Pendugaan Selang Kepercayaan Parameter Model Waktu Kontinu dengan Pendekatan Persamaan Struktural Menggunakan Metode Bootstrap

PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAN MODEL WAKTU KONTINU
DENGAN PENDEKATAN PERSAMAAN STRUKTURAL
MENGGUNAKAN METODE BOOTSTRAP

WIDHATUL MILLA

SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014

PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA*
Dengan ini saya menyatakan bahwa disertas berjudul Pendugaan Selang
Kepercayaan Parameter Model Waktu Kontinu dengan Pendekatan Persamaan
Struktural Menggunakan Metode Bootstrap adalah benar karya saya dengan
arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada
perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya
yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam
teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut

Pertanian Bogor.
Bogor,

Agustus 2014

Widhatul Milla
G151120201

* pelimpahan hak cipta atas karya tulis dari penelitian kerjasama dengan pihak luar IPB harus
didasarkan pada perjanjian kerjasama yang terkait

RINGKASAN
WIDHATUL MILLA. Pendugaan Selang Kepercayaan Parameter Model Waktu
Kontinu dengan Pendekatan Persamaan Struktural Menggunakan Metode
Bootstrap. Dibimbing oleh ASEP SAEFUDDIN dan BAGUS SARTONO.
Model deret waktu sangat banyak ditemukan pada berbagai aspek
kehidupan. Pemodelan-pemodelan mengenai data deret waktu sudah banyak
diterapkan namun belum mampu mengatasi bentuk data deret waktu yang tidak
lengkap. Selain itu analisis-analisis data deret waktu tidak mampu menduga suatu
nilai untuk jangka panjang dengan interval yang berbeda. Kelemahan dalam

analisis data deret waktu tersebut dapat diatasi dengan menggunakan analisis
model waktu kontinu. Keberadaan model waktu kontinu muncul akibat adanya
keterbatasan dalam merekam data sehingga waktu yang melekat pada data bersifat
diskret tidak bersifat kontinu.
Model waktu kontinu memiliki dua pendekatan yaitu pendekatan kalman
filter dan pendekatan persamaan struktural. Secara umum kedua pendekatan ini
merupakan model diskret sehingga penduga parameter yang diperoleh merupakan
parameter diskret. Namun, beberapa peneliti telah membuktikan bahwa adanya
persamaan dari struktur matriks yang dihasilkan yaitu penduga parameter hasil
penurunan dari model waktu kontinu merupakan elemen-elemen matrik dari hasil
analisis model persamaan struktural. Oleh karena itu, dalam menduga parameterparameter model waktu kontinu dapat menggunakan pendekatan persamaan
struktural.
Trend dan juga sebaran dari penduga parameter model waktu kontinu perlu
diamati lebih lanjut guna untuk melakukan pengujian signifikansi dengan cara
melihat seang kepercayaan dari penduga parameter. Dalam hal ini selang
kepercayaan yang merupakan kisaran dari suatu nilai yang dianggap memuat
parameter sebenarnya dapat dilakukan. Salah satu metode yang dapat dilakukan
dalam menduga selang kepercayaan adalah metode bootstrap. Dengan demikian
tujuan dari penulisan ini adalah untuk mendapatkan sebaran dari nilai penduga
parameter model waktu kontinu dan trend dari dugaan parameter tersebut.

Hasil yang diperoleh menunjukkan bahwa dugaan parameter model waktu
kontinu khususnya dengan pendekatan persamaan struktural tidak menyebar
normal. Dengan demikian uji signifikansi pada parameter model waktu kontinu
tidak dapat di dekati dengan menggunakan distribusi normal. Hasil pendugaan
selang terpendek juga menunjukkan trend penduga parameter model waktu
kontinu yang memiliki kecenderungan signifikan dalam melakukan pendugaan
untuk satuan waktu yang berbeda. Hal tersebut dibuktikan oleh adanya nilai
standar deviasi yang kecil dan dalam selang yang diperoleh tidak memuat nol.
Pada kasus penelitian ini, peubah laten prestasi matematika sudah tidak signifikan
ketika dilakukan prediksi pada variabel tersebut untuk 80 tahun yang akan dating
sedangkan untuk peubah laten pengalaman guru mengajar sudah tidak signifikan
ketika dilakukan prediksi pada 30 tahun ke depan.
Kata kunci : model waktu kontinu, persamaan struktural, selang kepercayaan,
bootsrap

SUMMARY
WIDHATUL MILLA. Estimation of confidence interval on the continuous time
model using bootstrap. Supervised by ASEP SAEFUDDIN and BAGUS
SARTONO
Time series model is commonly found in various aspects of life. Modelings

of the time series data has been widely applied but have not been able to
overcome if the form of time series data are incomplete. In addition, analyzes of
time series data is not able to guess a value for the long term with different
intervals. Weaknesses in the analysis of time series data can be overcome by using
analysis of continuous time models. The existence of a continuous time models
arise due to limitations in the data record that time attached to the discrete nature
of data is not continuous.
Continuous time models have two approaches method, they are Kalman
filter approach and also using structural equation approach. In general, these two
approaches are discrete models so that the resulting of parameters estimation are
discrete parameters. However, some researchers have proven that the similarity of
the resulting structure matrix is the same with the result of decreasing in the
parameters of a continuous time model matrix elements of the results of the
analysis of structural equation models. Therefore, the assumed parameters of
continuous time models can use structural equation approach.
Stabilization and also the distribution of the parameter estimators of
continuous time models be examined further in order to perform significance
testing. In this case the confidence interval is a range of parameter values
considered actual load can be done. One method that can be performed within the
confidence interval is suspect bootstrap method. Thus the purpose of this is to get

penulusan distribution of alleged continuous time model parameters and the
stability of the parameters allegations.
The results obtained show that the alleged continuous time model
parameters, especially with structural equation approaches a normal distribution.
Thus the significance test on continuous time model parameters can not be
approached by using a normal distribution. The shortest interval estimation results
also show the trend estimate continuous time model parameters that have a
significant tendency in making predictions at a different time unit. This is
evidenced by the presence of small value and the standard deviation obtained in
the interval does not contain zero. In the case of this study, the latent variables are
not significant mathematical achievements already made a prediction on when
these variables for 80 years to come while the latent variables of teachers teaching
experience has been not significant when the prediction is done in the next 30
years.
Keywords : continuous time model, structural equation, confidence interval,
bootstrap

© Hak Cipta Milik IPB, Tahun 2014
Hak Cipta Dilindungi Undang-Undang
Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan

atau menyebutkan sumbernya. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan,
penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau
tinjauan suatu masalah, dan pengutipan tersebut tidak merugikan kepentingan
IPB
Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis ini
dalam bentuk apapun tanpa izin IPB

PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN MODEL WAKTU
KONTINU DENGAN PENDEKATAN PERSAMAAN
STRUKTURAL MENGGUNAKAN METODE BOOTSTRAP

WIDHATUL MILLA

Tesis
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Magister Sains pada
Program Studi Statistika

SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR
2014

Penguji Luar Komisi pada Ujian Tesis : Dr. Ir. Hari Wijayanto M.Si

Judul Tesis : Pendugaan Selang Kepercayaan Parameter Model Waktu Kontinu
dengan Pendekatan Persamaan Struktural Menggunakan Metode
Bootstrap
Nama
: Widhatul Milla
NIM
: G151120201

Disetujui oleh
Komisi Pembimbing

Prof.Dr.Ir.Asep Saefuddin
Ketua

Dr. Bagus Sartono, M.Si

Anggota

Diketahui oleh

Ketua Program Studi
Statistika

Dekan Sekolah Pascasarjana

Dr. Ir. Anik Djuraidah, MS.

