Szorzás és osztás a valóságra vonatkoztatva

Szorzás és osztás a valóságra vonatkoztatva

A negatív szám kapcsolatát a valósággal egészen durván ezzel a szóval lehet visszaadni: "fordítva". Kisgyerekek is megértik és tudják játszani a mínusz-játékot, amelyek egyetlen szabálya: Ha azt mondom, "mínusz", csináljátok fordítva, mint ahogy különben csinálnátok.

a/ "Osszátok két halomra az elıttetek lévı pálcikákat. A baloldaliból tegyetek át mínusz négyet a jobboldaliba."

b/ "A baloldaliból tegyetek át mínusz négyet a jobboldaliba." c/ "Csökkentsétek a jobboldali halmot mínusz eggyel." d/ "Növeljétek a baloldalit mínusz kettıvel". e/ "Tegyetek hozzá az egyik halomhoz elıbb mínusz kettıt aztán

mínusz hármat. Mennyit tettetek hozzá?" f/ "Tegyetek hozzá kettıt és aztán mínusz ötöt. Mennyit

tettetek hozzá? Mennyit vettetek el?" g/ "Tegyetek hozzá elıbb mínusz ötöt, aztán kettıt. Mennyit

tettetek hozzá?" h/ "Tegyetek a jobboldalihoz kétszer hármat." i/ "Tegyetek hozzá kétszer mínusz hármat." j/ "A baloldaliból egyszer vegyetek el négyet." k/ Mínusz egyszer vegyetek el belıle négyet." l/ "Vegyetek e1 egyszer mínusz négyet." m/ "Vegyetek el mínusz egyszer mínusz négyet." n/ "Tegyetek hozzá egy halomhoz kétszer mínusz kettıt. Mennyit

tettetek hozzá?" o/ "Tegyetek hozzá egyszer mínusz kettıt. Mennyit tettetek hozzá?"

p/ "Tegyetek hozzá nullaszor mínusz kettıt. Mennyit tettetek hozzá?"

q/ "Tegyetek hozzá mínusz egyszer mínusz kettıt. Mennyi tettetek hozzá?"

r/ "Tegyetek hozzá mínusz kétszer mínusz kettıt. Mennyit tettetek hozzá?"

Természetesen m/, q/ és r/ a legnehezebbek, itt kétszer kell valamit fordítva gondolni, a fordítottnak is a fordítottját kell gondolni. A fordítottnak a fordítottja az eredeti, a "rendes",

- 105 - - 105 -

Senki se higgye, hogy ezzel el van intézve a negatív számok szorzása. Legfeljebb a halvány körvonalai vannak meg annak, késıbb egyre élesebben rajzolódik ki bennük. De tagadhatatlanul annak a körvonalai.

Összekapcsolhatjuk a "mínusz-játékot és a kivágott korongokkal vagy játékpénzzel és számlákkal folytatott játékot / 100. oldal/; ezzel tartalmasabbá, életszerőbbé tehetjük. Példa:

"Adj nekem mínusz kétszer mínusz öt forintot". /Vagyis végy el tılem két darab öt forintos számlát./

Halvány körvonalakat az osztásról is adhatunk, részben a részekre osztás, részben a bennfoglaló osztás gondolatát tartva szem elıtt:

"Add ide mínusz tíz forintnak a felét. "Hányszor tudsz elvenni mínusz tíz forintból mínusz két

forintot úgy, hogy semmi sem marad?" /Ötször: a tízforintnyi adósságlevélbıl ötször

két-kétforintnyi adósságlevelet./

egymásután

elveszünk

"Hányszor tudsz elvenni mínusz tíz forintból mínusz két forintot úgy, hogy végeredményben nem marad sem pénzed, sem adósságod?" /Mínusz ötször. Tudniillik hozzáteszek ötször egymásután két-két forintot, ez azt jelenti, hogy mínusz ötször vettem el két forintot. Így a tíz forint adósság mellett van tíz forint készpénzem, vagyis együttvéve sem pénzem nincs, sem adósságom./

A tapasztalatok alapján fokozatosan épülnek ki a gondolatok. Ne erıltessünk egyetlen utat /se ezt, se mást/, és semmiképpen se törekedjünk

a gyerekeket arra, hogy vegyék észre a különféle tapasztalatok mögött

gyors általánosításokra.

Próbáljuk

rávezetni

a közös struktúrát. Éppen csak megemlítünk még egy gondolatot, amelyet különféle

konkrét mennyiségekkel kapcsolatban fel lehet használni a szorzás és az osztás célszerő értelmezésére. Azt akarjuk, hogy bizonyos számítási módok, képletek, amelyek alkalmazhatók a természetes számok körében, másféle számok esetében is alkalmazhatók maradjanak. Például helyzetünket egy egyenes úton különféle pozitív és negatív idıpontokban mindig az s=ct képlettel lehessen kiszámítani. Mivel helyzetünket egy úton a gyakorlatban nem szoktuk negatív számmal megadni, természetesebb ennek egy olyan

- 106 - - 106 -

A negatív idıpontok itt is idegenszerőek, de mégis elınyös, hogy legalább a két összefüggı mennyiség közül az egyikben mesterkéltség nélkül fordulnak elı a negatív számok. Ha ez az elsı és esetleg az egyetlen példa, amelynek a tanulókban a negatív számmal való szorzás fogalmát ki kell alakítani, akkor természetesen az utána következı általánosítás szükségképpen csak formális és elsietett lehet. Ha egy tanulónak mégis elég ennyi, akkor annak valószínőleg már erre sem volt szüksége.

A negatív számok és az algebra

A negatív szám fogalma független a betőjelöléstıl és általában attól, amit a számtannal szembeállítva algebrának szoktak nevezni /Vö. 112. oldal/; nincs hozzá sem több, sem kevesebb köze, mint például a törtszámoknak. Az egyenleteken, az azonosságok általános szimbolikus megfogalmazásán keresztül azonban a negatív szám fogalma is új vonásokkal gazdagodik. Egyre inkább kiderül a fogalom célszerő volta. Felesleges kerülıutakat takaríthatunk meg az egyenletek megoldásában, ha tudjuk, hogy pl. 52-54 év múlva nem értelmetlen állítás, hanem azt jelenti: -2 év múlva, vagyis 2 évvel ezelıtt xx .

Türelmesen hozzá kell szoktatnunk a tanulókat ahhoz a gondolathoz, hogy a változók általában negatív számok helyett is állhatnak, a mínuszjel pedig az ellentett jele, pl. -c, -x, -2ab jelentése: c ellentettje, x ellentettje, 2ab ellentettje, s ezeknek az értéke lehet pozitív is /ti. ha c, x, illetve 2ab negatív/, 0 is /ha c, x, illetve a és b közül legalább az egyik 0/. Könnyebben megértik ezt, ha eleinte a keret-jelölést alkalmazzuk /lásd 119. oldal/.

________________ x Lásd Faragó-Varga /1957/ 54-54. oldal.

xx Lásd Gallai - Péter /1949/, 94. oldal.

A dolog könnyebbik végét fognánk meg, ha /-a/ /-b/ helyett azon az alapon írnánk ab-t, hogy "mínusszor mínusz az plusz." A racionális számok szorzásának elıjelszabálya érthetı módon azt sejteti velünk, hogy /-a/ /-b/ = ab, /-a/b = -ab, a/-b/ = ab, ezek azonban mindaddig nem egyebek sejtéseknél, amíg valahogyan meg nem gyızıdünk arról, hogy az a<0, a=0, a>0 és b<0, b=0, b>0 esetek minden kombinációjánál teljesülnek. Természetesen erre az esetre is érvényes az, hogy értelmetlen dolog a tanuló részérıl meg nem levı precizitási igényeket kielégíteni, olyan kérdésekre válaszolni, amiket senki sem tesz fel. Egy kezdettıl fogva formalista tanítást nem precízebbé, csak még formalistábbá tennénk, ha a racionális számok

tudományoskodva bebizonyítnánk a változókra vonatkozó elıjelszabályokat. A diákok aligha értenék meg, miért kell az elızı esetben a "bizonyítás" szót használni, miért nem esetleg fordítva. Ha azonban úgy irányítjuk a diákok munkáját, felfedezésrıl felfedezésre, hogy tiszta fogalmaik legyenek arról, mit jelentenek a jelek, amiket leírnak, akkor ez a probléma is természetes módon merül fel és intézıdik el.

elıjelszabályának

definiálása

után

Ha egyszerően az analógia alapján írunk /-a/ /-b/ helyett ab- t, /-a/b helyett -ab-t stb., akkor a tanulók nem értik, nem is érthetik meg, hogy | -x | miért nem "egyenlı" x-szel. Különösen akkor okoz ez nehézséget, ha az abszolút érték fogalmát formalista módon tanulták, "az elıjel elhagyásával kapott szám"-ot jelenti nekik egy szám abszolút értéke. Aki tudja, hogy pozitív szám és 0 abszolút értéke saját maga, negatív számé az ellentettje, /nem az elıjel

megléte vagy nem léte számít, pl. | 3 | = +3 is igaz , hiszen mindegy, hogy a pluszjel ott van-e vagy nem/, s az könnyebben megérti, hogy | -x | csak x nemnegatív értékeinél egyenlı x-szel, x negatív értékeinél -x-szel egyenlı, hiszen ez jelenti az x-szel ellentett /tehát negatív x esetén pozitív/ számot. Az y = | x | függvény ábrázolása lényegesen hozzájárulhat ennek a - formalista észjárás számára nehezen érthetı - gondolatnak a megértéséhez: a grafikon részben az y = -x, részben az y = x függvény grafikonjával esik egybe, x értékétıl függıen.

