TRANSFER FUNCTION MODEL USING CROSS CORRELATION AND FORECASTING OF VOLUME AND VALUE OF IMPORT IN LAMPUNG PROVINCE

MODEL FUNGSI TRANSFER MENGGUNAKAN KORELASI SILANG DAN PERAMALAN PADA VOLUME DAN NILAI IMPOR

PROVINSI LAMPUNG (Skripsi)

Oleh

Charissa Sudarisman

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG

BANDAR LAMPUNG 2015

ABSTRACT

TRANSFER FUNCTION MODEL USING CROSS CORRELATION AND FORECASTING OF VOLUME AND VALUE OF IMPORT IN

LAMPUNG PROVINCE

By

CHARISSA SUDARISMAN

The purpose of this research is to determine the best transfer function model for forecasting of volume and value of import in Lampung Province. Transfer function model has assumption that the series data are stasionary and does not has feedback on cross correlation. To find the best transfer function model, first we check the stasionary data and white noise on the volume of import. Then the model parameters are estimated by cross correlation. And than we check autocorrelation residuals and cross correlation residuals to find diagnostic model. The best model is transfer function with numerator at lags 1 (s = 1) and noise model to follow moving average process orde 3 (MA(3)).

Key Words : time series, forecasting, transfer function model, cross correlation, prewhitening.

MODEL FUNGSI TRANSFER MENGGUNAKAN KORELASI SILANG DAN PERAMALAN PADA VOLUME DAN NILAI IMPOR

PROVINSI LAMPUNG

Oleh

Charissa Sudarisman

Skripsi

Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar SARJANA SAINS

Pada

Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Bandar Lampung pada tanggal 29 April 1993 sebagai putri kedua dari pasangan Bapak Sudarisman dan Ibu Klise Sunmadyanti Ningsih.

Penulis telah menyelesaikan pendidikan taman kanak-kanak di TK Fransiskus Tanjung Karang pada tahun 1999. Menyelesaikan pendidikan sekolah dasar di SD Al-Azhar I Bandar Lampung pada tahun 2005, pendidikan menengah pertama di SMP Negeri 4 Bandar Lampung pada tahun 2008, dan pendidikan menengah atas di SMA Al-Kautsar Bandar Lampung pada tahun 2011.

Pada tahun 2011, Penulis melanjutkan pendidikan di perguruan tinggi dan terdaftar sebagai mahasiswa Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung. Selama menjadi mahasiswa, penulis pernah menjadi Anggota Biro Dana dan Usaha Organisasi Himpunan Mahasiswa Matematika FMIPA Unila pada periode tahun 2012/2013 dan menjadi Anggota Bidang Eksternal Organisasi Himpunan Mahasiswa Matematika FMIPA Unila pada periode tahun 2013/2014.

Sebagai bentuk aplikasi bidang ilmu kepada masyarakat, penulis telah menyelesaikan Kerja Praktik (KP) selama satu bulan di Badan Perencanaan Pembangunan Daerah (BAPPEDA) Kota Bandar Lampung, serta Kuliah Kerja Nyata (KKN) selama 40 hari di Desa Pasir Sakti, Lampung Timur.

PERSEMBAHAN

Satu persembahan kecil untuk kedua orang tua, Bapak Sudarisman dan Ibu Klise Sunmadyanti Ningsih

serta kakak dan adik,

yang mampu diselesaikan atas izin Allah SWT, semoga memberi manfaat yang tidak terputus.

MOTTO

Wahai manusia, sesungguhnya kamu bekerja keras dengan

sungguh-sungguh untuk menuju kepada Tuhanmu lalu kamu akan

menemui-Nya.

(QS Al Insyiqaq : 6)

Sesungguhnya bersama kesulitan itu ada kemudahan.

(QS. AL Insyirah : 6)

SANWACANA

Puji dan syukur terlimpah kepada Illahi Robbi, yang telah mencurahkan nikmat iman yang tak terkira harganya, nikmat sehat, dan kekuatan sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi dengan judul “Model Fungsi Transfer Menggunakan Korelasi Silang dan Peramalan pada Volume dan Nilai Impor Provinsi Lampung.”

Dalam menyelesaikan skripsi ini penulis banyak mendapat bantuan dan dukungan dari semua pihak baik secara langsung maupun tidak langsung. Untuk itu penulis ingin menyampaikan rasa hormat dan ucapan terima kasih kepada:

1. Bapak Mustofa Usman, Ph.D., selaku pembimbing I yang setia membimbing, memberikan arahan, ide, saran, kritik, dan dukungannya.

2. Ibu Widiarti, S.Si.,M.Si., selaku pembimbing II yang dengan sabar memberikan kesempatan bagi penulis untuk belajar lebih banyak selama proses pembuatan skripsi ini.

3. Bapak Warsono, Ph.D., selaku penguji, terima kasih atas kritik, saran, dan motivasinya.

4. Bapak Drs. Tiryono Ruby, M.Sc., Ph.D., selaku Ketua Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam serta pembimbing akademik.