Dr. Ir. Dahrul Syah, MSc. Agr

Tanggal Ujian : 13 Agustus 2014

Tanggal Lulus :

PRAKATA
Puji syukur kehadirat Allah SWT atas kemudahan dan kelancaran serta
ridhoNya sehingga tesis dengan judul “ Pendugaan Selang Kepercayaan

Parameter Model Waktu Kontinu dengan Pendekatan Persamaan Struktural
Menggunakan Metode Bootstrap “ ini dapat terselesaikan dengan baik. Penelitian
untuk penulisan tesis ini diaplikasikan pada kasus data terapan yang diambil dari
TIMSS mengenai prestasi matematika siswa kelas 8.
Terimakasih penulis ucapkan kepada pihak-pihak yang telah membantu
proses penyusunan tesis ini, yaitu:
1. Prof. Dr. Ir. Asep saefuddin, M.Sc dan Dr. Bagus Sartono M.Si selaku dosen
pembimbing, atas arahan dan bimbingannya serta kesabarannya dalam
membimbing selama penulisan tesis ini.
2. Dr.Ir. Anik Djuraidah, MS, selaku Ketua Program Studi Stastistika S2 yang
telah turut membantu demi kelancaran penyusunan tesis ini.
3. Dr. Ir. Hari Wijayanto M.Si, selaku penguji tesis yang telah meluangkan
banyak waktunya dan memberikan arahan-arahan demi terciptanya
kelengkapan dan ketepatan pada tesis ini.
4. Keluarga Besar Program Studi Statistika dan Statistika Terapan IPB,
5. Orang tua serta seluruh keluarga dan sahabat atas segala dukungan, doa dan
kasih sayangnya.
Penulis menyatakan sepenuhnya bahwa tesis ini masih banyak
kekurangan. Kritikan yang membangun sangat penulis harapkan demi perbaikan
tesis ini di masa yang akan datang dan penulis berharap semoga tesis ini dapat

bermanfaat terutama bagi para pembaca.
Bogor,

2014

Widhatul Milla

DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
DAFTAR GAMBAR
DAFTAR LAMPIRAN

vi
vi
vi

1 PENDAHULUAN
Latar Belakang
Tujuan Penelitian

1
1
3

2 TINJAUAN PUSTAKA
Prestasi Matematika TIMSS
Model Persamaan Struktural
Model Waktu Kontinu
Pendugaan Parameter Model Waktu Kontinu
Pendugaan Selang Kepercayaan Parameter Model Waktu Kontinu

3
3
6
8
9
11

3 METODE PENELITIAN
Data
Metode Analisis

13
13
14

4 HASIL DAN PEMBAHASAN
Eksplorasi Data
Pendugaan Parameter Model Waktu Kontinu
Pendugaan Selang Kepercayaan

15
15
17
21

5 SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Saran

29
29
29

DAFTAR PUSTAKA

29

LAMPIRAN
RIWAYAT HIDUP

30
32

DAFTAR TABEL
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

Proporsi Kemampuan pada Dimensi Konten dalam Studi TIMSS
Proporsi Kemampuan pada Dimensi Kognitif dalam Studi TIMSS
Statistik Deskriptif Nilai Matematika Kelas 8 TIMSS
Statistik Deskriptif Nilai Matematika Kelas 8 Indonesia
Hasil Pendugaan Parameter-Parameter EDM
Hasil pendugaan Parameter-Parameter Model Waktu Kontinu
Hasil pendugaan parameter diskret dengan berbagai ∆��
Hasil Uji Normalitas Kolmogorov Smirnov
Hasil Pendugaan Selang Terpendek Peubah Laten Prestasi matematika
Hasil Pendugaan Selang Terpendek Peubah Laten Pengalaman Guru
Mengajar

4
5
15
17
18
19
20
23
24
27

DAFTAR GAMBAR
1 Ilustrasi hubungan Autoregreesive dan Cross Lagged
2 Sebaran data Nilai Matematika TIMSS tahun 1995-2011
3 Histogram nilai dugaan Parameter Model Waktu Kontinu pada Peubah
Laten Prestasi Matematika
4 Histogram nilai Parameter Model Waktu Kontinu pada Peubah Laten
Pengalaman Guru Mengajar
5 Keragaman Pendugaan Parameter pada Peubah Laten Prestasi
Matematika
6 Keragaman Pendugaan Parameter pada Peubah Laten Pengalaman Guru
Mengajar
7 Lebar Selang Koefisien Autoregressive untuk Peubah Laten Prestasi
Matematika dengan berbagai t i
8 Lebar Selang Koefisien Autoregressive untuk Peubah Laten
Pengalaman Guru Mengajar dengan berbagai Δti

9
16
22
22
25
26
28
28

DAFTAR LAMPIRAN
1 Ilustrasi Analisis Model Waktu Kontinu pada Data Penelitian TIMSS
2 Plot masing-masing nilai parameter diskret dengan berbagai ∆t i untuk
Peubah Laten Prestasi Matematika
3 Plot masing-masing nilai parameter diskret dengan berbagai ∆�� untuk
Peubah Pengalaman Guru Mengajar
4 Nilai dugaan selang kepercayaan parameter CT dan nilai lebar selang
pada alpha 5% ∆�� = 1
5 Program Mplus untuk menduga nilai awal
6 Program R CT (Open Mx)
7 Program R untuk menduga Parameter Diskret dengan Berbagai ∆��

31
32
35
37
39
41
49

1 PENDAHULUAN
Latar Belakang
Data deret waktu adalah serangkaian data kuantitatif mengenai nilai-nilai
suatu peubah yang tersusun secara bederet (beruntun) dalam suatu periode waktu
tertentu. Data deret waktu telah banyak digunakan dalam berbagai bidang ilmu
tidak lain pada bidang pendidikan. Sebagai contoh data deret waktu pada bidang
pendidikan adalah nilai rata-rata ujian nasional mata pelajaran matematika kelas 6
Sekolah Dasar di Indonesia mulai dari tahun 1995 hingga tahun 2014. Beberapa
metode yang telah berkembang hingga saat ini hanya mampu mengatasi suatu
kejadian deret waktu dengan cara mencatat suatu kejadian tersebut dalam titiktitik waktu tertentu seperti model pemulusan (smoothing), dekomposisi, regresi,
ekonometrik, ARIMA Box Jenskins, model regresi time series, fungsi transfer,
neural network, kalman filter dan lain sebagainya.
Pada umumnya metode-metode analisis data deret waktu dipengaruhi oleh
interval waktu tertentu seperti harian, mingguan, bulanan ataupun tahunan
sehingga apabila data yang disajikan berupa data deret waktu dengan interval
waktu yang bersifat tahunan maka akan kehilangan informasi data yang bersifat
bulanan. Selain itu metode-metode analisis data deret waktu tidak mampu
menganalisis suatu data deret waktu yang tidak lengkap. Ketidaklengkapan data
pada kasus ini seperti suatu data tahunan yang pada tahun 1995 tercatat namun
pada tahun 1996 dan tahun 1997 tidak tercatat sedangkan pada tahun 1998 tercatat
dan berikutnya tidak tercatat kembali. Pada metode analisis data deret waktu
umumnya tidak mampu mengatasi ketidaklengkapan data seperti halnya ilustrasi
tersebut. Kelemahan-kelemahan tersebut yang menjadikan para peneliti
mengembangkan suatu metode yang mampu mengatasi permasalahan tersebut
yaitu dengan cara mengembangkan sebuah model kontinu. Model kontinu erat
hubungannya dengan model waktu kontinu yang pertama kali dicetuskan oleh
Philips (1959). Philips mengembangkan algoritma rinci pertama untuk
mengestimasi model waktu kontinu dari data diskret yang digunakan dalam
makroekonomi.
Model waktu kontinu yang juga disebut sebagai model dinamik
didefinisikan sebagai model yang berubah secara kontinu berdasarkan waktu. Yu
(2011) pengembangan model waktu kontinu ini didasari atas fakta bahwa banyak
peubah yang mengalami perubahan yang bersifat kontinu, akan tetapi karena
keterbatasan dalam merekam data menjadi seolah-olah waktu yang melekat pada
data tersebut bersifat diskret. Penelitian selanjutnya dilakukan oleh Bergstrom
(1966) yang memperkenalkan EDM (Exact Discrete Model) yaitu model yang
menghubungkan paramter model waktu diskret ke dalam nilai yang mendasari
parameter model waktu kontinu dengan hubungan non linier. Malinvaud (1980)
menggunakan metode jarak terdekat (Minimum Distance) untuk pendugaan
parameter EDM. Selanjutnya Harvey & Stock (1985) menggunakan algoritma
kalman filter untuk meduga parameter EDM.
Metode-metode analisis yang telah banyak dikembangkan oleh para
peneliti yang berhubungan dengan analisis data deret waktu tersebut masih
memiliki keterbatasan yaitu hanya melihat pengaruh suatu peubah dengan peubah
itu sendiri berdasarkan waktu sebelumnya namun tidak mampu melihat pengaruh

2
dengan peubah lainnya. Analisis yang mampu melihat kedua pengaruh antara
pengaruh objek dengan pengaruh waktu disebut analisis data panel.
Data panel merupakan penggabungan antara data yang berupa objek dan
waktu sehingga mampu melihat pengaruh waktu dan objek secara bersama jika
yang terlibat dalam model lebih dari satu objek pengamatan (Baltagi 2005).
Menurut Gujarati (2003) penggunaan data panel memiliki kelebihan, yaitu lebih
komprehensif, karena jumlah objek pengamatan yang meningkat mampu
meningkatkan efisiensi dalam penaksiran parameternya. Namun selain itu Baltagi
(2005) menyebutkan bahwa salah satu kelemahan dari data panel yaitu terletak
pada rancangan dan pengumpulan data. Penelitian empiris yang menggunakan
data panel telah banyak berkembang di berbagai bidang seperti dilakukan
Heshmati et al. (1995) yang melakukan penelitian data panel untuk industry pork,
Frazier & Kockleman (2005) menggunakan regresi panel spasial untuk penelitian
transportasi, Niu et al. (2011) melakukan penelitian mengenai pertumbuhan
ekonomi, konservasi energy dan reduksi emisi di delapan negara.
Oud & Singer (2000) melakukan penelitian pada data panel di bidang
psikologi dengan model waktu kontinu. Ait & Sahalia (2007) menggunakan
pendekatan yang paling sederhana untuk model waktu kontinu yaitu
menggunakan metode indirect dengan cara menduga koefisien parameter
menggunakan teknik pendugaan diskret kemudian menggunakan koefisien
tersebut untuk model waktu kontinu. Oud & Singer (2008) telah melakukan
penelitian model waktu kontinu dengan menggunakan metode Kalman Filter yang
pada penelitian tersebut masih memiliki kekurangan yaitu adanya autokorelasi
pada sisaannya. Voekle et al. (2012) menggunakan model persamaan struktural
(Struktural Equation Model) dalam menduga parameter-parameter model waktu
kontinu.
Model persamaan struktural (SEM) adalah suatu model berupa gabungan
dari analisis faktor dan regresi berganda yang dapat digunakan untuk menguji
serangkaian hubungan dependen yang terdiri dari beberapa struktur secara
serentak (Hair et al. 1998). Oleh karena itu, data panel yang diaplikasikan sebagai
penerapan model waktu kontinu tersebut menggunakan peubah latent. Oud &
Delsing (2010) mengatakan bahwa untuk mendapatkan parameter kontinu pada
model waktu kontinu tetap menggunakan pendekatan-pendekatan diskret. Adapun
pendekatan diskret yang pada umumnya digunakan adalah metode Exact Discrete
Model (EDM) dan metode Approximate Discrete Model (ADM).
Toharudin et al. (2007) menuliskan bahwa parameter kontinu dari model
waktu kontinu diperoleh dengan pendekatan matematika yang dapat dituliskan
sebagai berikut
A ti  e Ati
Berdasarkan persamaan tersebut diatas dapat dikatakan bahwa parameter kontinu
dan parameter diskret memiliki hubungan secara matematis yang biasa disebut
sebagai matriks drift. �∆�� dilambangkan sebagai matriks drift untuk model waktu
diskret sedangkan � dilambangkan sebagai matriks drift untuk model waktu
kontinu. Adapun diagonal utama dari matriks drift merupakan penduga dari
parameter autoregressive sedangkan diagonal lainnya merupakan penduga dari
parameter cross lagged.
Dalam membangun sebuah model baik model waktu diskret maupun
model waktu kontinu tentunya mengevaluasi suatu kebaikan model maupun