Összevonás

Egy igen elterjedt téves elképzelésrıl kell meg beszélni, amely szerint a negatív számok bevezetése után "az összeadás és a kivonás egyetlen mőveletté olvad egybe; ez a mindkét mőveletet magába foglaló egyetlen mővelet az összevonás".

A valóság az, hogy az összeadás és a kivonás a racionális számok körében is két különbözı mővelet. Két racionális szám összeadásakor abszolút értéküket vagy összeadjuk, vagy kivonjuk, aszerint, hogy egyezı vagy ellenkezı az elıjelük; kivonás esetében fordítva. Egyetlen mőveletté válásról tehát nem lehet szó, inkább valamiféle "összekeveredésrıl" beszélhetünk: mindkét mőveletben mindkét "régi" mővelet elemei megtalálhatók. Ugyanígy találhatók meg

a tört számok szorzásában a természetes számok szorzásának és osztásának elemei, az osztásukban szintén. /Különösen feltőnı ez közönséges tört alakban./ Mégsem mondhatjuk, hogy a tört számok bevezetése után megszőnik a külön szorzás és osztás, és nem találunk ki új elnevezést az "egybeolvadás" útján létre jövı mőveletre.

Az egybeolvadásra vonatkozó tévhitnek talán egy jelölésbeli egyszerősítés a magyarázata. Miután kiderül, hogy egy szám kivonása egy másik számból és ellentettjének hozzáadása a másik számhoz ugyanazt

összeadásokká alakíthatjuk, pl.

az eredményt

adják,

a kivonásokat

/-4/ - /+2/ = /-4/ + /-2/ /-7/ - /-3/ = /-7/ + /+3/

Az összeadás jelét most már félreértés veszélye nélkül el is hagyhatjuk:

-4 -2 -7 + 3 Ezeket a kifejezéseket most az egyenlıségjelektıl jobbra esı

összegek rövid leírásának tekinthetjük. De ha ilyen kifejezéseket látunk, eszünkbe jut, hogy ezek az egyenlıségjelektıl balra esı kifejezésekbıl is eredhettek. Különösen -4-2 tekinthetı, minden átalakítás nélkül, különbségnek is /-4 és 2 különbségének, nemcsak összegnek /-4. és -2 összegének/. Ez persze játék a jelölésmód kétértelmőségével; aki már tudja és érti, hogy veszélytelen, annak a számára hasznos is lehet ez a játék. Mindenesetre

- 109 - - 109 -

kapcsolatban az "egyszerősítés" szót /olyan átalakítás, amely egy kifejezést adott módon egyszerőbb alakra hoz/. Ilyen értelemben mondhatjuk például, hogy a

értelemben,

mint

a törtekkel

-2ab + 7a + 2ab - 3a

kifejezésbıl összevonással a

4a

kifejezést kapjuk. /Ebben az azonos átalakításban többek között a disztributivitást is alkalmaztuk: 7a - 3a ≅ /7 - 3/a ≅ 4a./ Ilyen értelemben nem hibáztatható az "összevonás" szó.

5. AZ ALGEBRA KEZDETE "Számtan" és "algebra"

Az idézıjelek arra utalnak, hogy külön számtanról és algebráról - olyan értelemben, ahogy ezeket a szavakat az iskolában használják - nem beszélhetünk. A ma szokásos megkülönböztetésre jellemzı ez az /egyik - különben sok értékes gondolatot tartalmazó - általános iskolai tankönyvünkbıl x vett/ idézet:

"a + b = b + a

Az összeadás felcserélési tulajdonsága az algebrában is érvényes". Eszerint volna külön számtan, ahol számokkal végzünk

mőveleteket, és azt tapasztaljuk, hogy ezek körében az összeadás kommutatív. Volna külön algebra, ahol viszont betőkkel /vagy betőkkel is/ számolunk, s az összeadás ezek körében is kommutatív. Régebben még az is elıfordult, hogy a változóként használt betőket "általános számoknak", sıt - nem törıdve azzal, hogy ennek a szónak

a matematikában egészen más értelme van - "algebrai számoknak" nevezték. Ez a szóhasználat olyan elképzelést takar, hogy az egész és tört, pozitív és negatív stb. számokon kívül "általános", "algebrai"

elıbbiekhez hasonló tulajdonságokkal.

számok

Valójában "a + b = b + a" nem fejez ki az általános iskolások számára semmiféle új objektumokra vonatkozó állítást; egyetlen mondanivalója az, hogy a számokra vonatkozó felcserélési tu-

________________ x Kelemenné - Mosonyi - Stéger /1959/.

- 111 - - 111 -

A "számtan" és az "algebra" közötti hagyományos felosztás nagyjából a következı volt:

"Számtan"

"Algebra"

negatív számok Számfajták számok /különféle jelekkel/ irracionális számok stb.

természetes számok tört

mőveletek

összeadás - kivonás

hatványozás gyökvonás logaritmálás

szorzás - osztás

= mint egyenlıség, jelölésmódok

=jele "az" értelemben

egyenlet, azonosság jele; <, ≤ , >, ≥ stb.;

zárójelek a mőveletek sorrendjének jelölésére.

azonos átalakítások feladattípusok

egyenes és fordított

arányossági feladatok

/"mőveletek

/hármasszabállyal és

betőkifejezésekkel"/,

aránypárral/, arányos

egyenletmegoldások,

osztás stb.

számtani és mértani sorra vonatkozó feladatok stb.

Az elmúlt évtizedekben - bár a különválasztás megmaradt - egyes addig algebrainak tekintett fogalmak és jelölésmódok /pl.

Mellékesen megjegyezzük, hogy "a+b = b+a" így magában nem alkalmas egy azonosság kimondására. Ez csupán egy kétismeretlenes egyenlet, amelyrıl ugyan látjuk, hogy a és b minden értékére teljesül, de ez a felírásmód ezt nem állítja róla. Legalábbis nem célszerő, hogy a bető megválasztása ilyen mondanivalót hordozzon, mert ezzel korlátoznánk az egyenletben alkalmazható betők körét, ami pedig - többek között a fizika miatt - nehézségeket okozna. Jobb tehát valamilyen módon kifejezésre juttatni, hogy azonosságról van szó: "a és b minden értékére a+b = b+a", vagy kvantorokkal rövidítve: " a b (a+b = b+a)”, amit kevésbé szabványosan, de igen elterjedt gyakorlat szerint így is le lehet írni: " a,b: a+b = b+a”. Még kevésbé szabványos, de még rövidebb kifejezésmód ugyanerre

a megállapításra: "a+b = b+a"; a kvantorokat itt a harmadik vonás fejezi ki.

- 112 - - 112 -

Az elıbb vázolt merev szétválasztást már régebben is megtörte pl. az, hogy egy speciális egyenletfajtáról, az aránypárról, a számtanban tanultak. /Csak éppen az maradt tisztázatlan, hogy ez is egyenlet. Ehelyett külön szabályokat tanultak a megoldására./

Nyilvánvaló a változás iránya: a számtan és algebra közt mesterkélten megvont határ egyre inkább elmosódik. Lehet, hogy a "számtan" szó késıbb más értelmet kap, és a mostani esetleges szétválasztás helyett valamilyen értelmes szempont szerinti

megkülönböztetést fog kifejezni. Például a számtan körébe sorolhatjuk a /tízes vagy egyéb/ számrendszerben való felírástól függı tényeket és eljárásokat, az algebra körébe az ettıl függetleneket. Egy ilyen megkülönböztetés jogos és célszerő lehet,

ha nem jár együtt avval, hogy az így megkülönböztetett tényeket és eljárásokat a tanításban is különválasztjuk.

