Penjadwalan mata kuliah menggunakan integer nonlinear programming: studi kasus di Bina Sarana Informatika Bogor
ABSTRACT
ERLIYANA. Courses Scheduling Using Integer Nonlinear Programming. A Case Study of Bina
Sarana Informatika Bogor. Supervised by PRAPTO TRI SUPRIYO and FARIDA HANUM.
This research aims to formulate courses scheduling based on lecturers’ and students’
preferences and other constraints. The model used is Integer Nonlinear Programming (INLP), with
lecturers’ and students’ preferences are represented by course weights. The smaller weights of
subjects indicate that their preferences are more prefered. This model is implemented to schedule
courses of 5th semester classes at the Academy of Bina Sarana Informatika Bogor. The solution of
this model is carried out using Lingo 8.0. The result shows that the schedule fulfill 98,57%
preferences of regular students, 100% of extension students, and 100% of lecturers.
ABSTRAK
ERLIYANA. Penjadwalan Mata Kuliah Menggunakan Integer Nonlinear Programming. Studi
Kasus di Bina Sarana Informatika Bogor. Dibimbing Oleh PRAPTO TRI SUPRIYO dan
FARIDA HANUM.
Tujuan penelitian ini adalah membuat model penjadwalan mata kuliah berdasarkan preferensi
dosen dan mahasiswa dan memenuhi berbagai kendala lain. Model yang digunakan adalah Integer
Nonlinear Programming (INLP), sedangkan preferensi dosen dan mahasiswa direpresentasikan
dengan suatu bobot. Bobot mata kuliah yang lebih kecil menandakan bahwa preferensinya lebih
diutamakan. Model penjadwalan yang telah disusun diimplementasikan untuk menyusun jadwal
mata kuliah semester 5 di Akademi Bina Sarana Informatika. Solusi yang diperoleh dari
penyelesaian model dengan menggunakan Lingo 8.0 untuk studi kasus yang dilakukan adalah
jadwal mata kuliah yang memenuhi 98,57% keinginan mahasiswa reguler, 100% keinginan
mahasiswa ekstensi, dan 100% keinginan dosen.
1
I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Salah satu bagian penting yang tidak dapat
dipisahkan dalam sekolah tinggi dan
universitas adalah masalah penjadwalan mata
kuliah dengan kendala waktu yang diinginkan
(preferensi) dosen, mahasiswa, dan banyaknya
ruangan yang terbatas. Oleh sebab itu perlu
dibuat sebuah penjadwalan mata kuliah yang
memenuhi semua kendala dan memuaskan
semua pihak.
Bina Sarana Informatika (BSI) merupakan
salah
satu
perguruan
tinggi
yang
menyelenggarakan program regular dan
ekstensi. Program regular diselenggarakan
pada waktu pagi atau siang hari, sedangkan
program ekstensi diselenggarakan pada waktu
sore atau malam hari.
Setiap mahasiswa dan dosen mempunyai
preferensi hari dan periode waktu dalam
pelaksanaan kuliah. Atas dasar ini, masalah
penjadwalan mata kuliah akan dibuat.
Permasalahan penjadwalan mata kuliah ini
dapat dimodelkan sebagai masalah Integer
Nonlinear Programming (INLP). INLP adalah
suatu model pemrograman matematika
dimana variabel keputusan berupa bilangan
integer dengan fungsi objektif atau
kendalanya nonlinear. Tulisan ini merupakan
rekontruksi dari artikel A 0-1 integer
programming approach to a university
timetabling problem yang ditulis oleh M Akif
Bakir dan Cihan Askop.
1.2 Tujuan
Tujuan dari karya ilmiah ini adalah
memodelkan masalah penjadwalan mata
kuliah yang meminimumkan ketidakpuasan
mahasiswa dan dosen di Bina Sarana
Informatika (BSI) Bogor ke dalam bentuk
INLP. Selanjutnya model diselesaikan dengan
bantuan software LINGO 8.0.
II LANDASAN TEORI
Berikut ini akan dijelaskan definisi dan
teori yang terkait dengan Integer Nonlinear
Programming (INLP).
2.1 Pemrograman Linear
Fungsi linear dan pertidaksamaan linear
merupakan salah satu konsep dasar yang harus
dipahami terkait dengan konsep pemrograman
linear.
Definisi 1 (Fungsi Linear)
dalam
Suatu fungsi
f ( x1 , x 2 ,..., x n )
variabel-variabel x1 , x2 ,..., xn adalah suatu
fungsi linear jika dan hanya jika untuk suatu
himpunan
konstanta
c1 , c2 ,..., cn ,
f ( x1 , x 2 ,..., x n ) = c1 x1 + c 2 x 2 + ... + c n x n .
(Winston 2004)
Sebagai contoh,
f ( x1 , x2 ) = 3x1 + 4 x2
merupakan
fungsi
linear,
sementara
f ( x1 , x2 ) = x12 x 22 bukan fungsi linear.
Definisi 2 (Pertidaksamaan dan Persamaan
Linear)
Untuk
sembarang
fungsi
linear
f ( x1 , x 2 ,..., x n ) dan sembarang bilangan b ,
pertidaksamaan
atau
f ( x1 , x 2 ,..., x n ) ≤ b
f ( x1 , x 2 ,..., x n ) ≥ b adalah pertidaksamaan
linear.
Misalkan b sembarang bilangan, suatu
persamaan f ( x1 , x 2 ,..., x n ) = b merupakan
persamaan linear.
(Winston 2004)
Pemrograman linear (PL) atau linear
programming (LP) adalah suatu masalah
optimisasi yang memenuhi ketentuanketentuan sebagai berikut:
a) Tujuan
masalah
tersebut
adalah
memaksimumkan atau meminimumkan
suatu fungsi linear dari sejumlah variabel
keputusan.
Fungsi
yang
akan
dimaksimumkan atau diminimumkan ini
disebut fungsi objektif.
b) Nilai variabel-variabel keputusannya harus
memenuhi suatu himpunan kendala. Setiap
kendala harus berupa persamaan linear
atau pertidaksamaan linear.
c) Ada pembatasan tanda untuk setiap
variabel dalam masalah ini. Untuk
sembarang variabel xi , pembatasan tanda
menentukan xi harus taknegatif ( xi ≥ 0)
atau tidak dibatasi tandanya (unrestricted
in sign).
(Winston 2004)
1
I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Salah satu bagian penting yang tidak dapat
dipisahkan dalam sekolah tinggi dan
universitas adalah masalah penjadwalan mata
kuliah dengan kendala waktu yang diinginkan
(preferensi) dosen, mahasiswa, dan banyaknya
ruangan yang terbatas. Oleh sebab itu perlu
dibuat sebuah penjadwalan mata kuliah yang
memenuhi semua kendala dan memuaskan
semua pihak.
Bina Sarana Informatika (BSI) merupakan
salah
satu
perguruan
tinggi
yang
menyelenggarakan program regular dan
ekstensi. Program regular diselenggarakan
pada waktu pagi atau siang hari, sedangkan
program ekstensi diselenggarakan pada waktu
sore atau malam hari.
Setiap mahasiswa dan dosen mempunyai
preferensi hari dan periode waktu dalam
pelaksanaan kuliah. Atas dasar ini, masalah
penjadwalan mata kuliah akan dibuat.
Permasalahan penjadwalan mata kuliah ini
dapat dimodelkan sebagai masalah Integer
Nonlinear Programming (INLP). INLP adalah
suatu model pemrograman matematika
dimana variabel keputusan berupa bilangan
integer dengan fungsi objektif atau
kendalanya nonlinear. Tulisan ini merupakan
rekontruksi dari artikel A 0-1 integer
programming approach to a university
timetabling problem yang ditulis oleh M Akif
Bakir dan Cihan Askop.
1.2 Tujuan
Tujuan dari karya ilmiah ini adalah
memodelkan masalah penjadwalan mata
kuliah yang meminimumkan ketidakpuasan
mahasiswa dan dosen di Bina Sarana
Informatika (BSI) Bogor ke dalam bentuk
INLP. Selanjutnya model diselesaikan dengan
bantuan software LINGO 8.0.
II LANDASAN TEORI
Berikut ini akan dijelaskan definisi dan
teori yang terkait dengan Integer Nonlinear
Programming (INLP).
2.1 Pemrograman Linear
Fungsi linear dan pertidaksamaan linear
merupakan salah satu konsep dasar yang harus
dipahami terkait dengan konsep pemrograman
linear.