3
pengujian signifikansi parameter merupakan hal yang paling utama. Beberapa
kriteria kebaikan model antara lain seperti AIC, BIC dan juga dugaan selang
kepercayaan dari parameter yang diperoleh. Selang kepercayaan merupakan suatu
kisaran nilai yang dianggap mengandung nilai parameter populasi yang
sebenarnya. Hal terpenting yang digunakan untuk mengevaluasi baik buruknya
selang kepercayaan adalah lebar selang dan seberapa besar peluang selang
tersebut dapat mencakup nilai parameter yang sesungguhnya (Casella & Berger
2002). Lebar selang sangat dipengaruhi oleh keragaman data sehingga
berdasarkan selang kepercayaan parameter mampu melihat keragaman dari
parameter model dan juga kestabilan dari parameter model yang didapatkan.
Metode pendugaan selang kepercayaan banyak dikaji oleh para peneliti adalah
metode bootstrap yang diantaranya yaitu Hall (1988a), Hall (1988b), dan Benton
& Krishnamoorthy (2002).
Bootstrap adalah prosedur statistika berbasis komputer menggunakan
teknik pengambilan sampel ulang dengan pengembalian (resampling with
replacement). Metode yang diperkenalkan oleh Efron (1979) ini merupakan salah
satu alternatif metode untuk menduga sebaran statistik, galat baku statistik, bias,
selang kepercayaan, dan beberapa parameter lain selain rata-rata (Efron 1981;
Efron & Tibsirani 1993). Efron memberikan dua pendekatan bootstrap, yaitu
bootstrap non parametrik dan bootstrap parametrik.
Berdasarkan uraian diatas, peneliti melakukan penelitian yang berjudul
pendugaan selang kepercayaan parameter model waktu kontinu dengan
pendekatan persamaan struktural menggunakan metode bootstrap. Sebagai
ilustrasi peneliti menggunakan data terapan yang diambil dari Trends in
International Mathematics and Science Study (TIMSS) mengenai prestasi
matematika dan pengalaman guru mengajar kelas 8.
Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini, antara lain :
1. Mengetahui sebaran dari penduga parameter model waktu kontinu yang
digunakan untuk uji signifikansi berdasarkan hasil sebaran yang diperoleh.
2. Menduga selang kepercayaan terpendek dari sebaran penduga parameter
model waktu kontinu.
3. Mengetahui trend nilai penduga parameter dengan membandingkan hasil
prediksi dengan menggunakan berbagai ∆��

2 TINJAUAN PUSTAKA
Prestasi Matematika TIMSS
TIMSS adalah studi internasional tentang pergerakan matematika dan
sains. Studi ini diselenggarakan oleh International Association for Evaluation of
Educational Achievment (IEA) yaitu sebuah asosiasi internasional untuk menilai
prestasi dalam matematika. TIMSS berpusat di Lynch School of Education,
Boston College, USA. TIMSS bertujuan untuk mengetahui peningkatan
pembelajaran matematika dan sains yang salah satu kegiatan TIMSS adalah

4
menguji prestasi matematika siswa kelas 4 SD (Sekolah Dasar) dan kelas 8 SMP
(Sekolah Menengah Pertama).
Metode sampling yang digunakan TIMSS adalah metode Stratified Two
Stage Sampling atau teknik strata 2 tahap. Pada penelitian TIMSS strata pertama
yang digunakan adalah sekolah yang pada tahap pertama ini metode sampling
yang digunakan adalah metode pengambilan sampel systematik. Pada survey
TIMSS ini, TIMSS dibantu oleh Koordinator Riset Nasional Negara yang dalam
hal ini sudah tersedia sampling frame sekolah yang memiliki siswa yang layak
berpartisipasi pada penilaian. Sampling Frame sekolah tersebut diurutkan
berdasarkan daerah demografis. Selanjutnya strata kedua yang digunakan adalah
strata kelas. Pada tahapan kedua ini seluruh siswa pada kelas yang telah terpilih
berpartisipasi pada penilaian TIMSS.
TIMSS untuk siswa SMP terbagi menjadi dua dimensi yitu dimensi konten
dan dimensi kognitif dengan memperhatikan kurikulum yang berlaku di negara
yang bersangkutan. Dimensi konten terdiri atas empat kategori yaitu aljabar,
geometri, data dan peluang. Setiap kategori pada dimensi konten meliputi topik
bilangan cacah, pecahan dan desimal, bilangan bulat, perbandingan , proporsi, dan
presentase. Tabel 1 menunjukkan proporsi kemampuan yang diuji dalam setiap
kategori yang dinilai pada dimensi konten. Selanjutnya pada Tabel 2
menunjukkan proporsi kemampuan yang diuji dalam setiap kategori yang dinilai
pada dimensi kognitif.
Tabel 1. Proporsi Kemampuan pada Dimensi Konten dalam Studi TIMSS
Dimensi
Penilaian
Konten

Kategori
Bilangan

Proporsi
(%)
30

Aljabar

30

Geometri

20

Data dan
Peluang

20

Topik
Bilangan cacah
Pecahan dan desimal
Bilangan bulat
Rasio , proporsi dan persen
Pola dan hubungan
Ekspresi aljabar
Persamaan dan fungsi
Bentuk-bentuk geometri
Pengukuran
Letak dan perpindahan
Organisasi dan representasi data
Menafsirkan data
Peluang

Pada dimensi kognitif terdiri atas tiga kategori yaitu mengetahui fakta dan
prosedur (pengetahuan), menggunakan konsep dan memecahkan masalah rutin
(penerapan), dan memecahkan masalah nonrutin (penalaran). Pada dimensi
kognitif dimaknai sebagai perilaku yang diharapkan dari siswa ketika siswa
tersebut menghadapi masalah pada persoalan dalam dimensi konten. Oleh karena
itu pada dimensi kognitif, fokus utamanya adalah pemecahan masalah dalam soalsoal tes yang terkait dengan hampir semua topik dalam dimensi konten.
Bentuk soal-soal dalam TIMSS adalah pilihan ganda, isian singkat dan
uraian. Adapun penilaian untuk soal pilihan ganda yaitu nilai 1 jika benar dan 0
jika salah begitu pula dengan isian singkat yaitu 0 jika salah dan 1 jika benar.

5
Sedangkan pada bentuk soal uraian dengan nilai maksimal 10 dan nilai
minimalnya adalah nol. Pada soal uraian apabila terdapat jawaban yang tidak
sempurna, maka proporsi nilai untuk jawaban mengacu pada kunci jawaban. Nilai
ideal pada penilaian prestasi matematika TIMSS yang meliputi kedua konten
tersebut adalah 1000 namun mulai dari tahun 1995 hingga berturut-turut tahun
199, 2003, 2007 dan 2011 nilai prestasi matematika siswa berada pada kisaran
265-625.
Tabel 2. Proporsi Kemampuan pada Dimensi Kognitif dalam Studi TIMSS
Dimensi
Penilaian
Kognitif

Kategori
Penerapan
(knowing)

Proporsi
(%)
30

Topik
Mengingat, mengenali, menghitung,
mengukur,mengklarifikasi, mengurutkan

Penerapan
(applying)

30

Memilih, merepresentasi, memodelkan,
menerapkan, memecahkan masalah rutin

Penalaran
(reasoning)

20

Menganalisa,
menggeneralisasi,
mengintegrasi,
memberi,
alasan,
memecahkan soal non-rutin

