98
]
[Y E
dan
2
] [
k
Y V
Kemudian fungsi massa peluang binomial negatif menjadi:
y k
k k
k y
k k
y k
y f
1 1
1 1
1 ,
;
1
y = 0,1,2,.. 2
Saat
k maka distribusi binomial negatif memiliki varian
]
[Y V
. Distribusi binomial negatif akan mendekati suatu distribusi Poisson yang mengasumsikan mean
dan variansi sama yaitu
] [
] [
Y V
Y E
. Fungsi distribusi keluarga eksponensial dari distribusi binomial negatif adalah
1 1
ln 1
1 ln
1 1
ln exp
, ;
y k
k y
k k
k k
y k
y f
3
ii. Komponen Sistematis
Kontribusi variabel prediktor dalam model regresi binomial negatif dinyatakan dalam bentuk kombinasi linier antara parameter
dengan parameter regresi yang akan diestimasi yaitu :
ip p
i i
x x
....
1 1
Atau dalam matriks dituliskan dalam bentuk
= X
dengan
adalah vektor n x 1 dari observasi, X adalah matriks n x c dari variabel
bebas, adalah matriks c x 1 dari koefisien regresi, dengan c = p+1
iii. Fungsi Link
Nilai ekspektasi dari variabel respon Y adalah diskrit dan bernilai positif. Maka untuk mentransformasikan nilai
i
bilangan riil ke rentang yang sesuai dengan
rentang pada respon y diperlukan suatu fungsi link g. yaitu:
i
g
ln
= X
b. Estimasi Parameter dan Uji Kesesuaian Model Regresi Binomial Negatif
Estimasi parameter dari regresi binomial negatif digunakan metode maksimum likelihood dengan prosedur iterasi Fisher Scoring dan Newton Rhapson
[5]
. Metode ini membutuhkan turunan pertama dan kedua dari fungsi likelihood. Y
i
mempunyai fungsi massa probabilitas distribusi binomial negatif seperti pada persamaan 2 yaitu:
,... 2
, 1
, dengan
, 1
1 1
1 1
1 ,
|
1
y
k k
k y
k k
y k
y f
y i
i k
i i
i i
i
4 Karena fungsinya saling bebas, maka fungsi likelihood adalah:
n i
y i
i k
i
k k
k y
k k
y k
l
1 1
1 1
1 1
1 1
,
dengan
1 1
1
1 1
y r
k r
k k
y
n i
y i
i k
i i
y r
k k
k y
k r
k l
1 1
1 1
1
1 1
1 1
,
99
n
i i
i i
i i
y r
k y
k k
y y
k r
k l
k L
i
1 1
1 1
1 ln
ln ln
ln ,
ln ,
Turunan pertama dari fungsi likelihood terhadap koefisien regresi
adalah
1 1
,
1 1
1
n
i i
i i
n i
i i
i i
k y
k k
k y
y k
L
1 1
1 ,
1 1
1 1
n i
i ip
i i
i i
n i
i ip
i i
n i
i ip
i i
ip i
p
x y
k k
x y
k x
k k
y x
y k
L
bentuk persamaan matriks dari turunan pertama fungsi likelihood terhadap parameter β
yaitu : q = X
T
Wz , dengan X adalah matriks n x c dari variabel prediktor, W adalah
matriks weight diagonal ke-i dan z adalah vektor matriks dengan baris ke-i, dengan
masing-masing elemennya adalah: dan
Turunan pertama dari fungsi log-likelihood terhadap parameter dispersi k adalah :
1 1
ln 1
,
1 1
2 1
1 2
n
i i
i i
i i
y r
k y
k k
k k
y k
r k
k k
L k
f
i
n i
i i
i i
y r
k k
y k
k k
r k
k k
L k
f
i
1 2
1 1
2
1 1
ln 1
,
T urunan parsial kedua fungsi likelihood terhadap parameter koefisien regresi β adalah
n i
i i
i
k ky
k L
1 2
2 2
1 1
,
n i
i i
ij i
i i
ij i
j
k k
x y
k x
k L
1 2
2
1 1
,
n i
i i
ij i
j
k x
ky k
L
1 2
2
1 1
,
Misalkan turunan parsial pertama dari
, k
L
terhadap
p j
j
,
adalah
1 ,
1
n
i i
ij i
i p
k x
y k
L
i i
i i
y z
100 Maka turunan parsial kedua terhadap
p u
u
,
adalah
n i
i i
ij iu
i i
i ij
iu i
j u
k k
x x
y k
x x
k L
1 2
2
1 1
,
n i
i i
i ij
iu j
u
k ky
x x
k L
1 2
2
1 1
,
5
Ekspektasi dari turunan kedua log-likelihood adalah:
n i
i i
ij iu
j u
k x
x k
L E
1 2
1 ,
6
Jika persamaan 6 dinyatakan dalam matriks I matriks informasi yaitu matriks yang mengandung ekspektasi negatif dari turunan kedua log-likelihood maka:
I = X
T
WX dengan X adalah matriks dari variabel prediktor, W adalah matriks weight diagonal ke-i
dengan elemen:
i i
i
k w
1 Turunan kedua fungsi likelihood terhadap parameter dispersi k adalah
n i
i i
i i
y r
k k
y k
k k
r k
k k
L k
f
i
1 2
1 1
2
1 1
ln 1
,
n i
i i
i i
i i
y r
k k
k y
k k
k k
k r
k r
k k
k L
k f
i
1 2
2 2
3 1
2 1
1 3
2
2 1
1 1
ln 2
2 ,
Estimasi parameter regresi binomial negatif dilakukan dengan langkah sebagai berikut: Langkah 1 : Tentukan taksiran awal dari k, misal
1
k
Langkah 2 : T entukan estimasi maksimum likelihood dari parameter β menggunakan
prosedur iterasi Fisher Scoring dengan asumsi
1
k k
i i
T i
T i
i
z W
X X
W X
1 1
Iterasi berakhir jika diperoleh
i i
1
Langkah 3 : Gunakan untuk menghasilkan estimasi dari parameter k dengan
menggunakan prosedur iterasi Newthon-Rhapson satu dimensi .
1 i
i i
i
k f
k f
k k
Iterasi berakhir jika diperoleh
i i
k k
1
101 Langkah 4 : Jika
| |
1 1
k k
i
selesai; bila tidak, gunakan parameter
1
i
k k
dan kembali ke langkah 2. Nilai ε merupakan nilai bilangan positif yang sangat kecil,
misalnya ε = 0.001. Untuk menguji kesesuaian model regresi binomial negatif digunakan uji deviansi dengan:
Hipotesis:
H :
i
= exp
ip p
i i
X ...
X X
2 2
1 1
model regresi binomial negatif tepat digunakan sebagai model H
1
:
i
≠ exp
ip p
i i
X ...
X X
2 2
1 1
model regresi binomial negatif tidak tepat digunakan sebagai model Statistik uji:
_ 1
1 1
ln ln
2 y
k ky
y k
y y
y D
i i
i i
Kriteria Uji: H
ditolak jika statistik uji D
2 1
;
p n
Uji signifikansi individu variabel prediktornya dengan menggunakan uji Wald dengan
Hipotesis:
H :
j
= 0 , dengan j = 1,2,…, p H
1
:
j
≠ 0 , dengan j = 1,2,…, p Statistik uji:
2
j j
j
SE W
Kriteria Uji: H
ditolak jika statistik uji
2 1
; j
W
4. Contoh Terapan