Definisi 1 (Fungsi Linear)
dalam
Suatu fungsi
f ( x1 , x 2 ,..., x n )
variabel-variabel x1 , x2 ,..., xn adalah suatu
fungsi linear jika dan hanya jika untuk suatu
himpunan
konstanta
c1 , c2 ,..., cn ,
f ( x1 , x 2 ,..., x n ) = c1 x1 + c 2 x 2 + ... + c n x n .
(Winston 2004)
Sebagai contoh,
f ( x1 , x2 ) = 3x1 + 4 x2
merupakan
fungsi
linear,
sementara
f ( x1 , x2 ) = x12 x 22 bukan fungsi linear.
Definisi 2 (Pertidaksamaan dan Persamaan
Linear)
Untuk
sembarang
fungsi
linear
f ( x1 , x 2 ,..., x n ) dan sembarang bilangan b ,
pertidaksamaan
atau
f ( x1 , x 2 ,..., x n ) ≤ b
f ( x1 , x 2 ,..., x n ) ≥ b adalah pertidaksamaan
linear.
Misalkan b sembarang bilangan, suatu
persamaan f ( x1 , x 2 ,..., x n ) = b merupakan
persamaan linear.
(Winston 2004)
Pemrograman linear (PL) atau linear
programming (LP) adalah suatu masalah
optimisasi yang memenuhi ketentuanketentuan sebagai berikut:
a) Tujuan
masalah
tersebut
adalah
memaksimumkan atau meminimumkan
suatu fungsi linear dari sejumlah variabel
keputusan.
Fungsi
yang
akan
dimaksimumkan atau diminimumkan ini
disebut fungsi objektif.
b) Nilai variabel-variabel keputusannya harus
memenuhi suatu himpunan kendala. Setiap
kendala harus berupa persamaan linear
atau pertidaksamaan linear.
c) Ada pembatasan tanda untuk setiap
variabel dalam masalah ini. Untuk
sembarang variabel xi , pembatasan tanda
menentukan xi harus taknegatif ( xi ≥ 0)
atau tidak dibatasi tandanya (unrestricted
in sign).
(Winston 2004)
2
Suatu PL mempunyai bentuk standar seperti
yang didefinisikan sebagai berikut.
Definisi 3 (Bentuk Standar PL)
Suatu PL dikatakan berbentuk standar jika
berbentuk:
min z = cT x
terhadap Ax = b
(1)
x≥0
dengan x dan c berupa vektor berukuran n,
vektor b berukuran m, sedangkan A berupa
matriks berukuran m × n yang disebut juga
matriks kendala.
(Nash & Sofer 1996)
Sebagai catatan, yang dimaksud dengan
vektor berukuran n adalah vektor yang
memiliki dimensi (ukuran) n × 1.
Solusi Pemrograman Linear
Suatu masalah PL dapat diselesaikan
dalam berbagai teknik, salah satunya adalah
metode simpleks. Metode ini dapat
menghasilkan suatu solusi optimum bagi
masalah PL dan telah dikembangkan oleh
Dantzig sejak tahun 1947, dan dalam
perkembangannya merupakan metode yang
paling umum digunakan untuk menyelesaikan
masalah PL. Metode ini berupa metode iteratif
untuk menyelesaikan masalah PL berbentuk
standar.
Pada masalah PL (1), vektor x yang
memenuhi kendala Ax = b disebut solusi PL
(1). Misalkan matriks A dinyatakan sebagai
A = ( B N ) , dengan B adalah matriks
taksingular berukuran m × m yang elemennya
berupa koefisien variabel basis dan N
merupakan matriks berukuran m × (n − m)
yang elemen-elemennya berupa koefisien
variabel nonbasis pada matriks kendala.
Dalam hal ini matriks B disebut matriks basis
untuk PL (1).
Misalkan x dinyatakan sebagai vektor
⎛x ⎞
x = ⎜ B ⎟ , dengan xB adalah vektor variabel
⎝ xN ⎠
basis dan x N adalah vektor variabel
nonbasis, maka Ax = b dapat dinyatakan
⎛x ⎞
sebagai Ax = ( B N ) ⎜ B ⎟
⎝ xN ⎠
= BxB + NxN = b.
(2)
Karena matriks B adalah matriks taksingular,
maka B memiliki invers, sehingga dari (2)
x B dapat dinyatakan sebagai:
x B = B -1b − B -1 Nx N .
Kemudian, fungsi objektifnya
menjadi:
T
(3)
berubah
T
min z = c B x B + c N x N .
Definisi 4 (Daerah Fisibel)
Daerah fisibel suatu masalah PL adalah
himpunan semua titik yang memenuhi semua
kendala dan pembatasan tanda pada masalah
PL tersebut.
(Winston 2004)
Definisi 5 (Solusi Basis)
Solusi dari suatu masalah PL disebut
solusi basis jika memenuhi syarat berikut:
i. solusi tersebut memenuhi kendala pada
masalah PL;
ii. kolom-kolom dari matriks kendala yang
berpadanan dengan komponen taknol dari
solusi tersebut adalah bebas linear.
(Nash & Sofer 1996)
Definisi 6 (Solusi Basis Fisibel)
Vektor x disebut solusi basis fisibel jika x
merupakan solusi basis dan x ≥ 0.
(Nash & Sofer 1996)
Ilustrasi solusi basis dan solusi basis fisibel
diberikan dalam Contoh 1.
Contoh 1
Misalkan diberikan masalah PL berikut:
min z = −3 x1 − 2 x2 ,
− 2 x1 + x2 + x3 = 3,
terhadap
− x1 + 2 x2 + x4 = 8,
(4)
x1 + x5 = 5,
x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ≥ 0.
Dari PL tersebut diperoleh:
⎛ −2 1 1 0 0 ⎞
⎛ 3⎞
A = ⎜ −1 2 0 1 0 ⎟ , b = ⎜ 8 ⎟ .
⎜
⎝1
⎟
0 0 0 1⎠
⎜ ⎟
⎝ 5⎠
Misalkan dipilih
x B = ( x3
x4
x5 )
T
dan x N = ( x1
maka matriks basisnya adalah
x2 )
T
,
3
⎛1 0 0⎞
⎛1
-1 ⎜
⎜
⎟
B= 0 1 0 , B = 0
⎜
⎟
⎜
⎝0 0 1⎠
⎝0
⎛ -2 1 ⎞
N = ⎜ -1 2 ⎟
⎜
⎟
⎝1 0 ⎠
cTB = (3 8 5) ,
cTN = ( 0
Dengan menggunakan
tersebut, diperoleh
x N = ( 0 0)
T
0 0⎞
1 0⎟ ,
⎟
0 1⎠
0) .
matriks
basis
,
x B = B b = ( 3 8 5)
-1
T
Definisi 8 (Pemrograman Linear Relaksasi)
Pemrograman linear relaksasi atau sering
disebut PL-relaksasi merupakan suatu
pemrograman linear yang diperoleh dari suatu
IP dengan menghilangkan kendala integer
atau kendala 0-1 pada setiap variabelnya.
Untuk
masalah
maksimisasi,
nilai
optimum fungsi objektif PL-relaksasi lebih
besar atau sama dengan nilai optimum fungsi
objektif IP, sedangkan untuk masalah
minimisasi, nilai optimum fungsi objektif PLrelaksasi lebih kecil atau sama dengan nilai
optimum fungsi objektif IP.
(Winston 2004)
(5)
z = cTB B -1b = −25
Solusi (5) merupakan solusi basis, karena
memenuhi kendala pada masalah PL (4) dan
kolom-kolom pada matriks kendala yang
berpadanan dengan komponen taknol dari (5),
yaitu B bebas linear (kolom yang satu bukan
merupakan kelipatan dari kolom yang lain).
Solusi (5) juga merupakan solusi basis fisibel,
karena nilai-nilai variabelnya lebih dari atau
sama dengan nol.
Hal yang juga penting dalam konsep
pemrograman linear untuk model ini adalah
daerah fisibel dan solusi optimum yang
didefinisikan sebagai berikut.
Definisi 7 (Solusi Optimum)
Untuk masalah maksimisasi, solusi
optimum suatu PL adalah suatu titik dalam
daerah fisibel dengan nilai fungsi objektif
terbesar. Untuk masalah minimisasi, solusi
optimum suatu PL adalah suatu titik dalam
daerah fisibel dengan nilai fungsi objektif
terkecil.
(Winston 2004)
2.2 Integer Programming
Integer
programming
(IP)
atau
pemrograman integer adalah suatu model
pemrograman linear dengan variabel yang
digunakan berupa bilangan bulat (integer).
