BILANGAN KROMATIK LOKASI GRAF nS4,k

BILANGAN KROMATIK LOKASI GRAF ,

(Skripsi)

Oleh

Agustina Ambar Wulan

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG

ABSTRAK

BILANGAN KROMATIK LOKASI GRAF _,

Oleh

Agustina Ambar Wulan

Bilangan kromatik lokasi diperkenalkan pada tahun 2000 oleh Chartrand dkk. sebagai perkembangan dari dua konsep dalam graf yaitu pewarnaan titik pada graf dan dimensi partisi graf. Misalkan c suatu pewarnaan sejati di dengan ( ) ( ) untuk dan yang bertetangga di . Misalkan adalah kelas warna dari ( ). Kode warna, ( ) dari adalah k-pasang terurut dengan ( , ) = min ( , ) untuk 1≤ . Banyaknya warna minimum yang digunakan pada pewarnaan lokasi disebut bilangan kromatik lokasi dari , dinotasikan dengan ( ). Graf , diperoleh dari graf , dan setiap titik nya dihubungkan oleh suatu lintasan. Bilangan kromatik lokasi dari graf nS4,k sudah ditentukan yakni :χL(nS4,2) = 4 untuk 1 2

dan 5 untuk n lainnya; misalkan 3 χL(nS4,k) = + 1; 1 dan

+ 2untuk lainnya.

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Bandar Lampung pada tanggal 17 Agustus 1992. Penulis merupakan anak keempat dari pasangan Bapak Iawar dan Ibu Rohayani, adik dari Hendra Widjaya, Budi Permana, dan Lina Sudarwati.

Penulis menyelesaikan pendidikan dari Taman Kanak-kanak Negeri Pembina Pahoman, Bandar Lampung pada tahun 1998. Pendidikan sekolah dasar di SD Negeri 2 Pahoman, Bandar Lampung pada tahun 2004. Pendidikan sekolah menengah pertama di SMP Negeri 16 Bandar Lampung pada tahun 2007. Pendidikan sekolah menengah atas di SMA Negeri 4, Bandar Lampung pada tahun 2010.

Pada tahun 2010, Penulis melanjutkan pendidikan di perguruan tinggi dan terdaftar sebagai mahasiswa Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung melalui jalur SNMPTN. Pada periode tahun 2010/2011 penulis terdaftar sebagai anggota GEMATIKA (Generasi Muda HIMATIKA) Himpunan Mahasiswa Matematika FMIPA Unila. Penulis pernah menjadi anggota biro Kesekretariatan Organisasi Himpunan Mahasiswa Matematika FMIPA Unila pada periode tahun 2011/2012 - 2012/2013. Penulis telah mengikuti Kerja Praktik (KP) selama tiga minggu di Kantor Dinas

Pendapatan Kota Bandar Lampung serta Kuliah Kerja Nyata (KKN) selama 40 hari didesa Tegal Gondo kecamatan Purbolinggo, Lampung Timur.

PERSEMBAHAN

Dengan penuh rasa syukur kepada Allah SWT atas nikmat yang luar biasa yang selalu diberikan kepadaku sehingga aku dapat menyelesaikan hasil

karyaku ini

Kupersembahkan hasil karyaku ini untuk Ayah, Ibuku tersayang, abangku Hendra Widjaya, Budi Permana, Mbaku Lina, sebagai salah satu wujud

cintaku.

Terima kasih untuk setiap doa,semangat, dan kasih sayang yang selalu menemani disetiap hariku.

Sahabat-sahabat terbaikku, terima kasih untuk semua kisah yang telah kita lalui bersama.

MOTO

Sungguh bersama kesukaran dan keringanan, karna itu bila kau telah selesai

(mengerjakan yang lain) dan kepada Tuhan , berharaplah .

(Q.S Al Insyirah : 6-8)

Kesuksesan berbanding lurus pada tindakan yang dilakukan

.

Selalu berusaha menjadi seseorang yang berguna untuk orang di sekitar kita .

(Agustina Ambar Wulan)

SANWACANA

Alhamdulillahi robbil ‘alamin, puji dan syukur penulis kepada Allah SWT atas izin serta ridho-Nya dalam menyelesaikan skripsi ini. Shalawat serta salam kepada junjungan nabi Muhammad SAW yang telah menjadi suri tauladan yang baik bagi kita.

