HUBUNGAN ANTARA GRAF TIDAK KOMUTATIF DAN GRAF PRIMA PADA GRUP BERHINGGA TIDAK KOMUTATIF
HUBUNGAN ANTARA GRAF TIDAK KOMUTATIF DENGAN GRAF
PRIMA PADA GRUP BERHINGGA TIDAK KOMUTATIF
(Skripsi)
Oleh
AHMAD ANTONI
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS LAMPUNG
BANDAR LAMPUNG
2015
ABSTRACT
ON THE RELATION BETWEEN THE NON-COMMUTING GRAPH AND
PRIME GRAPH OF NON-ABELIAN FINITE GROUP
By
AHMAD ANTONI
Given a non-abelian finite group �. Let � � be the center of group �. Noncommuting graph of group � is graph with vertex set �\� � where distinct noncentral element and from group � are joined by an edge if only if
≠ .
Let � � denote the set of prime divisors of the order group �. Prime graph of
group � is vertex set � � where distinct prime and are joined by edge if only
if group � contains an element order . Let � and be non- abelian finite group
| then group � and
with isomorphic non-commuting graph and |� � | = |�
have the set of orders of maximal abelian subgroup � � = �
and the same
prime graph �� � = ��
.
Keywords : Non - abelian finite group, Non-Commuting graph, Prime Graph,
Center, maximal abelian subgroup.
ABSTRAK
HUBUNGAN ANTARA GRAF TIDAK KOMUTATIF DAN GRAF PRIMA
PADA GRUP BERHINGGA YANG TIDAK KOMUTATIF
Oleh
AHMAD ANTONI
Diberikan grup berhingga yang tidak komutatif �. Misalkan � � adalah center
dari grup �. Graf tidak komutatif dari grup � adalah graf dengan himpunan
vertex �/� � dimana untuk setiap elemen dan yang bukan center dari grup
� dihubungkan dengan suatu garis jika dan jika
≠ . Misalkan � � adalah
himpunan pembagi prima dari orde grup �, graf prima dari grup � adalah graf
dengan himpunan titik � � dimana dua bilangan prima dan dihubungkan
dengan suatu garis jika dan hanya jika grup � memuat elemen dengan orde .
Misalkan graf tidak komutatif �(Γ � ) isomorfis dengan graf tidak komutatif
(Γ
) dan |� � | = |�
| maka grup � dan
mempunyai himpunan orde
subgrup maksimal komutatif yang sama � � = �
dan mempunyai graf
prima yang sama �� � = ��
.
Kata Kunci
: Grup berhingga tidak komutatif, Graf tidak komutatif, Center,
Orde subgrup maksimal komutatif, Graf prima.
MOTO
“ Kemarin adalah sejarah, hari ini adalah Anugrah , Esok
adalah Misteri ”
“ Berangkat dengan penuh keyakinan. Berjalan dengan penuh
keikhlasan. Istiqomah dalam menghadapi cobaan. YAKIN,
IKHLAS, ISTIQOMAH ”
“ Jangan lihat masa lampau dengan penyesalan; jangan pula
lihat masa depan dengan ketakutan; tapi lihatlah sekitar
anda dengan penuh kesadaran ”
" Musuh yang paling berbahaya di atas dunia ini adalah
penakut dan bimbang. Teman yang paling setia, hanyalah
keberanian dan keyakinan yang teguh."
(Andrew Jackson)
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Kalirejo, Negeri Katon Pesawaran pada tanggal 2 Desember 1991,
anak kedua dari lima bersaudara pasangan Bapak Jupran dan Ibu Asmawati.
Pendidikan formal dimulai dari pendidikan dasar di SD Negeri 1 Kalirejo pada tahun
1997 dan diselesaikan pada tahun 2003, dilanjutkan ke pendidikan tingkat menengah
pertama di SMP Negeri 2 Negeri Katon dan diselesaikan pada tahun 2006. Kemudian
dilanjutkan ke pendidikan tingkat menengah di SMA Negeri 1 Gading Rejo Pringsewu
diselesaikan pada tahun 2009. Setelah lulus dari SMA, penulis bekerja selama dua tahun
sebagai pegawai honorer di Kantor Pelayanan Kekayaan Negara dan Lelang Bandar
Lampung. Pada tahun 2011, penulis melanjutkan studi ke perguruan tinggi di Jurusan
Matematika Fakultas MIPA Universitas Lampung melalui jalur SNMPTN.
Selama menjadi mahasiswa, penulis pernah menjadi Anggota Muda Gematika
HIMATIKA FMIPA dan menjadi Kepala Bidang Kaderisasi HIMATIKA FMIPA pada
tahun 2012-2013. Pada tahun ketiga, Penulis diberikan amanah menjadi Ketua Umum
HIMATIKA FMIPA 2013-2014. Selain aktif dalam berbagai kegiatan kampus di
lingkungan FMIPA , Penulis juga selalu mendapatkan beasiswa PPA dan beasiswa BBM.
Sebagai bentuk aplikasi dari ilmu yang telah di dapatkan, penulis melakukan kerja praktik
di Kantor Pelayanan Kekayaan Negara dan Lelang Bandar Lampung pada tahun 2014.
Selain itu penulis juga melakukan Kuliah Kerja Nyata (KKN) di desa Sumber Agung
Kecamatan Kemiling , Bandar Lampung sebagai salah satu bentuk Tri Dharma Perguruan
Tinggi yaitu pengadian Masyarakat.
PERSEMBAHAN
Bismillahirrohmanirrohim
Dengan Rahmat Allah yang Maha Pengasih Lagi Maha Penyayang,
Dengan ini saya persembahkan karya ini kepada :
1. Orang-orang yang sangat spesial yaitu kedua orangtuaku Bapak Jupran
dan Ibu Asmawati, Kakakku Aswan Irawan dan Adik-adikku Liana, Desta
dan Hafiz yang sangat aku sayangi dan aku cintai.
2. Orang yang ada di hati dan berarti dalam kehidupanku “ Lia Lionita ”.
3. Keluarga besar Matematika angkatan 2011 dan keluarga besar
HIMATIKA FMIPA Universitas Lampung.
SANWACANA
Alhamdulillahi robbil ‘alamin, puji dan syukur penulis ucapkan kepada Allah
SWT atas izin ridho-Nya dalam menyelesaikan skripsi ini. Shalawat juga salam
atas Nabi Muhammad SAW, tuntunan dan tauladan utama.
Pada proses penyusunan skripsi ini, penulis memperoleh banyak dukungan, kritik,
dan saran yang membangun sehingga skripsi ini mampu penulis selesaikan. Untuk
itu penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada :
1.
Bapak Ahmad Faisol, S.Si., M.Sc. selaku dosen pembimbing utama yang
telah meluangkan waktu dari padatnya kesibukan beliau untuk membimbing
dan mengoreksi, hingga skripsi ini selesai.
2.
Ibu Dr.Asmiati., S.Si., M.Si. selaku dosen pembimbing pembantu yang telah
banyak membantu dan memberikan pengarahan dalam proses penyusunan
skripsi ini.
3.
Ibu Dra. Wamiliana, M.A., Ph.D. selaku dosen penguji bukan pembimbing
yang memberi penulis masukan dan saran.
4.
Bapak Drs. Tiryono Ruby, M.Sc., Ph.D., selaku Ketua Jurusan Matematika
FMIPA Universitas Lampung.
5.
Bapak Warsono, Ph.D selaku pembimbing akademik.
6.
Bapak Prof. Suharso, Ph.D., selaku dekan FMIPA Universitas Lampung.
7.
Dosen, staf dan karyawan Jurusan Matematika FMIPA UNILA yang telah
memberikan ilmu pengetahuan dan bantuan kepada penulis.
8.
Bapak, Ibu, Kakak Iwan, Liana, Desta dan Hafiz yang telah memberikan dukungan
secara finansial dan moril, mengirimkan doa, nasehat dan semangat yang sangat
membantu selama penyusunan skripsi.
9.
Rekan-rekan presidium dan pimpinan HIMATIKA FMIPA 2013-2014 ,Tiwul,
Rizka, Dias, Riyama, Selvi, Anwar, Audi, Joko, Ekazul, Gusti, Khairil, Triani,
Novia, Dian dan Sherly yang telah berjuang bersama-sama membesarkan
HIMATIKA.
10. Tempat khusus untuk Lia Lionita yang selalu ada di hati dan terus memberikan
semangat sampai selesainya skripsi ini.
11. Teman curhat dan maen abang Erick , adek Reno dan seluruh teman – teman Math
11 serta keluarga besar HIMATIKA FMIPA Universitas Lampung.
12. Semua pihak yang telah membantu selama ini, yang tidak dapat disebutkan satu
persatu.
Bandar Lampung,
Penulis
Ahmad Antoni
Februari 2015
DAFTAR ISI
halaman
DAFTAR TABEL ......................................................................................... xi
DAFTAR GAMBAR ..................................................................................... xii
DAFTAR SIMBOL ....................................................................................... xiii
I.
PENDAHULUAN ..................................................................................
