Strategi Hedging pada Kontrak Asuransi Jiwa Terkait dengan Ekuitas

STRATEGI HEDGING PADA KONTRAK ASURANSI JIWA TERKAIT
DENGAN EKUITAS

DIAN EKAPRATIWI
G54103048

DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2007

ABSTRACT

DIAN EKAPRATIWI. Hedging Strategy for Equity-Linked Life Insurance Contracts. Under the
direction of EFFENDI SYAHRIL and I G. PUTU PURNABA.
In this paper we consider a portofolio of equity-linked life insurance contracts and determine
risk-minimizing hedging strategy within a discrete time set-up. The contract that we use is an
equity-linked pure endowment contract under which the policy-holder receives max(S T , K ) at
time T if he is still alive, where S T is the value of a stock at term T of the contract and K is a
guarantee stipulated by the contract. We view the contracts as contingent claims in an incomplete

model and discuss the problem of choosing an optimality criterion for hedging strategies.
Life insurance contract is replicated with option contract and there is no inflow or outflow of
capital during the period considered to determine hedging strategy which gives the optimal price
for the contract. Then, from the option contract we will find the value of option which gives the
risk-neutral value. The value is used to find the hedging process for the equity-linked life
insurance contracts. In this paper, we use Cox-Ross-Rubinstein (CRR) as our asset pricing model.
For numerical example, we considered five trading times in one year which can be used to
quantify the effect of doing hedging.

ABSTRAK
DIAN EKAPRATIWI. Strategi Hedging pada Kontrak Asuransi Jiwa Terkait dengan Ekuitas. Di
bawah bimbingan EFFENDI SYAHRIL dan I G. PUTU PURNABA.
Dalam tulisan ini, akan dibahas sebuah portofolio dari kontrak asuransi jiwa yang terkait
dengan ekuitas dan kemudian akan ditentukan strategi hedging dalam waktu diskret yang
meminimumkan risiko. Kontrak yang digunakan adalah kontrak endowmen murni yang terkait
dengan ekuitas, di mana pemegang polis menerima max( S T , K ) pada waktu T jika ia tetap hidup,
di mana S T adalah nilai saham pada waktu T dari kontrak dan K adalah jaminan yang telah
ditentukan dalam kontrak. Kontrak dinyatakan sebagai satu kesatuan klaim dalam sebuah model
tidak lengkap dan kemudian akan didiskusikan masalah bagaimana memilih kriteria optimal untuk
strategi hedging yang biasa digunakan.

Kontrak asuransi jiwa tersebut direplikasi dengan menggunakan kontrak opsi dan tidak ada
penambahan maupun pengurangan modal untuk menentukan strategi hedging yang memberikan
harga optimal. Kemudian dari kontrak opsi tersebut akan dicari nilai dari opsi yang memberikan
nilai risiko netral. Nilai dari risiko netral tersebut merupakan nilai yang akan digunakan dalam
pencarian proses hedging untuk kontrak asuransi jiwa yang terkait dengan ekuitas. Pada tulisan
ini, model penetapan harga opsi saham yang digunakan adalah model Cox-Ross-Rubinstein (CRR).
Sebagai contoh numerik diberikan contoh dengan lima kali waktu perdagangan dalam satu tahun
yang dapat digunakan untuk mengukur efek dari melakukan hedging.

STRATEGI HEDGING PADA KONTRAK ASURANSI JIWA TERKAIT
DENGAN EKUITAS

Skripsi
Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains pada
Departemen Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Institut Pertanian Bogor

OLEH :
DIAN EKAPRATIWI

G54103048

DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2007

Judul
Nama
NIM

:
:
:

Strategi Hedging pada Kontrak Asuransi Jiwa Terkait dengan Ekuitas
Dian Ekapratiwi
G54103048

Menyetujui :
Pembimbing I,

Pembimbing II,

Drs. Effendi Syahril, Grad. Dipl.
NIP. 131 804 163

Dr. Ir. I G. Putu Purnaba, DEA.
NIP. 131 878 945

Mengetahui :
Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Institut Pertanian Bogor

Prof. Dr. Ir. Yonny Koesmaryono, MS.
Nip. 131 473 999

Tanggal lulus :

KATA PENGANTAR
Alhamdulillah, puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT atas rahmat serta
karunia yang telah diberikan kepada penulis selama mengerjakan tugas akhir ini, sehingga penulis
dapat menyelesaikannya. Tugas akhir ini berjudul ”Strategi Hedging pada Kontrak Asuransi Jiwa
Terkait dengan Ekuitas”.
Selama penyelesaian tugas akhir ini, penulis banyak memperoleh bantuan, dukungan serta
sumbang saran dari berbagai pihak. Oleh karena itu, dalam kesempatan ini penulis ingin
menyampaikan rasa hormat serta mengucapkan terima kasih kepada :
1. Drs. Effendi Syahril, Grad. Dipl. dan Dr. Ir. I G. Putu Purnaba, DEA., selaku dosen
pembimbing atas waktu yang diberikan, kesabaran dan pengertiannya selama membimbing
serta atas semangat dan motivasi yang diberikan;
2. Dr. Tony Bakhtiar, M. Sc., selaku dosen penguji atas pengertian, saran dan masukan yang telah
diberikan;
3. Bapak, Ibu, Mas Rudi, Mas Dino dan Mas Ferry atas segala yang telah diberikan dan
dicurahkan, dukungan, kasih sayang serta doa yang senantiasa diberikan;
4. Septi dan Ifni atas persahabatan, kasih sayang dan semangat yang selalu menyertai;
5. Keluarga besar Edelweiss atas semangat dan semua yang telah dilalui bersama, baik di saat
suka maupun duka, serta kecerian yang takkan terlupakan;
6. Civitas matematika angkatan 40, Achie atas dukungan dan motivasinya, Mayang atas waktu
dan bantuannya selama ini, Mufti, Mita, Vina, Mika, Abdillah, Rama, Indah dan Ami atas

semangatnya, Elis dan Ulfa atas kesediaan serta keikhlasannya, Ari, Uli, Sawa, Gatha dan
Walidah atas saran dan masukan yang diberikan, Aam, Lili, Manto, Kafi, Icha, Yuda, ’Nchi,
Azis, Prima, Sri, Yudi, Jayadin, Rusli, Berri, Marlin, Dwi, Anton, Dimas, Ali, Rahmat, Metha,
Herni, Yusuf, Demi, Nisa dan Putra atas kenangan selama menjalani masa kuliah;
7. Asih, Karin dan Narpendyah beserta keluarga yang telah memberikan semangat dan membantu
dalam penyelesaian tulisan;
8. Seluruh Staff Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam IPB
atas bantuan yang telah diberikan;
9. Semua pihak yang telah membantu dalam penyelesaian tugas akhir yang tidak dapat disebutkan
satu-persatu.
Penulis menyadari dalam karya tulis ini masih terdapat banyak kekurangan baik dalam hal ilmu
yang disampaikan maupun dalam teknik penulisan, oleh karena itu penulis menerima kritik dan
saran yang dapat membangun. Semoga karya tulis ini dapat bermanfaat bagi pembaca.