Pada proses penyusunan skripsi ini, penulis memperoleh banyak bimbingan, kritik, dan saran yang membangun sehingga skripsi ini mampu penulis selesaikan. Untuk itu penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada :

1. Ibu Dr. Asmiati, S,Si., M.Si., selaku dosen pembimbing I yang senantiasa membimbing, memberikan arahan, saran, dan dukungan kepada penulis dalam menyelesaikan skripsi ini.

2. Ibu Fitriani, S,Si., M.Si., selaku dosen pembimbing II yang telah banyak membantu dan memberikan pembelajaran serta bimbingan kepada penulis.

3. Bapak Amanto, S.Si., M.Si., selaku dosen penguji yang telah memberikan kritik dan saran pada penelitian ini.

4. Bapak Drs. Tiryono Ruby, M.Sc., Ph.D., selaku dosen pembimbing akademik dan selaku Ketua Jurusan Matematika FMIPA Universitas Lampung.

6. Seluruh dosen, staff, dan karyawan Jurusan Matematika FMIPA Universitas Lampung.

7. Untuk kedua orang tuaku yang luar biasa, abang tercinta Kahen, serta mbaku Lina yang tak pernah lelah untuk memberikan doa, kasih sayang, perhatian serta dukungan kepada penulis.

8. Untuk Abu Dzar Algi Fahri atas semangat, nasehat, kesabaran, kebersamaan serta waktu luang yang sangat bermanfaat selama ini.

9. Sahabat-sahabat penulis, Engine, Indri, Dian, Dinda, Tri, karim, Miftah, Ridho, Sofyan, Andi, Puput, Senja, Dede, Fany, Rofa serta Nisa yang selalu ada menemani dan memberikan semangat melalui keceriaan serta kebersamaan . 10. Untuk Staff pengajar Soesilo 43 serta anak murid tercinta, para calon Brigadir dan

AKPOL yang memberikan keceriaan.

11. Untuk teman-teman Matematika 2010 dan keluarga besar HIMATIKA 12. Seluruh pihak yang telah membantu dalam penyusunan skripsi ini yang tidak

dapat disebutkan satu persatu.

Akhir kata, penulis menyadari skripsi ini jauh dari kesempurnaan akan tetapi semoga dapat berguna dan bermanfaat bagi kita semua.

Bandar Lampung, Februari 2015 Penulis,

DAFTAR GAMBAR

Halaman

Gambar 1. Permasalahan JembatanKonigsberg………...2

Gambar 2 GrafS4,k………....4

Gambar 3 Contoh graf dengan 5 titik dan 5 sisi………6

Gambar 4 Contoh graf dengan 5 titik dan 8 sisi………7

Gambar 5 Contoh graf lengkap K4……….8

Gambar 6 TG………...8

Gambar 7 Contoh graf dengan 6 titik dan 7 sisi ………9

Gambar 8 T adalahcontoh pohon dan H adalah contoh hutan ……….10

Gambar 9 GrafS4,k……….11

Gambar 10 Graf 3S4,5………...11

Gambar 11 Graf bintangK1,6………12

Gambar 12 Graf bintang gandaS3,2...12

Gambar 14 Contoh graf pohon pisang………...13

Gambar 15 Pewarnaan lokasi minimum dari graf G……….15

Gambar 16 Pewarnaan lokasi minimum pada graf lintasan Pn………..17

Gambar 17 Pewarnaan lokasi minimum padaSa,b……….17

Gambar 18 Pohon T berordendenganχ (T)= k………..……..18

Gambar 19 Pewarnaan lokasi minimum graf bintangK1,n……….18

Gambar 20 Konstruksi grafnS4,k………21

Gambar 21 Konstruksi batas bawahχ (S4,2)...……….…22

Gambar 22 Pewarnaan lokasi minimum grafS4,2……….………….23

Gambar 23 Konstruksi batas bawahχ (2nS4,2)………...…...24

Gambar 24 Pewarnaan lokasi minimum graf 2S4,2………….……….……...25

Gambar 25 Pewarnaan lokasi minimum grafnS4,k, untukn≥3……….……….26

Gambar 26 Pewarnaan lokasi minimum grafnS4,k, untukn ……...29

1

I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi sampai saat ini terus mengalami kemajuan. Salah satunya adalah cabang ilmu matematika yang sampai saat ini mengalami perkembangan yang berguna untuk kemajuan teknologi. Para peneliti terus melakukan penelitian untuk selalu menemukan penemuan-penemuan baru yang dapat memberikan sumbangan ilmu pengetahuannya sebagai penunjang berkembangnya ilmu-ilmu lain.

