BAB 9 DISTRIBUSI SAMPLING

BAB 9

DISTRIBUSI SAMPLING

9.1. Pendahuluan

Untuk mempelajari populasi, biasanya diperlukan sampel dari populasi yang bersangkutan. Untuk sebuah populasi, dapat dipastikan hanya ada satu nilai parameter (misal: satu nilai untuk rata-rata () dan simpangan baku ()). Sedangkan untuk sampel yang diambil, terdapat kombinasi sampel dimana setiap kombinasi sampel akan mempunyai nilai statistik. Oleh karena sampel mempunyai banyak nilai statistik dari setiap kombinasinya dan merupakan variabel yang bersifat random, maka nilai-nilai statistik tersebut dapat membentuk suatu distribusi probabilitas. Distribusi probabilitas ini dikenal dengan distribusi sampling yang diberi nama bergantung pada statistik yang digunakan. Sehingga dikenal distribusi sampling rata-rata, distribusi sampling proporsi, distribusi sampling simpangan baku dan lain-lain. Dalam bab ini hanya akan dipelajari distribusi sampling rata-rata dan distribusi sampling proporsi.

9.2. Distribusi Sampling Rata-Rata

Distribusi sampling rata-rata adalah suatu distribusi probabilitas yang terdiri dari seluruh kemungkinan rata-rata hitung sampel dari suatu ukuran sampel tertentu yang dipilih dari populasi dan probabilitas terjadinya dihubungkan dengan setiap rata-rata hitung sampel.

Untuk memahami penyusunan satu distribusi sampling rata-rata dapat dilihat pada contoh 9.1.

Contoh 9.1.

Berikut adalah nilai Return on Asset (ROA) 5 perusahaan jasa pengiriman barang yang beroperasi di suatu daerah.

Perusahaan ROA (%)

A 2

B 4

C 6

D 4

E 4

Berdasarkan data di atas :

a. Buat distribusi peluang populasi dan hitung nilai rata-rata dan varians ROA populasi.

b. Jika diambil sampel berukuran 2 dari 5 perusahaan tersebut dengan pengembalian, hitung rata-rata dari setiap sampel! Buat distribusi sampling rata-rata.

c. Hitung rata-rata dan simpangan baku untuk distribusi sampling tersebut dan kesimpulan yang bisa diambil mengenai nilai rata-rata dan simpangan baku populasi dengan nilai rata-rata dan varians dari distribusi sampling rata-rata.

Jawab : a.

X 2 4 6 Jumlah

P(X)

5 1

5 3

5 1

1

 



 x_ip x_i



4

5 20 5 1 6 5 3 4 5 1

2  

                   

 



 



2 2

2









x

_i

p

x

_i

x

_i

p

x

_i



5 8 4 5 1 6 5 3 4 5 1

22 2 2 _ 2 _

   

 

                    

b. Jika diambil sampel berukuran dua dari populasi tersebut dengan pengembalian maka terdapat 25 kombinasi sampel yang mungkin terjadi.

No Kombinasi

sampel

Kombinasi ROA Rata-Rata

Sampel

1. (A,A) (2,2) 2

2. (A,B) (2,4) 3

3. (A,C) (2,6) 4

4. (A,D) (2,4) 3

5. (A,E) (2,4) 3

6. (B,A) (4,2) 3

7. (B,B) (4,4) 4

8. (B,C) (4,6) 5

9. (B,D) (4,4) 4

10. (B,E) (4,4) 4

11. (C,A) (6,2) 4

12. (C,B) (6,4) 5

13. (C,C) (6,6) 6

14. (C,D) (6,4) 5

15. (C,E) (6,4) 5

16. (D,A) (4,2) 3

17. (D,B) (4,4) 4

18. (D,C) (4,6) 5

19. (D,D) (4,4) 4

20. (D,E) (4,4) 4

21. (E,A) (4,2) 3

22. (E,B) (4,4) 4

23. (E,C) (4,6) 5

24. (E,D) (4,4) 4

25. (E,E) (4,4) 4

X 2 3 4 5 6 Jumlah

 