5. Bapak Prof. Suharso, Ph.D., selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.

6. Bunda Lusiana yang telah membantu penulis dan memberikan doa.

7. Seluruh dosen, staf, serta karyawan Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.

8. Ayah, Ibu, Eyang, Mba Ayu, Kak Medi, Saskia dan Yuman yang selalu memberikan semangat, doa dan kasih sayang.

9. Umi, Dhia, Udya, Gusti, Iril, Haidir, Joe, Mba Arista, Rika, Aras, Dina, Yuki, Alif dan Nunik yang selalu hadir memberikan keceriaan dalam suka duka penulis.

10. Semua rekan-rekan Jurusan Matematika FMIPA UNILA angkatan 2011. 11. Semua pihak yang telah membantu penulis dalam menyelesaikan skripsi.

Penulis mengharapkan kritik dan saran agar dapat lebih baik di masa mendatang dan semoga ini bermanfaat bagi penelitian dan pengembangan ilmu pengetahuan.

Bandar Lampung, Desember 2015 Penulis,

DAFTAR ISI

Halaman

DAFTAR GAMBAR ... xiv

DAFTAR TABEL ... xv

I. PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakangdan Masalah ... 1

1.2. Batasan Masalah ... 3

1.3. Tujuan Penelitian ... 3

1.4. Manfaat Penelitian ... 4

II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Stasioner ... 5

2.2 Autokovarian dan Autokorelasi ... 6

2.2.1 Autokorelasi ... 7

2.2.2 Autokavarian ... 7

2.2.3 Koefisien Autokorelasi Parsial (PACF) ... 9

2.3 White Noise... 10

2.4 Model ARIMA ... 12

2.4.1 ProsesAutoregressive(AR) ... 12

2.4.2 ProsesMoving Average(MA)... 13

2.4.3 ProsesAutoregressive-Moving Average(ARMA(p,q)) 14 2.4.4 ProsesAutoregressive Intergrated Moving Average (ARIMA (p,d,q)) ... 14

2.5 Model Fungsi Transfer ... 15

2.5.1 Feedback... 17

2.5.2 Fungsi Korelasi Silang ... 18

2.5.3 Prewhitening... 19

2.6 ModelNoise... 20

2.8 Peramalan Model Fungsi Transfer ... 22

III. METODOLOGI PENELITIAN 3.1 Waktu dan Tempat Penelitian ... 23

3.2 Data Penelitian... 23

3.3 Metode Penelitian... 24

IV. HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1 Model Fungsi Transfer ... 26

4.1.1 Prewhitening... 29

4.1.2 Fungsi Korelasi Silang MenggunakanPrewhitening... 30

4.1.3 ModelNoise... 32

4.2 Peramalan Model Fungsi Transfer Menggunakan Korelasi Silang pada Volume dan Nilai Impor Provinsi Lampung ... 34

4.2.1 Identifikasi dataTime Series... 34

4.2.2 Pendugaan Model untuk Volume Impor Provinsi Lampung ... 38

4.2.3 Identifikasi Model Fungsi Transfer Menggunakan Korelasi Silang danPrewhitening... 41

4.2.4 Pendugaan Model Fungsi Transfer ... 42

4.2.5 Diagnostik Model Fungsi Transfer ... 45

4.2.6 Peramalan Model Fungsi Transfer ... 47

V. KESIMPULAN……… 49

DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN

DAFTAR TABEL

Halaman 1. Tabel 4.1 PengujianDickey-Fullerpada Data Volume Impor Provinsi

Lampung ... 35 2. Tabel 4.2 PengujianDickey-Fullerpada Data Nilai Impor Provinsi

Lampung ... 36 3. Tabel 4.3 PengujianDickey-Fullerpada Data Nilai Impor Provinsi

Lampung setelahFirst Differencing... 36 4. Tabel 4.4 PengujianWhite Noisepada Volume Impor Provinsi

Lampung ... 38 5. Tabel 4.5 Output Pendugaan ModelAutoregressiveOrde 2 (AR(2)) . 40 6. Tabel 4.6 Output Pendugaan Model Fungsi Transfer (s= 1) ... 42 7. Tabel 4.7 Output Pendugaan Model Fungsi Transfer (s= 1) dan Model

Noise Moving AverageOrde 3 (MA(3)) ... 44 8. Tabel 4.8 Pengujian Autokorelasi Residual... 45 9. Tabel 4.9 Pengujian Korelasi Silang Residual... 46 10. Tabel 4.10 Peramalan Nilai Impor Provinsi Lampung Januari sampai

DAFTAR GAMBAR

Halaman 1. Gambar 4.1Time SeriesPlot untuk Data Volume Impor Provinsi Lampung

Tahun 2007-2013 ... 34 2. Gambar 4.2Time SeriesPlot untuk Data Nilai Impor Provinsi Lampung

Tahun 2007-2013 ... 35 3. Gambar 4.3 Transformasi Box-Cox untuk Data Volume Impor Provinsi

Lampung ... 37 4. Gambar 4.4 Transformasi Box-Cox untuk Data Nilai Impor Provinsi