Elvileg határt lehet vonni számtan és algebra között az absztrakció foka szerint is. Ezt fejezi ki durván, aki azt mondja, hogy "a számtanban számokkal, az algebrában betőkkel számolunk". Ez

a határvonal egyáltalán nem éles. Figyeljük meg például a következı feladatokat: 3 . 2 = ...; 3 . 2 = , 3 . = 6; 3 . ? = 6; 3 . x = 6; 3x = 6; 23 . = 851; 23x = 851; 3x - 1 = 14; 3x + 10 = 7x . Melyeket sorolnánk közülük a számtanba, melyeket az algebrába? A betőhasználat semmiképpen sem döntı az absztrakció szempontjából. A legnagyobb minıségi ugrás tálán 3x = 6 és 23 . = 851 között van. Kis számoknál ugyanis ki találjuk, hogy mikor teljesül az egyenlet, nagyobb számok esetén viszont a mőveletek közti kapcsolat alapján okoskodunk, pl. azt használjuk ki, hogy 23 . = 851 ⇔ = 851: 23. De hol kezd egy szám ebbıl a szempontból "nagy" lenni?

Látjuk, hogy éles határ elvileg is nehezen hozható az absztrakció foka alapján "számtan" és "algebra" között. Olyan-

- 113 -

féle megkülönböztetés ez, mintha a számtannak a konkrét mennyiségekkel foglalkozó részét /pl. 3 ujj + 1 ujj = 4 ujj/ el akarnánk határolni attól a részétıl, amelyben a mennyiségektıl absztrahálva már pusztán számokat használunk ,3 + 1 = 4/, vagy az adott /pl. 2 cm, 3 cm, 4 cm oldalú/ háromszögekkel foglalkozó "mértantól" el akarnánk határolni a tetszıleges háromszögekre összefüggéseket megállapító geometriát". Ilyenféle határokat nem szokás vonni. A "számtan" és az algebra" között azonban nem csupán elvben szokás /nagyjából az absztrakció foka szerint/ határt vonni - ez, ha nehezen sikerül is, nem volna baj - hanem a pedagógiai, gyakorlatban is van egy bizonyos szétválasztás. Pedig az absztrahálás alapfeltétele éppen az, hogy a konkrét és az absztrakt ne legyen szétválasztva /ahogy a „konkrét mennyiségek tana" sincs a számtantól/. A konkrétabb és absztraktabb közötti állandó ide-oda mozgás, kapcsolatteremtés érleli meg az absztrakciót. Ez történik akkor, amikor a pedagógus váltogatva ad - mint láttuk, már az általános iskola elsı osztályától kezdve - egymáshoz kapcsolódó numerikus és szöveges feladatokat, leíratja a szöveges feladatok numerikus tartalmát mőveletekkel, szöveget készíttet numerikus feladatokra stb. Ez történik akkor is, amikor a szöveges feladatok egyenlet nélküli megoldásáról áttérünk az egyenlettel való megoldásra /lásd például a következı óraleírást/, vagy megfordítva, egy feladat egyenlettel való megoldása után keresünk egy egyszerőbb, egyenlet nélküli megoldást, vagy amikor egy egyenlethez szöveget keresünk. Ezt tesszük akkor is, amikor célszerő számolásmódok alapján eljutunk bizonyos azonosságok felismerésére / 30.,36.,41. old./

numerikus számolásra alkalmazunk. Amilyen mértékben biztosítjuk a konkrét és az absztrakt szerves kapcsolatát, az absztraktnak a konkrétból való kibontását, olyan mértékben válik értelmetlenné és tarthatatlanná a számtan és az algebra különválasztása. Nem olyan probléma ez, ami egy egyszerő tantervváltozással megoldható volna. A pedagógiai gyakorlatnak kell elıl járnia, kitaposnia az utat, hogy aztán a tanterv, a módszertani irodalom és a tankönyvek fokozatosan átvegyék és általánossá tegyék az elért eredményeket. Tanulmányozzuk az újabb tanterveket, tankönyveket, módszertani közleményeket, megállapíthatjuk belılük, hogy csak az utóbbi évtizedben is milyen sok minden történt ezen a téren. Még több azonban a tennivaló.

és megfordítva,

azonosságokat

Átmenet a "számtanból" az "algebrába"

Egy hetedik osztályos számtanórán errıl a feladatról volt szó: "Egy diák 3 füzetet és 4 ceruzát vett 10 Ft-ért. Egy másik 4 füzetet és 2 ceruzát vett, ugyanolyanokat, 8 Ft-ért. Mennyibe került egy füzet, mennyibe egy ceruza?" A tanterv szerint az algebra csak a nyolcadikban kezdıdik, ennek a feladatnak a kapcsán az osztály mégis eljutott, szinte észrevétlenül, az algebrához, még hozzá nem is egyenletek,

a középiskolák 1. osztályának év végi anyaga. Persze nemcsak ennek a feladatnak a kapcsán; hozzájárultak ehhez az elızı és a kıvetkezı órák és ezen az órán is még több más feladat.

hanem

egyenletrendszerek

megoldásához, ami

A gyerekek a feladat szövegének az egyeztetése után néhány percig egyedül dolgoztak. A tanár azt az elvet követte, hogy nem tálalja készen a módszereket; hanem engedi, hogy a gyerekek önálló utakat keressenek. Kb. öt perc önálló munka után azonban becsukatta

a füzeteket, és egy kicsit beszélgettek a feladatról. Mit tudunk, mit keresünk, hogyan lehet elindulni? Ez a beszélgetés segítség volt azoknak, akik egészen önállóan nem boldogultak volna a feladattal, hiába töltötték volna tovább az idıt. Utána megint folytatták az önálló munkát. A tanár az elıbb is és most is körbejárkált, egy-egy gyereknek mondott néhány segítı vagy dicsérı szót. Aki kész volt, azzal becsukatta a füzetét, nehogy más abból nézze ki. Aztán befejezıdött az önálló munka, a tanár a táblánál bemutatta, miket látott. Elıször is, hogy jegyezték föl a feladatot? Volt, aki rajzban:

10 Ft

20. ábra

vagy így

21. ábra

Volt, aki szóban:

3 füzet + 4 ceruza 10 Ft,

4 füzet + 2 ceruza 6 Ft.

Olyan is volt, aki csak a kezdıbetőket írta le:

3 f + 4 c = 10,

4 f + 2 c = 8.

Ennél és a rajzos lejegyzésnél is valami zavarta a gyerekeket. A tanár is érezte ezt, és mindjárt rákérdezett:

- Mit jelent itt az az f? = A füzeteket. - De hát azt úgyis tudjuk, hogy az egyik 3 füzetet vett, a

másik 4-et! Egy kicsit még elbeszélgettek errıl, amíg minden gyerek elıtt

világossá nem vált, hogy f egy füzet árát, c egy ceruza árát jelenti, forintban. Ugyanezt jelenti a rajzokon is egy téglalap és egy vonás, és így már az egyenlıség jel használata ellen sem lehet kifogás.

Azután egypáran elmondták, hogyan indultak el. Volt, aki próbálgatással kezdte. Akkoriban árultak 1 forintos

ceruzát, ezzel próbálkozott. De a füzet árára hol 2 Ft adódott, hol pedig 1,50 Ft. Másféle áru ceruzával is megpróbálta, akkor pedig tört fillérekhez jutott.

Egy másik gyerek abból indult ki, hogy a két vásárló együtt 7 füzetet és 6 ceruzát vett 18 Ft-ért, de nem tudta befejezni a megoldást.

Senki sem tekintette dehonesztálónak ezeket a félbe maradt próbálkozásokat, sem a próbálkozók, sem társaik, sem a tanár. A központi probléma láthatóan nem az volt, hogy ki hányast kap, hanem inkább az: mit lehet kezdeni egy ilyen feladattal?

Sokan tudják a megoldást, szeretnének is szólni, de a tanár egyelıre türelemre inti ıket, inkább ı szólongatja azokat, akik enélkül nem nagyon szólnának.

Az egyik ilyen gyerek megjegyzi, hogy ha 4 füzet és 2 ceruza ára 8 Ft, akkor 2 füzet és 1 ceruza ára 4 forint. Többen mondják, hogy erre ık is gondoltak, de mit lehet ezzel kezdeni?

= Jobb inkább fordítva - mondja egy gyerek, akinek a tanár végre szót ad - kétszerannyi füzetet és ceruzát venni. Ha 4 füzet és

2 ceruza ára 8 Ft, akkor 8 füzet és 4 ceruza ára 16 forint.

Többen hangosan helyeselnek, mások pedig csodálkozva nézik, mire jó ez a bonyodalom.