Jika semua variabel harus berupa integer,
maka masalah tersebut dinamakan pure
integer programming. Jika hanya sebagian
yang harus berupa integer, maka disebut
mixed integer programming (MIP). IP dengan
semua variabelnya harus bernilai 0 atau 1
disebut 0-1 IP.
(Garfinkel & Nemhauser 1972)
2.3 Nonlinear Programming
Model nonlinear programming (NLP)
meliputi pengoptimuman suatu kondisi
berikut :
a) fungsi objektif nonlinear terhadap kendala
linear,
b) fungsi objektif nonlinear terhadap kendala
nonlinear,
c) fungsi
objektif
nonlinear
dan
takberkendala.
(Sharma 2006)
Definisi 9 (bentuk umum suatu NLP)
Bentuk
umum
suatu
nonlinear
programming adalah :
max (atau min) z = f(x1, x2, ..., xn)
terhadap kendala:
g1(x1, x2, ..., xn) (≤, =, ≥) b1
g2(x1, x2, ..., xn) (≤, =, ≥) b2
M
gm(x1, x2, ..., xn) (≤, =, ≥) bm
(6)
Komponen x1, x2, ..., xn merupakan variabel
keputusan dan b1, b2, ..., bm adalah konstanta.
f(x1, x2, ..., xn) adalah fungsi objektif dan
gj(x1, x2, ..., xn) menyatakan fungsi-fungsi
kendala persamaan atau pertaksamaan, dengan
j = 1, 2, …, m. Jika bentuk umum memiliki
kendala, maka masalah (6) dinamakan
masalah nonlinear programming berkendala.
Jika bentuk umum tidak memiliki kendala,
maka masalah (6) dinamakan masalah
nonlinear programming takberkendala.
(Winston 2004)
2.3.1 Konsep Dasar NLP
Untuk menyelesaikan suatu masalah
nonlinear programming diperlukan konsep
4
dasar, yaitu gradien dan matriks Hesse fungsi
banyak variabel.
Vektor Gradien dan Matriks Hesse
Misalkan f adalah fungsi dari n variabel
x1 , x2 ,..., xn (biasa
dituliskan
dengan
f ( x ) = f ( x1 , x2 ,..., xn ) dan terdiferensialkan
dua kali secara kontinu, dan dinyatakan
dengan f ∈ C 2 . Untuk f ∈ C 2 didefinisikan
vektor gradien fungsi f di titik x adalah
⎛ ∂f
⎞
⎜ ∂x (x) ⎟
⎜ 1
⎟
⎜ ∂f
⎟
( x) ⎟
⎜
∇f (x) = ⎜ ∂x2
⎟
⎜ M ⎟
⎜
⎟
⎜ ∂f (x) ⎟
⎜ ∂x
⎟
⎝ n
⎠
Jika fungsi terdiferensialkan secara kontinu
dua kali maka di titik x terdapat matriks
turunan parsial yang disebut matriks Hesse
(Hessian matrix)
⎧⎪ ∂ 2 f (x) ⎫⎪
2
H ( x) = ⎨
⎬ = ∇ f ( x)
x
x
∂
∂
⎩⎪ i j ⎭⎪
⎛ ∂ f (x)
⎜
2
⎜ ∂x1
⎜ 2
⎜ ∂ f (x)
= ⎜ ∂x2 ∂x1
⎜
⎜ M
⎜ 2
⎜ ∂ f (x)
⎜
⎝ ∂xn ∂x1
2
∂ f ( x)
∂ f ( x) ⎞
L
⎟
∂x1∂x2
∂x1∂xn ⎟
⎟
∂ 2 f ( x)
∂ 2 f ( x) ⎟
K
∂x2 ∂xn ⎟
∂x2 2
⎟
M
O
M ⎟
⎟
∂ 2 f ( x)
∂ 2 f ( x) ⎟
L
∂xn ∂x2
∂xn 2 ⎠⎟
2
2
2.3.2 Fungsi Konveks dan Fungsi Konkaf
Definisi 10 (Fungsi Konveks dan Konkaf)
Fungsi f dikatakan fungsi konveks pada
selang I jika hanya jika
f (λ x1 + (1 − λ ) x2 ) ≤ λ f ( x1 ) + (1 − λ ) f ( x2 ),
x1 , x2 ∈ I
dan
untuk
untuk
setiap
setiap 0 ≤ λ ≤ 1 .
Fungsi f dikatakan fungsi konkaf pada
selang I jika hanya jika
f (λ x1 + (1 − λ ) x2 ) ≥ λ f ( x1 ) + (1 − λ ) f ( x2 ),
untuk
setiap
x1 , x2 ∈ I
dan
untuk
setiap 0 ≤ λ ≤ 1 .
(Ecker & Kupferschmid 1998)
2.3.3 Pengoptimuman Berkendala
Metode yang dapat digunakan dalam
menyelesaikan pengoptimuman berkendala di
antaranya adalah metode iteratif (metode
penalti) dan metode analitik (pengali
Lagrange dan kondisi Karush-Kuhn-Tucker).
Di bawah ini akan dibahas salah satu metode
penyelesaian
untuk
pengoptimuman
berkendala.
Kondisi Karush-Kuhn-Tucker (KKT)
Misalkan
diberikan
pengoptimuman
kendala pertidaksamaan, maka salah satu
alternatif penyelesaian adalah dengan
mengubah semua pertaksamaan menjadi
persamaan dengan menambah variabel
tambahan, seperti:
g ( x) ≤ 0 → g ( x) + y = 0
Namun dengan cara ini tidak efektif jika
terlalu banyak kendala yang harus diubah
karena mengakibatkan bertambah banyak
variabel keputusan yang harus dilibatkan.
Teknik lain untuk menyelesaikan masalah
tersebut adalah dengan menggunakan kondisi
Karush-Kuhn-Tucker.
Misalkan diberikan masalah pengoptimuman:
min f ( x)
… (8)
terhadap g j ( x ) = 0, j = 1, 2, ..., m − 1
g j ( x ) ≤ 0, j = m, ..., p dan x ∈ R
n
dengan f dan gj merupakan fungsi-fungsi yang
mempunyai turunan pertama yang kontinu.
Didefinisikan fungsi Lagrange
m
L(x,λ) = f(x) +
∑λ g
j =1
j
j
( x)
Karush (1939) dan Kuhn dan Tucker (1951)
secara terpisah menurunkan syarat perlu yang
harus dipenuhi oleh solusi (minimizer) x* dari
masalah (8), yang disebut kondisi KKT, yaitu
n
terdapat λ * ∈ R sehingga:
m
∂g j
∂f
(x*) + ∑ λ *j
(x*) = 0, i = 1, 2,..., l
1.
∂xi
∂xi
j =1
2. g j (x*) ≤ 0, j = m,..., p
3. λ *j g j (x*) = 0, j = m,..., p
4. λ *j ≥ 0, j = m,..., p
dengan λ * pengali Lagrange. Kondisi di atas
dapat menjadi syarat cukup untuk strong
global minimizer x* jika f dan gj merupakan
fungsi konveks.
(Snyman 2005)
2.4 Integer Nonlinear Programming
Model integer nonlinear programming
(INLP) merupakan suatu model pemrograman
matematika di mana variabel keputusan
5
berupa bilangan integer dengan fungsi
objektif atau kendalanya nonlinear.
(Ecker & Kupferschmid 1998)
Bentuk umum dari masalah
nonlinear programming (INLP)
sebagai berikut:
min f ( x)
integer
adalah
terhadap gi (x) ≤ bi , i = 1, 2,..., m (9)
hk (x) = ck , k = 1, 2,..., l
n
x ∈ X ⊆ Z
dengan f ( x ) , gi (x) , hk (x) merupakan fungsi
n
n
bilangan real pada R dan Z merupakan
n
himpunan nilai-nilai integer di R .
x° Î X adalah solusi fisibel pada masalah (9)
jika g i ( x°) £ bi , untuk semua i = 1,..., m dan
hk ( x°) = ck , untuk semua k = 1,..., l . Sebuah
solusi fisibel x* dinamakan solusi optimal
pada masalah (9) jika f ( x*) £ f ( x ) untuk
semua solusi fisibel x pada masalah (9).
Setiap
menyelesaikan
masalah
INLP
dilakukan relaksasi untuk melepaskan nilai x
yang bernilai integer. Penyelesaian masalah
relaksasi pada nonlinear programming, di
antaranya menggunakan kondisi Karush Kuhn
Tucker (KKT) dan metode global descent.
