuk dengan menjumlahkan fungsi
objektif yang telah terboboti. Masalah optimasi multi-objektif kemudian
dikonversi menjadi masalah optimasi objektif tunggal sebagai berikut
Meminimumkan/Memaksimumkan
terhadap
dengan
�
=
,
=1
= 1,2, … , ;
= 1,2, … , ;
( )
( )
,
= 1,2, … , ;
adalah bobot dari fungsi objektif ke-m (Deb 2001).
0,
= 0,
3
Pengubahan Tipe Fungsi Objektif
Fungsi objektif yang memaksimumkan/meminimumkan dapat diubah
menjadi fungsi meminimumkan/memaksimumkan dengan mengubah tanda (+
atau −) pada fungsi tersebut. Memaksimumkan fungsi objektif 1 =
sebanding dengan meminimumkan fungsi objektif 2 = −
(Sarker &
Newton 2008).
DESKRIPSI DAN FORMULASI MASALAH
Rumusan Masalah
Masalah penjadwalan mata pelajaran di sekolah berkaitan dengan kendala
kelas, guru, dan mata pelajaran. Pada umumnya, penjadwalan di suatu sekolah
dibuat untuk periode 6 hari kerja dalam seminggu dengan 3 sesi setiap harinya.
Dalam penjadwalan sekolah ini ada beberapa syarat yang harus dipenuhi yaitu:
1 tidak ada guru yang mengajar lebih dari 1 pelajaran dalam satu sesi,
2 setiap mata pelajaran memenuhi jumlah sesi yang ditentukan dalam seminggu,
3 guru hanya mengajar pelajaran yang dikuasainya.
Dalam penjadwalan ini diasumsikan ruangan selalu tersedia.
Model Matematika
Dari rumusan masalah dibuat formulasi dalam bentuk pemrograman integer
taklinear.
Indeks:
Terdapat lima indeks dalam model ini, yaitu:
g = indeks untuk guru,
p = indeks untuk mata pelajaran,
k = indeks untuk kelas,
h = indeks untuk hari,
s = indeks untuk sesi.
Variabel Keputusan:
Misalkan
�
�
1, jika guru
0, lainnya,
mengajar mata pelajaran � di kelas
1, jika mata pelajaran � untuk kelas dijadwalkan di hari
0, lainnya.
sesi
4
Parameter:
Misalkan
�
1, jika guru
0, lainnya,
menguasai mata pelajaran �
bpk = jumlah sesi untuk mata pelajaran p di kelas k,
cps = bobot mata pelajaran p di sesi s. Jika bobotnya kecil maka mata pelajaran
tersebut lebih disukai diselenggarakan di sesi tersebut.
Fungsi Objektif:
Fungsi objektif masalah ini ialah meminimumkan total bobot mata pelajaran,
yaitu:
min
�
Kendala:
1
2
3
4
5
�
�
.
Setiap mata pelajaran harus memenuhi jumlah sesi yang ditetapkan,
=
�
�
,
∀ �, .
Dalam 1 sesi hanya ada 1 guru dan 1 mata pelajaran untuk 1 kelas,
�
�
�
= 1,
�
�
1,
∀ , , .
Setiap guru maksimal hanya mengajar di 1 kelas di tiap sesi,
�
∀ , , .
Hanya terdapat 1 guru di setiap mata pelajaran dan setiap kelas,
�
= 1 ,
∀ �, .
Guru hanya mengajar sesuai dengan keahliannya,
�
�,
∀ , �, .
Ditambahkan dengan
6
Kendala yang terkait dengan mata pelajaran.
7
Kendala khusus yang berkaitan dengan kesediaan guru.
8
Kendala tentang variabel.
5
IMPLEMENTASI MODEL
Kasus 1
SMPIT Nurul Fajar Bogor memiliki 3 kelas, yaitu kelas 1 dengan indeks k =
1, kelas 2 dengan indeks k = 2, dan kelas 3 dengan indeks k = 3. Setiap kelas
memiliki 13 mata pelajaran dan banyak sesi untuk tiap minggu dan bobot di
setiap sesi dapat dilihat pada Tabel 1.