- Írjuk csak fel - mondja a tarár. Már írja is a táblára, a gyerekek a füzetbe:

3 f + 4 c = 10

8 f + 4 c = 16

Vár egy kicsit, azután kérdezi: - Miért fizetett ez a másik többet, mint az elsı? = Mert több füzetet vett. - Folytasd, D.! = 5 füzet ára 6 Ft. - Tovább, L.! = Akkor 1 füzet 1 Ft 20 fillérbe kerül. /Ülve felelnek, munka

közben./ - Tovább. = 3 füzet ára 3 Ft 60 f, és ebbıl már a ceruzák árát is ki

tudom számítani. - Azt majd K-tói halljuk! Amikor így eljutnak a megoldáshoz, a tanár ad egy másik

hasonló feladatot, de itt árak helyett súlyok szerepelnek.

A harmadik feladatban nincs konkrét mennyiség, így kezdıdik: "Gondoltam két számot."

A megoldási típusok is változnak: mindkét egyenletet végig kell szorozni; kivonás helyett a megfelelı oldalak összeadása visz célhoz stb. Ezeket a szakkifejezéseket nem használják, árban, súlyban,

ismeretlenekben, együtthatókban, egyenletek bal és jobb oldalaiban. De ha nem mondják is ki, tapasztalatokat győjtenek az utóbbiakról, absztrahálnak. Óra vége felé a tanár annyi szöveget sem mond, hogy "gondoltam két számot", hanem egyenletrendszereket ír fel, ilyeneket:

x+y=7 x-y=3.

Nem mondja a gyerekeknek, hogy "a számtannal végeztük most algebrával foglalkozunk". Nem is mondhatja, hiszen még sokszor végig kell járniuk az absztrahálásnak ezt az útját, hogy osztály minden tanulója számára tartalommal teljenek meg az x-ek és

- 117 - - 117 -

A változók /ismeretlenek/ bevezetése. A keret-jelölés

A most leírt órán szavak kezdıbetőit használták az ismeretlenek jelölésére /ceruza ára röviden c, füzet ára röviden f/. Ezen az úton járunk akkor is, amikor a "terület = alap . magasság" megállapítást így rövidítjük: "t = a . m". Ez egy lehetséges, eléggé természetes

jelölésnek. Az alkalmazásoktól elszakított, a szó rossz értelmében "absztrakt" x

bevezetési

módja

az

algebrai

algebrát jellemzi az x, y és z egyoldalú kultusza. Ennek gyakori eredménye, hogy a fizikában nehézséget okoz egy egyenlet megoldása azért, mert a fizikai mennyiségeket rendszerint más betőkkel jelölik. Több ismeretlenes egyenletrendszerre vezetı szöveges feladatokban általában célszerőbb a kezdıbetők alapján választani ad hoc jelöléseket, mint önkényesen társítani például a vashoz az x, a rézhez az y, az alumíniumhoz a z betőt ahelyett, hogy v, r, a betőket használnánk.

kezdıbetőkként szerepelnek, a változóknak /ismeretleneknek/ betőkkel való jelölése

Attól az

esettıl

Az "absztrakt" szónak van két alapvetıen eltérı jelentése, amelynek a meg nem különböztetése kellemetlen következményekkel jár.

A szó egyik értelmében a matematika lényegével jár együtt, hogy absztrakt, tudniillik konkrét esetekbıl elvonja /absztrahálja/ azt, ami bennük közös, a közös struktúrát. Aki konkrétumokból kiindulva a maga lábán eljutott egy absztrakt fogalomhoz, annak könnyő megtanítani - vagy tanítani sem kell, - hogy visszajusson onnan a konkrétumokig, az alkalmazásokig. A szó másik, pejoratív értelmében "absztrakt" azt jelenti: "a konkrétumtól elszakított". Sokan azt hiszik, hogy a matematika ilyen értelemben absztrakt; annyiban talán igazuk is van, hogy hozzájuk így jutott el. Az "absztrakt" szó utóbbi értelemben való használata, közkelető, de félrevezetı. Z.P. Dienes találóan jegyzi meg, hogy annak a számára, aki nem a konkrétból absztrahálta az x 2 szimbólumot, ez nem absztrakt, hanem éppen hogy konkrét: nyomdafesték-, tinta-, ceruza- vagy krétafolt, semmi egyéb.

- 118 - - 118 -

b = c /mert "az következik"/. Alkalmasabb jelölésmód eleinte a keret, például

22. ábra

A betővel szemben elınye az is, hogy szinte szuggerálja a helyettesítés gondolatát: minden ilyen jel fenntartja a helyet valamilyen szám vagy számok részére. Az egyezı jelek egyenlı számok részére tartanak fenn helyet, ez is magától értetıdı. Az viszont már nem, hogy különbözı keretekbe is kerülhetnek egyenlı számok; például

23. ábra

azonosság arra az esetre is vonatkozik, ha az elsı két keretbe 379,

a harmadikba 187 kerül. A példa alapján a tanulók megértik: kár volna, ha nem engednék meg, hogy különbözı keretekbe egyenlı számok is kerülhessenek. Akkor az általános törvényszerőség ilyen esetben nem volna alkalmazható, ezt az esetet másképpen kellene felírnunk stb. A keret ilyen értelmő használata nálunk már az általános iskola

1. osztályában elkezdıdik. x ________________

Rá kell azonban mutatni két hibára, amely megnehezíti a keretjelölés elınyeinek érvényesülést: 1. különbözı számok helyett is ugyanolyan alakú keret szerepel, például a 2 + 8 összeadást ábrázoló rajz alatt ezt látjuk: + = ; 2. a keret nem szám, hanem számjegy helyett áll, pl. - =. Érthetı ugyan a keret ilyen alkalmazása mögötti elképzelés - a négyzetek a számtanfüzet egy "kockáját” jelentik - mégsem lehet helyeselni, mert csak a közvetlen elınyökre néz a késıbb megmutatkozó nagyobb hátrányokkal nem törıdik. Jó példa ez arra, hogy a matematikatanítás problémáit - a legapróbbakat is - úgy kell megoldani, hogy az iskolázás teljes idıszakát szem elıtt tartjuk az elsı általánostól az érettségiig, sót azon túl is.

A keret-jelölés persze csak átmeneti, fokozatosan át kell adnia a helyét a betőjelölésnek. Az átmeneti jelölések nem mindig célszerőek, néha felesleges megterhelést okoznak. Ez nem olyan, ez segíti a megértést, nehézségeket hárít el, és könnyő átmenetet biztosít a végleges jelölés felé. /Hasonló értékes átmeneti jelölés

a bekarikázás zárójel helyett. A karika felsı és, alsó részét késıbb elhagyjuk, de a megmaradó rész mindig arra emlékeztet, amit a karika sugall: az egybefoglalásra./

a "változó" és "ismeretlen" szavakat. Az a jelentés, amelyet a keret-jelölés juttat eszünkbe - tudniillik, hogy "helyénfoglaló" - nem teszi szükségessé, hogy változó és ismeretlen közt különbséget tegyünk. A paraméter fogalmát is jobb elkerülni. Az egyenletesen gyorsuló mozgásnak a

Szándékosan

használjuk

párhuzamosan

s=at 2

fizikából ismert útképletében / / s, a és t változók. Ha

azonban ezt mint egyenletet megoldjuk, a-ra vagy t-re, akkor egyszeriben ismeretlenek lesznek belılük, mert egyenletmegoldással kapcsolatban ez a bevett szó. Paraméterrıl akkor szokás beszélni, ha egy idıre rögzítjük valamelyik változó, illetve ismeretlen értékét. /Pl. legyen a a gravitációs gyorsulás a Föld egy pontján; egy kı leejtésekor állandónak tekinthetjük, de aztán megnézhetjük, hogyan függ a kı mozgása attól, hogy hol ejtettük le./ Ezeknek a megkülönböztetéseknek csak stiláris értéke van. Kár a kezdıt megzavarni velük. Egyszerőbb és kifejezıbb azt mondani, hogy a 2x=a

x=a–b

- b egyenlet megoldása x-re a-ra a = 2x + b, b-re b =

A – 2x, mint azt mondani: oldjuk meg úgy, hogy z-t ismeretlennek, a- t és b-t paraméternek, vagy a-t ismeretlennek, x-et és b-t paraméternek tekintjük benne stb., Késıbb esetleg lehet tenni stiláris megkülönböztetéseket is, ha éppen szükségesek, de eleinte jobb kevesebb elnevezést használni, különösen pedig jobb elkerülni az olyan fogalmi megkülönböztetéseket, amelyek a nehézségeket csak növelik.

A rajzok szerepe

Az elıbbi óraleírás jellemzıen mutatja a rajzok, vázlatok nagy szerepét a konkréttól az absztrakt felé vezetı úton. Itt a rajz még emlékeztet azokra a dolgokra, amelyekrıl a feladatban szó van /pl. füzetekre, ceruzákra/. Egy késıbbi lépcsıfok az,

Amikor függetlenül attól, hogy milyen objektumokról van szó, szakaszokkal ábrázoljuk a mennyiségeket. Például ennek a feladatnak

a megoldását: "Egy turistacsoport három nap alatt 68 km-t tett meg. Elsı nap

haladtak a legtöbbet, a második napon 3 km-rel rövidebb, a harmadikon ennél is 4 km-rel rövidebb utat tettek meg. Mennyi volt egy-egy napi útjuk?"