2.5 Metode Branch-and-Bound
Dalam penulisan karya ilmiah ini, untuk
memperoleh solusi optimum dari masalah
INLP digunakan software LINGO 8.0 yaitu
sebuah program yang didesain untuk
menentukan solusi model linear, nonlinear,
dan optimisasi integer. Software LINGO 8.0
ini menggunakan metode branch and bound
untuk menyelesaikan masalah IP atau INLP.
Prinsip dasar metode branch and bound
adalah memecah daerah fisibel dari masalah
(9) dengan memartisi ruang pencarian,
dilakukan dengan membagi daerah fisibel ke
dalam p himpunan bagian X1, X2,…, Xp
dengan p ≥ 2 .
• Branch
Branching (pencabangan) adalah proses
membagi-bagi
permasalahan
menjadi
subproblem-subproblem
yang
mungkin
mengarah ke solusi.
• Bound
Bounding (pembatasan) adalah suatu
proses untuk mencari atau menghitung batas
atas (dalam masalah minimisasi) dan batas
bawah (dalam masalah maksimisasi) untuk
solusi optimum pada subproblem yang
mengarah ke solusi.
Metode branch-and-bound untuk masalah
minimisasi
diawali
dengan
membuat
subproblem-subproblem. Sebuah subproblem
pada node i, (P(Xi)), i=1,…, p adalah bentuk
dari masalah (9) dengan menggantikan X
dengan Xi. Satu atau lebih subproblem dipilih
dari daftar subproblem yang ada. Untuk setiap
node dipilih sebuah batas bawah LBi dari nilai
yang
optimal
subproblem
(P(Xi))
diperkirakan. Jika LBi lebih besar atau sama
dengan nilai fungsi objektif dari nilai awal
maka kandidat solusi fisibel terbaik telah
ditemukan, kemudian subproblem (P(Xi))
dieliminasi dari pertimbangan selanjutnya.
Jika tidak, masalah (P(Xi)) disimpan dalam
daftar subproblem. Nilai awal diperbarui
setiap kali sebuah solusi fisibel terbaik
ditemukan. Satu dari node yang tidak
dieliminasi, (P(Xi)), dipilih untuk dilakukan
pencabangan (branching) menjadi subproblem
yang lebih kecil. Proses ini diulang sampai
tidak ada subproblem yang tersisa dalam
daftar.
Berikut ini adalah langkah-langkah
penyelesaian suatu masalah minimisasi
dengan metode branch-and-bound.
Misalkan diberikan masalah INLP (9).
• Langkah 0 (Inisialisasi)
Didefinisikan L = {P(X)} sebagai subproblem
dari fungsi INLP, x* dan v* = f (x) sebagai
kandidat solusi optimum masalah INLP. Jika
tidak ada solusi fisibel yang tersedia, maka
dimisalkan v* = +∞ dan i = 0.
• Langkah 1 (Pemilihan node)
Jika L = ∅ , proses berhenti dan x* adalah
solusi optimum INLP. Jika tidak, pilih salah
satu atau lebih subproblem {P(X)} dari L
sebagai bagian masalah berikutnya untuk
diperiksa. Dinotasikan k sebagai banyaknya
subproblem yang dipilih dari Ls = {P(X1),...
s
P(Xk)}. Misalkan L := L \ L ; i = 1.
• Langkah 2 (Bounding)
Subproblem P ( X i ) diselesaikan sehingga
=
+∞ jika
v*
proses
didapatkan batas bawah LBi . LBi
P(X)
takfisibel.
Jika
LBi
≥
6
dilanjutkan ke Langkah 5. Jika tidak, proses
dilanjutkan ke Langkah 3.
Daerah
fisibel
• Langkah 3 (Solusi fisibel)
Simpan solusi fisibel yang ditemukan pada
Langkah 2 atau temukan solusi fisibel yang
lebih baik dari metode heuristik tertentu.
Perbarui kandidat solusi optimal x* dan v*.
Jika solusi INLP yang diperoleh lebih baik
dari solusi fisibel yang diperoleh sebelumnya,
LB j
≥
s
P ( X i ) dari
eliminasi
L yang
memenuhi
v * ; 1 ≤ j < i. Jika i < k ; i = i + 1 maka
Langkah 2 diulangi. Jika tidak, proses
dilanjutkan ke Langkah 4 untuk melakukan
pencabangan P ( X i ) .
•
Langkah 4 (Branching)
s
Jika L = ∅ , kembali ke Langkah 1. Jika
tidak pilih salah satu subproblem P(Xi) dari
s
L dan X i dibagi menjadi subset yang lebih
s
s
p
kecil Li = { X 1 ,..., X i }. Eliminasi P(Xi) dari
s
Ls dan misalkan L := L U L U Li . Kembali ke
s
Langkah 1.
•
Langkah 5 (Fathoming)
s
Eliminasi P ( X i ) dari L . Jika i < k dengan
i = i + 1 maka kembali ke Langkah 2. Jika
tidak, kembali ke Langkah 4.
(Li & Sun 2006)
Untuk memudahkan pemahaman mengenai
metode branch-and-bound diberikan contoh
sebagai berikut.
Gambar 1 Daerah fisibel (daerah yang diarsir)
untuk NLP-relaksasi dari INLP
(10).
Langkah awal metode branch and bound
adalah menentukan daftar subproblem L =
{P(X)} dari kendala yang ada. Solusi yang
didapatkan masalah (10) belum memenuhi
syarat integer, maka dimisalkan v* = +∞ .
Karena L ≠ ∅ maka dibuat subproblemsubproblem baru, dimisalkan sebanyak k = 2
yang memenuhi kendala masalah INLP (10).
Subproblem-subproblem tersebut dinotasikan
Ls={P(X1), P(X2)}, didefinisikan sebagai
berikut:
• Subproblem P(X1): masalah INLP (10)
ditambah kendala 0 ≤ x2 ≤ 2 ;
• Subproblem P(X2): masalah INLP (10)
ditambah kendala 2 ≤ x2 ≤ 4
Hal ini diilustrasikan secara grafis pada
Gambar 2.
P(X2)
P(X1)
Contoh 2
Misalkan diberikan INLP berikut:
2
2
min v = 2 x1 + x2 − 2 x1 x2 − 5 x1 − 2 x2
terhadap
x12 + x2 2
≤ 16,
5 x1 − 3 x2 ≥ −4,
x1 , x2 ≥ 0
(10)
x1 , x2 integer.
Solusi optimum NLP-relaksasi dari
masalah INLP (10) adalah x1 = 2.57 ,
x2 = 3.06 , dan v = − 12.13 (lihat Lampiran 1).
Batas atas nilai optimum fungsi objektif
masalah (10) adalah v = − 12.13. Daerah
fisibel masalah (10) ditunjukkan pada Gambar
1. Solusi optimum berada di daerah fisibel
yang berasal dari kendala pertidaksamaan
masalah (10).
Gambar 2 Daerah fisibel subproblem P(X1)
dan subproblem P(X2)
Langkah selanjutnya adalah menghitung
batas atas UBi setiap subproblem. UBi
merupakan pendekatan nilai fungsi objektif
yang terdapat pada subproblem (P(Xi)). Jika
subproblem (P(Xi)) memiliki solusi tidak
fisibel maka UBi = +∞. Penghitungan semua
subproblem menggunakan software LINGO
8.0, ditulis pada Lampiran 2. Hasil semua
7
subproblem masalah INLP (10) ditulis dalam
Tabel 1 di bawah ini:
Tabel 1 Subproblem-subproblem masalah
INLP (10)
No Subproblem
UBi
x
1
P(X1)
(2.25,2)
−10.13
2
P(X2)
(2.57,3.06)
−12.13
Langkah berikutnya adalah bounding dan
fathoming. Jika UBi ≥ v * maka eliminasi
subproblem P(Xi). Perbarui nilai x* dan v*
dengan solusi fisibel yang memiliki nilai
fungsi objektif terkecil dan memenuhi kendala
integer. Batas atas yang dihasilkan pada
subproblem P(X1), UB1 = −10.13 tidak lebih
dari v* dan solusi yang dihasilkan tidak
memenuhi kendala integer, maka dipilih salah
satu variabel untuk dasar pencabangan.
Misalnya dipilih x1 sebagai dasar pencabangan
dari subproblem P(X1).
