Pendugaan Dengan 2 Kondisi Ketakbiasan Pada Teknik Cokriging
RINGKASAN
NUNUNG NURSALD. Pendugaan dengan 2 Kondisi Ketakhiasan pada Teknik Cokrigirig. Dibimbing
oleh MUHAMMAD NUR AID1 dan RETNO BUDIARTI.
Data spasial adalah data yang dikumpulkan dari lokasi-lokasi yang saling berkorelasi satu sama
lain. Persoalan yang ada pada data spasial adalah sulit melakukan pengukuran pada sernua lokasi
karena lokasi bersifat kontinu. Oleh karena itn pendugaan titik-titik yang tidak dilaknkan pengukuran
sangatlah penting.
Salah satu ilustrasi dalam masalal~nyata adalah dalam industri minyak. Dipmeter mengukur
lubang dan mencari kedalaman, juga terdapat beberapa parameter seperti sifat menyerap (porosily),
perrneabilitas dan kejenuhan cairan yang bergantung pada kedalaman.
Dalam tulisan ini akan dibahas pendugaan data spasial m e n ~ u n a k a nteknik cr~krighigyang
dihadapkan pada dua masalah yaitu apakah akan menggunakan kondisi tak bias 1 atau menggunakan
kondisi tak bias 2 sehingga ragam galat yang dihasilkan sekecil mungkin.
02-9
PENDUGAAN DENGAN 2 KONDISI KETAKBIASAN
PADA TEKNIK COKRIGING
NUNUNG NURSAID
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN LLMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2002
DAFTAR PUSTAKA
Chiles, J. P. & P. Delfiner. 1999.
Geostalislics
Moiielirlg
Spalinl
Urlcermiilty. John Wiley & Sons, New
York.
Helms, L. L. 1997. I?~lrodrrclio~zlo
I'robabiliiy Theory with Cor~tmrporary
Applicaio~s. W.H. Freeman and
Company, New York.
Isaaks, E. H. & R. M. Srivastava. 1989.
Applied
Geoslalislics.
Oxford
University Press, Oxford.
Olea, R. A. 1975. Oplin~rrrii Mnppirrg
Techr~iq~ies
~isii~gRegiorialized
Variable Tt~eory.Empresa Nacional del
Petroleo, Santiago, Chile.
02-9
PENDUGAAN DENGAN 2 KONDISI KETAKBIASAN
PADA TEKNIK COKRIGING
NUNUNG NURSAID
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN LLMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2002
RINGKASAN
NUNUNG NURSALD. Pendugaan dengan 2 Kondisi Ketakhiasan pada Teknik Cokrigirig. Dibimbing
oleh MUHAMMAD NUR AID1 dan RETNO BUDIARTI.
Data spasial adalah data yang dikumpulkan dari lokasi-lokasi yang saling berkorelasi satu sama
lain. Persoalan yang ada pada data spasial adalah sulit melakukan pengukuran pada sernua lokasi
karena lokasi bersifat kontinu. Oleh karena itn pendugaan titik-titik yang tidak dilaknkan pengukuran
sangatlah penting.
Salah satu ilustrasi dalam masalal~nyata adalah dalam industri minyak. Dipmeter mengukur
lubang dan mencari kedalaman, juga terdapat beberapa parameter seperti sifat menyerap (porosily),
perrneabilitas dan kejenuhan cairan yang bergantung pada kedalaman.
Dalam tulisan ini akan dibahas pendugaan data spasial m e n ~ u n a k a nteknik cr~krighigyang
dihadapkan pada dua masalah yaitu apakah akan menggunakan kondisi tak bias 1 atau menggunakan
kondisi tak bias 2 sehingga ragam galat yang dihasilkan sekecil mungkin.
PENDUGAAN DENGAN 2 KONDISI KETAKBIASAN
PADA TEKNIK COKRIGING
NUNUNG NURSAID
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Program Studi Matematika
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTlTUT PERTANlAN BOGOR
BOGOR
2002
Judul
Nama
Nrp
Jurusan
: Pendugaan dengan 2 Kondisi Ketakbiasan pada Teknik Cokrrging
: Nunung Nursaid
: GO5498022
: Matematika
Menyetujui,
Dr. Muhammad Nur Aidi. MS
Peinbimbing I
Tanggal Lulus : 3 1 Agustus 2002
\
Ir. Retno Budiarti, MS
Pembimbing I1
Penulis dilahirkan di Cirebon pada tanggal 26 Juni 1980 sebagai anak ke empat dari delapan
bersaudara, anak dari Bapak Sukardi dan Ibu Enin Mu'minin.
Tahnn 1992 penulis lulus dari SD Negeri Cipeujeuh Wetan IV Sindanglaut Cirebon,
melanjutkan ke SLTP Negeri I Sindanglaut Cirebon dan lulus pada tahun 1995, dan melanjutkan ke
SMU Negeri 6 Cirebon dan lulus pada tahun 1998. Pada tahun yang sama lulus seleksi ~iiasuk IPB
melalui jalur Undanyan Seleksi Masuk IPB (USMI). Penulis memilih program studi Matematika
denyan minor Industri di Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan llmu Pengetalioan Alam.
Selama masih duduk di banyku kuliah, penulis penah menjadi Asisten Dosen untuk mata
kuliah Pengalltar Matematika, Matenlatika Dasar, Kalkulus, Kalkulus I, dan Persalnaan Diferensial
Biasa. Juga pernah mengajar di salah satu sekolah menengah di Bogor, pengajar di Bimbingan Belajar
l'ri~ate Plus Nurul Ilmi Bogor, dan sekarang masih menjadi pengajar Matematika di Pusat Birnbingan
Belajar Ganesha Operation cabang Jabotabek dan Depok.
Tahun 2002 penulis melaksanakan praktek di bayiali Pusat Informasi Badan Pena~iggula~lgari
Darnpak Lingkungan (BAPEDAL), Departemen Lingkungan Hidup dan rnendalami masalah
penggunaan soji~~lore
ArcView untuk nlembantu pemecahan penggunaan data spasial.
KATA PENGANTAR
Alhamdulillah penulis panjatkan ke-hadirat Nlah SWT yang telah memberikan rahmat dan
hidayah-Nya sehingga pada akhirnya penulis dapat menyelesaikan tugas akhir ini tepat pada waktunya.
Dalam penyusunan tulisan ini, penulis banyak mendapatkan bantuan dari berbagai pihak baik
secara langsung maupun tidak langsung. Untuk itu penulis mengucapkan terima kasih ysng tak terhingga
kepada :
I . Bapak Dr. Ir. Muhammad Nur Aidi, MS selaku Pemhimbing 1, Ibu Ir. Retno Budiani, MS selaku
Pembimbing 2, juga Bapak Dr. I Wayan Mangku selaku dosen penguji.
2. Al-Ustadz K.H Ahmad Zaini Dahlan pimpinan ponpes N-Imdad yang telah membina jasmani dan
rohani penulis selama lebih kurang 4 tahun.
3. Penulis nggak pernah lupa untuk ngucapin terima kasih buat anak Matematika 35 yaig chakep, centil,
imut-imut tapi amit-amit '~orryPris kalo tersinggung), jrtfrkies, ,fmrky, keren abis, gaul, norak,
ilyebelin, ngeselin seperti Syauqi yang masih jomblo, Matzech, Pris yang emosinya stabil, Herdyn,
Madhi, [Mila (pembahas 11, Liana, Irma 000 yang udah ngebantuin ngumsin transparansi pas
mo seminar tms nungguin ampe sidang beres], Lilo, Puji, Sarah (pernbahas 2), Yunita, Samsul, Kiky,
[Hepy (pembahas 3), DenBakh yang udah ngasih semangat dan nasihat pas mo seminar tms ngasih
tumpangan buat tidur waktu malam lum'at buat persiapan seminar], Berlin, Ingeu, Anna (makasih
atas dorongannya yang sangat berarti bagi saya), Indra, Izma, lim, Desi, Dinah (thanks sudah
pinjemin printer 0 ) , Imeh dan ... yang penulis tidak bisa sebutkan namanya disini, OK. Terima kasih
sekali khususnya buat syauqi 35 yang sudah ngebantu mecahin masalah pake' komputernya yang
udah ketinggalan kereta.
4. Mahasiswa Matematika angkatan 32, 33, 34, 36, 37 dan 38 yang sudah memberikan kritik dan saran
yang membangun bagi penulis, yang sudah meminjamkan buku, dan yang memberikan semangat
juang 45 agar penulis bisa lulus secepatnya.
5 . Juga makasih buat santri-santri N-Imdad yang udah banyak ngebantu ngetik, ngeprint, nerjemahin,
ataupun hal-ha1 lain dalam penyelesaian tulisan ini seperti Aziz, Faiz, Hadi, BimBim, Khariz. Goten
dan semuanya.
6. Juga buat keluarga di rumah yang udah ngasih biaya. Terima kasih penulis ucapkan dari lubuk hati
yang paling dalan kepada semuanya temtama Bapak Sukardi, Ibu Enin, Mbak Renih, Mbak Liha,
Mbak Atun, Dudi, Yani, Ayu, Toh Gugun, Mas ling, Mas Mul, A Ibro, Mang Aan, Bi Ayi, Baenah,
Neneng, Adah, Nia dan yang lainnya yang tidak bisa penulis sebutkan satu per satu disini.
Akhirnya penulis merasa bahwa tulisan ini masih banyak kekurangannya. Untuk itu penulis sangat
mengharapkan sekali kritik dan saran yang membangun untuk perbaikan tulisan ini dari para pembaca.
Sebelum dan sesudahnya penulis ucapkan terima kasih.
Bogor, Agustus 2002
Nunung Nursaid
DAFTAR IS1
Halaman
PENDAHULUAN
LANDASAN TEORl
.............................. 1
........................................................................................................... I
DRIFT
COKRIGING
...........................................................................................................