Lampung ... 37 5. Gambar 4.5 Grafik ACF untuk Data Volume Impor Provinsi Lampung 39 6. Gambar 4.6 Grafik PACF untuk Data Volume Impor Provinsi Lampung 39 7. Gambar 4.7 Grafik Korelasi Silang antaraPrewhitening dan .... 41 8. Gambar 4.8 Grafik ACF dan PACF Model Awal Fungsi Transfer ... 43

I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Peramalan adalah suatu cara untuk memprediksi apa yang akan terjadi di masa yang akan datang. Sebagian besar peramalan melibatkan penggunaan data time series. Data time series umumnya dikumpulkan secara periodik berdasarkan urutan waktu misalnya dalam jam, hari, minggu, bulan, kuartal dan tahun. Pada data time series tidak hanya menggunakan satu variabel tetapi juga dapat menggunakan banyak variabel. Salah satu model yang digunakan untuk peramalan data time series dengan banyak variabel yaitu model multivariat. Model multivariat sendiri bisa dalam bentuk analisis data bivariat (yaitu data dengan dua variabel) dan dalam bentuk data multivariat (yaitu data dengan lebih dari dua variabel). Salah satu model multivariat pada data bivariat adalah model fungsi transfer.

Model fungsi transfer merupakan salah satu model statistika yang menyatakan bagaimana variabel dependen ( ) linier terhadap satu atau lebih variabel independen ( , , , ). Pada model fungsi transfer variabel input dan output merupakan data

time series. Identifikasi model merupakan langkah awal yang dilakukan dalam membangun model fungsi transfer. Salah satu cara untuk mengidentifikasi yaitu

2

menggunakan korelasi silang. Pada model fungsi transfer variabel input haruslah terkendali. Tetapi pada beberapa kasus, variabel input biasanya tidak terkendali. Untuk mengatasi masalah ini dilakukan prewhitening yaitu penghilangan seluruh pola yang diketahui sehingga yang berpengaruh hanyalah galat acak.

Prewhitening dilakukan dengan membangun terlebih dahulu sebuah model ARIMA (Autoregressive Integrated Moving Average) terhadap variabel input.

Pendugaan model fungsi transfer dilakukan setelah identifikasi model. Pendugaan model ini menghasilkan penduga bagi parameter yang akan diuji. Pengujian kelayakan model dilakukan dengan menguji korelasi silang dan autokorelasi. Setelah itu peramalan baru dapat dilakukan dan pada model fungsi transfer peramalan nilai input digunakan untuk menghasilkan peramalan dari nilai output.

Peramalan merupakan masalah penting yang mencakup berbagai bidang termasuk bisnis, pemerintah, ekonomi, ilmu lingkungan, kedokteran, ilmu sosial, politik, dan keuangan. Alasan bahwa peramalan sangatlah penting yaitu prediksi kejadian masa depan merupakan masukan penting bagi lembaga dalam perencanaan dan proses pengambilan keputusan. Bidang ekonomi dan perdagangan luar negeri merupakan salah satu bidang yang sering mengunakan peramalan dalam pengambilan keputusan.

Perdagangan luar negeri terdiri dari ekspor dan impor barang-barang. Impor merupakan proses memasukan barang atau komoditas dari negara lain ke dalam negeri secara legal. Statistik impor didasarkan pada sistem perdagangan khusus

3

yang meliputi seluruh area geografi Indonesia kecuali zona perdagangan bebas dimana berlaku perdagangan luar negeri. Nilai impor dinyatakan dalam Dollar Amerika (USD) dan mengacu pada nilai Cost Insurance and Freight (CIF). Sedangkan volume impor dinyatakan dalam bentuk berat netto dalam satuan ton. Berdasarkan uraian tersebut penulis tertarik untuk mengkaji model fungsi transfer menggunakan korelasi silang dan menentukan prediksi kejadian masa depan pada volume dan nilai impor di Provinsi Lampung.

1.2 Batasan Masalah

Pada penelitian ini, permasalahan dibatasi pada model fungsi transfer menggunakan korelasi silang dan aplikasi kejadian masa depan pada volume dan nilai impor Provinsi Lampung tahun 2007-2013.

1.3 Tujuan Penelitian

Tujuan dari penelitian ini adalah :

1. Mengkaji model fungsi transfer menggunakan model korelasi silang dan

prewhitening.

2. Menentukan tahapan-tahapan analisis time series pada model fungsi transfer menggunakan korelasi silang.

3. Menetukan model fungsi transfer yang layak pada data volume dan nilai impor Provinsi Lampung.

4

4. Menggunakan model fungsi transfer untuk memprediksi kejadian masa depan pada volume dan nilai impor Provinsi Lampung.

1.4 Manfaat Penelitian

Penelitian ini diharapkan bermanfaat sebagai bahan kajian di dalam mempelajari peramalan menggunakan model fungsi transfer dan aplikasinya pada berbagai bidang. Selain itu, hasil penelitian ini juga diharapkan dapat digunakan sebagai masukan bagi pemerintahan di Provinsi Lampung dalam pengambilan keputusan dan perencanaan di bidang perdagangan luar negeri.

II. TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Stasioner

Analisis ARIMA (Autoregressive Integrated Moving Average) umumnya mengasumsikan bahwa proses umum dari time series adalah stasioner. Tujuan proses stasioner adalah rata-rata, varian dan autokorelasi dari time series nya konstan terhadap waktu. Jika data time series tidak stasioner maka dapat dilakukan modifikasi data menggunakan differencing dan transformasi untuk menghasilkan data yang stasioner. Variabel dan adalah variabel independen dan variabel dependen pada waktu t yang disebut stasioner jika masing-masing variabel adalah proses stasioner univariat dan fungsi kovarian silang antara dan , Cov ( , ) dalam selang waktu yang berbeda yaitu selang waktu t untuk variabel input dan selang waktusuntuk variabel ouput (Wei, 2006).

Time seriesdikatakan stasioner rata-rata jika E( ) = = µ adalah konstan untuk semuat. Jika data tidak stasioner terhadap waktu, dapat dilakukan modifikasi data dengan differencing. merupakan original data time series setelah dilakukan

differencingyang didefinisikan dengan :

6

dimana adalah differencing. Penulisan lain untuk differencing disebut operator

backshiftyang didefinisikan dengan = jadi :

= (1 -B) = = - (2.2)

dengan = (1 -B). Jikadifferencingpertama tidak menghasilkantime seriesyang stasioner maka dapat dilakukandifferencingkedua yaitu :

= = ( ) =(1 ) = (1–2B+ ) = - 2 +

(Montgomeryet al, 2008)

Transformasi data digunakan untuk menstabikan atau mendapatkan varian yang konstan. Transformasi ini disebut transformasiBox-Coxyang didefinisikan oleh :

= (2.3)

Dengan adalah parameter transformasi Box-Cox dan adalah nilai time series pada waktu ke-t. Jika nilai λ = 1 maka tidak ditransformasi atau telah stasioner. Jika nilai λ = 0.5 (transformasi akar kuadrat), λ = 0 (log transformasi), λ = -0.5 (transformasi invers akar kuadrat) dan λ = 1 (transformasi invers) (Pankratz, 2002).

2.2 Autokovarian dan Autokorelasi

Fungsi autokovarian dan autokorelasi pada analisis time series dihasilkan dari kovarian dan korelasi antara dan pada proses yang sama dan terpisah pada intervalk. Intervalkdisebut dengan lag (Wei, 2006).

7

2.2.1 Autokovarian

Kovarian antara dan nilai dari periode waktu disebut dengan autokovarian di lagk. Autokovarian didefinisikan dengan :

= Cov( , ) = E[( )( )] (2.4)

Kumpulan dari nilai , = 1, 2, ... disebut dengan fungsi autokovarian. Jika autokovarian dengan lag k = 0 maka = . Penduga fungsi autokovarian didefinisikan oleh :

= = ( )( ) (2.5)

Dimana = penduga fungsi autokovarian

= nilai variabel y pada periode t

= nilai variabel y pada periode t+k

= nilai rata-rata variabel y

(Montgomeryet al, 2008)

2.2.2 Autokorelasi

Autokorelasi digunakan pada datatime seriesuntuk mengukur bagaimana nilai saling berhubungan dengan nilai masa depan ( , , ) atau sama untuk nilai masa lalu ( , , ). Bentuk autokorelasi pada time series dapat digunakan untuk mengidentifikasi model ARIMA.

8

Koefisien autokorelasi di lagkadalah :

= [( )( )]

[( ) ] [( ) ]=

( , )

( )

= (2.6)

Dengan = 0 dan kumpulan dari nilai ,k= 1, 2, ... disebut fungsi autokorelasi (ACF).

Sampel autokorelasi yang merupakan penduga dari di definisikan dengan :

= ( )( )

( )

= (2.7)

Dimana = penduga dari

= nilai variabel y pada periode t

= nilai variabel y pada periode t+k

= nilai rata-rata variabel y

Tes signifikan untuk koefisien autokorelasi yaitu :

: = = ... = = 0

: ≠ 0, k = 1, 2, ..., K.

Dengan statistik uji :

t =( )

9

( )=(1 + 2 )

2.2.3 Koefisien Autokorelasi Parsial (PACF)

Autokorelasi parsial merupakan hubungan antara dan dengan

mengabaikan ketidakbebasan , , , . Autokorelasi parsial diperoleh

dari persamaan regresi yaitu :

= +

= + +

= + + ... + + (2.8)

Dengan : = parameter regresi ke-i, i = 1, 2, ..., k

= eror dengan rata-rata nol

(Wei, 2006)

Dari persamaan (2.8) dengan mengalikan kedua ruas dan dengan nilai harapan nol, diperoleh :

= + + ... + (2.9)

dan

10

Untuk j = 1, 2, ..., k maka diperoleh persamaan Yule-Walker :

1

1

1

=

Atau

P = (2.11)

Dengan menggunakan aturan Cramer’s dengan k = 1, 2, ... diperoleh :

= = ⋮ = … … ⋮ ⋮ ⋮ … ⋮ ⋮ … … … ⋮ ⋮ ⋮ … ⋮ ⋮ … (2.12)

Dengan merupakan fungsi autokorelasi parsial (Box and Jenkins, 1976).

