Bahan Ajar Relasi dan Fungsi (SMA kelas X
TUGAS MATEMATIKA
FAESHAN NOEL PURBA
SIANTAR
Created by Mukhlisah Zulfa Nadiya
0
Bahan Ajar Relasi dan Fungsi (SMA kelas X)
MATERI
Pengertian Produk Cartesius
Jika A dan B adalah dua himpunan yang tidak kosong, maka produk Cartesius himpunan A
dan himpunan B adalah himpunan semua pasangan terurut (x,y) dengan x A dan y B dan
ditulis AxB = {(x,y) | x A dan y B}.
Contoh :
Misal A : {a, b, c} dan B : {1, 2}, tentukan :
a. A x B
c. A x A
b. B x A
d. B x B
Jawab:
A x B = {(a,1), (b,1), (c,1), (a,2), (b,2), (c,2)}
B x A = {(1,a), (1,b), (1,c), (2,a), (2,b), (2,c)}
A x A = {(a,a), (a,b), (a,c), (b,a), (b,b), (b,c), (c,a), (c,b), (c,c)}
B x B = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2)}
Relasi
Misal :
A x B adalah produk Cartesius himpunan A dan B, maka relasi atau hubungan R dari A ke B
adalah sembarang himpunan bagian dari produk Cartesius A x B.
Pada relasi R = {(x,y)| x A dan x B} dapat disebutkan bahwa :
a.
Himpunan ordinat pertama dari pasangan terurut (x,y) disebut daerah asal
(domain).
b.
Himpunan B, disebut daerah kawan (kodomain).
c.
Himpunan bagian dari B yang bersifat Ry dengan y B disebut daerah hasil
(range) relasi R.
Suatu relasi R = {(x,y) | x A dan x B} dapat ditulis dengan menggunakan :
a. Diagram panah
b. Grafik pada bidang Cartesius
Contoh :
Relasi dari himpunan A : {1,2,3,4} ke himpunan B : {0,1,2,3,4} ditentukan oleh f : {(1,0),
(2,1), (3,2), (4,3)} dapat dituliskan rumus fungsi f : {(x,y) | y = x-1, x A, y B}.
Fungsi f disajikan dalam diagram panah sebagai berikut :
Domain
: Df : {1,2,3,4}
Kodomain
: Kf : {0,1,2,3,4}
1
0
Range
: Rf : {0,1,2,3}
2
1
3
2
4
3
Relasi f
Asri Manggalawati | 115500001
Univ. PGRI Adi Buana Surabaya | FKIP Matematika-2011
Bahan Ajar Relasi dan Fungsi (SMA kelas X)
0
1
2
3
1
2
3
4
Fungsi f dapat digambarkan grafik pada bidang kartesius :
Fungsi atau Pemetaan
Relasi dari himpunan A ke himpunan B disebut fungsi atau pemetaan, jika dan hanya jika tiap
unsur dalam himpunan A berpasangan tepat hanya dengan sebuah unsur dalam himpunan B.
f adalah suatu fungsi dari himpunan A ke himpunan B, maka fungsi f dilambangkan dengan
f:AB
jika x A dan y B, sehingga (x,y) f, maka y
A
B
disebut peta atau bayangan dari x oleh fungsi f
dinyatakan dengan lambang y : f (x)
(ditunjukkan dalam gambar disamping)
f : x y = f (x)
y = f (x) : rumus untuk fungsi f
x disebut variabel bebas
y disebut variabel tak bebas
Contoh :
Diketahi f : A B dan dinyatakan oleh rumus f (x) = 2x – 1.
Jika daerah asal A ditetapkan A : {x | 0 x 4. x R}
a. Tentukan f (0), f (1), f (2), f (3) dan f (4).
b. Gambarkan grafik fungsi y : f (x) = 2x – 1 dalam bidang kartesius.
c. Tentukan daerah hasil dari fungsi f.
Jawab :
a. f (x) = 2x – 1, maka :
f (0) = -1
f (1) = 1
f (2) = 3
f (3) = 5
f (4) = 7
Asri Manggalawati | 115500001
Univ. PGRI Adi Buana Surabaya | FKIP Matematika-2011
Bahan Ajar Relasi dan Fungsi (SMA kelas X)
b. Grafik fungsi y : f (x) = 2x – 1
y = f (x) = 2x – 1
Daerah asal
c. Daerah hasil fungsi f Rf = {y | -1 y 7, y R}
Jika daerah asal dari suatu fungsi f tidak atau belum ditentukan, maka dapat diambil
daerah asalnya himpunan dari semua bilangan real yang mungkin, sehingga daerah
hasilnya merupakan bilangan real. Daerah asal yang ditentukan dengan cara seperti itu
disebut daerah asal alami (natural domain).
