Model Matematika Penentuan Waktu Panen Optimal pada Populasi Ikan dengan Ukuran Awal Homogen dan Heterogen

(1)

MODEL MATEMATIKA PENENTUAN WAKTU PANEN

OPTIMAL PADA POPULASI IKAN DENGAN UKURAN

AWAL HOMOGEN DAN HETEROGEN

M U S T O P A

SEKOLAH PASCA SARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR 2009

(2)

PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN

SUMBER INFORMASI

Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis dengan judul Model Matematika Penentuan Waktu Panen Optimal pada Populasi Ikan dengan Ukuran Awal Homogen dan Heterogen adalah karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apapun kepada perguruan tinggi manapun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun yang tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini.

Bogor, Agustus 2009

M u s t o p a NRP G551070111

(3)

ABSTRACT

MUSTOPA. Mathematical Models on Determination of Optimal Harvesting Time for Fish Population with Homogeneous and Heterogeneous Initial Size. Under supervision of PAIAN SIANTURI and DONNY CITRA LESMANA.

This thesis analyzed the optimal harvesting time for biological assets consisting of individuals with homogeneous and heterogeneous size. The optimal harvesting time was determined by maximizing the profit function, which was defined as difference between total biomass value and maintenance cost. In the homogeneous case, it was used the Richards growth model, which was a general model for monomolecular growth, as well as the logistic and Gompertz models. There were two species assumed living, one of the them followed the monomolecular growth model and the other followed the logistic model. The result showed that a species, which had the monomolecular growth model, gave an optimal harvesting time faster than the other, which had logistic growth model. The heterogeneous case used continuously of structured population model, which were initially proposed by Sinko and Streifer and had the form of a first order partial differential equation (PDE) for the evolution of the size distribution. An optimality condition of heterogeneous case is obtained and compared with the one known in the case of homogeneous size. If the size heterogeneity is taken into consideration, then under appropriate natural conditions for the biological and economic factors, the population with heterogeneity should be maintained longer compared to the recommendations obtained from the homogeneous models of the same culture.

Keywords: growth model, homogeneous and heterogeneous initial size, optimal harvesting time.

(4)

RINGKASAN

MUSTOPA. Model Matematika Penentuan Waktu Panen Optimal pada Populasi Ikan dengan Ukuran Awal Homogen dan Heterogen. Dibimbing oleh PAIAN SIANTURI dan DONNY CITRA LESMANA.

Model fungsi pertumbuhan dari suatu spesies ikan dengan spesies lainnya dapat berbeda sesuai dengan karakteristik faktor-faktor yang mempengaruhi pertumbuhan masing-masing. Pola pertumbuhan suatu spesies pada umumnya mengikuti model pertumbuhan Richards. Richards adalah orang yang pertama kali menerapkan model pertumbuhan yang dibangun dalam model yang disebut model pertumbuhan Von Bertalanffy untuk menunjukkan pertumbuhan pada hewan (France & Thornley, 1984). Model pertumbuhan Richards merupakan model umum dari model pertumbuhan monomolekuler, logistik, Gompertz, dan model lainnya.

Pola pertumbuhan yang berbeda dari setiap individu suatu spesies ikan yang sama merupakan fenomena alam yang dipengaruhi oleh beberapa faktor, seperti tingkah laku spesies, persaingan makanan dan keberagaman ukuran ikan yang membawa laju tingkat kematian yang lebih tinggi untuk ukuran ikan yang lebih kecil (Gasca et al, 2007). Faktor-faktor tersebut akan mengakibatkan bervariasinya pertumbuhan setiap individu sehingga berpengaruh terhadap waktu panen optimal.

Penelitian ini bertujuan untuk menganalisis model matematika waktu panen optimal pada populasi ikan dengan ukuran awal homogen dan heterogen serta membandingkan waktu panen optimal kedua kultur tersebut. Waktu panen optimal ditentukan dengan memaksimumkan fungsi keuntungan yang merupakan selisih dari fungsi nilai jual ikan pada saat panen dengan fungsi biaya pemeliharaan. Untuk penyederhanaan, fungsi pertumbuhan ikan hanya bergantung pada peubah ukuran berat awal ikan, baik yang homogen maupun yang heterogen, sedangkan faktor-faktor lain seperti kondisi lahan, suhu, persaingan makanan dianggap faktor eksogen yang bernilai konstan.

Model matematika waktu panen optimal pada populasi ikan dengan ukuran awal homogen artinya terdapat sejumlah ikan pada kolam dengan ukuran berat awal yang sama. Pada penelitian ini untuk kultur homogen diasumsikan terdapat dua jenis spesies dengan pola pertumbuhan yang berbeda, spesies pertama diasumsikan mengikuti model pertumbuhan monomolekuler dan spesies kedua diasumsikan mengikuti model pertumbuhan logistik. Hasil analisis fungsi keuntungan dari kedua jenis spesies ini diperoleh bahwa ukuran ikan pada saat panen optimal untuk spesies yang mengikuti model pertumbuhan monomolekuler lebih besar daripada spesies model pertumbuhan logistik, sedangkan waktu panen optimalnya lebih singkat.

Untuk model dengan ukuran awal heterogen berarti terdapat perbedaan perkembangan ukuran pada waktu yang sama dalam suatu lahan. Persamaan diferensial yang sesuai dengan laju pertumbuhan ikan pada kasus heterogen adalah model Sinko dan Streifer. Pada penelitian ini diasumsikan ukuran awal ikan mengikuti fungsi sebaran seragam atau fungsi sebaran beta. Karena mengandung proses stokastik pada fungsi pertumbuhannya, maka dari analisis

(5)

waktu panen optimal kultur heterogen tidak dapat peroleh formula untuk waktu panen secara eksplisit, namun dari hasil analisis secara matematik dalam penelitian ini diperoleh indikasi bahwa waktu panen optimal kultur heterogen lebih besar dari waktu panen optimal kultur homogen.

Kata kunci: model pertumbuhan, populasi dengan ukuran awal homogen dan heterogen, waktu panen optimal.

(6)

1. Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumber

a. Pengutipan hanya boleh untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau tinjauan suatu masalah,

b. Pengutipan tidak merugikan kepentingan yang wajar IPB

2. Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis dalam bentuk apapun tanpa izin IPB

(7)

MODEL MATEMATIKA PENENTUAN WAKTU PANEN

OPTIMAL PADA POPULASI IKAN DENGAN UKURAN

AWAL HOMOGEN DAN HETEROGEN

M U S T O P A

Tesis

Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada

Program Studi Matematika Terapan

SEKOLAH PASCA SARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR 2009

(8)

Judul Tesis : Model Matematika Penentuan Waktu Panen Optimal pada Populasi Ikan dengan Ukuran Awal Homogen dan Heterogen Nama : M u s t o p a

NRP : G551070111

Disetujui Komisi Pembimbing

Dr. Paian Sianturi Donny C. Lesmana, S.Si., M.Fin.Math.

Ketua Anggota

Diketahui

Ketua Program Studi Dekan Sekolah Pascasarjana Matematika Terapan

Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S. Prof. Dr. Ir. Khairil A. Notodiputro, M.S.

(9)

PRAKATA

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT yang telah melimpahkan karunia-Nya. Atas karunia-Nya pulalah karya ilmiah ini dapat penulis selesaikan. Tema yang dipilih pada penelitian ini yang dilaksanakan sejak bulan Nopember 2008 adalah penentuan waktu panen optimal, dengan judul Model Matematika Penentuan Waktu Panen Optimal pada Populasi Ikan dengan Ukuran Awal Homogen dan Heterogen.

Ucapan terima kasih penulis sampaikan kepada Bapak Dr. Paian Sianturi dan Bapak Donny Citra Lesmana, S.Si., M.Fin.Math., yang dengan penuh kesabaran telah memberikan bimbingan kepada penulis dalam merampungkan karya ilmiah ini. Terima kasih disampaikan kepada seluruh Staf Dosen Departemen Matematika IPB yang telah banyak memberikan ilmu pengetahuan selama penulis menjadi mahasiswa S2 Program Studi Matematika Terapan. Ungkapan terima kasih penulis sampaikan kepada Departemen Agama yang telah membiayai penulis selama menempuh pendidikan S2 di IPB. Tak lupa penulis sampaikan pula ungkapan terima kasih kepada istri, anak-anakku serta seluruh keluarga yang telah memberikan motivasi dan doa. Semoga kebaikan yang telah mereka berikan kepada penulis, mendapat balasan kebaikan yang berlipat dari Allah SWT.