Pencabangan
Subproblem
P(X1)
1
2
s
menghasilkan L1 = { P ( X 1 ), P ( X 1 ), P ( X 13 ),
P ( X 14 ) }, yaitu:
• Subproblem P ( X ) : Subproblem P(X1)
ditambah kendala 0 ≤ x1 ≤ 1 ;
• Subproblem P ( X 12 ) : Subproblem P(X1)
ditambah kendala 1 ≤ x1 ≤ 2 ;
• Subproblem P ( X 13 ) : Subproblem P(X1)
ditambah kendala 2 ≤ x1 ≤ 3 ;
• Subproblem P ( X ) : Subproblem P(X1)
ditambah kendala 3 ≤ x1 ≤ 4
Solusi dari hasil pencabangan Subproblem
P(X1) ditunjukkan dalam Tabel 2.
4
1
Tabel 2 Pencabangan Subproblem P(X1)
No Subproblem
UBi
x
P ( X 11 )
1
(1,2)
−7
3
4
(2,2)
−10
3
1
(2.25,2)
−10.125
4
1
(3,2)
−9
P ( X 12 )
P( X )
P( X )
Pencabangan subproblem P ( X 13 ) didefinisikan
L13.s = {P ( X 13.1 ), P ( X 13.2 )} , yaitu:
•
3
3.1
Subproblem P ( X 1 ) : Subproblem P ( X 1 )
ditambah kendala 0 ≤ x2 ≤ 1 ;
•
3
Subproblem P ( X 13.2 ) : Subproblem P ( X 1 )
ditambah kendala 1 ≤ x2 ≤ 2 ;
Solusi dari hasil pencabangan Subproblem
3
1
1
2
yaitu
dihasilkan
Subproblem
P ( X 12 )
1
UB1 = −10 < v * , solusi yang dihasilkan
memenuhi kendala integer dan lebih baik dari
Subproblem P ( X 11 ) sehingga perbarui x* =
(2,2) dan v* = −10 sebagai kandidat solusi
optimum INLP.
Dari Tabel 2, batas atas Subproblem
P ( X 13 ) tidak memenuhi syarat eliminasi,
karena UB13 = −10.125 < v * . Solusi yang
dihasilkan tidak memenuhi kendala integer,
maka dipilih salah satu variabel untuk dasar
pencabangan. Misalnya x2 sebagai dasar
pencabangan
subproblem
P ( X 13 ) .
Periksa setiap subproblem baru, jika
UBi ≥ v * maka eliminasi subproblem (P(Xi)).
Dari Tabel 2, solusi yang dihasilkan
Subproblem P ( X 11 ) memenuhi kendala
integer dan UB11 = −7 < v * , maka perbarui x*
= (1,2) dan v* = −7 sebagai kandidat solusi
optimum.
Langkah selanjutnya adalah memeriksa
Subproblem P ( X 12 ) . Batas atas yang
P ( X 1 ) ditunjukkan dalam Tabel 3.
3
Tabel 3 Pencabangan Subproblem P ( X 1 )
No
1
Subproblem
P ( X 13.1 )
x
(2,1)
2
P ( X 13.2 )
(2.25,2)
UBi
−7
−10.125
Dari Tabel 3, batas atas Subproblem
P ( X 13.1 ) memenuhi syarat eliminasi karena
UB13.1 = −7 > v * , sedangkan batas atas
subproblem P ( X 13.2 ) tidak tereliminasi karena
UB13.2 = −10.125 < v * . Solusi yang dihasilkan
Subproblem P ( X 13.2 ) tidak diperbarui karena
tidak memenuhi kendala integer. Selain dari
itu Subproblem P ( X 13.2 ) memiliki daerah
fisibel yang tidak dapat dipartisi sehingga
tidak dicabangkan lagi.
Selanjutnya
diperiksa
Subproblem
P ( X 14 ). Batas atas Subproblem P ( X 14 ) , yaitu
UB14 = −9 > v * sehingga x* dan v* tidak
diperbarui.
Subproblem yang belum diperiksa, yaitu
Subproblem P(X2). Batas atas Subproblem
P(X2) adalah UB2 = −12.13 < v * dan solusi
yang dihasilkan tidak memenuhi kendala
integer, maka dilakukan pencabangan. Hasil
pencabangan Subproblem P(X2) didefinisikan
Ls2 = {P ( X 21 ), P ( X 22 ), P ( X 23 ), P ( X 24 )} , yaitu:
8
• Subproblem P ( X 21 ) : Subproblem P(X2)
ditambah kendala 0 ≤ x1 ≤ 1 ;
• Subproblem P ( X 22 ) : Subproblem P(X2)
ditambah kendala 1 ≤ x1 ≤ 2 ;
• Subproblem P ( X 23 ) :
Subproblem P(X2)
ditambah kendala 2 ≤ x1 ≤ 3 ;
• Subproblem P ( X 24 ) : Subproblem P(X2)
ditambah kendala 3 ≤ x1 ≤ 4 .
Solusi dari hasil pencabangan Subproblem
P(X2) ditunjukkan dalam Tabel 4.
Tabel 4 Pencabangan Subproblem P(X2)
No Subproblem
UBi
x
1
P( X 2 )
1
(1,2)
−7
2
3
4
(2,3.33)
−11
3
2
(2.57,3.06)
−12.13
4
2
(3,2.65)
−11.16
P ( X 22 )
P( X )
P( X )
Periksa setiap subproblem baru, jika
UBi ≥ v * maka eliminasi subproblem (P(Xi)).
Dari Tabel 4, batas atas yang dihasilkan
subproblem P ( X 12 ), yaitu UB21 = −7 > v*,
sehingga x* dan v* tidak diperbarui. Batas
atas P ( X 22 ) , P ( X 23 ) ,dan P ( X 24 ) tidak lebih
dari v* dan solusi yang dihasilkan tidak
memenuhi kendala integer, maka dilakukan
pencabangan dari setiap subproblem. Hasil
pencabangan Subproblem P ( X 22 ) , yaitu:
• Subproblem P ( X 22.1 ) : Subproblem P ( X 22 )
ditambah kendala 2 ≤ x2 ≤ 3 ;
• Subproblem P ( X 22.2 ) : Subproblem P ( X 22 )
ditambah kendala 3 ≤ x2 ≤ 4 .
Solusi dari hasil pencabangan Subproblem
P ( X 22 ) ditunjukkan dalam Tabel 5.
Tabel 5 Pencabangan Subproblem P ( X 22 )
No Subproblem
UBi
x
2.1
P
(
X
)
1
(2,3)
−11
2
2
P(X22.2)
(2,3)
−11
Dari Tabel 5, batas atas Subproblem
dan
P ( X 22.2 ), UB2 2 = −11 < v *
P ( X 22.1 )
sehingga perbarui nilai x* dan v*.
Subproblem P ( X 22.1 ) dan P ( X 22.2 ) memiliki
daerah fisibel yang tidak dapat dipartisi, maka
subproblem ini tidak dicabangkan lagi. Semua
variabel subproblem P ( X 22.1 ) dan P ( X 22.2 )
bernilai integer (solusinya memenuhi kendala
integer) dan solusi yang dihasilkan pada
subproblem ini lebih baik dari batas atas
sebelumnya sehingga solusi pada subproblem
ini menjadi kandidat batas atas baru dari
solusi INLP (10) yaitu x* = (2,3), v* = −11 .
Hasil pencabangan subproblem P ( X 23 ),
yaitu:
• Subproblem P ( X 23.1 ) : Subproblem P ( X 23 )
ditambah kendala 2 ≤ x2 ≤ 3 ;
• Subproblem P ( X 23.2 ) : Subproblem P ( X 23 )
ditambah kendala 3 ≤ x2 ≤ 4 .
Solusi dari hasil pencabangan Subproblem
P ( X 23 ) ditunjukkan dalam Tabel 6.
Tabel 6 Pencabangan Subproblem P ( X 23 )
No Subproblem
UBi
x
P ( X 23.1 )
1
(2.65,3)
−12.10
2
P ( X 23.2 )
(2.57,3.06)
−12.13
Nilai batas bawah Subproblem P(X23.1),
dan
Subproblem
UB2 3.1 = −12.10 < v *
sehingga
P(X23.2),
UB2 3.2 = −12.13 < v *
perbarui nilai x* dan v*. Akan tetapi, solusi
yang dihasilkan tidak memenuhi kendala
integer sehingga x* dan v* tidak diperbarui.
Subproblem P ( X 23.1 ) dan P ( X 23.2 ) memiliki
daerah fisibel yang tidak dapat dipartisi lagi,
maka subproblem ini tidak dicabangkan.