2
........................................................................................................... 2
PEMBAHASAN
........................................................................................................... 4
DAFTAR PUSTAKA
...........................................................................................................8
DAFTAR TABEL
Tabel perbandingan ragam galat ... .. . . . . ... ... ... .. . . . . ... ... ... .., . .. ... ... ., , , .. ... ... ... .., , . . ... ... ..., 7
Tabel nilai coi~flric~n
dan c~o.rs-co~~nrin~~
.. . . .. ... ... ... .. . ...... ... ... ., . ... ... ... ...... ... ... ., .... ... ... 12
DAFTAR LAMPRAN
Bukti Teorema 1
Bukti Teorema 3
Bukti penyelesaian Persamaan 4
9
10
11
PENDAHULUAN
Latar B e l a h ~ n g
Data
spasial
adalah
data
yang
dikumpulkan dari lokasi-lokasi yang saling
berkorelasi satu sama lain. Selanjutnya, korelasi
suatu peubah U dan lfmenggambarkan hubungan
keeratan antara U dan K
Persoalan yang ada pada data spasial
adalah sulit melakukan pengukuran pada semua
lokasi karena lokasi bersifat kontinu. Oleh karena
itu, pendugaan pada titik-titik yang tidak
dilakukan pengukuran sangatlah penting.
Metode pendugaan banyak variasinya,
diantaranya adalah :
1) Ordinary Kriging yaitu pendugaan suatu
nilai peubah pada suatu titik tertentu yang
dilakukan dengan mengamati data yang
sejenis pada daerah lain.
2) BIok Kriging yaitu pendugaan rata-rata suatu
nilai pada suatu area dan area tersebut
dipecah-pecah menjadi area-area yang lebih
kecil dimana suatu nilai menggambarkan
nilai potongan area yang kecil tersebut.
3 ) Cohiging yaitu pendugaan suatu nilai
peubah
pada
suatu
titik
tertentu
menggunakan data lebih dari satu peubah
dengan mengamati data yang sejenis pada
lokasi yang lain.
Pada beberapa fenomena, misalkan
pendugaan terhadap kandungan sumber daya
alam (misal : minyak bumi sebagai peubah utama
(U)) seringkali menggunakan beberapa parameter
yang mempunyai korelasi linear dengan
kandungan sumber daya alam tersebut (sebagai
peubah pelengkap (q).
Pada kegiatan pendugaan
kandungan
sumber daya
alam
sering
menggunakan teknik cokriging. Pada kajian ini
dicoba menggunakan cohigi,~g.
Salah satu ilustrasi dalam masalah nyata
adalah dalam industri minyak. Dipmeter
menykur lubang dan mencari kedalaman, juga
terdapat beberapa parameter seperti sifat
(porosity), permeabilitas
dan
menyerap
kejenuhan cairan yang bergantung pada
kedalaman (diambil dari Geosiatislics Modcli,~g
Sparial Ut~ceriait~iy
oleh Chiles, J. P. dan P.
Delfiner).
Tujuan
Membandingkan C o h i g i ~ ~dengan
g
kondisi
tak bias 1 dan Cokriging dengan kondisi tak bias
2.
LANDASAN TEORI
Berikut ini diberikan beberapa pokok
bahasan baik berupa definisi, lemma maupun
teorema yang digunakan dalam penyusunan
tulisan ini.
Definisi 2 :
Jika V(x) suatu peubah acak diskret atau kontinu
yang mempunyai momen kedua berhingga, maka
ragam bagi V(x), dilambangkan Varpfx)),
didefinisikan sebagai :
Definisi 1 :
Nilai harapan bagi peubah V(r/ dilambangkan
E[V(x)], diddenisikan sebagai :
Var{V(x)]= E [ ( v ( ~ ) - E [ V ( X ) ] ) ~ ] .
(Helms, 1997),
E[V(x)]= ~ v i p [ v i jika
] . V(x) diskret dengan
Definisi 3 :
Jika U(x) dan V(x) mempunyai momen kedua
berhingga, maka colJarian U(wJ dan V O ,
dilambangkan Cov(U(x), V(x)), didefinisikan sebagai
COIJ(U(X),
V(x)) = C0ll(o;V )
= E [ W ] - E[U]EP/
i=l
kemungkinan nilai I>,, r 2 , ..., 11,, dan kngsi
massa peluang p[vi]= p ( ~ ( x=) 1 1 ~ ) . dan
m
q V ( x ) ] = [ilf[v]dv,jika Y(r) kontinu dengan
--
hngsi kepekatan peluang f [ v ] , dimana V(x)
adalah peubah If yang tergantung pada lokasi
X.
(Helms. 1997).
Untuk konstanta c terten:~, Coir(U,cj
Cos(U,U) = E[U2] - (E[U])- = VarflJ).
(Helms, 1997).
=
0 dan
Teorema 1 :
Jika Ul,..., U, mempunyai momen kedua
berhingga, maka
Cokriging
Nilai dugaan cohiging adalah kombinasi
linear dari data utama dan data pelengkap seperti
yang di tuliskan berikut ini :
dengan
1s;
'a,
a,
b,
b,
h,
Kunligurosi dola cakrirrgi,rg yang mongondunp dua date utama dnn tigo data pelcngkap
LolasilitikBsmpe(
Dengan menggunakan soflware MapleV
akan diperoleh bobot seperti di Tabel 2
halaman 7. Dari persamaan (2) diperoleh:
z
2
;=I
j=~
['
3
E[R]=E x n i U i + z b j v j
;=I
j=l
= ~[465.11]
E[u,]
= 465.11
Dan dari persamaan (1) diperoleh :
Uo =465.11 sehingga Vmm) = 34159.82
3
x a , + x b , =1
3
Ikrigirigdengan kondisi tak bias 1
mempunyai ragam galat yang lebih kecil
dibandingkan cokr~ging dengan kondisi tak
bias 2. Sehingga cokrigi,~gdengan kondisi tak bias
1 lebih diterima daripada cokriging dengan kondisi
tak bias 2.
Tulisan ini masih dapat dilanjutkan dan
dikembangkan lagi menjadi tnlisan yang lebih
lengkap. Misalnya jika terdapat ?erggel effecl. Juga
contoh-contoh kasus lain yang bisa diselesaikan
dengan cokrigit~g.
DAFTAR PUSTAKA
Chiles, J. P. & P. Delfiner. 1999.
Geostalislics
Moiielirlg
Spalinl
Urlcermiilty. John Wiley & Sons, New
York.
Helms, L. L. 1997. I?~lrodrrclio~zlo
I'robabiliiy Theory with Cor~tmrporary
Applicaio~s. W.H. Freeman and
Company, New York.
Isaaks, E. H. & R. M. Srivastava. 1989.
Applied
Geoslalislics.
Oxford
University Press, Oxford.
Olea, R. A. 1975. Oplin~rrrii Mnppirrg
Techr~iq~ies
~isii~gRegiorialized
Variable Tt~eory.Empresa Nacional del
Petroleo, Santiago, Chile.
LAMPIRAN
,
Lampiran 1 : Bukti Teorema 1
Karena E
[;I]]
Uj
=
=
C plr, ,maka
'I
C
I7[(U ,. -
j=l
PlIj ~
]+~$E[(U~-~~I~)(U,-A~~~)]
i=l ,=I
irj
Lampiras 2 : Bukti Teorema 3
Untuk membuktikan teorema diatas, kita gunakan teorema lain yang tidak diberikan buktinya
disini, yaitu :
Jika U,, ..., U, adalah peubah acak dengan nilai harapan berhingga
dan- c,, ...,c, adalah konstanta
real, maka i c j u j mempunyai nilai harapan berhingga dan E
j=I
Sehingga { = a r U j ] = = ~ ; E [ u ~dan
]
{e
j=l
,=I
bjV,] = ~ b j E [ V , ] .
Karena
maka
,,,
+ k f li=lj u j . ~ j=l
b,v,)
=.[('ajujXfbjvj]] ($~;EI.;I)['~~*I)
,J
,,<
= z;=Iz ,=aI ; b , ~ [ ~ ; V , ]- ( ~
$=I a i E [ U j j]=) ~[ ~ b j E [ V j ~
Lampiran 3 : (Bukti penyelesaian Persamaail (4))
Tabel I . Nilai eovrrria,f dan nas-covmia~zuntuk data yang d i k a a n &lam Gambnr I mcnggunakan model linear
eoregionnlisasi yang diberikan &lam Pcrsnmaan (13)
Lampiran 5 : (Bukti yang menjamin nilai ragam galat minimum)
Teorema 4 :(Uji Turunan Pertama untuk Ekstrim Lokal)
Andaikan f kontinu pada selang terbuka (a, b) yang memuat titik kritis c,
I. Jika f'(x) > 0 untuk semua x dalam (a, c) dan f'(x) < 0 untuk semua x dalam (c, b) maka
f (c) adalah nilai maksimum lokalf:
2. Jika f'(x) < 0 nntuk semua x dalam (a, c) dan f'(x) > 0 untuk semua x dalam (c, b) maka
f (c) adalah nilai minimum lokalf:
3. Jika f'(x) bertanda sama pada kedua pihak c, maka f (c) bukan nmilai ekstrim lokalf:
Teorema 5 : (Uji Turunan Kedua untuk Ekstrim Lokal)
Andaikan f'dan f" ada pada setiap titik dalam selang terbuka (a, b) yang memuat c, dan
andaikan f'(c) = 0 .
1. Jika f"(c) > 0 , f(c) adalah nilai minimum lokalf:
2. Jika f"(c) < 0 , f(c) adalah nilai maksimum lokalf:
Bukti :
1. Berdasarkan definisi dan hipotesis,
f"(c) = Lim f'b-f'(4
**C
x-C
= Linz f'(x)-0
>0
X+C
X-C
sehingga dapat disimpulkan bahwa terdapat selang (a,p) (mungkin pendek) disekitar c dimana
f'(x) > o ,
-
x-C
Kedua ketaksamaan ini menunjukkan bahwa f'(x) < 0 untuk a < x < c dan f'(x) > 0 untuk
c < x < p . Jadi, menurut Teorema Uji Turunan Pertama, f (c) adalah nilai minimum lokal.
CB Terbukti.