Teori graf merupakan salah satu dari contoh ilmu matematika yang semakin lama semakin berkembang. Berawal dari permasalahan jembatan Konigsberg (Konigsberg problem) memiliki tujuh jembatan yang menghubungkan empat daerah. Penduduk kota tersebut ingin melewati ketujuh jembatan tersebut tepat satu kali dan kembali lagi ke tempat awal keberangkatan. Dari permasalahan tersebut, seorang matematikawan Swiss, Leonard Euler pada tahun 1736 menemukan jawaban, yaitu memodelkan masalah ini dengan cara merepresentasikannya ke dalam graf. Daratan yang dihubungkan oleh jembatan sebagai titik (vertex)dan jembatan sebagai sisi

2

(edge). Representasi tersebut mempermudah menganalisis dan menentukan solusi dari permasalahan tersebut yang sangat membutuhkan dana besar dan waktu lama untuk membuktikannya secara langsung.

Gambar 1. Permasalahan JembatanKonigsberg

Salah satu ilmu dalam teori graf adalah bilangan kromatik lokasi. Konsep bilangan kromatik lokasi diperkenalkan pada tahun 2000 oleh Chartrand, Erwin, Henning, Slater, Zhang sebagai perkembangan dari dua konsep dalam graf yaitu pewarnaan titik dan dimensi partisi graf. Kajian penentuan bilangan kromatik lokasi graf dilakukan dengan membatasi kelas-kelas graf tertentu atau dengan membatasi bilangan kromatik lokasi tertentu.

Sejauh penelusuran literatur, penelitian yang terkait dengan penentuan bilangan kromatik lokasi dari graf pohon masih terbatas pada lintasan, graf bintang, dan graf bintang ganda. Pada penelitian sebelumnya, telah berhasil ditentukan bilangan kromatik lokasi untuk kelas graf pohon, khususnya kelas graf pohon yang merupakan amalgamasi darinbuah graf bintang yang tidak harus isomorfik dan dilanjutkan dengan menentukan sifat kemonotonannya (Asmiati dkk., 2011). Penelitian lainnya yang telah berhasil dilakukan adalah menentukan bilangan kromatik lokasi untuk graf

3

kembang api (firecracker graphs) yakni kelas dari graf pohon yang dikontruksi darinbuah graf bintang dengan menghubungkan satu daun dari setiap graf bintang menjadi sebuah lintasanPn(Asmiati. 2012).

Chartrand dkk. (2002) mendefinisikan bilangan kromatik lokasi sebagai berikut. Misalkanc suatu pewarnaan sejati di Gdengan ( ) ( )untuk dan yang bertetangga di G. Misalkan adalah himpunan titik-titik yang diberi warna , yang selanjutnya disebut kelas warna, maka = { , , . . } adalah himpunan yang terdiri dari kelas-kelas warna dari ( ). Kode warna, ( ) dari adalah k-pasang terurut

( ( , ), ( , ), . , ( , ))dengan ( , ) = min ( , )

untuk 1≤ . Jika setiap titik di Gmempunyai kode warna yang berbeda, makac disebut pewarnaan lokasi dariG. Banyaknya warna minimum yang digunakan pada pewarnaan lokasi disebut bilangan kromatik lokasi dari G, dan dinotasikan dengan ( ).

Chartrand dkk.(2002) telah mendapatkan bilangan kromatik lokasi untuk beberapa graf antara lain ( ) = 3 untuk 3, untuk 3 berlaku ( ), adalah 3 jikan ganjil dan 4 jikan genap, untuk graf bintang ganda ( , ), 1 dan 2, bilangan kromatik lokasinya adalah + 1.

Misalkan graf terhubung berorde 3, maka ( ) = jika dan hanya jika graf multipartit lengkap.

4

Selanjutnya, Chartrand dkk. (2003) telah menunjukkan kelas-kelas graf yang berorde n dengan bilangan kromatik lokasinya ( 1) dan juga graf-graf yang mempunyai bilangan kromatik loksai dengan batas atasnya ( 2). Chartrand dkk. (2003) juga menunjukkan bahwa terdapat pohon berorde 5 dengan bilangan kromatik lokasi n jika dan hanya jika

{3,4, . . , 2, }.

1.2 Perumusan Masalah

Diberikan graf , sebagai berikut :

Gambar 2. Graf ,

Graf , diperoleh dari graf , dan setiap titik nya dihubungkan oleh suatu lintasan. Pada penelitian ini akan ditentukan bilangan kromatik lokasi grafnS4,kuntukn,ksebarang bilangan asli.

1.3 Tujuan Penelitian

Tujuan penelitian ini adalah mendapatkan bilangan kromatik lokasi dari graf _, .

