A TERMÉSZETES SZÁMOK

27 37 100 A . szorzásra a "számlálót számlálóval, nevezı 100 nevezıvel" szabály érvényes. Milyen más számokra érvényes ez a 0

9 szabály? Bizonyos alakú törtszámokra? Nemcsak azokra. . -ra 3 3

π π is alkalmazható /mindkét tényezı egész szám, . -re is /mindkét

tényezı irracionális szám/. Az olyan általánosítások, mint pl. "közönséges törtet közönséges törttel úgy szorzunk ..." vagy röviden: "törtet törttel úgy szorzunk...", elıször a törtszámok körében kerülnek megfogalmazásra, de ettıl eltekintve nem sok közük van a törtszám fogalmához. A "közönséges tört" vagy "tört" szó itt nem törtszámot jelent, hanem egyszerően hányadost. Kevesebb zavar volna ekörül, ha így is mondanánk: "hányadost hányadossal úgy szorzunk ..." /helyesebben: "... szorozhatunk úgy..."/. és ezt az általánosítást párhuzamba állítanánk a többi hasonlóval, mint pl. összeg hozzáadása valamihez /asszociativitás/, az összeg szorzása /disztributivitás/, különbség levonása stb. Ott sem teszünk éles különbséget aszerint, hogy a mőveletekben szereplı számok és a mőveletek eredménye milyen számok, itt sem érdemes.

Persze a törtjelölés mögött gyakran ott van egy másik szemlélet is /valahány valahányadrész/, sıt gyakran éppen az a hasznosabb /p1. összeadásban, kivonásban/, de a hányados-szemléletnek

- 61 - - 61 -

negyedét is, de már nem nagyon jelent π π darab negyedet, csak π -

nek a negyedét, és az algebrai törteket is hányadosoknak értjük. Ha megmaradunk is a "törtet törttel..." fogalmazás mellett, tudnunk kell, hogy itt a "tört" szó a "tört szám„-nak csupán homonimája /arra hasonlít/, de a "hányados" szónak szinonimája /azt jelenti/.

A tört kétféle értelmezése. Részekre osztás, bennfoglalás

Ha a törtjel végül is inkább hányadost jelent, akkor jobb, ha elıször is azt jelenti, ha kezdettıl fogva ez a szemlélet dominál. Ebbıl nem következik az, hogy mondjunk le a "valahány valahányadrész" szemléletérıl! De írjuk a 3 darab negyedrészt elıször így: 3 negyed, a törtjel pedig jelentsen osztásjelet, akár a ferde, akár a vízszintes formájában. Példáu1 ezt a feladatot: "Ha 20 szem cukron négyen osztoznak, mindegyiknek öt jut" így

jegyezhetjük le röviden: 20/4 = 5 vagy: = 5. / A ferde

törtvonalat a tudományos könyvekben is használják, a mindennapi életben is./ Egyszer aztán valamelyik osztályban - lehet az alsó tagozati osztály is - felvetıdik egy olyan osztási probléma, amelynek az eredménye nem egész szám. Az exisztencia problémát a gyerekek persze nem értenék; számukra egyszerően tapasztalati tény, hogy az ilyen osztási feladatokat is meg lehet oldani, legalábbis bizonyos mennyiségekkel kapcsolatban. Persze nem mindig! Emberek, rajzszögek, villanyégık stb. szétosztásában a tört eredménnyel nem tudnak mit kezdeni, három almán azonban el tudnak osztozni négyen. Mennyi jut egynek? Valóságos almákon vagy papírból kivágott körökön meggyızıdnek arról, hogy 3 negyed. /Lehet, hogy úgy mondják: egy fél és egy negyed. Nem árt, ha az almák különbözıek, akkor igazságosabb az osztozkodás úgy, hogy mindegyik almát negyedelik./ Sok ilyen feladat kell ahhoz, célszerően halmozva, hogy mindenki rájöjjön egy érdekes szabályosságra:

3/4 = 3 negyed 2/3 = 2 harmad stb.

Itt 3/4 és 2/3 még mindig osztást jelent. De jelenti az osztás eredményét is. 7 + 4 sem csak utasítást jelent /"adjunk 7-hez 4- et"/, hanem jelent egy számot, ennek az összeadásnak az eredményét is. Jól meg lehet ezt érteni /nem magyarázni!/ zárójeles példákon: 8 + /7 + 4/-ben nem utasítást adunk 8 hoz, hanem számot. Akkor pedig,

ha a megfigyelt szabályosságban bízhatunk, a 3 negyedet 3/4-nek is írhatjuk, és ugyanígy más "valahányadrészek" esetében. Ez azonban nem egy óra anyaga! Hosszú út vezet idáig. Ennek az útnak fontos szakasza annak a felismerése, hogy csakugyan bízhatunk a megfigyelt szabályosságban. Van, aki túl könnyen bízik, van, akiben nagyobb az igény arra, hogy lássa, miért kell így lennie. Ezt az igényt lassanként mindenkiben ki kell alakítanunk. Aki pl. papírcsíkok szétvágása közben megértette, hogy 5 papírcsíkot egymásra téve célszerő négy egyenlı részre vágni, s akkor 5-nek mindegyik negyedrésze 5 negyedrész

9. ábra

lesz, és ez 6 ,7 negyedrészre, nyolcadrészre stb. ugyanígy igaz - az felismerte, hogy min múlik a megfigyelt szabályszerőség. Az ilyen felismerések a matematikai bizonyítások elsı csirái.

Érdemes-e egyáltalán a törtjelen kívül másféle osztásjelet használni? A törtjel az osztásjelnek egyetlen nemzetközileg elfogadott formája. Az angolszász országokban pl. nem ismerik a kettıspontot osztásjel értelemben, részben a ÷ , részben a jelet használják helyette. Egyetlen más mőveleti jelnek sincs ennyi

változata. A megkülönböztetı jelölésnek /pl. törtvonal és kettıspont/ mégis lehetne valami haszna. Ki lehetne fejezni vele eleinte a részekre osztás és a bennfoglaló osztás közti különbséget.

A törtvonal jelentené a részekre osztást - a fentiek alap-

- 63 - - 63 -

8 –nak a negyede 2

8 : 4 pedig ezt:

8 –ban a 4 megvan 2- szer

Két egészen különbözı probléma ez a gyereknek. Ha különbözıképpen jelöljük, alkalmat adunk neki megint egy felfedezésre: arra, hogy ennek a két számára különbözı mőveletnek a számszerő eredménye mindig ugyanaz. Például

8/4 = 2 és ugyanúgy 8 : 4 = 2

12/3 = 4 és ugyanúgy 12 : 3 = 4.

Ez eleinte megint csupán megfigyelés, fokozatosan világosodik meg a miért-je /a szorzás kommutativitásán át/. Mihelyt megértették, nincs értelme tovább fenntartani a megkülönböztetı jelölést; az egyik /vagy akár mindkettı/ használható mindkét féle értelemben. Egybeolvad a két jelentés. A bennfoglalás és részekre osztás jelölésbeli megkülönböztetése, amíg a két fogalom szintéziseként ki nem alakul az osztás fogalma, nem új gondolat, sokfelé alkalmazzák.

A németek pl. így írják eleinte a bennfoglalást: "4 in 8" vagyis "8- ban a 4".

Hasonló probléma ez, mint a mínuszjelnek a kivonásjeltıl való megkülönböztetése, amíg a kettı közti kapcsolat ki nem derül: Egyszerőbb elkenni a kérdést, és az egyforma jelölésen keresztül csempészni be a kettı közti kapcsolatot, de nem biztos, hogy megéri ez az egyszerőség a felismerés elmaradását. A problémák rokon voltából nem következik, hogy a megoldás feltétlenül közös, hiszen az életkor és más tényezık is közrejátszanak. Ezt a kérdést, éppúgy, mint sok mást, csak tapasztalatok, kísérletek dönthetik el. A mi esetünkben a kérdés az, hogy elınyös-e megkülönböztetı jelöléssel szétválasztani az osztásnak ezt a két szemléletileg különbözı típusát.

Arány

Itt kell megemlíteni, hogy a "hányados" és "tört" szónak további szinonimái is vannak, amelyeknek más és más a stílusértéke /ahogy pl. kutya és eb ugyanazt jelenti, mégsem mondhatjuk sem azt a hogy "köti a kutyát a karóhoz", sem azt, hogy "egyéb"/. A legfontosabb az arány.