X P 25 1 25 6 25 11 25 6 25 1 1

 



 xp x

x  4 25 100 25 1 6 25 6 5 25 11 4 25 6 3 25 1

2  

                                 

 

2 2

2

x

x x p x 

 

_

 5 4 4 25 1 6 25 6 5 25 11 4 25 6 3 25 1

22 2 2 2 2 _ 2 _

                                         Kesimpulan :

 Nilai rata-rata populasi

 

 adalah sama dengan nilai rata-rata distribusi sampling rata-rata-rata-rata

 

_x dari sampel berukuran 2 yang diambil dengan pengembalian yaitu 4  Nilai varians populasi

 

_2 _{tidak sama dengan nilai varians}

rata distribusi sampling rata-rata

 

_x dari sampel berukuran 2 yang diambil dengan pengembalian. Tetapi terdapat hubungan yang bisa diambil yaitu

n

x

2 2 

  , dimana

5

4

2

5

8

2





x



Maka : Teorema 9.1.

Jika X1,X2, ..., Xnadalah suatu sampel acak berukuran n yang

terhingga dengan rata-rata



dan varians _2_{, maka rata-rata}

untuk distribusi sampling rata-rata ialah



dan varians n

2



Teorema 9.2.

Teorema Limit Memusat

Jika X1,X2, ..., Xnadalah sampel acak berukuran n dari sebarang

populasi tidak terhingga dengan rata-rata



dan varians _2_,

maka rata-rata sampel, akan mempunyai distribusi hampir normal dengan rata-rata



dan varians

n

2



Contoh 9.2.

Suatu populasi mempunyai lima nomor yaitu 2, 3, 6, 8, dan 11. Suatu sampel acak berukuran 2 diambil dari populasi tersebut dengan pengembalian, dapatkan :

a. Rata-rata populasi

b. Simpangan baku populasi

c. Rata-rata distribusi sampling rata-rata d. Simpangan distribusi sampling rata-rata e. Peluang rata-rata sampel kurang dari 4. Jawab :

a. 6

5

11 8 6 3 2

     



b.

Xi Xi2

2 4

3 9

6 36

8 64

11 121

Maka





    

  









N X X

N

i i

2 2

2 1



 

10,8 5

30 234 5

1 2

    

 

 

sehingga   10,8 3,29

c. _x 6

d. 5,4

2 8 , 10

2

2 _{  }

n

x 

 maka _x  5,42.323

e. P ( X < 4 ) = P 

  



 



323 , 2

6 4

Z

= P



Z 0,86



= 0,1949 Contoh 9.3.

Rata-rata dan simpangan baku tinggi 3000 orang mahasiswa di sebuah universitas adalah 68 inci dan 3 inci. Jika 80 sampel diambil dengan masing-masing ukuran 36 dan dilakukan dengan pengembalian. Tentukan

a. Rata-rata dan simpangan baku untuk distribusi sampling rata-rata

b. Banyaknya sampel yang mempunyai rata-rata tinggi diantara 67 dan 68,3 inci.

Jawab

a.

_x 68 _{inci 0,25}

36 32 2

2 _{  }

n

x 

 maka _x  0,250,5

b. Distribusi sampling rata-rata merupakan distribusi hampir normal, maka

P ( 67<X > 68,3 ) = P 

  



 

  

5 , 0

68 3 , 68 5

. 0

68 67

Z

= P



 2Z 0,6



= 0,7030

Banyaknya sampel yang mempunyai rata-rata tinggi diantara 67 dan 68,3 inci adalah

= 80 x 0,7030  57 sampel.

Teorema 9.3.

Jika X1,X2, ..., Xnadalah suatu sampel acak berukuran n yang

diambil tanpa pengembalian dari suatu populasi terhingga berukuran N dengan rata-rata



dan varians _2_{, maka}

rata-rata untuk distribusi sampling rata-rata-rata-rata akan berdistribusi hampir normal dengan rata-rata



dan varians 

    

  1

2

N n N n 

Untuk aplikasi teorema 9.3, penghampiran pada distribusi normal akan lebih baik jika ukuran populasi N sekurang-kurangnya 2 kali lebih besar dari ukuran sampel dan ukuran sampel n harus sekurang-kurangnya 30.