Bogor, Juli 2007

Penulis

RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 27 Juni 1985 sebagai anak bungsu dari empat

bersaudara pasangan Bapak Slamet Santoso dan Ibu Naniek Indiastuti. Pendidikan penulis, mulai
dari SD hingga SMA ditempuh di Jakarta. Diawali dengan bersekolah di SDN 04 Petang Grogol
Selatan pada tahun 1991 – 1997 kemudian melanjutkan ke SLTPN 48 Kebayoran Lama pada
tahun 1997 – 2000 dan SMAN 70 Jakarta pada tahun 2000 – 2003.
Setelah tamat SMA, penulis diterima di Institut Pertanian Bogor (IPB) melalui jalur Seleksi
Penerimaan Mahasiswa Baru (SPMB) dan terdaftar sebagai mahasiswa Departemen Matematika,
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Selama menempuh pendidikan di IPB, penulis
aktif baik dalam kegiatan akademis maupun dalam kegiatan kemahasiswaan. Penulis menjadi
pengurus Gugus Mahasiswa Matematika (GUMATIKA) pada Departemen Advokasi, Kajian
Strategis dan Kesekretariatan periode 2004 – 2005, pengurus Biro Kesekretariatan Badan
Eksekutif Mahasiswa (BEM) FMIPA periode 2005 – 2006 serta mengikuti beberapa kepanitian
selama periode 2004 – 2006.
Penulis dinyatakan lulus dalam sidang ujian skripsi yang diselenggarakan oleh Departemen
Matematika pada tanggal 26 Juli 2007 dengan judul ”Strategi Hedging pada Kontrak Asuransi
Jiwa Terkait dengan Ekuitas”.

DAFTAR ISI

DAFTAR TABEL................................................................................................................... viii
DAFTAR GAMBAR.............................................................................................................. ix

DAFTAR LAMPIRAN .......................................................................................................... x
PENDAHULUAN................................................................................................................... 1
Latar Belakang .................................................................................................................... 1
Tujuan.................................................................................................................................. 1
LANDASAN TEORI.............................................................................................................. 2
MANAJEMEN RISIKO DAN KONTRAK OPSI............................................................... 3
Manajemen Risiko...............................................................................................................
Opsi .....................................................................................................................................
Model Cox, Ross, Rubinstein..............................................................................................
Strategi Self-Financing........................................................................................................

3
3
4
5

KONTRAK ASURANSI HIDUP TERKAIT DENGAN EKUITAS.................................. 6
KESIMPULAN....................................................................................................................... 13
DAFTAR PUSTAKA ............................................................................................................. 14
LAMPIRAN............................................................................................................................ 15

vii

DAFTAR TABEL

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.

Halaman
Hasil Perhitungan Varian dari Biaya................................................................................. 12
Hasil Perhitungan Varian dari Total Klaim....................................................................... 13
Rasio antara Varian dari Biaya dan Varian dari Total Klaim............................................ 13
Perhitungan Varian dari Biaya untuk μ = 0.1 ................................................................... 20
Perhitungan Varian dari Biaya untuk μ = 0.5 ................................................................... 20
Perhitungan Varian dari Biaya untuk μ = 1 ...................................................................... 20

Perhitungan Varian dari Total Klaim ................................................................................ 20

viii

DAFTAR GAMBAR
Halaman
1. Pohon Binomial Dua Langkah ........................................................................................... 5
2. Pohon Binomial untuk Perkembangan Harga Saham dan Harga No-Arbitrage ................. 11
3. Pohon Binomial untuk Strategi Hedging dan Hedging Minimisasi Risiko ........................ 11

ix

DAFTAR LAMPIRAN

1.
2.
3.
4.
5.

Halaman
Bukti Persamaan Nilai Risiko Netral ................................................................................ 16
Penurunan Persamaan Harga Opsi untuk Waktu Dua Periode.......................................... 17
Bukti dan Penurunan Persamaan Varian dari Kerugian Pengasuransi .............................. 18
Penurunan Persamaan Nilai Risiko Netral untuk Kontrak ................................................ 19
Hasil Perhitungan.............................................................................................................. 20

x

1

PENDAHULUAN
Latar Belakang
Asuransi jiwa merupakan perjanjian antara
dua pihak, di mana pihak tertanggung (yang
mengasuransikan dirinya) membayarkan
sejumlah premi kepada pihak penanggung
(pengasuransi/perusahaan asuransi) untuk
mendapatkan ganti rugi atas meninggal atau
hidupnya seseorang yang dipertanggungkan.
Biasanya besar premi asuransi jiwa telah
disepakati sebelumnya, yang besarnya
bergantung pada tingkat bunga, biaya
administrasi dan pajak, besarnya santunan
yang diinginkan dan peluang meninggal
seseorang. Peluang meninggal seseorang
sendiri ditentukan berdasarkan jenis kelamin
dan umur si tertanggung pada saat polis mulai
berlaku. Premi yang dihitung tanpa
memperhatikan faktor biaya administrasi dan
pajak disebut premi bersih. Berdasarkan
pembayaran
klaimnya,
asuransi
jiwa
dibedakan kedalam beberapa bentuk, salah
satunya adalah endowmen murni di mana
klaim akan dibayarkan jika si tertanggung
hidup sampai waktu jatuh tempo.
Sesuai dengan perkembangan zaman, saat
ini terdapat berbagai macam kontrak asuransi
jiwa. Salah satunya adalah asuransi jiwa yang
terkait dengan ekuitas seperti saham, indeks
saham, dan lain-lain. Biasanya pembayaran
premi pada kontrak ini dilakukan sekaligus
atau dalam satuan tahun sampai waktu jatuh
tempo atau sampai pada saat tertanggung
meninggal dalam rentang waktu yang telah
ditentukan. Klaim pada kontrak asuransi ini
bersifat kontijensi yaitu pembayaran klaim
bergantung pada perkembangan nilai ekuitas.
Hal itulah yang membedakan tipe kontrak
asuransi ini dengan asuransi jiwa tradisional.
Dalam konteks asuransi, risiko merupakan
ketidakpastian dari besarnya kerugian.
Walaupun terdapat dana cadangan yang telah
dipersiapkan untuk digunakan pada tahuntahun yang buruk atau pada saat semua
pemegang polis melakukan klaim, perusahaan
asuransi yang mengeluarkan kontrak asuransi
jiwa seperti ini juga membutuhkan strategi
khusus untuk mengendalikan risiko yang
muncul. Strategi tersebut diperlukan karena
perusahaan memiliki risiko tambahan, yaitu
risiko terhadap perkembangan harga saham.

Dalam manajemen risiko, terdapat dua
cara dalam pengendalian risiko yaitu
pengendalian fisik (risiko dihilangkan, risiko
diminimalisir) dan pengendalian finansial
(risiko
ditahan,
risiko
ditransfer).
Mengeliminasi atau menghilangkan risiko
berarti menghapuskan semua kemungkinan
terjadinya kerugian, sedangkan meminimisasi
risiko
merupakan
upaya
untuk
meminimumkan kerugian.
Salah satu strategi yang dilakukan dalam
pengendalian fisik adalah dengan melakukan
strategi lindung nilai (hedging). Karena polis
asuransi jiwa umumnya merupakan kontrak
jangka panjang, maka akan sangat sulit untuk
meng-hedge secara sempurna kontrak asuransi
tersebut dengan menggunakan kontrak opsi
yang mempunyai waktu maturity yang sama
panjangnya dengan kontrak asuransi jiwa
tersebut (Bacinello, 2006). Dalam penentuan
harga
opsi,
kerangka
Black-Scholes
mengasumsikan pasar finansial bersifat
lengkap. Suatu pasar finansial dikatakan
lengkap jika semua klaim kontijensinya dapat
di-hedge seluruhnya dan dapat dihargai unik.
Akan tetapi, pasar asuransi merupakan pasar
tidak lengkap sehingga klaim kontijensi tidak
dapat diduplikasi seluruhnya oleh strategi selffinancing. Oleh karena itu pasar tidak lengkap
dibentuk dari pasar lengkap dengan membuat
kesatuan klaim bergantung pada sumber risiko
tambahan yang bebas stokastik dari risiko
dalam pasar finansial.
Di dalam strategi hedging, terdapat tiga
strategi yang biasa digunakan oleh perusahaan
asuransi antara lain yaitu superreplikasi,
pendekatan
Brennan-Schwartz,
dan
minimisasi risiko. Dari ketiga strategi di atas
akan dicari strategi dengan harga yang paling
optimal
untuk
mengeliminasi
atau
meminimalkan risiko.
Tujuan
Tujuan dari karya tulis ini adalah
menelaah ulang pencarian strategi hedging
(lindung nilai) dengan harga yang optimal
untuk kontrak asuransi jiwa yang terkait
dengan ekuitas.