Contoh :
Tentukan daerah asal dari fungsi berikut :
4
1. f (x) = x +1
Jawab :
4
f (x) = x +1 , supaya f (x) bernilai real maka x + 1 0 atau x -1
Jadi Df : {x | x R, dan x -1}
2. g (x) =
Jawab :
√ 4−x 2
√
2
4−x , supaya g (x) bernilai real maka :
g (x) =
4 – x2 0
x2 – 4 0
(x-2) (x+2) 0 -2 x 2
Jadi Dg = {x | -2 x 2, x R}
Asri Manggalawati | 115500001
Univ. PGRI Adi Buana Surabaya | FKIP Matematika-2011
Bahan Ajar Relasi dan Fungsi (SMA kelas X)
1. Barisan Geometri
Perhatikan barisan bilangan berikut.
• 2, 4, 8, 16,…
• 81, 27, 9, 3,…
Pada kedua barisan tersebut, dapatkah Anda menentukan pola yang dimiliki oleh masingmasing barisan? Tentu saja pola yang didapat akan berbeda dengan pola yang Anda dapat
ketika mempelajari barisan aritmetika. Selanjutnya, cobalah Anda bandingkan antara setiap
dua suku yang berurutan pada masing-masing barisan tersebut. Apa yang Anda peroleh?
Ketika Anda membandingkan setiap dua suku yang berurutan pada barisan tersebut, Anda
akan mendapatkan perbandingan yang sama. Untuk barisan yang pertama, diperoleh
perbandingan sebagai berikut.
4/2=2, 8/4=2, 16/8=2,….
Bilangan 2 disebut sebagai rasio dari barisan yang dilambangkan dengan r. Barisan yang
memiliki rasio seperti ini dinamakan barisan geometri.
Definisi Barisan Geometri
Misalkan
suatu barisan bilangan. Barisan bilangan tersebut dikatakan sebagai
barisan geometri apabila memenuhi =
Jika diketahui suatu barisan geometri
maka Anda dapat menuliskan:
= .. =
= r, dengan r = rasio atau pembanding.
, dan dimisalkan
dengan rasionya r
.
.
.
Rumus Suku ke–n Barisan Geometri
Misalkan terdapat suatu barisan geometri
suku pertamanya a dan rasionya r adalah
maka rumus umum suku ke-n dengan
2. Deret Geometri
Secara umum, dari suatu barisan geometri
dengan
dan rasio r, Anda
dapat memperoleh bentuk umum deret geometri, yaitu
=
. Seperti pada deret aritmetika, jika Anda menjumlahkan barisan
geometri maka Anda akan memperoleh deret geometri. Jika menyatakan jumlah n suku
pertama dari suatu deret geometri maka Anda peroleh
…(1)
Untuk mendapatkan rumus jumlah n suku pertama deret geometri, kalikanlah persamaan (1)
dengan r, diperoleh
…(2)
Seperti pada deret aritmetika, pada deret geometri pun Anda akan memperoleh jumlah deret
geometri.
Selanjutnya, cari selisih dari persamaan (1) dan persamaan (2). Dalam hal ini,
Pandang :
Asri Manggalawati | 115500001
Univ. PGRI Adi Buana Surabaya | FKIP Matematika-2011
Bahan Ajar Relasi dan Fungsi (SMA kelas X)
Sehingga :
Definisi Deret Geometri
Misalkan
adalah barisan geometri maka pemjumlahan
deret geometri.
Definisi
Suku ke-n suatu barisan geometri adalah Un.
Contoh :
Jika
, dan = 8k + 4 maka = …
a. 81
b. 162
c. 324
d. 648
e. 864
Jawab:
adalah
langkah pertama tentukan nilai r.
= 3k / k = 3
Selanjutnya, tentukan nilai k.
=
3=
9k = 8k + 4
k=4
Oleh karena
= k maka
= 4, dengan demikian,
Rumus Jumlah n Suku Pertama dari Deret Geometri
Misalkan
merupakan deret geometri, dengan suku pertama adan rasio r,
maka jumlah n suku pertama ( ) dari deret tersebut adalah
Contoh :
Diketahui deret 4 + 12 + 36 + 108 …
Tentukan:
a. rumus jumlah n suku pertama,
b. jumlah 7 suku pertamanya
Jawab:
4 + 12 + 36 + 108 …
Dari deret tersebut diketahui a = 4 dan r = 12/4 = 3
Asri Manggalawati | 115500001
Univ. PGRI Adi Buana Surabaya | FKIP Matematika-2011
atau
Bahan Ajar Relasi dan Fungsi (SMA kelas X)
Jadi, rumus umum jumlah n suku pertama deret tersebut adalah
Jumlah 7 suku pertama
= 2(2187 – 1)
= 4372
Jadi, jumlah 7 suku pertamanya adalah 4.372.