TIMSS mengelompokkan kemampuan matematika baik aljabar, data dan
peluang, bilangan maupun geometri berdasarkan Math International Benchmark,
yaitu: kemapuan siswa dengan skor kurang dari 400, antara 400 sampai kurang
dari 475, antara 475 sampai kurang dari 550, antara 550 sampai kurang dari 625,
dan skor 625 ke atas. Berdasarkan hasil survey 2007, skor matematika siswa
Indonesia berada pada rata-rata 397,1 dan ini termasuk ke dalam kategori sangat
rendah dan berada di bawah skor rata-rata TIMSS.
Secara umum banyak sekali faktor yang dapat mempengaruhi prestasi
belajar baik internal maupun eksternal. Faktor internal adalah faktor yang berasal
dari siswa yang terdiri dari aspek fisiologis dan psikologis. Aspek psikologis
dapat mempengaruhi kuantitas dan kualitas perolehan pembelajaran siswa,
beberapa hal yang dipandang penting adalah tingkat kecerdasan, sikap siswa
terhadap pelajaran, bakat, minat dan motivasi siswa (Syah 2005). Sedangkan
pendidikan orang tua, cita-cita pendidikan siswa, jumlah buku yang dimiliki siswa
di rumah, ketersediaan perangkat komputer, sosial ekonomi, waktu pengerjakan
pekerjaan rumah merupakan faktor eksternal dari siswa yang berpengaruh
terhadap prestasi akademiknya (Mullis et al 2005). Khusus dalam bidang
matematika, Santoso (Puspendik 2009) telah merangkum faktor-faktor baik
internal maupun eksternal yang dapat mempengaruhi prestasi matematika siswa
yaitu sebagai berikut:
1. Sikap/motivasi belajar matematika siswa: suka matematika, menikmati
belajar matematika, senang belajar matematika, belajar matematika dengan
baik, belajar matematika lebih cepat, ingin belajar lebih banyak matematika,
matematika akan membantu menyelesaikan masalah kehidupan sehari-hari,
matematika dibutuhkan untuk mempelajari pelajaran lain, matematika
dibutuhkan untuk masuk perguruan tinggi, matematika dibutuhkan untuk
mencari pekerjaan. Persepsi siswa terhadap sekolah: senang berada di

6

2.
3.

4.
5.
6.
7.

8.

sekolah, para siswa giat belajar di sekolah, para guru sangat mendorong
siswa untuk belajar lebih giat.
Persepsi siswa terhadap matematika: matematika sangat sulit, matematika
bukan keahlainku, matematika membosankan.
Minat belajar siswa: berlatih matematika tanpa kalkulator, memecahkan
pecahan dan desimal, memecahkan soal-soal geometri, menyajikan data
dalam tabel dan diagram, menuliskan persamaan dan fungsi, menghapal
rumus-rumus matematika, mengaitkan matematika dengan kehidupan
sehari-hari, belajar kelompok, membahas pekerjaan rumah, mendengarkan
penjelasan guru, memperoleh kuis dan tes.
Perilaku siswa: terlambat sekolah, bolos sekolah, rebut di kelas,
meninggalkan jam pelajaran.
Sosial ekonomi orang tua: tingkat pendidikan orang tua, kepemilikan buku
pelajaran, meja belajar, komputer, internet.
Latar belakang guru: lama mengajar, tingkat pendidikan, program studi yang
ditempuh.
Penilaian guru terhadap sekolah: kepuasan kerja, pemahaman guru terhadap
kurikulum dan tujuan pembelajaran, dorongan orang tua, harapan siswa
untuk berprestasi.
Sarana prasarana sekolah: gedung sekolah, ruang kelas, laboratorium
komputer, perpustakaan, buku-buku pelajaran.
Model Persamaan Struktural

Model persamaan struktural (SEM) merupakan salah satu analisis peubah
ganda yang mampu menganalisis hubungan variabel secara kompleks. Analisis ini
pada umumnya digunakan untuk penelitian-penelitian yang menggunakan banyak
variabel dan mampu menganalisis model yang rumit secara simultan. Analisis
pada model persamaan struktural ini dapat juga disebut sebagai analisis yang
mengkombinasikan beberapa aspek yang terdapat pada analisis jalur dan analisis
faktor untuk menduga beberapa persamaan simultan. Analisis jalur adalah metode
yang menganalisis sistem pada persamaan struktural dengan membentuk diagram
lintas yang menjelaskan mekanisme hubungan antar peubah dengan cara
menguraikan kovarian dan korelasi menjadi pengaruh langsung dan tidak
langsung (Bollen 1989). Sedangkan analisis faktor adalah analisis koragam
diantara peubah yang dijelaskan dalam sejumlah kecil faktor umum (common
factor) ditambah dengan sebuah faktor unik untuk setiap peubah dimana faktor
tersebut tidak secara eksplisit diamati yang dikenal dengan peubah laten (Johnson
& Winchern 2002).
Peubah laten merupakan konsep abstrak, seperti perilaku orang, sikap,
perasaan dan motivasi. Peubah laten hanya dapat diamati secara tidak langsung
dan tidak sempurna melalui pengaruhnya pada peubah teramati. Persamaan
struktural mempunyai 2 jenis peubah laten, yaitu peubah eksogen yang
dinotasikan dengan dengan ξ (“ksi”) dan peubah endogen dinotasikan dengan
(“eta”). Selanjutnya peubah teramati adalah peubah yang dapat diamati atau
dapat diukur secara empiris dan sering disebut sebagai indikator. Peubah teramati
merupakan pengaruh atau ukuran dari peubah laten. Model umum persamaan
struktural didefinisikan sebagai berikut:

7

  B  Γ  

(1)

dengan
B:
Γ:
:
:
:

matriks koefisien peubah laten endogenous berukuran
matriks koefisien peubah laten eksogenous berukuran
vektor peubah laten endogenous berukuran
1
vektor peubah laten eksogenous berukuran 1
vektor sisaan acak hubungan antara dan � berukuran
1
Berikut model persamaan struktural dengan p adalah banyaknya indikator
atau peubah teramati pada peubah laten endogen sedangkan q adalah banyaknya
indikator atau peubah teramati pada peubah laten eksogen:

dengan
:
:
:
Λ
Λ

:
:
:

y   y  

Cov   

x   x  

Cov   

(2)
(3)

vektor peubah penjelas tidak bebas yang berukuran p × 1
vektor peubah penjelas bebas yang berukuran q × 1
matriks koefisien regresi antara y terhadap peubah
yang
berukuran p × m
matriks koefisien regresi antara x terhadap peubah ζ yang
berukuran q × n
vektor sisaan pengukuran terhadap y yang berukuran p × 1
vektor sisaan pengukuran terhadap x yang berukuran q × 1

Kesalahan struktural muncul disebabkan peubah bebas tidak dapat
memprediksi secara sempurna peubah terikat. Kesalahan ini diasumsikan tidak
berkorelasi dengan peubah eksogen dari model dan dinotasikan dengan .
Kesalahan pengukuran disebabkan oleh indikator-indikator atau peubah-peubah
teramati tidak dapat secara sempurna mengukur peubah laten terkait. Komponen
kesalahan yang berkaitan dengan peubah teramati
dinotasikan dengan ,
sedangkan yang berkaitan dengan peubah y dinotasikan dengan (Johnson &
Winchern 2002).
Pendugaan Parameter Model Persamaan Struktural
Parameter-parameter yang harus diduga dalam model persamaan struktural
yaitu Β, Γ, Φ, Ψ. Pendugaan dilakukan dengan cara meminimumkan
fungsi =f , , Φ, Ψ sedemikian sehingga matriks kovarian yang diturunkan
dari model yaitu







I  B 1  '   I  B 1 ' '  