Nagyon megkönnyíti egy ilyen vázlat készítése:

Itt még a szakaszok valamennyire emlékeztetnek a megtett útra. A következı példában már akár elolvasott oldalakról vagy elkészült rádiókról is lehet szó, a tanulók szívesen és könnyen átteszik azt is ilyen jelölésre. A fokozatosságra más tekintetben is jó vigyázni: eleinte inkább csak két mennyiség szerepeljen. A tanulók különféle megoldási módokat fognak találni: az egyik talán hozzátesz gondolatban 3 és 7 kilométert a második és harmadik napi úthoz, egy másik elvesz hetet és négyet az elsı kétnapi útból, talán lesz olyan is, aki a középsıhöz igazítja a többit, és 69-nek veszi a harmadát, hogy ezt meghatározza. Engedjen a tanár szabad teret az ilyen ötleteknek, kezdeményezéseknek, ı maga pedig, amennyire csak lehet, maradjon a háttérben. "Csak akkor segíts, ha magam nem bírom" - volt kiírva egy óvoda falára. Ez nemcsak óvodai igazság.

A félig absztrakt rajzos megoldástól már csak egy kis lépést kell megtenni az egyenletfelírásig:

/x + 4 + 3/ + /x + 4/ + x = 68

25. ábra

/Persze x helyett írhattunk volna például h. betőt is - harmadik napi út - vagy keretet is./ Szakaszokkal felrajzolva, x-ek nélkül, a megoldást számtani megoldásnak szokás tekinteni; ilyen megoldás már az ötödikben sorra szokott kerülni. Kár megszakítani az absztrakció folyamatát és három évvel késıbbre halasztani ezt a kis lépést. Sok ilyen kis lépésre van szükség és ehhez sok idı kell!

Nem lehet elégszer hangsúlyozni: akkor várhatjuk, hogy minden tanulóban kialakuljanak az absztrakt fogalmak, ha sőrőn közlekednek

a konkrétabb és az absztraktabb között, ha föl-le járnak az absztrakció lépcsıjén. Ez azt jelenti, hogy például a szakaszokkal való

egyenletmegoldással párhuzamosan is. Például 2x - 13 = 25. Mellérajzolják:

szemléltetést

A rajzról leolvassák, hogy 2x csak 25 + 13 lehet. Leírják:

2x = 38.

Innen már kitalálják, hogy x = 19. Nem mindig kell rajz, de ha szükségét érzik, mindig igénybe vehetik a segítségét.

Másik példa: . Olyan 9x - 6-ot keresünk, amelynek az 9x – 6 = 7

ötöde 7.

27. ábra

A rajzról leolvashatjuk, hogy 9x - 6 csak 7-nek az 5-szöröse lehet. Ezt felírjuk egyenlettel:

9x - 6 = 35 stb.

Egy harmadik példa: /x - 6/8 = 12 . Olyan x - 6-ot keresünk, amelynek a 8-szorosa 12.

28. ábra

x - 6 csak 12-nek a 8-adrésze lehet:

x – 6 = 12 .

Még akkor is hasznos lehet ez az ábrázolási mód, ha többismeretlenes egyenletet oldunk meg egy ismeretlenre:

Az út, idı és /állandó/ sebesség közti összefüggés felidézését is megkönnyíti ez az ábrázolás:

Az órák száma: t

30. ábra

Az ábráról látható, hogy s = ct, de az is látható mindjárt, hogy c = s/t /itt az osztást részekre osztásnak képzeljük/, t = s/c /itt bennfoglalást képzelünk el/.

Ez az ábrázolási mód szigorúan véve csak pozitív számok összeadására és kivonására, szorzására és osztására volna alkalmazható. Még ezen belül is baj van vele, ha a szorzó törtszám. Mégis segítséget jelenthet ilyen megszorításoktól függetlenül is. A mőveletek közti összefüggések ugyanis számkörtıl függetlenül érvényesek, és fontos is hozzászoktatni a tanulókat, hogy a szemléletes esetekrıl bátran általánosítsanak a kevésbé

- 123 - - 123 -

Azonos átalakítások

Ha a

5x - 1 3/x + 2/ =

egyenletet így alakítjuk át:

5x - 5 3x + 6 =

akkor azonos átalakításokat végeztünk: az új egyenlet mindkét oldalán ugyanazok maradtak a kifejezések értékei az ismeretlen minden értékénél, csak az alakjuk, a leírásmódjuk változott, éppúgy,

mint amikor helyett 1 -et vagy l,5-et írunk.

Ha viszont az elıbbi folytatás helyett ezt választjuk:

9/x + 2/=5/x - 1/ ,

akkor az egyenlet két oldalának nemcsak az alakja változott meg, hanem az értékei is /x minden értékénél 3-szorakkora az új egyenlet mindkét oldalának az értéke, mint a régié/.

Fontos, hogy a tanulók, példák kapcsán, megértsék ezt a különbséget. Többek között azért is fontos, hogy elkerüljék az olyan hibákat, mint a következı folytatás:

3x + 6 = 5/x - 1/ /?!/

"Miért nem jó ez?" - mondja a diák. "Hiszen mind a két oldalon 3-mal szoroztam!"

Ilyen és más példák kapcsán minden tanulóval meg kell értetnünk, hogy mást jelent megszorozni valamit 3-mal és mást jelent beszorozni 3-mal. Mást jelent osztani és mást jelent kiemel-

- 124 - - 124 -

Régen világszerte, nálunk is, elıbb megtanították a diákoknak

"Mőveletek algebrai kifejezésekkel" vagy más hasonló címen, azután kezdték el tanítani az egyenleteket. Ma már általános az a felfogás, hogy jobb összekapcsolni az azonos átalakítások tanítását az egyenletek tanításával. Ha a számtantól nincs különválasztva az algebra, akkor ez magától értetıdı; a 3 + = 5 egyenlet után hamarosan következnek olyan egyenletek, amelyek megoldásához átalakításra /egyelıre csak numerikusra/ van szükség, pl. 3 + 1 + = 5 vagy 3 + + 1 = 5, és továbbra is egymással szoros kapcsolatban épülhet ki az egyenletek és az azonos átalakítások fogalma és technikája.

a fontosabb

azonos

átalakításokat

Ez nem jelenti azt, hogy felcserélésre és átcsoportosításra, összeg tagonkénti levonására, beszorzásra és kiemelésre, összeg és szorzat osztására stb. csak egyenletmegoldással kapcsolatban kerülhet sor. Átalakításokat végezhetünk pl. egy geometriai vagy fizikai képletben, hogy számítások céljára alkalmasabbá tegyük, anélkül, hogy mint egyenletet meg akarnánk oldani valamelyik változójára. A természetes számokkal és a törtszámokkal kapcsolatban szó volt már arról, hogy az átalakításokat numerikus példákra is lehet és érdemes alkalmazni. Erre a célra összeválogatott numerikus példákon meg lehet értetni a különféle irányú azonos átalakítások célszerőségét. Felfedezésükre /megsejtésükre/ is alkalmasak a numerikus példák. A téves sejtések megcáfolására ugyancsak. A pozitív példák azonban csak hihetıbbé teszik az általános törvényszerőséget, de nem bizonyítják, egyetlen ellenpélda viszont bizonyítja, hogy a sejtés téves volt. x Azt, hogy az átalakítások minden esetben helyesek, kezdı fokon persze nem formális bizonyítás útján láthatják be a diákok, de a számpéldákon való illusztrálással akkor sem elégedhetünk meg, ha a gyerekeket látszólag az is meggyızi. Sajátos módon az általános törvényszerőség felismeréséhez elıbb a konkrét felé, tehát mintegy visszafelé kell egy lépést tennünk. Ezek a példák:

________________ x Vö. Pólya György /1957/, 91-102. oldal.

24 -/4 + 9/ = 24 - 4 - 9 139 -/39 + 57/ = 139 - 39 – 57

nem gyıznek meg arról, hogy a következı hasonló példában is egyezı eredményre vezet a kétféle kiszámítási mód, mert nem mutatják, hogy min fordul meg a dolog. E célból vissza kell menni a konkréthoz, akár megfogható formában, akár képzeletben. Példa az utóbbira:

Palinak volt 139 forintja: Nekem is:

Vett az áruházban egy 39 Ft-os Én is ugyanazt vettem, de más-

bicskát és 57 Ft-ért tornacipıt:

más helyen.