1.1 Latar Belakang dan Masalah .............................................................
1.2 Tujuan Penelitian ..............................................................................
1.3 Batasan Masalah ................................................................................
1.4 Manfaat Penelitian ............................................................................
1
1
3
3
3
II. TINJAUAN PUSTAKA ......................................................................... 4
2.1 Grup .................................................................................................. 4
2.2 Graf ................................................................................................... 12
III. METODOLOGI PENELITIAN ........................................................... 19
3.1 Waktu dan Tempat Penelitian ........................................................... 19
3.2 Metode Penelitian ............................................................................ 19
IV. HASIL DAN PEMBAHASAN .............................................................. 21
V. KESIMPULAN DAN SARAN .............................................................. 30
5.1 Kesimpulan ........................................................................................ 30
5.2 Saran .................................................................................................. 30
DAFTAR PUSTAKA
DAFTAR TABEL
Tabel
halaman
2.1 Contoh graf Prima �� � ..........................................................................
2.2 Tabel Cayley grup Dihedral �6 .................................................................
2.3 Tabel Cayley grup Simetri � ...................................................................
4.1 Tabel Cayley grup Simetri �8 ...................................................................
4.2 Tabel Cayley grup Simetri � ...................................................................
15
16
18
26
27
DAFTAR GAMBAR
Gambar
halaman
2.1 Graf dengan � � = {� , � , � , � } dan
� = {� , � , � , � } ........
12
2.3 Graf dengan � = { � , � , � , � , � , �6 , � } ............................................
13
2.2 � isomorfis dengan � tapi tidak isomorfis dengan � ..........................
2.4 Graf prima ��
13
..................................................................................
14
2.5 Graf tidak komutatif grup �6 ....................................................................
17
2.6 Graf tidak komutatif grup � ......................................................................
4.1 Graf tidak komutatif pada grup �8 ............................................................
4.2 Graf tidak komutatif pada grup � ............................................................
4.3 Graf Prima �� �8 ...................................................................................
4.4 Graf Prima �� �
...................................................................................
18
26
28
29
29
DAFTAR SIMBOL
Simbol
ℂ
Himpunan bilangan kompleks
ℤ
Himpunan bilangan bulat
ℝ
Himpunan bilangan real
ℚ
Bilangan bilangan rasional
�
�
Arti Simbol
ℝ
�, ℝ
�,∗
≅
Himpuan matriks atas bilangan real dengan ukuran ���
Grup matriks ��� yang dapat di balik (General Lineral )
Grup � dengan operasi *
Grup siklik dengan pembangun
Isomorfis
|�|
Orde dari grup �
��
Grup Alternating
2�
�
Grup Dihedral
Grup simetri
Rotasi pada grup dihedral
Pencerminan pada grup dihedral
⊂
�
�
�
≤
Γ G
�
�
�
\
Subset
Center dari grup �
Centralizer A pada grup �
Subgrup
Graf tidak komutatif dari grup �
Graf prima dari grup �
Himpunan orde subgrup maksimal komutatif dari grup �
Himpunan bebas maksimal
dikurang dengan
Subgrup maksimal komutatif
∈
Anggota atau elemen
∀
Setiap atau semua
∃
Tedapat atau beberapa
�
Vertex atau himpunan titik
≠
Tidak sama dengan
Edge atau himpuanan garis
Gabungan
Irisan
I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang dan Masalah
Secara historis aljabar dapat dibagi menjadi dua periode waktu dengan batas
waktu sekitar tahun 1800. Aljabar yang dibicarakan sebelum abad ke-19 disebut
aljabar klasik, sedangkan aljabar setelah abad ke-19 hingga sekarang disebut
dengan aljabar modern atau sruktur aljabar. Struktur aljabar adalah himpunan atau
beberapa himpunan yang dilengkapi dengan suatu operasi atau lebih yang
memenuhi aksioma-aksioma tertentu. Grup adalah salah satu contoh struktur
aljabar.
Grup adalah suatu himpunan dengan operasi biner yang memenuhi aksiomaaksioma tertentu. Berdasarkan jumlah elemen-elemennya, grup dibagi menjadi
dua yaitu grup hingga ( finite group) dan grup tak hingga (infinite group). Grup
hingga adalah grup yang elemennya berhingga sedangkan grup tak hingga adalah
grup yang jumlah elemen-elemennya tak hingga.
Teori graf adalah salah satu cabang ilmu matematika yang berkaitan erat dengan
masalah yang terjadi dalam kehidupan sehari-hari. Teori graf muncul sejak tahun
1736 yang diperkenalkan oleh matematikawan Swiss yang bernama Leonard
Euler. Euler memberikan solusi terhadap masalah jembatan Konigsberg yang
2
terkenal di Eropa. Masalah jembatan Konisberg dapat dinyatakan sebagai berikut :
terdapat empat daerah yang terletak di tepi sungai Pregel, Rusia yang
dihubungkan dengan tujuh jembatan. Masalah dimulai ketika seseorang ingin
melewati tujuh jembatan yang menghubungkan empat daerah tersebut tepat satu
kali dan kembali ke tempat semula. Masalah tersebut diselesaikan oleh Euler
dengan menyatakan daerah sebagai titik atau vertex dan jembatan dinyatakan
sebagai garis atau edge.
Teori graf dapat didekati dengan pendekatan secara aljabar. Pendekatan ini
dilakukan dengan mengkaji sifat-sifat yang ada di dalam graf tersebut. Sebagai
contoh adalah graf prima dan graf tidak komutatif.
Graf tidak komutatif adalah suatu graf yang dibangun dari suatu grup dengan
himpunan titiknya adalah elemen dari suatu grup dikurangai dengan center dari
grup tersebut. Kemudian setiap titik dihubungkan dengan suatu garis jika dan
hanya jika untuk setiap elemen dari grup tanpa center bersifat tidak komutatif.
Graf Prima adalah suatu graf yang dibangun dari suatu grup dengan himpunan
titik adalah himpunan pembagi prima dari dua bilangan prima berbeda dan
dihubungkan dengan suatu garis jika dan hanya jika grup tersebut memuat elemen
dari hasil kali dua bilangan prima tersebut.
Pada tahun 2006, Abdollahi meneliti tentang sifat-sifat graf tidak komutatif
diantaranya : jika diberikan dua grup berhingga yang tidak komutatif � dan
sedemikian sehingga graf tidak komutatif Γ � ≅ Γ
, maka
mempunyai
sifat ℘ apabila � juga mempunyai sifat ℘ dan orde dari � sama dengan orde dari
. Penelitian lain dilakukan oleh Iranmanesh dan Jafarzadeh (2008) , graf
3
komutatif dari suatu grup berhingga � yang tidak komutatif tidak terhubung
dengan suatu garis jika dan hanya jika graf prima � tidak terhubung dan center
dari � adalah satu.
Dari pengertian graf tidak komutatif dan graf prima serta penelitian – penelitian
yang sebelumnya, penulis tertarik untuk mengkaji hubungan kedua graf tersebut
berdasarkan kajian teori grup dan teori graf.
1.2 Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah mengkaji hubungan antara graf tidak komutatif
dengan graf prima.
1.3 Batasan Masalah
Penelitian ini hanya membahas tentang graf tidak komutatif dan graf prima pada
grup berhingga tidak komutatif.
1.4 Manfaat Penelitian
Melalui penelitian ini diharapkan menambah pengetahuan tentang graf tidak
komutatif dan graf prima.
II. TINJAUAN PUSTAKA
Pada bagian ini akan disajikan beberapa teori dasar yang digunakan sebagai
landasan teori penelitian ini yaitu teori grup dan teori graf. Pada bagian pertama
akan dibahas tentang teori grup.
2.1 Grup
Operasi penjumlahan pada himpunan bilangan bulat ℤ dapat dipandang sebagai
suatu fungsi yang memetakan ℤ
,
ℤ ke ℤ. Dengan kata lain, pasangan terurut
∈ ℤ ℤ akan dipetakan tepat satu kali ke
+
∈ ℤ . Operasi penjumlahan
bilangan bulat ini merupakan salah satu contoh dari operasi biner. Diberikan
himpunan tak kosong , operasi biner * pada himpunan
suatu fungsi yang memetakan
dinotasikan sebagai
∗
ke S. Untuk setiap
(Fraleigh,1999).
didefiniskan sebagai
,
∈
, ∗
,
Contoh 2.1.1
1. Misalkan � ℝ adalah himpunan semua matriks bujur sangkar berorde 2
dengan unsur-unsurnya adalalah bilang real. Penjumlahan matriks “ + ”
adalah operasi biner pada � ℝ .
2. Operasi penjumlahan biasa pada bilangan real ℝ merupakan operasi biner.
5
Pada himpunan bilangan bilangan bulat ℤ dengan suatu operasi biner +
(penjumlahan) dapat dilihat beberapa sifat yang terpenuhi di dalamnya. Salah satu
sifatnya, penjumlahan bilangan bulat bersifat asosiatif. Di dalam himpunan
bilangan bulat terdapat bilangan 0 dengan sifat untuk sebarang bilangan bulat jika
ditambahakan dengan 0, maka hasilnya adalah bilangan bulat itu sendiri. Sifat
selanjutnya untuk sebarang bilangan bulat terdapat bilangan bulat lain yang
apabila dijumlahkan hasilnya adalah 0. Sifat-sifat himpunan bilangan bulat
tersebut memotivasi lahirnya konsep teori grup.
Suatu grup
,∗ adalah himpunan
yang tertutup terhadap operasi biner * ,
sedemikian sehingga memenuhi aksioma-aksioma berikut :
1.
2.
Untuk semua , ,
berlaku
Terdapat suatu elemen identitas
berlaku
3.
∈
∗
Untuk setiap
∗ ’ =
’∗
=
∈
∗
=
.
