Kajian Konsistensi Pendugaan Parameter Model Waktu Kontinu pada Data Waktu Tak Teratur

KAJIAN KONSISTENSI PENDUGAAN PARAMETER MODEL
WAKTU KONTINU PADA DATA WAKTU TAK TERATUR

ERICA FERA JUWITA

SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014

PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA*
Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis berjudul “Kajian Konsistensi
Pendugaan Parameter Model Waktu Kontinu pada Data Waktu Tak Teratur”
adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum
diajukan dalam bentuk apapun kepada perguruan tinggi manapun. Sumber
informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak
diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam
Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada
Institut Pertanian Bogor.

Bogor, Agustus 2014

Erica Fera Juwita
NIM G152120221

* pelimpahan hak cipta atas karya tulis dari penelitian kerjasama dengan pihak luar IPB harus
didasarkan pada perjanjian kerjasama yang terkait

RINGKASAN
ERICA FERA JUWITA. Kajian Konsistensi Pendugaan Parameter Model Waktu
Kontinu pada Data Waktu Tak Teratur. Dibimbing oleh ASEP SAEFUDDIN dan
BAGUS SARTONO.
Pemodelan deret waktu sudah banyak berkembang, mulai dari pemodelan
sederhana yang melibatkan sebuah peubah dan amatan, seperti model
Autoregressive, Moving Average, dan ARIMA. Begitu juga, untuk pemodelan
yang lebih kompleks yang melibatkan beberapa peubah dan amatan dapat
digunakan model Vector Autoregressive (VAR) dan Vector Error Correction
Model (VECM), serta model data panel. Pada umumnya data yang digunakan
dalam pemodelan tersebut diamati pada selang waktu yang teratur dan prediksi
hanya dapat dilakukan pada beda kala yang merupakan kelipatan dari panjang

selang pengamatan. Untuk itu, pemodelan tersebut dikenal sebagai model waktu
diskret.
Keterbatasan yang dimiliki oleh model waktu diskret menyebabkan nilai
prediksi yang diperoleh dengan pemodelan tersebut tidak dapat menggambarkan
hubungan dari beberapa peubah yang dianggap mengalami perubahan secara
kontinu. Untuk itu telah dikembangkan suatu model yang disebut sebagai model
waktu kontinu yang memungkinkan peneliti dalam melakukan prediksi pada
berbagai beda kala secara kontinu meskipun pengamatan dilakukan dalam periode
waktu yang bersifat diskret. Karena data yang digunakan dalam pemodelan waktu
kontinu tetap diambil pada waktu diskret, maka model waktu kontinu juga
dibentuk berdasarkan model diskret antara lain Exact Discrete Model (EDM) dan
Approximate Discrete Model (ADM).
Kelebihan yang dimiliki oleh model waktu kontinu antara lain dapat
digunakan untuk prediksi pada berbagai selang waktu, dan dapat digunakan pada
pengamatan yang memiliki selang waktu tidak sama (tidak teratur). Walaupun
demikian ketidakteraturan harus terjadi sama untuk setiap objek amatan jika
melibatkan lebih dari satu objek amatan, atau disebut sebagai data waktu tak
teratur. Pada beberapa penelitian sebelumnya banyak digunakan data waktu tak
teratur dalam pemodelan waktu kontinu menggunakan pendekatan EDM. Untuk
itu dalam penelitian ini dilakukan kajian mengenai konsistensi pendugaan

parameter model waktu kontinu pada data waktu tak teratur tersebut melalui
pendekatan EDM. Pendugaan parameter model waktu kontinu dapat dikatakan
konsisten ketika hasil pendugaan parameter model waktu kontinu dengan data
waktu tak teratur tidak berbeda dengan hasil pendugaan parameter model waktu
kontinu dengan data waktu teratur.
Untuk mengetahui seberapa banyak data waktu tak teratur yang dapat
digunakan untuk memperoleh hasil dugaan parameter yang konsisten, maka
dibentuk beberapa jenis data waktu tak teratur berdasarkan data waktu teratur
yang dimiliki. Hasil yang diperoleh menunjukkan bahwa pendugaan parameter
model waktu kontinu dapat dikatakan telah konsisten hanya dengan menggunakan
data waktu tak teratur sebanyak 20%.
kata kunci :

Exact Discrete Model (EDM), Model Waktu Kontinu, Model
Waktu Tak Teratur, Konsistensi

SUMMARY
ERICA FERA JUWITA. Consistency Study of Continuous Time Model
Parameter Estimation in Irregular Time Data. Supervised by Asep Saefuddin and
Bagus Sartono.