Ennyit fizetett Amikor megvettem a bicskát,

ennyi pénzem maradt:

139 - /39 + 571

139 - 39 – 57

Ennyi pénze maradt

Amikor a tornacipıt is megvettem, ennyi maradt.

Ez nemcsak arról gyız meg, hogy a fenti számok esetében a kétféle számítási mód ugyanarra az eredményre vezet, hanem arról is, hogy ez bármilyen számok esetében így van; legalábbis pozitív számok esetében. Természetesen csak azt gyızi meg, aki képes az olyanféle elemzı és szimbolizáló munkára, amilyent itt végeztünk: le tudja írni a számokat tartalmazó történetek számtani magvát akkor is, ha nemcsak egy mővelet alkalmazása szerepel bennük. Ezt - és a fordítottját, a matematikai mondatok interpretációját, konkrét helyzetek találását, amelyeknek a struktúráját egy-egy adott matematikai jelsorozat fejezi ki -állandóan gyakoroltatnunk kell.

Lebontás, megfordítás, mérlegelv. Céltól vezérelt okoskodás

Már megfigyeltük /113. oldal/, mennyire másképpen gondolkozunk két ilyen egyenlet megoldásakor, mint például 3x = 6 és 23 x = 851. Azt mondhatnánk, hogy az elsıt szorzással oldjuk meg

/odagondoljuk a 2-t: 3.2 = 6/, a másodikat viszont osztással /nem tudjuk, mit gondoljunk az x helyébe, hát elosztjuk a 851-et 23-mal/. Figyeljük most meg ezt a kétféle okoskodási módot más, bonyolultabb egyenleteken is. Nézzük elıször ezt az egyenletet:

700 128 - = 121

x+96

Ezt a fenti elsı egyenlet megoldására emlékeztetı lépésekben oldhatjuk meg a legegyszerőbben: A tört helyébe 7-et kell képzelnünk, hogy a felírt állítás igaz legyen:

128 – = 121 x+96

A többivel tovább nem törıdünk, leírjuk, hogy a tört értéke 7:

700 =7. x+96

A tört nevezıje helyébe 100-at kell képzelnünk, hogy a fenti állítás igaz legyen; írjuk le ezt is:

x+96 = 100 .

Végül itt 4-et gondolunk az x helyébe, és ezzel meg is oldottuk az egyenletet:

x=4.

A most megfigyelt megoldási mód a lebontás.

A következı egyenletnek ugyanaz a felépítése, mint az elıbbinek:

9429 4083 - = 2736 . x+ √ 2

Mégsem ugyanolyan lépésekben oldjuk meg, hacsak nem vagyunk számolómővészek. Itt már kénytelenek vagyunk tekintetbe venni a mőveletek összefüggéseit, amiben segíthet a fent megbeszélt rajzos módszer:

A rajzok segítségével megfordítjuk a mőveleteket; az összeadásnak és

a szorzásnak, mint kommutatív mőveleteknek csak egy - vagy inkább két egyezı - megfordítása van /az összeadásnak két kivonás, a szorzásnak két osztás/, a kivonásnak és az osztásnak azonban, mivel nem kommutatív mőveletek, két különbözı megfordítása van: a kivonásnak összeadás és ismét kivonás, az osztásnak szorzás és ismét osztás. /Ha különbséget teszünk részekre osztás és bennfoglaló osztás közt, akkor ezek egymásnak a megfordításai. A rajzok ezt jól mutatják./ A most megfigyelt egyenletmegoldási lépéseket a megfordítás szóval lehetne jellemezni. Pontosabban, de kissé hosszabban azt mondhatjuk: az egymással inverz mőveletek közötti összefüggések alkalmazása.

Következı példánk különösen jól mutatja, hogy a lebontásnak semmi köze sincs a mőveletek inverzének ismeretéhez, ami pedig a megfordításban alapvetı:

3x - 4

Itt a megoldáshoz a hatványozás fogalma kell, de a logaritmusé nem;

a hatványozás fogalmának megszilárdítására egyébként nagyon alkalmasak az efféle feladatok.

A lebontás gondolatát csak olyankor lehet alkalmazni, ha az ismeretlen csupán egy helyen szerepel. A megfordítás alkalmazására nincs ilyen korlátozás:

Foglaljuk össze azokat az ekvivalenciákat, amelyekre megfordítás alkalmával építünk; bizonyos fokú teljesség kedvéért idevesszük a hatványozásra és megfordításaira vonatkozó ekvivalenciákat is, de persze lehetne folytatni a sort szögfüggvényekkel, esetleg még más függvényekkel is: a, b és c minden értékére, ha az osztó nem 0, a hatvány alapja pozitív, a logaritmus alapja pedig pozitív és nem 1,

a+b = c b ab = c a =c

a =c-b b=c-a

/A hatványozásnak és inverzeinek az ekvivalenciájára, sajnos, nincs olyan egyszerő szemléltetési mód, mint az elıbbi kettıre./

Nézzük most a következı egyenletet:

3x - 6

5x - 16

Ezt is meg lehet oldani a mőveletek közti összefüggések alapján /megfordítás útján/:

- 129 - - 129 -

3x – 6 = 5x – 16

a = bc

a+c=b

3x 10 = 5x

c=b–a

összefüggéseket alkalmaztunk./ Valahogy mégis körmönfont, erıltetett magyarázatnak érezzük itt a mondott összefüggések alkalmazását. Az elıször végzett átalakítás például szimmetrikus a jobb és baloldalra vonatkozóan /"mindkét oldalon ugyanaz történik"/, de a melléírt indokolás ezt nem fejezi ki. "Ha két számnak a negyede egyenlı, maguk a számok is egyenlık, és ha két szám egyenlı, a negyedik is egyenlı" - így fejezhetjük ki szimmetrikus formában, ami itt történt. Ezzel az úgynevezett mérlegelvnek vagy a két oldal egyforma változtatása elvének mondtuk ki egy speciális esetét. Ennek segítségével így magyarázhatjuk az elıbbi egyenletmegoldás lépéseit:

/Oldalt rövidítve

odaírtuk,

/A vonal mögé azt írtuk, hogy milyen mőveletet végeztünk az egyenlet mindkét oldalán./

A lebontás, a megfordítás és a mérlegelv más-más szemlélet alapján magyarázzák ugyanazokat a mőveleti lépéseket. Néha az egyik alkalmazható, vagy kínálkozik inkább, néha a másik, néha több is egyformán. Uniformizálásra, az egyes lépések egyöntető magyarázatára utólag esetleg sort keríthetünk, ha ez a tudato-

- 130 - - 130 -

Tanulságos egy egyszerő példán egymás mellett nézni a lebontással, megfordítással és mérlegelvvel való okoskodást:

LEBONTÁS

MEGFORDÍTÁS

MÉRLEGELV

25-x=21,

25-x=21,

x 25-x=21

x=25-21,

-x=21-25=-4, .(-1)

A legkevésbé természetes itt a mérlegelv alkalmazása. Akkor sem lesz egyszerőbb, ha 25 kivonása helyett elıször x-et adunk az egyenlet mindkét oldalához, aztán 21 kivonásával folytatjuk.

Példáinkból a legfıbb tanulság az, hogy módszerek tanítása helyett mindenekelıtt az elérendı célt kell világossá tennünk a tanulók elıtt. A cél elérésére irányuló törekvésbıl fakad a módszerek felfedezése. Mindegyik módszerrel kapcsolatban legutoljára kerülhet sor annak a tudatosítására, hogy hogyan is okoskodtunk. Csak ebben az utolsó fázisban van értelme, ha egyáltalán valamikor értelme van, a módszer elnevezésének.

A kitőzött cél is változik, alakul, fokozatosan válik egyre pontosabbá. Elıször a cél csak a keret vagy az üres hely kitöltése vagy a bető helyettesítése olyan számmal, hogy igaz legyen, amit így leírtunk.

Késıbb kiderül, hogy esetleg több ilyen szám is van, esetleg minden szám ilyen, vagy az is lehet, hogy nincs ilyen szám. Kitőzött célunk módosul: mindazokat a számokat kell megtalálnunk, amelyekre a kapott állítás igaz lesz, nem elégedhetünk meg azzal, ha véletlenül találunk egy ilyet, mert hátha más is van. Más fogalmazásban: azt a számhalmazt kell meghatároznunk, amelynek az elemeire igaz lesz az állítás. Az utóbbi megfogalmazás különösen jól mutatja, hogy nem zárjuk ki az üres halmaz esetét, hogy az

- 131 - - 131 -

Tovább módosítja a kitőzött célt annak a. számkörnek /számhalmaznak/ a bıvítése vagy szőkítése, amelyben az egyenlet megoldásait

keressük. Újabb számokat ismerünk meg, addig megoldhatatlan egyenletek megoldhatókká válnak. Elıfordulhat, hogy szöveges feladatunk értelmében csak pozitív vagy csak egész gyökök jönnek tekintetbe. Lehet, hogy maga az egyenlet nincs értelmezve bizonyos számokra. Így lassan tudatosodik /akkor is, ha nem fogalmazzuk meg ebben a formában/, hogy egyenletek megoldásakor egy halmaznak egy részhalmazát keressük, a szóba jöhetı értékek közül az egyenlet gyökeit.