∗
∗
∗
∗
.
sedemikian sehingga untuk semua � ,
terdapat suatu elemen
= .
=
′
∈
sedemikian sehingga
(Adkins dan Weintraub, 1992) .
Contoh 2.1.2
1. Himpunan ℤ, ℚ dan ℝ merupakan grup terhadap operasi penjumlahan.
ℝ \{0}, ℚ \{0} dan ℂ\{0} adalah grup terhadap operasi perkalian.
2. Misalkan S adalah matriks ukuran 2 x 2 dan didefinisikan
= {
; , , ,
adalah contoh dari grup.
∈ }. Operasi penjumlahan matriks
,+
6
3. Himpunan semua matriks berukuran � � yang dapat dibalik merupakan
grup terhadap operasi perkalian matriks. Grup ini dinamakan general
linear group berderajat � dan dinotasikan
�, ℝ .
Dalam grup ( ,∗ terdapat himpunan bagian yang lebih kecil, sebagai contoh grup
(ℤ, +) adalah himpunan bagian dari grup (ℚ , +). Hal ini mendasari pendefinisian
dari suatu subgrup. Subgrup diartikan sebagai himpunan bagian dari suatu grup
yang juga merupakan grup terhadap operasi yang sama.
Jika
merupakan himpunan bagian dari grup
pada
dan jika terhadap operasi biner yang sama pada , maka
subgrup
dan dinotasikan dengan
(Adkins dan Weintraub, 1992).
≤
atau
yang tertutup pada operasi biner
<
tetapi
dikatakan
≠
Contoh 2.1.3 :
1. ℤ ≤ ℚ dan ℚ ≤ ℝ terhadap operasi penjumlahan.
2. Diketahui ℤ = { , , , , , } merupakan grup terhadap operasi biner
+
penjumlahan modulo 6. Misalkan
Dengan operasi biner yang sama + ,
3.
= { , , }. Jelas bahwa
merupakan grup sehingga
⊂ℤ .
≤ ℤ .
= { 0,1,2,3,4,5,6,7 }merupakan himpunan semua kelas bilangan bulat
modulo 8.
dengan operasi penjumlahan modulo 8 adalah suatu grup.
Maka (�, +8) merupakan subgrup dari ( , +8) dengan � = { 0, 2, 4, 6 }.
7
Tidak semua grup ( ,∗ memiliki subgrup. Subgrup memiliki beberapa kriteria
yang harus dipenuhi. Himpunan bagian
dari grup
merupakan subgrup jika
dan hanya jika :
≠ ∅
1.
2. Untuk setiap
,
∈
,
−
∈
(Adkins dan Weintraub, 1992).
Contoh 2.1.4
= { �|� ∈ ℤ } terhadap operasi
1. Himpunan bilangan genap
penjumlahan adalah subgrup dari grup ℤ.
2. Diberikan grup �
matriks dan
Misalkan
={
�
={
�
|| | ≠
|| | = }.
} terhadap operasi perkalian
adalah subgrup dari �
.
,∗ adalah suatu grup, banyaknya unsur-unsur dari grup
disebut orde dari grup
,∗ , dilambangkan dengan | |.
,∗
,∗ disebut grup hingga
bila | | berhingga dan disebut grup tak hingga bila | | tak hingga ( Dummit,
2004).
Contoh 2.1.5
1. Orde dari ℤ = {0,1,2} adalah |ℤ | = .
2. Orde dari grup simetri
adalah sebanyak |S | =3! = 6.
Beberapa contoh grup berhingga yaitu grup Alternating
(simple group ), grup dihedral
Chevalley ) yang terdiri dari
�
�
, grup sederhana
, grup tipe Lie Chevalley ( Lie Type
�,
,
�,
,
�,
, dan
Ω� �,
8
dan grup sporadic yang terdiri dari grup Mathieu � , � , � , �
�
,
�
,
,
,
,
,
( Tits Group) yang terdiri dari
Suzuki ( Sz), grup Janko
�
, grup Tits
,
�
,
, grup McLaughin (McL).
Contoh 2.1.6
1. Grup dihedral
�
untuk � = , , , … , � adalah grup permutasi yang
mempertahankan bentuk geometri dari segi-n beraturan terhadap rotasi
dan pencerminan
. Orde dari grup dihedral
2. Grup Alternating
grup simetri
�
�
�
adalah sebanyak 2n.
untuk � = , , , … , � adalah permutasi genap dari
dengan orde sebanyak
�!
.
Selain orde grup, suatu elemen pada grup juga memiliki orde. Orde dari suatu
elemen
dalam suatu grup
sedemikian sehingga
�
=
,∗ adalah bilangan bulat positif terkecil �,
( = , untuk perkalian) dan � =
( = 0, untuk
penjumlahan). Bila tidak ada bilangan seperti � tersebut, maka orde dari unsur
tersebut tak hingga ( Dummit, 2004).
Contoh 2.1.7
1. Z7 = {0,1,2,3,4,5,6} , Orde dari 2 dengan operasi penjumlahan adalah 7.
2. Orde himpunan { } pada grup
adalah 4 = − , , , − .
3. Orde himpunan {1} dan {-1} pada grup ℚ/{ } adalah 1 dan 2.
9
,∗ memenuhi sifat komutatif, yaitu
Bila suatu grup
setiap ,
∈ , maka grup
∗
=
∗
untuk
tersebut dinamakan grup komutatif. Selainnya
disebut grup tidak komutatif (Fraleigh,1999).
Contoh 2.1.8
1. Himpunan
= {− , , , − , , − , , − } terhadap operasi perkalian
merupakan contoh dari grup tidak komutatif.
2. Himpunan
={ , ,
, ,
contoh grup tidak komutatif.
,
} terhadap operasi perkalian adalah
3. Himpunan matriks � � dengan determinan sama dengan satu (SL (�, ℝ))
bersama dengan operasi biner perkalian matriks adalah contoh grup tidak
komutatif.
Berdasarkan elemen-elemen yang membangun suatu grup , grup juga dapat
dibangun oleh satu elemen dari grup itu sendiri yang disebut grup siklik.
Jika
adalah grup dan
∈ , ditulis
={
disebut subgrup siklik dari
terdapat
∈
dengan
( Dummit, 2004).
=
�
|n ∈ ℤ }
yang dibangun oleh .
,
disebut grup siklik jika
disebut sebagai generator atau pembangun dari
Contoh 2.1.9
1. Himpunan
perkalian (
= { , − , , − } adalah grup bilangan kompleks terhadap
.).
dan –
adalah generator dari
.
10
(ℤ, +) merupakan grup siklik dengan generator 1 dan -1 karena ℤ = {n(1) |
2.
n ∈ ℤ} dan ℤ = {n(-1) | n ∈ ℤ}.
ℤ , + adalah grup siklik dengan generator 1 atau 2 atau 3 atau 4.
3.
,∗ .
Selanjutnya akan diperkenalkan keluarga subgrup dari sebarang grup
,∗ suatu grup dan Z ⊂ , centralizer dari elemen dalam grup
Misalkan
adalah himpunan semua elemen
Jadi
−
={ ∈ |
�
centralizer dari subgrup
yang komutatif dengan
= , ∀ ∈ ℤ}. Diberikan
{
� | ℎ = ℎ ,∀ ℎ ∈
} (Dummit, 2004).
�
.
�
subgrup dari ,
adalah himpunan semua elemen
dengan semua elemen dalam himpunan H, dinotasikan
, dinotasikan
yang komutatif
. Jadi
�
=
Contoh 2.1.10
1. Misalkan
suatu grup yang terdiri dari himpunan fungsi bijektif bernilai
+ , dengan operasi biner komposisi fungsi. Misal
riil yang berbentuk
∈ , maka
�
−
={ ,
}, dengan
adalah fungsi identitas dan
−
fungsi invers dari .
2. Elemen dari grup dihedral
dari adalah
�4
={ , ,
={ , ,
,
,∗ adalah grup komutatif, maka
Jika
⊆ . Misalkan
elemen
={
}.
�
,
=
, ,
,∗ suatu grup , center dari grup
,
,
untuk setiap himpunan bagian
adalah himpunan semua
yang komutatif dengan semua elemen , dinotasikan
∈ |
elemen grup
=
,∀
}. Centralizer
. Jadi
∈ }. Ekuivalen dengan irisan semua centralizer
( Dummit, 2004).
11
Contoh 2.1.11
1. Center dari grup dihedral
� adalah
{ ,
�
} untuk n berderajat genap. Jika
n berderajat ganjil maka centernya adalah {1}.
2. Jika grup
suatu grup yang berisi himpunan bernilai riil, maka
{ }, dengan i adalah fungsi identitas sedemikian sehingga
∈
setiap
.
=
=
, untuk
Selanjutnya diperkenalkan juga subgrup maksimal komutatif dari suatu grup .
Jika
grup dan
dari
jika :
1.
2.
3.
adalah
�
≤
adalah subgrup ,
�
dan
, dimana
dikatakan subgrup maksimal komutatif
adalah centralizer
�
dari pada
komutatif
komutatif jika dan jika
≤�≤
dengan � komutatif, maka
(Chen, 2006).
= �.
Contoh 2.1. 12
Subgrup maksimal komutatif dari grup semetri
= { � , � , � }.