Modeling of time series has been much developed, started from simple
modeling that involves a variable and observation, like autoregressive models,
moving average, and ARIMA. Likewise, the more complex modeling that
involves multiple variables and observation such as Vector Autoregressive (VAR)
and Vector Error Correction Model (VECM), as well as panel data models. In
general, the data used in the modeling observed at regular intervals, and the
predictions may only be done at a different time that is a multiple of the
observation interval. Therefore, the modeling is known as a discrete time model.
Limitations of the discrete model causes the obtained predicted value
cannot describe the relationship of variables which are considered to change
continuously. In respect, it has developed a model called continuous time models,
which allow researchers to predict various different times continuously, although
the observations were carried out in a discrete. Because of the data used in the
continuous time modeling still taken in discrete, hence the model was also formed
based on the continuous time discrete models, such as the Exact Discrete Model
(EDM) and Approximate Discrete Model (ADM).
The advantages of the continuous time models; can be used for the
predictions at various intervals, and can be used on observations that have not
same interval (irregular). However, the irregularity should occur at the same for
each object observation that involves more than one object, or called the irregular

time data. In some previous studies, a lot of irregular time data used in the
modeling of continuous time using EDM. Therefore, this study examines the
consistency of continuous time models parameter estimation at irregular time data
using EDM. Parameter estimation of continuous time models can be said to be
consistent when the results of the parameter estimation of continuous time models
with irregular time data are not different from the results of parameter estimation
of continuous time models with regular data interval.
To find out how lot of irregular time data that can be used to obtain
consistent estimates for the parameters, were formed some types of irregular time
data based on available regular time data. The results indicate that the parameter
estimation of continuous time models can be said to have consistent only by using
20% irregular time data.
Key words: Exact Discrete Model (EDM), Continuous Time Models, Irregular
Time Model, Consistency

© Hak Cipta Milik IPB, Tahun 2014
Hak Cipta Dilindungi Undang-Undang
Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan
atau menyebutkan sumbernya. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan,
penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau

tinjauan suatu masalah, dan pengutipan tersebut tidak merugikan kepentingan
IPB
Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis ini
dalam bentuk apapun tanpa izin IPB

KAJIAN KONSISTENSI PENDUGAAN PARAMETER MODEL
WAKTU KONTINU PADA DATA WAKTU TAK TERATUR

ERICA FERA JUWITA

Tesis
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Magister Sains
pada
Program Studi Statistika Terapan

SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITU PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014

Penguji Luar Komisi pada Ujian Tesis : Dr Farit Mochamad Afendi, MSi

Judul Penelitian

: Kajian Konsistensi Pendugaan Parameter Model Waktu
Kontinu pada Data Waktu Tak Teratur

Nama

: Erica Fera Juwita

NIM

: G152120221

Disetujui oleh
Komisi Pembimbing

Prof Dr Ir Asep Saefuddin, MSc

Ketua

Dr Bagus Sartono, MSi
Anggota

Diketahui oleh

Ketua Program Studi
Statistika Terapan

Dekan Sekolah Pascasarjana

Dr Ir Indahwati, MSi

Dr Ir Dahrul Syah, MScAgr

Tanggal Ujian : 22 Agustus 2014

Tanggal Lulus :

PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala karuniaNya sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis yang berjudul “Kajian
Konsistensi Pendugaan Parameter Model Waktu Kontinu Pada Data Waktu Tak
Teratur”.
Terima kasih yang sebesar-besarnya kepada semua pihak yang telah turut
peran serta dalam penyusunan tesis ini, terutama kepada :
1. Bapak Prof. Dr. Ir. Asep Saefuddin, M.Sc dan Bapak Dr. Bagus Sartono,
M.Si selaku dosen pembimbing,
2. Dr.Ir. Indahwati, M.Si selaku Ketua Program Studi Statistika Terapan S2
IPB.
3. Dr. Farit Mochamad Afendi, M.Si, selaku penguji luar komisi pada ujian
tesis.
4. Seluruh Dosen Dapartemen Statistika IPB yang telah mengasuh dan
mendidik penulis selama di bangku kuliah hingga berhasil menyelesaikan
studi.
5. Seluruh staf Departemen Statistika IPB atas bantuan, pelayanan, dan
kerjasamanya selama ini.
6. Orang tua serta seluruh keluarga dan sahabat atas segala dukungan, doa
dan kasih sayangnya.
7. Reba A Pratama, yang selalu direpotkan ketika mengerjakan tesis ini,

