pendugaan dan selang kepercayaan 2009

PENDUGAAN
DAN SELANG KEPERCAYAAN
Mennofatria Boer

Statistika Inferensia
Statistika Inferensia adalah cabang ilmu statistika
yang menggunakan contoh statistik untuk mengkaji
atau memberikan kesimpulan (inferensia) terhadap
parameter populasi

Aplikasi Inferensia Statistika:
 Pendugaan Parameter
 Pengujian Hipothesis
2

Pendugaan Titik
BATASAN:
• Suatu pendugaan titik adalah
suatu nilai dugaan tunggal
terhadap parameter populasi.
• Pendugaan titik terbaik untuk

rata-rata populasi  adalah
rata-rata contoh x .
3

Teladan Pendugaan Titik

Sebuah contoh acak harga tiket pesawat (US$)
untuk sekali berangkat dari Jakarta ke Bali adalah sebagai berikut:
99
101
107

102
109
98

105
103
101

105
98
107

104
96
105

95
98
94

100
104
111

114
87
104

108
101
87

103
106
117

94
103
101

105
90

Tentukan pendugaan titik rata-rata populasi .

1 n
1
Rata-rata contoh: x   xi  3562  101.77

n i 1
35

Pendugaan titik tiket pesawat sekali berangkat
dari Jakarta ke Bali adalah $101.77.
4

Pendugaan Selang
Pendugaan Titik:

•
101.77

Suatu Pendugaan Selang adalah suatu selang atau kisaran nilai
yang digunakan untuk menduga parameter populasi
(

•
101.77

)

Tingkat/Taraf Kepercayaan, c adalah peluang diperolehnya
pendugaan selang yang mengandung parameter populasi
5

Sebaran Rata-rata Contoh
Jika ukuran contoh sedikitnya 30, sebaran penarikan
contoh untuk x mengikuti sebaran normal.

Sebaran Penarikan Contoh x untuk c = 0.95
x

0.95

0.025
-1.96

0 1.96

0.025

z

95% dari seluruh rata-rata contoh akan memiliki nilai
baku antara z = -1.96 dan z = 1. 96

6

Galat (Error) Maksimum Pendugaan
BATASAN: Untuk tingkat kepercayaan, c, galat maksimum
pendugaan E adalah jarak terjauh yang mungkin antara pendugaan
titik dan nilai parameter yang diduga E  z   z 
c x
c
n
Untuk n  30, simpangan baku contoh, s dapat digunakan untuk .
 Tentukan E, galat maksimum pendugaan harga tiket pesawat sekali berangkat
dari Jakarta ke Bali untuk tingkat kepercayaan 95% dengan s = 6.69

Dengan zc=1.96, s = 6.69 dan n = 35,

6.69
E zc
1.96
2.22
n
35
Kita percaya 95% bahwa galat maksimum pendugaan adalah $2.22
7

Zc
Zc = Nilai Z yang menyebabkan peluang di sebelah
kanannya sama dengan 12c
Atau, karena sifat simetri, nilai negatif Z yang
menyebabkan peluang di sebelah kiri sama dengan 12c
c
0.90
0.95
0.99

Zc
1.65
1.96
2.58

Peluang c

=1-c
-Zc 0

Zc
8

Populasi, contoh, rata-rata
  = rata-rata populasi (diduga oleh x)
 x = rata-rata contoh
  = rata-rata dari sebaran rata-rata
x



 2 = ragam populasi
  = simpangan baku populasi
 s2 = ragam contoh
 s = simpangan baku contoh
 sx = galat baku rata-rata =

(diduga oleh
s2 dan s)

s2
s

n
n
9

Selang Kepercayaan untuk µ
Batasan: Selang kepercayaan c untuk rata-rata populasi adalah:

x E   x E
 Tentukan selang kepercayaan 95% harga tiket sekali jalan dari Jakarta ke Bali.

Rata-rata contoh
Batas Kiri

x= 101.77 dan E = 2.22
Batas Kanan
x  E  101.77  2.22  103.99

x  E  101.77  2.22  99.55

(
99.55

•
101.77

)

103.99

99.55    103.99

Dengan kepercayaan 95%, kita dapat mengatakan bahwa rata-rata harga
tiket sekali jualan dari Jakarta ke Bali adalah antara $99.55 dan $103.99
10

Ukuran Contoh
Untuk tingkat kepercayaan c dan galat pendugaan maksimum,
E, ukuran contoh minimum n yang diperlukan untuk menduga
2
, rata-rata populasi adalah:
z



n  c 
 E 
 Kita ingin menduga rata-rata harga tiket sekali jalan dari Jakarta ke Bali.
Berapa banyak tiket yang harus dilibatkan dalam contoh jika kita ingin yakin
95% bahwa rata-rata contoh hanya berjarak $2 dari rata-rata populasi?
2

2

 zc   1.96  6.69 
n
 
  42.98  43
2
 E  

Ini berarti sedikitnya diperlukan 43 tiket dalam contoh.
Oleh karena sudah ada 35 diperlukan 8 tiket lagi.
11

Sebaran t
Jika sebaran sebuah peubah acak x adalah normal
dan n < 30, maka sebaran penarikan contoh dari x
adalah sebaran t dengan derajat bebas n-1.
Sebaran penarikan contoh dari x

n=13
db=12
c=90%

.90
.05

.05
-1.782

0 1.782

t

Nilai kritis t adalah 1.782. Dengan demikian, 90% rata-rata contoh
dengan n = 13 akan terletak antara t = -1.782 dan t = 1.782