Setelah dikaji tentang dasar-dasar teori grup, bagian kedua ini dibahas tentang
teori graf yaitu pengertian graf, graf isomorfis, independent set dari suatu graf ,
graf prima dan graf tidak komutatif.
12
2.2 Graf
=
Sebuah graf
,
didefinisikan sebagai pasangan terurut
,
dengan
adalah himpunan berhingga yang tak kosong dan memuat elemen-elemen yang
disebut vertex.
( mungkin kosong ) adalah himpunan elemen-elemen graf yang
berupa garis yang disebut edge yang menghubungkan pasangan vertex
(Deo,1989).
Contoh 2.2.1 :
Gambar 2.1 Graf dengan
= {� , � , � , � } dan
= {
,
,
,
}
Dalam geometri, dua bangun atau bidang dikatakan ekuivalen (kongruen) jika
keduanya memiliki bentuk yang sama. Begitupun dalam graf, dua graf dikatakan
ekuivalen ( isomorfis) jika secara visual memiliki bentuk yang sama. Hal ini yang
memotivasi munculnya konsep graf isomorfis.
Misalkan
=
,
dan ’ =
dikatakan isomorfis dan ditulis
,
∈
∋�
�
’, dinotasikan dengan
’, ’ adalah dua graf terhubung,
≅ ′ jika ada fungsi bijektif � ∶
∈ ′ untuk setiap ,
≇ ’ ( Deo, 1989 ).
∈ . Jika
dan ’
→ ′ dengan
tidak isomorfis dengan
13
Contoh 2.2.2
3
d
c
v
w
a
b
x
y
4
1
2
(a)
(b)
isomorfis dengan
Gambar 2.2
dan
(c)
tapi tidak isomorfis dengan
isomorfis karena memiliki jumlah vertex dan edge yang sama serta
setiap titiknya saling mempertahankan ketetanggaan. Sedangkan
dan
tidak
isomorfis karena jumlah sisinya tidak sama.
Selain isomorfis, graf juga memiliki himpunan titik yang saling bebas atau yang
biasa disebut independent set. Independent set adalah subset dari himpunan titik
,
suatu graf
sedemikan sehingga dua titik pada subset graf tersebut tidak
terhubung dengan sebuah garis (Herzt, 2005).
Contoh 2.2.3
�
�
�
�
�
Gambar 2.3 Graf dengan
�
�
= { � , � ,� ,� ,� ,� , � }
Himpunan bebas ( independent set ) dari Gambar 2.3 adalah {� , � } ,
{� , � } dan {� , � , � }.
14
Jika dilihat dari unsur pembentuknya , graf dapat divisualisasikan dari suatu grup.
Sebagai contoh yaitu graf prima dan graf tidak komutatif.
Graf Prima �
vertex �
dari suatu grup hingga
adalah suatu graf dengan himpunan
yaitu himpunan semua pembagi prima dari orde
dan dua bilangan
prima berbeda p dan q dihubungkan dengan suatu garis jika dan hanya jika
memuat suatu elemen dengan orde pq (Abdollahi, 2006).
Contoh 2.2.4
= { , , , , , ,…,
1. Diberikan grup siklik
adalah 30. Himpunan pembagi prima �
�
Akibatnya diperoleh
{ (2,3), (2,5), (3,5) }
={
, ,
,
} . Orde dari grup
= { 2, 3, 5 }.
} dan E ( �
=
Gambar 2.4 Graf prima �
2. Berikut akan ditampilkan beberapa contoh graf prima yang dibentuk dari
berbagai macam grup berhingga seperti grup simetri
�
, grup Mathieu �� dengan � =
Janko
�
, gup Lie
�
� .
,
,
�
, grup alternating
, , grup siklik
�
, Grup
15
Grup (G)
Tabel 2.1 Contoh graf prima �
Graf Prima �� �
Orde |G|
6 = 2. 3
2
3
60 = 22. 3. 5
2
3
5
2
3
5
7
210 = 2. 3. 5. 7
2310= 2. 3. 5. 7. 11
.
�
. .
.
.
.
7920 =
11
2
3
5
7
2
3
5
7
13
73
2
3
.5.11
5
.
.
.
11
2
5
3
7
(William, 1981).
16
Setelah definisi graf prima �
(Γ G ). Misalkan
, selanjutnya didefinisikan graf tidak komutatif
,∗ adalah grup tidak komutatif berhingga, graf tidak
komutatif Γ G adalah suatu graf dengan himpunan titik (Γ G ) = \
dan himpunan garis (Γ G ) = { ,
adalah center dari
dimana
,∀ ,
∈
(Γ G ) (Abdollahi, 2006).
|
≠
Contoh 2.2.5
1. Grup dihedral
mana
={
, ,
,
adalah rotasi sebesar
0
,
=
, ,
,
,
,
,
,
}, di
berlawanan arah jarum jam dan
adalah refleksi terhadap sumbu-sumbu simetri segi-enam sebanyak 6 kali.
Adapun hasil operasi komposisi pada setiap elemen grup dihedral
dalam bentuk tabel Cayley dan diperoleh
tidak komutatif dari grup
{ ,
,
,
, ,
,
,
,
={1,
}, sehingga graf
memiliki himpunan titik-titik Γ�6 =
,
,
}. Kemudian hasil di atas
digambarkan ke dalam bentuk graf tidak komutatif pada Gambar 2.5
Tabel 2.2 Tabel Cayley Grup Dihedral
o
1
1
1
1
1
1
1
17
1
1
1
1
1
1
1
Dari tabel Cayley diatas diperoleh center
={1,
menghilangkan center dari grup dihedral
diperoleh Gambar 2.5
r
}. Dengan
r5s
r2
r4s
r4
r3s
r5
r2s
s
rs
Gambar 2.5 Graf tidak komutatif grup
2. Diberikan grup simetri
grup
dengan orde sebanyak 6. Elemen-elemen dari
dituliskan ke dalam perkalian permutasi. Dengan menggunakan
tabel Cayley 4.1 diperoleh center dari grup
= {� }.
18
� =
� =
� =
� =
� =
� =
*
�
�
�
�
�
�
Tabel 2.3 Tabel Cayley grup simetri �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Dengan mengilangkan center dari simetri � = {� } didapatkan graf tidak
komutatif sebagai berikut :
�
�
�
�
�
�
Gambar 2.6 Graf tidak komutatif grup
�
III. METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Waktu dan Tempat Penelitian
Penelitian ini dilakukan pada semester ganjil tahun ajaran 2014-2015 di jurusan
Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA)
Universitas Lampung
3.2 Metode Penelitian
Penelitian ini menggunakan metode studi literatur. Adapun langkah-langkah yang
digunakan dalam penelitian ini yaitu sebagai berikut :
1. Diberikan grup berhingga tidak komutatif
dan
2. Menentukan orde subgrup maksimal komutatif dari grup berhingga tidak
komutatif
dan
3. Mendefinisikan graf tidak komutatif dari grup berhingga
tidak komutatif
dan
4. Menentukan center dari grup berhingga tidak komutatif
dan
5. Menentukan himpunan bebas yang maksimal dari graf tidak komutatif
Γ
dan Γ
20
6. Mendefiniskan graf prima ( � ) dari grup berhingga tidak komutatif
dan
7. Menunjukan bahwa jika Γ
maksimal
prima
�
�
≅ Γ
maka orde himpunan bebas
= orde himpunan bebas maksimal H �
= graf prima H
�
.
dan graf
V. KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan
Dari pembahasan yang telah dilakukan dengan menggunakan Lemma 4.1 sampai
Teorema 4.4 pada bab IV dapat disimpulkan bahwa jika terdapat grup berhingga
dan
Γ
tidak komutatif dan kedua grup tersebut memiliki graf tidak komutatif
≅Γ
maka graf tersebut memiliki orde subgrup maksimal komutatif
yang sama yaitu �
�
=
�
.
=�
dan memilki graf prima yang sama yaitu
5.2 Saran
Kajian teori tentang graf tidak komutatif dan graf prima adalah kajian baru dalam
penelitian teori grup dan teori graf. Jika pembaca tertarik dengan penelitian ini,
pembaca diharapkan agar bisa melanjutkan penelitian ini untuk mengkaji
karakteristik graf tidak komutatif dan graf prima pada grup berhingga yang tidak
komutatif.
DAFTAR PUSTAKA
Abdollahi, A.S. Akbari and H.R. Maimani. 2006. Non-commuting graph of a
group, J. Algebra 298 no. 2, 468-492.
Adkins, W.A, Weintraub, S.H. 1992. Algebra An Approach Via Module Theory.
Springer Verlay, New York.
Chen, G.Y. 2006. A characterization of alternating groups by the set of orders of
their maximal abelian subgroups, Siberian Math. J. 47 no. 3, 594-596.
Deo, N. 1989. Graph Theory With Aplications To Engineering And Computer
Science. Prentice-Hall, New Delhi.
Dummit, D.S , Foote, R.M. 2004. Abstract Algebra 3rd Edition. John Wiley and
Son inc, III River Street, Hoboken.
Fraleigh, J.B. 1999. A First Course In Abstact Algebra. Sixth Edition. Addition
Wesley Publishing Company, MC. Philippines.
Hertz, A.V.V. Lozin. 2005. The Maximum Independent Set Problem and
Augmenting Graphs. Graph Theory and Combinatorial Optimization,
1:1-32.
Iranmanesh, A and A.Jafarzadeh. 2008. On the Commuting Graph Associated
with symmetric and alternating group, J.Algebra Appl. 7 no., 129-146.