2. Bukti serupa dengan (1)
Berdasarkan teorema diatas untuk menjamin nilai ragam minimum adalah sebagai berikut :
=~ ( C O V ( U ~ U
C~O)V+( U ~ U ~C)O+V ( U ~ U ~ ) )
untuk i = 1, ...,n
a 2 ( v a r ( R ) ) =2=Cov(Vivj)
abjz
i=l
= 2(cov (v,v, )+ cov (v,v* )+ Cov (v]v3)+ Cov (vzvl)+ cov (v21/*
)+ cov (v2v3))
+ ~ ( C O V(v3v, )+ cow (v3v2)+ Cov (v3v3))
untuk j = 1, ...,m
Karena nilai covarian positif dan nilai cross-covarian lebih kecil dari nilai covarian, maka :
,,
a2(vQ~(R))
>
aaj 2
dan
a2( v a r ( ~ ),O,
)
abiZ
Sehingga nilai ragam galat akan minimum.
Teorema 6 :
Matriks A adalah suatu matrik simetrik. Matriks A adalah matriks definit positif jika dan hanya
jika semua akar cirinya positif.
Bukti :
(-4
Matriks A adalah matriks definit positif maka x T ~ >
x 0.
Akan dibuktin dibuktikan 'm(.Ua akar cirinya positif.
Jika vektor ciri berpadanan dengan A maka berlaku A x = A x sehingga
xTAx
maka A=->O
llxl12
.. ..
Terbukti A > 0 .
(4
Matriks A mempunyai akar ciri yang semuanya positif.
Akan dibuktikan matriks A definit positif.
Menurut teorema bahwa ( Jika A adalah matriks simetrik maka vektor-vektor ciri yang berbeda
akan ortogonal) dan dengan menerapkan prosedur Gram-Smith menjamin bahwa vektor-vektor ciri
yang didapatkan dengan prosedur ini akan ortonormal.
Misalkan
,x2,...,.x,,) adalah gugus ortonormal dari vektor ciri A. Jika x adalah vektor bukan
no1 dalam %",
x=alx, + a 2 x 2 +...+a,x,
Oleh karenUOIeh karena itu,
MB :
" T ri
dengan ai = C X
MB :r
dan
i=l
MB :
"
2
Chi)
i=l
MB :j
T
x ~ x = ( a +~ ax2 x~2 + . . . + a , x , ) T ( a l X 1 ~ I+n2x2A2+...+ a,,x,,~,)
T
Karena semua akar ciri matriks A positif, maka min Ai z 0 yang berarti 5 A n > 0
Terhukti matriks A adalah matriks definit positif.
=I I x I
2
.
LAMPIRAN
,
Lampiran 1 : Bukti Teorema 1
Karena E
[;I]]
Uj
=
=
C plr, ,maka
'I
C
I7[(U ,. -
j=l
PlIj ~
]+~$E[(U~-~~I~)(U,-A~~~)]
i=l ,=I
irj
Lampiras 2 : Bukti Teorema 3
Untuk membuktikan teorema diatas, kita gunakan teorema lain yang tidak diberikan buktinya
disini, yaitu :
Jika U,, ..., U, adalah peubah acak dengan nilai harapan berhingga
dan- c,, ...,c, adalah konstanta
real, maka i c j u j mempunyai nilai harapan berhingga dan E
j=I
Sehingga { = a r U j ] = = ~ ; E [ u ~dan
]
{e
j=l
,=I
bjV,] = ~ b j E [ V , ] .
Karena
maka
,,,
+ k f li=lj u j . ~ j=l
b,v,)
=.[('ajujXfbjvj]] ($~;EI.;I)['~~*I)
,J
,,<
= z;=Iz ,=aI ; b , ~ [ ~ ; V , ]- ( ~
$=I a i E [ U j j]=) ~[ ~ b j E [ V j ~
Lampiran 3 : (Bukti penyelesaian Persamaail (4))
Tabel I . Nilai eovrrria,f dan nas-covmia~zuntuk data yang d i k a a n &lam Gambnr I mcnggunakan model linear
eoregionnlisasi yang diberikan &lam Pcrsnmaan (13)
Lampiran 5 : (Bukti yang menjamin nilai ragam galat minimum)
Teorema 4 :(Uji Turunan Pertama untuk Ekstrim Lokal)
Andaikan f kontinu pada selang terbuka (a, b) yang memuat titik kritis c,
I. Jika f'(x) > 0 untuk semua x dalam (a, c) dan f'(x) < 0 untuk semua x dalam (c, b) maka
f (c) adalah nilai maksimum lokalf:
2. Jika f'(x) < 0 nntuk semua x dalam (a, c) dan f'(x) > 0 untuk semua x dalam (c, b) maka
f (c) adalah nilai minimum lokalf:
3. Jika f'(x) bertanda sama pada kedua pihak c, maka f (c) bukan nmilai ekstrim lokalf:
Teorema 5 : (Uji Turunan Kedua untuk Ekstrim Lokal)
Andaikan f'dan f" ada pada setiap titik dalam selang terbuka (a, b) yang memuat c, dan
andaikan f'(c) = 0 .
1. Jika f"(c) > 0 , f(c) adalah nilai minimum lokalf:
2. Jika f"(c) < 0 , f(c) adalah nilai maksimum lokalf:
Bukti :
1. Berdasarkan definisi dan hipotesis,
f"(c) = Lim f'b-f'(4
**C
x-C
= Linz f'(x)-0
>0
X+C
X-C
sehingga dapat disimpulkan bahwa terdapat selang (a,p) (mungkin pendek) disekitar c dimana
f'(x) > o ,
-
x-C
Kedua ketaksamaan ini menunjukkan bahwa f'(x) < 0 untuk a < x < c dan f'(x) > 0 untuk
c < x < p . Jadi, menurut Teorema Uji Turunan Pertama, f (c) adalah nilai minimum lokal.
CB Terbukti.
2. Bukti serupa dengan (1)
Berdasarkan teorema diatas untuk menjamin nilai ragam minimum adalah sebagai berikut :
=~ ( C O V ( U ~ U
C~O)V+( U ~ U ~C)O+V ( U ~ U ~ ) )
untuk i = 1, ...,n
a 2 ( v a r ( R ) ) =2=Cov(Vivj)
abjz
i=l
= 2(cov (v,v, )+ cov (v,v* )+ Cov (v]v3)+ Cov (vzvl)+ cov (v21/*
)+ cov (v2v3))
+ ~ ( C O V(v3v, )+ cow (v3v2)+ Cov (v3v3))
untuk j = 1, ...,m
Karena nilai covarian positif dan nilai cross-covarian lebih kecil dari nilai covarian, maka :
,,
a2(vQ~(R))
>
aaj 2
dan
a2( v a r ( ~ ),O,
)
abiZ
Sehingga nilai ragam galat akan minimum.
Teorema 6 :
Matriks A adalah suatu matrik simetrik. Matriks A adalah matriks definit positif jika dan hanya
jika semua akar cirinya positif.
Bukti :
(-4
Matriks A adalah matriks definit positif maka x T ~ >
x 0.
Akan dibuktin dibuktikan 'm(.Ua akar cirinya positif.
Jika vektor ciri berpadanan dengan A maka berlaku A x = A x sehingga
xTAx
maka A=->O
llxl12
.. ..
Terbukti A > 0 .
(4
Matriks A mempunyai akar ciri yang semuanya positif.
Akan dibuktikan matriks A definit positif.
Menurut teorema bahwa ( Jika A adalah matriks simetrik maka vektor-vektor ciri yang berbeda
akan ortogonal) dan dengan menerapkan prosedur Gram-Smith menjamin bahwa vektor-vektor ciri
yang didapatkan dengan prosedur ini akan ortonormal.
Misalkan
,x2,...,.x,,) adalah gugus ortonormal dari vektor ciri A. Jika x adalah vektor bukan
no1 dalam %",
x=alx, + a 2 x 2 +...+a,x,
Oleh karenUOIeh karena itu,
MB :
" T ri
dengan ai = C X
MB :r
dan
i=l
MB :
"
2
Chi)
i=l
MB :j
T
x ~ x = ( a +~ ax2 x~2 + . . . + a , x , ) T ( a l X 1 ~ I+n2x2A2+...+ a,,x,,~,)
T
Karena semua akar ciri matriks A positif, maka min Ai z 0 yang berarti 5 A n > 0
Terhukti matriks A adalah matriks definit positif.
=I I x I
2
.
PENDAHULUAN
Latar B e l a h ~ n g
Data
spasial
adalah
data
yang
dikumpulkan dari lokasi-lokasi yang saling
berkorelasi satu sama lain. Selanjutnya, korelasi
suatu peubah U dan lfmenggambarkan hubungan
keeratan antara U dan K
Persoalan yang ada pada data spasial
adalah sulit melakukan pengukuran pada semua
lokasi karena lokasi bersifat kontinu. Oleh karena
itu, pendugaan pada titik-titik yang tidak
dilakukan pengukuran sangatlah penting.
Metode pendugaan banyak variasinya,
diantaranya adalah :
1) Ordinary Kriging yaitu pendugaan suatu
nilai peubah pada suatu titik tertentu yang
dilakukan dengan mengamati data yang
sejenis pada daerah lain.
2) BIok Kriging yaitu pendugaan rata-rata suatu
nilai pada suatu area dan area tersebut
dipecah-pecah menjadi area-area yang lebih
kecil dimana suatu nilai menggambarkan
nilai potongan area yang kecil tersebut.
3 ) Cohiging yaitu pendugaan suatu nilai
peubah
pada
suatu
titik
tertentu
menggunakan data lebih dari satu peubah
dengan mengamati data yang sejenis pada
lokasi yang lain.
Pada beberapa fenomena, misalkan
pendugaan terhadap kandungan sumber daya
alam (misal : minyak bumi sebagai peubah utama
(U)) seringkali menggunakan beberapa parameter
yang mempunyai korelasi linear dengan
kandungan sumber daya alam tersebut (sebagai
peubah pelengkap (q).
Pada kegiatan pendugaan
kandungan
sumber daya
alam
sering
menggunakan teknik cokriging. Pada kajian ini
dicoba menggunakan cohigi,~g.
Salah satu ilustrasi dalam masalah nyata
adalah dalam industri minyak. Dipmeter
menykur lubang dan mencari kedalaman, juga
terdapat beberapa parameter seperti sifat
(porosity), permeabilitas
dan
menyerap
kejenuhan cairan yang bergantung pada
kedalaman (diambil dari Geosiatislics Modcli,~g
Sparial Ut~ceriait~iy
oleh Chiles, J. P. dan P.
Delfiner).