atas doa, dukungan, serta bantuannya.
8. Keluarga Besar Mahasiswa Pascasarjana Program Studi Statistika dan
Statistika Terapan IPB.
Penulis menyadari bahwa tesis ini masih belum sempurna. Oleh karena itu,
penulis mengharapkan saran dan kritik yang membangun demi kesempurnaan
penulisan selanjutnya. Semoga semua bantuan yang diberikan kepada penulis
mendapatkan balasan dari Allah SWT, dan semoga penelitian ini dapat
bermanfaat bagi semua pihak yang membutuhkan.

Bogor, Agustus 2014

Erica Fera Juwita

DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL

vi

DAFTAR GAMBAR

vi

DAFTAR LAMPIRAN

vi

1

PENDAHULUAN

1

Latar Belakang

1

Tujuan Penelitian

3

2

3

4

5

TINJAUAN PUSTAKA

3

Exact Discrete Model (EDM)

3

Model Persamaan Struktural

3

Hubungan Antara Model Waktu Kontinu dan Model Waktu diskret

5

Model Waktu Kontinu

5

Pendugaan Parameter Model Waktu Kontinu dengan SEM

6

METODE PENELITIAN

6

Data

6

Prosedur Analisis Data

7

HASIL DAN PEMBAHASAN

9

Angka Melek Huruf (AMH)

9

Anggaran Pendapatan dan Belanja Daerah (APBD)

11

Hubungan AMH dan Anggaran Pendidikan

14

Pendugaan Parameter Model Waktu Kontinu

15

Konsistensi Hasil Dugaan Parameter Model Waktu Kontinu Pada Data
Waktu Tak Teratur

17

SIMPULAN DAN SARAN

19

Simpulan

19

Saran

20

DAFTAR PUSTAKA

20

RIWAYAT HIDUP

32

DAFTAR TABEL

1 Statistik persentase AMH pada tahun 2008-2012
2 Statistik dari peubah persentase anggaran pendidikan pendidikan pada
tahun 2008-2012
3 Nilai Korelasi AMH dan anggaran pendidikan periode tahun 20082012
4 Hasil pendugaan parameter EDM untuk Δti = 1
5 Hasil pendugaan parameter model waktu kontinu untuk berbagai Δti
6 Hasil prediksi model waktu kontinu untuk berbagai ti
7 Hasil analisis konsistensi parameter model waktu kontinu untuk data
waktu tak teratur pada Δti = 1

10
13
14
15
16
17
17

DAFTAR GAMBAR

1 Diagram jalur dalam model persamaan struktural
2 Frekuensi persentase angka melek huruf (AMH) kota/kabupaten di
Indonesia periode tahun 2012
3 Persentase dari lima kelompok persentase AMH kota/kabupaten di
Indonesia periode tahun 2012
4 Frekuensi nilai autokorelasi peubah AMH
5 Persentase dari tiga kelompok anggaran pendidikan kota/kabupaten di
Indonesia periode tahun 2008-2012
6 Frekuensi nilai autokorelasi peubah anggaran pendidikan

4
9
10
11
12
13

DAFTAR LAMPIRAN

1 Data persentase Angka Melek Huruf (AMH) dan anggaran pendidikan
(APBD) periode tahun 2008-2012
2 Histogram peubah AMH periode 2008-2011
3 Hasil analisis konsistensi parameter model waktu kontinu untuk data
waktu tak teratur pada Δti = 2
4 Hasil analisis konsistensi parameter model waktu kontinu untuk data
waktu tak teratur pada Δti = 0.5
5 Algoritma pendugaan parameter EDM
6 Algoritma pendugaan parameter model waktu kontinu