Bogor, Agustus 2009

(10)

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Bogor pada tanggal 15 Agustus 1965 dari pasangan bapak Muhammad Udi dan ibu Nani Sumirah. Penulis merupakan putra ke sebelas dari duabelas bersaudara.

Pada tahun 1985 penulis lulus dari SMA Negeri 5 Bogor. Pada tahun yang sama penulis diterima masuk IPB melalui jalur PMDK, setelah satu tahun mengikuti TPB penulis memilih jurusan Teknologi Industri Pertanian. Karena tuntutan bekerja dari keluarga, penulis memilih mengundurkan diri dari program S1 IPB dan bekerja di perusahaan swasta. Pada tahun 1997 penulis membantu mengajar matematika dan fisika di beberapa madrasah dan sekolah swasta. Seiring dengan tuntutan kualifikasi guru, pada tahun 2000 penulis menempuh pendidikan S1 program pendidikan matematika di STKIP PGRI Jakarta (sekarang bernama Universitas Indraprasta PGRI) dan lulus pada tahun 2004. Pada tahun yang sama penulis diangkat menjadi PNS sebagai guru matematika di MAN 1 sampai dengan sekarang.

Pada tahun 2007 penulis mengikuti seleksi beasiswa S2 yang diadakan oleh Departemen Agama, dan alhamdulillah penulis diterima di Program Studi Matematika Terapan IPB. Setelah mengikuti masa perkuliahan selama dua tahun, penulis dapat menyelesaikan program studi ini pada bulan Agustus 2009.

(11)

MODEL MATEMATIKA PENENTUAN WAKTU PANEN

OPTIMAL PADA POPULASI IKAN DENGAN UKURAN

AWAL HOMOGEN DAN HETEROGEN

M U S T O P A

SEKOLAH PASCA SARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR 2009

(12)

PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN

SUMBER INFORMASI

Bogor, Agustus 2009

M u s t o p a NRP G551070111

(13)

ABSTRACT

Keywords: growth model, homogeneous and heterogeneous initial size, optimal harvesting time.

(14)

RINGKASAN

MUSTOPA. Model Matematika Penentuan Waktu Panen Optimal pada Populasi Ikan dengan Ukuran Awal Homogen dan Heterogen. Dibimbing oleh PAIAN SIANTURI dan DONNY CITRA LESMANA.

(15)

Kata kunci: model pertumbuhan, populasi dengan ukuran awal homogen dan heterogen, waktu panen optimal.

(16)

1. Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumber

a. Pengutipan hanya boleh untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau tinjauan suatu masalah,

b. Pengutipan tidak merugikan kepentingan yang wajar IPB

2. Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis dalam bentuk apapun tanpa izin IPB

(17)

MODEL MATEMATIKA PENENTUAN WAKTU PANEN

OPTIMAL PADA POPULASI IKAN DENGAN UKURAN

AWAL HOMOGEN DAN HETEROGEN

M U S T O P A

Tesis

Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada

Program Studi Matematika Terapan

SEKOLAH PASCA SARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR 2009

(18)

Judul Tesis : Model Matematika Penentuan Waktu Panen Optimal pada Populasi Ikan dengan Ukuran Awal Homogen dan Heterogen Nama : M u s t o p a

NRP : G551070111

Disetujui Komisi Pembimbing

Dr. Paian Sianturi Donny C. Lesmana, S.Si., M.Fin.Math.

Ketua Anggota

Diketahui

Ketua Program Studi Dekan Sekolah Pascasarjana Matematika Terapan

Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S. Prof. Dr. Ir. Khairil A. Notodiputro, M.S.

(19)

PRAKATA

Bogor, Agustus 2009

(20)

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Bogor pada tanggal 15 Agustus 1965 dari pasangan bapak Muhammad Udi dan ibu Nani Sumirah. Penulis merupakan putra ke sebelas dari duabelas bersaudara.

(21)

DAFTAR ISI

Halaman

DAFTAR TABEL ... xi

DAFTAR GAMBAR ... xii

DAFTAR LAMPIRAN ... xiii

1. PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang ... 1

1.2. Tujuan Penelitian ... 2

2. LANDASAN TEORI 2.1. Model Pertumbuhan ... 3

2.2. Model Ekonomi Pemanenan ... 7

2.3. Fungsi Kepadatan Peluang ... 9

2.4. Deret Taylor ... 11

3. MODEL MATEMATIKA 3.1. Fungsi Keuntungan Untuk Populasi Awal yang Berukuran Homogen ... 12

3.2. Fungsi Keuntungan Untuk Populasi Awal yang Berukuran Heterogen ... 13

4. HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1. Penentuan Waktu Panen Optimal pada Populasi Awal Berukuran Homogen ... 16

4.2. Penentuan Waktu Panen Optimal pada Populasi Awal Berukuran Heterogen ... 23

4.3. Perbandingan Waktu Panen Optimal Populasi Awal dengan Ukuran Homogen dan Heterogen ... 25

5. SIMPULAN DAN SARAN 5.1. Simpulan ... 28

5.2. Saran ... 28

DAFTAR PUSTAKA ... 29

(22)

DAFTAR TABEL

Halaman 1. Nilai Parameter (data Hipotetik) ... 21 2. Ukuran dan waktu optimal model pertumbuhan monomolekuler dan

(23)

DAFTAR GAMBAR

Halaman 1. Laju pertumbuhan model monomolekuler untuk nilai k = 0.02, 0.05 dan

0.1 serta ukuran maksimum (xf) 1000 ... 4 2. Fungsi pertumbuhan model monomolekuler untuk nilai x₀= 20,

x = 1000 serta nilai k masing-masing 0.02, 0.05 dan 0.1 ... 5 3. Laju pertumbuhan model logistik untuk nilai x_f = 1000 serta nilai k

masing-masing sebesar 0.02, 0.05 dan 0.1... 6 4. Fungsi pertumbuhan model logistik untuk nilai x₀= 20, x_f= 1000

serta nilai k sebesar 0.02, 0.05 dan 0.1 ... 7 5. Fungsi sebaran seragam dalam selang [2, 4] ... 9 6. Fungsi sebaran beta untuk nilai α =3 dan β =2 ... 10 7. Sketsa diagram alur analisis. ... 14

(24)

DAFTAR LAMPIRAN

Halaman 1. Bukti persamaan (4) ... 30 2. Bukti persamaan (6) ... 31 3. Bukti persamaan 8) ... 32 4. Bukti Lema 1. ... 33 5. Bukti Lema 2. ... 34 6. Bukti Proposisi 1. ... 35

(25)

BAB I

PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang

Salah satu masalah kontrol optimal dari pembaharuan sumber daya alam adalah pengaturan pertumbuhan aset biologi yang dipelihara. Kegiatan bioekonomi dengan kontrol yang relatif tinggi dari proses pertumbuhan seperti hutan, peternakan dan perikanan sangat menarik untuk diaproksimasi dengan formulasi. Sebagai contoh, kebijakan penebangan hutan secara optimal disesuaikan dengan formula Faustman, yang memberikan periode penanaman yang bernilai ekonomis dari suatu jenis tanaman. Masalah lain yang menarik untuk dijadikan penelitian yang menguntungkan adalah budidaya ikan. Banyak model bioekonomi yang berhubungan dengan budidaya ikan diperluas bukan hanya untuk mengoptimalkan waktu panen, tetapi juga aspek lainnya seperti ukuran awal penebaran dan nutrisi makanan.

Model fungsi pertumbuhan dari suatu spesies dengan spesies lainnya dapat berbeda sesuai dengan karakteristik faktor-faktor yang memengaruhi pertumbuhan masing-masing spesies, misalnya spesies tertentu memiliki pola pertumbuhan yang mengikuti model monomolekuler sedangkan spesies lain mengikuti model logistik atau model lainnya. Pola pertumbuhan yang berbeda dari setiap individu dari spesies yang sama merupakan fenomena alam yang dipengaruhi oleh beberapa faktor, seperti tingkah laku spesies, persaingan makanan dan keberagaman ukuran ikan yang membawa laju tingkat kematian yang lebih tinggi untuk ukuran ikan yang lebih kecil. Fakta-fakta ini menunjukkan bahwa waktu panen optimal dapat berubah jika diasumsikan pertumbuhan setiap individu bervariasi.

Beberapa model pertumbuhan dengan ukuran heterogen menggunakan peubah stokastik dalam fungsi pertumbuhannya. Willasen (1998) menggunakan teori kontrol impuls untuk mendapatkan hubungan yang positif antara derajat variabilitas ukuran dengan waktu panen (Gasca et al, 2007). Namun demikian hasil dari model-model tersebut hanya untuk model pertumbuhan yang sederhana,

(26)

seperti model pertumbuhan linear atau logistik, disebabkan oleh perlakuan analitik yang kompleks untuk proses stokastiknya.