2.3White Noise

Proses stokastik adalah proses white noise jika E( ) = 0, Var( ) = dan Cov ( , ) = 0 untuk semua t≠k.

11

Sehingga suatu proses disebutwhite noisedengan autokovarian :

= , = 0

0 , ≠ 0

Fungsi autokorelasi :

= 1 , = 0

0 , ≠ 0

Dan fungsi autokorelasi parsial :

= 1 , = 0

0 , ≠ 0

Statistik Q Box Pierce dikembangkan oleh Ljung Box dan digunakan untuk mengetahui apakah autokorelasi residualnya berbeda nyata dari nol. Untuk mengetahui apakah suatu deret memenuhi proses white noise maka dilakukan uji dengan hipotesis :

: = = ... = = 0

:∃ ≠ 0, k = 1, 2, ..., K

Statistik uji : ∗= T(T + 2)∑ ( )

dengan T = banyaknya pengamatan

l = lag waktu

m = banyaknya lag yang diuji

( ) = koefisien autokorelasi pada periode-k

12

2.4 Model ARIMA (Autoregressive Integrated Moving Average)

Persamaan univariat model ARIMA (Autoregressive Integrated Moving Average) menyatakan bagaimana sebuah nilai pada time series adalah linier terhadap nilai masa lalu. Peramalan dapat dihasilkan dari model ARIMA yang layak untuk data

time series.

2.4.1 ProsesAutoregressive(AR)

Proses Autoregressive dikembangkan oleh Box dan Jenkins pada tahun 1976. Proses ini mengasumsikan bahwa time series mempunyai rata-rata konstan dan varian konstan untuk semua waktu, kondisi ini disebut stasioner. Model

Autoregressiveadalah model terbaik untuk peramalan dengan waktu yang pendek (short-term forcasting). Sedangkan untuk peramalan dengan waktu yang cukup panjang (long-term forcasting) menggunakan proses autoregressive tidak begitu baik (Dickey, 1996).

Model Autoregressive dengan orde p dinotasikan dengan AR(p) yang didefinisikan dengan :

= + + + …+ + (2.13)

Dimana = (1 - )µ

µ = parameter rata-rata

13

= nilaitime seriespada periode waktu sebelumnya.

=white noise

Persamaan (2.13) dapat ditulis dengan operatorbackshift( = ) yaitu :

(1 - + + + ) = +

=Ф ( )

Ф ( ) = + (2.14)

(Montgomeryet al, 2008)

2.4.2 ProsesMoving Average(MA)

Pada proses moving average (MA) nilai dari time series saling berhubungan dengan eror dari periode waktu sebelumnya. Berbeda dengan proses

autoregressive, dimana nilai time series saling berhubungan dengan nilai time seriesyang ada dari periode waktu sebelumnya (Dickey, 1996).

Model Moving Average dengan orde q dinotasikan dengan MA(q) yang didefinisikan dengan :

= µ + - - - ... - (2.15)

Dimana µ = parameter konstan

= parametermoving averageordeq(MA(q))

14

= eror untuk periode waktu t.

Persamaan (2.15) dapat ditulis dengan operatorbackshift( = ) :

= µ + (1 - - - ... - )

= µ + (1–∑ )

= µ + Θ(B) (2.16)

Dimana Θ(B) = (1–∑ )

2.4.3 ProsesAutoregressive-Moving Average(ARMA(p,q))

Proses autoregressive-moving average(ARMA(p,q)) didefinisikan oleh :

= + + + …+ + - - ...

-= + ∑ + − ∑

=Ф ( ) =Θ(B)

Atau

Ф ( ) = + Θ(B) (2.17)

2.4.4 ProsesAutoregressive Integrated Moving Average(ARIMA(p,d,q))

Time series dikatakan proses autoregressive integrated moving average

(ARIMA(p,d,q)) jika time series nya tidak stasioner. Untuk mendapatkan time series yang stasioner maka dilakukan differencing pertama yaitu = - =

15

(1 - B) atau differencing dengan order (d) yaitu = ( 1 − ) . Dan akan menghasilkanautoregressive-moving average (ARMA(p,q)).

Sehingga proses ARIMA(p,d,q) dapat didefinisikan dengan :

Ф ( ) ( 1 − ) = + Θ(B) (2.18)

(Montgomeryet al, 2008)

2.5 Model Fungsi Transfer

Model fungsi transfer merupakan salah satu model statistika yang menyatakan bagaimana variabel dependen ( ) linier terhadap satu atau lebih variabel independen ( _{, , ,} …). Model ini menggunakan nilai yang diramalkan (variabel independen) menghasilkan peramalan untuk variabel dependen. Model fungsi transfer sederhana mengasumsikan bahwa sebuah hubungan linier antara variabel independen dan variabel dependen, yaitu peramalan variabel independen pada t+1 menjelaskan prilaku variabel dependen pada t+1. Sedangkan model fungsi transfer umum dikembangkan dari model transfer sederhana untuk menambahkan nilai variabel independen sebelumnya pada model. Contohnya, model fungsi transfer umum bisa menggunakan peramalan variabel independen di t+1 untuk menjelaskan prilaku variabel independen di t+2. Model fungsi transfer umum melibatkan waktu lag yang disebutdelay(Dickey, 1996).