12

t vs normal
 Jika ragam populasi ( 2) diketahui maka ratarata akan mengikuti sebaran normal
 Jika ragam contoh (s2) digunakan untuk
menduga  2, maka rata-rata contoh akan
mengikuti sebaran t dengan derajat bebas n-1
(tn-1)
 Untuk derajat bebas yang besar (> 30) t akan
sangat dekat dengan sebaran normal
 derajat bebas = db = 

13

Selang Kepercayaan-contoh kecil
Galat Pendugaan Maksimum:

E t c

s
n

 Dari suatu contoh acak berukuran 13 orang dewasa, rata-rata sampah yang
dibuang per orang per hari adalah 4.3 kg dengan simpangan baku 0.3 kg.
Andaikan peubah tersebut menyebar normal, sajikan selang kepercayaan 90%
untuk .
1. Pendugaan titik adalah x  4.3kg
2. Galat pendugaan maksimum adalah E  tc
Batas kiri

x  E  4.3  0.15  4.15
(
4.15

•
4.3
4.15 <  < 4.45

s
0.3
 1.782
 0.15
n
13

Batas kanan
x  E  4.3  0.15  4.45
)
4.45

Pada kepercayaan 90%, kita dapat menyatakan bahwa rata-rata buangan
per orang per hari adalah antara 4.15 dan 4.45 kg.

14

Selang Kepercayaan untuk Proporsi Populasi
Pendugaan titik untuk p, proporsi populasi suatu kejadian tertentu adalah
proporsi kejadian yang sama pada contoh:
x

pˆ 

n

ˆ
q̂adalah pendugaan titik kejadian tandingannya, sedemikian sehingga qˆ 1  p
Jika np  5 dan nq  5 , sebaran penarikan contoh untukp̂ adalah normal.
Galat pendugaan maksimum E untuk selang kepercayaan c adalah

E  zc

pˆ qˆ
n

Selang kepercayaan c untuk proporsi populasi, p adalah:
ˆ E  p p
ˆ E
p
15

Selang Kepercayaan untuk p
 Dalam suatu kajian terhadap 1907 kali serangan ikan hiu ternyata 449
diantaranya terjadi saat melakukan kegiatan surfing. Sajikan selang kepercayaan
99% bagi proporsi serangan saat kegiatan surfing.

x 449
0.235
1. Pendugaan titik untuk p adalah pˆ  
n 1907

qˆ  1  0.235  0.765

2. 1907(.235) 5 dan 1907(.765) 5, sehingga sebaran penarikan contoh dapat
didekati dengan sebaran normal.
pˆ qˆ
(.235)(.765)
3. E  z c
2.575
0.025
n
1907
pˆ  E 0.235  0.025 0.21
(
.21

•
.235
0.21 < p < 0.26

ˆ  E 0.235  0.025 0.26
p

)
.26

Pada tingkat kepercayaan 99% kita dapat menyatakan bahwa proporsi serangan
ikan hiu saat surfing adalah antara 21% dan 26%.

16

Ukuran Contoh Minimum
Jika dugaan awal untuk p dan q diketahui maka
ukuran contoh minimum yang harus diambil
untuk menduga p untuk mendapatkan tingkat
kepercayaan c dengan galat pendugaan
2
maksimum E adalah:
zc 

ˆˆ
n pq

E


Jika dugaan awal tidak tersedia, gunakan 0.5 masingmasing untuk pˆ dan qˆ
17

Teladan: Ukuran Contoh minimum
 Jika kita ingin menduga proporsi serangan ikan hiu yang berkaitan dengan
kegiatan surfing pada tingkat kepercayaan 99% dan galat pendugaan maksimum
yang diperbolehkan hanya 2% dari proporsi populasi, maka ukuran contoh
minimum yang harus diambil adalah:
Tanpa pengetahuan dugaan awal untuk p, digunakan 0.5
2

2
zc 

ˆ ˆ   = (0.5)(0.5) 2.575  4414.14
n pq
E
 0.02 

Dengan demikian, diperlukan sedikitnya 4415 kasus serangan.
Jika diketahui ada dugaan awal untuk p = 0.235
2

2
zc 

2.575


ˆ ˆ   =(0.235)(0.765)
n pq
 2980.05


E
 
 0.02 

Dengan demikian, diperlukan sedikitnya 2981 kasus serangan.
18

Sebaran Khi Kuadrat
Pendugaan titik bagi 2 adalah s2 dan pendugaan titik bagi  adalah s.
Jika ukuran contoh adalah n, gunakan sebaran khi kuadrat 2 dengan derajat bebas
n-1 untuk membentuk selang kepercayaan c.

.95
0

10

6.908

20

30

28.845

40

 Tentukan R2 nilai kritis kanan dan L2 nilai kritis kiri untuk c =
95% dan n = 17.
Untuk ukuran contoh n = 17 maka derajat bebas adalah 16.
Daerah di kanan R2 adalah (1- 0.95)/2 = 0.025 dan area di sebelah kanan L2
adalah (1+ 0.95)/2 = 0.975 L2 =6.908 R2 =28.845
19

Selang Kepercayaan untuk σ2 dan σ
2
(n  1) s 2
(
n

1
)
s
2



2
2
R
L

Selang kepercayaan c untuk
ragam populasi adalah:

Untuk menduga simpangan baku tentukan akar pada setiap batas.
 Sebuah contoh acak memuat informasi harga 17 komputer ($). Simpangan baku
contoh adalah $150. Sajikan selang kepercayaan 95% untuk  2 dan 
2
(17  1)1502
(17

1)150
2 
28.845
6.908

Hitung akar dari setiap batas:



12480.50 <  2 < 52113.49

$117.72 <  < $228.28

2

Kita dapat menyatakan bahwa pada tingkat kepercayaan 95%,
akan terletak antara 12480.50 dan 52113.49, sedangkan  akan

terletak antara $117.72 and $228.28.

20