5

1.4 Manfaat Penelitian

Adapun manfaat dari penelitian ini adalah :

1. Memberikan pemahaman mengenai bilangan kromatik lokasi dari suatu graf

2. Sebagai bahan referensi penelitian lanjutan untuk menentukan bilangan kromatik lokasi kelas graf pohon lainnya.

6

II. LANDASAN TEORI

Pada bab ini akan diberikan beberapa konsep dasar teori graf dan bilangan kromatik lokasi sebagai landasan teori pada penelitian ini.

2.1 Konsep Dasar Graf

Pada sub bab ini akan diberikan beberapa definisi dan teorema tentang graf yang diambil dari Deo (1989).

Suatu graf G adalah pasangan himpunan terurut ( ( ), ( ) ) dengan ( ) menyatakan himpunan titik (vertex) tak kosong dan ( ) menyatakan himpunan sisi (edge)yakni pasangan tak terurut dari ( ). Pada Gambar 3, terlihat ( )=

{ , , , , }dan ( ) = { , , , , }.

7

Graf digunakan untuk mempresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan antara objek-objek tersebut. Representasi visual dari graf adalah dengan menyatakan objek-objek sebagai bulatan atau titik, sedangkan hubungan antara objek dinyatakan dengan sisi. Banyak sekali struktur yang bisa direpresentasikan dengan graf, dan banyak masalah yang bisa diselesaikan dengan bantuan graf. Sebagai contoh representasi dari graf adalah perjalanan bus untuk menemukan rute paling ekonomis dari sebuah terminal ke halte-halte yang harus dilewati tepat satu kali tanpa ada yang terlewati dua kali dan harus kembali ke terminal asal, merupakan upaya untuk mengefisienkan biaya dan waktu pada sistem transportasi. Sistem transportasi perjalanan bus dapat dimodelkan dalam graf dengan halte sebagai titik dan jalur yang menghubungkan halte-halte tersebut sebagai sisi.

Gambar 4. Contoh graf dengan 5 titik dan 8 sisi

Loop adalah sisi yang memiliki titik awal dan titik akhir yang sama. Sisi paralel adalah sisi yang memiliki dua titik ujung yang sama. Pada Gambar 4, terdapat loop pada titik v2 yaitu e8, sedangkan e3, e6, e5dan e7 disebut sisi paralel. Graf

8

(simple graph). Graf pada Gambar 4. bukan graf sederhana (simple graf) karena terdapatloop(e9) dan sisi ganda (e5dane7).

Suatu graf G dikatakan graf lengkap jika untuk setiap pasangan titik terdapat sisi yang menghubungkannya.

Gambar 5. Contoh Graf Lengkap K4

Misalkan adalah graf dengan himpunan titik ( ) dan sisi ( ), maka graf dikatakan subgraf dinotasikan denganTG jika dan hanya jika ( )himpunan bagian dari ( )dan ( )himpunan bagian dari ( ). Graf dikatakan subgraf sejati jika dan hanya jika subgraf dari dan . Contoh subgraf dapat dilihat pada gambar berikut:

Graf G B A e1 e2 e3 Graf T c D e4

Gambar 6.TG

Dua titik pada graf dikatakan bertetangga (adjacent) bila keduanya terhubung oleh suatu sisi. Suatu sisi dikatakan menempel (incident) dengan suatu titiku, jika titik umerupakan salah satu titik ujung dari sisi tersebut. Pada Gambar 4. dapat

9

dilihat bahwa sisi menempel (incident) dengan titik dan dan titik menempel pada sisi dan . Titik bertetangga (adjacent) dengan titik karena terdapat sisi-sisi yang menghubungkan dan . Demikian pula dengan titik bertetangga dengan titik , dan titik bertetangga dengan titik .

Derajat (degree) dari suatu titik v ( ),dinotasikan dengan ( ) dari graf adalah banyaknya sisi yang menempel pada titik . Jika setiap titik pada graf mempunyai derajat yang sama, maka disebut graf reguler. Daun (pendant vertex) adalah titik yang berderajat satu. Pada Gambar 4. d( ) = 2, ( ) = 5,

( ) = 3, ( ) = 5dan ( ) = 3. Graf tersebut tidak memiliki daun

karena setiap titiknya memiliki derajat lebih dari satu.

Jalan (walk) adalah barisan berhingga dari titik dan sisi dimulai dan diakhiri dengan titik sedemikian sehingga setiap sisi menempel dengan titik sebelum dan sesudahnya. Contoh walk dari graf pada gambar 7 adalah v1e1v2e2v3e4v4e6v5 e7v6e3.