Ábránkon például a fehér és a fekete négyzetek számának az aránya

3 a 2-höz, vagy másképp 6 a 4-hez stb., a fehér négyzetek arányszáma az összes négyzethez képest 3 az 5- höz, vagy 6 a 10-hez, sıt úgy is mondhatjuk, hogy 60 a 100-hoz. Az arányt többféleképpen jelölhetjük:

10. ábra

Rengeteg idı megy el az iskoláinkban a különféle elnevezések, jelölések közötti kapcsolatok tisztázására, rögzítésére, és talán még több megy el lényegében azonos gondolatoknak egymástól független felvetésére és tárgyalására. A bürokráciához lehetne hasonlítani ezt

a káros burjánzást; ez csak egy példa rá, sok más is akad. Nem volna jó elmosni a valóságos fogalmi és szemléleti különbségeket valamiféle elnevezés- és jelölésbeli uniformizálással. De ki kell alakítanunk a különbözı aspektusokon át az ıket összekapcsoló fogalmakat. Az arány, éppúgy, mint a /közönséges/ tört, lényegében hányados. Amikor ilyen kérdést teszünk fel: "Hányszorannyi pálcika van az egyik kezemben, mint a másikban?", aránnyal kapcsolatos kérdést tettünk fel; ilyen kérdések már a 2. osztályban felmerülnek. Ábránkkal kapcsolatban is mondhattuk volna azt, hogy másfélszerannyi fehér négyzet látható rajta, mint fekete. Mint a példák mutatják, a részekre osztás és bennfoglaló osztás közül az utóbbihoz van közelebb az arányba állítás" /ha éppen külön nevet akarunk mondani rá/; ha mindenáron osztályozni akarnánk, azt mondhatnánk, hogy nem harmadik eset, hanem a bennfoglalás alesete vagy elágazása.

Eleinte mindenesetre csak egynemő mennyiségeket állíthatunk irányba egymással; például azt mondjuk, hogy az elıször és a másodszor megtett út aránya megegyezik az eltelt idık arányával, pl.

6 km: 15 km = 20 perc: 50 perc.

Idıvel azonban a mőveletek különféle aspektusai. /elvétel, pótlás, különbség keresése; részekre osztás, bennfoglalás, arány keresése stb./ egyre inkább egybeolvadnak a gyerekek gondolkozá- sában. Egybefőzi ıket az, hogy ugyanarra a számértékre vezetnek, bár

a hozzájuk tapadó szemléleti tartalom különbözı. Azt lehet mondani, hogy ekkor már csak számértékekkel végzünk mőveleteket, és a mőveleti eredményt vonatkoztatjuk megint a valóságra. Nincs értelme például annak a kérdésnek, hogy 6 km hányszorannyi, mint 20 perc, 6 és 20 arányának /= hányadosának/ azonban van értelme, és ez az arány megadja az 1 perc alatt megtett kilométerek számát. Késıbb, amikor nem vezet félreértésre, mégis bevezethetünk egy mértékegységekkel végzett formális kalkulust x , amelyben 5 m-nek és 6 m-nek a szorzata

30 m 2 , 6 km-nek és 20 percnek a hányadosa /vagy amit ekkor már szinonimaként mondunk: aránya/ 0,3 km/perc stb. Mindenesetre

egyeztessük össze a fizika tanárával, hogy mikor vezetjük el a tanulókat erre a fokra; a túl korai idıpontnak veszélyei vannak.

Fontos szempont az arány és más rokon fogalmak tanításában, hogy az összetartozó kérdések ne szakadjanak szét. Ne jelentsen külön ismeretanyagot az, hogy ha az osztandót és az osztót /pl. 51000 : 300/, a számlálót és a nevezıt, az arány elı- és utó- tagját ugyanazzal a /0-tól különbözı/ számmal szorozzuk vagy osztjuk, akkor

a hányados, a tört, az arány értéke nem változik. Márpedig ezek elkerülhetetlenül külön ismeretanyaggá válnak, ha az említett fogalmak külön-külön lépnek fel, ha például "a tört

A "formális" szó legalább háromféle értelemben használatos.

A pedagógiában - fıként a régebbi pedagógiai irodalomban, a formális képzést a materiális képzéssel szokták szembeállítani; a formális képzés formálja a gondolkozást, a materiális képzés matériával, tudásanyaggal látja el. Van a szónak egy pejoratív /rosszalló/ értelme is. Pl. "formális tudás" /Vö. formalista, formalizmus/. Itt azonban egy harmadik, a matematikában gyakran használt, nem pejoratív értelemben szerepel a szó. A formális kalkulus, a formális

szabályok mentesítenek valaminek a minduntalan való végig gondolásától. Matematika enélkül elképzelhetetlen. Amit már értünk - törtek szorzását, polinomok differenciálását stb. -,azt igyekszünk formális szabályokkal kifejezni és kordában tartani, mert ez lehetıvé teszi, hogy a gondolkozásunk más irányban váljon aktívvá. Aki bizonyos formális szabályokhoz a konkrét helyzet átgondolása útján jutott el és aki mindig fel is tudja idézni mögöttük a konkrét helyzetet, annak a tudása ezekre a szabályokra vonatkozóan nem formális.

- 66 - - 66 -

Törtek bıvítése, egyszerősítése, összeadása, kivonása

A törtek tanításában mutatkozó nehézségek legfıbb oka valószínőleg az, hogy hiányzik a kellı tapasztalati alap. Hogyan tanulja például a legtöbb gyerek a törtek bıvítését? Mutatnak neki egy ilyen rajzot /10/a. ábra/. Hall róla valami tortáról szóló

történetet. Elmagyarázzák

neki,

hogy a két tört ugyanakkora, pedig

a másodiknak a számlálója is, a nevezıje is kétszerakkora, mint az elsınek. Lát, vagy esetleg rajzol is még néhány példát, ahol 2-szeres helyett 3- vagy 4-szeresére nı a számláló és a nevezı. Ezekbıl a

3 6 tapasztalatokból

a 4 8 szabályt: "A tört értéke nem változik, ha a számlálóját és a

leszőrik

10/a. ábra nevezıjét ugyanazzal a számmal

szorozzuk". Ugyanazokról a rajzokról fordított sorrendben leolvassák az egyszerősítés szabályát is. A szabályok megvannak, de érett fogalmak nélkül! Sok papírkört kell szétvagdosniuk vagy kiszínezniük

a gyerekeknek /persze lesz köztük, aki már kevésbıl is absztrahál/, felfedezéseket tenniük, újból és újból ellenırizniük felfedezéseik helyességét, amíg csakugyan megérnek a fogalmak és a legvégén ki lehet mondani a szabályokat is. Ha erre "ne, jut idı", akkor majd elmegy sokszorannyi idı a meg nem értett szabályok állandó gyakorlására, s az még mindig nem fogja pótolni az egyszer valóságosan megszerzett tapasztalatot. Idı persze a fogalom kialakításához is kell, és gyakorlásra a fogalom kialakítása után is szükség van - alkalmazások formájában. Nem csupán a ténylegesen ráfordított idı számít itt, hanem az érési idı is. Félrıl, negyedrıl, háromnegyedrıl sokat hall a 6-8 éves gyerek is. Énekórán is szüksége van erre, hogy az idıtartam megjelölésekrıl legyen fogalma. Énektanárok megteszik, hogy papírkört vágnak

- 67 - - 67 -

Alma, torta, kuglóf vagy egyszerően körlap - ezek az elképzelt vagy valóságos tárgyak a törtek tanításában az egység legkedveltebb modelljei. Egy gyerek meg is, jegyezte: "Észrevettem, hogy a törteknél a kör az 1." Kezdetnek nem is rossz modellek ezek, hiszen az egyszerőbb törtrészek alakja sugallja, hogy milyen törtrészek, nem kell ıket viszonyítani egy önkényesen megállapított egységhez. Fontos azonban az is, hogy a gyerekek megtanuljanak viszonyítani. Négyzet, téglalap /lehet csokoládétábla is/, papírszalag, spárga

lehetnek a következı modellek; az egység kapcsolódhat a mértékrendszerünkhöz /pl. l dm, 1 dm 2 /, lehet attól független,

gyakran változhat is, csak tudják mindig a gyerekek, hogy éppen mi az egység. Vágják, vagy hajtogatás alapján tépjék ki, színezzék ki a megfelelı törtrészt, írják fel a rajzban feltüntetett törtrészt, győjtsenek

egyszerősítésre, bıvítésre vonatkozókat is, de a szóbeli megfogalmazással ne siessünk. A kivágott idomok helyét egyre inkább rajzok veszik át, a rajzokban egyre inkább a szakaszokkal, számegyenesen való szemléltetés dominál, de amikor szükségét látjuk, visszatérünk az elızı megjelenítési módhoz. Egyre több olyan feladat szerepeljen, ahol jelekkel vannak felírva a törtek, de eleinte álljon rendelkezésükre valamilyen modell, amin ellenırizhetik, "jól gondolták-e". Akinél az interiorizálás befejezıdött, annak már erre sincs szüksége. Az ilyen gyerek többnyire maga mond le a konkréthoz való visszatérésrıl. Mivel a tanár nem tudja harminc-negyven gyerekrıl külön-külön eldönteni, ki hol tart, fontos is, hogy kialakuljon bennük a judicium, szükségük van-e még pl. a számegyenesen való ellenırzésre, vagy anélkül is

sok

tapasztalatot,

- 68 - - 68 -

A számegyenes több szempontból is hasznos. Elıkészíti a koordinátarendszer használatát, meggyökerezteti azt a fontos gondolatot, hogy nemcsak területhez vagy hosszúsághoz, hanem pontokhoz is rendelhetünk számokat. Megkönnyíti az utat a negatív szám fogalmának kialakítása felé: akár a számegyenes pontjainak, akár a számegyenes mentén való adott irányú elmozdulásoknak /vektoroknak/ feleltetnünk meg számokat, természetes módon vetıdik fel a kérdés, hogy az egyenes másik felének vagy az ellenkezı irányú elmozdulásoknak nem lehetne-e számokat feleltetni meg. Alkalmasabb az 1-nél nagyobb tört számok szemléltetésére, mint a körrel, síkidommal vagy /számegyenestıl függetlenül/ szakasz hosszával való ábrázolás. Végül: igen alkalmas arra, hogy a törtszámok különféle írásmódjait, többek között a különbözı nevezıjő törteket egyszerre vizsgáljuk a számegyenes megfelelı pontjai alatt vagy fölött; pl. egyik sorban a kettedek, alatta a harmadok, a hatodok, a tizenkettedek stb.