Contoh 9.4.

Ulangi contoh 9.1 sekiranya sampel diambil tanpa pengembalian.

Jawab : a.

X 2 4 6 Jumlah

P(X)

5 1

5 3

5 1

1

 



 x_ip x_i

4 5 20 5 1 6 5 3 4 5 1

2  

                   

 



 



2 2

2









x

_i

p

x

_i

x

_i

p

x

_i



5 8 4 5 1 6 5 3 4 5 1

22 2 2 _ 2 _

                           3 , 1 5 8   

c. Jika diambil sampel berukuran dua dari populasi tersebut tanpa pengembalian maka terdapat 10 kombinasi sampel yang mungkin terjadi.

No Kombina si sampel

Kombinasi

ROA Rata-Rata Sampel

1. (A,B) (2,4) 3

2. (A,C) (2,6) 4

3. (A,D) (2,4) 3

4. (A,E) (2,4) 3

5. (B,C) (4,6) 5

6. (B,D) (4,4) 4

7. (B,E) (4,4) 4

8. (C,D) (6,4) 5

9. (C,E) (6,4) 5

10. (D,E) (4,4) 4

Distribusi sampling rata-rata adalah seperti berikut :

X 3 4 5 Jumlah

 

X P 10 3 10 4 10 3 1

 



 xp x

x  4 10 40 10 3 5 10 4 4 10 3

3  

                   

 

2 2

2

x

x x p x 

 





5 3 10

6 4 10

3 5 10

4 4 10

3

32 2 2 _ 2 _{ }

   

 

                    

77 , 0 5 3

  x 

Kesimpulan :

 Nilai rata-rata populasi

 

 _{adalah sama dengan nilai} rata-rata distribusi sampling rata-rata-rata-rata

 

_x dari sampel berukuran 2 yang diambil tanpa pengembalian yaitu 4  Nilai varians populasi

 

_2 _{tidak sama dengan nilai varians}

rata distribusi sampling rata-rata

 

_x dari sampel berukuran 2 yang diambil tanpa pengembalian. Tetapi terdapat hubungan yang bisa diambil yaitu 

    

  

1

2 2

N n N n

x 

 ,

dimana

5

3

1

5

2

5

2

5

8

2





















x



Contoh 9.5.

Harga per saham dari 200 perusahaan dalam industri printing, advertising dan media yang terdaftar di sebuah bursa saham berdistribusi hampir normal dengan rata-rata Rp 396 dan simpangan baku 74. Suatu sampel acak berukuran 25 diambil tanpa pengembalian dari populasi ini, berapakah peluang rata-rata harga saham di atas Rp 400?

Jawab :

396

  _x

62 , 192 1

200 25 200 25 74 1

2 2

2

    

 

  

   

 

  

N n N n

x 

 maka _x  192,6213,88

P (X > 400 ) = P    



 



88 , 13

396 400

Z

= P



Z 0,29



= 0,3859 Latihan

1. Suatu populasi mempunyai empat nomor yaitu 1, 4, 6, dan 10. Suatu sampel acak berukuran 2 diambil dari populasi tersebut dengan pengembalian, dapatkan :

a. Rata-rata populasi

b. Simpangan baku populasi

c. Rata-rata distribusi sampling rata-rata d. Simpangan distribusi sampling rata-rata

2. Panjang 300 lembar kertas daur ulang yang dibuat oleh seorang pengrajin berdistribusi normal dengan rata-rata 10,5 cm dan simpangan baku 1,8 cm. Untuk mengendalikan mutu produknya, pengrajin tersebut mengambil secara acak 50 lembar kertas. Berapakah peluang rata-rata sampel kurang dari 11 cm jika

a. Dengan pengembalian b. Tanpa pengembalian

3. Tinggi suatu jenis pohon yang dijual di suatu tempat persemaian berdistribusi normal dengan rata-rata 1,14 m dan simpangan baku 0,25 m. Lima puluh sampel dengan masing-masing berukuran 100 pohon dipilih. Berapakah jumlah pohon yang dijadikan sampel akan mempunyai rata-rata tinggi

a. Lebih dari 1,16 m

b. Diantara 1,13 dan 1,18 m

4.