Gambar 7. Contoh Graf dengan 6 titik dan 7 sisi

Lintasan (path) adalah jalan yang memiliki atau melewati titik yang berbeda-beda. Lintasan yang memiliki titik awal dan akhir yang sama disebut lintasan tertutup

10

atau siklus. Graf G pada Gambar 7. v1v2v3v4v5v6 adalah salah satu lintasan tertutup. Siklus yang banyak titiknya genap disebut sirkuit genap, sedangkan jika banyak titiknya ganjil, maka disebut siklus ganjil. Graf G dikatakan terhubung jika terdapat lintasan yang menghubungkan setiap dua titik yang berbeda

2.2. Kelas Graf Pohon

Pohon (tree) adalah graf terhubung yang tidak memuat siklus. Suatu Graf adalah pohon jika dan hanya jika terdapat tepat satu lintasan untuk setiap pasangan titik di Graf (Deo,1989).

Berikut ini akan diberikan beberapa kelas graf pohon yang berkaitan dengan penelitian ini.

Misalkan adalah graf terhubung, disebut pohon jika dan hanya jika tidak memuat sirkuit. Gabungan dari pohon disebut hutan (forest) (Deo, 1989).

Gambar 8. T adalah contoh pohon dan H adalah contoh hutan

Graf _, adalah graf yang diperoleh dari graf _, dan setiap titik nya dihubungkan oleh suatu lintasan.

11

Gambar 9. GrafS4,k

Gambar 10. Graf 3S4,5

Graf bintang K1,n (star) adalah suatu graf terhubung yang mempunyai satu

titik berderajatnyang disebut pusat dan titik lainya berderajat satu (Chartrand dkk., 1998). Graf bintang denganktitik juga dapat dinotasikan dengan .

12

Gambar 11. Graf bintangK1,6

Suatu graf pohon disebut graf bintang ganda (double star) jika graf pohon tersebut mempunyai tepat dua titik x dan y berderajat lebih dari satu. Jika x dan y berturut-turut berderajat a + 1 dan b + 1, dinotasikan dengan Sa,b

(Chartrand dkk., 1998).

Gambar 12. Graf bintang gandaS3,2

Graf ulat (caterpillar graf) adalah graf pohon yang memiliki sifat apabila dihapus semua daunnya akan menghasilkan lintasan (Chartrand dkk., 1998).

Gambar 13. Contoh graf ulat

Graf pohon pisang _, adalah graf yang diperoleh dari n buah kegraf bintang dengan cara menghubungkan sebuah daun dari setiap graf bintang , suatu titik baru. Titik baru itu disebut titikroot, dinotasikan denganx(Asmiati dkk., 2011).

13

Gambar 14. Contoh Graf Pohon Pisang

2.3 Bilangan Kromatik Lokasi

Bilangan kromatik lokasi diperkenalkan oleh Chartrand dkk. (2002). Bilangan kromatik lokasi didefinisikan sebagai berikut. Misalkan c suatu pewarnaan sejati di dengan ( ) ( ) untuk dan yang bertetangga di . Misalkan adalah himpunan titik-titik yang diberi warna , yang selanjutnya disebut kelas warna, maka = { , , . . } adalah himpunan yang terdiri dari kelas-kelas warna dari ( ). Kode warna, ( ) dari adalah k-pasang terurut

( ( , ), ( , ), . , ( , )) dengan ( , ) = min ( , )

untuk 1≤ . Jika setiap titik di mempunyai kode warna yang berbeda, maka c disebut pewarnaan lokasi dari . Banyaknya warna minimum yang digunakan pada pewarnaan lokasi disebut bilangan kromatik lokasi dari , dan dinotasikan dengan ( ).

14

Berikut ini diberikan teorema dasar tentang bilangan kromatik lokasi yang telah dibuktikan oleh Chartrand dkk. (2002). Lingkungan dari , dinotasikan dengan N(u) adalah himpunan titik-titik yang bertetangga dengan .

Teorema 2.1. Misalkan c adalah pewarnaan lokasi pada graf . Jika u dan v adalah dua titik yang berbeda di sedemikian sehingga d(u,w) = d (v,w) untuk semua w _ϵ V(G) – {u,v}, maka c(u) ≠ c(v). Secara khusus, jika u danv titik-titik yang tidak bertetangga di sedemikian sehinggaN(u) =N(v), makac(u)≠c(v).