22
23
23
24
24
25

1

1 PENDAHULUAN
Latar Belakang
Dalam berbagai bidang ilmu sangat umum dilakukan pengamatan yang
menghasilkan data deret waktu, yaitu data yang diperoleh dengan cara melakukan
pengamatan terhadap suatu objek pada suatu periode dengan selang waktu yang
teratur. Misalnya dalam bidang ekonomi dilakukan pengamatan terhadap nilai
inflasi di Indonesia pada beberapa periode waktu dengan tujuan agar pemerintah
dapat menetapkan kebijakan pengendalian inflasi. Untuk itu, berbagai macam
pemodelan deret waktu dikembangkan untuk memperoleh nilai prediksi dari data
yang telah dikumpulkan tersebut antara lain model Autoregressive, model Moving
Average, dan model ARIMA.
Kemudian pada perkembangannya ternyata nilai dari suatu peubah tidak
hanya dipengaruhi oleh nilai dari peubah itu sendiri pada periode sebelumnya,
melainkan dapat dipengaruhi oleh nilai dari peubah lain yang diamati pada
periode yang sama. Misalnya, nilai inflasi di Indonesia tidak hanya dipengaruhi
oleh nilai inflasi pada periode sebelumnya melainkan juga dipengaruhi oleh nilai
dari suku bunga. Dalam ekonometrika, jika suatu peubah (Yt) tidak hanya
dipengaruhi oleh periode waktu sebelumnya (Yt-k) melainkan juga dipengaruhi
oleh peubah lain (Xt-k) maka model tersebut dikenal sebagi model cross-lagged.
Beberapa metode yang telah dikembangkan dalam menyusun pemodelan crosslagged antara lain, jika di dalam model terlibat lebih dari satu peubah dan satu
objek amatan, maka model Vector Autoregressive (VAR) (Sim 1980), atau model
Vector Error Correction Model (VECM) (Engle dan Granger 1987) dapat
digunakan. Namun, jika di dalam model terlibat lebih dari satu peubah dan lebih
dari satu objek amatan maka pemodelan data panel menjadi salah satu solusi
(Baltagi 2005).
Pada umumnya pengamatan-pengamatan tersebut diukur pada selang
waktu yang teratur, misalnya nilai dari peubah inflasi dan suku bunga diamati
dengan selang waktu bulanan. Menggunakan model-model diatas maka dapat
diduga nilai dari pengaruh peubah inflasi pada periode saat ini dengan beda kala
(lag) satu bulan, dua bulan ,dan seterusnya, serta dapat diduga pengaruh dari
hubungan peubah inflasi dan suku bunga secara bersama-sama. Pemodelan
tersebut disebut sebagai model waktu diskret, karena prediksi hanya dapat
dilakukan pada beda kala yang merupakan kelipatan dari panjang selang
pengamatan. Akan tetapi, jika ingin melakukan prediksi pada beda kala mingguan
atau bahkan harian dengan memanfaatkan data bulanan, maka model waktu
diskret tidak dapat digunakan.
Untuk itu telah dikembangkan suatu model yang disebut sebagai model
waktu kontinu yang memungkinkan peneliti dalam melakukan prediksi pada
berbagai beda kala secara kontinu meskipun pengamatan dilakukan dalam periode
waktu yang bersifat diskret. Philips (1959) adalah seorang tokoh ekonometrik
yang mengembangkan algoritma rinci pertama untuk mengestimasi model waktu
kontinu dari data waktu diskret yang digunakan dalam makroekonomi. Namun,
algoritma Philips tersebut menghasilkan perkiraan asimtotik yang tidak efisien.
Dalam perkembangannya, Bergstrom (1966) memperkenalkan Exact Discrete
Model (EDM) yaitu model yang menghubungan parameter model waktu diskret