Tabel 1 Mata pelajaran, banyak sesi, dan bobot
Indeks
(p)
Mata
Pelajaran
Singkatan
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Matematika
IPA
Bhs Indonesia
Bhs Inggris
IPS
PKn
Agama
PLH
SBK
Olah Raga
Bhs Arab
Kelas Baca
Komputer
MAT
IPA
IND
ING
IPS
PKN
AGA
PLH
SBK
OR
ARA
BAC
KOM
Jumlah sesi per minggu
Kelas 1
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
Kelas 2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
Kelas 3
3
3
3
3
1
0
1
0
1
1
1
0
1
Sesi 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
3
1
Bobot
Sesi 2 Sesi 3
2
3
2
3
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
3
1
1
1
3
1
1
1
1
1
1
SMPIT Nurul Fajar Bogor memiliki 12 guru dengan bidang keahlian yang
berbeda-beda yang ditunjukkan pada Tabel 2.
Tabel 2 Mata pelajaran yang dikuasai guru
Indeks guru (g)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Mata pelajaran yang dikuasai
Matematika, IPA
Matematika, IPA
Bhs Indonesia, Kelas Baca
Bhs Indonesia, Bhs Inggris
Bhs Inggris
IPS, PLH
PKn
Agama
Olah Raga
Bhs Arab
SBK
Komputer
6
SMPIT Nurul Fajar Bogor memiliki beberapa batasan khusus yaitu:
1
setiap pelajaran di setiap kelas maksimal hanya 1 sesi per hari,
2
pelajaran olahraga tidak diselenggarakan pada hari Senin dan Kamis,
3
setiap guru maksimal hanya mengajar 2 sesi per hari,
4
memperhatikan ketidaksediaan guru di sesi atau hari tertentu,
maka model matematika untuk masalah penjadwalan ini adalah sebagai berikut.
Fungsi objektif dari kasus ini ialah:
13
3
6
3
min
�=1 =1 =1 =1
Kendala-kendalanya ialah
1
�
=
�
∀� = 1,2, … ,13;
,
= 1,2,3.
Dalam 1 sesi hanya ada 1 guru dan 1 mata pelajaran untuk 1 kelas,
12
13
�
=1 �=1
∀
= 1,
�
= 1,2, … ,6;
= 1,2,3;
= 1,2,3.
Setiap guru maksimal hanya mengajar di 1 kelas di tiap sesi,
13
4
.
3
=1 =1
3
�
setiap mata pelajaran harus memenuhi jumlah sesi yang ditetapkan,
6
2
�
3
�=1 =1
�
∀ = 1,2,3, … ,12;
1,
�
= 1,2,3, … ,6; = 1,2,3.
Hanya terdapat 1 guru di setiap mata pelajaran dan setiap kelas,
12
=1
5
6
= 1 ,
�
∀ � = 1,2,3, … ,12;
= 1,2,3.
Guru hanya mengajar sesuai dengan bidang keahliannya,
�
�
�
1,
∀ = 1,2, … ,12; � = 1,2, … ,13;
= 1,2,3.
Setiap pelajaran maksimal hanya 1 sesi per hari di setiap kelas,
3
=1
7
∀� = 1,2, … ,13;
= 1,2,3;
Olahraga tidak dilaksanakan di hari Senin dan Kamis,
3
10 1
=1
= 0,
∀ = 1,2,3.
= 1,2, … ,6.
7
3
10 4
=1
8
= 0,
∀ = 1,2,3.
Setiap guru maksimal mengajar 2 sesi per hari
12
3
3
�=1 =1 =1
9
�
2,
�
∀ = 1,2, … ,12;
= 1,2, … , 6.
Kendala kesediaan guru
Guru 7 tidak bisa mengajar di Sesi 3
7�
� 3 = 0, ∀� = 1,2, … ,13; = 1,2,3; = 1,2, … ,6.
Guru 8 tidak bisa mengajar di Sesi 1
8�
� 1 = 0, ∀� = 1,2, . . ,13; = 1,2,3; = 1,2, … , 6.
10 Kendala biner
∀ = 1,2, … , 12; � = 1,2, … ,13; = 1,2,3.
� ∈ 0,1 ,
∈ 0,1 ,
∀� = 1,2, … ,13; = 1,2,3; = 1,2, … ,6; = 1,2,3.
�
Hasil Kasus 1:
Dengan bantuan LINGO 11.0 didapatkan nilai optimal 56 (dapat dilihat di
Lampiran 1) dengan jadwal yang diperoleh ditunjukkan di Tabel 3.