Asri Manggalawati | 115500001
Univ. PGRI Adi Buana Surabaya | FKIP Matematika-2011
FAESHAN NOEL PURBA
SIANTAR
Created by Mukhlisah Zulfa Nadiya
0
Bahan Ajar Relasi dan Fungsi (SMA kelas X)
MATERI
Pengertian Produk Cartesius
Jika A dan B adalah dua himpunan yang tidak kosong, maka produk Cartesius himpunan A
dan himpunan B adalah himpunan semua pasangan terurut (x,y) dengan x A dan y B dan
ditulis AxB = {(x,y) | x A dan y B}.
Contoh :
Misal A : {a, b, c} dan B : {1, 2}, tentukan :
a. A x B
c. A x A
b. B x A
d. B x B
Jawab:
A x B = {(a,1), (b,1), (c,1), (a,2), (b,2), (c,2)}
B x A = {(1,a), (1,b), (1,c), (2,a), (2,b), (2,c)}
A x A = {(a,a), (a,b), (a,c), (b,a), (b,b), (b,c), (c,a), (c,b), (c,c)}
B x B = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2)}
Relasi
Misal :
A x B adalah produk Cartesius himpunan A dan B, maka relasi atau hubungan R dari A ke B
adalah sembarang himpunan bagian dari produk Cartesius A x B.
Pada relasi R = {(x,y)| x A dan x B} dapat disebutkan bahwa :
a.
Himpunan ordinat pertama dari pasangan terurut (x,y) disebut daerah asal
(domain).
b.
Himpunan B, disebut daerah kawan (kodomain).
c.
Himpunan bagian dari B yang bersifat Ry dengan y B disebut daerah hasil
(range) relasi R.
Suatu relasi R = {(x,y) | x A dan x B} dapat ditulis dengan menggunakan :
a. Diagram panah
b. Grafik pada bidang Cartesius
Contoh :
Relasi dari himpunan A : {1,2,3,4} ke himpunan B : {0,1,2,3,4} ditentukan oleh f : {(1,0),
(2,1), (3,2), (4,3)} dapat dituliskan rumus fungsi f : {(x,y) | y = x-1, x A, y B}.
Fungsi f disajikan dalam diagram panah sebagai berikut :
Domain
: Df : {1,2,3,4}
Kodomain
: Kf : {0,1,2,3,4}
1
0
Range
: Rf : {0,1,2,3}
2
1
3
2
4
3
Relasi f
Asri Manggalawati | 115500001
Univ. PGRI Adi Buana Surabaya | FKIP Matematika-2011
Bahan Ajar Relasi dan Fungsi (SMA kelas X)
0
1
2
3
1
2
3
4
Fungsi f dapat digambarkan grafik pada bidang kartesius :
Fungsi atau Pemetaan
Relasi dari himpunan A ke himpunan B disebut fungsi atau pemetaan, jika dan hanya jika tiap
unsur dalam himpunan A berpasangan tepat hanya dengan sebuah unsur dalam himpunan B.
f adalah suatu fungsi dari himpunan A ke himpunan B, maka fungsi f dilambangkan dengan
f:AB
jika x A dan y B, sehingga (x,y) f, maka y
A
B
disebut peta atau bayangan dari x oleh fungsi f
dinyatakan dengan lambang y : f (x)
(ditunjukkan dalam gambar disamping)
f : x y = f (x)
y = f (x) : rumus untuk fungsi f
x disebut variabel bebas
y disebut variabel tak bebas
Contoh :
Diketahi f : A B dan dinyatakan oleh rumus f (x) = 2x – 1.
Jika daerah asal A ditetapkan A : {x | 0 x 4. x R}
a. Tentukan f (0), f (1), f (2), f (3) dan f (4).
b. Gambarkan grafik fungsi y : f (x) = 2x – 1 dalam bidang kartesius.
c. Tentukan daerah hasil dari fungsi f.
Jawab :
a. f (x) = 2x – 1, maka :
f (0) = -1
f (1) = 1
f (2) = 3
f (3) = 5
f (4) = 7
Asri Manggalawati | 115500001
Univ. PGRI Adi Buana Surabaya | FKIP Matematika-2011
Bahan Ajar Relasi dan Fungsi (SMA kelas X)
b. Grafik fungsi y : f (x) = 2x – 1
y = f (x) = 2x – 1
Daerah asal
c. Daerah hasil fungsi f Rf = {y | -1 y 7, y R}
Jika daerah asal dari suatu fungsi f tidak atau belum ditentukan, maka dapat diambil
daerah asalnya himpunan dari semua bilangan real yang mungkin, sehingga daerah
hasilnya merupakan bilangan real. Daerah asal yang ditentukan dengan cara seperti itu
disebut daerah asal alami (natural domain).