Tujuan
Membandingkan C o h i g i ~ ~dengan
g
kondisi
tak bias 1 dan Cokriging dengan kondisi tak bias
2.
LANDASAN TEORI
Berikut ini diberikan beberapa pokok
bahasan baik berupa definisi, lemma maupun
teorema yang digunakan dalam penyusunan
tulisan ini.
Definisi 2 :
Jika V(x) suatu peubah acak diskret atau kontinu
yang mempunyai momen kedua berhingga, maka
ragam bagi V(x), dilambangkan Varpfx)),
didefinisikan sebagai :
Definisi 1 :
Nilai harapan bagi peubah V(r/ dilambangkan
E[V(x)], diddenisikan sebagai :
Var{V(x)]= E [ ( v ( ~ ) - E [ V ( X ) ] ) ~ ] .
(Helms, 1997),
E[V(x)]= ~ v i p [ v i jika
] . V(x) diskret dengan
Definisi 3 :
Jika U(x) dan V(x) mempunyai momen kedua
berhingga, maka colJarian U(wJ dan V O ,
dilambangkan Cov(U(x), V(x)), didefinisikan sebagai
COIJ(U(X),
V(x)) = C0ll(o;V )
= E [ W ] - E[U]EP/
i=l
kemungkinan nilai I>,, r 2 , ..., 11,, dan kngsi
massa peluang p[vi]= p ( ~ ( x=) 1 1 ~ ) . dan
m
q V ( x ) ] = [ilf[v]dv,jika Y(r) kontinu dengan
--
hngsi kepekatan peluang f [ v ] , dimana V(x)
adalah peubah If yang tergantung pada lokasi
X.
(Helms. 1997).
Untuk konstanta c terten:~, Coir(U,cj
Cos(U,U) = E[U2] - (E[U])- = VarflJ).
(Helms, 1997).
=
0 dan
PENDAHULUAN
Latar B e l a h ~ n g
Data
spasial
adalah
data
yang
dikumpulkan dari lokasi-lokasi yang saling
berkorelasi satu sama lain. Selanjutnya, korelasi
suatu peubah U dan lfmenggambarkan hubungan
keeratan antara U dan K
Persoalan yang ada pada data spasial
adalah sulit melakukan pengukuran pada semua
lokasi karena lokasi bersifat kontinu. Oleh karena
itu, pendugaan pada titik-titik yang tidak
dilakukan pengukuran sangatlah penting.
Metode pendugaan banyak variasinya,
diantaranya adalah :
1) Ordinary Kriging yaitu pendugaan suatu
nilai peubah pada suatu titik tertentu yang
dilakukan dengan mengamati data yang
sejenis pada daerah lain.
2) BIok Kriging yaitu pendugaan rata-rata suatu
nilai pada suatu area dan area tersebut
dipecah-pecah menjadi area-area yang lebih
kecil dimana suatu nilai menggambarkan
nilai potongan area yang kecil tersebut.
3 ) Cohiging yaitu pendugaan suatu nilai
peubah
pada
suatu
titik
tertentu
menggunakan data lebih dari satu peubah
dengan mengamati data yang sejenis pada
lokasi yang lain.
Pada beberapa fenomena, misalkan
pendugaan terhadap kandungan sumber daya
alam (misal : minyak bumi sebagai peubah utama
(U)) seringkali menggunakan beberapa parameter
yang mempunyai korelasi linear dengan
kandungan sumber daya alam tersebut (sebagai
peubah pelengkap (q).
Pada kegiatan pendugaan
kandungan
sumber daya
alam
sering
menggunakan teknik cokriging. Pada kajian ini
dicoba menggunakan cohigi,~g.
Salah satu ilustrasi dalam masalah nyata
adalah dalam industri minyak. Dipmeter
menykur lubang dan mencari kedalaman, juga
terdapat beberapa parameter seperti sifat
(porosity), permeabilitas
dan
menyerap
kejenuhan cairan yang bergantung pada
kedalaman (diambil dari Geosiatislics Modcli,~g
Sparial Ut~ceriait~iy
oleh Chiles, J. P. dan P.
Delfiner).
Tujuan
Membandingkan C o h i g i ~ ~dengan
g
kondisi
tak bias 1 dan Cokriging dengan kondisi tak bias
2.
LANDASAN TEORI
Berikut ini diberikan beberapa pokok
bahasan baik berupa definisi, lemma maupun
teorema yang digunakan dalam penyusunan
tulisan ini.
Definisi 2 :
Jika V(x) suatu peubah acak diskret atau kontinu
yang mempunyai momen kedua berhingga, maka
ragam bagi V(x), dilambangkan Varpfx)),
didefinisikan sebagai :
Definisi 1 :
Nilai harapan bagi peubah V(r/ dilambangkan
E[V(x)], diddenisikan sebagai :
Var{V(x)]= E [ ( v ( ~ ) - E [ V ( X ) ] ) ~ ] .
(Helms, 1997),
E[V(x)]= ~ v i p [ v i jika
] . V(x) diskret dengan
Definisi 3 :
Jika U(x) dan V(x) mempunyai momen kedua
berhingga, maka colJarian U(wJ dan V O ,
dilambangkan Cov(U(x), V(x)), didefinisikan sebagai
COIJ(U(X),
V(x)) = C0ll(o;V )
= E [ W ] - E[U]EP/
i=l
kemungkinan nilai I>,, r 2 , ..., 11,, dan kngsi
massa peluang p[vi]= p ( ~ ( x=) 1 1 ~ ) . dan
m
q V ( x ) ] = [ilf[v]dv,jika Y(r) kontinu dengan
--
hngsi kepekatan peluang f [ v ] , dimana V(x)
adalah peubah If yang tergantung pada lokasi
X.
(Helms. 1997).
Untuk konstanta c terten:~, Coir(U,cj
Cos(U,U) = E[U2] - (E[U])- = VarflJ).
(Helms, 1997).
=
0 dan
Teorema 1 :
Jika Ul,..., U, mempunyai momen kedua
berhingga, maka
Cokriging
Nilai dugaan cohiging adalah kombinasi
linear dari data utama dan data pelengkap seperti
yang di tuliskan berikut ini :
dengan
1s;
'a,
a,
b,
b,
h,
Kunligurosi dola cakrirrgi,rg yang mongondunp dua date utama dnn tigo data pelcngkap
LolasilitikBsmpe(
Dengan menggunakan soflware MapleV
akan diperoleh bobot seperti di Tabel 2
halaman 7. Dari persamaan (2) diperoleh:
z
2
;=I
j=~
['
3
E[R]=E x n i U i + z b j v j
;=I
j=l
= ~[465.11]
E[u,]
= 465.11
Dan dari persamaan (1) diperoleh :
Uo =465.11 sehingga Vmm) = 34159.82
3
x a , + x b , =1
3
Ikrigirigdengan kondisi tak bias 1
mempunyai ragam galat yang lebih kecil
dibandingkan cokr~ging dengan kondisi tak
bias 2. Sehingga cokrigi,~gdengan kondisi tak bias
1 lebih diterima daripada cokriging dengan kondisi
tak bias 2.
Tulisan ini masih dapat dilanjutkan dan
dikembangkan lagi menjadi tnlisan yang lebih
lengkap. Misalnya jika terdapat ?erggel effecl. Juga
contoh-contoh kasus lain yang bisa diselesaikan
dengan cokrigit~g.
'I'skl 2. ?hhlperbandingon unluk cukriging dcngan
kondisi tali bias I dnn eob.;ging dungan
kondisi talc bins 2
Mungkin ha1 yang penting untuk
diperhatikan dalam Tabel 2 adalah dugaan
cc)krigi,g negatif Alasan untuk dugaan negatif
111
mula-mula dengan kondisi tak bias 236, = 0
j=l
Untuk jumlah bobot sama dengan no1 maka
beberapa nilai dugaan hams negatif Pada saat
bobot yang negatif dikalikan dengan nilai
sampel V yang besar, dugaan negatif dapat
muncul. Jika hasil kali negatif jumlahnya hesar
dalam nilai mutlak dari pada jumlah bobot
positif, maka dugaannya negatif.
Cokrigitig dengan kondisi tak bias 1 lehih
diterima karena mempunyai galat yang lebih kecil
dibandingkan cokriging dengan kondisi tak bias 2.
Pengarub nilai
yang lebih kuat dalam
pendugaan ini mengacu pada pilihan kondisi tak
bias yang menghasilkan hobot lebih yang diberi
tanda untuk peubah pelengkap.
Sebagai ringkasan bahwa cokriging dengan
kondisi tak bias 2 kurang memuaskan. Misalkan
kasus dimana hanya dua nilai data pelengkap yang
ditemukan sama jauhnya dari titik pendugaan dan
dari semua data utama. Karena dua nilai data
pelengkap sama jauhnya, maka hams diberi bobot
yang sama. Meskipun solusi ini secara matematika
benar, tapi sulit untuk memhayangkan proses fisika
yang mana skema bobotnya benar. Melalui metode
ini akan menurunkan kebiasan, tapi tidak
menurunkan penyebaran galat yang besar.
Menggunakan
kondisi
tak bias
1,
bagaimanapun dapat melakukan perbaikan, tidak
hanya dalam kehiasan dan penyebaran galat., tapi
juga dalam kejadian dugaan negatif yang lebih
rendah. Melalui pendekatan ini diperlukan
pendugaan prior dari mean global U dan V, ha1 ini
jelas bahwa kejadian dengan dugaan yang lebih
sederhana dari mean global, kita dapat memperbaiki
pendugaan.
KESIMPULAN DAN SARAN
Metode pendugaan data spasial
dengan cokriging, mempakan suatu metode
yang digunakan untuk menduga nilai pada
suatu titik yang tidak dilakukan pengamatan
dengan mengynakan data lebih dari satu
peubah.
C(>krigirigdengan kondisi tak bias 1
mempunyai ragam galat yang lebih kecil
dibandingkan cokr~ging dengan kondisi tak
bias 2. Sehingga cokrigi,~gdengan kondisi tak bias
1 lebih diterima daripada cokriging dengan kondisi
tak bias 2.
Tulisan ini masih dapat dilanjutkan dan
dikembangkan lagi menjadi tnlisan yang lebih
lengkap. Misalnya jika terdapat ?erggel effecl. Juga
contoh-contoh kasus lain yang bisa diselesaikan
dengan cokrigit~g.