   
1 ' '
'
B  I  B  






I  B  B 

BB '   
1

(4)

8
sedekat mungkin atau sama dengan matriks kovarian populasi dari peubah-peubah
teramati, Σ, yang didekati dengan matriks kovarian sampel dari peubah-peubah
teramati yaitu
cov y, y  cov y, x 
S
(5)

 covx, y  covx, x 
Pendugaan dilakukan secara iteratif dengan meminimumkan fungsi
pengepasan (fitting function). Fungsi pengepasan merupakan fungsi dari S dan
Σ( ) yaitu F(S, Σ( )). Menurut Bollen (1989), beberapa karakteristik dari F(S,
Σ( )) adalah:
1. F(S, Σ( )) adalah skalar.
2. F(S, Σ( )) ≥ 0.
3. F(S, Σ( )) = 0 jika dan hanya jika Σ( ) = S.
4. F(S, Σ( )) kontinu dalam S dan Σ( ).
Pendugaan parameter dengan metode kemungkinan maksimum secara
iteratif akan meminimumkan fungsi pengepasan, F(S, Σ( )), yaitu (Oud & Jansen
2000):





FML    log    tr S  1    log S   p  q 

(6)

dengan asumsi Σ( ) dan S definit positif, x dan y berdistribusi normal ganda, dan
S memiliki distribusi Wishart (Bollen 1989).

Model Waktu Kontinu
Model waktu kontinu memodelkan hubungan antara suatu peubah dengan
peubah itu sendiri dan dengan peubah lainnya pada k periode waktu sebelumnya
dengan parameter model yang bersifat kontinu pada berbagai interval waktu.
Menurut Yu (2011) pengembangan model waktu kontinu ini didasari atas fakta
bahwa banyak peubah yang mengalami perubahan yang bersifat kontinu, akan
tetapi karena keterbatasan merekam data menjadi seolah-olah waktu yang melekat
pada data tersebut bersifat diskret.
Misalnya seorang peneliti melakukan pengamatan selama satu tahun
terhadap perkembangan harga emas pada perusahaan ANTAM dengan waktu
pengamatan selama 1 minggu ∆�1 = ∆�2 = ⋯ = ∆�� = 1 minggu , selanjutnya
hasil pengamatan tersebut dapat digambarkan ke dalam model diskret
autoregressive sebagai berikut:

xi  xi 1  wi

i  1,2,, T

(6)

Persamaan (6) tersebut menggambarkan hubungan antara suatu peubah
dengan peubah itu sendiri berdasarkan waktu. Dalam hal ini jika peneliti akan
melakukan penelitian pergerakan harga emas yang dihubungkan dengan faktor
lain seperti harga tukar rupiah dalam seminggu maka, �� adalah vektor
berukuran V 1 dari hasil pengamatan dua peubah yang saling berhubungan yang
diamati pada beberapa waktu secara bersama-sama. Oleh karena itu, persamaan
(6) dapat dituliskan berikut:
xti   Ati xti  ti   wti 

i  1,2,, T

(8)

9
∆�� adalah vektor dari galat yang
dengan, � ∆�� adalah matriks drift dan
berukuran � × 1, yang diasumsikan tidak berkorelasi antar waktu selanjutnya ∆��
merupakan interval waktu pengamatan.
Oud & Delsing (2010) menuliskan bentuk umum dari model waktu kontinu
dengan memasukan komponen intersep b adalah sebagai berikut.
dW t 
dxt 
 Axt   b  G
dt
dt

(9)

dengan,
Axt 

b
G

dW t 
dt

:
:
:

matriks drift
intersep
sisaan model waktu kontinu

Matriks drift merupakan matriks yang terdiri atas pengaruh autoregressive pada
diagonal utama dan pengaruh cross-lagged pada diagonal lainnya. Cross-lagged
yaitu hubungan antara suatu peubah dengan peubah lainnya sedangkan
autoregressive yaitu hubungan antara suatu peubah dengan peubah itu sendiri
pada saat t+1.
Pada Gambar 1 menggambarkan hubungan antara peubah
dan peubah
� dari tahun pertama hingga tahun berikutnya. Berdasarkan ilustrasi pada
Gambar 1 terlihat bahwa kedua peubah mempunyai hubungan autoregressive dan
hubungan cross lagged, yang mana hubungan autoregressive terlihat pada
parameter 11 , 22 sedangkan hubungan cross-lagged terlihat pada parameter
12 , 21 . Parameter 11 artinya hubungan antara peubah
� dengan peubah
�+1
atau dapat diartikan bahwa peubah
pada saat ini memiliki hubungan dengan
peubah itu sendiri pada waktu berikutnya, begitu pula dengan parameter 22 .
Kemudian parameter 12 artinya peubah � memiliki hubungan dengan peubah
��+1 dan sebaliknya parameter 21 artinya peubah �� memiliki hubungan
dengan peubah �+1 .
�

11

�+1

12

11

�+2

12

21
21
�

22

�+1

22

�+2

Gambar 1. Ilustrasi hubungan autoregressive dan cross-lagged 2 peubah

Pendugaan Parameter Model Waktu Kontinu
Oud & Delsing (2010) menjelaskan bahwa parameter dari model waktu
kontinu pada persamaan (6) di atas dapat diduga dengan pendekatan-pendekatan
diskret baik dengan metode EDM maupun metode ADM. Adapun model umum
metode EDM (Exact Discrete Model) adalah sebagai berikut:
xti  Ati xti ti  bti  wti ti
(10)

10
dengan, �
�� − �� =
��
Parameter-parameter diskret pada persamaan (9) tersebut dapat diperoleh
dengan cara menduga parameter-parameter persamaan struktural pada persamaan
(1) dan (2). Berdasarkan persamaan (1) dan (2) yang diduga dengan
meminimukan nilai fungsi akan memperoleh matriks B dan Ψ . Dalam Voelkle
et al. (2012), matriks �∆�� , �∆�� , dan matriks kovarian Q ∆ti dari model waktu
diskret dapat diduga dari matriks B dan Ψ dalam persamaan struktural yaitu:
 0
A
 t1
 0
B
 
 0

 0

0



0

0

0

0

0

Ati

0

0

0

0


0
0

0
0

Ati T

0

 xt 

bt1 
bti 

 
bti T 

0 
0

(11)

dan
xt 0  0
 0
Qt1

 
0
ψ
0
 0
 0
0

0
 0


0

Qtii

0
0

0
0

Qti T
0









1

(12)

Parameter waktu kontinu berupa matriks drift A yang menunjukkan
bagaimana hubungan antara suatu peubah dengan peubah itu sendiri dan peubah
lainnya pada k periode waktu sebelumnya merupakan parameter yang bersifat
kontinu terhadap berbagai interval waktu. Hubungan antara parameter kontinu A
dengan parameter diskret yaitu (Toharudin et al. 2007)
A ti  e Αti





bti  A 1 e Ati  I b

 
1
#

Qti  irow A e

A#ti





 I rowQ

(13)