Bukti: Misalkan c adalah suatu pewarnaan lokasi pada graf terhubung dan misalkan П = { C1 ,C2 , .... , Ck} adalah partisi dari titik-titik kedalam kelas

warna Ci. Untuk suatu titik u,v

∊

V(G), andaikan ( ) = ( ) sedemikian

sehingga titik u dan v berada dalam kelas warna yang sama, misal Ci dari П.

Akibatnya, ( , ) = ( , ) = 0. Karena ( , ) = ( , ) untuk setiap ( ) { , }makad(u,Cj) =d(v, ) untuk setiapj≠i,

1 ≤ _j ≤ _k._{Akibatnya, c}П (u) = cП (v) sehingga c bukan pewarnaan lokasi. Jadi,

( ) ( ). ■

Akibat 2.1. Jika adalah graf terhubung dengan suatu titik yang bertetangga dengankdaun, maka ( )≥ k+1.

Bukti: Misalkan v adalah suatu titik yang bertetangga dengan k daun, yaitu x1,

x2, .... ,xk di . Berdasarkan Teorema 2.1, setiap pewarnaan lokasi dari

15

dengan semua xi, maka v harus mempunyai warna yang berbeda dengan semua

daunxi. Akibatnya,χL(G)≥ k+1. ■

Berikut ini diberikan graf dan akan ditentukan bilangan kromatik lokasi dari graf tersebut.

G

Gambar 15. Pewarnaan lokasi minimum dari graf

Diberikan graf seperti yang terlihat pada Gambar 15. Akan ditentukan terlebih dahulu batas bawah bilangan kromatik lokasi dari graf .Karena terdapat titik v3

yang mempunyai 3 daun, maka berdasarkan Akibat 2.1,χL( )≥ 4. (2.1)

Misalkan c adalah pewarnaan titik menggunakan empat warna. Pada graf diberikan kelas warna sedemikian sehingga diperoleh = { , , , } dengan

= { , }, = { , , }, = { , }dan = { , }. Oleh karena

itu, didapatkan kode warna sebagai berikut :

( ) = (0,1,2,3); ( ) = (1,0,1,2); ( ) = (0,1,1,1); ( ) =

(1,0,2,2); ( ) = (1,2,0,2); ( ) = (1,2,2,0); ( ) =

16

Karena kode warna dari semua titik di berbeda, maka c adalah pewarnaan

lokasi. Jadi,χL( )≤ 4 (2.2)

Berdasarkan (2.1) dan (2.2), maka adalah pewarnaan lokasi dari dan

χL( ) = 4.

Selanjutnya akan didiskusikan bilangan kromatik lokasi dari beberapa kelas graf pohon.

Teorema 2.2.Bilangan kromatik lokasi graf lintasanPn(n≥ 3)adalah 3.

Bukti: Perhatikan bahwa χL (P1) = 1 dan χL (P2) = 2. Berdasarkan Akibat 2.1,

diperoleh χL (Pn) 2. Misalkan c adalah 2-pewarnaan lokasi pada Pn, n 3

akibatnya akan terdapat dua titik yang memiliki kode warna yang sama, kontradiksi. MakaχL(Pn) 3;n 3.

Selanjutnya konstruksi batas atas pada Pn; n 3 sebagai berikut. Misalkan c

adalah 3-pewarnaan titik, c(v1)= 1; c(vi)= 2 untukigenap; dan c(vi)= 3 untuki 3

ganjil. Diperoleh kode warna ( ) = (0,1,2); ( ) = ( 1,0,1)untuk i genap; ( ) = ( 1,1,0)untuk i 3 ganjil. Karena semua titik mempunyai kode warna berbeda, maka c adalah pewarnaan lokasi. Akibatnya, χL (Pn) 3;

17

1

v

6

1

3

2

v

5

v

2

v

1

v

3

v

4

2

1

u

n-1

u

n Gambar 16. Pewarnaan lokasi minimum pada graf lintasan Pn

Teorema 2.3.Untuk bilangan bulatadanbdengan 1≤ a≤ b danb≥ 2 χL(Sa,b) =b+1

Bukti : Berdasarkan Akibat 2.1, diperoleh batas bawah yaitu χL (Sa,b) ≥ b+1.

Selanjutnya, akan ditentukan batas atasnya, yaitu χL (Sa,b) ≤ b+1. Misalkan c

adalah pewarnaan titik menggunakan (b+1) warna sebagaimana terlihat pada Gambar 17. Perhatikan bahwa kode warna dari setiap titik Sa,bberbeda, akibatnya

cadalah pewarnaan lokasi. Jadi χL(Sa,b)≤b+1. ■

Gambar 17. Pewarnaan lokasi minimum padaSa,b.