Peramalan variabel independen dibutuhkan untuk peramalan variabel dependen, dengan demikian sangatlah penting jika variabel X independen terhadap variabel Y. Ketergantungan seperti itu disebut feedback. Feedback menyebabkan situasi

16

dimana dibutuhkannya peramalan X untuk peramalan Y dan peramalan Y untuk peramalan X (Brocklebank and Dickey, 2003).

Model fungsi transfer didefinisikan dengan :

= (B) + (2.19)

Dimana = variabel dependen

= variabel independen

(B) =fungsi transfer ( (B) =∑ )

= modelnoise

Tujuan pemodelan fungsi transfer adalah untuk identifikasi dan pendugaan (B)

dannoise menggunakan informasi yang tersedia dari variabel dan . Tetapi terdapat kendala karena variabel dan mempunyai angka yang terbatas sedangkan fungsi transfer (B) mempunyai koefisien yang tidak terbatas. Sehingga fungsi transfer (B)didefinisikan oleh :

(B) =∑ = ( )

( )

= …

…

Sehingga model fungsi transfer ditulis dengan :

= ( )

17

Dimana b adalah sebuah delay. Delay merupakan waktu yang berlalu sebelum implus dari variabel independen yang menghasilkan efek terhadap variabel dependen.

Penduga dari parameter ( ) dan ( ) adalah :

− − − …− = − , = + 1, …, +

0 , > +

Dengan = dan = 0 untukj < b(Montgomeryet al, 2008).

Dari model fungsi transfer untuk dan diasumsikan independen. Modelnoise

dapat ditulis dengan model ARIMA (p,d,q). Sehingga model fungsi transfer dapat ditulis kembali dengan :

= ( )

( ) +

( )

φ ( ) (2.21)

(Pankratz, 2002)

2.5.1Feedback

Satu asumsi pada model fungsi transfer adalah tidak adanya arah (exogeneity) pada hubungan variabel independen dan dependen. Dengan kata lain, tidak adanya

feedback antara variabel dependen untuk variabel independen. Salah satu tes untuk pengujian exogeneity adalah Grenger Causality. Ketika dua time series

saling berhubungan, maka perlu diketahui bahwa X adalah exogenous pada Y atauX haruslah independen terhadapY. Pengujian feedbackdapat juga diperoleh menggunakan fungsi korelasi silang. Jika fungsi korelasi silang memiliki bentuk

18

yang signifikan pada lag negatif, artinya terdapat arah hubungan antaraexogenous

danendogenousatau adanyafeedback(Yaffee and McGee, 1999).

2.5.2 Fungsi Korelasi Silang

Fungsi kovarian silang untuktime seriesbivariat ( , ) didefinisikan dengan :

, ( , ) = Cov( , ) (2.22)

Diasumsi kan bahwa ( , ) adalah stasioner maka :

E( ) =μ , konstan untuk semuat

E( ) =μ , konstan untuk semuat

Cov( , ) = ( ), hanya padaj

Cov( , ) = ( ), hanya padaj

Cov( , ) = ( ), hanya padajdenganj= 0,± 1, ± 2, …

Fungsi korelasi silang didefinisikan oleh :

( ) = corr( , ) = ( )

( ) ( )

, untuk j= 0,± 1, ± 2, … (2.23)

Penduga kovarian silang didefinisikan oleh :

= ( ) = ∑ ( − ̅) ( − ) untukj= 0,1, 2, … (2.24)

19

Sampel korelasi silang diduga dengan :

( ) = ( ) = ( )

( ) ( )

, untuk j= 0,± 1, ± 2, …

( ) = ( ) (2.26)

Dimana ( 0) = ∑ ( − ̅) dan ( 0) = ∑ ( − )

(Montgomeryet al, 2008)

2.5.3Prewhitening

Filter prewhitening adalah sebuah invers transformasi antara variabel input dan

white noise. Jika terdapat autokorelasi pada variabel input maka dibutuhkan

prewhitening. Prewhitening juga digunakan untuk menghilangkan autokorelasi pada saat fungsi korelasi silang. Dimana hubungan antaraprewhitenedoutput dan

prewhitnedinput adalah fungsi dinamis dari inputwhite noiseyang tidak memiliki autokorelasi dalam fungsi korelasi silangnya (Yaffee and McGee, 1999).