Pada tulisan ini fungsi pertumbuhan hanya bergantung pada peubah ukuran berat awal ikan, baik yang homogen maupun yang heterogen. Faktor-faktor lain seperti kondisi lahan, suhu, persaingan makanan dianggap faktor eksogen yang bernilai konstan. Waktu panen optimal ditentukan dengan memaksimumkan fungsi keuntungan yang merupakan selisih dari fungsi nilai jual ikan pada saat panen dengan fungsi biaya pemeliharaan.

1.2. Tujuan Penelitian Penelitian ini bertujuan:

1. Menganalisis model matematika waktu panen optimal pada populasi ikan dengan ukuran awal homogen.

2. Menganalisis model matematika waktu panen optimal pada populasi ikan dengan ukuran awal heterogen.

(27)

BAB II

LANDASAN TEORI

2.1. Model Pertumbuhan

Bentuk fungsi pertumbuhan satu jenis spesies pada umumnya menggunakan notasi fungsi analitik yang dinyatakan dalam satu persamaan. Secara umum fungsi pertumbuhan menyatakan hubungan ukuran berat (x) sebagai fungsi dari waktu (t), dan ditulis:

x = f(t).

Laju pertumbuhan merupakan fungsi dari ukuran berat (x) dan waktu (t) yang memenuhi persamaan:

) , (xt u dt dx ₌

(France & Thornley 1984) Model pertumbuhan satu jenis spesies yang digunakan adalah model pertumbuhan Richards. Richards adalah orang yang pertama kali menerapkan persamaan pertumbuhan yang dibangun dalam model yang disebut model Von Bertalanffy untuk menunjukkan pertumbuhan hewan (Gasca et al, 2007). Persamaan pertumbuhan Richards merupakan persamaan umum dari persamaan pertumbuhan monomolekuler, logistik, Gompertz dan persamaan lainnya. Bentuk umum dari persamaan Richards adalah:

n f

n n f

nx x x kx dt

dx ( − )

dengan k dan x_f konstanta yang bernilai positif, serta n adalah parameter. Solusi umum dari persamaan Richards adalah:

(

)

[

n n kt

]

f n

e x x x

x x t

x ₁

0 0

0 )

(

−

− + =

(bukti dapat dilihat pada Lampiran 1)

(1)

(2)

(3)

(28)

dengan x₀ adalah ukuran berat pada t = 0 dan x_f merupakan ukuran berat untuk

t → ∞. Untuk nilai n = -1, persamaan (3) menjadi:

(

x x

)

k dt dx

f −

yang merupakan persamaan pertumbuhan monomolekuler. Kurva laju pertumbuhan model monomolekuler terhadap ukuran pada persamaan (5) dengan nilai k = 0.02, 0.05, dan 0.1 serta x_f = 1000 diperlihatkan pada Gambar 1.

200 400 600 800 1000 ukuran

20 40 60 80 100 laju pertumbuhan

Gambar 1 Laju pertumbuhan model monomolekuler untuk nilai k = 0.02, 0.05 dan 0.1 serta ukuran maksimum (xf) 1000.

Dari Gambar 1 di atas dapat dilihat bahwa pada model fungsi pertumbuhan monomolekuler semakin besar ukuran individu maka laju pertumbuhannya semakin menurun. Dengan menggunakan beberapa nilai parameter k, nampak pula bahwa semakin besar nilai k maka semakin cepat penurunan laju pertumbuhan.

Fungsi ukuran individu terhadap waktu dari model pertumbuhan monomolekuler adalah:

kt e x x x t

x( )= _f −( _f − ₀) −

(bukti dapat dilhat pada Lampiran 2)

dengan x₀ menyatakan ukuran awal individu pada saat penebaran (ukuran pada t = 0). Kurva ukuran terhadap waktu untuk model fungsi pertumbuhan

(5)

(6)

k=0.1

k=0.05

(29)

monomolekuler pada persamaan (6) dengan nilai x₀= 20, x_f= 1000 serta nilai k masing-masing 0.02, 0.05, dan 0.1 diperlihatkan pada Gambar 2.

50 100 150 waktu

200 400 600 800 1000

ukuran

Gambar 2 Fungsi pertumbuhan model monomolekuler untuk nilai x₀= 20, f

x = 1000 serta nilai k masing-masing 0.02, 0.05 dan 0.1.

Dari Gambar 2, dapat dilihat bahwa fungsi pertumbuhan model monomolekuler merupakan fungsi yang monoton naik, konveks dan ukuran berat konvergen ke nilai x_f. Semakin besar nilai k ukuran berat ikan akan semakin cepat menuju nilai kekonvergenannya.

Untuk n = 1, persamaan (3) menjadi model persamaan logistik, yaitu:

⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎝ ⎛

− =

x x kx dt dx

1 .

Grafik laju pertumbuhan model logistik pada persamaan (7) untuk nilai f

x = 1000 serta nilai k masing-masing sebesar 0.02, 0.05, dan 0.1 ditampilkan pada Gambar 3.

(7)

k=0.05

k=0.1

(30)

200 400 600 800 1000 ukuran 5

10 15 20 25 laju pertumbuhan

Gambar 3 Laju pertumbuhan model logistik untuk nilai x_f = 1000 serta nilai k

masing-masing sebesar 0.02, 0.05, dan 0.1

Dari Gambar 3, fungsi laju pertumbuhan model logistik merupakan fungsi konveks dan simetris serta laju maksimum tercapai pada ukuran separuh dari ukuran maksimumnya.

Fungsi ukuran setiap individu terhadap waktu dari model pertumbuhan logistik adalah:

kt f

e x x x

x x t

x ₋

− + =

) (

0 0

(bukti dapat dilihat pada Lampiran 3)

dengan x₀ menyatakan ukuran awal individu pada saat penebaran. Kurva ukuran terhadap waktu model fungsi pertumbuhan logistik pada persmaan (8) untuk nilai

x = 20, x_f= 1000 serta nilai k masing-masing sebesar 0.02, 0.05 dan 0.1 diperlihatkan pada Gambar 4.

(8)

k= 0.02

k= 0.05

(31)

100 200 300 400 500 waktu 200

400 600 800 1000

ukuran

Gambar 4 Fungsi pertumbuhan model logistik untuk nilai x₀= 20, x_f= 1000 serta nilai k sebesar 0.02, 0.05 dan 0.1

Pada Gambar 4, nampak bahwa fungsi pertumbuhan model logistik merupakan fungsi yang monoton naik, konveks dan mencapai kestabilan pada nilai x_f. Semakin besar nilai k semakin cepat menuju titik kestabilannya.

(France & Thornley, 1984)

2.2. Model Ekonomi Pemanenan

Nilai sekarang (present value) dari jumlah arus kas diskret

n t t

t c c

c , ,...,

2 1

yang dibayarkan pada periode t1, t2, ... tn dengan 0≤t1<t2 <...<tn adalah:

∑

= n

i tv t

c PV

i 1

) (

dengan

i t i

r t

) 1 (

1 ) (

= , r tingkat suku bunga per periode waktu. Jika berlaku suku bunga majemuk kontinu δ yang bernilai konstan untuk setiap waktu t maka nilai sekarang dari tingkat diskon untuk 1 satuan nilai pada setiap t ≥ 0 didefinisikan v(t)=e−δt. Jika M(t) menyatakan total pembayaran pada selang waktu [0, t] maka didefinisikan ρ(t)=M'(t) untuk setiap t. Nilai sekarang dari total pembayaran yang dilakukan pada waktu 0≤t≤Tadalah:

(9)

k= 0.02

k= 0.05

(32)

∫

₌ −

= T t

T dt t e dt t t v PV 0 0 ) ( ) ( )

( ρ δ ρ .

(McCutcheon & Scott 1986) Misalkan laju pertumbuhan populasi ikan dinyatakan dengan F(x) dan laju panen dengan h(t), maka laju pertumbuhan berat ikan x& memenuhi persamaan:

) ( ) (x h t F

dt dx

x&= = − , 0t≥ .

Jika diasumsikan p adalah harga pada waktu panen bernilai konstan dan c(x) fungsi biaya pada waktu ikan berukuran x, maka penerimaan hasil panen pada waktu t dinotasikan dengan R(t) memenuhi persamaan:

[

( )

]

() )

(t p c x h t

R = − .

Diasumsikan δ >0 adalah faktor diskon kontinu, maka nilai sekarang dari fungsi penerimaan adalah:

∫

∞ − = 0 ) (t dt R e

PV δt .