kis nevezıjő közönséges

Amikor az

egyszerősítésben, bıvítésben,

kivonásában elég sok tapasztalatot szereztek, akkor kerülhet sok arra, hogy a közben végzett eljárásokat ık maguk, a tanár vezetésével, általánosan is megfogalmazzák, esetleg betőkkel is felírják.

törtek

összeadásában

és

nevezıjő törtek összeadását és kivonását is megtanulják elvégezni, legalábbis kis nevezıkkel. Nem baj, ha eleinte találékonyság dolga, milyen szám a legalkalmasabb közös nevezınek. Ha a nevezık nagyobbak /vagy nem is nagyok, de relatív prímek, pl. 6 és 7/, akkor a rajz már nem sokat segít. Rá kell vezetnünk ıket arra, amit kis nevezıkkel tapasztalhattak is, hogy a nevezık szorzata mindig alkalmas közös nevezınek. Viszont sok felesleges munkát takaríthatnak meg, ha a szorzásokat nem végzik el, csak kijelölik és ebben a formában egyszerősítenek. A késıbbiek szempontjából is fontos megszokniuk, hogy a mőveletek elvégzését általában jobb a legvégére halasztani, mert kiderülhet, hogy egyszerőbben is megy, mint ha gépiesen számolnának a megadott sorrendben.

A számegyenes

segítségével

különbözı

Egy példa:

Nem kellett hozzá sem lk.k.t., sem ln.k.o. és nem számoltunk mégsem feleslegesen nagy számokkal. Mindenesetre tudni kellett hozzá, hogy pl. ha szorzatot osztunk, csak egy tényezıjét szabad osztani, de összegnek minden tényezıjét külön el kell osztani. Jó,

ha ez magától értetıdı készségként alakul ki már a numerikus számolás kapcsán. Ha csak egyenletek megoldásakor tisztázódik, amikor nagyrészt "betőkkel számolunk", akkor sokkal nagyobb a veszély, hogy értelem nélküli formális szabály lesz belıle.

Azért is elınyös, hogy /egyszerő speciális esetektıl eltekintve/ a nevezık szorzatát alkalmazzák közös nevezınek, mert így az utólagos egyszerősítéstıl eltekintve pontosan "definíció szerint" végzik az összeadást. Az elıbbi példában a részletes leírás miatt ez nem nagyon látszik. Ott az "egyszerre csak egyet lépj" elvét alkalmaztuk, amely a tudatosítás szempontjából nagyon fontos, és csak olyan mértékben érdemes eltérni tıle, amilyen mértékben a tanulók - nemcsak a jótanulók - maguk is kívánják. Idıvel azonban erre is sor kerül, és akkor például egyszerre meg lehet tenni ezt a lépést:

ami után persze következik az egyszerősítés. Ilyen átalakításokra gyakran sor kerül. Minden ilyen esetben az

a + b = an + bm

m n mn

azonosságnak egy numerikus példájával ismerkednek meg a tanulók. Késıbb /jóval késıbb/ ezzel az azonossággal fejezik ki a racionális számok összeadásának a definícióját azok, akik odáig eljutnak.

Törtek szorzása és osztása

a valahány valahányadrész" szemlélete van elıtérben. Persze fontos, hogy a gyerekek ne feledkezzenek el arról sem, hogy a tört hányados. Arról, hogy 2/7 + 3/7 = 5/7, legkönnyebben úgy gyızıdnek meg, hogy elképzelik egymás mellett a 2 hetedet és a 3 hetedet, de jó, ha eljutnak ide a hányados-szemléletbıl kiindulva is /ha 2-nek is, 3- nak is a hetedét veszem, az együtt annyi, mint ha 5-nek veszem a hetedét, ami lényegében a disztributivitás gondolata/.

Törtek

összeadása

és

kivonása

közben

A szorzás és az osztás tanításakor elıtérbe lép ez az utóbbi aspektus. Jó hasznát vehetjük itt annak, amit a gyerekek a "változásokról" tanultak a természetes számokkal kapcsolatban. Nézzük például hogyan, lehet eljutni a törtek szorzásához a szorzat változásai alapján. Az ott tanultak egyszerő alkalmazásáról persze itt nem lehet szó, inkább extrapolálásról beszélhetünk. A tudományos kutatásnak azonban ez is hatalmas eszköze: ami adott körülmények között alkalmazható, azt megpróbáljuk más körülmények közé is átvinni. A matematika kész rendszerében ilyesminek nincs helye, mi azonban nem kész rendszert akarunk adni, hanem felfedezı utakra vezetni az ifjúságot. Ilyen értelemben helyénvaló a következı feladatsorozat:

Próbáljátok kitölteni az üres helyeket:

Az 1. tényezı

A 2. tényezı

A szorzat

21 . 10 = 210 harmadára....

nem változott ....

csökkent.....

A gyerek analógia útján gondolkozik és felfedezi, hogyan "kell" törtet törttel szorozni. Nem bizonyít és nem definiál, felfedez. Még nagyon halvány fogalma van, ha egyáltalán van vala-

- 71 - - 71 -

Miután azonban megtették a felfedezést, elkezdhetjük velük együtt vizsgálni, elemezni, hogy tulajdonképpen mit is fedeztek fel. Enélkül az egész csak jelekkel való játék maradna. Megbeszélhetjük

például velük, hogy . 5 azt jelenti: -nak az ötszöröse, vagyis 3

és ez csakugyan /remélhetıleg a feladatsorokban

is erre jutottak/. De mit jelent a -nek az -szerese? Odáig

könnyen eljutnak a gyerekek, hogy az -szeres két és félszerest 5

jelent. A továbbiakban azonban kétféle típusú elıkészítést kívánnak. Egyrészt könnyebb számokon jó tisztázni, mit jelent a két és

félszeres. Aki két és félszer ússza le egy 50 méteres uszoda hosszát, az 125 métert úszik. A barátja, aki csak kétszer úszta végig az uszodát, 25 méterrel kevesebbet úszott. A "két és félszeres" a mindennapi szóhasználatból ismert fogalom. "Félszeres"- rıl nem szoktunk beszélni, de az analógia alapján könnyő rávezetni a gyereket arra, hogy a félszeres uszodahossz az uszoda hosszának a felét jelenti. Az analógia mögött a disztributivitás rejlik: ahogyan

a 12-szeres 10-szeres meg 2-szeres, úgy a 2 -szeres 2-szeres meg 1

-szeres.

2 Másrészt 7/3 felének a kiszámítására is célszerő elıkészítı

feladatokat adni / 1/2-nek, 1/4-nek, 3/4-nek, 1/3-nak, 2/3-nak a fele/.

Bizonyítást vázoltunk fel, mert bár konkrét számok szerepelnek mindenütt, semmi sem múlik azon, hogy milyen számokat választottunk /csak 0-val való osztás ne szerepeljen/. Csak felvázoltuk a bizonyítást, mert hiányzik az összekötı szöveg, a feladatsorozat csupán sejteti, hogy mirıl van szó.

Több más úton is el lehet jutni a törttel való szorzás fogalmához és technikájához. Olyan utat vázoltunk, amely nem élezi ki a konfliktust, ti. azt, hogy a régi értelmezés nem alkalmazható, inkább természetessé próbálja tenni a törttel való szorzás gondolatát. Fiatalabb korban, amikor még a gyerekek nincsenek tisztában azzal, mi az, hogy értelmezés /definíció/, talán ez a járhatóbb út. Késıbb sor kerülhet annak tisztázására is, hogy célszerő megállapodásról van szó. Semmiképpen sem szabad azonban a gyerekekre ráerıltetni tılük idegen logikai szempontokat. Az elıbb vázolt felépítésben szokatlan és talán visszatetszı is lehet, hogy elıbb fedeztetünk fel egy technikát, aztán tisztázzuk annak értelmét. Ez a sorrend nem mindig a legcélszerőbb, de nem is feltétlen elvetendı.

A szám felének és félszeresének azonosítása egy példa volt a törtrész kiszámításának és a törttel való szorzásnak az azonosítására. Adhatunk erre további példákat is. Egy ilyen példa lehet ez: "Béla 200 méterre lakik az iskolától, Juli kétszerannyira, András háromszorannyira, Marci két és félszer, Dezsı két és egy negyedszer, Eszti két és háromnegyedszer olyan messze lakik, mint Béla, mind ugyanabban az irányban. Próbáljátok lerajzolni és megmondani, milyen messze laknak az iskolától és egymástól".