Tabel 3 Jadwal pelajaran dan guru untuk Kasus 1
Kelas 1
Hari
Senin
Selasa
Rabu
Kamis
Jumat
Sabtu
Sesi
sesi 1
sesi 2
sesi 3
sesi 1
sesi 2
sesi 3
sesi 1
sesi 2
sesi 3
sesi 1
sesi 2
sesi 3
sesi 1
sesi 2
sesi 3
sesi 1
sesi 2
sesi 3
Mapel
ING
PKN
IPS
IPA
ING
IND
IPA
IND
SBK
MAT
KOM
AGA
MAT
PLH
BAC
IPS
OR
ARA
Guru
5
7
6
2
5
4
2
4
11
1
12
8
1
6
3
6
9
10
Kelas 2
Mapel
IPA
SBK
BAC
ING
PLH
IPS
IPA
OR
IPS
MAT
PKN
ARA
KOM
IND
AGA
MAT
ING
IND
Guru
1
11
3
5
6
6
1
9
6
2
7
10
12
4
8
2
5
4
Kelas 3
Mapel
Guru
IPA
2
ING
5
ARA
10
MAT
1
IPA
2
KOM
12
ING
5
MAT
1
IND
4
SBK
11
ING
5
IPS
6
IPA
2
OR
9
IND
4
MAT
1
IND
4
AGA
8
8
Pada Tabel 4 diberikan jumlah sesi per mata pelajaran di setiap minggunya.
Tabel 4 Jumlah sesi per mata pelajaran untuk Kasus 1
Mata pelajaran
Matematika
IPA
Bhs Indonesia
Bhs Inggris
IPS
PKn
Agama
PLH
SBK
Olah Raga
Bhs Arab
Kelas Baca
Komputer
Bobot di sesi
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
3
1
1
1
2
1
3
1
1
1
3
1
1
1
1
1
Terjadwal di sesi
1
2
3
6
1
0
6
1
0
0
3
4
3
4
0
1
0
4
0
2
0
0
0
3
0
2
0
1
1
1
0
3
0
0
0
3
0
0
2
1
1
1
Total
sesi
7
7
7
7
5
2
3
2
3
3
3
2
3
Hasil yang didapat cukup baik karena hanya ada 1 sesi Matematika dan 1
sesi IPA yang dijadwalkan pada sesi dengan bobot 2. Pada Tabel 5 diberikan total
mengajar setiap guru setiap harinya. Dari tabel tersebut dapat dilihat semua
kendala terpenuhi.
Tabel 5 Total mengajar (dalam sesi) setiap guru untuk Kasus 1
Guru (g)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Senin
1
1
1
0
2
1
1
0
0
1
1
0
Selasa
1
2
0
1
2
2
0
0
0
0
0
1
Rabu
2
1
0
2
1
1
0
0
1
0
1
0
Kamis
1
1
0
0
1
1
1
1
0
1
1
1
Jumat
1
1
1
2
0
1
0
1
1
0
0
1
Sabtu
1
1
0
2
1
1
0
1
1
1
0
0
9
Kasus 2
Misalkan SMPIT Nurul Fajar Bogor ingin menambah satu kelas baru untuk
kelas 1 sehingga terdapat 4 kelas dengan kondisi sama seperti pada Kasus 1.
Empat kelas tersebut ialah Kelas 1A ( dengan indeks k=1), kelas 1B (dengan
indeks k=2), Kelas 2 (dengan indeks k=3), dan Kelas 3 (dengan indeks k=4). Ada
aturan baru yang ditambahkan yaitu guru di Kelas 1A harus sama dengan guru di
Kelas 1B untuk suatu mata pelajaran tertentu. Dalam kasus ini akan ditentukan
berapa banyak guru tambahan yang diperlukan dengan penambahan kelas baru ini.
Fungsi objektif pada Kasus 2 ada dua macam:
1
meminimumkan bobot penyelenggaraan mata pelajaran, yaitu
13
4
6
3
min
2
�=1 =1 =1 =1
�
�
,
memaksimumkan banyak guru yang dapat dijadwalkan, yaitu
13
12
4
max
=1 �=1 =1
�
.
Karena fungsi objektif yang kedua dianggap lebih penting dibandingkan
dengan fungsi objektif pertama, maka bobot fungsi objektif kedua diberikan lebih
besar dibandingkan dengan fungsi objektif pertama. Misalkan fungsi objektif
pertama diberi bobot 1 dan fungsi objektif kedua diberi bobot 2, maka fungsi
objektif pada Kasus 2 ialah
13
4
6
3
12
min
1
�=1 =1 =1 =1
�
−2
4
=1 �=1 =1
�
Kendala-kendalanya adalah
Setiap mata pelajaran harus memenuhi jumlah sesi yang ditetapkan
6
3
�
=1 =1
2
�
13
=
�
,
∀� = 1,2, … ,13;
= 1,2,3,4.