Persamaan (11) dan (12) disubstitusikan ke persamaan (13) maka diperoleh:

∫

∞ − ₋ ₋ = 0 ] ) ( )][ (

[p c x F x xdt e

PV δt _& _.

(Clark 1976) Misalkan terdapat suatu fungsi produksi multivariabel, yaitu fungsi yang menggunakan n input untuk memproduksi suatu produk.. Jika _x∈_Rn menunjukkan sepaket input, G(x) fungsi permintaan dan p harga, maka fungsi penerimaannya dinyatakan dengan R(x) = pG(x). Jika C(x) menunjukkan biaya sepaket input x, maka fungsi keuntungan adalah:

) ( ) ( )

(x = R x −C x

π .

Diasumsikan bahwa x yang membuat keuntungan maksimum berada dalam Rn

positif, maka turunan parsial dari π harus bernilai nol pada nilai x* optimal seperti yang dinyatakan oleh perumusan berikut:

( )

* =0

∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂ x x C x x R x

x_i _i _i

(Simon & Blume1994) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16)

(33)

2.3. Fungsi Kepadatan Peluang

Misalkan X adalah peubah acak kontinu yang memiliki fungsi kepadatan peluang f(x) dan terdefinisi pada R. Sifat-sifat yang harus dipenuhi adalah:

a. f(x)≥0 untuk semua x∈R

∫

∞

∞ −

) (x dx

f .

Fungsi kepadatan peluang sebaran kontinu yang digunakan dalam penentuan waktu panen optimal kultur heterogen adalah sebaran seragam dan sebaran beta. 1. Sebaran Seragam

Misalkan X peubah acak yang nilainya berada dalam selang [a, b]. Jika X

menyebar seragam, maka X memiliki fungsi kepadatan peluang: ⎪⎩

⎪ ⎨

⎧ _< _<

− =

lainnya untuk

, 0

untuk , 1 ) (

b x a a

b x f

Nilai rata-rata dan ragam dari sebaran seragam berturut-turut adalah:

2 )

(x a b E = + dan

12 ) ( ) (

a b x

Var = − . Grafik fungsi sebaran seragam peubah acak X dalam selang [2, 4] disajikan pada Gambar 5 berikut:

f(x)

1 2 3 4 5 6 x

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

Gambar 5 Fungsi sebaran seragam dalam selang [2, 4].

(34)

Dari Gambar 5, dapat dilihat bahwa fungsi kepadatan peluang untuk 2≤x≤4 berupa fungsi konstan, yaitu f(x)=0.5 sedangkan untuk nilai x lainnya

0 ) (x =

f . Nilai rata-rata dan ragam fungsi ini masing-masing sebesar 3 dan ₃1_. 2. Sebaran Beta

Peubah acak X yang menyebar beta dengan parameter (α,β),α >0,β >0 memiliki fungsi kepadatan peluang:

⎪⎩ ⎪ ⎨

⎧ ₋ _< _<

= − −

lainnya ;

1 0

; ) 1 ( ) , (

1 )

(

1 1

x x x

x B

x f

β α

dengan =

∫

− − −

1 1

) 1 ( )

( x x dx

Bα β α β . Nilai rata-rata dan ragam dari sebaran beta berturut-turut adalah:

β α

+ = ) (x

E dan ₂

) )( 1 (

) (

β α β α

αβ

+ + + =

Var . Grafik

fungsi sebaran beta untuk α =3 dan β =2 disajikan pada Gambar 6 berikut:

f(x)

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x

0.5 1.0 1.5

Gambar 6 Fungsi sebaran beta f(x)untuk nilai α =3 dan β =2

Pada Gambar 6, nampak bahwa fungsi kepadatan peluang sebaran beta untuk 3

α dan β =2 merupakan fungsi konvek pada selang [0, 1]. Pada selang [0, 1] rumus fungsi kepadatan peluangnya adalah _f(_x)=₁₂1 _x2(1−_x)_dan_f₍_x₎=₀ untuk nilai x lainnya. Nilai rata-rata dan ragam berturut-turut adalah ₅3_dan

25 1 _.

(35)

Teorema transformasi. Misalkan X merupakan peubah acak kontinu dengan fungsi kepadatan peluang f_X dan himpunan nilai yang mungkin dari x adalah A. Untuk fungsi invers h: A → R, misalkan Y = h(X) merupakan peubah acak dengan himpunan nilai yang mungkin B = h(A) = {h(a) : a ∈ A}. Misalkan bahwa invers dari y=h(x) adalah x=h−1(y)yang dapat didiferensialkan untuk semua nilai

y∈ . Maka f_Y sebagai fungsi kepadatan peluang dari y diberikan oleh:

(

( )

) ( )

'( ) )

(y f h 1 y h 1 y

f_Y = _X − − , y ∈ B.

(Ghahramani, 2005) 2.4. Deret Taylor

Misalkan I adalah selang yang memuat nilai a. Jika g dapat didiferensialkan hingga orde ke-n pada selang I, maka g dapat direpresentasikan dalam bentuk deret sebagai berikut:

) ( )

( )! 1 (

) ( )

)( ( ' ) ( )

( 1

) 1 (

x R a

x n

a g a

x a g a g x

g n _n

+ − −

+ + − +

= _K − −

dengan

∫

− −

− =

n n

n g s x s ds

n x R

1 )

(

) )( 1

1 )

( .

(Salas & Hille 1978) (19)

(36)

BAB III

MODEL MATEMATIKA

3.1. Fungsi Keuntungan Untuk Populasi Awal yang Berukuran Homogen Pada model persamaan populasi awal berukuran homogen digunakan asumsi bahwa pada waktu awal t = 0 terdapat sejumlah ikan pada kolam dengan ukuran awal yang sama. Misalkan laju pertumbuhan ikan dengan ukuran x dinyatakan dengan g(x). Kemudian ukuran masing-masing ikan pada waktu t dinotasikan dengan x(t). Persamaan diferensial yang sesuai dengan asumsi ini adalah:

( )

t g

( )

x& = , x

( )

0 = S₀

dengan S0 > 0 menyatakan ukuran awal ikan. Faktor-faktor yang memengaruhi pertumbuhan ikan di antaranya: berat badan, rasio ukuran individu dengan individu lainnya, suhu dan lain-lain. Untuk penyederhanaan, faktor-faktor tersebut dianggap sebagai faktor eksogenus yang bernilai konstan pada setiap waktu, sehingga g(x) hanya merupakan fungsi dari ukuran ikan.

(Gasca et al 2007). Secara umum diasumsikan g adalah fungsi kontinu yang dapat didiferensialkan dan terdefinisi pada selang

[ ]

0,ω dengan ω>0 merupakan berat maksimum yang mungkin dapat dicapai oleh ikan. Diasumsikan g(0)=0,

0 ) (ω =

g dan g positif pada selang

( )

0,ω . Misalkan N0 adalah banyaknya ikan pada waktu awal t = 0. Angka kematian memiliki laju yang bergantung pada ukuran ikan dan dinotasikan dengan

μ

(x)≥0 dengan

μ

adalah fungsi kontinu dan taknegatif. Sehingga banyaknya ikan dari waktu ke waktu N(t) diberikan dalam persamaan diferensial:

( )

( ) ( )

x t N t

N&( )=−μ , N

( )

0 = N₀

dan total biomassa dari semua ikan dalam lahan pada waktu t adalah:

( ) ( ) ( )

t x t N t

B = .

(21)

(22)

(37)

Biaya pemeliharaan setiap ekor ikan berukuran x untuk satu satuan waktu dinotasikan dengan f(x). Fungsi f(x) memuat biaya tetap per ikan (komponen yang tidak bergantung pada ukuran) dan biaya variabel (komponen yang bergantung pada ukuran, contohnya banyaknya makanan per ikan). Diasumsikan bahwa

f(0) ≥0 dan f merupakan fungsi naik yang memiliki turunan kontinu. Nilai sekarang dari akumulasi biaya pemeliharaan ikan dinyatakan dengan C(t) dan diberikan oleh persamaan:

( )

_t ₌

_∫

t_e−r _f

(

( )

) ( )

_N _d

τ τ τ

dengan r menyatakan tingkat diskon.

Fungsi p(x) menunjukkan harga per kilogram ikan ketika berukuran x, yang diasumsikan sebagai fungsi taknegatif dan memiliki turunan yang kontinu. Jika pemodelan waktu panen hanya mengkaji satu kali siklus pemanenan, maka fungsi keuntungan adalah:

( )

t =e−rt p

( ) ( ) ( )

( )

t Bt −C t

π .

