Jurnal Ekonomi Pendidikan
, Volume 4 Nomor 2, November 2007
83 Jika dipilih
1 =
l i
a
,
σ σ =
l i
dan
2 1
2
∑
=
− =
−
s i
l i
i l
x x
x x
, maka sistem fuzzy 9 menjadi
∑ ∑
= =
⎟⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎜
⎝ ⎛
− −
⎟⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎜
⎝ ⎛
− −
=
N l
l N
l l
l
x x
exp x
x exp
y x
f
1 2
2 1
2 2
σ σ
10 dengan
l
y
adalah pusat dari himpunan samar B
l
.
Teorema 1
Wang, 1997: Untuk setiap
ε
0, terdapat
σ
0 sehingga sistem fuzzy 10 dengan
σ
=
σ
mempunyai sifat
ε −
l l
y x
f
, untuk l = 1, 2, …,N.
Berdasarkan Teorema 2.1, Semakin kecil
σ
, semakin kecil kesalahan
l l
y x
f −
tetapi grafik fx menjadi tidak halus. Jika grafik fx tidak halus, maka fx
mungkin tidak dapat digunakan untuk mengeneralisasi data-data diluar sampel. Oleh karena itu perlu dicari
σ
sehingga fx dapat mewakili data-data diluar sampel dan juga
meminimalkan kesalahan dari data-data sampel. Parameter
σ
berdimensi satu sehingga biasanya tidak sulit untuk menentukan
σ
yang sesuai untuk masalah sesungguhnya.
2. Fuzzy time series univariat
Sebelum mengembangkan prosedur peramalan berdasarkan data fuzzy time
series multivariat, berikut ini akan diberikan beberapa definisi fuzzy time series dan sifat- sifatnya.
Definisi 4
Song and Chissom, 1993: Misalkan
Y t
, t = ..., 0, 1, 2, ..., adalah
himpunan bagian dari
R
dan
i
f t
, i = 1, 2, 3,..., adalah himpunan fuzzy yang
didefinisikan pada
Y t
. Misalkan
F t
adalah himpunan yang anggotanya adalah
i
f t
, i = 1, 2, 3,..., maka
F t
disebut fuzzy time series pada
Y t
, t = ..., 0, 1, 2, 3, ....
Berdasarkan Definisi 4,
F t
merupakan himpunan dari variabel linguistik dan
i
f t
adalah nilai linguistik yang mungkin dari
F t
. Nilai
F t
dapat berbeda-beda
Penerapan Logika Fuzzy Dalam Pemodelan Perkiraan Tingkat I nflasi Di I ndonesia
---
Ali Muhson
84 untuk
t yang berbeda sehingga
F t
merupakan fungsi dari t. Berikut ini akan berikan
cara pemodelan fuzzy time series dengan menggunakan pendekatan persamaan relasi
fuzzy yang dilakukan oleh Song, Q dan Chissom, B.S. 1993.
Definisi 5
Song and Chissom, 1993: Misalkan I dan J adalah himpunan indeks
berturut-turut untuk
1 F t
−
dan
F t
, jika untuk setiap
j
f t F t
∈
, j
∈
J, ada
1 1
i
f t F t
− ∈ −
, i
∈
I sedemikian sehingga ada relasi fuzzy
, 1
ij
R t t −
dan
1 ,
1
j i
ij
f t f t
R t t =
− −
o
dengan
o
adalah komposisi mak-min, maka
F t
dikatakan hanya dipengaruhi oleh
1 F t
−
. Selanjutnya dinotasikan dengan:
1
i j
f t f t
− →
atau ditulis
1 F t
−
→
F t
. Berdasarkan Definisi 5, jika relasi
fuzzy antara
i
f t
dan
j
f t
diketahui, maka dapat ditentukan nilai
j
f t
.
Definisi 6
Song and Chissom, 1993: Misalkan I dan J adalah himpunan indeks
berturut-turut untuk
1 F t
−
dan
F t
, jika untuk setiap
j
f t F t
∈
, j
∈
J, ada
1 1
i
f t F t
− ∈ −
, i
∈
I sedemikian sehingga ada relasi fuzzy
, 1
ij
R t t −
dan
1 ,
1
j i
ij
f t f t
R t t =
− −
o
,
, 1
R t t −
=
,
, 1
ij i j
R t t −
U
dengan
∪
adalah operator gabungan , maka
, 1
R t t −
disebut relasi fuzzy antara
F t
dan
1 F t
−
dengan
F t
=
1 F t
− o ,
1 R t t
−
. Berdasarkan definisi 6, untuk menentukan nilai
F t
harus dihitung semua nilai relasi
fuzzy
, 1
ij
R t t −
kemudian dengan menggunakan komposisi mak-min dengan
1 F t
−
dapat diperoleh nilai
F t
.