Williams, J.S. 1981. Prime graph components of finite groups, J. Algebra 69 no.
2, 487-513.
PRIMA PADA GRUP BERHINGGA TIDAK KOMUTATIF
(Skripsi)
Oleh
AHMAD ANTONI
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS LAMPUNG
BANDAR LAMPUNG
2015
ABSTRACT
ON THE RELATION BETWEEN THE NON-COMMUTING GRAPH AND
PRIME GRAPH OF NON-ABELIAN FINITE GROUP
By
AHMAD ANTONI
Given a non-abelian finite group �. Let � � be the center of group �. Noncommuting graph of group � is graph with vertex set �\� � where distinct noncentral element and from group � are joined by an edge if only if
≠ .
Let � � denote the set of prime divisors of the order group �. Prime graph of
group � is vertex set � � where distinct prime and are joined by edge if only
if group � contains an element order . Let � and be non- abelian finite group
| then group � and
with isomorphic non-commuting graph and |� � | = |�
have the set of orders of maximal abelian subgroup � � = �
and the same
prime graph �� � = ��
.
Keywords : Non - abelian finite group, Non-Commuting graph, Prime Graph,
Center, maximal abelian subgroup.
ABSTRAK
HUBUNGAN ANTARA GRAF TIDAK KOMUTATIF DAN GRAF PRIMA
PADA GRUP BERHINGGA YANG TIDAK KOMUTATIF
Oleh
AHMAD ANTONI
Diberikan grup berhingga yang tidak komutatif �. Misalkan � � adalah center
dari grup �. Graf tidak komutatif dari grup � adalah graf dengan himpunan
vertex �/� � dimana untuk setiap elemen dan yang bukan center dari grup
� dihubungkan dengan suatu garis jika dan jika
≠ . Misalkan � � adalah
himpunan pembagi prima dari orde grup �, graf prima dari grup � adalah graf
dengan himpunan titik � � dimana dua bilangan prima dan dihubungkan
dengan suatu garis jika dan hanya jika grup � memuat elemen dengan orde .
Misalkan graf tidak komutatif �(Γ � ) isomorfis dengan graf tidak komutatif
(Γ
) dan |� � | = |�
| maka grup � dan
mempunyai himpunan orde
subgrup maksimal komutatif yang sama � � = �
dan mempunyai graf
prima yang sama �� � = ��
.
Kata Kunci
: Grup berhingga tidak komutatif, Graf tidak komutatif, Center,
Orde subgrup maksimal komutatif, Graf prima.
MOTO
“ Kemarin adalah sejarah, hari ini adalah Anugrah , Esok
adalah Misteri ”
“ Berangkat dengan penuh keyakinan. Berjalan dengan penuh
keikhlasan. Istiqomah dalam menghadapi cobaan. YAKIN,
IKHLAS, ISTIQOMAH ”
“ Jangan lihat masa lampau dengan penyesalan; jangan pula
lihat masa depan dengan ketakutan; tapi lihatlah sekitar
anda dengan penuh kesadaran ”
" Musuh yang paling berbahaya di atas dunia ini adalah
penakut dan bimbang. Teman yang paling setia, hanyalah
keberanian dan keyakinan yang teguh."
(Andrew Jackson)
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Kalirejo, Negeri Katon Pesawaran pada tanggal 2 Desember 1991,
anak kedua dari lima bersaudara pasangan Bapak Jupran dan Ibu Asmawati.
Pendidikan formal dimulai dari pendidikan dasar di SD Negeri 1 Kalirejo pada tahun
1997 dan diselesaikan pada tahun 2003, dilanjutkan ke pendidikan tingkat menengah
pertama di SMP Negeri 2 Negeri Katon dan diselesaikan pada tahun 2006. Kemudian
dilanjutkan ke pendidikan tingkat menengah di SMA Negeri 1 Gading Rejo Pringsewu
diselesaikan pada tahun 2009. Setelah lulus dari SMA, penulis bekerja selama dua tahun
sebagai pegawai honorer di Kantor Pelayanan Kekayaan Negara dan Lelang Bandar
Lampung. Pada tahun 2011, penulis melanjutkan studi ke perguruan tinggi di Jurusan
Matematika Fakultas MIPA Universitas Lampung melalui jalur SNMPTN.
Selama menjadi mahasiswa, penulis pernah menjadi Anggota Muda Gematika
HIMATIKA FMIPA dan menjadi Kepala Bidang Kaderisasi HIMATIKA FMIPA pada
tahun 2012-2013. Pada tahun ketiga, Penulis diberikan amanah menjadi Ketua Umum
HIMATIKA FMIPA 2013-2014. Selain aktif dalam berbagai kegiatan kampus di
lingkungan FMIPA , Penulis juga selalu mendapatkan beasiswa PPA dan beasiswa BBM.
Sebagai bentuk aplikasi dari ilmu yang telah di dapatkan, penulis melakukan kerja praktik
di Kantor Pelayanan Kekayaan Negara dan Lelang Bandar Lampung pada tahun 2014.
Selain itu penulis juga melakukan Kuliah Kerja Nyata (KKN) di desa Sumber Agung
Kecamatan Kemiling , Bandar Lampung sebagai salah satu bentuk Tri Dharma Perguruan
Tinggi yaitu pengadian Masyarakat.
PERSEMBAHAN
Bismillahirrohmanirrohim
Dengan Rahmat Allah yang Maha Pengasih Lagi Maha Penyayang,
Dengan ini saya persembahkan karya ini kepada :
1. Orang-orang yang sangat spesial yaitu kedua orangtuaku Bapak Jupran
dan Ibu Asmawati, Kakakku Aswan Irawan dan Adik-adikku Liana, Desta
dan Hafiz yang sangat aku sayangi dan aku cintai.
2. Orang yang ada di hati dan berarti dalam kehidupanku “ Lia Lionita ”.
3. Keluarga besar Matematika angkatan 2011 dan keluarga besar
HIMATIKA FMIPA Universitas Lampung.
SANWACANA
Alhamdulillahi robbil ‘alamin, puji dan syukur penulis ucapkan kepada Allah
SWT atas izin ridho-Nya dalam menyelesaikan skripsi ini. Shalawat juga salam
atas Nabi Muhammad SAW, tuntunan dan tauladan utama.
Pada proses penyusunan skripsi ini, penulis memperoleh banyak dukungan, kritik,
dan saran yang membangun sehingga skripsi ini mampu penulis selesaikan. Untuk
itu penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada :
1.
Bapak Ahmad Faisol, S.Si., M.Sc. selaku dosen pembimbing utama yang
telah meluangkan waktu dari padatnya kesibukan beliau untuk membimbing
dan mengoreksi, hingga skripsi ini selesai.
2.
Ibu Dr.Asmiati., S.Si., M.Si. selaku dosen pembimbing pembantu yang telah
banyak membantu dan memberikan pengarahan dalam proses penyusunan
skripsi ini.
3.
Ibu Dra. Wamiliana, M.A., Ph.D. selaku dosen penguji bukan pembimbing
yang memberi penulis masukan dan saran.
4.
Bapak Drs. Tiryono Ruby, M.Sc., Ph.D., selaku Ketua Jurusan Matematika
FMIPA Universitas Lampung.
5.
Bapak Warsono, Ph.D selaku pembimbing akademik.
6.
Bapak Prof. Suharso, Ph.D., selaku dekan FMIPA Universitas Lampung.
7.
Dosen, staf dan karyawan Jurusan Matematika FMIPA UNILA yang telah
memberikan ilmu pengetahuan dan bantuan kepada penulis.
8.
Bapak, Ibu, Kakak Iwan, Liana, Desta dan Hafiz yang telah memberikan dukungan
secara finansial dan moril, mengirimkan doa, nasehat dan semangat yang sangat
membantu selama penyusunan skripsi.
9.
Rekan-rekan presidium dan pimpinan HIMATIKA FMIPA 2013-2014 ,Tiwul,
Rizka, Dias, Riyama, Selvi, Anwar, Audi, Joko, Ekazul, Gusti, Khairil, Triani,
Novia, Dian dan Sherly yang telah berjuang bersama-sama membesarkan
HIMATIKA.
10. Tempat khusus untuk Lia Lionita yang selalu ada di hati dan terus memberikan
semangat sampai selesainya skripsi ini.
11. Teman curhat dan maen abang Erick , adek Reno dan seluruh teman – teman Math
11 serta keluarga besar HIMATIKA FMIPA Universitas Lampung.
12. Semua pihak yang telah membantu selama ini, yang tidak dapat disebutkan satu
persatu.
Bandar Lampung,
Penulis
Ahmad Antoni
Februari 2015
DAFTAR ISI
halaman
DAFTAR TABEL ......................................................................................... xi
DAFTAR GAMBAR ..................................................................................... xii
DAFTAR SIMBOL ....................................................................................... xiii
I.
PENDAHULUAN ..................................................................................