Chartrand dkk. (2003) telah mendapatkan bentuk graf pohon berorden≥5 yang memiliki bilangan kromatik lokasi dari 3 sampai n, kecuali n-1, sebagaimana teorema berikut ini.

18

Teorema 2.4.Terdapat pohon dengan berorde n ≥5 yang mempunyai bilangan kromatikkjika dan hanya jikak (3,4,..,n-2,n).

Pewarnaan pada Teorema 2.4 dapat diberikan sebagai berikut:

v

2

v

3

v

4

v

5

v

1

u

1

u

2

k- 1 u

k-1

1

2

k

1

2

1

2

v

n-k+1

Gambar 18. Pohon T berordendenganχL(T)= k

Teorema 2.5.MisalkanK1,ngraf bintang beroden≥ 1, maka χL(K1,n) =n+1.

Bukti :

Gambar 19. Pewarnaan lokasi minimum graf bintangK1,n

Karena terdapat daun sebanyak n,maka berdasarkan Akibat 2.1, χL( ) ≥ n+1.

Misalkanc adalah pewarnaan pada grafK1,n, dengan c(v1)= 1; c(vi)= i;i≥2. Kode

19

komponen warna lainnya. Sedangkan kode warna titik ; 2, akan bernilai 1 untuk komponen warna ke-1, 0 untuk warna ke-i,dan 2 untuk lainnya. Karena kode warna dari semua titik adalah berbeda, makacmerupakan pewarnaan lokasi.

III. METODE PENELITIAN

3.1 Waktu dan Tempat Penelitian

Adapun waktu dan tempat penelitian yaitu pada semester ganjil tahun 2014 _– 2015 bertempat di Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Lampung.

3.2 Metode Penelitian

Metode yang dilakukan untuk menentukan bilangan kromatik lokasi dari graf , yaitu sebagai berikut :

1. Menentukan batas bawah dari✄ ✁

Berdasarkan Akibat 2.1. dapat ditentukan batas bawah trivial dari bilangan kromatik lokasi . Hal ini dapat dilakukan karena terdapat titik pada

yang mempunyai daun, akibatnya,✄ ( ✂ ✧ ☎✆✁ 2. Menentukan batas atas dari✄ ✁

Batas atas dari ✄ diperoleh dengan cara mengkonstruksi graf

✁Himpunan titik-titik pada graf dikelompokkan berdasarkan diameternya ke dalam kelas-kelas warna. Minimum banyaknya kelas-kelas warna itulah yang merupakan bilangan kromatik lokasi dari graf ✁

V. SIMPULAN DAN SARAN

Pada bagian ini akan diberikan simpulan dan saran dari hasil yang sudah diperoleh untuk penelitian ini.

5.1. Simpulan

Adapun simpulan dalam penelitian ini secara umum adalah sebagai berikut :

1. χL(nS4,2) =

4 ; 1 2 5 ; lainnya

Misalkan 3.

2. χL(nS4,k) =

+ 1; 1

+ 2; lainnya

5.2. Saran

Penelitian ini dapat dilanjutkan dengan menentukan bilangan kromatik lokasi pada graf pohonnSm,kuntuk , , sebarang bilangan asli.

DAFTAR PUSTAKA

Asmiati, Baskoro, E.T, Characteristic of graph Containing Cycle with Locating-chromatic Number Three,AIP Conf. Proc.,1450, 351-357, 2012.

Asmiati, Assiyatun, H, Baskoro, E.T, Suprijanto, D, Simanjutak, R, Uttunggadewa, S, The Locating-Chromatic Number of Firecracker Graphs. Far East Journal of Mathematical Science. 63(1), 11-23, 2012.

Asmiati, Assiyatun, H, Baskoro, E.T, Locating-Chromatic Number of Amalgamation of Stars.Bulletin Mathematics,4(2), 1-8, 2011.

Chartrand, G, Erwin, D, dan Zhang, P. 2003. Graph of Order n with Locating-chromatic Numbern-1, Discrete Mathematics,269, 65-79.

Chartrand, G, Erwin, D, dan Zhang, P. 2003. The Locating- Chromatic Number of a Graph,Aequationes Math,89-100.

Deo. N. 1989. Graph Theory with Applications to Engineering and computer Science. Prentice Hall Inc, New York.