3.2. Fungsi Keuntungan Untuk Populasi Awal yang Berukuran Heterogen Pada bagian ini asumsi kesamaan berat individu ikan dihilangkan, berarti terdapat perbedaan perkembangan ukuran pada waktu yang sama dalam suatu lahan. Diasumsikan ukuran yang heterogen sudah pasti terjadi pada distribusi awal ukuran dalam populasi.

Berdasarkan kondisi di atas, misalkan N₀ merupakan banyaknya ikan pada awal penebaran dan v₀(x),x∈[0,ω] merupakan fungsi kepekatan ukuran awal pada populasi. Menurut Sinko dan Streifer (1967) banyaknya ikan sebagai fungsi dari ukuran x dan waktu t dinyatakan N(t,x) yang memenuhi persamaan:

( )

t x

(

( ) ( )

x N t x

)

( ) ( )

x N t x

N_t , + , _x =−μ , , 0<x<

ω

, t>0

( )

x N v

( )

N 0, = ₀ ₀

(Gasca et al 2007) (26) (24)

(38)

dengan N_t(t,x) menyatakan turunan parsial N(t,x) terhadap t, (g(x)N(t,x))_x menyatakan turunan parsial dari g(x)N(t,x) terhadap x, 0μ(x)≥ adalah laju kematian, g(x) adalah pertumbuhan ikan pada ukuran x, dan fungsi kepadatan awal v0(x) diasumsikan kontinu.

Misalkan harga p(x) bergantung pada ukuran ikan. Nilai biomassa dalam lahan dihitung dengan menggunakan rumus:

( )

=ω

_∫

( ) ( )

,x dx t N x x p t

V .

Biaya pemeliharaan sampai dengan waktu t adalah:

( )

₌

_{∫ ∫}

t −rt

( ) ( )

dxd x N x f e t C

0 0

, ω

τ τ

dengan f(x) adalah biaya pemeliharaan setiap ekor ikan berukuran x untuk satu satuan waktu. Masalah yang dihadapi petani adalah menentukan waktu yang optimal untuk memanen seluruh ikan dalam kolam, yaitu dengan memaksimumkan fungsi:

( )

t =e−rtV

( ) ( )

t −C t

π .

(Gasca, et al 2007) Analisis penentuan waktu panen optimal dilakukan dengan alur sebagai berikut:

(27)

(28)

(39)

Gambar 7 Sketsa diagram alur analisis

Fungsi keuntungan adalah selisih fungsi penerimaan saat panen dengan fungsi biaya pemeliharaan. Pada fungsi tersebut memuat fungsi pertumbuhan. Pada analisis ini, penulis memilih fungsi pertumbuhan model Richards dengan pertimbangan bahwa fungsi tersebut monoton naik, konvek dan memiliki titik tetap sehingga sesuai dengan karakteristik pertumbuhan ikan. Untuk kasus populasi awal homogen, solusi analitik waktu panen optimal dapat dengan mudah ditentukan dengan mendiferensialkan fungsi keuntungan, tetapi untuk kasus populasi awal heterogen solusi analitik lebih kompleks karena memuat fungsi sebaran. Fungsi sebaran yang digunakan adalah sebaran seragam dan sebaran beta karena kedua sebaran ini terdefinisi pada selang yang terbatas.

Model fungsi Pertumbuhan Richards

Populasi Homogen Populasi Heterogen

Fungsi Sebaran Waktu Panen Optimal

Fungsi Penerimaan Fungsi Pemeliharaan

Memaksimumkan Fungsi Keuntungan

(40)

BAB IV

HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1. Penentuan Waktu Panen Optimal pada Populasi Awal Berukuran Homogen

Jika fungsi biomassa pada persamaan (23) diturunkan terhadap t, dan dengan menyubstitusikan N&

( )

t =−μ

( ) ( )

( )

t N t serta x&

( )

t = g

( )

x , maka diperoleh:

( )

[

( ) ( )

]

( ) ( ) ( )

[

g x xt x

]

( )

t .

t N t x dt d t B μ − = = &

Dengan mendiferensialkan fungsi akumulasi biaya pemeliharaan pada persamaan (24) diperoleh C&

( )

t sebagai berikut:

( )

(

( )

) ( )

( )

( ) ( )

. 0 t N t x f e d N x f e dt d t C rt t r − − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡

∫

τ τ τ τ

Jika fungsi keuntungan π

( )

t =e−rtp

( ) ( ) ( )

( )

t Bt −C t _{diturunkan terhadap}_t_,

dan dengan menyubstitusikan persamaan (30) dan (31) maka diperoleh:

)] ( ) ( )) ( ( [ )

( e p x t B t C t dt

t = −rt −

π& ) ( ) ( )] ( )) ( ( ) ( ) ( )) ( ( [ ) ( )) (

(xt B t e p x t xt B t p x t B t e f x N t p

re−rt + −rt + − −rt

−

= _& _& &

( ) ( ) ( )

[

p x g xx p

( ) ( )

x g x

(

( )

) ( )

p x x f

( )

]

e rt + − + −

= − _' _μ _.

Kondisi optimal fungsi keuntungan diperoleh pada saat

π

&(t)= 0, sehingga persamaan umum yang memuat ukuran x pada penebaran populasi awal homogen adalah:

( ) ( )

x g x x p

( ) ( )

x g x

(

( )

) ( )

p x x f

( )

p' + = +μ + .

(32)

(33) (31) (30)

(41)

4.1.1. Waktu Panen Optimal Kultur Homogen Untuk Fungsi Pertumbuhan Monomolekuler

Untuk penyederhanaan diasumsikan harga ikan p dan tingkat kematian μ bernilai konstan (tidak bergantung pada ukuran) sehingga persamaan (33) menjadi:

0 ) ( ) ( )

(x − f x − p r+ x=

pg μ .

Misalkan fungsi biaya pemeliharaan memiliki bentuk:

( )

x c c x c f g

( )

f = ₀+ _e + _f ₀ )

dengan c₀ menunjukkan biaya tetap untuk setiap ikan, c_e biaya pemeliharaan setiap ikan pada ukuran x, c_f harga pakan per gram dan f₀ menyatakan tingkat efisiensi makanan.

Jika diasumsikan g(x) adalah fungsi pertumbuhan monomolekuler yaitu: )

( ) ( )

( g x k ω x

dt dx t

x& = = = − dengan k konstanta pertumbuhan dan ω ukuran maksimum yang dapat dicapai ikan, maka dengan menyubstitusikan model pertumbuhan tersebut dan fungsi biaya pemeliharaan f

( )

x =c₀ +c_ex+c_f f₀g

( )

ke persamaan (34), maka diperoleh ukuran panen optimal (x_h) sebagai berikut: 0

) ( )

( )

(ω−x − p r+ x−c₀ −c x−c f₀k ω−x =

pk μ _e _f

⇔ (p−c_f f₀)kω−c₀ −

(

(p−c_f f₀)k+ p(r+μ)+c_e

)

x=0

⇔

e f

f h

c r

p k f c p

c kω f c p x

+ + + −

− −

) ( ) (

) (

0 0

μ .

Karena k(ω x)

dx ₌ ₋

, maka dengan menentukan solusi persamaan diferensial

tersebut dan menyubstitusi nilai x_h, diperoleh nilai waktu panen optimal populasi awal berukuran homogen (t_h) sebagai berikut:

(34)

(35)

(42)

(

)

]

kt d k y ω dy x x t x x = − − ⇔ = −

∫

0 0 0 ln ) ( ω τ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − = ⇔ x ω x ω k

t 1_ln 0

Dengan menyubstitusikan x_h pada persamaan (36) ke persamaan (37) diperoleh waktu panen optimal adalah:

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + + + + + − = 0 0 f 0 ] ) ( [ ] ) ( ) )[( -( ln 1 c c r p ω c r p k f c p x ω k t e e h _μ μ .

Untuk μ konstan (tidak bergantung pada ukuran), maka diperoleh solusi )

( )

(t N t

N& =−μ sebagai berikut:

∫

= t

t N N kd d 0 ) ( 0 τ η η

( )

]

N_Nt =kt

⇔ () 0 lnη t e N t

N = −μ

⇔ ( ) 0 .