Segíthetik a gyerekeket a törtek szorzásának megértésében az ilyen rajzok is /11. ábra/.

Nem a rajz puszta szemlélése vagy a tanári magyarázat hallgatása azonban az, ami elıreviszi ıket - ezt nem lehet eléggé hangsúlyozni - hanem az, ha van valami tennivalójuk vele kapcsolatban, ha feladat elé állítjuk ıket. Lehet az például egy feladatlap kitöltése, amely az elıbbi ábrán kívül például ilyenféle szöveget tartalmaz:

hossz-

terület-

egység egység

12. ábra

Az OA téglalap egyik oldala ..... hosszegység, másik oldala ..... hosszegység, a területe ..... területegység.

Az OB téglalap oldalai ..... hosszegység és ..... hosszegység. ..... pici téglalapból áll, mindegyiknek a területe .... területegység. Az OB téglalap területe ..... területegység. Figyeld meg a területet és az oldalakat kifejezı számokat! Látsz valami összefüggést? Írd ide, mit látsz

a/ a számlálók közt............................................... b/ a nevezık közt.................................................

Mivel magyarázod ezt? ........................................

A törttel való osztás irányába is elindíthatunk hasonló felfedezıutakat, például a "változások" vizsgálatán át, abból kiindulva, hogy egy szorzat ismeretlen tényezıjét keressük, a törtrészrıl az egészre való visszakövetkeztetésen keresztül. Itt is, mint a szorzás esetében van olyan út, hogy elıbb jutnak el a tanulók bizonyos szabályosság felismeréséhez megnevezés nélküli számokkal, azután vizsgálják, hogyan kapcsolódnak ezek a valósághoz. Van azonban olyan út is, és sok szempontból ez az elınyösebb, amelyen konkrét mennyiségekbıl, tárgyi feladatokból indulnak ki a tanulók. Közönséges törtek esetében ezt az utat az nehezíti meg, hogy nem könnyő olyan feladatokat találni, amelyek valószerőek, erıltetettség nélküliek. Hasznát vehetjük ebben a nem decimális mértékeknek. A törtek tanításától függetlenül is hasznos, ha nemcsak azt tudják a tanulók, hogy 1 perc = 60 má-

- 74 - - 74 -

1 másodperc = perc stb. Külföldi, mértékekkel is megismerkedhetnek

1 1 ezzel kapcsolatban /pl. 1 hüvelyk = láb, 1 láb = yard/, és 12 3

annak sincs akadálya, hogy képzeletbeli, önkényes, például "Mars- beli" egységeket vezessenek be, amelyek arányszámára és elnevezésére maguk tehetnek javaslatot. Természetesen a decimális mértékek arányát is kifejezhetjük közönséges tört alakban, csak ez nem ad elég alkalmat a változatosságra. Célszerő ilyen esetben mindjárt az egyszerőbb és szokottabb tizedesjelölést is használni a közönséges tört alakkal párhuzamosan, hogy a köztük levı kapcsolat minél inkább rögzıdjön a tanulókban.

A "változások" gondolatát a mértékekkel kapcsolatban gyakran úgy alkalmazzuk, hogy nem magukat a mennyiségeket változtatjuk, hanem az egységeket, amelyekben mérjük ıket. Például egy 1,1 m hosszú és 0,71 m széles téglalap területét kiszámíthatják természetes

mindent centiméterben és négyzetcentiméterben fejeznek ki, s aztán átírják a számítást közönséges és tizedestört alakra:

számokkal úgy,

hogy

Hosszúság

Szélesség

Terület

1,1 m 2 0,71 m ...m

11 m 2 ... m ...m

10 ... . . . cm 2 . . . cm . . . cm

Külön szempontok a tizedes tört írásmóddal kapcsolatban

A tizedes tört írásmód egyrészt egyszerősítı jelölés az olyan közönséges törtekre, amelyeknek a nevezıje 10, 100, 1000 stb., másrészt a decimális /tízes számrendszerben való/ írásmód kiterjesztése az egyesek helyiértéken túl, jobbfelé. A 123,45

tizedestört például az elsı szemszögbıl nézve rövidebb 100 írásmódja, a másikból nézve viszont 1 százas, 2 tízes, 3 egyes, 4

tized és 5 század összegének tömör leírása. Fontos, hogy a tanulók mindkettıt lássák benne, mert egyszer az egyik, máskor a

- 75 - - 75 -

jelenti: 4 m 7 dm 6 cm 5 mm, vagy másképpen m, vagyis 4765 1000 ezredméter, vagyis 4765 milliméter. Hasznos az ilyen írásmódok

egymás mellé állítása:

Példák alapján felismerik, anélkül, hogy ebbıl szabályt csinálnának, hogy ha az utóbbi esetben valamelyik számjegy után tizedesvesszıt írnak, ezzel az afölé írt egységben fejezik ki a mennyiséget. A tizedes tört írásmódnak és a decimális mértékeknek ez a kapcsolata mindkettınek a tanítása szempontjából elınyös. Könnyebben megjegyzik

a gyerekek például a hossz-és súlymértékek váltószámait, ha minden harmadikat emeljük ki mint csomópontot - a számjegyek hármas tagolásának megfelelıen - és a többit ezek közé iktatják, ezekhez viszonyítják. A csomópontok: km, m, mm és tovább µ , m µ ; ugyanígy: t, kg, g, mg. Példa a kapcsolat másik irányú értékesítésére: a tizedestört eredményő osztást könnyebben megértik, ha nem elvont formában váltják a megmaradó egységet tizedekre, a tizedeket századokra stb., hanem egy fokkal konkrétabb szemlélethez kapcsolják az algoritmust és a megmaradó forintokat váltják képzeletben tízfilléresekre, vagy a métereket deciméterekre stb. A végtelen tizedestörtekkel kapcsolatban is erre a szemléletre van szükség, hogy a jelek mögött tartalmat lássanak. A gyerek innen-onnan felszed valamit a végtelenrıl, "ahogy a párhuzamosok találkoznak" és "ami minden más számnál nagyobb", s ha hallja azt, hogy "végtelen tizedestört" és tapasztalja pl. a 10:3 osztásban a tizedesjegyek szőnni nem akaró egymásutánját, akkor esetleg ezt is odasorolja képzeletében az elıbbiek mellé. Itt is, mint annyi más esetben, a számnak és jelének összekeverés okozza a zőrzavart: a végtelen tizedestörtek jele végtelen, de ık

- 76 - - 76 -

Százalékok

Ahelyett, hogy "17 század" néha azt mondjuk "17 százalék". Egy szám 17 százaléka azt jelenti, a szám 17 századrésze. Aki tudja, hogy egy számnak a 17 százaléka, vagyis 17 századrésze a szám 0,17- szorosa, annak nem okoz nehézséget és semmi esetre sem jelent "kétmőveletes feladatot" a százalékszámítás elsı alapfeladata, a százalékérték kiszámítása. Aki tudja, hogy egy x szám 17 századrészébı1 /0,17-szorosából/ úgy számíthatjuk ki magát a számot, hogy elosztjuk az x-et 0,17-dal, annak a százalékszámítás második alapfeladata sem okoz súlyos problémát. Végül aki tudja, hogy bármely számról úgy számíthatjuk ki, hányszorosa egy másiknak, hogy elosztjuk vele, akár például 5-öt kell osztani 2-vel, akár 2-t 5- tel, és ha századrészben fejezzük ki az eredményt, megtudjuk, hány százaléka az elsı szám a másiknak, az már a harmadik alapfeladat megoldásával is tisztában van. Miért volna szükség ezeknek a feladattípusoknak a tanításához hónapokra a törtek megtanítása után is?

annyi nehézséget a "százalékszámítás"? Bragyisz /1951, 188-189.oldal/ Hincsint idézi: "Ahelyett, hogy mindjárt kezdetben világosan megmondanánk, hogy a százalékos feladatok csupán speciális esetei a törtes feladatoknak, és

Miért okoz még

ezek

után is

semmiféle különleges "százalékszámítás", hanem bármely törtekre vonatkozó feladatot felírhatunk százalékos alakban és megfordítva - a kérdésnek ilyen világos beállítása helyett bizonyos százalék-kultuszt teremtenek nálunk, egész külön építik ki a százalék fogalmát, külön elméletet, és külön feladat-kategóriákat teremtenek, egyszóval minden lehetıt megtesznek, hogy a tanuló elképzelésében a százalék valami új, idegen és nehéz fogalommá nıjjön, amelynek vizsgálatához különleges eljárásokra, különleges módszerekre van szükség. Ezek után persze általános a tapasztalat, hogy a ta-

így nincs

és

nem

is

lehet

- 77 - - 77 -

a kiszámítását sem két lépésben végzik, hanem egyetlen szorzással vagy osztással, hiszen ezek pontosan azt jelentik, mint az elıbbiek. Ez a helyes tantervi elgondolás jó lehetıséget ad a most általánosnál egészségesebb tanítási gyakorlat kialakítására a százalékos feladatok megoldásában.