NUNUNG NURSALD. Pendugaan dengan 2 Kondisi Ketakhiasan pada Teknik Cokrigirig. Dibimbing
oleh MUHAMMAD NUR AID1 dan RETNO BUDIARTI.
Data spasial adalah data yang dikumpulkan dari lokasi-lokasi yang saling berkorelasi satu sama
lain. Persoalan yang ada pada data spasial adalah sulit melakukan pengukuran pada sernua lokasi
karena lokasi bersifat kontinu. Oleh karena itn pendugaan titik-titik yang tidak dilaknkan pengukuran
sangatlah penting.
Salah satu ilustrasi dalam masalal~nyata adalah dalam industri minyak. Dipmeter mengukur
lubang dan mencari kedalaman, juga terdapat beberapa parameter seperti sifat menyerap (porosily),
perrneabilitas dan kejenuhan cairan yang bergantung pada kedalaman.
Dalam tulisan ini akan dibahas pendugaan data spasial m e n ~ u n a k a nteknik cr~krighigyang
dihadapkan pada dua masalah yaitu apakah akan menggunakan kondisi tak bias 1 atau menggunakan
kondisi tak bias 2 sehingga ragam galat yang dihasilkan sekecil mungkin.
02-9
PENDUGAAN DENGAN 2 KONDISI KETAKBIASAN
PADA TEKNIK COKRIGING
NUNUNG NURSAID
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN LLMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2002
DAFTAR PUSTAKA
Chiles, J. P. & P. Delfiner. 1999.
Geostalislics
Moiielirlg
Spalinl
Urlcermiilty. John Wiley & Sons, New
York.
Helms, L. L. 1997. I?~lrodrrclio~zlo
I'robabiliiy Theory with Cor~tmrporary
Applicaio~s. W.H. Freeman and
Company, New York.
Isaaks, E. H. & R. M. Srivastava. 1989.
Applied
Geoslalislics.
Oxford
University Press, Oxford.
Olea, R. A. 1975. Oplin~rrrii Mnppirrg
Techr~iq~ies
~isii~gRegiorialized
Variable Tt~eory.Empresa Nacional del
Petroleo, Santiago, Chile.
02-9
PENDUGAAN DENGAN 2 KONDISI KETAKBIASAN
PADA TEKNIK COKRIGING
NUNUNG NURSAID
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN LLMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2002
RINGKASAN
NUNUNG NURSALD. Pendugaan dengan 2 Kondisi Ketakhiasan pada Teknik Cokrigirig. Dibimbing
oleh MUHAMMAD NUR AID1 dan RETNO BUDIARTI.
Data spasial adalah data yang dikumpulkan dari lokasi-lokasi yang saling berkorelasi satu sama
lain. Persoalan yang ada pada data spasial adalah sulit melakukan pengukuran pada sernua lokasi
karena lokasi bersifat kontinu. Oleh karena itn pendugaan titik-titik yang tidak dilaknkan pengukuran
sangatlah penting.
Salah satu ilustrasi dalam masalal~nyata adalah dalam industri minyak. Dipmeter mengukur
lubang dan mencari kedalaman, juga terdapat beberapa parameter seperti sifat menyerap (porosily),
perrneabilitas dan kejenuhan cairan yang bergantung pada kedalaman.
Dalam tulisan ini akan dibahas pendugaan data spasial m e n ~ u n a k a nteknik cr~krighigyang
dihadapkan pada dua masalah yaitu apakah akan menggunakan kondisi tak bias 1 atau menggunakan
kondisi tak bias 2 sehingga ragam galat yang dihasilkan sekecil mungkin.
PENDUGAAN DENGAN 2 KONDISI KETAKBIASAN
PADA TEKNIK COKRIGING
NUNUNG NURSAID
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Program Studi Matematika
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTlTUT PERTANlAN BOGOR
BOGOR
2002
Judul
Nama
Nrp
Jurusan
: Pendugaan dengan 2 Kondisi Ketakbiasan pada Teknik Cokrrging
: Nunung Nursaid
: GO5498022
: Matematika
Menyetujui,
Dr. Muhammad Nur Aidi. MS
Peinbimbing I
Tanggal Lulus : 3 1 Agustus 2002
\
Ir. Retno Budiarti, MS
Pembimbing I1
Penulis dilahirkan di Cirebon pada tanggal 26 Juni 1980 sebagai anak ke empat dari delapan
bersaudara, anak dari Bapak Sukardi dan Ibu Enin Mu'minin.
Tahnn 1992 penulis lulus dari SD Negeri Cipeujeuh Wetan IV Sindanglaut Cirebon,
melanjutkan ke SLTP Negeri I Sindanglaut Cirebon dan lulus pada tahun 1995, dan melanjutkan ke
SMU Negeri 6 Cirebon dan lulus pada tahun 1998. Pada tahun yang sama lulus seleksi ~iiasuk IPB
melalui jalur Undanyan Seleksi Masuk IPB (USMI). Penulis memilih program studi Matematika
denyan minor Industri di Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan llmu Pengetalioan Alam.
Selama masih duduk di banyku kuliah, penulis penah menjadi Asisten Dosen untuk mata
kuliah Pengalltar Matematika, Matenlatika Dasar, Kalkulus, Kalkulus I, dan Persalnaan Diferensial
Biasa. Juga pernah mengajar di salah satu sekolah menengah di Bogor, pengajar di Bimbingan Belajar
l'ri~ate Plus Nurul Ilmi Bogor, dan sekarang masih menjadi pengajar Matematika di Pusat Birnbingan
Belajar Ganesha Operation cabang Jabotabek dan Depok.
Tahun 2002 penulis melaksanakan praktek di bayiali Pusat Informasi Badan Pena~iggula~lgari
Darnpak Lingkungan (BAPEDAL), Departemen Lingkungan Hidup dan rnendalami masalah
penggunaan soji~~lore
ArcView untuk nlembantu pemecahan penggunaan data spasial.
KATA PENGANTAR
Alhamdulillah penulis panjatkan ke-hadirat Nlah SWT yang telah memberikan rahmat dan
hidayah-Nya sehingga pada akhirnya penulis dapat menyelesaikan tugas akhir ini tepat pada waktunya.
Dalam penyusunan tulisan ini, penulis banyak mendapatkan bantuan dari berbagai pihak baik
secara langsung maupun tidak langsung. Untuk itu penulis mengucapkan terima kasih ysng tak terhingga
kepada :
I . Bapak Dr. Ir. Muhammad Nur Aidi, MS selaku Pemhimbing 1, Ibu Ir. Retno Budiani, MS selaku
Pembimbing 2, juga Bapak Dr. I Wayan Mangku selaku dosen penguji.
2. Al-Ustadz K.H Ahmad Zaini Dahlan pimpinan ponpes N-Imdad yang telah membina jasmani dan
rohani penulis selama lebih kurang 4 tahun.
3. Penulis nggak pernah lupa untuk ngucapin terima kasih buat anak Matematika 35 yaig chakep, centil,
imut-imut tapi amit-amit '~orryPris kalo tersinggung), jrtfrkies, ,fmrky, keren abis, gaul, norak,
ilyebelin, ngeselin seperti Syauqi yang masih jomblo, Matzech, Pris yang emosinya stabil, Herdyn,
Madhi, [Mila (pembahas 11, Liana, Irma 000 yang udah ngebantuin ngumsin transparansi pas
mo seminar tms nungguin ampe sidang beres], Lilo, Puji, Sarah (pernbahas 2), Yunita, Samsul, Kiky,
[Hepy (pembahas 3), DenBakh yang udah ngasih semangat dan nasihat pas mo seminar tms ngasih
tumpangan buat tidur waktu malam lum'at buat persiapan seminar], Berlin, Ingeu, Anna (makasih
atas dorongannya yang sangat berarti bagi saya), Indra, Izma, lim, Desi, Dinah (thanks sudah
pinjemin printer 0 ) , Imeh dan ... yang penulis tidak bisa sebutkan namanya disini, OK. Terima kasih
sekali khususnya buat syauqi 35 yang sudah ngebantu mecahin masalah pake' komputernya yang
udah ketinggalan kereta.
4. Mahasiswa Matematika angkatan 32, 33, 34, 36, 37 dan 38 yang sudah memberikan kritik dan saran
yang membangun bagi penulis, yang sudah meminjamkan buku, dan yang memberikan semangat
juang 45 agar penulis bisa lulus secepatnya.
5 . Juga makasih buat santri-santri N-Imdad yang udah banyak ngebantu ngetik, ngeprint, nerjemahin,
ataupun hal-ha1 lain dalam penyelesaian tulisan ini seperti Aziz, Faiz, Hadi, BimBim, Khariz. Goten
dan semuanya.
6. Juga buat keluarga di rumah yang udah ngasih biaya. Terima kasih penulis ucapkan dari lubuk hati
yang paling dalan kepada semuanya temtama Bapak Sukardi, Ibu Enin, Mbak Renih, Mbak Liha,
Mbak Atun, Dudi, Yani, Ayu, Toh Gugun, Mas ling, Mas Mul, A Ibro, Mang Aan, Bi Ayi, Baenah,
Neneng, Adah, Nia dan yang lainnya yang tidak bisa penulis sebutkan satu per satu disini.
Akhirnya penulis merasa bahwa tulisan ini masih banyak kekurangannya. Untuk itu penulis sangat
mengharapkan sekali kritik dan saran yang membangun untuk perbaikan tulisan ini dari para pembaca.
Sebelum dan sesudahnya penulis ucapkan terima kasih.
Bogor, Agustus 2002
Nunung Nursaid
DAFTAR IS1
Halaman
PENDAHULUAN
LANDASAN TEORl
.............................. 1
........................................................................................................... I
DRIFT
COKRIGING
...........................................................................................................