Contoh :
Tentukan daerah asal dari fungsi berikut :
4
1. f (x) = x +1
Jawab :
4
f (x) = x +1 , supaya f (x) bernilai real maka x + 1 0 atau x -1
Jadi Df : {x | x R, dan x -1}
2. g (x) =
Jawab :
√ 4−x 2
√
2
4−x , supaya g (x) bernilai real maka :
g (x) =
4 – x2 0
x2 – 4 0
(x-2) (x+2) 0 -2 x 2
Jadi Dg = {x | -2 x 2, x R}
Asri Manggalawati | 115500001
Univ. PGRI Adi Buana Surabaya | FKIP Matematika-2011
Bahan Ajar Relasi dan Fungsi (SMA kelas X)
1. Barisan Geometri
Perhatikan barisan bilangan berikut.
• 2, 4, 8, 16,…
• 81, 27, 9, 3,…
Pada kedua barisan tersebut, dapatkah Anda menentukan pola yang dimiliki oleh masingmasing barisan? Tentu saja pola yang didapat akan berbeda dengan pola yang Anda dapat
ketika mempelajari barisan aritmetika. Selanjutnya, cobalah Anda bandingkan antara setiap
dua suku yang berurutan pada masing-masing barisan tersebut. Apa yang Anda peroleh?
Ketika Anda membandingkan setiap dua suku yang berurutan pada barisan tersebut, Anda
akan mendapatkan perbandingan yang sama. Untuk barisan yang pertama, diperoleh
perbandingan sebagai berikut.
4/2=2, 8/4=2, 16/8=2,….
Bilangan 2 disebut sebagai rasio dari barisan yang dilambangkan dengan r. Barisan yang
memiliki rasio seperti ini dinamakan barisan geometri.
Definisi Barisan Geometri
Misalkan
suatu barisan bilangan. Barisan bilangan tersebut dikatakan sebagai
barisan geometri apabila memenuhi =
Jika diketahui suatu barisan geometri
maka Anda dapat menuliskan:
= .. =
= r, dengan r = rasio atau pembanding.
, dan dimisalkan
dengan rasionya r
.
.
.
Rumus Suku ke–n Barisan Geometri
Misalkan terdapat suatu barisan geometri
suku pertamanya a dan rasionya r adalah
maka rumus umum suku ke-n dengan
2. Deret Geometri
Secara umum, dari suatu barisan geometri
dengan
dan rasio r, Anda
dapat memperoleh bentuk umum deret geometri, yaitu
=
. Seperti pada deret aritmetika, jika Anda menjumlahkan barisan
geometri maka Anda akan memperoleh deret geometri. Jika menyatakan jumlah n suku
pertama dari suatu deret geometri maka Anda peroleh
…(1)
Untuk mendapatkan rumus jumlah n suku pertama deret geometri, kalikanlah persamaan (1)
dengan r, diperoleh
…(2)
Seperti pada deret aritmetika, pada deret geometri pun Anda akan memperoleh jumlah deret
geometri.
Selanjutnya, cari selisih dari persamaan (1) dan persamaan (2). Dalam hal ini,
Pandang :
Asri Manggalawati | 115500001
Univ. PGRI Adi Buana Surabaya | FKIP Matematika-2011
Bahan Ajar Relasi dan Fungsi (SMA kelas X)
Sehingga :
Definisi Deret Geometri
Misalkan
adalah barisan geometri maka pemjumlahan
deret geometri.
Definisi
Suku ke-n suatu barisan geometri adalah Un.
Contoh :
Jika
, dan = 8k + 4 maka = …
a. 81
b. 162
c. 324
d. 648
e. 864
Jawab:
adalah
langkah pertama tentukan nilai r.
= 3k / k = 3
Selanjutnya, tentukan nilai k.
=
3=
9k = 8k + 4
k=4
Oleh karena
= k maka
= 4, dengan demikian,
Rumus Jumlah n Suku Pertama dari Deret Geometri
Misalkan
merupakan deret geometri, dengan suku pertama adan rasio r,
maka jumlah n suku pertama ( ) dari deret tersebut adalah
Contoh :
Diketahui deret 4 + 12 + 36 + 108 …
Tentukan:
a. rumus jumlah n suku pertama,
b. jumlah 7 suku pertamanya
Jawab:
4 + 12 + 36 + 108 …
Dari deret tersebut diketahui a = 4 dan r = 12/4 = 3
Asri Manggalawati | 115500001
Univ. PGRI Adi Buana Surabaya | FKIP Matematika-2011
atau
Bahan Ajar Relasi dan Fungsi (SMA kelas X)
Jadi, rumus umum jumlah n suku pertama deret tersebut adalah
Jumlah 7 suku pertama
= 2(2187 – 1)
= 4372
Jadi, jumlah 7 suku pertamanya adalah 4.372.
Asri Manggalawati | 115500001
Univ. PGRI Adi Buana Surabaya | FKIP Matematika-2011