A százalékos feladatok megoldásában a törtek hiányos megértésén túl újabb nehézségek forrása a különleges szóhasználat. Az, hogy századrész helyett százalékot mondunk, még nem okoz nagy zavart. Sokkal inkább az, hogy összeadás és kivonás nyelvét beszéljük, amikor pedig szorzásról és osztásról van szó, pontosabban: szorzás és osztás segítségével egyszerőbben fejezhetı ki, amirıl szó van. Azt mondjuk például: valamilyen cikk termelése az egyik évben 20 %-kal, a következı évben 30 %-kal nıtt. Ez a szóhasználat mint magától értetıdı tényt sugallja azt, hogy együttvéve 50 %-kal nıtt a termelés. Nem elég egy olyan magyarázat, hogy a 30 %-os emelkedés más alapszámra vonatkozik, mint a 20 %-os. Ebbıl

a százalékszámításban másképp adunk össze, mint ahogy a józan ész alapján várnánk. Jobb, ha lefordíttatjuk velük az ilyenféle feladatokat a szorzás, illetve az osztás nyelvére. Az, hogy 20 %-kal

bennük, hogy

3 nıtt, azt jelenti; az eredetinek 120 %-a, vagyis 1,2-szerese lett. Ha 30 %-kal nıtt, akkor 130 %-a, 1,3-szerese lett annak, ami volt. /Persze érteniük kell mindig, hogy mi minek ennyi százaléka, ennyiszerese!/ Ha 15 %-kal csökkent, akkor a 100 %-ból 85 % lett, az eredetinek 0,85-szorosa. /A formális analógiák keresése itt megzavarhatja a gyerekeket, azt hihetik, hogy ha az adott százalékos növekedés szorzással fejezhetı ki, akkor az adott százalékos csökkenést viszont osztással lehet kifejezni./

Ha 63 %-os növekedés után 7867 tonnát exportálunk valamibıl, akkor ez az elızı évi export 163 %-a, 1,63-szorosa, vagyis az elızı évi export 7867/1,63 tonna. Ha 63 %-os csökkenés után 2,2 millió forint értékő a termelés, akkor ez az elızı évi termelés 37 %-a, 0,37- szorosa, tehát az elızı évi termelés 2,2/0,37 millió forint. Meg kell szokniuk a tanulóknak ezt a célszerőbb nyelvre való lefordítást, hogy a homály eloszoljon.

Hogy manapság mekkora a homály, arra jellemzı a következı eset. Húsz matematika-fizika szakos tanárjelöltnek a következı típusú feladatot kellett megoldania /egy részüknek egy kicsit más számadatokkal/: "Egy árucikkbıl 1960-ban 28 %-kal többet termeltünk, mint 1957-ben, pedig a termelés 1959-ben és 1960-ban is a megelızı évinél húsz-húsz százalékkal kevesebb volt. Hány százalékkal emelkedett a termelés 1957-tıl 1958-ig?" Négyük szerint a harmadik évben 68 %-os volt a növekedés /mert 68 - 20 -20 = - 28/, kettı nem fejezte be, egy elhibázta. A tizenhárom megoldó közül hárman oldották meg annak alapján; hogy a 20 %-os csökkenés 0,8-del való szorzást jelent, /0,8 . 0,8 . x = 128, x = 200, a növekedés 100%/, a többi bonyolultabban okoskodott. Az egyik például a következıket írta:

x x+ .x 100 20 ( x + . x - . 20) . ( 1 - ) =

= x . ( 1 + ) . ( 1 - )(1 - )=

= x /1 + / . = x /1 + /

x = 100 . /1,28 . – 1/ =

100 . /2,0 - 1/ = 100 %

Néhány további problémára, amely százalékos feladatokkal kapcsolatban fel szokott merülni, a következı óraleírásban található felelet.

Százalékos feladatok ismétlése

Az órát négy-öt perces szóbeli számolás vezette be, igen egyszerő, a fogalmakat felelevenítı feladatokkal, amilyenek például ezek:

Fejezd ki 8 %-ot tizedestört alakban! Közönséges tört alakban! Mennyi 200-nak az 50 %-a? Mit jelent bármely szám 50 %-a? stb.

Aztán felírták a táblára és a füzetükbe címnek:

Százalékszámítás ismétlése

Elıször ezt a feladatot diktálta a tanár /a táblára ı maga írta/: 670 Ft-om volt. Elköltöttem 38 %-át. Mikor ideért, megállt a diktálásban és megkérdezte:

- Mit gondoltok, mi lesz a kérdés? = Mennyi maradt.

Elfogadták ezt kérdésnek, fel is írták. Az egyik gyerek jelentkezett és ezt mondta:

= Pénzünk 62 %-a maradt meg. - Honnan tudja ezt E.? /Megmondta valaki: az egész l00 % stb./ - Hogy számítjuk ki a 670 Ft-nak a 62 %-át. írjuk fel: 670 Ft

62 %-a? = A 670-et szorzom 0,62-dal. - Írjuk fel ezt is:

- Miért, hát mit jelent 670-et 0,62-dal szorozni? = 62 századrészét venni. Ez ugyanaz, mint 62 százalékát venni.

Százalék azt jelenti, századrész. - Hogy számíthatom ki másképpen egy szám 62 századrészét,

vagyis 62 százalékát? = Veszem 1 századrészét és szorzom 62-vel. - Melyik módon számítanátok ki ezt most szívesebben? = Inkább egy mővelettel. Szorozzuk meg mindjárt 0,62-dal.

- Hát tessék, végezzétek el a szorzást! /A táblánál most is ı ír, a részletszorzatokat és a végeredményt más-más felszólított gyerekek diktálják a helyükrıl./

- Mi ez a 415,40 ? = Forint. Ennyi forintunk maradt, amikor elköltöttük a 670 Ft-

nak a 38 %-át.

- Hogy oldhattuk volna meg másféleképpen ezt a feladatot? = Kiszámíthattuk volna 670 Ft-nak a 38 %-át és azt kivontunk

volna belıle.

A százalékérték kiszámítására még néhány szóbeli feladatot ad /pl. hogyan számítjuk ki egy szám 130 %-át? 1000 %-át/, aztán új feladatot diktál:

- Egy bizonyos rádió árát 28 %-kal csökkentették. Most 900 Ft-

ba kerül. Mennyibe került az árcsökkentés elıtt? Írjuk fel röviden. /Így írják fel:/

Rádió ára

28 %-kal csökk. Most 900 Ft. Mennyi volt?

- Próbáljuk ábrázolni! /Ezt a rajzot készítik:/ - Így most már egyszerőbb a

feladatunk. Írjuk fel röviden ezt az egyszerőbb feladatot! /Egy gyerek diktálására írják./

13. ábra ? Ft 72 %-a 900 Ft.

- Ismételd el az eddigi gondolatmenetet, B! /Egy gyengébb gyerekhez. Kis segítséggel elismétli. Gyakran szólít olyant is, aki nem jelentkezik; ez is olyan volt./

- Most tehát az a kérdés, hogy mekkora összegnek a 72 %-a 900 Ft. Hogy mondanátok ezt másképpen?

= Minek a 0,72-szorosa 900 Ft. - És ezt hogy számítjuk ki? = Elosztjuk a 900-at 0,72-dal. -

a részleteredményeket a helyükön ülve. Aztán a tanár megkérdezi, hogy lehetett volna ezt még kiszámítani. Megbeszélik az 1 %-on való kiszámítási módot is./

Hát

végezzük

el!

/Stafétaszerően

mondják

- Írjátok: 35 km bıl 23 km-t tettem meg. Mit lehetne kérdezni? = Hány km van még hátra? - Százalékszámítási feladatot lehetne-e csinálni belıle? = 35 km-nek hány százalékát tettük meg? = 35 km-nek hány százaléka van még hátra? - Írjuk fel ezt az utóbbit!

35 km-es út

23 km-t tettünk meg Az út hány %-a van hátra?

= Még 12 km van hátra, az a kérdés, hogy ez hány százaléka a

35 km-nek. - Rajzoljuk fel! /Maga rajzolja:/

- Írjuk is fel:

35 km-nek hány %-a 12 km? - Hogy kérdezhetném még meg? = Hány századrésze 35-nek a 12? = Milyen törtrésze 35-nak a 12?

4. ábra

- És erre hogy felelnénk? =

Ezt aztán átszámíthatjuk századrészekre.

része.

- Hogy számítjátok át? = Elvégezzük az osztást. /Elvégzik: 0,3428 .../ - Pontos ez az eredmény? Kerekítsük két tizedesjegyre! Mi hát

a felelet? Százalékban? /Felelnek a kérdésekre./ - Ezt a feladatot mindjárt jegyezzétek röviden a füzetetekbe:

Egy könyvtárban 500 könyv van. Kiselejtezik 25 %-át. A megmaradt könyvállományt 32 %-kal növelik. Hány könyv lesz ezek után a könyvtárban? - Nem fontos kiszámítani, csak a megoldás menetét írjátok fel!