2
........................................................................................................... 2
PEMBAHASAN
........................................................................................................... 4
DAFTAR PUSTAKA
...........................................................................................................8
DAFTAR TABEL
Tabel perbandingan ragam galat ... .. . . . . ... ... ... .. . . . . ... ... ... .., . .. ... ... ., , , .. ... ... ... .., , . . ... ... ..., 7
Tabel nilai coi~flric~n
dan c~o.rs-co~~nrin~~
.. . . .. ... ... ... .. . ...... ... ... ., . ... ... ... ...... ... ... ., .... ... ... 12
DAFTAR LAMPRAN
Bukti Teorema 1
Bukti Teorema 3
Bukti penyelesaian Persamaan 4
9
10
11
PENDAHULUAN
Latar B e l a h ~ n g
Data
spasial
adalah
data
yang
dikumpulkan dari lokasi-lokasi yang saling
berkorelasi satu sama lain. Selanjutnya, korelasi
suatu peubah U dan lfmenggambarkan hubungan
keeratan antara U dan K
Persoalan yang ada pada data spasial
adalah sulit melakukan pengukuran pada semua
lokasi karena lokasi bersifat kontinu. Oleh karena
itu, pendugaan pada titik-titik yang tidak
dilakukan pengukuran sangatlah penting.
Metode pendugaan banyak variasinya,
diantaranya adalah :
1) Ordinary Kriging yaitu pendugaan suatu
nilai peubah pada suatu titik tertentu yang
dilakukan dengan mengamati data yang
sejenis pada daerah lain.
2) BIok Kriging yaitu pendugaan rata-rata suatu
nilai pada suatu area dan area tersebut
dipecah-pecah menjadi area-area yang lebih
kecil dimana suatu nilai menggambarkan
nilai potongan area yang kecil tersebut.
3 ) Cohiging yaitu pendugaan suatu nilai
peubah
pada
suatu
titik
tertentu
menggunakan data lebih dari satu peubah
dengan mengamati data yang sejenis pada
lokasi yang lain.
Pada beberapa fenomena, misalkan
pendugaan terhadap kandungan sumber daya
alam (misal : minyak bumi sebagai peubah utama
(U)) seringkali menggunakan beberapa parameter
yang mempunyai korelasi linear dengan
kandungan sumber daya alam tersebut (sebagai
peubah pelengkap (q).
Pada kegiatan pendugaan
kandungan
sumber daya
alam
sering
menggunakan teknik cokriging. Pada kajian ini
dicoba menggunakan cohigi,~g.
Salah satu ilustrasi dalam masalah nyata
adalah dalam industri minyak. Dipmeter
menykur lubang dan mencari kedalaman, juga
terdapat beberapa parameter seperti sifat
(porosity), permeabilitas
dan
menyerap
kejenuhan cairan yang bergantung pada
kedalaman (diambil dari Geosiatislics Modcli,~g
Sparial Ut~ceriait~iy
oleh Chiles, J. P. dan P.
Delfiner).
Tujuan
Membandingkan C o h i g i ~ ~dengan
g
kondisi
tak bias 1 dan Cokriging dengan kondisi tak bias
2.
LANDASAN TEORI
Berikut ini diberikan beberapa pokok
bahasan baik berupa definisi, lemma maupun
teorema yang digunakan dalam penyusunan
tulisan ini.
Definisi 2 :
Jika V(x) suatu peubah acak diskret atau kontinu
yang mempunyai momen kedua berhingga, maka
ragam bagi V(x), dilambangkan Varpfx)),
didefinisikan sebagai :
Definisi 1 :
Nilai harapan bagi peubah V(r/ dilambangkan
E[V(x)], diddenisikan sebagai :
Var{V(x)]= E [ ( v ( ~ ) - E [ V ( X ) ] ) ~ ] .
(Helms, 1997),
E[V(x)]= ~ v i p [ v i jika
] . V(x) diskret dengan
Definisi 3 :
Jika U(x) dan V(x) mempunyai momen kedua
berhingga, maka colJarian U(wJ dan V O ,
dilambangkan Cov(U(x), V(x)), didefinisikan sebagai
COIJ(U(X),
V(x)) = C0ll(o;V )
= E [ W ] - E[U]EP/
i=l
kemungkinan nilai I>,, r 2 , ..., 11,, dan kngsi
massa peluang p[vi]= p ( ~ ( x=) 1 1 ~ ) . dan
m
q V ( x ) ] = [ilf[v]dv,jika Y(r) kontinu dengan
--
hngsi kepekatan peluang f [ v ] , dimana V(x)
adalah peubah If yang tergantung pada lokasi
X.
(Helms. 1997).
Untuk konstanta c terten:~, Coir(U,cj
Cos(U,U) = E[U2] - (E[U])- = VarflJ).
(Helms, 1997).
=
0 dan
Teorema 1 :
Jika Ul,..., U, mempunyai momen kedua
berhingga, maka
Cokriging
Nilai dugaan cohiging adalah kombinasi
linear dari data utama dan data pelengkap seperti
yang di tuliskan berikut ini :
dengan
1s;
'a,
a,
b,
b,
h,
Kunligurosi dola cakrirrgi,rg yang mongondunp dua date utama dnn tigo data pelcngkap
LolasilitikBsmpe(
Dengan menggunakan soflware MapleV
akan diperoleh bobot seperti di Tabel 2
halaman 7. Dari persamaan (2) diperoleh:
z
2
;=I
j=~
['
3
E[R]=E x n i U i + z b j v j
;=I
j=l
= ~[465.11]
E[u,]
= 465.11
Dan dari persamaan (1) diperoleh :
Uo =465.11 sehingga Vmm) = 34159.82
3
x a , + x b , =1
3
Ikrigirigdengan kondisi tak bias 1
mempunyai ragam galat yang lebih kecil
dibandingkan cokr~ging dengan kondisi tak
bias 2. Sehingga cokrigi,~gdengan kondisi tak bias
1 lebih diterima daripada cokriging dengan kondisi
tak bias 2.
Tulisan ini masih dapat dilanjutkan dan
dikembangkan lagi menjadi tnlisan yang lebih
lengkap. Misalnya jika terdapat ?erggel effecl. Juga
contoh-contoh kasus lain yang bisa diselesaikan
dengan cokrigit~g.
DAFTAR PUSTAKA
Chiles, J. P. & P. Delfiner. 1999.
Geostalislics
Moiielirlg
Spalinl
Urlcermiilty. John Wiley & Sons, New
York.
Helms, L. L. 1997. I?~lrodrrclio~zlo
I'robabiliiy Theory with Cor~tmrporary
Applicaio~s. W.H. Freeman and
Company, New York.
Isaaks, E. H. & R. M. Srivastava. 1989.
Applied
Geoslalislics.
Oxford
University Press, Oxford.
Olea, R. A. 1975. Oplin~rrrii Mnppirrg
Techr~iq~ies
~isii~gRegiorialized
Variable Tt~eory.Empresa Nacional del
Petroleo, Santiago, Chile.
LAMPIRAN
,
Lampiran 1 : Bukti Teorema 1
Karena E
[;I]]
Uj
=
=
C plr, ,maka
'I
C
I7[(U ,. -
j=l
PlIj ~
]+~$E[(U~-~~I~)(U,-A~~~)]
i=l ,=I
irj
Lampiras 2 : Bukti Teorema 3
Untuk membuktikan teorema diatas, kita gunakan teorema lain yang tidak diberikan buktinya
disini, yaitu :
Jika U,, ..., U, adalah peubah acak dengan nilai harapan berhingga
dan- c,, ...,c, adalah konstanta
real, maka i c j u j mempunyai nilai harapan berhingga dan E
j=I
Sehingga { = a r U j ] = = ~ ; E [ u ~dan
]
{e
j=l
,=I
bjV,] = ~ b j E [ V , ] .
Karena
maka
,,,
+ k f li=lj u j . ~ j=l
b,v,)
=.[('ajujXfbjvj]] ($~;EI.;I)['~~*I)
,J
,,<
= z;=Iz ,=aI ; b , ~ [ ~ ; V , ]- ( ~
$=I a i E [ U j j]=) ~[ ~ b j E [ V j ~
Lampiran 3 : (Bukti penyelesaian Persamaail (4))
Tabel I . Nilai eovrrria,f dan nas-covmia~zuntuk data yang d i k a a n &lam Gambnr I mcnggunakan model linear
eoregionnlisasi yang diberikan &lam Pcrsnmaan (13)
Lampiran 5 : (Bukti yang menjamin nilai ragam galat minimum)
Teorema 4 :(Uji Turunan Pertama untuk Ekstrim Lokal)
Andaikan f kontinu pada selang terbuka (a, b) yang memuat titik kritis c,
I. Jika f'(x) > 0 untuk semua x dalam (a, c) dan f'(x) < 0 untuk semua x dalam (c, b) maka
f (c) adalah nilai maksimum lokalf:
2. Jika f'(x) < 0 nntuk semua x dalam (a, c) dan f'(x) > 0 untuk semua x dalam (c, b) maka
f (c) adalah nilai minimum lokalf:
3. Jika f'(x) bertanda sama pada kedua pihak c, maka f (c) bukan nmilai ekstrim lokalf:
Teorema 5 : (Uji Turunan Kedua untuk Ekstrim Lokal)
Andaikan f'dan f" ada pada setiap titik dalam selang terbuka (a, b) yang memuat c, dan
andaikan f'(c) = 0 .
1. Jika f"(c) > 0 , f(c) adalah nilai minimum lokalf:
2. Jika f"(c) < 0 , f(c) adalah nilai maksimum lokalf:
Bukti :
1. Berdasarkan definisi dan hipotesis,
f"(c) = Lim f'b-f'(4
**C
x-C
= Linz f'(x)-0
>0
X+C
X-C
sehingga dapat disimpulkan bahwa terdapat selang (a,p) (mungkin pendek) disekitar c dimana
f'(x) > o ,
-
x-C
Kedua ketaksamaan ini menunjukkan bahwa f'(x) < 0 untuk a < x < c dan f'(x) > 0 untuk
c < x < p . Jadi, menurut Teorema Uji Turunan Pertama, f (c) adalah nilai minimum lokal.
CB Terbukti.
2. Bukti serupa dengan (1)
Berdasarkan teorema diatas untuk menjamin nilai ragam minimum adalah sebagai berikut :
=~ ( C O V ( U ~ U
C~O)V+( U ~ U ~C)O+V ( U ~ U ~ ) )
untuk i = 1, ...,n
a 2 ( v a r ( R ) ) =2=Cov(Vivj)
abjz
i=l
= 2(cov (v,v, )+ cov (v,v* )+ Cov (v]v3)+ Cov (vzvl)+ cov (v21/*
)+ cov (v2v3))
+ ~ ( C O V(v3v, )+ cow (v3v2)+ Cov (v3v3))
untuk j = 1, ...,m
Karena nilai covarian positif dan nilai cross-covarian lebih kecil dari nilai covarian, maka :
,,
a2(vQ~(R))
>
aaj 2
dan
a2( v a r ( ~ ),O,
)
abiZ
Sehingga nilai ragam galat akan minimum.