Untuk model fungsi transfer, diberikan mengikuti model ARMA yaitu :

( ) ( 1 − ) = (B)

= (B)

= ( ) (B) (2.28)

Dimana adalah white noise dengan varian . Pada persamaan (2.28) notasi ( ) (B) adalah sebuah filter yang digunakan untuk menghasilkan

20

white noise yang disebut prewhitening. Dengan menggunakan filterprewhitening

untuk model fungsi transfer maka diperoleh :

( ) (B) = ( ) (B) (B) + ( ) (B)

= = *

= (B) + * (2.29)

Penduga korelasi silang untuk ialah :

= ( ) (2.30)

Dengan = korelasi silang antaraprewhitening dan

j = lag waktu

= standar deviasi dariprewhitening

= standar deviasi dariprewhitening

(Montgomeryet al, 2008)

2.6 ModelNoise

Berdasarkan persamaan (2.23) model noise ditulis mengikuti model ARIMA (p,d,q) yaitu :

( ) ( 1 − ) = (B)

= (B)

(B) = (B)

= ( )

21

Penduga korelasi silang menggunakanprewhiteninguntuk modelnoiseadalah :

∗ ∗( ) =

( ) ∑ ( ) ( )

∑ ( ) (2.31)

(Box and Jenkins, 1976)

2.7 Diagnostik Model Fungsi Transfer

Dalam model fungsi transfer diperlukan pengujian kelayakan model sebelum model digunakan untuk peramalan. Pengujian kelayakan model fungsi transfer dilakukan pada residual dari model white noisedan residual dariprewhited

output.

1. Pengujian korelasi silang.

Kelayakan model diperoleh jika sampel fungsi korelasi silang ( ) antara tidak menunjukan bentuk. Test yang digunakan adalah :

= m(m + 2)∑ − ( )

Dimana mengikuti distribusi chi-square dengan (K + 1) – M derajat kebebasan, dimana m = n + +1.

2. Pengujian autokorelasi.

Kelayakan model diperoleh jika residual pada ACF dan PACF tidak menunjukan bentuk. Test yang digunakan adalah :

= m(m + 2)∑ ( − ) ( )

Dimana mengikuti distribusi chi-square dengan (K – p - q) derajat kebebasan (Wei, 2006).

22

2.8 Peramalan Model Fungsi Transfer

Minimum peramalan MSE (Mean Squared Error) pada model fungsi transfer didefinisikan dengan :

=∑ * +∑ (2.32)

Dengan eror peramalannya adalah :

( ) = − ( )

=∑ * +∑ (2.33)

III. METODOLOGI PENELITIAN

3.1 Waktu dan Tempat Penelitian

Penelitian ini dilakukan pada semester ganjil tahun akademik 2015/2016, yang bertempat di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.

3.2 Data Penelitian

Data yang digunakan pada penelitian ini adalah data sekunder, yaitu data volume dan nilai impor di Provinsi Lampung tahun 2007-2013. Sumber data diperoleh dari Badan Pusat Statistika Provinsi Lampung. Data volume dan nilai impor dikumpulkan secara periodik berdasarkan bulan, yaitu dari bulan Januari sampai bulan Desember. Pada penelitian ini, volume impor sebagai variabel independen dan nilai impor sebagai variabel dependen. Sehingga terdapat 84 pengamatan untuk masing-masing variabel.

2

3.3 Metode Penelitian

Langkah-langkah yang digunakan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut :

1. Mengkaji model fungsi transfer menggunakan korelasi silang.

2. Menggunakan model fungsi transfer untuk memprediksi kejadian masa depan pada volume dan nilai impor Provinsi Lampung.

a. Identifikasi datatime series.

i. Plottime seriesdan pengujian stasioner.

Pengujian stasioner terhadap mean menggunakandifference

dilakukan jika akar-akar unit nya lebih dari (taraf nyata). Sedangkan pengujian stasioner terhadap varian menggunakan

transformasi dilakukan jika nilai lamda (λ)≠1.

ii. Pengujian autokorelasi untuk variabel independen.

Jika uji hipotesiswhite noiseditolak (p-value < 0.05) maka mengindikasikan bahwa datatime seriestidakwhite noiseatau terdapat autokorelasi.

b. Pendugaan model untuk variabel input.

c. Identifikasi model fungsi transfer menggunakan korelasi silang dan

prewhitening.

i. Pengujianfeedbackpada model fungsi transfer. ii. Menentukan adanyadelay.

iii. Menentukan parameter numerator dan parameter denominator yang dibutuhkan untuk model fungsi transfer.

25

d. Pendugaan model fungsi transfer. e. Diagnostik model fungsi transfer.

f. Prediksi kejadian masa depan atau peramalan berdasarkan model fungsi transfer.

V. KESIMPULAN

Berdasarkan pembahasan pada bab sebelumnya, maka dapat disimpulkan beberapa hal sebagai berikut :

1. Tahapan membangun model fungsi transfer dengan menggunakan korelasi silang dilakukan dengan tiga tahap strategi yaitu identifikasi model, pendugaan model dan diagnostik atau kelayakan model. Model fungsi transfer dapat digunakan untuk peramalan jika model tersebut telah layak atau memadai.

2. Model fungsi transfer menggunakan korelasi silang perlu dilakukan

prewhitening jika terdapat autokorelasi atau white noise pada variabel independen, agar memperoleh korelasi silang yang tidak memiliki autokorelasi.