Dalam 1 sesi hanya ada 1 mata pelajaran untuk 1 kelas
13
3
= 1,2, … ,6; = 1,2,3.
Setiap guru maksimal hanya mengajar di 1 kelas di tiap sesi
13
4
�=1
= 1 ∀ = 1,2,3,4;
�
4
�=1 =1
�
1,
�
∀ = 1,2, … ,12;
= 1,2, … ,6; = 1,2,3.
Hanya terdapat 1 guru di setiap mata pelajaran dan setiap kelas
12
=1
�
1 ,
∀ � = 1,2, … ,13;
= 1,2,3,4;
10
5
Guru hanya mengajar sesuai dengan bidang keahliannya
�
6
∀ = 1,2, … ,12; � = 1,2, … ,13;
�
= 1,2,3,4.
Setiap pelajaran maksimal hanya 1 sesi per hari
3
=1
7
∀� = 1,2, … ,13;
1,
�
= 1,2,3,4;
= 1,2, … ,6.
Olahraga tidak dilaksanakan di hari Senin dan Kamis
3
8 1
= 0,
∀ = 1,2,3,4.
8 4
= 0,
∀ = 1,2,3,4.
=1
3
=1
8
Setiap guru maksimal mengajar 2 sesi per hari
13
3
3
�=1 =1 =1
�
�
2,
∀ = 1,2, … ,12;
= 1,2, … ,6;
9
Kendala kesediaan guru
10
Guru 7 tidak bisa mengajar di Sesi 3
7�
� 3 = 0, ∀� = 1,2, … ,13; = 1,2,3,4; = 1,2, … ,6.
Guru 8 tidak bisa mengajar di Sesi 1
8�
� 1 = 0, ∀� = 1,2, … ,13; = 1,2,3,4; = 1,2, … ,6.
11
Guru di Kelas 1A dan 1B harus sama
�1 =
� 2 ∀ = 1,2, … ,12; � = 1,2, … ,13.
Kendala biner
∀ = 1,2, … ,12; � = 1,2, … ,13; = 1,2,3,4.
� ∈ 0,1 ,
∈ 0,1 ,
∀� = 1,2, … ,13; = 1,2,3,4; = 1,2, … 6; = 1,2,3.
�
Hasil Kasus 2
Dengan bantuan LINGO 11.0 didapatkan nilai optimal −28 (lihat Lampiran
2 ) dengan jadwal yang ditunjukkan di Tabel 6.
11
Tabel 6 Jadwal pelajaran dan guru untuk Kasus 2
Hari
Senin
Selasa
Rabu
Kamis
Jumat
Sabtu
Sesi
sesi 1
sesi 2
sesi 3
sesi 1
sesi 2
sesi 3
sesi 1
sesi 2
sesi 3
sesi 1
sesi 2
sesi 3
sesi 1
sesi 2
sesi 3
sesi 1
sesi 2
sesi 3
Kelas 1A
Mapel Guru
IPA
1
ING
5
IND
3
MAT
2
SBK
11
IPS
6
MAT
2
AGA
8
BAC
3
PKN
7
KOM
12
IPS
6
IPA
1
IND
3
ARA
10
PLH
6
OR
9
ING
5
Kelas 1B
Mapel Guru
MAT
2
SBK
11
IPS
6
IPA
1
IND
3
KOM
12
PLH
6
OR
9
ING
5
MAT
2
IND
3
AGA
8
ARA
10
PKN
7
ING
5
IPA
1
IPS
6
BAC
3
Kelas 2
Mapel Guru
IND
4
IPS
6
SBK
11
IPS
6
OR
9
AGA
8
MAT
1
ING
4
IND
4
MAT
1
ARA
10
BAC
3
IPA
2
PLH
6
KOM
12
IPA
2
PKN
7
ING
4
Kelas 3
Mapel Guru
MAT
IND
3
ING
5
MAT
AGA
8
ING
5
IPA
ING
5
KOM
12
IPA
IPS
6
SBK
11
IPA
OR
9
IND
3
MAT
IND
3
ARA
10
Ternyata banyaknya guru tidak mencukupi untuk Kasus 2. Dibutuhkan guru
untuk pelajaran Matematika di Kelas 3 dan guru pelajaran IPA di Kelas 3. Untuk
Hasil jadwalnya sangat baik karena semua pelajaran mendapat bobot 1 seperti
yang terlihat pada Tabel 7.