Idıt hagy, nézegeti, mit írnak. Aztán egyet felszólít, megkérdezi, mit írt. A felelet:

Valaki más ezt írta:

Megbeszélik, hogy ez mit jelentene. A kiszámítása házi feladat lesz, azonkívül még egy feladatot diktál a tanár otthonra. Két perc még maradt, azalatt néhány kérdésben végigmennek a százalékszámítás alapfeladatain.

Felmerül itt egy terminológiai kérdés: Megkérdezték az órán: milyen törtrésze 35-nek a 12? /Lehetett

volna így is mondani: "mekkora törtrésze" vagy "mekkora része", de ez nem lényeges./

A felelet az volt: 12/35 része. Ugyanez lett volna-e a helyes felelet akkor, ha a kérdés így hangzik el: hányadrésze 35-nek a 12?

Nem, erre a helyes felelet 35/12. Tudniillik ennyiedrésze 35- nek a 12. Ha kimondom, furcsán hangzik /"tizenketteded"/, ezért jobb is az ilyen kérdésfeltevést elkerülni, de ha már valaki így kérdezi, csak ezt a feleletet fogadhatja el, különben ellentmondásokba keveredik. Ahányszorosa a-nak b /2-nek 8, 35-nek 12/, annyiadrésze b-nek a /8-nak 2, 12-nek 35/. Gondoljuk végig!

Egyéb szöveges feladattípusok

megoldási módja tizedestörtekre vezet. Vannak olyan feladattípusok is, amelyek jellegzetesen kapcsolódnak a közönséges tört alakú számokhoz. Talán

A százalékos

feladatok

természetes

a legismertebb közülük az, amelyet jobb híján így nevezhetnénk: "reciprok feladatok". Ide tartozik például a következı feladat:

Egy csövön át 10 perc alatt telne meg a medence, egy másikon át 15 perc alatt. Mennyi idı alatt telik meg, ha mind a két csövön át folyik bele a víz.

Aki már ismeri az ilyenfajta feladatokat, az valószínőleg a következı megoldást adja rá:

1 1 l perc alatt az elsı csövön át részig, a másikon át

1 + 1 = 3 + 2 = 5 = 1 részig telne meg a medence, együtt a kettın át

10 15 30 30 30 6 részig telik meg. Tehát 6 perc alatt telik meg egészen.

Akik nem ismerik a típust, azok általában más, különféle megoldásokra bukkannak. Az alábbi megoldási módok egy osztály tanulóitól származnak:

1. Képzeljünk a "10 perces" csı helyett három egyforma, de keskenyebb csövet, amelyeken át együttvéve 10 perc alatt telne meg a medence. Egy-egy keskeny csövön át 30 perc alatt telne meg, hiszen harmadakkora csövön át háromszorannyi idı alatt folyik át ugyanannyi víz. Helyettesítsük ugyanígy a "15 perces" csövet képzeletben két egyforma csıvel, amelyeken át együttvéve 15 perc, külön-külön tehát szintén 30 perc alatt telne meg a medence. Így most már öt egyforma keskeny csövünk van. Külön-külön mindegyiken át 30 perc alatt telne meg a medence, ha viszont mind az ötön át folyik a víz, akkor ehhez ötödannyi idı, vagyis 6 perc kell.

2. Félóra alatt az elsı csövön át háromszorannyi víz tudna kifolyni, mint amennyi a medencébe fér, a második csövön át kétszerannyi, együtt ötszörannyi. A medence tehát már akkor megtelik, ha ötödennyi ideig, 6 percig folyik a víz a két csövön át.

3. Negyedóra alatt az elsı csövön át másfélszer annyi víz folyna ki, mint amennyi a medence megtöltéséhez kell, a másodikon át éppen annyi, együtt a kettın át 2,5-szer annyi. A medence tehát 15 : 2,5 = 6 perc alatt telik meg a két csövön át.

4. Tíz perc alatt 1 + = medence lenne tele; tehát 3 3 3 medence 2 perc alatt, az egész medence 6 perc alatt telne meg a két

csövön át.

5. Eddig minden kiindulás képzeletbeli, irreális volt. Nem gondolták a gyerekek, hogy csakugyan 30, 15, vagy 10 perc kellene a medence megtöltéséhez, csak azért nézték meg ezeket az eseteket, hogy az eredménybıl aztán következtessenek a valóságos esetre. A következı megoldáshoz viszont úgy jutottak, hogy elıbb megpróbáltak becslést adni az eredményre. Igaz, volt aki ekkor is lehetetlen becslést adott, például 25 percet mondott /10 és 15 perc összegét/ vagy 12,5 percet /10 és 15 perc számtani közepét/. De miután kimondták ezeket a becsléseket, maguk is rájöttek, hogy képtelenség, amit mondtak. Megértették, hogy a keresett idıtartamnak mindkét megadottnál kisebbnek kell lennie, mert ha a másik csövet is kinyitjuk, hamarabb telik meg a medence, mint ha csak az egyik van nyitva. Ezt a belátást határozottan megkönnyítette

- 84 - - 84 -

5 hatoda telik meg. Ebbıl következik, hogy l perc alatt 1 hatoda telik meg, 6 perc alatt az egész.

Aki már tudja, hogy az arányossági következtetéssel végül mindig célhoz érünk, akármi is a kiindulásul választott érték, annak

a számára ezek a megoldások /talán az 1. megoldástól eltekintve/ egyetlen megoldás variálásai. Ez a gondolat azonban éppen az ilyenféle variánsokon keresztül tisztázódhat a legjobban, különösen azokban, akik maguk is kivették a részüket a felfedezésükbıl. Ennek

a gondolatnak a megértése után az "1 perces" megoldás is természetesen adódik. Ha úgyis mindegy, milyen számból indulunk ki, miért ne indulnánk ki éppen 1-bıl? Ilyen elıkészítés nélkül viszont

a legtöbb diák számára csak recept lenne ez a megoldás, amelyet megtanul, de egészen nem ért és egy kissé eltérı szituációban alkalmazni sem tud.

A „reciprok feladatok" sokféle beöltöztetési módja közül talán túlságosan is elburjánzott a medencékkel és csövekkel való fogalmazás. Lássunk néhány más beöltöztetést. x

Egy turista az út A, egy másik az út B pontjában van. Az A és

B közötti távolságot az elıbbi p, az utóbbi. q óra alatt teszi meg. Hány óra múlva találkoznak, ha A-ból, illetve B bıl ugyanabban a pillanatban indulnak el egymás felé?

Egy turista elindul az A pontból és p óra múlva_ B-be érkezik. Ugyanebben a pillanatban érkezik A-ba egy másik turista, aki q órával elıbb indult el B-bıl. Hány órával ezelıtt találkozott a két turista?

Egy gépírónı egy kéziratot p óra alatt gépelne le, egy másik gépírónı ugyanezt a kéziratot q óra alatt gépelné le. Mennyi idı alatt gépelik le a kéziratot, ha mind a ketten dolgoznak rajta? /Persze el kell dönteniük elıre, honnan kezdje írni a kéziratot a második gépírónı./

Lásd A.I.Osztrovszkij: O zadacsah po arifmetyike i algebre /Matyematyika v skole, 1960. évi 3.szám/. Magyar fordítása "Az aritmetikai és algebrai feladatok viszonya a gyakorlathoz" címmel került sokszorosításra. / Összeállította: Faragó László/

A kiemelt földnek az exkavátorral való elszállításához vagy p számú P típusú, vagy q számú Q típusú teherautót kell beállítani. Hány teherautót kell beállítani a két típusból, ha azt akarjuk, hogy mindkét típusból ugyanannyi autó vegyen részt a munkában?

A helyi sportbizottság p pár sí vásárlására utalt ki pénzt. Ugyanezen az összegen q pár síbakancsot lehetne vásárolni. Hány síelıt lehet ennek a hitelnek a terhére sível és bakanccsal is ellátni?

Egy huzal ellenállása p ohm, egy másik huzalé q ohm. Mekkora lesz a két huzal párhuzamos kapcsolása útján létesített áramkör ellenállása?

Érdemes az ilyenféle feladatokat egymásután adni, esetleg ugyanolyan számadatokkal is, ha ez elérhetı, mindaddig, míg a tanulók észre nem veszik azt, ami ezekben a feladatokban közös. Ha már észrevették, akkor sor kerülhet ennek a megbeszélésére is.