Langkah selanjutnya adalah memilih
masalah yang belum diselesaikan, yaitu
pencabangan Subproblem P ( X 24 ) . Hasil
pencabangan Subproblem P ( X 24 ) , yaitu:
• Subproblem P ( X 24.1 ) : Subproblem P ( X 24 )
ditambah kendala 2 ≤ x2 ≤ 3 ;
• Subproblem P ( X 24.2 ) : Subproblem P ( X 24 )
ditambah kendala 3 ≤ x2 ≤ 4 .
Solusi dari hasil pencabangan Subproblem
P ( X 24 ) ditunjukkan dalam Tabel 7.
Tabel 7 Pencabangan Subproblem P ( X 24 )
No Subproblem
UBi
x
4.1
P( X 2 )
1
(3,2.65)
−11.17
2
P ( X 24.2 )
Takfisibel
+∞
Nilai batas atas P ( X 24.1 ), UB2 4.1 = −11.17 < v*,
sehingga tidak memenuhi syarat eliminasi.
Akan tetapi, solusi yang dihasilkan tidak
memenuhi kendala integer sehingga x* dan
v*
tidak
diperbarui.
Subproblem
P ( X 24.1 ) memiliki daerah fisibel yang tidak
9
dapat dipartisi lagi, maka subproblem ini tidak
dicabangkan. Subproblem P ( X 24.2 ) memenuhi
syarat eliminasi, yaitu UBi ≥ v *. Karena
subproblem pada percabangan ini tereliminasi
maka x* dan v* tidak diperbarui.
Semua subproblem sudah diperiksa dan
tidak ada subproblem tersisa dalam daftar
sehingga L = ∅ . Subproblem P ( X 22.1 ) dan
P ( X 22.2 ) menghasilkan solusi optimal yang
berupa integer. Dengan demikian, solusi
optimum pada masalah INLP (10) adalah x1*
= 2, x2* = 3, v* = −11.
III PEMODELAN
Model penjadwalan pada karya ilmiah ini
menggunakan enam parameter utama sebagai
penyusun jadwal yaitu;
1. Hari, yaitu hari di mana kegiatan
perkuliahan diselenggarakan. Hari =
{Senin, Selasa, …, Jumat}.
2. Periode waktu, yaitu waktu kuliah di mana
mata kuliah diselenggarakan. Periode
waktu = {08.00-08.45, 08.45-09.30, …, (tt+1)}.
3. Kelompok, yaitu kelompok mahasiswa
yang menghadiri mata kuliah yang sama
berdasarkan program kuliah yang telah
tersedia. Kelompok program regular
diselenggarakan
pukul
08.00-16.00,
sedangkan pukul 17.00-22.00 untuk
program ekstensi.
4. Dosen, yaitu orang yang mengajar suatu
mata kuliah tertentu dalam suatu kelas.
Dosen = {Dosen 1, Dosen 2, …, Dosen l}.
5. Mata kuliah, yaitu pelajaran yang
diajarkan di kelas oleh seorang dosen.
Mata kuliah = {mata kuliah 1, mata kuliah
2, …, mata kuliah m}.
6. Ruangan, yaitu tempat berlangsungnya
kegiatan perkuliahan. Ruangan = {ruangan
1, ruangan 2, …, ruangan n}.
Jadwal tersebut dibuat sedemikian rupa
sehingga memenuhi kendala utama dan
kendala tambahan. Kendala utama dalam
penjadwalan, yaitu:
1. Semua mata kuliah terjadwalkan di setiap
semesternya.
2. Tidak ada overlapping mata kuliah.
3. Dosen tidak boleh mengajar lebih dari satu
kelas pada periode waktu yang sama.
Sedangkan kendala tambahan, yaitu :
1. Untuk mata kuliah yang tediri atas kuliah
dan praktikum, jadwal kuliah dilaksanakan
lebih dulu dari jadwal praktikum.
2. Setiap mata kuliah diselenggarakan pada
periode waktu yang sesuai. Misalkan mata
kuliah dengan waktu tatap muka 3 jam
tidak boleh diselenggarakan pada waktu
tatap muka 2 jam.
3. Setiap dosen tidak mengajarkan mata
kuliah yang bukan bidangnya.
4. Sebagian dosen berharap tidak mengajar
pada waktu tertentu.
Dalam model penjadwalan karya ilmiah ini
terdapat koefisien (bobot) yang merupakan
nilai dari ketidakpuasan yang diberikan oleh
mahasiswa program regular dan ekstensi
terhadap penjadwalan suatu mata kuliah.
Penentuan besar kecilnya bobot ditentukan
atas keinginan mahasiswa terhadap suatu
mata kuliah yang akan dijadwalkan di awal
atau di akhir periode waktu. Semakin kecil
bobot maka peluang dijadwalkannya mata
kuliah yang sesuai dengan keinginan
mahasiswa semakin besar. Penentuan bobot
yang disebutkan tidaklah mutlak. Bobot yang
ada di sini hanyalah sebagai gambaran saja.
Sebagai contoh :
1. Mahasiswa program regular mengharapkan
mata kuliah dapat diajarkan di awal
periode waktu. Oleh karena itu kepuasan
mahasiswa ini diberi bobot (koefisien)
yang kecil di awal periode waktu dan
bobot yang besar di akhir periode waktu,
sehingga mata kuliah ini memiliki peluang
yang lebih besar untuk dijadwalkan di
awal periode waktu (Gambar 3).
2. Mahasiswa
program
ekstensi
mengharapkan mata kuliah diajarkan di
akhir periode waktu. Oleh karena itu
kepuasan mahasiswa ini diberi bobot
(koefisien) yang kecil di akhir periode
waktu dan bobot yang besar di awal
periode waktu, sehingga mata kuliah ini
memiliki peluang yang lebih besar untuk
dijadwalkan di akhir periode waktu
(Gambar 4).
9
dapat dipartisi lagi, maka subproblem ini tidak
dicabangkan. Subproblem P ( X 24.2 ) memenuhi
syarat eliminasi, yaitu UBi ≥ v *. Karena
subproblem pada percabangan ini tereliminasi
maka x* dan v* tidak diperbarui.
Semua subproblem sudah diperiksa dan
tidak ada subproblem tersisa dalam daftar
sehingga L = ∅ . Subproblem P ( X 22.1 ) dan
P ( X 22.2 ) menghasilkan solusi optimal yang
berupa integer. Dengan demikian, solusi
optimum pada masalah INLP (10) adalah x1*
= 2, x2* = 3, v* = −11.
III PEMODELAN
Model penjadwalan pada karya ilmiah ini
menggunakan enam parameter utama sebagai
penyusun jadwal yaitu;
1. Hari, yaitu hari di mana kegiatan
perkuliahan diselenggarakan. Hari =
{Senin, Selasa, …, Jumat}.
2. Periode waktu, yaitu waktu kuliah di mana
mata kuliah diselenggarakan. Periode
waktu = {08.00-08.45, 08.45-09.30, …, (tt+1)}.
3. Kelompok, yaitu kelompok mahasiswa
yang menghadiri mata kuliah yang sama
berdasarkan program kuliah yang telah
tersedia. Kelompok program regular
diselenggarakan
pukul
08.00-16.00,
sedangkan pukul 17.00-22.00 untuk
program ekstensi.
4. Dosen, yaitu orang yang mengajar suatu
mata kuliah tertentu dalam suatu kelas.
Dosen = {Dosen 1, Dosen 2, …, Dosen l}.
5. Mata kuliah, yaitu pelajaran yang
diajarkan di kelas oleh seorang dosen.
Mata kuliah = {mata kuliah 1, mata kuliah
2, …, mata kuliah m}.
6. Ruangan, yaitu tempat berlangsungnya
kegiatan perkuliahan. Ruangan = {ruangan
1, ruangan 2, …, ruangan n}.
Jadwal tersebut dibuat sedemikian rupa
sehingga memenuhi kendala utama dan
kendala tambahan. Kendala utama dalam
penjadwalan, yaitu:
1. Semua mata kuliah terjadwalkan di setiap
semesternya.
2. Tidak ada overlapping mata kuliah.
3. Dosen tidak boleh mengajar lebih dari satu
kelas pada periode waktu yang sama.
Sedangkan kendala tambahan, yaitu :
1. Untuk mata kuliah yang tediri atas kuliah
dan praktikum, jadwal kuliah dilaksanakan
lebih dulu dari jadwal praktikum.
2. Setiap mata kuliah diselenggarakan pada
periode waktu yang sesuai. Misalkan mata
kuliah dengan waktu tatap muka 3 jam
tidak boleh diselenggarakan pada waktu
tatap muka 2 jam.
3. Setiap dosen tidak mengajarkan mata
kuliah yang bukan bidangnya.
4. Sebagian dosen berharap tidak mengajar
pada waktu tertentu.