1.1 Latar Belakang dan Masalah .............................................................
1.2 Tujuan Penelitian ..............................................................................
1.3 Batasan Masalah ................................................................................
1.4 Manfaat Penelitian ............................................................................
1
1
3
3
3
II. TINJAUAN PUSTAKA ......................................................................... 4
2.1 Grup .................................................................................................. 4
2.2 Graf ................................................................................................... 12
III. METODOLOGI PENELITIAN ........................................................... 19
3.1 Waktu dan Tempat Penelitian ........................................................... 19
3.2 Metode Penelitian ............................................................................ 19
IV. HASIL DAN PEMBAHASAN .............................................................. 21
V. KESIMPULAN DAN SARAN .............................................................. 30
5.1 Kesimpulan ........................................................................................ 30
5.2 Saran .................................................................................................. 30
DAFTAR PUSTAKA
DAFTAR TABEL
Tabel
halaman
2.1 Contoh graf Prima �� � ..........................................................................
2.2 Tabel Cayley grup Dihedral �6 .................................................................
2.3 Tabel Cayley grup Simetri � ...................................................................
4.1 Tabel Cayley grup Simetri �8 ...................................................................
4.2 Tabel Cayley grup Simetri � ...................................................................
15
16
18
26
27
DAFTAR GAMBAR
Gambar
halaman
2.1 Graf dengan � � = {� , � , � , � } dan
� = {� , � , � , � } ........
12
2.3 Graf dengan � = { � , � , � , � , � , �6 , � } ............................................
13
2.2 � isomorfis dengan � tapi tidak isomorfis dengan � ..........................
2.4 Graf prima ��
13
..................................................................................
14
2.5 Graf tidak komutatif grup �6 ....................................................................
17
2.6 Graf tidak komutatif grup � ......................................................................
4.1 Graf tidak komutatif pada grup �8 ............................................................
4.2 Graf tidak komutatif pada grup � ............................................................
4.3 Graf Prima �� �8 ...................................................................................
4.4 Graf Prima �� �
...................................................................................
18
26
28
29
29
DAFTAR SIMBOL
Simbol
ℂ
Himpunan bilangan kompleks
ℤ
Himpunan bilangan bulat
ℝ
Himpunan bilangan real
ℚ
Bilangan bilangan rasional
�
�
Arti Simbol
ℝ
�, ℝ
�,∗
≅
Himpuan matriks atas bilangan real dengan ukuran ���
Grup matriks ��� yang dapat di balik (General Lineral )
Grup � dengan operasi *
Grup siklik dengan pembangun
Isomorfis
|�|
Orde dari grup �
��
Grup Alternating
2�
�
Grup Dihedral
Grup simetri
Rotasi pada grup dihedral
Pencerminan pada grup dihedral
⊂
�
�
�
≤
Γ G
�
�
�
\
Subset
Center dari grup �
Centralizer A pada grup �
Subgrup
Graf tidak komutatif dari grup �
Graf prima dari grup �
Himpunan orde subgrup maksimal komutatif dari grup �
Himpunan bebas maksimal
dikurang dengan
Subgrup maksimal komutatif
∈
Anggota atau elemen
∀
Setiap atau semua
∃
Tedapat atau beberapa
�
Vertex atau himpunan titik
≠
Tidak sama dengan
Edge atau himpuanan garis
Gabungan
Irisan
I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang dan Masalah
Secara historis aljabar dapat dibagi menjadi dua periode waktu dengan batas
waktu sekitar tahun 1800. Aljabar yang dibicarakan sebelum abad ke-19 disebut
aljabar klasik, sedangkan aljabar setelah abad ke-19 hingga sekarang disebut
dengan aljabar modern atau sruktur aljabar. Struktur aljabar adalah himpunan atau
beberapa himpunan yang dilengkapi dengan suatu operasi atau lebih yang
memenuhi aksioma-aksioma tertentu. Grup adalah salah satu contoh struktur
aljabar.
Grup adalah suatu himpunan dengan operasi biner yang memenuhi aksiomaaksioma tertentu. Berdasarkan jumlah elemen-elemennya, grup dibagi menjadi
dua yaitu grup hingga ( finite group) dan grup tak hingga (infinite group). Grup
hingga adalah grup yang elemennya berhingga sedangkan grup tak hingga adalah
grup yang jumlah elemen-elemennya tak hingga.
Teori graf adalah salah satu cabang ilmu matematika yang berkaitan erat dengan
masalah yang terjadi dalam kehidupan sehari-hari. Teori graf muncul sejak tahun
1736 yang diperkenalkan oleh matematikawan Swiss yang bernama Leonard
Euler. Euler memberikan solusi terhadap masalah jembatan Konigsberg yang
2
terkenal di Eropa. Masalah jembatan Konisberg dapat dinyatakan sebagai berikut :
terdapat empat daerah yang terletak di tepi sungai Pregel, Rusia yang
dihubungkan dengan tujuh jembatan. Masalah dimulai ketika seseorang ingin
melewati tujuh jembatan yang menghubungkan empat daerah tersebut tepat satu
kali dan kembali ke tempat semula. Masalah tersebut diselesaikan oleh Euler
dengan menyatakan daerah sebagai titik atau vertex dan jembatan dinyatakan
sebagai garis atau edge.
Teori graf dapat didekati dengan pendekatan secara aljabar. Pendekatan ini
dilakukan dengan mengkaji sifat-sifat yang ada di dalam graf tersebut. Sebagai
contoh adalah graf prima dan graf tidak komutatif.
Graf tidak komutatif adalah suatu graf yang dibangun dari suatu grup dengan
himpunan titiknya adalah elemen dari suatu grup dikurangai dengan center dari
grup tersebut. Kemudian setiap titik dihubungkan dengan suatu garis jika dan
hanya jika untuk setiap elemen dari grup tanpa center bersifat tidak komutatif.
Graf Prima adalah suatu graf yang dibangun dari suatu grup dengan himpunan
titik adalah himpunan pembagi prima dari dua bilangan prima berbeda dan
dihubungkan dengan suatu garis jika dan hanya jika grup tersebut memuat elemen
dari hasil kali dua bilangan prima tersebut.
Pada tahun 2006, Abdollahi meneliti tentang sifat-sifat graf tidak komutatif
diantaranya : jika diberikan dua grup berhingga yang tidak komutatif � dan
sedemikian sehingga graf tidak komutatif Γ � ≅ Γ
, maka
mempunyai
sifat ℘ apabila � juga mempunyai sifat ℘ dan orde dari � sama dengan orde dari
. Penelitian lain dilakukan oleh Iranmanesh dan Jafarzadeh (2008) , graf
3
komutatif dari suatu grup berhingga � yang tidak komutatif tidak terhubung
dengan suatu garis jika dan hanya jika graf prima � tidak terhubung dan center
dari � adalah satu.
Dari pengertian graf tidak komutatif dan graf prima serta penelitian – penelitian
yang sebelumnya, penulis tertarik untuk mengkaji hubungan kedua graf tersebut
berdasarkan kajian teori grup dan teori graf.
1.2 Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah mengkaji hubungan antara graf tidak komutatif
dengan graf prima.
1.3 Batasan Masalah
Penelitian ini hanya membahas tentang graf tidak komutatif dan graf prima pada
grup berhingga tidak komutatif.
1.4 Manfaat Penelitian
Melalui penelitian ini diharapkan menambah pengetahuan tentang graf tidak
komutatif dan graf prima.
II. TINJAUAN PUSTAKA
Pada bagian ini akan disajikan beberapa teori dasar yang digunakan sebagai
landasan teori penelitian ini yaitu teori grup dan teori graf. Pada bagian pertama
akan dibahas tentang teori grup.
2.1 Grup
Operasi penjumlahan pada himpunan bilangan bulat ℤ dapat dipandang sebagai
suatu fungsi yang memetakan ℤ
,
ℤ ke ℤ. Dengan kata lain, pasangan terurut
∈ ℤ ℤ akan dipetakan tepat satu kali ke
+
∈ ℤ . Operasi penjumlahan
bilangan bulat ini merupakan salah satu contoh dari operasi biner. Diberikan
himpunan tak kosong , operasi biner * pada himpunan
suatu fungsi yang memetakan
dinotasikan sebagai
∗
ke S. Untuk setiap
(Fraleigh,1999).
didefiniskan sebagai
,
∈
, ∗
,
Contoh 2.1.1
1. Misalkan � ℝ adalah himpunan semua matriks bujur sangkar berorde 2
dengan unsur-unsurnya adalalah bilang real. Penjumlahan matriks “ + ”
adalah operasi biner pada � ℝ .
2. Operasi penjumlahan biasa pada bilangan real ℝ merupakan operasi biner.
5
Pada himpunan bilangan bilangan bulat ℤ dengan suatu operasi biner +
(penjumlahan) dapat dilihat beberapa sifat yang terpenuhi di dalamnya. Salah satu
sifatnya, penjumlahan bilangan bulat bersifat asosiatif. Di dalam himpunan
bilangan bulat terdapat bilangan 0 dengan sifat untuk sebarang bilangan bulat jika
ditambahakan dengan 0, maka hasilnya adalah bilangan bulat itu sendiri. Sifat
selanjutnya untuk sebarang bilangan bulat terdapat bilangan bulat lain yang
apabila dijumlahkan hasilnya adalah 0. Sifat-sifat himpunan bilangan bulat
tersebut memotivasi lahirnya konsep teori grup.
Suatu grup
,∗ adalah himpunan
yang tertutup terhadap operasi biner * ,
sedemikian sehingga memenuhi aksioma-aksioma berikut :
1.
2.
Untuk semua , ,
berlaku
Terdapat suatu elemen identitas
berlaku
3.
∈
∗
Untuk setiap
∗ ’ =
’∗
=
∈
∗
=
.
∗
∗
∗
∗
.
sedemikian sehingga untuk semua � ,
terdapat suatu elemen
= .