Berikut adalah hasil investasi pada 5 perusahaan reksadana

Perusahaan Hasil investasi (% per tahun)

Nikko 1

Investa 15

GTF Tunai 10

Dana Investa 11 Phinis Dana Kas 14

Berdasarkan data di atas :

a. Buat distribusi peluang populasi dan hitung nilai rata-rata dan varians hasil investasi populasi.

b. Jika diambil sampel berukuran 3 dari 5 perusahaan reksadana tersebut tanpa pengembalian, hitung rata-rata dan simpangan baku untuk distribusi sampling tersebut.

c. Berapa peluang perusahaan yang terpilih sebagai sampel mempunyai hasil investasi di atas 13%?

5. Suatu jenis baterai kalkulator mempunyai rata-rata waktu penggunaan selama 800 jam dan simpangan baku 45 jam. Jika 1000 sampel berukuran 50 diambil berapakah jumlah sampel yang diharapkan mempunyai rata-rata kurang dari 790 jam ?

Maka





    

  









N X X

N

i i

2 2

2 1 

 

10,8

5 30 234 5

1 2

    

 

 

sehingga   10,8 3,29 c. _x 6

d. 5,4

2 8 , 10 2

2 _{  }

n

x



 maka _x  5,42.323

e. P ( X < 4 ) = P 

  



 

 323 , 2

6 4

Z

= P



Z 0,86



= 0,1949 Contoh 9.3.

Rata-rata dan simpangan baku tinggi 3000 orang mahasiswa di sebuah universitas adalah 68 inci dan 3 inci. Jika 80 sampel diambil dengan masing-masing ukuran 36 dan dilakukan dengan pengembalian. Tentukan

a. Rata-rata dan simpangan baku untuk distribusi sampling rata-rata

b. Banyaknya sampel yang mempunyai rata-rata tinggi diantara 67 dan 68,3 inci.

Jawab

a.

_x 68 _{inci 0,25}

36 32 2

2 _{  }

n

x 

 maka _x  0,250,5

b. Distribusi sampling rata-rata merupakan distribusi hampir normal, maka

P ( 67<X > 68,3 ) = P    



 

  

5 , 0

68 3 , 68 5

. 0

68 67

Z

= P



 2Z 0,6



= 0,7030

Banyaknya sampel yang mempunyai rata-rata tinggi diantara 67 dan 68,3 inci adalah

= 80 x 0,7030  57 sampel.

Teorema 9.3.

Jika X1,X2, ..., Xnadalah suatu sampel acak berukuran n yang diambil tanpa pengembalian dari suatu populasi terhingga berukuran N dengan rata-rata



dan varians _2_{, maka}

rata-rata untuk distribusi sampling rata-rata-rata-rata akan berdistribusi

hampir normal dengan rata-rata



dan varians 

    

  1 2

N n N n



Untuk aplikasi teorema 9.3, penghampiran pada distribusi normal akan lebih baik jika ukuran populasi N sekurang-kurangnya 2 kali lebih besar dari ukuran sampel dan ukuran sampel n harus sekurang-kurangnya 30.

Contoh 9.4.

Ulangi contoh 9.1 sekiranya sampel diambil tanpa pengembalian.

Jawab : a.

X 2 4 6 Jumlah

P(X)

5 1

5 3

5 1

1

 



 x_ip x_i

4 5 20 5 1 6 5 3 4 5 1

2  

                   

 



 



2

2 2









x

_i

p

x

_i

x

_i

p

x

_i



5 8 4 5 1 6 5 3 4 5 1

22 2 2 _ 2 _

                           3 , 1 5 8   

c. Jika diambil sampel berukuran dua dari populasi tersebut

tanpa pengembalian maka terdapat 10 kombinasi sampel

yang mungkin terjadi.