Tabel 7 Jumlah sesi per mata pelajaran untuk Kasus 2
Bobot di sesi
Mapel
Matematika
IPA
Bhs Indonesia
Bhs Inggris
IPS
PKn
Agama
PLH
SBK
Olah Raga
Bhs Arab
Kelas Baca
Komputer
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
3
1
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
3
3
3
1
1
1
1
1
3
1
3
1
1
1
Terjadwal di sesi
1
2
9
0
9
0
1
5
0
3
1
3
1
2
0
2
2
1
0
2
0
4
1
1
0
0
0
1
3
0
0
3
6
3
0
2
0
2
0
2
3
3
Total
sesi
9
9
9
9
7
3
4
3
4
4
4
3
4
12
SIMPULAN
Masalah penjadwalan mata pelajaran di sekolah, khususnya di SMPIT Nurul
Fajar Bogor, dapat diselesaikan dengan pemograman integer taklinear. Masalah
tersebut bisa diselesaikan dengan menggunakan bantuan LINGO 11.0.
Dalam kasus pertama, diperoleh jadwal yang memenuhi semua kendala
yang ada dengan bobot mata pelajaran yang minimum, sedangkan di kasus kedua,
ternyata banyaknya guru tidak memenuhi sehingga diperlukan guru tambahan
untuk pelajaran Matematika dan IPA di kelas 3.
DAFTAR PUSTAKA
Al-Yakob SM, Sherali HD. 2007. A mixed-integer programming approach to a
class timetabling problem: A case study with gender policies and traffic
considerations. Journal of the Operational Research Society. 180:1028-1044
doi: 10.1016/j.ejor.2006.04.035.
Beligiannis GN, Moschopoulos C, Likothanassis SD. 2009. A genetic algorithm
apporoach to school timetabling. Journal of the Operational Research Society.
(60):23-42 doi: 10.1057/palgrave.jors.2602525.
Deb K. 2001. Multi-objective Optimization using Evolutionary Algorithms. Ed
ke-4. New York (US): Duxbury.
Garfinkel RS, Nemhauser GL. 1972. Integer Programming. New York (US):
Wiley.
Papoutsis K, Valouxis C, Housos E. 2003. A column generation approach for the
timetabling problem of Greek high schools. Journal of the Operational
Research Society. (54):230–238 doi:10.1057/palgrave.jors.2601495.
Sarker RA, Newton CS. 2008. Optimization Modelling: A Practical Approach.
(US): CRC Press.
13
LAMPIRAN
lampiran 1 Model pada LINGO 11.0 untuk kasus 1 dan hasilnya
model:
sets:
guru/1..12/;
mapel/1..13/;
!
1. matematika
2. ipa
3. bahasa indonesia
4. bahasa inggris
5. IPS
6. PKn
7. Agama
8. PLH
9. SBK
10.OR
11.bahasa arab
12.kelas baca
13.Komputer
;
kelas/1..3/;
hari/1..6/;
sesi/1..3/;
link1(guru,mapel,kelas):x;
link2(mapel,kelas,hari,sesi):y;
link3(mapel,kelas):b;
link4(kelas,hari,sesi);
link5(guru,hari,sesi);
link6(mapel,kelas,hari);
link7(mapel,sesi):c;
link8(guru,mapel):a;
link9(kelas,hari);
link10(guru,hari);
endsets
data:
!keahlian guru;
a=
1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1;
!jumlah sesi dalam seminggu;
b=
2 2 3
14
2 2 3
2 2 3
2 2 3
2 2 1
1 1 0
1 1 1
1 1 0
1 1 1
1 1 1
1 1 1
1 1 0
1 1 1;
!bobot mata pelajaran per sesi;
c=
1 2 3
1 2 3
1 1 1
1 1 1
1 1 1
1 1 1
1 1 1
1 1 3
1 1 1
2 1 3
1 1 1
3 1 1
1 1 1;
enddata
@for(link10(g,h):@sum(mapel(p):@sum(kelas(k):@sum(sesi(s):x(g,p,k)
*y(p,k,h,s))))