=
′
∈
sedemikian sehingga
(Adkins dan Weintraub, 1992) .
Contoh 2.1.2
1. Himpunan ℤ, ℚ dan ℝ merupakan grup terhadap operasi penjumlahan.
ℝ \{0}, ℚ \{0} dan ℂ\{0} adalah grup terhadap operasi perkalian.
2. Misalkan S adalah matriks ukuran 2 x 2 dan didefinisikan
= {
; , , ,
adalah contoh dari grup.
∈ }. Operasi penjumlahan matriks
,+
6
3. Himpunan semua matriks berukuran � � yang dapat dibalik merupakan
grup terhadap operasi perkalian matriks. Grup ini dinamakan general
linear group berderajat � dan dinotasikan
�, ℝ .
Dalam grup ( ,∗ terdapat himpunan bagian yang lebih kecil, sebagai contoh grup
(ℤ, +) adalah himpunan bagian dari grup (ℚ , +). Hal ini mendasari pendefinisian
dari suatu subgrup. Subgrup diartikan sebagai himpunan bagian dari suatu grup
yang juga merupakan grup terhadap operasi yang sama.
Jika
merupakan himpunan bagian dari grup
pada
dan jika terhadap operasi biner yang sama pada , maka
subgrup
dan dinotasikan dengan
(Adkins dan Weintraub, 1992).
≤
atau
yang tertutup pada operasi biner
<
tetapi
dikatakan
≠
Contoh 2.1.3 :
1. ℤ ≤ ℚ dan ℚ ≤ ℝ terhadap operasi penjumlahan.
2. Diketahui ℤ = { , , , , , } merupakan grup terhadap operasi biner
+
penjumlahan modulo 6. Misalkan
Dengan operasi biner yang sama + ,
3.
= { , , }. Jelas bahwa
merupakan grup sehingga
⊂ℤ .
≤ ℤ .
= { 0,1,2,3,4,5,6,7 }merupakan himpunan semua kelas bilangan bulat
modulo 8.
dengan operasi penjumlahan modulo 8 adalah suatu grup.
Maka (�, +8) merupakan subgrup dari ( , +8) dengan � = { 0, 2, 4, 6 }.
7
Tidak semua grup ( ,∗ memiliki subgrup. Subgrup memiliki beberapa kriteria
yang harus dipenuhi. Himpunan bagian
dari grup
merupakan subgrup jika
dan hanya jika :
≠ ∅
1.
2. Untuk setiap
,
∈
,
−
∈
(Adkins dan Weintraub, 1992).
Contoh 2.1.4
= { �|� ∈ ℤ } terhadap operasi
1. Himpunan bilangan genap
penjumlahan adalah subgrup dari grup ℤ.
2. Diberikan grup �
matriks dan
Misalkan
={
�
={
�
|| | ≠
|| | = }.
} terhadap operasi perkalian
adalah subgrup dari �
.
,∗ adalah suatu grup, banyaknya unsur-unsur dari grup
disebut orde dari grup
,∗ , dilambangkan dengan | |.
,∗
,∗ disebut grup hingga
bila | | berhingga dan disebut grup tak hingga bila | | tak hingga ( Dummit,
2004).
Contoh 2.1.5
1. Orde dari ℤ = {0,1,2} adalah |ℤ | = .
2. Orde dari grup simetri
adalah sebanyak |S | =3! = 6.
Beberapa contoh grup berhingga yaitu grup Alternating
(simple group ), grup dihedral
Chevalley ) yang terdiri dari
�
�
, grup sederhana
, grup tipe Lie Chevalley ( Lie Type
�,
,
�,
,
�,
, dan
Ω� �,
8
dan grup sporadic yang terdiri dari grup Mathieu � , � , � , �
�
,
�
,
,
,
,
,
( Tits Group) yang terdiri dari
Suzuki ( Sz), grup Janko
�
, grup Tits
,
�
,
, grup McLaughin (McL).
Contoh 2.1.6
1. Grup dihedral
�
untuk � = , , , … , � adalah grup permutasi yang
mempertahankan bentuk geometri dari segi-n beraturan terhadap rotasi
dan pencerminan
. Orde dari grup dihedral
2. Grup Alternating
grup simetri
�
�
�
adalah sebanyak 2n.
untuk � = , , , … , � adalah permutasi genap dari
dengan orde sebanyak
�!
.
Selain orde grup, suatu elemen pada grup juga memiliki orde. Orde dari suatu
elemen
dalam suatu grup
sedemikian sehingga
�
=
,∗ adalah bilangan bulat positif terkecil �,
( = , untuk perkalian) dan � =
( = 0, untuk
penjumlahan). Bila tidak ada bilangan seperti � tersebut, maka orde dari unsur
tersebut tak hingga ( Dummit, 2004).
Contoh 2.1.7
1. Z7 = {0,1,2,3,4,5,6} , Orde dari 2 dengan operasi penjumlahan adalah 7.
2. Orde himpunan { } pada grup
adalah 4 = − , , , − .
3. Orde himpunan {1} dan {-1} pada grup ℚ/{ } adalah 1 dan 2.
9
,∗ memenuhi sifat komutatif, yaitu
Bila suatu grup
setiap ,
∈ , maka grup
∗
=
∗
untuk
tersebut dinamakan grup komutatif. Selainnya
disebut grup tidak komutatif (Fraleigh,1999).
Contoh 2.1.8
1. Himpunan
= {− , , , − , , − , , − } terhadap operasi perkalian
merupakan contoh dari grup tidak komutatif.
2. Himpunan
={ , ,
, ,
contoh grup tidak komutatif.
,
} terhadap operasi perkalian adalah
3. Himpunan matriks � � dengan determinan sama dengan satu (SL (�, ℝ))
bersama dengan operasi biner perkalian matriks adalah contoh grup tidak
komutatif.
Berdasarkan elemen-elemen yang membangun suatu grup , grup juga dapat
dibangun oleh satu elemen dari grup itu sendiri yang disebut grup siklik.
Jika
adalah grup dan
∈ , ditulis
={
disebut subgrup siklik dari
terdapat
∈
dengan
( Dummit, 2004).
=
�
|n ∈ ℤ }
yang dibangun oleh .
,
disebut grup siklik jika
disebut sebagai generator atau pembangun dari
Contoh 2.1.9
1. Himpunan
perkalian (
= { , − , , − } adalah grup bilangan kompleks terhadap
.).
dan –
adalah generator dari
.
10
(ℤ, +) merupakan grup siklik dengan generator 1 dan -1 karena ℤ = {n(1) |
2.
n ∈ ℤ} dan ℤ = {n(-1) | n ∈ ℤ}.
ℤ , + adalah grup siklik dengan generator 1 atau 2 atau 3 atau 4.
3.
,∗ .
Selanjutnya akan diperkenalkan keluarga subgrup dari sebarang grup
,∗ suatu grup dan Z ⊂ , centralizer dari elemen dalam grup
Misalkan
adalah himpunan semua elemen
Jadi
−
={ ∈ |
�
centralizer dari subgrup
yang komutatif dengan
= , ∀ ∈ ℤ}. Diberikan
{
� | ℎ = ℎ ,∀ ℎ ∈
} (Dummit, 2004).
�
.
�
subgrup dari ,
adalah himpunan semua elemen
dengan semua elemen dalam himpunan H, dinotasikan
, dinotasikan
yang komutatif
. Jadi
�
=
Contoh 2.1.10
1. Misalkan
suatu grup yang terdiri dari himpunan fungsi bijektif bernilai
+ , dengan operasi biner komposisi fungsi. Misal
riil yang berbentuk
∈ , maka
�
−
={ ,
}, dengan
adalah fungsi identitas dan
−
fungsi invers dari .
2. Elemen dari grup dihedral
dari adalah
�4
={ , ,
={ , ,
,
,∗ adalah grup komutatif, maka
Jika
⊆ . Misalkan
elemen
={
}.
�
,
=
, ,
,∗ suatu grup , center dari grup
,
,
untuk setiap himpunan bagian
adalah himpunan semua
yang komutatif dengan semua elemen , dinotasikan
∈ |
elemen grup
=
,∀
}. Centralizer
. Jadi
∈ }. Ekuivalen dengan irisan semua centralizer
( Dummit, 2004).
11
Contoh 2.1.11
1. Center dari grup dihedral
� adalah
{ ,
�
} untuk n berderajat genap. Jika
n berderajat ganjil maka centernya adalah {1}.
2. Jika grup
suatu grup yang berisi himpunan bernilai riil, maka
{ }, dengan i adalah fungsi identitas sedemikian sehingga
∈
setiap
.
=
=
, untuk
Selanjutnya diperkenalkan juga subgrup maksimal komutatif dari suatu grup .
Jika
grup dan
dari
jika :
1.
2.
3.
adalah
�
≤
adalah subgrup ,
�
dan
, dimana
dikatakan subgrup maksimal komutatif
adalah centralizer
�
dari pada
komutatif
komutatif jika dan jika
≤�≤
dengan � komutatif, maka
(Chen, 2006).
= �.
Contoh 2.1. 12
Subgrup maksimal komutatif dari grup semetri
= { � , � , � }.
Setelah dikaji tentang dasar-dasar teori grup, bagian kedua ini dibahas tentang
teori graf yaitu pengertian graf, graf isomorfis, independent set dari suatu graf ,
graf prima dan graf tidak komutatif.