Dalam model penjadwalan karya ilmiah ini
terdapat koefisien (bobot) yang merupakan
nilai dari ketidakpuasan yang diberikan oleh
mahasiswa program regular dan ekstensi
terhadap penjadwalan suatu mata kuliah.
Penentuan besar kecilnya bobot ditentukan
atas keinginan mahasiswa terhadap suatu
mata kuliah yang akan dijadwalkan di awal
atau di akhir periode waktu. Semakin kecil
bobot maka peluang dijadwalkannya mata
kuliah yang sesuai dengan keinginan
mahasiswa semakin besar. Penentuan bobot
yang disebutkan tidaklah mutlak. Bobot yang
ada di sini hanyalah sebagai gambaran saja.
Sebagai contoh :
1. Mahasiswa program regular mengharapkan
mata kuliah dapat diajarkan di awal
periode waktu. Oleh karena itu kepuasan
mahasiswa ini diberi bobot (koefisien)
yang kecil di awal periode waktu dan
bobot yang besar di akhir periode waktu,
sehingga mata kuliah ini memiliki peluang
yang lebih besar untuk dijadwalkan di
awal periode waktu (Gambar 3).
2. Mahasiswa
program
ekstensi
mengharapkan mata kuliah diajarkan di
akhir periode waktu. Oleh karena itu
kepuasan mahasiswa ini diberi bobot
(koefisien) yang kecil di akhir periode
waktu dan bobot yang besar di awal
periode waktu, sehingga mata kuliah ini
memiliki peluang yang lebih besar untuk
dijadwalkan di akhir periode waktu
(Gambar 4).
10
Variabel-variabel yang digunakan:
= himpunan periode waktu pada
kelompok mahasiswa regular
= himpunan periode waktu pada
Jkx
kelompok mahasiswa ekstensi
Jw2 = himpunan periode waktu tatap muka
2 jam
= himpunan mahasiswa regular
Kr
= himpunan mahasiswa ekstensi
Kx
Mls = himpunan mata kuliah yang bukan
spesialisasi dari dosen
= himpunan mata kuliah berpraktikum
Mp
Mw3 = himpunan mata kuliah dengan waktu
tatap muka 3 jam
= himpunan dosen yang tidak dapat
Ltj
mengajar pada periode waktu tertentu
= himpunan dosen yang tidak mengajar
Lts
mata kuliah yang bukan spesialisnya
= himpunan hari di mana dosen
Itl
berharap tidak mengajar
= himpunan periode waktu di mana
Jtl
dosen berharap tidak mengajar
Jm2 = himpunan periode waktu untuk mata
kuliah dengan tatap muka 2 jam
= himpunan ruangan perkuliahan
Nm
= himpunan ruangan praktikum
Np
Jkr
Gambar 3 Bobot suatu mata kuliah yang
diharapkan diajarkan di awal
periode waktu untuk mahasiswa
program regular.
Gambar 4 Bobot suatu mata kuliah yang
diharapkan diajarkan di akhir
periode waktu untuk mahasiswa
program ekstensi.
Selain itu, diperlukan pula pendefinisian
suatu variabel keputusan:
⎧⎪ 1 ; jika di hari i pada periode j kelompok mahasiswa k diajar oleh dosen l untuk mata kuliah m
x
= ⎨ yang diselenggarakan di ruangan n
ijklmn
⎪⎩ 0 ; selainnya
{
= 1 ; jika di hari i pada periode waktu j dosen l berharap tidak mengajar
0 ; selainnya
b
ijl
Model
bertujuan
meminimumkan
ketidakpuasan mahasiswa program regular,
ekstensi, dan dosen terhadap penjadwalan
mata kuliah, maka fungsi objektif dari
permasalahan ini adalah sebagai berikut:
min ∑∑ a1mj (∑∑∑∑ xijklmn ) +∑∑ a2 mj (∑∑∑∑ xijklmn ) +∑∑∑ bijl (∑∑∑ xijklmn )
m
j
i
k
l
n
m
j
dengan:
a1mj = koefisien yang nilainya bersesuaian
dengan ketidakpuasan mahasiswa
program
regular
terhadap
penjadwalan mata kuliah ,
a2mj = koefisien yang nilainya bersesuaian
dengan ketidakpuasan mahasiswa
program
ekstensi
terhadap
penjadwalan mata kuliah.
Kendala yang terkait adalah sebagai berikut:
1. Setiap mata kuliah yang diselenggarakan
hanya dihadiri oleh satu kelompok.
i
k
l
n
i
j
l
∑∑∑∑ xijklmn ≤ 1,
i
j
l
k
m
n
∀m, k
n
2. Paling banyak satu mata kuliah yang
diselenggarakan
di
setiap
periode
waktunya.
∑∑∑ xijklmn ≤ 1, ∀i, j, m
k
l
n
3. Paling banyak satu ruangan yang
dipergunakan dalam suatu periode waktu
perkuliahan.
∑∑∑ xijklmn ≤ 1, ∀i, j, n
k
l
m
11
∑∑∑∑ xijklmn = 0,
4. Setiap periode waktu perkuliahan hanya
dihadiri oleh satu kelompok.
∑∑∑ xijklmn ≤ 1, ∀i, j, k
m
l
i
j
k
l
i
periode
waktu
selama
seminggu untuk mata kuliah m
6. Jadwal kuliah mata kuliah berpraktikum
harus diselenggarakan sebelum jadwal
praktikum.
i
j
k
n∈N m
l
−∑∑∑∑
i +1 j +1 k
l
∑
n∈N p
l
m
n
k
l
n
10. Setiap dosen tidak mengajarkan mata
kuliah yang bukan spesialisasinya.
∑∑∑∑ xijklmn = 0, ∀m ∈ M ls , l ∈ Lts
∑∑∑∑ ∑ xijklmn / w(m )
i
∀j ∈ J k x , k ∈ K r
n
9. Mata kuliah dengan waktu tatap muka 3
jam tidak boleh diselenggarakan pada
waktu tatap muka 2 jam.
∑∑∑∑ xijklmn = 0, ∀j ∈ J m2 , m ∈ M w3
n
dengan:
h( m) = total
m
8. Tidak ada mata kuliah yang diberikan
sebelum pukul 17.00 WIB untuk program
ekstensi.
∑∑∑∑ xijklmn = 0, ∀j ∈ J k r , k ∈ K x
n
5. Terpenuhinya jumlah periode waktu yang
diperlukan untuk setiap mata kuliah.
∑∑∑∑∑ xijklmn = h(m), ∀m
i
l
t
i
xijklmn / w(m p ) > 0 , ∀m ∈ M p
j
k
n
11. Beberapa dosen berharap tidak mengajar
pada waktu tertentu. Jika dosen l berharap
tidak mengajar pada hari i periode waktu j,
maka b = 1
ijl
12. Semua variabel keputusan bernilai nol atau
satu.
xijklmn ∈ {0,1}, ∀i, j , k , l , m, n
dengan:
w(mt ) = lamanya waktu kuliah untuk
mata kuliah teori (dalam jam)
w(m p ) = lamanya waktu kuliah untuk
mata kuliah praktikum (dalam
jam)
7. Tidak ada mata kuliah yang diberikan
setelah pukul 17.00 WIB untuk program
regular.
bijl ∈ {0,1}, ∀i, j , l
IV STUDI KASUS
Masalah yang akan dicontohkan di sini
adalah masalah penjadwalan perkuliahan
semester lima di Akademi Manajemen
Informatika dan Komunikasi Bina Sarana
Informatika (AMIK) BSI Bogor. Hal yang
perlu diperhatikan adalah kepuasan dosen dan
mahasiswa dalam menyelesaikan kegiatan
perkuliahan, ketersediaan ruangan yang
terbatas serta preferensi dosen dan mahasiswa
berbeda-beda, sehingga kegiatan perkuliahan
ini dilakukan lima hari dalam seminggu yang
setiap harinya dibagi menjadi dua waktu
dengan sejumlah mata kuliah yang
dijadwalkan. Pertama, kelompok mahasiswa
yang tergolong dalam program regular
melaksanakan kegiatan perkuliahan pada
pukul 08.00-16.00 WIB. Kedua, kelompok
mahasiswa yang tergolong dalam program
ekstensi melaksanakan kegiatan perkuliahan
pada pukul 17.00-22.00 WIB.
Di Departemen AMIK, telah ditentukan
bahwa satu jam tatap muka di kelas dilakukan
selama 45 menit. Untuk mata kuliah yang
terdiri dari dua pertemuan yaitu kuliah dan
praktikum, jadwal kuliah harus mendahului
jadwal praktikum.