Dengan menyubstitusikan persamaan (39), x(t)=ω−(ω−x₀)e−kt (solusi dari )

(ω x k dt

dx ₌ ₋

), fungsi g dan f ke persamaan (25), maka fungsi keuntungan terhadap waktu dari kasus homogen dengan model pertumbuhan monomolekuler adalah sebagai berikut:

( )

( ) ( )

[

( )

(

( )

)

]

( )

τ τ

π _t _e _px_t _N _t t_e τ _c _c _x _c _f _g _x _N _d

f e r rt

∫

+ + − = − − 0 0 0

⇔

( )

[

(

)

]

e N e x p e

t ω ω μ

π ₌ − ₋ ₋ − −

0 0

(

)

(

)

(

)

[

ω ω τ ω τ

]

μτ τ

τ d e N e x k f c e x c c e t k f k e

r − − −

−

∫

+ − − + − − ₀ 0 0 0 0 0

⇔ π

( )

t =

[

ω−

(

ω−x₀

)

e−kt

]

pN₀e−(r+μ)t

(

)

(

)

(

)

(

( )

)

0 0 0 ) (

0 ₁ ₁ _e _N

k r c k f c x e r c

c e r t f e _r _k_t

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + − − + − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + +

− − +μ − +μ+

μ ω μ ω (38) (40) (37) (39)

(43)

4.1.2. Waktu Panen Optimal Kultur Homogen untuk Model Fungsi Pertumbuhan Logistik

Jika fungsi pertumbuhan g(x) diasumsikan memenuhi model logistik,

yaitu: x

ω x k x g dt dx ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − =

= ( ) 1 dengan k konstanta pertumbuhan model logistik dan ω ukuran maksimum yang dapat dicapai ikan, maka dengan menyubstitusikan model pertumbuhan tersebut dan fungsi biaya pemeliharaan ke persamaan (34), diperoleh dua akar persamaan di mana nilai akar terbesar merupakan ukuran optimal (x_h) pada waktu panen untuk kasus populasi awal yang berukuran homogen sebagai berikut:

(

)

1 ₀ ₀ _⎥− + =

⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + + − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝

⎛ − x p r x

ω x k f c x c c x ω x

pk _e _f μ

⇔ −

(

− ₀

)

x2+bx−c₀ =0

k f c

p _f

dengan b=k(p−c_f f0)− p(r+

μ

)−c_e. Akar-akar persamaannya adalah:

(

)

(

)

ω k f c p ω k f c p c b b x f f 0 0 0 2 2 , 1 ₂ ) 4 − − − − ± − = .

Ukuran pada waktu panen optimal (x_h) adalah nilai akar terbesar dari x₁ dan x₂, yaitu: ) ( 2 ) ( 4 ) ( 0 0 0 2 f c p k f c p c kω b ω b ω x f f h ₋ − − + =

dengan b=k(p−c_f f₀)− p(r+μ)−c_e. Solusi dari persamaan diferensial x

ω x k x g dt dx ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − =

= ( ) 1 adalah:

∫

= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − t x x kd ω y y dy 0 0 1 τ (41)

(44)

⇔

∫

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + t x x kd dy ω y ω y ₀ 0 1 1 1 τ

⇔ kt

x ω x x ω x = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − ) ( ) ( ln 0 0 _.

Hubungan waktu dan ukuran berat pada saat panen dinyatakan dengan persamaan berikut: ⇔ _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − = ) ( ) ( ln 1 0 0 h h h x ω x x ω x k t .

Dengan menyubstitusi nilai x_h pada persamaan (41) ke persamaan (42), maka diperoleh nilai waktu panen optimal (t_h) untuk kasus homogen dengan fungsi persebagai berikut: umuhan model logistik adalah:

(

)

(

)

(

)

(

)

⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − + − − − − − + = ) ( 4 ) ( ) ( 2 ) ( 4 ) ( ln 1 0 0 2 0 0 0 0 0 2 f c p c kω b ω b ω f c p kω x x ω f c p c kω b ω b ω k t f f f

h .

Dengan menyubstitusikan persamaan (39), _kt

e x x x t x ₋ − + = ) ( ) ( 0 0 0 ω ω (solusi dari x ω x k dt dx ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −

= 1 ), fungsi g dan f ke persamaan (25), maka fungsi keuntungan terhadap waktu dari kasus homogen dengan model pertumbuhan logistik adalah sebagai berikut:

( )

( ) ( )

[

( )

(

( )

)

]

( )

τ τ

π _t _e _px_t _N _t t_e τ _c _c _x _c _f _g _x _N _d

f e r rt

∫

+ + − = − − 0 0 0

⇔

( )

₍

₎

rt _N _e

e x x x p e t μ ω ω π − − − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + = ₀ 0 0 0

(

)

₍

(

_ωω

₎

)

₎

ω μτ τ τ τ τ d e N e x x e x x k f c e x x x c c e t k k f k e r − − − − −

∫

_⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + − + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + + − ₀ 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (43) (42)

(45)

⇔

( )

₍

₎

0 ( )

(

)

0 0

0 _pN _e _A _B _C _N

e x x

t r t

kt⎥ − + +

⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + = − + − μ ω ω π dengan: ( )

(

)

μ μ + − = − + r e c A t r 1 0 _, ( )

(

)

(

)

(

)

t r kt e e x x r e e x c B 0 0 0 1 − − + − = − + ω μ ω μ , dan

(

)

( )

(

( )

)

(

)

(

)

t r t r k f e x x r e e x k f c C 0 0 0 0 1 + − + − − = + − − ω μ

ω μ μ

4.1.3. Perbandingan Waktu Panen Optimal Model Fungsi Pertumbuhan Monomolekuler dan Logistik Pada Kultur Homogen

Misalkan pada Tabel 1 diberikan nilai-nilai parameter yang merupakan data hipotetik sebagai berikut:

Tabel 1 Nilai Parameter (data hipotetik)

Parameter Deskripsi Nilai

r μ p c0 cf ce f0 N0 x0 k ω Tingkat diskon

tingkat kematian per hari Harga ikan

Biaya tetap per ekor Harga makanan

Biaya pemeliharaan per gram Tingkat efisiensi makanan Jumlah populasi awal Ukuran awal ikan Rasio pertumbuhan Berat maksimum

0.06 per tahun 0.0006 Rp. 15/gram Rp. 15 Rp. 6/gram Rp. 0.01 0.95 2000 20 gram 0.03 1000 gram

Jika nilai-nilai parameter Tabel 1 disubstitusikan terhadap fungsi keuntungan pada masing-masing model pertumbuhan monomolekuler pada persamaan (40) dan logistik pada persamaan (44) dengan menggunakan software Mathematica 6.0 diperoleh kurva sebagai berikut:

(46)

50 100 150 200 250 300 waktu 2. 106

4. 106 6. 106 8. 106 1. 107 1.2 107

keuntungan

50 100 150 200 250 300 350 waktu 2. 106

4. 106 6. 106 8. 106 1. 107 1.2 107 1.4 107

keuntungan

(a) (b) Gambar 8 Kurva fungsi keuntungan (a) model pertumbuhan monomolekuler

(b) model pertumbuhan logistik

Dari Gambar 8 terlihat bahwa suatu spesies yang model pertumbuhannya monomolekuler lebih cepat mencapai waktu panen optimalnya dari spesies yang model pertumbuhannya logistik. Selain itu dengan parameter yang sama pada Tabel 1, ukuran dan waktu panen optimal dari dua spesies yang berbeda dengan model pertumbuhan masing-masing monomolekuler dan logistik disajikan pada Tabel 2 berikut:

Tabel 2 Ukuran dan waktu optimal model pertumbuhan monomolekuler dan logistik

Spesies Model Pertumbuhan Ukuran panen Optimal (gram)

Waktu Panen Optimal (hari) 1

Monomolekuler Logistik

905,77 587,43

78,06 206,25

Berdasarkan Tabel 2 di atas, ukuran ikan pada saat panen untuk spesies yang model pertumbuhannya mengikuti model monomolekuler lebih besar dibandingkan dengan ukuran spesies yang pertumbuhannya mengikuti model logistik, sedangkan waktu panennya lebih cepat.

(47)

4.2. Penentuan Waktu Panen Optimal pada Populasi Awal Berukuran Heterogen

Dengan mendiferensialkan fungsi =

∫

ω dx x t xN x p t V 0 ) , ( ) ( )

( terhadap t maka

diperoleh =

∫

t t x dx

xN x p t V 0 ) , ( ) ( ) (

& _{, dan dengan menyubstitusi persamaan}

) , ( ) ( )) , ( ) ( ( ) ,

(t x g x N t x x N t x

N_t + _x =−μ pada persamaam V&(t) diperoleh:

∫

− −

=ωp x x g x N t x x x N t x dx

t V 0 )] , ( ) ( )) , ( ) ( ( [ ) ( ) ( μ & atau

∫

−

∫

−

= ωp x x g x N t x _xdx ωp x x x N t x dx

t V 0 0 )] , ( ) ( ) ( )) , ( ) ( ( ) ( ) ( μ & _.