2
ke nilai yang mendasari parameter model waktu kontinu dengan hubungan non
linier, lalu digunakan pendekatan model persamaan simultan untuk menduga
parameter model tersebut. Selanjutnya Oud dan Jansen (2000) menunjukkan
bagaimana paket software SEM seperti Mx dapat digunakan untuk menduga
parameter model waktu kontinu menggunakan metode direct, yaitu menerapkan
secara langsung hubungan non linier EDM pada waktu pendugaan.
Menurut Yu (2011) pengembangan model waktu kontinu ini didasari atas
fakta bahwa banyak peubah yang mengalami perubahan yang bersifat kontinu,
akan tetapi karena keterbatasan merekam data menjadi seolah-olah waktu yang
melekat pada data tersebut bersifat diskret. Salah satu peubah yang mengalami
perubahan secara kontinu tetapi data yang dikumpulkan berdasarkan waktu
diskret adalah persentase Angka Melek Huruf (AMH). AMH merupakan
persentase penduduk usia 15 tahun ke atas yang dapat membaca dan menulis
huruf latin dan atau huruf lainnya. Kemampuan seseorang untuk dapat membaca
dan menulis tentunya mengalami perubahan secara kontinu. Namun, pengamatan
terhadap peubah AMH tidak dilakukan secara kontinu, karena akan membutuhkan
biaya dan tenaga yang cukup besar, sehingga pengamatan terhadap peubah AMH
hanya dilakukan pada periode waktu tertentu atau satu kali dalam satu tahun.
Perubahan persentase AMH di tiap tahunnya salah satunya disebabkan oleh
penentuan anggaran pendidikan yang dicantumkan dalam Anggaran Pendapatan
dan Belanja Daerah (APBD). Hal ini tercantum dalam Peraturan Pemerintah
Nomor 58 Tahun 2005 yang menyatakan bahwa realisasi APBD memberikan
dampak bagi peningkatan kesejahteraan masyarakat dan kualitas pembangunan
manusia. Tingkat kesejahteraan masyarakat dan kualitas pembangunan manusia
tercermin dalam IPM. Karena AMH adalah salah satu komponen pembentuk IPM,
maka dapat dikatakan bahwa anggaran pendidikan mempunyai hubungan sebab
akibat dengan AMH.
Selain dapat digunakan untuk prediksi pada berbagai selang waktu (secara
kontinu), model waktu kontinu juga memiliki kelebihan lain dibandingkan model
waktu diskret. Kelebihannya adalah model waktu kontinu tetap dapat digunakan
untuk prediksi, walaupun pengamatan terhadap objek yang dilakukan memiliki
selang waktu tidak selalu sama (tidak teratur). Walaupun demikian, Voelke et al.
(2012) menyatakan bahwa ketidakteraturan harus terjadi sama untuk setiap objek
amatan jika melibatkan lebih dari satu objek amatan, atau disebut sebagai data
dengan waktu tak teratur. Seperti pada penelitian yang dilakukan oleh Voelke et
al. (2012), menggunakan analisis model waktu kontinu dengan pendekatan SEM
untuk mengetahui hubungan antara Authoritarianism dan Anomia. Hal yang sama
juga dilakukan oleh Toharudin et al. (2014) dalam melihat hubungan antara
Individualism, Nationalism, Ethnocentrism, dan Authoritarianism di Flanders,
Belgia. Karena dalam beberapa penelitian sebelumnya digunakan data waktu tak
teratur dalam pemodelan waktu kontinu, maka peneliti tertarik untuk mengkaji
konsistensi pendugaan parameter model waktu kontinu pada data tersebut. Dalam
hal ini konsistensi yang dimaksudkan adalah hasil dugaan parameter model waktu
kontinu yang diperoleh dari data waktu tak teratur tidak berbeda jika
dibandingkan dengan hasil dugaan parameter model waktu kontinu pada data
waktu teratur (data lengkap).
Untuk itu dalam penelitian ini digunakan data persentase Angka Melek
Huruf (AMH) dan persentase Anggaran Pendapatan dan Belanja Daerah (APBD)

3
bidang pendidikan sebagai data waktu teratur (data lengkap). Kemudian dari data
waktu teratur tersebut dibentuk data simulasi dengan cara menghilangkan
sebagian nilai amatan, sehingga diperoleh data waktu tak teratur. Hal ini
dilakukan untuk mengetahui hasil dugaan parameter model waktu kontinu yang
diperoleh dari data waktu tak teratur tetap konsisten dengan hasil dugaan
parameter model waktu kontinu dengan data waktu teratur.

Tujuan Penelitian

Berdasarkan latar belakang tersebut, maka penelitian ini bertujuan untuk
menganalisis konsistensi pendugaan parameter model waktu kontinu pada data
waktu tak teratur.