12
2.2 Graf
=
Sebuah graf
,
didefinisikan sebagai pasangan terurut
,
dengan
adalah himpunan berhingga yang tak kosong dan memuat elemen-elemen yang
disebut vertex.
( mungkin kosong ) adalah himpunan elemen-elemen graf yang
berupa garis yang disebut edge yang menghubungkan pasangan vertex
(Deo,1989).
Contoh 2.2.1 :
Gambar 2.1 Graf dengan
= {� , � , � , � } dan
= {
,
,
,
}
Dalam geometri, dua bangun atau bidang dikatakan ekuivalen (kongruen) jika
keduanya memiliki bentuk yang sama. Begitupun dalam graf, dua graf dikatakan
ekuivalen ( isomorfis) jika secara visual memiliki bentuk yang sama. Hal ini yang
memotivasi munculnya konsep graf isomorfis.
Misalkan
=
,
dan ’ =
dikatakan isomorfis dan ditulis
,
∈
∋�
�
’, dinotasikan dengan
’, ’ adalah dua graf terhubung,
≅ ′ jika ada fungsi bijektif � ∶
∈ ′ untuk setiap ,
≇ ’ ( Deo, 1989 ).
∈ . Jika
dan ’
→ ′ dengan
tidak isomorfis dengan
13
Contoh 2.2.2
3
d
c
v
w
a
b
x
y
4
1
2
(a)
(b)
isomorfis dengan
Gambar 2.2
dan
(c)
tapi tidak isomorfis dengan
isomorfis karena memiliki jumlah vertex dan edge yang sama serta
setiap titiknya saling mempertahankan ketetanggaan. Sedangkan
dan
tidak
isomorfis karena jumlah sisinya tidak sama.
Selain isomorfis, graf juga memiliki himpunan titik yang saling bebas atau yang
biasa disebut independent set. Independent set adalah subset dari himpunan titik
,
suatu graf
sedemikan sehingga dua titik pada subset graf tersebut tidak
terhubung dengan sebuah garis (Herzt, 2005).
Contoh 2.2.3
�
�
�
�
�
Gambar 2.3 Graf dengan
�
�
= { � , � ,� ,� ,� ,� , � }
Himpunan bebas ( independent set ) dari Gambar 2.3 adalah {� , � } ,
{� , � } dan {� , � , � }.
14
Jika dilihat dari unsur pembentuknya , graf dapat divisualisasikan dari suatu grup.
Sebagai contoh yaitu graf prima dan graf tidak komutatif.
Graf Prima �
vertex �
dari suatu grup hingga
adalah suatu graf dengan himpunan
yaitu himpunan semua pembagi prima dari orde
dan dua bilangan
prima berbeda p dan q dihubungkan dengan suatu garis jika dan hanya jika
memuat suatu elemen dengan orde pq (Abdollahi, 2006).
Contoh 2.2.4
= { , , , , , ,…,
1. Diberikan grup siklik
adalah 30. Himpunan pembagi prima �
�
Akibatnya diperoleh
{ (2,3), (2,5), (3,5) }
={
, ,
,
} . Orde dari grup
= { 2, 3, 5 }.
} dan E ( �
=
Gambar 2.4 Graf prima �
2. Berikut akan ditampilkan beberapa contoh graf prima yang dibentuk dari
berbagai macam grup berhingga seperti grup simetri
�
, grup Mathieu �� dengan � =
Janko
�
, gup Lie
�
� .
,
,
�
, grup alternating
, , grup siklik
�
, Grup
15
Grup (G)
Tabel 2.1 Contoh graf prima �
Graf Prima �� �
Orde |G|
6 = 2. 3
2
3
60 = 22. 3. 5
2
3
5
2
3
5
7
210 = 2. 3. 5. 7
2310= 2. 3. 5. 7. 11
.
�
. .
.
.
.
7920 =
11
2
3
5
7
2
3
5
7
13
73
2
3
.5.11
5
.
.
.
11
2
5
3
7
(William, 1981).
16
Setelah definisi graf prima �
(Γ G ). Misalkan
, selanjutnya didefinisikan graf tidak komutatif
,∗ adalah grup tidak komutatif berhingga, graf tidak
komutatif Γ G adalah suatu graf dengan himpunan titik (Γ G ) = \
dan himpunan garis (Γ G ) = { ,
adalah center dari
dimana
,∀ ,
∈
(Γ G ) (Abdollahi, 2006).
|
≠
Contoh 2.2.5
1. Grup dihedral
mana
={
, ,
,
adalah rotasi sebesar
0
,
=
, ,
,
,
,
,
,
}, di
berlawanan arah jarum jam dan
adalah refleksi terhadap sumbu-sumbu simetri segi-enam sebanyak 6 kali.
Adapun hasil operasi komposisi pada setiap elemen grup dihedral
dalam bentuk tabel Cayley dan diperoleh
tidak komutatif dari grup
{ ,
,
,
, ,
,
,
,
={1,
}, sehingga graf
memiliki himpunan titik-titik Γ�6 =
,
,
}. Kemudian hasil di atas
digambarkan ke dalam bentuk graf tidak komutatif pada Gambar 2.5
Tabel 2.2 Tabel Cayley Grup Dihedral
o
1
1
1
1
1
1
1
17
1
1
1
1
1
1
1
Dari tabel Cayley diatas diperoleh center
={1,
menghilangkan center dari grup dihedral
diperoleh Gambar 2.5
r
}. Dengan
r5s
r2
r4s
r4
r3s
r5
r2s
s
rs
Gambar 2.5 Graf tidak komutatif grup
2. Diberikan grup simetri
grup
dengan orde sebanyak 6. Elemen-elemen dari
dituliskan ke dalam perkalian permutasi. Dengan menggunakan
tabel Cayley 4.1 diperoleh center dari grup
= {� }.
18
� =
� =
� =
� =
� =
� =
*
�
�
�
�
�
�
Tabel 2.3 Tabel Cayley grup simetri �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Dengan mengilangkan center dari simetri � = {� } didapatkan graf tidak
komutatif sebagai berikut :
�
�
�
�
�
�
Gambar 2.6 Graf tidak komutatif grup
�
III. METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Waktu dan Tempat Penelitian
Penelitian ini dilakukan pada semester ganjil tahun ajaran 2014-2015 di jurusan
Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA)
Universitas Lampung
3.2 Metode Penelitian
Penelitian ini menggunakan metode studi literatur. Adapun langkah-langkah yang
digunakan dalam penelitian ini yaitu sebagai berikut :
1. Diberikan grup berhingga tidak komutatif
dan
2. Menentukan orde subgrup maksimal komutatif dari grup berhingga tidak
komutatif
dan
3. Mendefinisikan graf tidak komutatif dari grup berhingga
tidak komutatif
dan
4. Menentukan center dari grup berhingga tidak komutatif
dan
5. Menentukan himpunan bebas yang maksimal dari graf tidak komutatif
Γ
dan Γ
20
6. Mendefiniskan graf prima ( � ) dari grup berhingga tidak komutatif
dan
7. Menunjukan bahwa jika Γ
maksimal
prima
�
�
≅ Γ
maka orde himpunan bebas
= orde himpunan bebas maksimal H �
= graf prima H
�
.
dan graf
V. KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan
Dari pembahasan yang telah dilakukan dengan menggunakan Lemma 4.1 sampai
Teorema 4.4 pada bab IV dapat disimpulkan bahwa jika terdapat grup berhingga
dan
Γ
tidak komutatif dan kedua grup tersebut memiliki graf tidak komutatif
≅Γ
maka graf tersebut memiliki orde subgrup maksimal komutatif
yang sama yaitu �
�
=
�
.
=�
dan memilki graf prima yang sama yaitu
5.2 Saran
Kajian teori tentang graf tidak komutatif dan graf prima adalah kajian baru dalam
penelitian teori grup dan teori graf. Jika pembaca tertarik dengan penelitian ini,
pembaca diharapkan agar bisa melanjutkan penelitian ini untuk mengkaji
karakteristik graf tidak komutatif dan graf prima pada grup berhingga yang tidak
komutatif.
DAFTAR PUSTAKA
Abdollahi, A.S. Akbari and H.R. Maimani. 2006. Non-commuting graph of a
group, J. Algebra 298 no. 2, 468-492.
Adkins, W.A, Weintraub, S.H. 1992. Algebra An Approach Via Module Theory.
Springer Verlay, New York.
Chen, G.Y. 2006. A characterization of alternating groups by the set of orders of
their maximal abelian subgroups, Siberian Math. J. 47 no. 3, 594-596.
Deo, N. 1989. Graph Theory With Aplications To Engineering And Computer
Science. Prentice-Hall, New Delhi.
Dummit, D.S , Foote, R.M. 2004. Abstract Algebra 3rd Edition. John Wiley and
Son inc, III River Street, Hoboken.
Fraleigh, J.B. 1999. A First Course In Abstact Algebra. Sixth Edition. Addition
Wesley Publishing Company, MC. Philippines.
Hertz, A.V.V. Lozin. 2005. The Maximum Independent Set Problem and
Augmenting Graphs. Graph Theory and Combinatorial Optimization,
1:1-32.
Iranmanesh, A and A.Jafarzadeh. 2008. On the Commuting Graph Associated
with symmetric and alternating group, J.Algebra Appl. 7 no., 129-146.
Williams, J.S. 1981. Prime graph components of finite groups, J. Algebra 69 no.
2, 487-513.