2

LANDASAN TEORI
Dalam bagian ini akan dijelaskan
mengenai definisi dari istilah matematis yang
digunakan dalam bagian selanjutnya.

(Hogg dan Craig, 1995)

Definisi 1 : Ruang Contoh
Himpunan dari semua kemungkinan hasil dari
suatu percobaan acak disebut ruang contoh,
dinotasikan dengan Ω.
(Grimmet dan Stirzaker, 1992)

Definisi 4 : Kejadian
Setiap anak gugus dari ruang contoh
dinamakan kejadian.
(Grimmet dan Stirzaker, 1992)

Ruang contoh dalam karya tulis ini
merupakan himpunan dari semua kemugkinan
hasil dari skenario pasar.

Definisi 5 : Kejadian Saling Bebas
Misalkan ( Ω , , P) adalah ruang ukuran
peluang dan A, B ∈

. Kejadian A dan B

Definisi 2 : Medan - σ ( σ -algebra)
Misalkan Ω suatu himpunan tak kosong.
Suatu kelas
merupakan subset dari Ω

dikatakan saling bebas jika :
P ( A ∩ B ) = P( A).P( B )
Dalam kasus umum, { Ai : i ∈ I } dikatakan

dinamakan medan- σ jika memenuhi syarat
berikut :
(i) φ ∈

saling bebas jika
⎛
⎞
P ⎜ ∩ Ai ⎟ = ∏ P( Ai )
⎝ i∈J ⎠ i∈J
untuk semua subset berhingga J dari I.
(Grimmet dan Stirzaker, 1992)

(ii) Jika A ∈

maka Ac ∈

(iii) Jika A1, A2, ..., An, ...

∈

maka

∞

∪ Ai ∈

i =1

(Shreve, 1997)
Di mana φ merupakan himpunan kosong dan
Ac adalah komplemen dari A.
Definisi 3 : Ukuran Peluang
Misalkan Ω adalah suatu ruang contoh dari
suatu percobaan acak dan
merupakan
medan- σ . Suatu fungsi P yang memetakan
unsur-unsur

ke gugus bilangan real ℜ , atau

P : → ℜ disebut ukuran peluang jika :
1.

P tidak negatif, ∀A ∈ , P ( A) ≥ 0

2.

P bersifat aditif tak hingga (aditif
lengkap), yaitu jika A1, ...., An .... ∈
dengan

A j ∩ Ak = φ ,

∞

∞

n =1

n =1

j ≠ k maka

P ( ∪ An ) = ∑ P ( An )

3. P( Ω ) = 1
Pasangan ( Ω , , P) disebut ruang ukuran
peluang atau ruang peluang dengan P sebagai
fungsi gugus peluang.

Definisi 6 : Peubah acak
Misalkan
adalah medan- σ

dari ruang

contoh Ω. Suatu peubah acak X adalah suatu
X :Ω → R
dengan
sifat
fungsi
{ω ∈ Ω : X (ω ) ≤ x} ∈ untuk setiap x ∈ R .

(Grimmet dan Stirzaker, 1992)
Definisi 7 : Menyebar Bebas Stokastik
Identik (b.s.i)
Barisan X1, X2, ..... dari suatu peubah acak
disebut menyebar bebas stokastik identik jika
kesemua dari barisan tersebut bebas dan
memiliki fungsi distribusi yang sama.
(Ghahramani, 2005 )
Definisi 8 : Filtrasi
suatu himpunan tak kosong,
Misalkan

untuk

setiap

t ≤T ,

barisan

berhingga

( ) 0≤t≤T dikatakan filtrasi dari ruang contoh
Ω jika :

(a) Setiap

adalah medan- σ dari subsets

ruang contoh Ω ; dan
(b) Jika s < t maka
⊆

.
(Shreve, 1997)

3

Dalam tulisan ini
merupakan himpunan
tak kosong dari semua informasi pada pasar
asuransi dan pasar finansial.
Definisi 8 : -- measurable/ Terukur

Misalkan X suatu peubah acak yang telah
didefinisikan sebelumnya,
( {ω ∈ Ω : X (ω ) ≤ x} ∈
untuk
setiap
x ∈ R ), maka dapat dikatakan bahwa X

adalah

t-

measurable.
(Grimmet dan Stirzaker, 1992)

Definisi 9 : Ruang State
Misalkan X adalah suatu peubah acak yang
memiliki nilai pada himpunan terhitung S,
maka S dikatakan ruang state.
(Grimmet dan Stirzaker, 1992)
Definisi 10 : Proses Stokastik

Proses stokastik X = {X(t), t∈ T} adalah suatu
koleksi dari peubah acak yang memetakan
suatu ruang contoh Ω ke suatu ruang state S.
(Ross, 1996)
Definisi 11 : Adapted
Misalkan Y adalah peubah acak pada ruang
ukuran peluang ( Ω , , P), misalkan pula
={ , ,...} adalah filtrasi dari ruang
contoh Ω . Barisan Y = {Yn : n ≥ 0} dikatakan

diadaptasi oleh filtrasi

jika Yn adalah

n-

measurable untuk semua n.
(Grimmet dan Stirzaker, 1992)
Definisi 12 : Martingale
Suatu proses stokastik {Z n , n ≥ 1} dikatakan
martingale jika Z n teradaptasi dan

E *[ Z n +1 | Z1 , Z 2 ,....., Z n ] = Z n .
(Ross, 1996)

MANAJEMEN RISIKO DAN KONTRAK OPSI
Manajemen Risiko
Manajemen risiko merupakan suatu proses
pengelolaan risiko dan perlindungan atas harta
benda, keuntungan, serta keuangan suatu
badan
usaha
atau
perorangan
dari
kemungkinan timbulnya suatu kerugian
karena adanya risiko tersebut. Sebagai suatu
organisasi, perusahaan pada umumnya
memiliki tujuan dalam mengimplementasikan
manajemen risiko (PT. Asuransi Astra
Buana). Tujuan yang ingin dicapai yaitu
menekan
atau
menghapuskan
risiko,
mengurangi
pengeluaran,
menaikkan
keuntungan perusahaan, menekan biaya
produksi dan sebagainya.
Pada dasarnya, manajemen risiko meliputi
suatu proses yang mencakup tiga tahapan.
Tahap pertama adalah mengidentifikasi
terlebih dahulu risiko-risiko yang mungkin
akan dialami oleh perusahaan (risk
identification). Pada tahap ini, manajer risiko
berusaha menginventarisasi semua potensi
risiko yang akan dihadapi. Perangkat yang
dapat digunakan dalam proses identifikasi
antara lain : organisational chart, flow chart,
check list, dan sebagainya.
Tahap kedua dalam proses manajemen
risiko adalah melakukan evaluasi/analisa
risiko. Dua faktor penting yang harus diamati

dalam tahap ini adalah frekuensi dan nilai
risiko (severity).
Tahap terakhir adalah pengendalian risiko.
Pengendalian risiko dapat dilakukan melalui
dua macam pendekatan yaitu pendekatan
secara fisik dan pendekatan secara finansial.
Pendekatan secara fisik dapat dilakukan
melalui penghapusan, pengurangan dan
pencegahan risiko. Sedangkan retensi risiko
(penahanan risiko) dan transfer risiko dapat
dilakukan sebagai pendekatan secara finansial
dengan pertimbangan-pertimbangan tertentu.
Menahan sendiri risiko yang terjadi berarti
menanggung keseluruhan atau sebagian dari
risiko, misalnya dengan cara membentuk dana
cadangan dalam perusahaan. Sedangkan
pengalihan atau transfer risiko dapat
dilakukan
dengan
memindahkan
kerugian/risiko yang mungkin terjadi kepada
pihak lain. Sebagai contoh, perusahaan
asuransi akan mengalihkan risiko kepada
perusahaan reasuransi.
Opsi
Opsi merupakan sekuritas derivatif yaitu
sekuritas yang harganya ditentukan oleh, atau
diturunkan dari harga sekuritas lain. Oleh
karena itu, aset ini disebut juga sebagai klaim
kontijensi (contingent claim). Saat ini terdapat
bermacam tipe opsi yang digunakan,