Nem mindegy, hogy milyen számokkal adunk fel feladatot, gondoljuk meg, mennyire megkönnyítették az elıbb tárgyalt medencés feladat primitív megoldásainak a megtalálását - és így "a megoldás"- hoz való eljutást is - az egyszerő számadatok. Ha 10 és 15 perc helyett 31 és 17 percrıl lett volna szó, akkor a legjobb tanulók talán hamarabb is rákényszerültek volna az "1 perces" megoldás megtalálására, de a többiek számára hiányzottak volna a közbeesı lépcsıfokok. Igen hasznos egy-egy feladattípusban nemcsak a beöltöztetést variálni, hanem a számadatot is, esetleg egyetlen beöltöztetés keretében, fokozatosan haladva egyszerőbb számoktól bonyolultabbak felé. Nehezebb adatok esetében engedményt tehetünk: ne számítsák ki az eredményt, elég, ha csupán kijelölik. Ez az "engedmény" valójában egy magasabb absztrakciós szint felé való haladást jelent. A "nehéz számokkal" kijelölt, el nem végzett mőveletek könnyő átmenetet biztosítanak a betőkkel való jelölés felé. Érdemes a tanulókat - esetleg csak egy részüket - elvezetni annak a belátására, hogy például a "reciprok feladatok" megoldását azonnal felírhatják

vagy másképpen

1+1 p+q

formában. Ez már bizonyos értelemben algebra. De hát nincs külön számtan és algebra, az absztraktnak a konkrétból kell kinınie,

- 86 - - 86 -

Bár ez nálunk csak távolabbi perspektívát jelenthet, nem hagyhatjuk említés nélkül, milyen jól összekapcsolható a törtek tanításával egyszerő valószínőségszámítási feladatok megoldása. Ma a valószínőségszámítás nálunk még a középiskolában sem szerepel. Legközelebbi problémák ezzel a tudományággal kapcsolatban az, hogy mi és hogyan tanítható belıle a középiskolában. Sok tapasztalati tény azt mutatja azonban, hogy a valószínőségszámítás középiskolai tanítása szempontjából is célszerő elıbb, már az általános iskolában kialakítani bizonyos elemi fogalmakat.

A törtszámokkal való megismerkedés lényegesen kitágítja a tanulók látókörét. Megnövekszik az olyan problémakörök száma, amelyekre a matematikát alkalmazni tudják. Ha kinyitják az újságot,

a népszerő tudományos folyóiratokat és könyveket, technikai mőveket,

a bennük levı számok sokkal többet árulnak el nekik, miután megismerkedtek a törtszámokkal, mint azelıtt. Fontos feladata a matematikatanárnak, hogy megtanítsa a diákokat nemcsak készen kapott feladatok megoldására, hanem számadatokat tartalmazó szövegek gondolkozva olvasására, következtetések levonására is.

Lássunk egy példát! Az Esti Hírlap közölte /1962. november 10-

i számában/ a következı adatokat: "A vetésterület a Földön 1,37 milliád hektárról. 9,39 milliárd hektárra növelhetı. Ezen a területen 65 milliárd ember élelmiszere terem meg". Jó az effajta nyersanyagot kivágni az újságból, vagy ki gépelni a könyvbıl és felragasztani például félbevágott rajzlapra, hogy tartósabb, tárolhatóbb, kezelhetıbb legyen. Többféleképpen is felhasználhatjuk ezeket a lapokat. Például odaadhatjuk egy-egy olyan tanulónak, aki már túl van azon, amivel az óráin foglalkoznak. Vagy felolvashatjuk az egész osztálynak. Jó, ha a benne szereplı számadatok a táblára kerülnek. Feltehetünk ezek után egy ilyen határozatlan kérdést: "Mit mondanak nektek ezek az adatok?" Még jobb, ha hozzászoktatjuk a tanulót ahhoz, hogy ilyenkor semmilyen kérdést sem teszünk fel, tılük várjuk a kezdeményezést. Pusztán ezekbıl az adatokból nem sok következtetést tudnak levonni; annyit mindenesetre megállapíthatnak: "Kb. hétszeresére lehet növelni a vetésterületet; hat- és hétszeres között, közelebb a héthez." Vannak azonban olyan adatok, melyeket minden diáknak

- 87 - - 87 -

a Föld felszínének 9 %-áról több, mint 60 %ára. A mai termıterület 3 milliárd embert tart el. /Igaz, hogy sok millióan éheznek, de sok országban rengeteg felesleg elpocsékolódik./ Ha hétszerakkora terület 22-szer annyi embert tart el, ez azt jelenti, hogy a terméshozam kb. háromszorosára növekszik.

Ebben az esetben újabb adatokra volt szükség a további következtetések levonásához. Elıfordul, hogy felesleges adatok vannak a kapott nyersanyagban.

Az életben sem találkozunk kész matematikai feladatokkal, magunknak kell eldöntenünk, kevés-e az adat, sok-e, milyen adatra van még szükségünk ahhoz, hogy levonhassunk ilyen és ilyen következtetéseket stb. Az ilyen "nyitott problémahelyzetek" teremtése /vö. 46. és 474. oldal/ segíthet abban, hogy a matematikatanítás életszerőbb legyen.

Közelítı számítások

Negyedik gimnazista lányoknak ki kellett számítaniuk a Föld tömegét a sugarából /6370 km/ és a sőrőségébıl /5,5 kg/dm 3 /. Mint

utólag kiderült, a legtöbbjük logaritmus nélkül számolt, mert jobban bízott

a táblahasználatban. A számításuk menete ilyenféle volt:

a saját szorozni és osztani tudásában, mint

r 3 = 6370 . 6370 . 6370 = 258 474 853 000

Ezt megszorozták 4 π -vel , amit 12, 56-nak vettek, hiszen ugye π = 3,14:

A Föld térfogata ennek á harmada:

1 O82 148 051 226,666 ... km 3

vagyis

1 082 148 051 226 666 666 666 m 3 .

Köbméterenként 5,5 tonna, összesen

5 951 trillió 814 281 billió 746 666 millió 666 663 tonna.

Volt egynéhány, aki eljutott lényegében ugyanerre a "pontos" eredményre. Volt persze olyan is, akinek egészen más volt a végeredménye.

Nagyon meg voltak lepve, amikor kiderült, hogy a számolási munkájuk 90 %-a felesleges és értelmetlen volt, és az adatok alapján nem mondhatunk többet, mint azt, hogy kb. 6,0 ezer trillió tonna, 6,0 . 10 27 g a Föld tömege. Ha a Föld sőrőségét csak két jegy pontossággal ismerjük, akkor a tömegét sem tudjuk a térfogatából ennél pontosabban meghatározni. Sıt a térfogatára is hiába kapunk akárhány jegy pontosságú eredményt, csak annyinak van értelme belıle, ahány jegy pontossággal a kiinduló adatokat ismerjük. A π és

a 4 π értékérıl, a 3-mal való osztáskor hirtelen megnövekedett pontosságról, a szám végén igazítás nélkül leírt 6-ról most ne is beszéljünk.

Ezek nem 4. gimnáziumban tisztázandó kérdések. Bragyisz /1951/ az általános iskola 5. osztályában ajánlja a megbeszélésüket./197. és következı oldalak/. Csak utalunk az ott található módszertani feldolgozásra, de nem ismételjük. További irodalom: Bragyisz /1958/. Ha a 8. osztály végére sikerülne elérni, hogy a Bragyisz javasolta anyaggal tisztában legyenek, a középiskolában már nem sok tennivaló lenne ezen a téren.

A közelítı számítások kérdése világnézeti kérdés is, a szó legtisztább értelmében. Aki ezzel a problémakörrel nem ismerkedik meg, vagy nem helyes formában, abban könnyebben kialakulhat a matematikáról olyan kép, hogy az "a valóságtól független", "abszolút érvényes" tudomány. Ha az elemi matematikát a valósággal, az alkalmazásokkal szoros kapcsolatban mutatjuk be, lépten-nyomon belebotlunk a közelítı számításokat érintı kérdésekbe.

Az egyik legfıbb nehézséget a jelölések többértelmősége okozza. Hívjuk fel a tanulók figyelmét erre a többértelmőségre; a nehézségek felismerése már egy lépés a megoldásuk felé.

Miben á11 ez a többértelmőség? Nézzük az elıbbi számítást:

3 9 M = 4 . 6370 . 3,14 . 10 . 5,5 .

A végén kezdve: a gyerekek ugyan azt tanulják, hogy 5,5 = 5,50 = 5,500 = ..., és ez arra az 5,5-re, amelyekrıl ık addig tanultak, igaz is; ez azonban nem az az 5,5. Nem állhatna helyette 5,50, mert akkor mást jelentene. Így 5,45 és 5,55 közötti számot jelent, úgy 5,495 és 5,505 közöttit jelentene. Mindenképpen lényegileg más, mint az az 5,5, amely nem változik, ha a végére nullákat írunk: az egyetlen

pedig egy számintervallumnak egy számát; bizonyos értelemben magát az intervallumot. Ha azt mondjuk, hogy a Föld sőrősége

meghatározott

számot

akkor az egyenlıségjel megtévesztı, valójában egyenlıtlenséggel méghozzá kettıs egyenlıtlenséggel van dolgunk:

5,45 < d > 5,55 ,

ezt azonban röviden d = 5,5-nek vagy inkább d ≈ 5,5-nek írjuk. Gyakran használatos a d = 5,5 ± 0,05 jelölés is. Ez és a kettıs egyenlıtlenség hajlékonyabb jelölések, mint a közelítı egyenlıség; pl. azt az ismeretünket, hogy 5,44 < d < 5,54 vagyis 5,49 ± 0,05, nem tudjuk közelítı egyenlıséggel kifejezni. Az általános iskolában elıször a közelítı egyenlıség kevésbé hajlékony jelölésmódjával ismerkednek meg a tanulók. A mindennapi életben is rendszerint ezt használják. Ha kinyitjuk az újságot, az ott talált számadatok majdnem mind így értendık.