Dengan pengintegralan parsial

∫

udv=uv−

∫

vdu dari bentuk

( )

x x

(

( ) ( )

x N t x

)

p _x

, 0

∫

dengan u = p

( )

x x→du=

(

( )

x x

) (

_x= p'(x)x+ p(x)

)

dan dv=

(

( ) ( )

x N t,x

)

_xdx→v=g(x)N(t,x) sehingga diperoleh:

( )

(

( ) ( )

)

( ) ( ) ( )

( )

(

) ( ) ( )

, . , , 0 0 0

|

dx x t N x g x p x x p x t N x g x x p dx x t N x g x x p ω ω x ω

∫

+ − =

Karena g(0)=0 dang(ω)=0 yakni laju pertumbuhan ukuran sama dengan nol ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₌ 0 dt dx

maka persamaan (46) menjadi:

( )

x x

(

( ) ( )

x N t x

)

(

( )

xx p

( )

) ( ) ( )

g x N t xdx

p , _x ' ,

∫

=− + .

Dengan menyubstitusikan persamaan (47) ke persamaan (45), maka diperoleh bentuk yang lebih sederhana dari V&(t), yaitu:

(45)

(46)

(48)

∫

−

∫

=ω ω μ

0 0 )] , ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ) ( ( )

(t p x x g x N t x dx p x x x N t x dx

V& _x .

Pendiferensialan fungsi biaya =

∫ ∫

− t rt dxd x N x f e t C 0 0 ) , ( ) ( ) ( ω

τ

terhadap t

menghasilkan:

∫

− = ω 0 ) , ( ) ( )

(t e f x N t x dx C& rt .

Pendiferensialan fungsi keuntungan π(t)=e−rtV(t)−C(t) terhadap t diperoleh: ) ( ) ( ) ( )

(t re rtV t e rtV& t C& t

& =− − + − −

π .

Keuntungan maksimum tercapai pada kondisi

π

&(t)=0 sehingga diperoleh persamaan: ) ( ) ( )

(t rV t e C t V& = + rt & .

Dengan menyubstitusi V&(t), )Vt dan C&(t) ke persamaan (51) diperoleh:

∫

+ − + − = ω μ 0 0 ) , ( )] ( ) ( )) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( '

[p x xg x p x g x r x p x x f x N t x dx .

Untuk penyederhanaan persamaan (52) digunakan Lema 1 dan Lema 2 sebagai berikut:

Lema 1. Solusi N(t,x) dari persamaan (26) diberikan oleh:

τ τ τ

μ s x g s x d

e t x s v N x t N t ) )) ]( [ ( ' )) ]( [ ( ( )) ]( [ ( ) , ( 0 0 0 ∫ + − =

(bukti dapat dilihat pada Lampiran 4).

(48) (49) (50) (51) (52) (53)

(49)

Lema 2. Misalkan t>0 dan s∈[0,

ω

] , maka berlaku: ∫ = ∂ ∂ t d s x g e s t s x 0 )) ]( [ ( ' ) ](

[ τ τ

(bukti dapat dilihat pada Lampiran 5).

Jika persamaan (53) dan (54) disubstitusikan ke persamaan (52), maka diperoleh:

∫

+ ω 0 )) ]( [ ( )) ]( [ ( )) ]( [ ( ) ]( [ )) ]( [ ( '

[p xs t xs t g xs t p x s t g xs t

0 )) ]( [ ( ) ( ))] ]( [ ( ) ]( [ )) ]( [ ( ))) ]( [ (

( ₀ 0 =

∫ − − + − ds d s x e s v t s x f t s x t s x p t s x r t τ τ μ μ .

Untuk p dan

μ

konstan persamaan (51) menjadi:

0 ) ( )] ]( [ ) ( )) ]( [ ( )) ]( [ ( [ ₀ 0 = + − −

∫

pg xs t f x s t r pxs t v s ds

Dengan persamaan (52), solusi eskplisit dari ukuran dan waktu panen optimal kultur heterogen tidak dapat ditentukan.

4.3. Perbandingan waktu panen optimal populasi awal berukuran homogen dan heterogen

Model homogen merupakan bentuk sederhana dari model heterogen dengan mengasumsikan bahwa semua ikan memiliki ukuran yang sama pada

0 =

t . Perbandingan waktu panen kedua model dilakukan dengan memisalkan fungsi pertumbuhan g, μ, r, pdan banyaknya populasi awal N0 sama untuk kasus homogen dan heterogen.

Diasumsikan bahwa kepekatan ukuran awal v₀ model heterogen dikonsentrasikan pada interval [s₀ −ε,s₀ +ε]⊆

[ ]

0,ω dengan nilai rata-rata s₀, yang berarti:

∫

+ − = = ε ε ω 0 0 1 ) ( ) ( ₀ 0 0 s s ds s v ds s

v atau

∫

+ − = ε ε 0 0 0 0( )

s s s ds s sv . (54) (55) (56) (57)

(50)

Untuk penyederhanaan diasumsikan

μ

dan p konstan (tidak bergantung pada ukuran populasi ikan), fungsi g(x) dan h(x):= pg(x)− f(x) keduanya kontinu, dapat didiferensialkan dan konvek (turunan kedua bernilai negatif). Demikian pula bahwa h bernilai positif untuk ukuran x∈[0,

ω

], sedangkan f diasumsikan berbentuk fungsi konkap.

Berdasarkan asumsi di atas kondisi optimal persamaan (34) memberikan bentuk :

0 ) ( ) ( : )

(x =h x − p r+

μ

ψ

Dan kondisi optimal persamaan (52) menjadi :

0 ) ( )] ]( [ ) ( )) ]( [ ( [ : )

( ₀

= +

−

_∫

h xs t r px s t v s ds

μ ξ

Proposisi Berdasarkan asumsi-asumsi di atas dan diberikan data p, g, N₀, s₀

maka klaim berikut berlaku:

(i) Ada bilangan ρ₁ >0 sehingga untuk setiap rdan μ taknegatif dengan 1

ρ μ≤ +

r dan fungsi f memenuhi perumusan asumsi, persamaan (56) memiliki dua akar real pada selang [0,

ω

] dan nilai akar yang lebih besar merupakan nilai optimal ukuran panen_xh_.

(ii) Ada bilangan ρ₂>0 dan ε₀ >0 sedemikian hingga pernyataan berikut berlaku: jika ε∈(0,ε₀], r dan

μ

taknegatif, f(x) memenuhi perumusan asumsi dan berlaku r+μ+ f(x)≤ ρ₂ serta kepekatan ukuran awal v₀

memenuhi persamaan (55), maka persamaan (57) memiliki tepat dua solusi taknegatif dengan nilai yang lebih besar merupakan waktu panen optimal

t . Selain itu waktu optimal model heterogen lebih besar daripada model homogen

h H

t t > .

Bukti: pada Lampiran 6.

(58)

(59)

(51)

Hal penting adalah, bahwa jika tingkat kematian, suku bunga, dan biaya cukup kecil, maka waktu panen optimal kultur homogen cenderung lebih rendah daripada kultur heterogen.

(1)

Lampiran 3 Bukti Persamaan (8)

Dari pengintegralan persamaan (5) _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎝ ⎛

− =

x x kx dt dx

1 diperoleh hasil sebagai berikut:

∫

_⎟⎟ =

⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎝ ⎛

−

+ t

x f

kds dy

y x

y ₀

1 1

(

)

[

y x y

]

x kt

f − =

− ⇔

0 ln

(

)

(

)

x x x

f ₌

⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎝ ⎛

− − ⇔

0 0 ln

0 0

x x

e x x x

f kt

f −

= − ⇔

(

)

0 0 1

x e x x x

x kt

f f

− − = − ⇔

(

)

0 0 0

x e x x x x

x_f + _f − −kt

= ⇔

kt f

e x x x

x x t

x ₋

− + = ⇔

) (

0 0

(2)

Lampiran 4 Bukti Lema 1

Dari persamaan Sinko dan Streifer, banyaknya ikan sebagai fungsi dari ukuran x

dan waktu t dinyatakan N(t,x) yang memenuhi persamaan:

( )

t x

(

( ) ( )

x N t x

)

( ) ( )

x N t x

N_t , + , _x =−μ ,

atau dalam notasi lain:

(

)

) , ( ) ( )

, ( ) ( ) , (

x t N x x

x t N x g t

x t

N ₌₋_μ

∂ ∂ + ∂ ∂

) , ( ) ( ) , ( ) ( ) , ( ) ( ' ) , (

x t N x x

x t N x g x t N x g t

x t N

− = ∂ ∂ + +

∂ ∂ ⇔

berdasarkan persamaan (21)

dt dx x

g( )= sehingga diperoleh persamaan:

(

( ) '( )

)

(, ) )

, ( )

, (

x t N x g x x

x t N dt dx t

x t N

+ − = ∂ ∂ + ∂

∂ _μ

Ruas kiri persamaan ini merupakan diferensial total N(t,x) terhadap t. Jika dimisalkan M(t)=N(t,x) maka diperoleh persamaan:

(

( ) '( )

)

( ) )

(

' t x g x M t

M =− μ + .

yang memiliki solusi sebagai berikut:

(

)

τ τ

d x g x M

dM t

t M

∫

+ −

= 0 )

(

) 0 (

) ( ' ) ( )

( ) (

(

μ x g x

)

dτ

M t

∫

− = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⇔

) ( ' ) ( )

0 (

) ( ln

(μx g x )dτ

e M t

M ∫

+ − =

⇔ 0

) ( ' ) ( ) 0 ( )

( .