2 TINJAUAN PUSTAKA

Exact Discrete Model (EDM)
Exact Discrete Model (EDM) adalah model yang menghubungkan
parameter model waktu diskret ke nilai yang mendasari parameter model waktu
kontinu dengan hubungan non linier, dengan persamaan sebagai berikut:
x(ti )  A(Δ ti )x(ti  Δ ti )  b  w(Δ ti ) i=1,2,…T
(1)
dengan A(Δti) adalah matriks yang terdiri atas efek autoregressive pada diagonal
utama dan efek cross-lagged pada diagonal lainnya, yang disebut sebagai matriks
drift. Sedangkan, b adalah intersep dan w(Δti) adalah vektor dari galat yang
berukuran V 1 dengan cov(w(Δti))= Q(Δti), yang diasumsikan tidak berkorelasi
antar waktu, dan Δti adalah kelipatan dari panjang selang pengamatan. Selain itu
subscript i menunjukkan bahwa walaupun waktu adalah kontinu yang
didefinisikan sebagai t, akan tetapi pengamatan tetap diambil pada titik waktu
diskret (Voelke et al. 2012).
Model Persamaan Struktural
Menurut Bollen (1989), model persamaan struktural umumnya dibagi
dalam dua model yaitu model struktural (2),
(2)
 B  ; dengan cov( )  Ψ
dengan:
 : vektor peubah laten endogen (tak teramati) berukuran m × 1
B


:
:

matriks variabel  berukuran m × m
vektor sisaan model struktural berukuran m × 1

dan model pengukuran (3)
y  Λ  ε ; dengan cov(ε)  Θ

(3)

4
dengan:
y



:
:
:

vektor indikator peubah laten endogen yang dapat diamati berukuran p × 1
matriks regresi y atas  berukuran p × m
vektor sisaan model pengukuran berukuran p × 1

Kemudian, model persamaan struktural dapat digambarkan dalam diagram jalur
pada Gambar 1.
ε11

λ11

y11

1

ε12

2

β2

λ12

y12

λ21

β1

1

λ21

y21

ε21

y22

ε21

2

Gambar 1 Diagram jalur dalam model persamaan struktural
Menurut Oud dan Singer (2008), pendugaan parameter EDM dapat
dilakukan salah satunya dengan metode kemungkinan maksimum melalui
pendekatan model persamaan struktural. Hal ini terjadi karena struktur parameter
EDM dianalogikan sama dengan model persamaan struktural. Dalam model
persamaan strukural diketahui vektor peubah endogen ( ) dan vektor sisaan ()
terdiri atas :



     ...  1

'  y1 ' y2 ' y3 ' ...ym '1
'

'

'

'

(4)

'

(5)
Kemudian, jika struktur parameter EDM dituliskan dalam bentuk persamaan
struktural, maka vektor peubah endogen ( ) terdiri atas :
0

1

2

m





'
'
(6)
'  y(t 0 )
y(t1 )
y(ti )' ...y(ti T )'1
dan vektor sisaan () menjadi:
'
'
'
'
'
(7)
*  y(t 0 )  μ y (t 0) wΔt 1  wΔt i  ...wΔt i T  1
Sehingga model persamaan (2) dapat dituliskan, sebagai berikut:
(8)
*  B *  * ; dengan cov cov( * )  Ψ
Oleh karena itu, dapat dikatakan bahwa rangkaian peubah deret waktu
dalam EDM dianalogikan sebagai indikator dalam model persamaan struktural,
sehingga parameter EDM dapat diduga dengan metode kemungkinan maksimum
melalui pendekatan model persamaan struktural seperti berikut ini,
FML  log Σ  tr(SΣ 1 )  log S  p
(9)
dengan FML adalah fungsi kemungkinan maksimum, p adalah jumlah peubah yang
diamati, S adalah matriks kovarian sampel, dan
adalah matriks kovarian
populasi dari peubah-peubah teramati, dengan asumsi S dan adalah matriks
definit positif. Parameter-parameter yang akan diduga dalam EDM merupakan
elemen-elemen yang terdapat dalam matriks B dan Ψ , berikut ini:
0

0
0 μ xt 
 0

 Φxt 0 


A.Δt

0
0
0
b




0
Q
Δt
0


1


 0
A.Δt1
0
0 b 
0
0
QΔt i 

B
 Ψ
*

'







0

 
 0

 0



0
0

0
0
A.Δt1 0
0
0



b
0













0
0



0
0

0
0


QΔt i T  
1 
0

5

Hubungan Antara Model Waktu Kontinu dan Waktu diskret
Oud dan Delsing (2010) menjelaskan bahwa hubungan antara model
waktu kontinu dengan waktu diskret dibentuk dengan cara menurunkan
persamaan (1) model waktu diskret terhadap t , sebagai berikut:
dW(t )
dx(t )
(10)
 Ax(t)  b  G
dt
dt
dengan
(11)
x(t )  e A(tt0 ) x(t 0 )

dimana x(t 0 )  xti  ti  dan ti  t  t 0 , sehingga turunan dari model waktu
diskret pada persamaan (10), dituliskan pada persamaan (12).
t
(12)
x(t )  eA.(t t 0 )x(t0 )  A1 eA.(t t 0 )  I b   eA.(t  s )GdW(s)





t0

dengan
t
t
'
cov eA.(t  s )GdW(s)   eA.(t  s )QeA .(t  s ) ds  irow A# 1 eA # .(t t 0 )  I rowQ
 t 0
 t0
untuk Q  GG' dan A #  A  I  I  A, dengan G adalah matriks segitiga atas.