Definisi 7
Song and Chissom, 1993: Jika untuk
1 2
t t
≠
,
1 1
2 2
, 1
, 1
R t t R t t
− = −
atau
1 1
2 2
, ,
a a
R t t m
R t t m
− =
−
atau
1 1
2 2
, ,
o o
R t t m
R t t m
− =
−
, maka
F t
disebut fuzzy time series time invariant, jika tidak demikian
F t
disebut fuzzy time series time
variant.
Jurnal Ekonomi Pendidikan
, Volume 4 Nomor 2, November 2007
85 Model
fuzzy time series time invariant independen terhadap waktu t sehingga dalam penerapannya lebih mudah dibandingkan dengan
fuzzy time series time variant. Oleh karena itu perlu diturunkan suatu sifat suatu
fuzzy time series adalah time invariant.
Teorema 2
Song dan Chissom, 1993: Jika
F t
adalah fuzzy time series dan untuk
setiap t, banyaknya elemen dari
F t
berhingga
i
f t
, i = 1, 2, 3, ..., n, dan
F t
=
1 F t
−
, maka
F t
adalah fuzzy time series time invariant.
Teorema 3
Song dan Chissom, 1993: Jika
F t
adalah fuzzy time series time
invariant, maka
1 2
1
, 1
... 1
2 1
i j
i j
R t t f t
f t
f t
f t
− = ∪ − ×
∪ − ×
− ∪
...
1
1 ...
im jm
f t
m f
t m
−
∪ − ×
− + ∪
untuk suatu bilangan bulat positif m dan untuk setiap
pasang himpunan fuzzy yang berbeda.
Berdasarkan Teorema 3, untuk menghitung relasi fuzzy menjadi lebih sederhana
karena tidak harus menghitung relasi fuzzy dari semua pasang yang mungkin. Jadi cukup
dilihat satu pasang dari elemen
F t
dan
1 F t
−
untuk semua t yang mungkin. Hal ini
berarti untuk mengkonstruksikan model dari fuzzy time series time invariant, cukup
diperlukan satu observasi untuk setiap t dan membuat relasi fuzzy untuk setiap pasang
observasi dari waktu t yang berbeda. Selanjutnya gabungan dari semua relasi fuzzy itu
menjadi relasi dari model tersebut. Teorema 2 sangat berguna dalam perhitungan sebab kadang-kadang dari suatu pengamatan hanya dipunyai satu data dari setiap waktu
t.
3. Fuzzy time series multivariat
Misalkan
F t
fuzzy time series pada
Y t
, t = ..., 0, 1, 2, 3, .... Jika
F t
dipengaruhi oleh
1 2
1 2
1, 1,
2 , 2,...,
F t F t
F t F t
− −
− −
1 2
, F t
n F t n
− −
, maka relasi
fuzzy ini dinyatakan dengan
1 2
1 2
, ,...,
2 , 2,
F t n F t
n F t
F t −
− −
−
1 2
1, 1
F t F t
− −
F t →
dan disebut fuzzy time series order n dua faktor dengan
1 2
, F t F t
berturut-turut merupakan faktor utama dan faktor sekunder. Selanjutnya definisi ini diperluas untuk
m faktor yaitu relasi fuzzy yang dinyatakan dengan
1 2
1 2
, ,...,
,..., 2 ,
2,..., 2,
m m
F t n F t
n F t
n F t
F t F t
− −
− −
− −
1 2
1, 1,...,
1
m
F t F t
F t −
− −
F t →
Penerapan Logika Fuzzy Dalam Pemodelan Perkiraan Tingkat I nflasi Di I ndonesia
---
Ali Muhson
86 disebut
fuzzy time series order n dengan m faktor, dengan
1
F t
merupakan faktor utama dan
2
,...,
m
F t F t
disebut faktor sekunder.
C. Metode Penelitian