4

diantaranya adalah opsi tipe Amerika dan opsi
tipe Eropa. Opsi tipe Amerika memberikan
hak kepada pemegangnya untuk membeli atau
menjual aset dasar pada atau sebelum tanggal
jatuh tempo. Sedangkan opsi tipe Eropa
memberikan hak kepada pemegangnya untuk
menggunakan opsi hanya pada tanggal jatuh
tempo (Bodie, Kane, dan Marcus, 2002)
Selain itu, opsi memiliki dua tipe dasar
yaitu opsi beli (call option) dan opsi jual (put
option). Opsi beli memberikan hak kepada
pemegangnya untuk membeli suatu aset pada
harga tertentu yang disebut harga eksekusi
(exercise/strike price) pada atau sebelum
tanggal jatuh tempo (maturity) yang
ditentukan. Nilai pembayaran opsi beli pada
waktu jatuh tempo adalah :
Payoff

ST – K

jika ST > K

0

jika ST ≤ K

=

di mana ST merupakan harga saham pada
waktu maturity, sedangkan K adalah harga
eksekusi. Misalkan saham akan naik dengan
return sebesar u dan turun dengan return
sebesar d, maka menurut Ren`o (2002), nilai
opsi beli dari portofolio tersebut adalah
Cu = ((1 + u ) S − K ) + dengan peluang p dan
Cd = ((1 + d ) S − K ) + dengan peluang (1-p).
Harga opsi beli tersebut dikenal dengan premi
(premium).
Opsi jual memberikan hak kepada
pemegangnya untuk menjual suatu aset
dengan harga eksekusi tertentu pada atau
sebelum tanggal jatuh temponya. Nilai
pembayaran opsi jual pada waktu jatuh tempo
adalah :
0
jika ST > K
Payoff
=
K - ST
jika ST ≤ K

Sebuah opsi dikatakan in-the-money jika
penggunaannya akan menghasilkan laba dan
sebaliknya, jika penggunaan opsi tersebut
tidak menguntungkan maka opsi dikatakan out
of-the-money. Lain lagi jika harga eksekusi
sama dengan harga aset atau jika penggunaan
opsi tersebut tidak merugikan ataupun
menguntungkan, maka opsi tersebut dikatakan
at-the-money. Karena nilai sekuritas derivatif
bergantung pada nilai sekuritas lainnya, maka
akan sangat berguna jika sekuritas ini
digunakan sebagai alat lindung nilai (hedging)
dalam manajemen risiko.

Model Cox, Ross, Rubinstein
Tehnik yang sangat berguna dan sangat
populer dalam penetapan harga opsi saham
adalah penetapan harga aset binomial
(binomial asset pricing). Selain itu, model ini
merupakan perluasan dalam bentuk diskret
dari model Black-Scholes yang terkenal.
Menurut Argesanu (2004), dengan model
binomial atau yang lebih dikenal dengan
model Cox, Ross, Rubinstein (CRR) ini, pasar
finansial memiliki dua aset dasar yaitu aset
bebas risiko (obligasi atau tabungan) B,
dengan proses harga
Bt = (1 + r ) t , t = 0, 1, ..., T ,
di mana r adalah return pada aset bebas risiko
selama (t-1, t]. Asumsikan bahwa pada setiap
waktu harga saham akan naik dengan return u
dan turun dengan return d. Kemudian
nyatakan d < r < u untuk menghindari adanya
kemungkinan arbitrage.
Aset dasar yang kedua adalah aset berisiko
(saham, indeks saham dan lainnya) S, dengan
proses harga
(1+u)St dengan peluang p

St+1=

(1+d)St

dengan peluang (1-p)

Misalkan sebuah portofolio dibentuk dari Δ
saham dan sejumlah aset bebas risiko B. Maka
harga dari portofolio tersebut adalah ΔS + B .
Setelah mengalami proses harga, maka nilai
portofolio menjadi Δ(1 + u ) S + B dengan
peluang p dan Δ(1 + d ) S + B dengan peluang
(1-p).
Dengan menotasikan C sebagai harga beli
portofolio, C = ΔS + B , akan didapatkan
kemungkinan risiko netral (risk-neutral
r−d
probabilities) p * =
, dan nilai risiko
u−d
netral (risk neutral valuation)
C=

p *C u + (1 − p * )C d
(1 + r )

(1)

Penurunan persamaan kemungkinan risiko
netral dan nilai risiko netral diatas dapat
dilihat pada Lampiran 1.
Nilai risiko netral ini memiliki kaitan erat
dengan pohon binomial. Pohon binomial
merupakan diagram yang merepresentasikan
aliran perkembangan saham dengan berbagai
kemungkinan yang berbeda. Karena portofolio
tidak memiliki risiko atau risiko netral, return
yang dihasilkan harus sama dengan suku

5

bunga bebas risiko. Misalkan harga saham
awal dinotasikan dengan S 0 dan harga opsi
saham dinotasikan dengan f. Jika harga saham
meningkat menjadi S 0 (1 + u ) dan payoff dari
opsi adalah f u maka nilai portofolio pada
akhir masa berlakunya opsi adalah
S 0 (1 + u )Δ − f u . Dan sebaliknya, jika harga
saham mengalami penurunan menjadi
S 0 (1 + d ) dan payoff dari opsi adalah f d
maka
nilai
portofolionya
menjadi
S 0 (1 + d )Δ − f d . Kedua nilai portofolio
tersebut adalah sama.
S 0 (1 + u )Δ − f u = S 0 (1 + d )Δ − f d
Sehingga
f − fd
(2)
Δ= u
S 0u − S 0 d
Persamaan (2) menunjukkan bahwa Δ adalah
rasio dari perubahan harga opsi terhadap
perubahan harga saham.
Kasus binomial ini dapat diperluas
menjadi kasus dua langkah. Misalkan rentang
waktu antar setiap langkah adalah δt , akan
didapatkan harga opsi saham untuk dua
periode waktu sebagai berikut :
f = e −2 rδt [ p 2 f uu + 2 p(1 − p) f ud
(3)
+ (1 − p) 2 f ud ]
di mana penurunan persamaannya dapat
dilihat pada Lampiran 2.
Persamaan tersebut sesuai dengan prinsip risk
neutral valuation sebelumnya. Faktor p, 2p(1p), dan (1-p)2 adalah kemungkinan titik akhir
atas, tengah dan bawah yang akan dicapai.

S0
f

Gambar 1.