No Kombina

si sampel

Kombinasi

ROA Rata-Rata

Sampel

1. (A,B) (2,4) 3

2. (A,C) (2,6) 4

3. (A,D) (2,4) 3

4. (A,E) (2,4) 3

5. (B,C) (4,6) 5

6. (B,D) (4,4) 4

7. (B,E) (4,4) 4

8. (C,D) (6,4) 5

9. (C,E) (6,4) 5

10. (D,E) (4,4) 4

Distribusi sampling rata-rata adalah seperti berikut :

X 3 4 5 Jumlah

 

X P 10 3 10 4 10 3 1

 



 xp x x  4 10 40 10 3 5 10 4 4 10 3

3  

                   

 

2 2

2

x x x p x 

 





5 3 10

6 4 10

3 5 10

4 4 10

3

32 2 2 _ 2 _{ }

   

 

                    

77 , 0 5 3

  x 

Kesimpulan :

 Nilai rata-rata populasi

 

 _{adalah sama dengan nilai}

rata-rata distribusi sampling rata-rata-rata-rata

 

_x dari sampel berukuran 2 yang diambil tanpa pengembalian yaitu 4

 Nilai varians populasi

 

_2 _{tidak sama dengan nilai varians}

rata distribusi sampling rata-rata

 

_x dari sampel berukuran 2 yang diambil tanpa pengembalian. Tetapi

terdapat hubungan yang bisa diambil yaitu 

    

  

1 2

2

N n N n

x 

 ,

dimana

5

3

1

5

2

5

2

5

8

2





















x



Contoh 9.5.

Harga per saham dari 200 perusahaan dalam industri printing, advertising dan media yang terdaftar di sebuah bursa saham berdistribusi hampir normal dengan rata-rata Rp 396 dan simpangan baku 74. Suatu sampel acak berukuran 25 diambil tanpa pengembalian dari populasi ini, berapakah peluang rata-rata harga saham di atas Rp 400?

Jawab :

396   _x

62 , 192 1

200 25 200 25 74 1

2 2

2

    

 

  

   

 

  

N n N n

x 

 maka _x  192,6213,88

P (X > 400 ) = P 

  



 



88 , 13

396 400

Z

= P



Z 0,29



= 0,3859 Latihan

1. Suatu populasi mempunyai empat nomor yaitu 1, 4, 6, dan 10. Suatu sampel acak berukuran 2 diambil dari populasi tersebut dengan pengembalian, dapatkan :

a. Rata-rata populasi

b. Simpangan baku populasi

c. Rata-rata distribusi sampling rata-rata

d. Simpangan distribusi sampling rata-rata

2. Panjang 300 lembar kertas daur ulang yang dibuat oleh

seorang pengrajin berdistribusi normal dengan rata-rata 10,5 cm dan simpangan baku 1,8 cm. Untuk mengendalikan mutu produknya, pengrajin tersebut mengambil secara acak 50 lembar kertas. Berapakah peluang rata-rata sampel kurang dari 11 cm jika

a. Dengan pengembalian

3. Tinggi suatu jenis pohon yang dijual di suatu tempat persemaian berdistribusi normal dengan rata-rata 1,14 m dan simpangan baku 0,25 m. Lima puluh sampel dengan masing-masing berukuran 100 pohon dipilih. Berapakah jumlah pohon yang dijadikan sampel akan mempunyai rata-rata tinggi

a. Lebih dari 1,16 m

b. Diantara 1,13 dan 1,18 m

4.

Berikut adalah hasil investasi pada 5 perusahaan reksadana

Perusahaan Hasil investasi

(% per tahun)

Nikko 1

Investa 15

GTF Tunai 10

Dana Investa 11

Phinis Dana Kas 14

Berdasarkan data di atas :

a. Buat distribusi peluang populasi dan hitung nilai rata-rata dan varians hasil investasi populasi.

b. Jika diambil sampel berukuran 3 dari 5 perusahaan reksadana tersebut tanpa pengembalian, hitung rata-rata dan simpangan baku untuk distribusi sampling tersebut.

c. Berapa peluang perusahaan yang terpilih sebagai sampel mempunyai hasil investasi di atas 13%?

5. Suatu jenis baterai kalkulator mempunyai rata-rata waktu

penggunaan selama 800 jam dan simpangan baku 45 jam. Jika 1000 sampel berukuran 50 diambil berapakah jumlah sampel yang diharapkan mempunyai rata-rata kurang dari 790 jam ?