Data yang diperlukan untuk memodelkan
penjadwalan mata kuliah semester lima untuk
mahasiswa program regular dan program
ekstensi diberikan sebagai berikut:
Tabel 8 Daftar mata kuliah semester lima di AMIK
Indeks (m)
Mata Kuliah (MK)
Kode MK
Banyaknya periode
waktu
1
Pemrograman Visual FOXPRO (K)
735
1
2 jam kuliah
2
Pemrograman Visual FOXPRO (P)
735
1
3 jam praktikum
3
Web Programming (K)
153
1
2 jam kuliah
Keterangan
11
∑∑∑∑ xijklmn = 0,
4. Setiap periode waktu perkuliahan hanya
dihadiri oleh satu kelompok.
∑∑∑ xijklmn ≤ 1, ∀i, j, k
m
l
i
j
k
l
i
periode
waktu
selama
seminggu untuk mata kuliah m
6. Jadwal kuliah mata kuliah berpraktikum
harus diselenggarakan sebelum jadwal
praktikum.
i
j
k
n∈N m
l
−∑∑∑∑
i +1 j +1 k
l
∑
n∈N p
l
m
n
k
l
n
10. Setiap dosen tidak mengajarkan mata
kuliah yang bukan spesialisasinya.
∑∑∑∑ xijklmn = 0, ∀m ∈ M ls , l ∈ Lts
∑∑∑∑ ∑ xijklmn / w(m )
i
∀j ∈ J k x , k ∈ K r
n
9. Mata kuliah dengan waktu tatap muka 3
jam tidak boleh diselenggarakan pada
waktu tatap muka 2 jam.
∑∑∑∑ xijklmn = 0, ∀j ∈ J m2 , m ∈ M w3
n
dengan:
h( m) = total
m
8. Tidak ada mata kuliah yang diberikan
sebelum pukul 17.00 WIB untuk program
ekstensi.
∑∑∑∑ xijklmn = 0, ∀j ∈ J k r , k ∈ K x
n
5. Terpenuhinya jumlah periode waktu yang
diperlukan untuk setiap mata kuliah.
∑∑∑∑∑ xijklmn = h(m), ∀m
i
l
t
i
xijklmn / w(m p ) > 0 , ∀m ∈ M p
j
k
n
11. Beberapa dosen berharap tidak mengajar
pada waktu tertentu. Jika dosen l berharap
tidak mengajar pada hari i periode waktu j,
maka b = 1
ijl
12. Semua variabel keputusan bernilai nol atau
satu.
xijklmn ∈ {0,1}, ∀i, j , k , l , m, n
dengan:
w(mt ) = lamanya waktu kuliah untuk
mata kuliah teori (dalam jam)
w(m p ) = lamanya waktu kuliah untuk
mata kuliah praktikum (dalam
jam)
7. Tidak ada mata kuliah yang diberikan
setelah pukul 17.00 WIB untuk program
regular.
bijl ∈ {0,1}, ∀i, j , l
IV STUDI KASUS
Masalah yang akan dicontohkan di sini
adalah masalah penjadwalan perkuliahan
semester lima di Akademi Manajemen
Informatika dan Komunikasi Bina Sarana
Informatika (AMIK) BSI Bogor. Hal yang
perlu diperhatikan adalah kepuasan dosen dan
mahasiswa dalam menyelesaikan kegiatan
perkuliahan, ketersediaan ruangan yang
terbatas serta preferensi dosen dan mahasiswa
berbeda-beda, sehingga kegiatan perkuliahan
ini dilakukan lima hari dalam seminggu yang
setiap harinya dibagi menjadi dua waktu
dengan sejumlah mata kuliah yang
dijadwalkan. Pertama, kelompok mahasiswa
yang tergolong dalam program regular
melaksanakan kegiatan perkuliahan pada
pukul 08.00-16.00 WIB. Kedua, kelompok
mahasiswa yang tergolong dalam program
ekstensi melaksanakan kegiatan perkuliahan
pada pukul 17.00-22.00 WIB.
Di Departemen AMIK, telah ditentukan
bahwa satu jam tatap muka di kelas dilakukan
selama 45 menit. Untuk mata kuliah yang
terdiri dari dua pertemuan yaitu kuliah dan
praktikum, jadwal kuliah harus mendahului
jadwal praktikum.
Data yang diperlukan untuk memodelkan
penjadwalan mata kuliah semester lima untuk
mahasiswa program regular dan program
ekstensi diberikan sebagai berikut:
Tabel 8 Daftar mata kuliah semester lima di AMIK
Indeks (m)
Mata Kuliah (MK)
Kode MK
Banyaknya periode
waktu
1
Pemrograman Visual FOXPRO (K)
735
1
2 jam kuliah
2
Pemrograman Visual FOXPRO (P)
735
1
3 jam praktikum
3
Web Programming (K)
153
1
2 jam kuliah
Keterangan
12
Lanjutan Tabel 8
Indeks (m)
Mata Kuliah (MK)
Kode MK
Banyaknya periode
waktu
Keterangan
4
5
Web Programming (P)
Teknologi Ilmu Komputer
153
142
1
1
3 jam praktikum
2 jam kuliah
6
Etika Profesi
572
1
2 jam kuliah
7
E-Commerce
430
1
2 jam kuliah
Tabel 10 Periode hari
Indeks (i)
Nama hari
Tabel 9 Ruangan yang tersedia
Indeks (n)
Ruangan
1
Ruang 301
1
Senin
2
Ruang 302
2
Selasa
3
Ruang 303
3
Rabu
4
LAB A-B
4
Kamis
5
Jumat
Tabel 11 Periode waktu
Indeks (j)
Periode 1
Tabel 12 Daftar kelompok
Periode waktu
08.00-09.30
Periode 2
09.30-11.45
Periode 3
13.00-14.30
Periode 4
14.30-16.45
Periode 5
17.00-18.30
Periode 6
18.30-20.00
Periode 7
20.00-22.15
Indeks (k) Program
Kelompok
1
regular
1
2
ekstensi
2
Tabel 13 Daftar dosen
Indeks (l)
Nama dosen
Mata kuliah spesialisasi dosen
Dosen berharap tidak mengajar
Hari
Periode waktu
1
2
Djuanda Sampuna
Sandra Setyaningsih
Web Programming (K)
Teknologi Ilmu Komputer
Jumat
Kamis
1, …, 7
1, …, 7
3
R. Eny Ernawan
Etika Profesi
Rabu
1, …, 7
4
Pemrograman Visual FOXPRO (K)
Selasa
1, …, 7
-
-
6
7
8
9
Muhammad Tabrani
Yanuar Massuki
Amin
Rina Indriany
Isnaeni
Eni Kustini
Dio Pratama
Teknologi Ilmu Komputer
Web Programming (K)
Pemrograman Visual FOXPRO (K)
Web Programming (P)
Kamis
Jumat
Rabu
-
1, …, 7
1, …, 7
1, …, 7
-
10
Hermawan
Pemrograman Visual FOXPRO (P)
Jumat
2
5
E-Commerce
13
Tujuan karya ilmiah ini adalah membuat
penjadwalan terbaik dengan meminimumkan
suatu fungsi objektif yaitu penjumlahan dari
koefisien-koefisien
yang
menyatakan
ketidakpuasan dari mahasiswa program
regular, ekstensi, dan dosen terhadap
penjadwalan mata kuliah.
Penentuan koefisien (bobot) yang telah
disebutkan pada bagian sebelumnya tidaklah
mutlak harus seperti itu. Pada kasus ini
hanyalah gambaran saja. Beberapa contoh
grafik bobot mata kuliah yang mungkin dapat
digunakan diperlihatkan sebagai berikut:
Gambar 6 Bobot mata kuliah Pemrograman
Visual FOXPRO (P) yang
diharapkan diajarkan di akhir
periode waktu untuk mahasiswa
program ekstensi.
Untuk memformulasikan penjadwalan
mata kuliah ini dalam model INLP, peubah
xijklmn didefinisikan pada setiap periode hari
i = 1, 2, …, 5, periode waktu j = 1, 2, …, 7,
kelompok mahasiswa k = 1, 2, dosen l = 1, 2,
…, 10, mata kuliah m = 1, 2, …, 7, ruangan n
= 1, 2, …, 4. Sehingga masalahnya dapat
diformulasikan dalam model INLP berikut:
Gambar 5 Bobot mata kuliah Pemrograman
Visual FOXPRO (K) yang
diharapkan diajarkan di