S0u
fu
S 0d
fd

S 0u 2
fuu
S0ud
fud

financing yang dapat mencapai nilai h pada
waktu T. Jika dalam suatu pasar finansial
terdapat klaim yang tidak dapat direplikasi
oleh strategi tersebut, maka pasar tersebut
dikatakan tidak lengkap.
Notasikan S * sebagai harga saham yang
telah didiskon, dan definisikan nilai diskon
pada waktu t oleh persamaan berikut :
(4)
Vt (ϕ ) = ξS t* + η t
dengan ξ merupakan banyaknya saham dan
η merupakan nilai pada tabungan. Proses
(Vt(φ))t є {0,1,...,T} merupakan nilai diskon dari
portofolio φt = (ξt, ηt), yaitu di dalam susunan
kekayaannya pengasuransi memiliki ξ t saham

di mana ξt adalah

t-1-measurable

dan η t

nilai pada tabungan di mana η t adalah

t-

measurable.
Nilai
diskon
portofolio
ϕt −1 = (ξ t-1 , η t-1 ) pada waktu t-1, adalah
sebagai berikut :
Vt −1 (ϕ ) = Bt−−11 (ξ t −1 S t −1 + η t −1 Bt −1 ) = ξ t −1 S t*−1 + η t −1

Pada waktu t, portofolio ϕ t −1 akan
disesuaikan sehingga pengasuransi akan
memiliki ξ t saham dengan membeli ξ t − ξ t −1
saham.
Pembelian
saham
ini
akan
memberikan
keuntungan
sebesar
ξ t ( S t* − S t*−1 ) dan menimbulkan biaya sebesar
(ξ t − ξ t −1 ) S t*−1 . Karena menimbulkan biaya,
maka pada waktu t pengasuransi akan
memutuskan untuk melakukan perubahan
nilai pada tabungan dari ηt −1 Bt menjadi ηt Bt .
Berdasarkan informasi tersebut dapat terlihat
bahwa
Vt (ϕ ) − Vt −1 (ϕ ) = (ξt − ξt −1 ) St*−1
(5)
+ξt ( St* − St*−1 ) + (ηt − ηt −1 )

di mana (ξt − ξt −1 )St −1 dan (η t − η t −1 )
merupakan biaya yang dikeluarkan oleh
pengasuransi. Dengan demikian biaya pada
waktu t adalah
*

S 0d
fdd

2

Pohon binomial dengan dua
langkah

Strategi Self-financing
Suatu strategi dikatakan self-financing jika
tidak ada penambahan dan pengambilan
modal sepanjang periode atau dengan kata
lain proses nilainya hanya dihasilkan dari
keuntungan perdagangan saja. Misalkan
payoff dari suatu opsi tipe Eropa adalah h,
maka setiap klaim kontijensi dikatakan dapat
direplikasi jika terdapat suatu strategi self-

t

C t (ϕ ) = Vt (ϕ ) − ∑ ξ j ΔS *j

(6)

j =1

Sehingga nilai diskon pada waktu t dapat
ditulis dalam bentuk sebagai berikut
t

Ct (ϕ ) − Ct −1 (ϕ ) = Vt (ϕ ) − ∑ ξ j ΔS *j
j =1

t −1
⎛
⎞
− ⎜ Vt −1 (ϕ ) − ∑ ξ j ΔS *j ⎟
j =1
⎝
⎠

6

Vt (ϕ ) = Vt −1 (ϕ ) + ξ t ( S t* − S t*−1 )

(7)

+ (C t (ϕ ) − C t −1 (ϕ ))
Karena portofolio tidak dipengaruhi oleh arus
keluar masuknya modal sepanjang periode,
maka biaya awal yang dikeluarkan persis
sama dengan jumlah yang diinvestasikan pada

waktu 0. Dengan demikian nilai diskon pada
waktu t menjadi
t

Vt (ϕ ) = V0 (ϕ ) + ∑ ξ j ΔS *j

(8)

j =1

KONTRAK ASURANSI JIWA TERKAIT DENGAN EKUITAS
Menurut Bacinello (2006) perusahaan
asuransi melakukan hedging tidak secara
terpisah untuk setiap kontrak polis melainkan
untuk keseluruhan portofolio. Masalah utama
yang
dihadapinya
adalah
bagaimana
menentukan harga atau bagaimana menghedge kontrak jika mengeluarkan kontrak
asuransi yang kompleks. Pada kontrak
asuransi jiwa yang terkait dengan ekuitas,
keuntungan yang didapatkan oleh pemegang
polis pada akhir periode terkait dengan
portofolio yang direkomendasikan. Dalam hal
ini portofolio terbentuk dari kesatuan aset
berupa saham. Misalkan S t atau S
melambangkan perkembangan dari harga
saham pada waktu t, maka pembayaran yang
dilakukan oleh perusahaan asuransi adalah
sebesar f (S ) , jika pemegang polis tetap
hidup pada waktu T. Fungsi f merupakan
fungsi yang bergantung pada perkembangan
harga saham, sebagai contoh, kontrak equitylinked murni hanya memiliki fungsi dari nilai
terminal dari harga saham saja, yaitu
f (S ) = ST ,
sedangkan equity-linked dengan garansi atau
jaminan jika terjadi penurunan harga saham,
memiliki fungsi sebagai berikut:
f ( S ) = max(S T , K )
(9)
dengan K merupakan garansi. Selain itu,
masih banyak lagi ketergantungan yang
kompleks pada kontrak seperti ini, contohnya
terdapat return garansi tahunan. Misalkan
S j − S j −1
adalah return pada tahun ke-j pada
S j −1
aset S dan δ j adalah garansi pada tahun ke-j,
maka pembayaran yang dilakukan oleh
pengasuransi menjadi
T
⎞
⎛ S j − S j −1
f ( S ) = K ⋅ ∏ max⎜1 +
,1 + δ j ⎟
⎟
⎜
S j −1
j =1
⎠
⎝
Sebelumnya akan dianalisis terlebih
dahulu kerugian yang akan dihadapi oleh
pengasuransi. Notasikan Yt(n) sebagai angka

bertahan hidup pada waktu t dan portofolio
mengandung n pemegang saham yang
membeli kontrak dengan bentuk yang sama
yaitu endowmen murni yang terkait dengan
saham pada waktu 0. Jika setiap kontrak
individu dibayarkan dengan premi tunggal
pada waktu 0 senilai κ , maka nilai saat ini
dari kerugian pengasuransi adalah nilai saat
ini dari kontrak dikurangi oleh banyaknya
premi asuransi yang telah dibayarkan pada
waktu 0, yaitu
(n)
Ln = YT f ( S )e −δt − nκ
(10)
dengan e −δ t adalah faktor diskon.
Peubah acak YT(n ) dan f (S ) didefinisikan
pada ruang ukuran peluang (Ω, , P ) di mana
P merupakan ukuran peluang dari sebaran
bersama ( YT(n ) , f (S ) ). Karena angka bertahan
hidup dan perkembangan saham adalah bebas
stokastik, maka nilai harapan dan varian dari
kerugian pengasuransi adalah sebagai berikut:
(n)
E[ Ln ] = E[e −δT YT f ( S ) − nκ ]
(11)
(n)
= e −δT E[YT ]E[ f ( S )] − nκ
dan
Var[ Ln ] = E[Var[ Ln S ] + Var[ E[ Ln S ]]
= e − 2δT E[ f ( S ) 2 ]Var[YT
− 2δT

( n)

(12)

]

+ e Var[ f ( S )]( E[YT ])
Penurunan rumus untuk persamaan ini dapat
dilihat pada Lampiran 3.
Kemudian notasikan fungsi bertahan hidup
bagi seseorang yang berumur x sampai t tahun
dalam notasi aktuaria standar sebagai berikut :
P[T1>t] = tpx
(13)
Asumsikan bahwa sisa waktu hidup T1,.......,Tn
~ b.s.i dan 1{T >T } ,.......,1{T >T } ~ b.s.i Bernoulli
1

(n)

2

n

yang dapat mencapai nilai 1 dengan peluang
Tpx. Dengan asumsi tersebut dan berdasarkan
Definisi 7 tentang b.s.i, maka persamaan dapat
dibuat seperti di bawah ini:

7

E[YT

(n)

n
] = E ⎡⎢∑ 1{T >T } ⎤⎥
⎦
⎣i =1
i

= ∑ E[1{T >T } ] = nP[T1 > T ] = n T p x
i

(14)

martingale.

dan
Var[YT

Menurut Argesanu (2004), suatu pasar
dapat dikatakan tidak memiliki kemungkinan
arbitrage jika dan hanya jika terdapat ukuran
peluang P * yang ekuivalen dengan P di mana
proses harga diskon S * adalah P * -

(n)

n

S

] = ∑ Var[1{Ti >T } ]

(15)

i =1

=n T p x (1− T p x )
Dengan mensubtitusikan (14) dan (15) ke
dalam persamaan (11) dan (12), berturut-turut,
akan didapatkan hasil sebagai berikut:
E[ Ln ] = e −δT n T p x E[ f ( S )] − nκ
(16)
= n T p x e −δT E[ f ( S )] − κ
dan