Q  GG ' , A #  A  I  I  A

dengan, ∆�� = ∆�1 , ∆�2 , ⋯ , ∆��−1 . Operasi ⊗ merupakan perkalian Kronecker , row
artinya menjadikan matriks sebagai vektor dan irow sebagai lawan dari perintah
row yang artinya mengembalikan bentuk vector semula menjadikan bentuk
matriks kembali.
Pada persamaan (12) menunjukkan adanya hubungan antara parameter
waktu diskret dengan parameter waktu kontinu. Pada beberapa pengamatan yang
mempunyai interval waktu yang berbeda maka ∆�� akan selalu berbeda lain
halnya dengan pengamatan yang memiliki interval waktu yang sama maka nilai
∆�� akan sama. Oleh karena itu, dapat disimpulkan bahwa ∆�� akan bergantung
pada interval pengamatan yang dilakukan.
Secara matematis, hubungan antara parameter model waktu diskret dengan
parameter model waktu kontinu dapat dibuktikan dengan cara menurunkan

11
persamaan model waktu diskret pada persamaan (9) terhadap ∆�� yang dapat
dituliskan sebagai berikut
dxt 
 Axt 
dt

dengan

xt   eAt t 0  xt0 

(14)

(15)

dimana �0 = �� − ∆�� dan ∆�� = � − �0 . Dalam hal ini persamaan (15) akan
dibuktikan dengan menggunakan deret Taylor berikut


At k

k 0

k!

e At  

 I  At 

1
At 2  1 At 3  
2!
3!

(16)

Perhatikan jika persamaan (13) diturunkan terhadap � maka diperoleh
de At
1
1
 0  A  A 2  A 3t 2  A 4 t 3  
dt
2!
3!
1
1


2
3
 A I  At  At   At   
2
!
3
!


At
 Ae

(17)

Selanjutnya dapat diperoleh persamaan � ∆�� = ∆�� seperti tercantum pada
persaman (13), dengan cara menyamakan persamaan (15) dengan persamaan (10).
Dengan demikian parameter model waktu kontinu dapat diperoleh dengan
pendekatan deret Taylor seperti pada persamaan (13) yang dapat dituliskan seperti
berikut

1 2
1
2
3
(18)
A t i   A 3 t i   
2!
3!
Persamaan (17) digunakan untuk melakukan pendugaan parameter diskret dengan
nilai ∆�� yang berbeda-beda sesuai dengan kebutuhan pada Penelitian. Hal ini
telah diilustrasikan pada Bab berikutnya.
e Ati  At i   I  At i  

Pendugaan Selang Kepercayaan Parameter Model Waktu Kontinu
Selang Kepercayaan
Penduga bagi parameter populasi ada dua jenis, yaitu penduga titik dan
penduga selang atau disebut sebagai selang kepercayaan. Selang kepercayaan
merupakan penduga parameter yang berupa kisaran nilai. Sebuah selang
kepercayaan dengan tingkat kepercayaan sebesar C bagi parameter adalah selang
yang dihitung dari data contoh dengan suatu metode tertentu yang memiliki
peluang sebesar C untuk menghasilkan selang yang mengandung nilai parameter
sesungguhnya (Moore & McCabe 1998).
Secara matematis, Casella & Berger (2001) mendefinisikan selang dugaan
tertutup bagi parameter yaitu selang tertutup yang ujung bawah dan ujung
atau
dan
atasnya
masing-masing
1, ⋯ ,
1, ⋯ ,
anggota ruang sampel �. Jika
untuk 1 , ⋯ ,
,
1, ⋯ ,
1, ⋯ ,
adalah
sampel
yang
terambil
secara
acak,
maka
,
⋯
,
1

12
disebut selang dugaan acak bagi . Jika �1 . ⋯ , �
,
1, ⋯ ,
1, ⋯ ,
disebut selang penduga
,
adalah sampel acak, maka
1, ⋯ ,
1, ⋯ ,
(acak) bagi �1 . ⋯ , � . Sedangkan, peluang dari selang penduga bagi,
untuk mencakup nilai
disebut “peluang
,
1, ⋯ ,
1, ⋯ ,
pencakupan” dituliskan sebagai berikut:
�

1, ⋯ ,

,

1, ⋯ ,

=

1, ⋯ ,

≤

≤

1, ⋯ ,

Jika besarnya peluang pencakupan adalah 1 −
, maka selang ini disebut
selang kepercayaan 1 − x 100% bagi . Misalnya, untuk = 0.05 maka
diperoleh selang kepercayaan 95% bagi . Bentuk umum dari selang kepercayaan
adalah (Moore & McCabe 1998) :
Dugaan titik ± batas kesalahan
Dugaan titik adalah perkiraan untuk parameter yang tidak diketahui. Batas
kesalahan (margin of error) menunjukkan seberapa akurat nilai dugaan tersebut
dapat dipercaya, berdasarkan variasi dugaan yang diperoleh.
Levy & Lemeshow (1999) memaknai selang kepercayaan 95% yaitu jika
melakukan pengambilan sampel berukuran dari sebuah populasi yang sama
berulangkali, dan untuk setiap sampel dilakukan perhitungan selang kepercayaan,
maka 95% dari selang kepercayaan tersebut akan mencakup nilai parameter
populasi yang sesungguhnya. Penentuan selang kepercayaan bagi parameter
populasi dapat dilakukan dengan pembalikan statistik uji, menggunakan besaran
pivot, pivoting fungsi sebaran kumulatif, dan metode bayes. Baik buruknya
dugaan selang kepercayaan yang diperoleh dapat dievaluasi dengan melihat dua
aspek, yaitu lebar selang dan peluang pencakupan. Lebar selang didefinisikan
sebagai selisih antara batas atas dan batas bawah selang kepercayaan (Casella &
Berger 2001).
Metode Bootstrap
Bootstrap adalah prosedur statistika berbasis komputer menggunakan
teknik pengambilan sampel ulang dengan pengembalian (resampling with
replacement). Metode yang diperkenalkan oleh Efron (1979) ini merupakan salah
satu alternatif metode untuk menduga sebaran statistik, galat baku statistik, bias,
selang kepercayaan, dan beberapa parameter lain selain rata-rata (Efron 1981;
Efron dan Tibsirani 1993). Efron memberikan dua pendekatan bootstrap, yaitu
bootstrap non parametrik dan bootstrap parametrik. Berikut akan dijelaskan
bagaimana konsep kedua pendekatan ini dan kapan pendekatan tersebut cocok
digunakan.
1. Bootstrap non parametrik
Pada pendekatan bootstrap non parametrik, sebaran peluang populasi tidak
diketahui. Metode ini bertujuan untuk memperoleh dugaan parameter dan
adalah sampel acak dari
sebaran populasi. Asumsikan = 1 , 2 , … ,
sebaran peluang populasi
yang tidak diketahui dan
=�
adalah
parameter yang ingin diduga. Prinsip pembangkitan sampel bootstrap adalah
sebagai berikut :
a. Ambil sampel berukuran n secara acak dengan pengembalian dari fungsi
sebaran empiris (� ) . Fungsi sebaran empiris tersebut adalah sebaran

