4.2 Polinomial-polinomial Interpolasi 211
P n
x =
a 1
+ a
2 x
+ a
3 x
2 +
::: +
a n+1
x n
= a
1 +
xa 2
+ xa
3 +
:::a n
+ a
n+1 x::::
4.15 Nilai
P n
x
dapat dihitung secara rekursif sebagai berikut:
S 1
= a
n+1 S
2 =
a n
+ xS
1 S
3 =
a n
1 +
xS 2
S 4
= a
n 2
+ xS
3
.. .
S n
= a
2 +
xS n
1 S
n+1 =
a 1
+ xS
n :
4.16
Akhirnya,
P n
x =
S n+1
.
4.2.2 Polinomial Newton: Selisih Terbagi
Divided Difference
Polinomial interpolasi Newton yang kita peroleh di atas dinyatakan secara rekursif. Oleh karena itu, untuk menghitung suatu nilai dengan menggu-
nakan polinomial berderajad
n
kita perlu menghitung nilai-nilai polino- mial berderajad
n 1
,
n 2
, . . . , 2, 1. Sekarang kita akan membahas cara mendapatkan suatu penyajian
secara eksplisit suatu polinomial interpolasi Newton dari data yang tertabulasi, dengan menggunakan sebuah metode yang dikenal sebagai
metode selisih terbagi divided-difference.
Misalkan kita ingin mencari polinomial interpolasi
P n
x
untuk menghampiri suatu fungsi
f x
. Untuk ini, data yang diberikan adalah
n +
1
titik,
x 1
; f
x 1
,
x 2
; f
x 2
, . . . ,
x n+1
; f
x n+1
. Misalkan poli- nomial interpolasinya kita tulis sebagai
P n
x =
a 1
+ a
2 x
x 1
+ a
3 x
x 1
x x
2 +
: :
: +
a n+1
x x
1 x
x 2
: :
: x
x n
4.17 dan kita ingin mencari nilai-nilai koefisien
a 1
,
a 2
, . . . ,
a n
,
a n+1
. Perhatikan, bahwa di sini berlaku
P n
x k
= f
x k
untuk
1 k
n +
1
. Jika
x =
x 1
disubstitusikan ke dalam 4.17, maka semua suku pada Pengantar Komputasi Numerik
c Sahid 2004 – 2012
4.2 Polinomial-polinomial Interpolasi 213
1. Selisih terbagi ke-nol terhadap
x k
:
Selisih terbagi Newton
f [x
k ℄
= f
x k
; k
= 1;
2; 3;
: :
: ;
n +
1
4.23 2. Selisih terbagi pertama terhadap
x k
dan
x k
+1
:
f [x
k ;
x k
+1 ℄
= f
[x k
+1 ℄
f [x
k ℄
x k
+1 x
k ;
k =
1; 2;
3; :
: :
n
4.24 3. Selisih terbagi kedua terhadap
x k
,
x k
+1
dan
x k
+2
:
f [x
k ;
x k
+1 ;
x k
+2 ℄
= f
[x k
+1 ;
x k
+2 ℄
f [x
k ;
x k
+1 ℄
x k
+2 x
k ;
k =
1; 2;
3; :
: :
n 1
4.25 4.
: :
:
5. Selisih terbagi ke-
j
terhadap
x k
,
x k
+1
, . . . ,
x k
+j
didefinisikan secara rekur- sif:
f [x
k ;
x k
+1 ;
: :
: ;
x k
+j ℄
= f
[x k
+1 ;
x k
+2 ;
: :
: ;
x k
+j ℄
f [x
k ;
x k
+1 ;
: :
: ;
x k
+j 1
℄ x
k +j
x k
;
4.26 untuk
k =
1; 2;
3; :
: :
; n
+ 1
j ;
j =
1; 2;
3; :
: :
; n
. Selisih terbagi Newton fungsi
f
dapat dipandang sebagai versi diskrit turunan fungsi
f
. Perhatikan, dari teorema nilai rata-rata kita tahu bahwa jika
f x
diferensiabel pada interval yang memuat
x 1
dan
x 2
, maka terdapat bilangan
antara
x 1
dan
x 2
sedemikian hingga
Hubungan selisih terbagi dan turunan
f =
f x
2 f
x 1
x 2
x 1
= f
[x 1
; x
2 ℄:
4.27 Jadi
f [x
1 ;
x 2
℄
dapat dipandang sebagai nilai turunan
f x
. Selanjutnya, jika
x 1
dan
x 2
cukup dekat, maka nilai selisih terbagi pertama
f [x
1 ;
x 2
℄
dapat digunakan sebagai hampiran yang cukup akurat untuk
f x
1 +x
2 2
. Lemma berikut ini, yang dapat dibuktikan dengan induksi matema-
tika lihat [5] halaman 141 – 143 dapat digunakan untuk menunjukkan Pengantar Komputasi Numerik
c Sahid 2004 – 2012
4.2 Polinomial-polinomial Interpolasi 215
C
ONTOH
4.5.
Misalkan
f x
= os x
,
x 1
= 0:2
,
x 2
= 0:3
,
x 3
= 0:4
. Dari contoh sebelumnya sudah dihitung
f [x
1 ;
x 2
℄ =
0:2473009
. Selisih terbagi derajad pertama yang lain adalah
f [x
2 ;
x 3
℄ =
os 0:4 os0:3
0:4 0:3
= 0:3427550:
Selanjutnya, selisih terbagi kedua adalah
f [x
1 ;
x 2
; x
3 ℄
= 0:3427550
0:2473009 0:4
0:2 =
0:4772703
Berdasarkan4.29, untuk
n =
2
dapat dicari nilai
0:4772703 =
1 2
f 00
= 1
2 os
;
atau
= os
1 0:9545406
= 0:3026814
x 2
. Selisih terbagi Newton memiliki beberapa sifat sebagai berikut:
1. Simetris. Jika
i 1
; i
2 ;
:::; i
n
menyatakan permutasi susunan urutan indeks
1; 2;
:::; n
, maka
Sifat simetris selisih terbagi
f [x
i 1
; x
i 2
; :::;
x i
n ℄
= f
[x 1
; x
2 ;
:::; x
n ℄:
4.30 Sifat ini dapat dibuktikan dengan induksi matematika. Cobalah
Anda buktikan untuk kausus
n =
2
dan
n =
3
2. Jika didefinisikan
f [x
1 ;
x 1
℄ =
lim x
2 x
1 f
[x 1
; x
2 ℄
= lim
x 2
x 1
f x
2 f
x 1
x 2
x 1
= f
x 1
;
maka dapat didefinisikan
f [x
1 ;
x 1
; :::;
x 1
| {z
} n
elemen
℄ =
1 n
f n
x 1
:
4.31 Dengan menggunakan sifat simetris, dapat diperluas definisi selisih
terbagi untuk beberapa simpul sama dan beberapa simpul lain ber- beda.
Pengantar Komputasi Numerik c
Sahid 2004 – 2012
4.2 Polinomial-polinomial Interpolasi 217