DAFTAR ISI

Halaman

DAFTAR ISI………..i

DAFTAR GAMBAR……….ii

BAB IPENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang……….1

1.2 Perumusan Masalah……….…4

1.3 Tujuan Penelitian……….4

1.4 Manfaat Penelitian………...………5

BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Konsep Dasar Graf………...6

2.2 Kelas Pohon ……….………..10

2.3 Bilangan Kromatik Lokasi………...13

BAB III METODE PENELITIAN 3.1 Waktu dan Tempat Penelitian ………..20

3.2 Metode Penelitian………..20 BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1 Bilangan Kromatik Lokasi Graf nS4,2...21

4.2 Bilangan Kromatik Lokasi Graf nS4,k untuk k ≥ 3…………...27 BAB V SIMPULAN DAN SARAN

DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN

19

komponen warna lainnya. Sedangkan kode warna titik ; 2, akan bernilai 1 untuk komponen warna ke-1, 0 untuk warna ke-i,dan 2 untuk lainnya. Karena kode warna dari semua titik adalah berbeda, makacmerupakan pewarnaan lokasi.

III. METODE PENELITIAN

3.1 Waktu dan Tempat Penelitian

Adapun waktu dan tempat penelitian yaitu pada semester ganjil tahun 2014 _– 2015 bertempat di Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Lampung.

3.2 Metode Penelitian

Metode yang dilakukan untuk menentukan bilangan kromatik lokasi dari graf , yaitu sebagai berikut :

1. Menentukan batas bawah dari✄ ✁

Berdasarkan Akibat 2.1. dapat ditentukan batas bawah trivial dari bilangan kromatik lokasi . Hal ini dapat dilakukan karena terdapat titik pada

yang mempunyai daun, akibatnya,✄ ( ✂ ✧ ☎✆✁

2. Menentukan batas atas dari✄ ✁

Batas atas dari ✄ diperoleh dengan cara mengkonstruksi graf ✁Himpunan titik-titik pada graf dikelompokkan berdasarkan

diameternya ke dalam kelas-kelas warna. Minimum banyaknya kelas-kelas warna itulah yang merupakan bilangan kromatik lokasi dari graf ✁

V. SIMPULAN DAN SARAN

Pada bagian ini akan diberikan simpulan dan saran dari hasil yang sudah diperoleh untuk penelitian ini.

5.1. Simpulan

Adapun simpulan dalam penelitian ini secara umum adalah sebagai berikut : 1. χL(nS4,2) =

4 ; 1 2

5 ; lainnya

Misalkan 3.

2. χL(nS4,k) = + 1; 1

+ 2; lainnya

5.2. Saran

Penelitian ini dapat dilanjutkan dengan menentukan bilangan kromatik lokasi pada graf pohonnSm,kuntuk , , sebarang bilangan asli.

DAFTAR PUSTAKA

Asmiati, Baskoro, E.T, Characteristic of graph Containing Cycle with Locating-chromatic Number Three,AIP Conf. Proc.,1450, 351-357, 2012.

Asmiati, Assiyatun, H, Baskoro, E.T, Suprijanto, D, Simanjutak, R, Uttunggadewa, S, The Locating-Chromatic Number of Firecracker Graphs. Far East Journal of Mathematical Science. 63(1), 11-23, 2012.

Asmiati, Assiyatun, H, Baskoro, E.T, Locating-Chromatic Number of Amalgamation of Stars.Bulletin Mathematics,4(2), 1-8, 2011.

Chartrand, G, Erwin, D, dan Zhang, P. 2003. Graph of Order n with Locating-chromatic Numbern-1, Discrete Mathematics,269, 65-79.

Chartrand, G, Erwin, D, dan Zhang, P. 2003. The Locating- Chromatic Number of a Graph,Aequationes Math,89-100.

Deo. N. 1989. Graph Theory with Applications to Engineering and computer Science. Prentice Hall Inc, New York.

DAFTAR ISI

Halaman

DAFTAR ISI………..i

DAFTAR GAMBAR……….ii

BAB IPENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang……….1

1.2 Perumusan Masalah……….…4

1.3 Tujuan Penelitian……….4

1.4 Manfaat Penelitian………...………5

BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Konsep Dasar Graf………...6

2.2 Kelas Pohon ……….………..10

2.3 Bilangan Kromatik Lokasi………...13

BAB III METODE PENELITIAN 3.1 Waktu dan Tempat Penelitian ………..20

3.2 Metode Penelitian………..20

BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1 Bilangan Kromatik Lokasi Graf nS4,2...21

4.2 Bilangan Kromatik Lokasi Graf nS4,k untuk k ≥ 3…………...27

BAB V SIMPULAN DAN SARAN DAFTAR PUSTAKA