13
1

diskret yang menentukan peluang untuk setiap pengamatan � untuk
� = 1,2, ⋯ .
b. Proses tersebut dilakukan berulang-ulang hingga sebanyak kali.
c. Untuk setiap sampel yang diambil pada proses bootstrap kemudian
dihitung dugaan ∗ , sehingga diperoleh gugus data 1∗ , 2∗ , ⋯ �∗ . Sebaran
dari sebanyak � buah ∗ dapat digunakan untuk menduga sebaran dari .
Pada umumnya, ukuran B antara 50–200 untuk menduga galat baku , dan
paling sedikit 500 untuk menduga selang kepercayaan (Efron dan Tibsirani
1993).
2. Bootstrap parametrik
Pada bootstrap parametrik, sebaran populasi data asli diketahui, tetapi
sebaran statistiknya tidak diketahui (Otieno 2002). Pendekatan bootstrap
parametrik membangkitan sampel bootstrap dengan sebaran parametrik (Amiri
et al. 2008).
Berikut adalah prosedur dari pendekatan ini :
adalah sampel dari pengamatan yang berasal dari
Misalkan = 1 , 2 , … ,
populasi dengan fungsi sebaran
, .
adalah parameter yang tidak
diketahui. Dari data tersebut, dihitung dugaan . Ambil sampel bootstrap, ∗ ,
berukuran
dari sebaran � , . Hitung penduga dari setiap sampel
bootstrap, ∗ . Ulangi proses ini sebanyak � kali, sehingga diperoleh
∗ ∗
∗
. Sebaran penarikan sampel dari dapat didekati dengan frekuensi
1 , 2, … ,
sebaran dari �∗ (Benton dan Krishnamoorthy 2002).
Efron (1993) memberikan ilustrasi bootstrap parametrik untuk menghitung
galat baku dari koefisien korelasi. Bootstrap parametrik cenderung memberikan
dugaan yang lebih halus mengenai sebaran dari data dengan ukuran sampel kecil
dan untuk parameter yang hanya melibatkan sedikit nilai numerik dari data sampel,
misalnya median, nilai minimum, dan nilai maksimum (Otieno 2002).

3 METODE PENELITIAN
Data
Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data terapan yang
diperoleh dari Trends in International Mathematics and Science Study (TIMSS).
TIMSS mengukur pergerakan kemampuan siswa kelas 4 dan kelas 8 dalam bidang
matematika dan sains dengan survei yang dilakukan di beberapa negara secara
berkala setiap 4 tahun sekali dimulai sejak dari tahun 1995. Data terapan pada
penelitian ini yaitu data prestasi matematika kelas 8 dari 74 negara di dunia pada
tahun 1995, 1999, 2003, 2007, dan 2011. Data diambil dari
http://www.timssandpirls.bc.edu/#. Ilustrasi data TIMSS yang diaplikasikan pada
model waktu kontinu terlampir pada Lampiran 1.
Prestasi matematika diukur dengan rata-rata nilai siswa yaitu rata-rata dari 2
aspek baik secara perhitungan maupun secara kognitif. Pada aspek perhitungan
nilai matematika dilihat berdasarkan 4 mata pelajaran yaitu pelajaran geometri,
data dan peluang, bilangan, dan aljabar sedangan pada aspek kognitif prestasi
matematika diukur dengan 3 indikator yaitu indikator applying, knowing dan
reasoning. Selanjutnya Data hasil rata-rata dari kedua aspek tersebut telah

14
dikelompokkan oleh TIMSS berdasarkan Math International Benchmark ke dalam
lima kategori yaitu:
1. Sangat rendah {skor kurang dari 400 atau (625]}
Penerapan pemodelan waktu kontinu pada data tersebut untuk melihat
hubungan prestasi matematika dengan pengalaman guru mengajar. Pengalaman
guru dalam mengajar tersebut hanya diukur dengan 1 indikator yaitu lamanya
mengajar dalam satuan tahun. Pada variabel latent pengalaman guru berikut yang
diukur berdasarkan lamanya mengajar juga dikategorikan menjadi 7 kategori yaitu
(0-2, 2-5, 5-9,9-14,14-20,20-27 dan >27).
Metode Analisis
Eksplorasi Data
Menghitung statistika deskriptif sebagai informasi awal dalam
menganalisis data sebagai pemodelan dan pendugaan selang. Pada hasil analisis
statistik deskriptif tersebut dapat diketahui ketidaklengkapan data yang digunakan
berdasarkan banyaknya negara yang tidak berpartisipasi di setiap tahunnya.
Pendugaan Selang
Berikut merupakan tahapan-tahapan dalam menduga selang dengan
menggunakan model waktu kontinu dengan pendekatan persamaan struktural :
Tahapan 1:
1. Melakukan resampling pada peubah latent prestasi matematika yang
diukur berdasarkan 2 aspek yaitu perhitungan dan kognitif untuk setiap
negara dan setiap tahun.
2. Melakukan resampling pada peubah latent motivasi siswa untuk setiap
negara di masing-masing tahun.
3. Menghitung nilai rata-rata untuk masing-masing peubah latent dari data
hasil resampling langkah 1 dan 2.
Tahapan 2:
Berdasarkan prosedur analisis data pada tahapan 1 akan memperoleh satu
data set yang nantinya akan dianalisis untuk mendapatkan parameter-parameter
waktu kontinu. Adapun langkah-langkah untuk mendapatkan parameter-parameter
kontinu adalah sebagai berikut:
1. Menduga parameter diskret dari model persamaan struktural yaitu
, , �, � . Analisis pada langkah ini dilakukan dengan menggunakan
software MPlus 7.
2. Sesuai dengan persamaan (5) dan (6), dari langkah 1 akan mendapatkan
parameter-parameter diskret pada model EDM. Analisis pada langkah ini
dilakukan dengan menggunakan OpenMx versi 1.3.2-2301 pada software
R versi 2.15.2.
3. Selanjutnya menduga parameter kontinu yang secara matematik tertulis
pada persaman (9)
Tahapan 3:
Langkah 1 dan langkah 2 dilakukan sebanyak B=1000 kali sehingga akan
didapatkan nilai penduga parameter model waktu kontinu berdasarkan hasil

15
bangkitan tersebut. Selanjutnya pendugaan selang kepercayaan diperoleh dengan
cara menduga lebar selang yang terpendek dengan tingkat kesalahan sebesar 5%.
Lebar selang didefinisikan sebagai selisih antara batas atas dan batas bawah
selang kepercayaan. Menduga lebar selang dari masing-masing nilai ∆�� dan
melakukan analisis berdarkan hasil lebar selang dugaan yang diperoleh.

4 HASIL DAN PEMBAHASAN
Eksplorasi Data
Data terapan yang digunakan pada penelitian ini melibatkan 74 negara
termasuk Indonesia mulai dari tahun 1995 dan berturut-turut pada tahun 1999,
2003, 2007 dan 2011 dengan interval waktu yang sama yaitu 4 tahun. Pada data
terapan yang digunakan ini tidak semua negara tercatat oleh TIMSS di setiap
tahunnya. Seperti halnya Indonesia pada tahun pertama yaitu pada tahun 1995,
Indonesia belum tercacat oleh TIMSS namun pada tahun-tahun berikunya
Indonesia sudah tercatat oleh