(

)

Var[ Ln ] = e −δT E[ f ( S ) 2 ]n T p x (1− T p x )
+ e − 2δT Var[ f ( S )]n 2 T p x

2

(17)

Nilai harapan dari present value kerugian
akan sama dengan 0 jika dan hanya jika
κ = T p x e −δT E[ f ( S )] .
Karena klaim pada kontrak asuransi jiwa
ini tidak dapat direplikasi seluruhnya, maka
untuk strategi yang pertama digunakan
strategi superreplikasi. Strategi ini
pada
dasarnya
menentukan
bagaimana
mendapatkan strategi self-financing ϕ '
dengan C 0 (ϕ ) = V0 (ϕ ) dan VT (ϕ ' ) = H ' ≥ H .
Di mana C0 (ϕ ) merupakan biaya awal dan
V0 (ϕ ) merupakan investasi awal (initial
value). Sedangkan H merupakan present value
dari kontrak endowmen murni yang terkait
dengan ekuitas yaitu H = YT f ( S T ) / BT , di
mana harga saham S berdasarkan model Cox,
Ross, Rubinstein yang didefinisikan oleh
S t = (1 + ρ t ) S t −1 , dengan ρ1 ,......., ρT adalah
barisan dari peubah acak b.s.i dengan
ρ1 ∈ {a, b} dan 0 < P( ρ1 = b) < 1 ; ρ t adalah
return saham per unit selama interval waktu
(t − 1, t ] . S t* merupakan nilai diskon dari
saham pada waktu t dengan proses harga
diskon S t* = S t / Bt di mana Bt = (1 + r ) t .
Sehingga nilai diskon dari saham pada waktu t
dapat dituliskan dalam bentuk sebagai berikut
(1 + ρt )
(1 + ρt ) *
St
St* =
St −1 =
St −1
=
t
t
(1 + r )
(1 + r )
(1 + r )
Syarat alami dalam parameter a, b, dan r
adalah −1 < a < r < b , yaitu return saham
pada setiap periode harus melebihi return
pada tabungan dengan kemungkinan positif
dan sebaliknya (Moller, 2001).

*

Akan

dibuktikan

bahwa

adalah martingale. Definisikan filtrasi

 = ( t )t∈{0,1,......,T } dengan

t

= σ {S1 ,...., ST }

di mana  merupakan filtrasi yang terkait
dengan perkembangan saham pada pasar dan
t diinterpretasikan sebagai informasi yang
dihasilkan dari observasi saham S sampai
pada waktu t. Dan filtrasi  = ( t )t∈{0,1,......,T }
dengan
Filtrasi

t = σ {Y1 ,...., YT } .
merupakan
filtrasi
yang
mengandung
informasi tentang pemegang polis, sedangkan
menginterpretasikan angka kematian yang
dialami sampai pada waktu t. Definisikan
 = ( t )t∈{0,1,......,T } sebagai filtrasi tambahan
dengan
= ∨ =σ( ∪ )
yang
mengartikan bahwa 
meliputi semua
informasi yang tersedia.
Proses harga diskon didefinisikan dalam
ruang ukuran peluang (Ω, , P) dilengkapi
dengan filtrasi . Diasumsikan proses harga
(S, B) diadaptasi, untuk setiap t, St terukur
( - measurable); B deterministik.
dalam
Diasumsikan terdapat ukuran peluang P*
r−a
dan
dengan
P * ( ρ 1 = b) =
= p*
b−a
ρ1 ,......., ρ T adalah b.s.i dibawah P * . Asumsi
a < r < b menjamin 0 < p * < 1 , sehingga p *
adalah ukuran peluang yang ekuivalen dengan
P. Ukuran P * disebut ukuran martingale
ekuivalen. Akan dibuktikan bahwa proses
harga saham yang telah didiskon, S * , adalah
(, P * )-martingale.
E * [(1 + ρ t ) |

t −1

r−a
b−a
= 1 + p * b + (1 − p * )a
= 1+ r

] = 1 + E *[ρt ] = 1 +

Maka,
E * [ S t*

t −1

] = S t*−1

1
E * [(1 + ρ t ) |
1+ r

t −1

]

= S t*−1

‚

8

Menurut Definisi 12 mengenai martingale
terbukti bahwa S * merupakan (, P * )martingale. Teorema mengenai representasi
martingale berikut terkait dengan model CRR
yang digunakan.
Teorema 1
Misalkan H

sebagai

peubah

acak

*

T*

measurable P -integrable. Kemudian, (,P )martingale. N yang didefinisikan oleh
N t = E * [ H | t ] memberikan representasi
khas berikut:
t

N t = N 0 + ∑ α j ΔS *j
j =1

di mana

αj

adalah

j-1-measurable

untuk

setiap j.
Bukti teorema dapat dilihat pada Williams
(1991).
Pembentukan harga pada strategi hedging
yang akan dibahas selanjutnya mengikuti
teorema di atas.
Dalam strategi self-financing ϕ yang
memiliki nilai terminal Vt (ϕ ) = H , nilai awal
V0 (ϕ ) merupakan satu-satunya harga yang
layak untuk H, dan V0 (ϕ ) disebut sebagai
harga no-arbitrage dari H.
Dalam strategi superreplikasi, akan dicari
klaim H ' di mana klaim tersebut lebih besar
dibandingkan dengan klaim yang sebenarnya.
H ' yang diperoleh dengan
Misal, klaim
mengganti sejumlah angka bertahan hidup
pada waktu T menjadi n kontrak pemegang
polis yang masuk pada waktu 0, yaitu
H ' = nf ( S T ) / BT . Klaim ini jelas lebih besar
dibandingkan dengan klaim asli selama
ϕ'
yang
YT ≤ n . Sehingga strategi
mereplikasi klaim H ' yang juga memenuhi
VT (ϕ ' ) = H ' ≥ H
merupakan
strategi
superreplikasi untuk H.
Berdasarkan Teorema 1, nilai diskon dari
portofolio tersebut dapat dituliskan dalam
bentuk:
f ( ST )
| t]
Vt* = E * [ H | t ] = E ∗ [n
BT
(18)
∗ f ( ST )
]
= nE [
BT
f (ST )
merupakan
strategi
]
BT
superreplikasi termurah, karena semua strategi
superreplikasi yang lain membutuhkan
nE ∗ [

f (ST )
].
BT
Sehingga harga premi yang ditawarkan terlalu
tinggi
dan
jika
dipaksakan
untuk
menggunakan strategi ini, maka masih
terdapat risiko yang belum tereliminasi, selain
itu harga strategi superreplikasi yang sama
f ( ST )
dengan harga no-arbitrage untuk n
ini
BT
jelas jauh lebih tinggi dibandingkan dengan
harga klaim asli, sehingga strategi ini tidak
terlihat sebagai alat yang tepat untuk menghedge klaim asuransi jiwa yang terkait dengan
saham di mana klaim bergantung pada
tambahan sumber risiko yang bebas stokastik
dengan pasar finansial.
Strategi yang kedua adalah pendekatan
Brennan-Schwartz yang menyarankan untuk
mengganti klaim asli dengan klaim
H "= E[YT ] f ( S T ) / BT ,
yaitu
mengganti
jumlah dari kemungkinan bertahan hidup yang
tidak diketahui dengan jumlah yang diketahui.
H " di sini merupakan opsi tipe Eropa dengan
waktu konstan, oleh karena itu nilainya dapat
dicapai dan di-hedge serta dapat dihargai unik.
Berdasarkan Teorema 1 dan dengan proses
yang sama dengan strategi sebelumnya,
didapatkan harga no-arbitrage untuk H "
yaitu
E[YT ]E ∗ [ f ( S T ) / BT ] .
Nyatakan
masalah harga dari H " bergantung pada H,
yaitu calon harga dan calon strategi hedging
self-financing untuk H dapat menggunakan
harga dan strategi self-financing dari H " .
Proses pembentukkan harga klaim pada H "
sangat rumit karena kontrak yang terkait
dengan ekuitas dalam prakteknya sering kali
melibatkan ketergantungan yang sangat
kompleks pada saham atau indeks saham yang
ada. Selain itu, pendekatan ini juga masih
meninggalkan risiko bagi pengasuransi.
Strategi terakhir adalah strategi hedging
minimisasi risiko. Definisikan dua proses
nilai, yaitu proses π f yang terkait dengan
pasar finansial dan proses M yang terkait
dengan portofolio dari asuransi jiwa. Dengan
menggunakan Teorema 1 didapatkan harga
diskon dari pembayaran f(ST) pada waktu t
sebesar
f (ST )
π tf = E * [
| ]
BT
(19)
t
f
* f (ST
*
=E [
] + ∑ α j ΔS j
BT
j =1
dan proses M didefinisikan oleh:
M t = E * [YT | ] = Yt T − t p x + t
(20)