Teorema 6 :
Matriks A adalah suatu matrik simetrik. Matriks A adalah matriks definit positif jika dan hanya
jika semua akar cirinya positif.
Bukti :
(-4
Matriks A adalah matriks definit positif maka x T ~ >
x 0.
Akan dibuktin dibuktikan 'm(.Ua akar cirinya positif.
Jika vektor ciri berpadanan dengan A maka berlaku A x = A x sehingga
xTAx
maka A=->O
llxl12
.. ..
Terbukti A > 0 .
(4
Matriks A mempunyai akar ciri yang semuanya positif.
Akan dibuktikan matriks A definit positif.
Menurut teorema bahwa ( Jika A adalah matriks simetrik maka vektor-vektor ciri yang berbeda
akan ortogonal) dan dengan menerapkan prosedur Gram-Smith menjamin bahwa vektor-vektor ciri
yang didapatkan dengan prosedur ini akan ortonormal.
Misalkan
,x2,...,.x,,) adalah gugus ortonormal dari vektor ciri A. Jika x adalah vektor bukan
no1 dalam %",
x=alx, + a 2 x 2 +...+a,x,
Oleh karenUOIeh karena itu,
MB :
" T ri
dengan ai = C X
MB :r
dan
i=l
MB :
"
2
Chi)
i=l
MB :j
T
x ~ x = ( a +~ ax2 x~2 + . . . + a , x , ) T ( a l X 1 ~ I+n2x2A2+...+ a,,x,,~,)
T
Karena semua akar ciri matriks A positif, maka min Ai z 0 yang berarti 5 A n > 0
Terhukti matriks A adalah matriks definit positif.
=I I x I
2
.
LAMPIRAN
,
Lampiran 1 : Bukti Teorema 1
Karena E
[;I]]
Uj
=
=
C plr, ,maka
'I
C
I7[(U ,. -
j=l
PlIj ~
]+~$E[(U~-~~I~)(U,-A~~~)]
i=l ,=I
irj
Lampiras 2 : Bukti Teorema 3
Untuk membuktikan teorema diatas, kita gunakan teorema lain yang tidak diberikan buktinya
disini, yaitu :
Jika U,, ..., U, adalah peubah acak dengan nilai harapan berhingga
dan- c,, ...,c, adalah konstanta
real, maka i c j u j mempunyai nilai harapan berhingga dan E
j=I
Sehingga { = a r U j ] = = ~ ; E [ u ~dan
]
{e
j=l
,=I
bjV,] = ~ b j E [ V , ] .
Karena
maka
,,,
+ k f li=lj u j . ~ j=l
b,v,)
=.[('ajujXfbjvj]] ($~;EI.;I)['~~*I)
,J
,,<
= z;=Iz ,=aI ; b , ~ [ ~ ; V , ]- ( ~
$=I a i E [ U j j]=) ~[ ~ b j E [ V j ~
Lampiran 3 : (Bukti penyelesaian Persamaail (4))
Tabel I . Nilai eovrrria,f dan nas-covmia~zuntuk data yang d i k a a n &lam Gambnr I mcnggunakan model linear
eoregionnlisasi yang diberikan &lam Pcrsnmaan (13)
Lampiran 5 : (Bukti yang menjamin nilai ragam galat minimum)
Teorema 4 :(Uji Turunan Pertama untuk Ekstrim Lokal)
Andaikan f kontinu pada selang terbuka (a, b) yang memuat titik kritis c,
I. Jika f'(x) > 0 untuk semua x dalam (a, c) dan f'(x) < 0 untuk semua x dalam (c, b) maka
f (c) adalah nilai maksimum lokalf:
2. Jika f'(x) < 0 nntuk semua x dalam (a, c) dan f'(x) > 0 untuk semua x dalam (c, b) maka
f (c) adalah nilai minimum lokalf:
3. Jika f'(x) bertanda sama pada kedua pihak c, maka f (c) bukan nmilai ekstrim lokalf:
Teorema 5 : (Uji Turunan Kedua untuk Ekstrim Lokal)
Andaikan f'dan f" ada pada setiap titik dalam selang terbuka (a, b) yang memuat c, dan
andaikan f'(c) = 0 .
1. Jika f"(c) > 0 , f(c) adalah nilai minimum lokalf:
2. Jika f"(c) < 0 , f(c) adalah nilai maksimum lokalf:
Bukti :
1. Berdasarkan definisi dan hipotesis,
f"(c) = Lim f'b-f'(4
**C
x-C
= Linz f'(x)-0
>0
X+C
X-C
sehingga dapat disimpulkan bahwa terdapat selang (a,p) (mungkin pendek) disekitar c dimana
f'(x) > o ,
-
x-C
Kedua ketaksamaan ini menunjukkan bahwa f'(x) < 0 untuk a < x < c dan f'(x) > 0 untuk
c < x < p . Jadi, menurut Teorema Uji Turunan Pertama, f (c) adalah nilai minimum lokal.
CB Terbukti.
2. Bukti serupa dengan (1)
Berdasarkan teorema diatas untuk menjamin nilai ragam minimum adalah sebagai berikut :
=~ ( C O V ( U ~ U
C~O)V+( U ~ U ~C)O+V ( U ~ U ~ ) )
untuk i = 1, ...,n
a 2 ( v a r ( R ) ) =2=Cov(Vivj)
abjz
i=l
= 2(cov (v,v, )+ cov (v,v* )+ Cov (v]v3)+ Cov (vzvl)+ cov (v21/*
)+ cov (v2v3))
+ ~ ( C O V(v3v, )+ cow (v3v2)+ Cov (v3v3))
untuk j = 1, ...,m
Karena nilai covarian positif dan nilai cross-covarian lebih kecil dari nilai covarian, maka :
,,
a2(vQ~(R))
>
aaj 2
dan
a2( v a r ( ~ ),O,
)
abiZ
Sehingga nilai ragam galat akan minimum.
Teorema 6 :
Matriks A adalah suatu matrik simetrik. Matriks A adalah matriks definit positif jika dan hanya
jika semua akar cirinya positif.
Bukti :
(-4
Matriks A adalah matriks definit positif maka x T ~ >
x 0.
Akan dibuktin dibuktikan 'm(.Ua akar cirinya positif.
Jika vektor ciri berpadanan dengan A maka berlaku A x = A x sehingga
xTAx
maka A=->O
llxl12
.. ..
Terbukti A > 0 .
(4
Matriks A mempunyai akar ciri yang semuanya positif.
Akan dibuktikan matriks A definit positif.
Menurut teorema bahwa ( Jika A adalah matriks simetrik maka vektor-vektor ciri yang berbeda
akan ortogonal) dan dengan menerapkan prosedur Gram-Smith menjamin bahwa vektor-vektor ciri
yang didapatkan dengan prosedur ini akan ortonormal.
Misalkan
,x2,...,.x,,) adalah gugus ortonormal dari vektor ciri A. Jika x adalah vektor bukan
no1 dalam %",
x=alx, + a 2 x 2 +...+a,x,
Oleh karenUOIeh karena itu,
MB :
" T ri
dengan ai = C X
MB :r
dan
i=l
MB :
"
2
Chi)
i=l
MB :j
T
x ~ x = ( a +~ ax2 x~2 + . . . + a , x , ) T ( a l X 1 ~ I+n2x2A2+...+ a,,x,,~,)
T
Karena semua akar ciri matriks A positif, maka min Ai z 0 yang berarti 5 A n > 0
Terhukti matriks A adalah matriks definit positif.
=I I x I
2
.
PENDAHULUAN
Latar B e l a h ~ n g
Data
spasial
adalah
data
yang
dikumpulkan dari lokasi-lokasi yang saling
berkorelasi satu sama lain. Selanjutnya, korelasi
suatu peubah U dan lfmenggambarkan hubungan
keeratan antara U dan K
Persoalan yang ada pada data spasial
adalah sulit melakukan pengukuran pada semua
lokasi karena lokasi bersifat kontinu. Oleh karena
itu, pendugaan pada titik-titik yang tidak
dilakukan pengukuran sangatlah penting.
Metode pendugaan banyak variasinya,
diantaranya adalah :
1) Ordinary Kriging yaitu pendugaan suatu
nilai peubah pada suatu titik tertentu yang
dilakukan dengan mengamati data yang
sejenis pada daerah lain.
2) BIok Kriging yaitu pendugaan rata-rata suatu
nilai pada suatu area dan area tersebut
dipecah-pecah menjadi area-area yang lebih
kecil dimana suatu nilai menggambarkan
nilai potongan area yang kecil tersebut.
3 ) Cohiging yaitu pendugaan suatu nilai
peubah
pada
suatu
titik
tertentu
menggunakan data lebih dari satu peubah
dengan mengamati data yang sejenis pada
lokasi yang lain.
Pada beberapa fenomena, misalkan
pendugaan terhadap kandungan sumber daya
alam (misal : minyak bumi sebagai peubah utama
(U)) seringkali menggunakan beberapa parameter
yang mempunyai korelasi linear dengan
kandungan sumber daya alam tersebut (sebagai
peubah pelengkap (q).
Pada kegiatan pendugaan
kandungan
sumber daya
alam
sering
menggunakan teknik cokriging. Pada kajian ini
dicoba menggunakan cohigi,~g.
Salah satu ilustrasi dalam masalah nyata
adalah dalam industri minyak. Dipmeter
menykur lubang dan mencari kedalaman, juga
terdapat beberapa parameter seperti sifat
(porosity), permeabilitas
dan
menyerap
kejenuhan cairan yang bergantung pada
kedalaman (diambil dari Geosiatislics Modcli,~g
Sparial Ut~ceriait~iy
oleh Chiles, J. P. dan P.
Delfiner).
Tujuan
Membandingkan C o h i g i ~ ~dengan
g
kondisi
tak bias 1 dan Cokriging dengan kondisi tak bias
2.