Dari definisi M(0)=N(0,x)=N₀v₀(x) dan dengan memisalkan fungsi )

]( [y t s

t→ merupakan solusi dari s&= g(s), maka untuk setiap x∈[0,ω) berlaku:

τ τ τ

μ d

x s g x

s e

t x s v N x t N

) )) ]( [ ( ' )) ]( [ ( ( )) ]( [ ( )

( 0

0 0

∫ +

−

(3)

Lampiran 5 Bukti Lema 2

Dengan mendiferensialkan

s t s x

∂ ∂ [ ]()

terhadap t diperoleh:

s t s x t s x g t s x g ds

d t s x ds

d t

t s x ds

d s

t s x dt

∂ ∂ =

= =

∂ ∂ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛

∂

∂ [ ]()

)) ]( [ ( ' )) ]( [ ( )

]( [ )

]( [

Pengintegralan bentuk persamaan diferensial biasa di atas maka diperoleh: ∫

= ∂ ∂

d s x g e s

t s

x[ ]( ) ₀ '( [ ](τ)) τ □.

(4)

Lampian 6 Bukti Proposisi

Dengan mengasumsikan h(x)>0 untuk beberapa nilai x, fungsi x

r p x h

x): ( ) ( )

(

μ

ψ

= − + juga bernilai positif, tersedia bahwa (r+

μ

) yang cukup kecil yang dijamin dengan pemilihan ρ₁ >0. Maka ukuran optimal xh juga ada pada interval (0,

ω

) sehingga

ψ

(0)=−f(0)≤0 dan

. 0 ) ( ) ( )

(ω =− ω − +μ ω<

ψ f p r Ukuran xh optimal merupakan akar dari ψ, akar adalah penyederhanaan, dan

ψ

berubah dari positif ke negatif. Ada satu atau lebih akar real dalam [0,xh] yang berkorenpondensi dengan minimum lokal. Misalkan dipertimbangkan pentingnya kondisi optimal (51) untuk masalah heterogen:

∫

− + =

=ω μ

0 0

)] ]( [ ) ( )) ]( [ ( [ : )

(t h x s t r px s t v ds

Dengan jelas diperoleh bahwa ∀s∈[0,ω]:

1 0]( )| [ ) ]( [

|xs t −x s t ≤C

yang mengakibatkan

ε ψ

ξ( ) ( [ 0]( ))| 2 | t − x s t ≤C

untuk pendekatan nilai konstanta C1 dan C2. Berdasarkan x[s0](t) yang monoton, fungsi )ψ(x[s₀](t memiliki dua akar real (satu di antaranya merupakan waktu optimal th) dan akar real merupakan bentuk sederhana. Maka dari pertidaksamaan

ε ψ

ξ( ) ( [ ₀]( ))| ₂

| t − x s t ≤C untuk setiap ε yang cukup kecil, fungsi ξ juga memiliki dua nilai akar real, nilai-nilai tersebut berada disekitar ε dari akar real

)) ]( [ (xs₀ t

ψ , dan pada akar real kedua ξ berubah tanda dari posistf ke negatif, dengan demikian nilai akar ini merupakan waktu maksimum tH. Selain itu, dari perubahan tanda ξ pada tH menunjukkan bahwa:

0 ) (tH >

ξ yang berimplikasi tH >th

Untuk melengkapi bukti, diperlihatkan bahwa untuk ε yang cukup kecil diperoleh 0ξ(tH)> .

(5)

Dengan formula Taylor fungsi =

∫

− + = ω μ ξ 0 0 0 )] ]( ( ) ( )) ]( [ ( [ : )

(t h xs t r px s t v ds

dapat dinyatakan dengan:

(

)

[ ]

( )

[

]

( )

(

)

[ ]

( ) ( ) ( )

s s v sds s t s x p r h ds s v t s px r h O

t ₀ ₀

0 0 0 0 0 0 3 ' ) ( ) ( − ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ∂ ∂ + − + + − +

= ε ω

∫

μ ω

∫

[ ]

( )

[ ]

_{( ) ( )}

[ ]

_{( ) ( ) ( )}

ds s v s s s t s x p r s t s x h s t s x

h ₀ ₀

0 2 0 2 2 0 2 2 0 _' " 2 1 ₋ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ + − ∂ ∂ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂

_∫

ω μ

di mana argumen x

[ ]

s₀

( )

t pada h, h’, dan h” dilewatkan. Dari persamaan (53) dan (55) tersebut bahwa dua bentuk yang pertama merupakan akar persamaan pada

t t= .

Bentuk

[ ]

( )

s t s x

∂

∂ 0 _{Pada Lema 2 diubah variabel integrasi menjadi}_x

[ ]

( )

τ = _y

0 , yang memberikan:

[ ]

( )

) ( )) ( ( )) ( ln( ))) ( ( ln( ) ( / ) ( ' 0 0 ) ( 0 0 s g t s g s g t s g e y g dy y g e s t s x t s s = − = ∫ = ∂ ∂

di mana s(t)=x

[ ]

s₀

( )

t . Turunan kedua dari

[ ]

( )

s t s x

∂

∂ 0 _{dapat ditentukan sebagai}

berikut:

[ ]

( )

(

[ ]

( )

)

₍

_{[ ]}

_{( )}

₎

[ ]

( )

(

[ ]

( )

) ( )

( )

τ τ

τ τ τ τ τ d s g s g t s x g s g t s g d s s x s x g d s x g e s t s x t t t 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 2 " " '

∫

= ∂ ∂ ∫ = ∂ ∂ maka:

( )

_{( )}

(

)

( ) ( )

( )

(

) ( )

( )

[

(

)

(

' '

( )

)

]

(

) ( )

2 " ' 2 0 2 0 ω 0 0 2 0 0 2 0 ω 0 0 2 0 h ds s v s s s g g r p h g h s g g ds s v s s d s g s g r p h h"g s g g t t − − + − + = − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − + =

∫

μ τ τ τ μ ξ

Dari persamaan _h

( )

_th − _p

(

_r+μ

)

( )

_th =0_{dan menyingkat bentuk} )

(r+μ

(6)

(

'( ) '( )

)

) ( ) ( ' ) ( ) ( " )

( g s g s₀

s s h s h s g s h

s ⎟ −

⎠ ⎞ ⎜

⎝

⎛ ₋

+ =

pada titik _s=_s

( )

_th _{. Diperoleh:}

(

'( ) '( )

)

0 )

( ) ( ' )

( ⎟ − ₀ >

⎠ ⎞ ⎜

⎝

⎛ ₋

= g ω g s

ω ω

pada saat dua pengali berbentuk negatif. Sudah tentu, kedua bentuk seharusnya negatif untuk fungsi g yang cembung. Selain itu, diketahui bahwa h'(ω)≤0 dan bahwa ada beberapa nilai x∈(0,ω) untuk h(x)>0. Kemudian, penggunaan kecembungan dari h diperoleh:

∫

≤ − − ≤ −

− =

< ω ω ω ω ω ω ω ω

) ( ' ) ( ) ( ' ) ( ) ( ) ( ' ) ( ) (

0 h x h h x ds h x h h h

yang berimplikasi bahwa bentuk pertama dari

(

'( ) '( )

)

0 )

( ) ( ' )

( ⎟ − ₀ >

⎠ ⎞ ⎜

⎝

⎛ ₋

= g ω g s

ω ω

γ juga berbentuk negatif. Untuk

melengkapi bukti dicermati bahwa jika ρ₂ >0 dipilih bilangan yang cukup kecil maka )s=s(th merupakan perubahan-perubahan kecil untuk ω (pada saat

0 ) (