Tovább módosul a cél a többismeretlenes egyenletekkel kapcsolatban. Itt lehet az a célunk, hogy mindkét /mindhárom stb./ ismeretlenre

Ekkor számpárokat /számhármasokat stb./ keresünk, vagyis szemléletesen a síknak /a háromdimenziós térnek stb., bár ez az "stb". már nem olyan szemléletes/ egy részhalmazát. Például egy vonalat. Más a célunk, ha egy ismeretlenre akarják megoldani a többismeretlenes egyenletet, vagyis egy ismeretlent ki akarunk belıle fejezni a többivel. Ekkor nem számot /számokat/, hanem kifejezést keresünk. Megint olyant azonban, amelyet a keresett ismeretlen helyébe írva a kapott állítás igaz lesz. De ez az állítás nem számok egyenlıségére, hanem kifejezések azonos egyenlıségére vonatkozó állítás.

Több évbe telhet, amíg ezek a célok, konkrét feladatok kapcsán, sorban mind tisztázódnak a tanulók elıtt. Megkönnyíti a tisztázódásukat az, ha egyenleteken kívül egyenlıtlenségekkel is foglalkoznak a tanulók; egy bizonyos általánosságot elérve, magasabb nézıpontból, jobb áttekintést kapnak. Ez azonban már egy késıbbi fejezet témája.

Ha a diákok okoskodását az egyenlet megoldásának minden lépésében a kitőzött cél irányítja, nem pedig olyasféle szabályok, hogy "elıször elvégezzük a kijelölt mőveleteket, aztán eltávolítjuk

a törteket" stb., akkor gyakorlati szempontból is célszerőbben fognak dolgozni. Értelmetlen volna például az /x+19/ . 47 =

= 940 egyenlet megoldását "a kijelölt mővelet elvégzésével" /vagyis

a disztributivitás alkalmazásával, beszorzással/ kezdeni, vagy a

3x - 1 + a = a + 15 5x - 3

egyenletben elıször

el. De ha gyakorlatlanságukban nem találják is meg a kitőzött cél felé vezetı legrövidebb utat, inkább járjanak be egy-egy kerülı utat, hogy aztán

a törteket

távolítani

a maguk tapasztalata vezesse rá ıket legközelebb a rövidebb útra. A tapasztalatszerzés többet ér, mint a kívülrıl kapott "általános szabályok", vagy egyes esetekre vonatkozó tanácsok. Sok és - még inkább - sokféle feladatot kell megoldaniuk esetrıl-esetre önállóan döntve

tesznek az egyenletmegoldáshoz szükséges gyakorlatra és biztonságérzetre.

a követendı

útról,

Formálisabb fogalmazások (átvitel, elhagyás stb.)

Ekvivalencia

Gyakran hallunk az iskolában egyenletmegoldás közben olyanféle fogalmazást, hogy "átviszem a másik oldalra". Az átvitelnek az a felfogása, hogy "a másik oldalon mínuszból plusz lesz, osztóból szorzó lesz" stb., legalábbis veszélyes. Aki az ilyen szabályokra hagyatkozik, az könnyen elkövethet olyanféle hibákat, hogy a

3x - 1 +2=6 5x - 3

egyenlettıl vagy a

3x – 1 + 2 = 30x - 18

vagy a

3x - 1 +2=9 5x

egyenlethez jut. Lehet, hogy a hibákból okulva aztán megjegyez bizonyos kiegészítı szabályukat is az elıbbiek mellé, hogy mikor lehet átvinni valamit, mikor nem, és így esetleg eljut oda, hogy hibátlan technikával - de formálisan, értelem nélkül! - old

- 133 - - 133 -

ha nem támasztja alá állandó gyakorlás, rendszerint csıdöt mond. De még ha funkcionál is, elszigetelt tudástöredéket jelent, amely nem támogat egyéb matematikai ismereteket, és amelyet nem támogatnak egyéb matematikai ismeretek.

Az a ”másodlagos szemlélet", amely az átvitel technikáját irányítja, mégsem feltétlenül elvetendı, csak legyen ott mögötte az "elsıdleges szemlélet" is, amely megóv a hibás alkalmazástól. Nem támaszkodunk-e mi magunk is lépten-nyomon a másodlagos szemléletre,

a formulák szemléletére? Amikor törtet törttel szorzunk, vagy amikor hatványfüggvényt differenciálunk, nem látjuk-e magunk elıtt, hogy a közös törtvonal fölé és alá kerül a számlálók és a nevezık szorzata, illetve, hogy a régi kitevı elıre kerül szorzónak, és helyébe 1-gyel kisebb kitevı kerül? Nem baj, ha valakinek a képzeletében a formulák megelevenednek, adott szabályok szerint változhatnak, a fontos az, hogy legyen a szabályok mögött tartalom.

Az "átvitel" másodlagos szemlélete mögötti elsıdleges szemléletet sematikus formában például a szakasszal való ábrázolás fejezheti ki. Ezek mögött persze kell lennie még tartalmasabb, konkrétabb elképzelésnek is, amely azonban nagyon sokféle, nagyon tarka, nagyon függ az egyes gyerekek élményanyagától; éppen ezért vonunk ki belıle egy egyszerő, eléggé üres, és emiatt eléggé hajlékony ábrázolási módot.

Amint látjuk, az átvitel a megfordításnak egy formálisabb fogalmazása. A mérlegelv alkalmazásában is van egy ilyen formálisabb fok, amikor már a másodlagos szemlélet dirigál. Ugyanannak a tagnak, szorzónak vagy nevezınek az elhagyása mindkét oldalról éppúgy hibákra vezethet, mint az átvitel értelem nélküli alkalmazása. A fı teendınk itt annak a tudatosítása, hogy ugyanannak a tagnak stb. az elhagyása csak akkor jogos, ha ezáltal ugyanannyival vagy ugyanannyiszorosára változtatjuk mindkét oldalt. Nem a formálisabb fokra való eljutást kell megakadályoznunk, hanem annak kell elejét vennünk, hogy kimaradjon közben az újra meg újra való tartalmi végiggondolás.

Nemcsak az egyenletmegoldás egyes lépéseinek, hanem a kitőzött céloknak is vannak ilyen formálisabb megfogalmazásai. A tartalmi megfogalmazás szerint - ez az alapvetı, kétség esetén eh-

- 134 -

de a próba mindkét oldalon értelmetlen kifejezést ad: 1/0 és-1/0 A formális cél nem felel meg a tartalmi célnak, az utolsó egyenletrıl leolvasott gyök nem elégíti ki az eredeti egyenletet. Felmerül a kérdés, nem borulhat-e fel az összhang másféle módon is: nem lehetséges-e például, hogy a formális átalakítások arra az eredményre vezetnek, hogy az egyenletnek nincs gyöke, pedig valójában van? Mindez arra indít minket, hogy felülvizsgáljuk az addig helyesnek tartott egyenletmegoldási lépéseket abból a szempontból, nem változtathatják-e meg /nem szőkíthetik vagy bıvíthetik-e, esetleg szőkíthetik, és egyszersmind bıvíthetik is/ a gyökök halmázát. Ezt a kérdést - az egyenletek ekvivalenciájának kérdését - itt éppen csak érintettük. Amint látjuk, felvetıdhet a kérdés már törtes /ti. a nevezıben ismeretlent tartalmazó/ algebrai egyenletek megoldásakor is. De csak kivételes, úgyszólván csak erre

trigonometrikus egyenletekkel kapcsolatban viszont lépten-nyomon beleütközünk ebbe a problémába /ha ilyen egyenletek megoldására egyáltalán sor kerül/.

a célra konstruált

esetekben.

Gyökös

és

Szöveges feladatok megoldása egyenlettel

Szöveges feladatok megoldásáról többször is szó volt már; a természetes számokkal és a törtszámokkal kapcsolatosan külön szakaszban is /42. és 83.oldal/. Amit ott mondtunk, az csaknem szó szerint érvényes a szöveges feladatok egyenlettel való megoldására is. Fontos az egyenletmegoldás technikai része /éppúgy, mint a

számolástechnika/, különösen fontos az, hogy a tanulókban tapasztalatokból absztrahálva váljanak készséggé az egyenletmegoldás lépései, de még sokkal fontosabb az alkalmazás: az, hogy egyenletek segítségével konkrét problémákat tudjanak megoldani. Ezek a konkrét problémák a tankönyvekben szöveges feladatok képét öltik: A szöveges feladatok egyenlettel való megoldásának igen alapos és értékes módszertani feldolgozását adja Faragó /1960, 1963/. x Minthogy ez a könyv mindenki számára könnyen hoz-

Megnöveli ennek a könyvnek a jelentıségét az a tény, hogy erre a fontos témára a módszertani irodalom általában igen csekély teret szán; Bragyisz /1951/ terjedelmes módszertana például mindössze fél oldalt, lásd Faragó /1963/, 3. oldal.