investasi awal yang melebihi nE ∗ [

9

yaitu nilai harapan bersyarat dari orang yang
bertahan hidup pada waktu T; T −t p x + t adalah
peluang bersyarat dari kemungkinan bertahan
hidup sampai waktu T. Catat bahwa M
berfluktuasi secara khas dan MT = YT.
Berdasarkan kebebasan antara Y dan S,
maka proses harga dapat ditulis sebagai
berikut:
⎤
⎡
f (ST )
Vt* = E * ⎢YT
⎥
BT
⎥⎦
⎢⎣
⎤ *
⎡ f (S T )
= E* ⎢
⎥ E [YT |
B
⎥⎦
⎣⎢ T
⎡ f (S T ) ⎤ *
= E* ⎢
⎥ E [YT |
⎢⎣ BT
⎥⎦
f
=πt Mt

]

Proses Vt* =E*[H| t] jika dihubungkan dengan
*

P -martingale akan mempunyai dekomposisi
yang unik yaitu
t

Vt* = V0* + ∑ ξ jH ΔS *j + LHt

(22)

j =1

Bukti dapat dilihat pada William (1991). Di
mana ξ H
dapat diperkirakan (yaitu

ξ tH adalah t −1 -measurable) dan LH adalah
P*-martingale yang ortogonal dengan S*, Oleh
karena itu, S * LH juga P* - martingale.
Catat bahwa M t −1α t f adalah ukuran t-1

ξ

H
t

]

didefinisikan

t −1

]

=0

(21)

]

= (π t f − π t f−1 ) M t −1 + π t f ( M t − M t −1 )
Dan dengan menggunakan persamaan (19)
didapatkan ΔVt* = M t −1α t f ΔS t* + π t f ΔM t .

ξH

= ΔLt ΔS t* + Lt −1 ΔS t* + S t*−1 ΔLt
maka,
dapat
ditunjukkan
bahwa
E * ΔLt ΔS t* | t −1 = E * [ΔLt ( S t* − S t*−1 ) | t −1 ]

= E * [ΔLt S t* − ΔLt S t*−1 |

= π t f M t − π t f−1 M t −1 + π t f M t −1 − π t f M t −1

proses

( )

[

Sehingga
ΔVt* = Vt* − Vt*−1 = π t f M t − π t f−1 M t −1

dan

karena M adalah martingale dan M bebas
stokastik dari filtrasi  .
Dengan perhitungan yang sama, dapat
ditunjukkan bahwa LS* juga martingale,
karena
Δ LS * t = Lt S t* − Lt −1 S t*−1

Berdasarkan proses biaya yang telah
didefinisikan sebelumnya, nyatakan masalah
minimisasi sebagai fungsi dari (ξ t +1 ,η t ) yaitu
proses
meminimumkan
nilai
harapan
bersyarat di bawah ukuran martingale dari
kuadrat biaya yang muncul selama interval
waktu selanjutnya.
rt (ϕ ) = E * [(C t +1 (ϕ ) − C t (ϕ )) 2 | t ]
(23)
Karena H diasumsikan
H = E *[H |

T

-measurable maka
T

T

] = V0* + ∑ ξ jH ΔS *j + LTH
j =1

rt (ϕ ) didapatkan
~
dengan memilih strategi ξ dan η~ sehingga
C (ϕ~ ) adalah martingale, yaitu

Nilai minimum untuk

C t (ϕ~ ) = E * [C t +1 (ϕ~ ) |

t

]

Hal ini mengakibatkan proses V (ϕ~ ) juga
martingale. Karena VT (ϕ~ ) = H maka

oleh

= M t −1α t . Jika dapat ditunjukkan bahwa
f

t
Vt (ϕ~ ) = V0* + ∑ ξ jH ΔS *j + LHt

(24)

j =1

t

Lt = ∑ π jf ΔM j

adalah martingale, maka

j =1

dekomposisi (22) telah terpenuhi dan akan
didapatkan bentuk:
t

t

j =1

j =1

Vt * = V0* + ∑ M j −1α jf ΔS *j + ∑ π jf ΔM j

Untuk menunjukkan bahwa L adalah
martingale, berdasarkan kebebasan antar
 dan  , didapatkan
E ΔLt t −1 = E * [π t f ΔM t t −1 ]

[

]

[

= E * [π t f E * ΔM t
=0

∨

t −1

]

t −1

]

Berdasarkan
persamaan
(4)
maka
~ *
*
~
η t = Vt − ξ t S t .
Selanjutnya
didapatkan
masukkan persamaan (6) dan (24) ke dalam
persamaan (23) untuk mendapatkan

(

~
rt (ϕ~ ) = E * ⎡ (ξ tH+1 − ξ t +1 )ΔS t*+1 + ΔLHt+1
⎢⎣

)

2

⎤
⎥⎦

(25)

10

~
Karena ξ t +1 dan ξ tH+1 adalah

[

t–measurable

] = 0 , serta berdasarkan

dan E * ΔS t*+1 ΔLHt+1
*

keortogonalan dari S dan LH, persamaan (25)
dapat dituliskan ke dalam bentuk

(

~

)

(

2

rt (ϕ~ ) = ξ tH+1 − ξ t +1 E * [ ΔS t*+1

(

+ E * [ ΔLHt+1

)

2
t

)

2
t

t

Berdasarkan perhitungan tersebut maka
didapatkan strategi minimisasi risiko untuk
kontrak asuransi jiwa yang terkait dengan
ekuitas adalah

η t = Vt − ξ S
t

= π t M t − Yt −1 T −( t −1) p x + ( t −1)α t f S t*

(27)

Dengan menuliskan kembali peluang
T − ( t −1) p x + ( t −1) sebagai 1 p x + ( t −1) T − t p x + t , maka
kerugian selama (t-1, t] adalah
ΔLt = π t f T −t p x +t (Yt − Yt −1 1 p x + (t −1) )
Persamaan tersebut menjelaskan bahwa
kerugian pengasuransi adalah proporsional
dengan faktor π t f T −t p x + t yang merupakan
harga diskon opsi f ( S T ) pada waktu t dikali
dengan peluang bertahan hidup T −t p x + t .
Jumlah tersebut merepresentasikan cadangan
yang layak pada waktu t untuk seorang
pemegang polis yang hidup pada waktu t.
Faktor kedua (Yt − Yt −1 1 p x + (t −1) ) merupakan
selisih nilai sebenarnya dari yang bertahan
hidup dengan nilai harapan bersyarat yang
dihitung pada t-1.
Menurut Moller (2001) strategi minimisasi
risiko ini dapat menaksir besarnya risiko dari
pengasuransi. Kebebasan antara π f dan M di
bawah P* dan fakta bahwa perubahan ukuran
dari P ke P* tidak mempengaruhi distribusi
dari sisa waktu hidup, memberikan varian dari
biaya sebagai berikut :
T

( ) ΔM

t =1
T

2
t

]

( ) ]E[ΔM

= ∑ E * [ π tf
t =1

2

2

(28)
2
t

]

sebaiknya dibandingkan dengan total varian
dari klaim H yang merupakan varian dari
kerugian
pengasuransi
dengan
tidak
melakukan transaksi yang diberikan oleh
persamaan berikut :
Var *[YT f ( ST ) / BT ] = E *[(π Tf ) 2 ]nT p x (1−T p x )
+ Var *[π Tf ]( nT p x ) 2

(29)

= π t f Yt T −t p x + t − Yt −1 T − (t −1) p x + (t −1)α t f S t*

Var * [CT (ϕ )] = ∑ E * [ π t f

= E[Var[ T −t p x +t Yt Ft −1 ]]

(26)

*
t

f

]

di mana pada persamaan terakhir digunakan
YT| t-1 ~ binomial (Yt −1 ,1 p x +(t −1) ) . Varian (28)

]

~
Di mana akan minimal jika ξ t = ξ tH dan
η~t = Vt* − ξ H S t* .