3. Model fungsi transfer menggunakan korelasi silang yang diperoleh dari data volume dan nilai impor Provinsi Lampung yaitu :

= 0.65374 - 0.65762 + (1 - 0.42341 + 0.02164

✁0

4. Hasil peramalan dengan model fungsi transfer menggunakan korelasi silang pada data nilai impor Provinsi Lampung tahun 2014 mengalami peningkatan pada bulan Januari dan November dibandingkan dengan nilai impor Provinsi Lampung pada tahun 2013 dan dibulan lainnya mengalami penurunan. Sedangkan peramalan nilai impor Provinsi Lampung tahun 2015 mengalami peningkatan pada setiap bulannya, dibandingkan hasil peramalan tahun 2014 yang mengalamai kenaikan dan penurunan.

DAFTAR PUSTAKA

Box, G.E. dan Jenkins, G.M. 1976.Time Series Analysis Forecasting and Control. Holden Day, Inc., California.

BPS, 2014. Lampung Dalam Angka 2014. Badan Pusat Statistik Provinsi Lampung, Lampung.

Brocklebank, J.C. dan Dickey, D.A. 2003.SAS for Forecasting Time Series. SAS Institute, Inc., USA.

Dickey, A. 1996.Forecasting Examples for Business and Economics using the SAS. SAS Institute, Inc., USA.

Kirchgassner, G. dan Wolters, J. 2007.Introduction to Modern Time Series Analysis. Pearson Education, Inc., Berlin.

Montgomery, D.C., Jennings, C.L. dan Kulahci, M. 2008.Introduction to Time Series Analysis and Forecasting.John Wiley and Sons, Inc., New Jersey. Pankratz, A. 2002.Forecasting with Dynamic Regression Models. John Wiley and

Sons, Inc., Canada.

Wei, W.S. 2006.Time Series Analysis Univariate and Multivariate Methods. Pearson Education, Inc., New York.

Yafee, R.A. dan McGee, M. 1999.Introduction to Time Series Analysis and Forecasting with Applications with SAS and SPSS. Academic Press, Inc. New York.

25

d. Pendugaan model fungsi transfer. e. Diagnostik model fungsi transfer.

f. Prediksi kejadian masa depan atau peramalan berdasarkan model fungsi transfer.

V. KESIMPULAN

Berdasarkan pembahasan pada bab sebelumnya, maka dapat disimpulkan beberapa hal sebagai berikut :

1. Tahapan membangun model fungsi transfer dengan menggunakan korelasi silang dilakukan dengan tiga tahap strategi yaitu identifikasi model, pendugaan model dan diagnostik atau kelayakan model. Model fungsi transfer dapat digunakan untuk peramalan jika model tersebut telah layak atau memadai.

2. Model fungsi transfer menggunakan korelasi silang perlu dilakukan prewhitening jika terdapat autokorelasi atau white noise pada variabel independen, agar memperoleh korelasi silang yang tidak memiliki autokorelasi.

3. Model fungsi transfer menggunakan korelasi silang yang diperoleh dari data volume dan nilai impor Provinsi Lampung yaitu :

= 0.65374 - 0.65762 + (1 - 0.42341 + 0.02164 -0.37571 )

✁0

4. Hasil peramalan dengan model fungsi transfer menggunakan korelasi silang pada data nilai impor Provinsi Lampung tahun 2014 mengalami peningkatan pada bulan Januari dan November dibandingkan dengan nilai impor Provinsi Lampung pada tahun 2013 dan dibulan lainnya mengalami penurunan. Sedangkan peramalan nilai impor Provinsi Lampung tahun 2015 mengalami peningkatan pada setiap bulannya, dibandingkan hasil peramalan tahun 2014 yang mengalamai kenaikan dan penurunan.

DAFTAR PUSTAKA

Box, G.E. dan Jenkins, G.M. 1976.Time Series Analysis Forecasting and Control. Holden Day, Inc., California.

BPS, 2014. Lampung Dalam Angka 2014. Badan Pusat Statistik Provinsi Lampung, Lampung.

Brocklebank, J.C. dan Dickey, D.A. 2003.SAS for Forecasting Time Series. SAS Institute, Inc., USA.

Dickey, A. 1996.Forecasting Examples for Business and Economics using the SAS. SAS Institute, Inc., USA.

Kirchgassner, G. dan Wolters, J. 2007.Introduction to Modern Time Series Analysis. Pearson Education, Inc., Berlin.

Montgomery, D.C., Jennings, C.L. dan Kulahci, M. 2008.Introduction to Time Series Analysis and Forecasting.John Wiley and Sons, Inc., New Jersey. Pankratz, A. 2002.Forecasting with Dynamic Regression Models. John Wiley and

Sons, Inc., Canada.

Wei, W.S. 2006.Time Series Analysis Univariate and Multivariate Methods. Pearson Education, Inc., New York.

Yafee, R.A. dan McGee, M. 1999.Introduction to Time Series Analysis and Forecasting with Applications with SAS and SPSS. Academic Press, Inc. New York.