LANDASAN TEORI
Berikut ini diberikan beberapa pokok
bahasan baik berupa definisi, lemma maupun
teorema yang digunakan dalam penyusunan
tulisan ini.
Definisi 2 :
Jika V(x) suatu peubah acak diskret atau kontinu
yang mempunyai momen kedua berhingga, maka
ragam bagi V(x), dilambangkan Varpfx)),
didefinisikan sebagai :
Definisi 1 :
Nilai harapan bagi peubah V(r/ dilambangkan
E[V(x)], diddenisikan sebagai :
Var{V(x)]= E [ ( v ( ~ ) - E [ V ( X ) ] ) ~ ] .
(Helms, 1997),
E[V(x)]= ~ v i p [ v i jika
] . V(x) diskret dengan
Definisi 3 :
Jika U(x) dan V(x) mempunyai momen kedua
berhingga, maka colJarian U(wJ dan V O ,
dilambangkan Cov(U(x), V(x)), didefinisikan sebagai
COIJ(U(X),
V(x)) = C0ll(o;V )
= E [ W ] - E[U]EP/
i=l
kemungkinan nilai I>,, r 2 , ..., 11,, dan kngsi
massa peluang p[vi]= p ( ~ ( x=) 1 1 ~ ) . dan
m
q V ( x ) ] = [ilf[v]dv,jika Y(r) kontinu dengan
--
hngsi kepekatan peluang f [ v ] , dimana V(x)
adalah peubah If yang tergantung pada lokasi
X.
(Helms. 1997).
Untuk konstanta c terten:~, Coir(U,cj
Cos(U,U) = E[U2] - (E[U])- = VarflJ).
(Helms, 1997).
=
0 dan
PENDAHULUAN
Latar B e l a h ~ n g
Data
spasial
adalah
data
yang
dikumpulkan dari lokasi-lokasi yang saling
berkorelasi satu sama lain. Selanjutnya, korelasi
suatu peubah U dan lfmenggambarkan hubungan
keeratan antara U dan K
Persoalan yang ada pada data spasial
adalah sulit melakukan pengukuran pada semua
lokasi karena lokasi bersifat kontinu. Oleh karena
itu, pendugaan pada titik-titik yang tidak
dilakukan pengukuran sangatlah penting.
Metode pendugaan banyak variasinya,
diantaranya adalah :
1) Ordinary Kriging yaitu pendugaan suatu
nilai peubah pada suatu titik tertentu yang
dilakukan dengan mengamati data yang
sejenis pada daerah lain.
2) BIok Kriging yaitu pendugaan rata-rata suatu
nilai pada suatu area dan area tersebut
dipecah-pecah menjadi area-area yang lebih
kecil dimana suatu nilai menggambarkan
nilai potongan area yang kecil tersebut.
3 ) Cohiging yaitu pendugaan suatu nilai
peubah
pada
suatu
titik
tertentu
menggunakan data lebih dari satu peubah
dengan mengamati data yang sejenis pada
lokasi yang lain.
Pada beberapa fenomena, misalkan
pendugaan terhadap kandungan sumber daya
alam (misal : minyak bumi sebagai peubah utama
(U)) seringkali menggunakan beberapa parameter
yang mempunyai korelasi linear dengan
kandungan sumber daya alam tersebut (sebagai
peubah pelengkap (q).
Pada kegiatan pendugaan
kandungan
sumber daya
alam
sering
menggunakan teknik cokriging. Pada kajian ini
dicoba menggunakan cohigi,~g.
Salah satu ilustrasi dalam masalah nyata
adalah dalam industri minyak. Dipmeter
menykur lubang dan mencari kedalaman, juga
terdapat beberapa parameter seperti sifat
(porosity), permeabilitas
dan
menyerap
kejenuhan cairan yang bergantung pada
kedalaman (diambil dari Geosiatislics Modcli,~g
Sparial Ut~ceriait~iy
oleh Chiles, J. P. dan P.
Delfiner).
Tujuan
Membandingkan C o h i g i ~ ~dengan
g
kondisi
tak bias 1 dan Cokriging dengan kondisi tak bias
2.
LANDASAN TEORI
Berikut ini diberikan beberapa pokok
bahasan baik berupa definisi, lemma maupun
teorema yang digunakan dalam penyusunan
tulisan ini.
Definisi 2 :
Jika V(x) suatu peubah acak diskret atau kontinu
yang mempunyai momen kedua berhingga, maka
ragam bagi V(x), dilambangkan Varpfx)),
didefinisikan sebagai :
Definisi 1 :
Nilai harapan bagi peubah V(r/ dilambangkan
E[V(x)], diddenisikan sebagai :
Var{V(x)]= E [ ( v ( ~ ) - E [ V ( X ) ] ) ~ ] .
(Helms, 1997),
E[V(x)]= ~ v i p [ v i jika
] . V(x) diskret dengan
Definisi 3 :
Jika U(x) dan V(x) mempunyai momen kedua
berhingga, maka colJarian U(wJ dan V O ,
dilambangkan Cov(U(x), V(x)), didefinisikan sebagai
COIJ(U(X),
V(x)) = C0ll(o;V )
= E [ W ] - E[U]EP/
i=l
kemungkinan nilai I>,, r 2 , ..., 11,, dan kngsi
massa peluang p[vi]= p ( ~ ( x=) 1 1 ~ ) . dan
m
q V ( x ) ] = [ilf[v]dv,jika Y(r) kontinu dengan
--
hngsi kepekatan peluang f [ v ] , dimana V(x)
adalah peubah If yang tergantung pada lokasi
X.
(Helms. 1997).
Untuk konstanta c terten:~, Coir(U,cj
Cos(U,U) = E[U2] - (E[U])- = VarflJ).
(Helms, 1997).
=
0 dan
Teorema 1 :
Jika Ul,..., U, mempunyai momen kedua
berhingga, maka
Cokriging
Nilai dugaan cohiging adalah kombinasi
linear dari data utama dan data pelengkap seperti
yang di tuliskan berikut ini :
dengan
1s;
'a,
a,
b,
b,
h,
Kunligurosi dola cakrirrgi,rg yang mongondunp dua date utama dnn tigo data pelcngkap
LolasilitikBsmpe(
Dengan menggunakan soflware MapleV
akan diperoleh bobot seperti di Tabel 2
halaman 7. Dari persamaan (2) diperoleh:
z
2
;=I
j=~
['
3
E[R]=E x n i U i + z b j v j
;=I
j=l
= ~[465.11]
E[u,]
= 465.11
Dan dari persamaan (1) diperoleh :
Uo =465.11 sehingga Vmm) = 34159.82
3
x a , + x b , =1
3
Ikrigirigdengan kondisi tak bias 1
mempunyai ragam galat yang lebih kecil
dibandingkan cokr~ging dengan kondisi tak
bias 2. Sehingga cokrigi,~gdengan kondisi tak bias
1 lebih diterima daripada cokriging dengan kondisi
tak bias 2.
Tulisan ini masih dapat dilanjutkan dan
dikembangkan lagi menjadi tnlisan yang lebih
lengkap. Misalnya jika terdapat ?erggel effecl. Juga
contoh-contoh kasus lain yang bisa diselesaikan
dengan cokrigit~g.
'I'skl 2. ?hhlperbandingon unluk cukriging dcngan
kondisi tali bias I dnn eob.;ging dungan
kondisi talc bins 2
Mungkin ha1 yang penting untuk
diperhatikan dalam Tabel 2 adalah dugaan
cc)krigi,g negatif Alasan untuk dugaan negatif
111
mula-mula dengan kondisi tak bias 236, = 0
j=l
Untuk jumlah bobot sama dengan no1 maka
beberapa nilai dugaan hams negatif Pada saat
bobot yang negatif dikalikan dengan nilai
sampel V yang besar, dugaan negatif dapat
muncul. Jika hasil kali negatif jumlahnya hesar
dalam nilai mutlak dari pada jumlah bobot
positif, maka dugaannya negatif.
Cokrigitig dengan kondisi tak bias 1 lehih
diterima karena mempunyai galat yang lebih kecil
dibandingkan cokriging dengan kondisi tak bias 2.
Pengarub nilai
yang lebih kuat dalam
pendugaan ini mengacu pada pilihan kondisi tak
bias yang menghasilkan hobot lebih yang diberi
tanda untuk peubah pelengkap.
Sebagai ringkasan bahwa cokriging dengan
kondisi tak bias 2 kurang memuaskan. Misalkan
kasus dimana hanya dua nilai data pelengkap yang
ditemukan sama jauhnya dari titik pendugaan dan
dari semua data utama. Karena dua nilai data
pelengkap sama jauhnya, maka hams diberi bobot
yang sama. Meskipun solusi ini secara matematika
benar, tapi sulit untuk memhayangkan proses fisika
yang mana skema bobotnya benar. Melalui metode
ini akan menurunkan kebiasan, tapi tidak
menurunkan penyebaran galat yang besar.
Menggunakan
kondisi
tak bias
1,
bagaimanapun dapat melakukan perbaikan, tidak
hanya dalam kehiasan dan penyebaran galat., tapi
juga dalam kejadian dugaan negatif yang lebih
rendah. Melalui pendekatan ini diperlukan
pendugaan prior dari mean global U dan V, ha1 ini
jelas bahwa kejadian dengan dugaan yang lebih
sederhana dari mean global, kita dapat memperbaiki
pendugaan.
KESIMPULAN DAN SARAN
Metode pendugaan data spasial
dengan cokriging, mempakan suatu metode
yang digunakan untuk menduga nilai pada
suatu titik yang tidak dilakukan pengamatan
dengan mengynakan data lebih dari satu
peubah.
C(>krigirigdengan kondisi tak bias 1
mempunyai ragam galat yang lebih kecil
dibandingkan cokr~ging dengan kondisi tak
bias 2. Sehingga cokrigi,~gdengan kondisi tak bias
1 lebih diterima daripada cokriging dengan kondisi
tak bias 2.
Tulisan ini masih dapat dilanjutkan dan
dikembangkan lagi menjadi tnlisan yang lebih
lengkap. Misalnya jika terdapat ?erggel effecl. Juga
contoh-contoh kasus lain yang bisa diselesaikan
dengan cokrigit~g.