*

[

= nT p x T −t p x +t (1−1 p x + ( t −1) )

]

ξ t = M t −1α t f = Yt −1 T −(t −1) p x + (t −1)α t f

ΔM T dapat dikatakan berkaitan dengan
peluang bertahan hidup. Hal ini dapat terlihat
dari perhitungan berikut
E ΔM t2 = E [Var [ΔM t Ft −1 ]] + Var[ E[ΔM t Ft −1 ]]

Contoh
Nyatakan bahwa dalam satu tahun terjadi
lima kali waktu perdagangan, misalkan
k = 0,1,2,3,4 , sehingga T = 4 . Notasikan
selang waktu antar perdagangan dengan
1
Δt = , yaitu dalam satu tahun terbagi
4
menjadi 4 periode dengan selang waktu antar
periode
adalah
tiga
bulan.
Untuk
memudahkan perhitungan, asumsikan bahwa
sisa waktu bertahan hidup dari pemegang
polis adalah bebas dan menyebar eksponen
dengan tingkat hazard (bahaya) μ yang
berbeda-beda. Sehingga peluang bertahan
hidup
dari
pemegang
polis
adalah
=
−
μ
Δ
untuk
semua
k
(dan
x).
p
exp(
k
t
)
k
x
Misalkan nilai garansi dari kontrak adalah
1
K = S 0 (1 + r ) T dengan S 0 = 100 .
2
Peluang p * adalah nilai peluang yang
ekuivalen dengan peluang p. Dengan
menggunakan persamaan kemungkinan risiko
netral (risk neutral probabilities) akan
didapatkan nilai dari p * .
r − a 0.015 − (−0.1) 0.115
p* =
=
=
= 0.46
0.15 − (−0.1)
0.25
b−a
Parameter yang digunakan dalam kasus ini
adalah :
Δt
T
S0
K

¼
4
100
103.0

11

a
-0.1
b
0.15
r
0.015
*
0.46
p
p
0.50
dan dengan menggunakan model CRR,
didapatkan perkembangan harga saham dan
proses harga no-arbitrage (risk neutral
valuation) (Gambar 2). Perkembangan harga
saham (atas) menggunakan persamaan yang
telah didefinisikan sebelumnya yaitu
S t = (1 + ρ t ) S t −1
Pada waktu k = 1, harga saham mengalami
kenaikan menjadi

S u = (1 + b) S k −1 = (1 + 0.15)100 = 115.0
dan akan turun menjadi
S d = (1 + a) S k −1 = (1 − 0.1)100 = 90
Dengan meneruskan perhitungan diatas,
akan didapatkan pohon binomial untuk
perkembangan harga saham (gambar 2).
Sedangkan proses harga no-arbitrage
menggunakan prinsip pada persamaan (1)
dengan mengganti harga opsi dengan
max(f(ST), K). Prinsip dalam perhitungan
harga no-arbitrage adalah menghitung dari
belakang dengan menggunakan pohon

174.9
174.9
152.1
152.1
132.3
132.3
115.0
117.9
100.0
108.2

90.0
103.0

119.0
119.0

103.5
108.9

93.2
103.4

81.0
100.9

72.9
101.5

136.9
136.9
107.1
107.1
83.8
103.0

65.6
103.0

Gambar 2. Pohon Binomial untuk perkembangan harga saham (atas) dan proses harga noarbitrage untuk kontrak (bawah).
1.000
0.779
1.000
0.607
1.000
0.779

0.811
0.383
0.595

0.605
0.367
0.137
0.176

0.219
0.359
0.170

0.092
0.056

0.000
0.000

Gambar 3. Hedge untuk f ( S T ) = max(S T , K ) (atas) dan strategi hedging minimisasi risiko untuk
kontrak endowmen murni H untuk kasus satu orang pemegang polis yang bertahan
hidup, dimana μ = 1 (bawah).

12

binomial yang telah dibentuk sebelumnya
(working backward through the tree). Untuk
k = 0, harga no-arbitrage didapatkan dari
p* B1π 1f + (1 − p* ) B1π 1f
B0π 0f =
(1 + r )
(0.46)117.9 + (0.54)103.0
=
= 108.2
(1 + 0.015)
Untuk mencari strategi hedging bagi opsi beli,
gunakan proses harga no-arbitrage yang telah
dihitung sebelumnya. Misalkan ϕ 0 (1) sebagai
banyaknya aset bebas risiko pada waktu k=0
dan ϕ1 (1) sebagai banyaknya saham yang
dimiliki pada waktu k=0 dan dengan
menggunakan
proses
harga
Vt (ϕ ) = ϕ1 (1)S t + Bt ϕ 0 (1) sebelum didiskon,
akan didapatkan proses harga
115ϕ1 (1) + 1.015ϕ 0 (1) = 117.9
90ϕ1 (1) + 1.015ϕ 0 (1) = 103.0
Penyelesaian
persamaan
diatas,
akan
menghasilkan ϕ1 = 0.595 dan ϕ0 = −48.72 .
Dengan melanjutkan proses tersebut, akan
dihasilkan proses hedging α t f = ϕ1 (t ) untuk
f ( S T ) = max( S T , K )
(Gambar
3).
Berdasarkan persamaan (26) dan (27) maka
akan didapatkan proses hedging untuk living
benefit. Untuk satu orang pemegang polis
akan didapatkan
ξ1 = T −(1−1) p x +(1−1)α 1f = e −1 (0.595) = 0.219
yaitu pada waktu k = 0 portofolio
mengandung 0.219 saham dan
η 0 = V0* − ξ1 S1* = (108.2)e −1 − (0.219)100
= 17.9
memiliki nilai pada tabungan sebesar 17.9.
Pada waktu k=1 nilai tersebut akan
berubah sesuai dengan nilai saham dan
bergantung pada kemungkinan pemegang
polis tetap hidup pada waktu tersebut. Jika
pemegang polis tidak dapat bertahan sampai
dengan k=1, maka ξ 2 = 0 dan η1 = 0 . Jika ia
tetap hidup pada waktu k=1, dan nilai saham
meningkat (menjadi 115.0), maka ξ 2 = 0.383

dan η1 = e− μ 3/ 4117.9 − 0.383 ⋅115.0 = 11.6 Cara
yang sama dilakukan untuk mendapatkan
proses hedge selanjutnya.
Dalam kasus kontrak seperti ini,
persamaan (28) dan (29) dapat disederhanakan
menjadi

dan, dengan H = YT f ( S T ) / BT ,
Var * [ H ] = E * [(π Tf ) 2 ]ne− μT Δt (1 − e− μT Δt )
+Var * [π Tf ]n 2 e−2 μT Δt

(31)

Untuk menghitung Var * [CT (ϕ )] digunakan
harga no-arbitrage yang telah didiskon.
Dengan menggunakan prinsip untuk mencari
persamaan (3) sebelumnya dan dengan
meng