 





Model Waktu Kontinu
Model waktu kontinu adalah model yang dapat menggambarkan hubungan
antara suatu peubah dengan peubah lain (cross-lagged) dan peubah itu sendiri
pada waktu sebelumnya (autoregressive) dengan parameter model yang bersifat
kontinu. Dalam Voelke et al. (2012) bentuk umum dari model waktu kontinu
adalah:
(13)
x(ti )  e A. Δ ti x(ti  Δ ti )  A 1 (e A.Δ ti  I)b  w(Δ ti )
dengan:
x(ti )
= vektor pengamatan pada waktu ke- ti ,

xti  Δ ti  = vektor pengamatan pada waktu ke- ti  ti  ,
Δ ti
= selang waktu yang bersifat kontinu

= matriks drift,
= intersep,
w(Δ ti ) = vektor sisaan pada waktu ke- ti
Hubungan non linier antara model waktu kontinu pada persamaan (13)
dengan model waktu diskret pada persamaan (1), dapat dibuktikan dengan
menggunakan deret taylor seperti pada persamaan berikut ini.
A
b



(At ) k
1
1
 I  At  (At ) 2  (At ) 3  ...
2!
k!
3!
k 0

e At  

(16)

Jika deret taylor pada persamaan (16) diturunkan terhadap t, maka diperoleh.

6

1
1
deAt
 0  A  A 2  A 3t 2  A 4 t 3  ...
2!
3!
dt
1
1


2
(17)
 A I  At  At   (At ) 3  ...
2!
3!
 At

 Ae
Selanjutnya dengan menyamakan persamaan (11) dengan persamaan (1) maka,
A(t i )  e A(Δti ) ,
b  A1 (A(Δ ti )  I)b,





(18)





 I row(GG')
Q(Δ t i )  irow A  I  I  A e
Untuk itu, dengan menggunakan persamaan (19) dapat diperoleh pendugaan
parameter diskret dengan nilai Δti yang berbeda-beda.
1
1
(19)
A(Δ t i )  e A.ti  I  A. Δ t i  A 2 . Δ t i 2  A 3 . Δ t i 3  ...
2!
3!
1

AI IA .(t t0 )

Pendugaan Parameter Model Waktu Kontinu
Pendugaan parameter model waktu kontinu dilakukan menggunakan
metode kemungkinan maksimum yang sama seperti pada pendugaan parameter
EDM pada persamaan (9). Hasil dugaan parameter dari EDM dijadikan sebagai
nilai awal yang akan digunakan dalam melakukan pendugaan parameter model
waktu kontinu, sehingga diperoleh dugaan parameter dari matriks B* dan Ψ *,
berikut ini:
 0
μ xt
0
0
 0


 Φxt 0 


e A.Δt

1 A.Δt


A
e
I
b

0
0
0

 0
QΔt 1 




 0
e A.Δt
0
0 A 1 e A.Δt  Ib


0
0
Q
Δt
*
i

B 
Ψ

0

1

1

1

 
 0

 0

1



0
0

0
e A.Δt1
 0


0

0 A 1 e A.Δt1  I b

0
0













0
0



0
0

0
0

QΔt i T 
0




1 

Φxt 0  adalah matriks kovarian dari peubah konstruk pada pengamatan pertama.
Hal ini terjadi karena tidak bisa diasumsikan suatu prediksi dari galat pada periode
pertama.