Hasonló értelemben szerepel képletünkben 3,14 is. Ha csak annyit tudnánk π -rıl, hogy két tizedes jegy /három értékes jegy/ pontossággal 3,14, akkor 3,135 és 3,145 között minden érték tekintetbe jöhetne. Annyiban mégis más a helyzet; hogy π értékét

igen sok jegyre ismerjük / π ≈ 3,141592653589793.../. Hogy hányat veszünk igénybe ezek közül, az mindig attól függ, hányat érdemes, mennyire pontos a többi adat.

6370-nel bajban vagyunk: nem árulja el az alakja, hogy milyen pontossággal ismerjük. Jelenthet 6370 ± 5-öt, de jelenthet 6370 ± 0,5-et is. A tizedesvesszı utáni nullákkal szabadon operálhatunk, annyit írhatunk le vagy annyit hagyunk el közülük, hogy a kívánt pontosságot ki tudjuk fejezni, az egész szám végén álló nullákat azonban nem hagyhatjuk el, mert megváltozna a többi jegy helyi értéke. Ezen többféle módon is lehet segíteni. Egy lehetıség az, hogy az egész számokat is átírjuk tizedestört alakba. Például 6370

3 helyett azt írjuk, hogy 6,37 . 10 3 vagy 6,370 . 10 ; az elıbbi ugyanazt fejezi ki, mint 6370 ± 5, az utóbbi ugyanazt, mint 6370 ±

0,5. Egy másik mód, amelynek az iskolában hasznát vehetjük, bár a gyakorlatban nem alkalmazzák az egész számok végén álló 0-k közül kisebbre írjuk azokat, amelyek nem értékesek.

Az

3 9 M = 4 . 6370 . 3,14 . 10 . 5,5 .

képletben szereplı többi számjel nem közelítést fejez ki. Ez a 4 nem

4 ± 0,5, nem is 4 ± 0,05, hanem egészen pontosan 4, ugyanígy 3, 10 és 9 is pontos számok. Gyakorlott szemő ember el tud igazodni a számadatok között, a gyereket azonban türelmes munkával kell rávezetnünk, hogy helyesen értse és helyesen alkalmazza a jeleket, hol pontos, hol közelítı értelemben.

Ha nem volna ez a kétértelmőség a jelhasználatban és mindig közelítı értelemben használnák a számjeleket, akkor 4 mindenképpen 4 ± 0,5-et jelentene. Hogyan tudnánk mégis kifejezni azt, hogy pontosan 4? 4,0 szőkebb intervallumot fejez ki e körül a szám körül, 4,00 még szőkebbet ,... 4,/O/ már nem is intervallum, hanem az összes eddigi intervallum közös pontja, egyúttal középpontja is. Ennek az egyértelmőségnek nagy ára volna! Alsó tagozatban 2 . 2 = 4 helyett azt taníthatnánk, hogy 2,/O/ . 2,/0/ = 4,/0/, mert 2 . 2 ebben a jelölésben nem 4, hanem 2,25/0/ és 6,25/0/ közötti szám, vagyis 4,25/0,/ ± 2,/0/. Ha viszont a másik irányban akarnánk egyértelmővé tenni a jelölést, egyenlıtlenségi jelekkel vagy ± - okkal bonyolíthatnánk minden napihírt /pl. a Dorog-Ferencváros mérkızésnek 12 000 ± 500 nézıje volt/. Bele kell tehát egyelıre törıdnünk a kétértelmőségbe, és meg kell tanítanunk a gyerekeket is, hogy eligazodjanak ebben a jelhasználatban, és élni is tudjanak vele.

Logarléc, számológép

A közelítı számítások körébe tartozó meggondolások segítenek abban, hogy a számjegyek túlburjánzásának gátat vessünk, a számolási munkát csökkentsük, a tanulók figyelmét a mechanikus eljárásokról érdekesebb problémák felé irányítsuk. További nagy segítséget jelent ebben, ha már a törtszámok tanításakor logarlécet tudunk adni a tanulók kezébe, és elérjük, hogy attól kezdve állandóan használják is, iskolában éppúgy, mint iskolán kívül. Tíz-tizenkét évesek is megérthetik a logarléc mőködési elvének lényeges gondolatait, a logaritmus fogalma nélkül is.

Olyan logarlécbıl célszerő kiindulni, amelyen csak két egyenlıköző skála van az 1, 2, 4, 8, 16 stb. számokkal például négy- ötjegyőt számokig. A gyerekeknek még azt sem kell tudniuk, hogy az

1, 2, 4, stb. számok 2-nek a hatványai, elég azt megérteniük, hogy az 1 után minden szám az elızınek kétszerese. Minden gyerek készíthet magának ilyen logarlécet két keménypapírcsíkból. Ha az alsó csíkot egy egységgel jobbra tolják /vagyis az 1-et a 2 alá /15. ábra/, akkor minden szám fölött a kétszer-

15. ábra

akkora szám lesz. Ezeknek a számoknak a körében tehát már tudunk 2- vel szorozni. De osztani is, hiszen a felsı csík minden száma alatt,

a 2-tıl kezdve, ott van a feleakkora száma Ugyanígy látható - szemmel is látható és ésszel is belátható -, hogy ha az 1-et a 4,

8, stb. alá toljuk, akkor 4-gyel, 8-cal, stb. szorozhatunk és oszthatunk. A következı gondolat az lehet, hogy 0,128-at is szorozhatjuk és oszthatjuk például 160-nal. Általánosan szólva

nemcsak a 2 k , hanem a 2 . lO számok körében is végezhetünk szorzásokat és osztásokat, ahol k, és nyilván n szintén, negatív

egész is lehet. /Persze ez nem a gyerekeknek szóló fogalmazás - ık csak példákat látnak./ Azután rávezetjük ıket arra, hogy a saját készítéső kis logarlécen egy beállítással leolvashatják több ilyen mővelet eredményét, mint

1,6 . 0,32 és 0,16 . 2560 és 640 . 1600 stb., vagy 2,048 : 0,8 és 5,12 : 80 és 40 960 : 8 stb.;

továbbá ugyancsak egy beállítással leolvashatják az ilyen kifejezések értékét, mint

stb. /Ezek az utóbbiak szükségessé teszik annak az osztási módnak a megtanítását, amikor az osztandót és az osztót a papírcsíkon egymáshoz illesztjük. A kétféle osztási mód kapcsolatát könnyő megérteni: ha 16 : 2 = 8, akkor 16 : 8 = 2 és viszont./ A közönséges /tízes alapú/ logarlécre ezek után egyszerően úgy térünk át, hogy azt is kettes alapúnak tekintjük. Megmutatjuk rajta az 1, 2; 4, 8,

16, 32, 64 számokat /16. ábra/, és megmagyarázzuk, hogy ezen a lécen közbeiktatták a 3, 5, 6, 7, 9, 10 stb. számokat is. Közöljük velük, hogy a közbeiktatott számokkal is ugyanúgy lehet végezni a mőveleteket, mint a többivel. Persze tisztáznunk kell, hogy ez bizonyításra szorul, s egyszer majd

16. ábra

be is bizonyítjuk. Ennyi azonban általános iskolai fokon elég ahhoz, hogy a logarlécen értelmesen számoljanak.

Fontos készség birtokába juttatjuk így a tanulókat. El kell azonban érnünk, hogy ezt a készséget céljának megfelelıen alkalmazzák. Ne szorozzanak például 13-at 40-nel logarléc segítségével, mert ezt fejben is kiszámíthatják. Másik oldalról: ha

a számításban a logarléccel elérhetı 3 értékes jegynél nagyobb pontosságra van szükség, akkor csak a hozzávetıleges eredmény /elızetes vagy utólagos/ kiszámítására használhatják fel a logarlécet. Döntsenek a tanulók önállóan az olyan kérdésekben, hogy elég-e

- 93 - - 93 -

Ha a logarléc adta pontosságnál nagyobb pontosság elérhetı és szükséges is, akkor általában az írásbeli számolás szokott eljárásaihoz kell folyamodniuk. Számológépekkel iskoláink egyelıre nincsenek ellátva. Bizonyos, hogy erre is sor kerül majd, ha nem is

a következı években. Ez csak anyagi kérdés. Egyes külföldi iskolákban bevált egy zajtalanul mőködı, kézben tartható kis mechanikus számológép-típus /vö. 33.oldal/. Talán nem irreális az elképzelés, hogy a hetvenes években a mi iskoláinkban is fokozatosan kezd tért hódítani valami hasonló eszköz. Egyelıre törekedjünk arra, ami már ma is megvalósítható: hogy a logarléc és a vele való számolni tudás minél általánosabbá váljon iskoláinkban.

4. NEGATÍV SZÁMOK