3 METODE PENELITIAN

Data
Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data sekunder yang
terdiri atas persentase Angka Melek Huruf (AMH) dan persentase Anggaran
Pendapatan dan Belanja Daerah (APBD) dalam bidang pendidikan periode tahun
2008-2012 yang masing-masing diperoleh dari website www.bps.go.id dan
www.dpjk.kemenkeu.go.id. Diketahui bahwa data persentase APBD yang
diperoleh di sebagian kota/kabupaten tidak mencakup seluruh fungsi yang telah

7
ditetapkan, namun persentase APBD yang digunakan dalam penelitian ini tidak
mengubah sedikitpun data yang diperoleh dari website kementerian keuangan
tersebut. Berdasarkan data APBD yang diperoleh diketahui bahwa jumlah
kota/kabupaten di Indonesia pada tahun 2008 sebanyak 451 (tidak termasuk kota
di provinsi DKI Jakarta), kemudian pada tahun 2009 terdapat sebanyak 477
kota/kabupaten, pada tahun 2010 terdapat sebanyak 486 kota/kabupaten, pada
tahun 2011 terdapat sebanyak 491 kota/kabupaten, dan pada tahun 2012 terdapat
sebanyak 487 kota/kabupaten. Oleh karena, dalam penelitian ini dibutuhkan
daerah yang mempunyai nilai pengamatan lengkap untuk kedua peubah pada
periode tahun 2008-2012, sehingga hanya sebanyak 441 kota/kabupaten yang
dipilih untuk digunakan sebagai data waktu teratur. Kemudian berdasarkan data
waktu teratur yang dimiliki dibentuk data waktu tak teratur dengan cara
menghilangkan beberapa nilai amatan secara acak dari data waktu teratur.

Prosedur Analisis Data
Langkah-langkah analisis yang dilakukan dalam penelitian ini adalah
sebagai berikut:
Tahap 1:
Membentuk data simulasi yang akan dijadikan sebagai data waktu tak
teratur, dengan cara:
1. Menghilangkan beberapa nilai pengamatan secara acak dari data lengkap yang
digunakan, sehingga diperoleh data dengan amatan yang selang
pengamatannya tidak teratur. Jumlah nilai amatan yang dihilangkan
digolongkan dalam 8 jenis yaitu:
a. Menghilangkan nilai amatan sebanyak 5% dari data waktu teratur.
b. Menghilangkan nilai amatan sebanyak 10% dari data waktu teratur.
c. Menghilangkan nilai amatan sebanyak 20% dari data waktu teratur.
d. Menghilangkan nilai amatan sebanyak 30% dari data waktu teratur.
e. Menghilangkan nilai amatan sebanyak 40% dari data waktu teratur.
f. Menghilangkan nilai amatan sebanyak 50% dari data waktu teratur.
g. Menghilangkan nilai amatan sebanyak 60% dari data waktu teratur.
h. Menghilangkan nilai amatan sebanyak 70% dari data waktu teratur.
2. Ulangi langkah 1(a) – 1(h) sebanyak 100 kali dengan pengacakan yang
berbeda, dengan tujuan diperoleh 100 gugus data untuk masing-masing data
simulasi.
3. Dalam melakukan langkah 1, diperhatikan bahwa nilai amatan yang harus
dihilangkan adalah sepasang nilai amatan pada periode waktu tertentu (jadi
nilai amatan peubah AMH dan anggaran pendidikan dihilangkan secara
bersama-sama pada periode waktu tertentu). Kemudian tidak menghilangkan
seluruh nilai amatan pada periode waktu 2008-2012 dalam satu observasi.
Tahap 2:
1. Eksplorasi data persentase AMH dan anggaran pendidikan yang diamati pada
periode tahun 2008-2012.
a. Membuat histogram dari masing-masing peubah di setiap tahunnya.

8
b. Menghitung autokorelasi pada masing-masing peubah (persentase
AMH dan persentase anggaran pendidikan untuk seluruh daerah yang
diamati), dengan rumus sebagai berikut:
n k

̂ k 

 Z
t 1

t

 Z Z t k  Z 

 Z
n

t 1

k= 0,1,2,…

,

Z

(14)

2

t

Keterangan:

̂ k = nilai autokorelasi
n = jumlah observasi
k = selang waktu
Zt = amatan pada waktu ke-t
Z = rata-rata dari seluruh amatan
c. Untuk mengetahui hubungan AMH periode saat ini (AMHt) dan
anggaran pendidikan periode sebelumnya (APBDt-1), begitu juga
sebaliknya, digunakan analisis korelasi product moment, dengan
rumus:

 X
n

r

i 1

 X
n

i 1

i

i



 X Yi  Y

X



  Y  Y 
2 n

i 1

,

i=1,2,…,n

(15)

2

i

Keterangan:
r = korelasi (-1< r 47.5
2.9%

>47.5
11.3%
47.5
26.1%