- 136 - - 136 -

Induljunk ki a következı feladatból: Két autó ment A városból B városba, az egyik 48 km/óra, a

másik 54 km/óra sebességgel. A gyorsabb autó félórával hamarabb tette meg az utat. Mekkora a két várostávolsága?

Hogy a feladatot megoldhassuk, elıször három kérdést kell tisztáznunk:

1. Mit keresünk?

2. Mi van adva?

3. Mi az összefüggés a keresett és az adott mennyiségek között?

Az elsı két kérdésre könnyő válaszolni:

1. A keresett mennyiség: a két város távolsága, vagyis az autók megtett útja.

menetidejének különbözıségét.

2. Ismerjük

az

autók

sebességét

és

Áttekinthetıség kedvéért készítsünk táblázatot az itt szereplı mennyiségekrıl:

2. autó Út (km)

1. autó

Sebesség (km/óra)

Menetidı (óra)

Beírhatnánk a menetidık helyébe is valamilyen betőket. De ezeket már ki is tudjuk számítani, hiszen út = sebesség . menetidı (pl. 3 óra alatt 4 km/óra sebességgel 12 km-t teszünk meg), tehát menetidı = út/sebesség.

________________ x Nagyrészt Faragó-Varga /1957/ alapján.

2. autó Út (km)

1. autó

Sebesség (km/óra)

Menetidı (óra)

Ezek után fel tudjuk írni a feladatban szereplı összefüggést is; a lassabb autó menetideje félórával több, vagyis

Most már csak meg kell oldanunk az egyenletet. A megoldás:

u = 216 /km/

Feladatunkban nemcsak az a mennyiség volt ismeretlen, amelyre

a kérdés vonatkozott /a távolság/, hanem két másik is /a két autó menetideje/. Mi az elıbbit jelöltük betővel, ennek segítségével az utóbbiakat már ki tudtuk fejezni. Eljárhatunk azonban fordítva is. Jelöljük például a gyorsabb autó menetidejét m-mel. A táblázatot ekkor így tölthetjük ki.(utoljára az útrovatokat):

2. autó Út (km)

1. autó

48 (m + ) 2 54 m Sebesség (km/óra)

48 54 Menetidı (óra)

1 m+ 2 m

A két autó ugyanakkora utat tesz meg, tehát az egyenlet:

48 (m + ) = 54 m 1

A megoldás most egyszerőbb; viszont m kapott értékébıl, 4-bıl még ki kell számítanunk a megtett utat: 54 m = 216.

Ha nem tudunk eligazodni a feladatban szereplı mennyiségek között, nem látjuk át azonnal, milyen összefüggéseket írhatunk fel közöttük, akkor érdemes a keresett mennyiség vagy egy másik

- 138 - - 138 -

Ha a gyorsabb autó útja 2 órán át tartott volna, akkor ezalatt

54 . 2 = 108 km--t tett volna meg; a lassabb autó ekkor 2 órán

át haladt volna, és ezalatt 48 . 2 = 120 km-t tett volna meg.

Nem találtuk el a helyes megoldást, mert 120 = 108. De a megoldás kulcsa a kezünkbe került: amit egy találomra választott konkrét számból /a 2-bıl/ kiindulva csináltunk, azt kell megcsinálnunk általános formában, úgy, hogy 2 helyett például m betőt írunk. Most nem tudjuk ugyan kiszámítani, mennyi az 54 m, sem azt, hogy mennyi

a 48 (m + ), azt azonban tudjuk, hogy e kettınek egyenlınek kell 1

2 lennie:

54 m = 48 (m + )

Mindegyik megoldási módhoz szükség van arra, hogy jól megértsük a feladatot, világosan lássuk, mirıl van benne szó. Ezt sokszor megkönnyíthetjük azzal, hogy rajzot készítünk. Például így:

37. ábra

Ez a vázlat világossá teszi, hogy az l óra alatt megtett útnak /pl. a 48 km-nek/ annyiszorosa az egész út, ahány órán át haladunk; vagy másképpen: a megtett útban a sebesség annyiszor van meg, ahány órán át haladunk.

Ha világosan elképzeljük, mirıl van szó a feladatban, esetleg fel is vázoljuk, akkor néha olyan megoldásra bukkanunk, amelyhez egyenlet nem is kell. Például így gondolkozhatunk:

Amikor a gyorsabb autó B-be ért, a lassabb elıtt még félórányi út volt, vagyis 24 km. Miért maradt el ennyivel? Azért, mert minden órában 6 km-rel kevesebb utat tett meg, mint a másik autó. A 24 km hátrány tehát 4 óra alatt győlt fel. Ezalatt a 4 óra alatt a gyorsabb autó beért B-be; az AB távolság tehát 4 . 54 = 216 /km/ .

Ilyenféle módon elıbb oldottunk meg feladatokat, mint egyenlettel. Ez azonban nem jelenti azt, hogy az egyenlet nélküli megoldás "primitívebb", és ezért kevesebbet ér. Ellenkezıleg: minél egyszerőbb eszközökkel oldunk meg egy feladatot, annál értékesebb a megoldásunk.

Általános szabályt egyenletek felállítására nem adhatunk. De vannak tanácsok, amelyeket érdemes megfogadni, és a feladat természetének megfelelıen alkalmazni:

Tisztázzuk mindig, mit keresünk, és mi van adva. Állapítsuk meg, milyen összefüggések vannak az adott és a keresett mennyiségek közt.

Sokszor érdemes felhasználni a keresetten kívül más ismeretlen mennyiségeket is, olyanokat, amelyek a keresett és az adott mennyiségekkel is kapcsolatban vannak, hidat teremtenek köztük.

Az adott és az ismeretlen mennyiségek áttekintését gyakran megkönnyíti a táblázatos felírás.

Hogy a talált összefüggések alapján egyenletet írhassunk fel, jelöljük valamelyik ismeretlent betővel. Nem mindig a keresett mennyiséget célszerő betővel jelölni.

Ha nem tudjuk azonnal felírni az ismert és az ismeretlen mennyiségek közti összefüggést, próbáljunk a bető helyébe konkrét számot írni, és kipróbálni, igazat állít-e ebben az esetben _a feladat. Az egyenlet felállításakor ugyanazt kell csinálnunk általános formában, az adott szám helyett betővel.

Készítsünk rajzot!

A cél sohasem az, hogy egyenletet állítsunk fel, hanem az, hogy megoldjuk a feladatot. Ha egyenlet nélkül is meg tudjuk oldani, annál jobb!

A "nyitott problémahelyzetrıl" mondottak / 46. és 88. oldal/ szöveges feladatok egyenlettel való megoldására éppúgy vonatkoznak, mint az egyenlet nélküli megoldásra. Kész feladatokon kívül adjunk a tanulóknak nyersanyagot is, sıt vegyük rá ıket arra, hogy maguk is győjtsenek nyersanyagot és készítsenek belıle feladatokat. Így jobban tudatosodnak bennük az olyan kérdések, hogy elég-e az adat ahhoz, hogy egy bizonyos kérdésre felelni tudjanak, nincsenek-e az adatok között feleslegesek, ellentmondóak stb. Megtaníthatjuk a tanulókat arra is, hogy egy feladatból újabb feladatokat készítsenek olyan módon, hogy elhagynak belıle egy /vagy több/ adatot, viszont közlik egy /vagy több/ ad-

- 140 - - 140 -

A hatványozás

Az általános iskola 2. osztályában megtanulják a gyerekek, hogy egy ilyen összeadást, mint 2 + 2 + 2 + 2 + 2, rövidebben is le lehet írni. Beletelik néhány hónap, amíg magukévá teszik ezt az új jelölést.

Egy évtizeden át - az általános iskola megszületésétıl kezdve - a 6. osztályban tették meg a gyerekek ezen az úton a következı nagy lépést: ott tudták meg, hogy az ilyen szorzásokat, mint 2 . 2 .

2 . 2 . 2, szintén le lehet írni rövidebben. A hatványozást a szorzástól sokkal nagyobb idıköz választotta el, mint a szorzást az összeadástól,

a hatványjelölés szükségessé vált /ti. a természetes számok törzstényezıkre bontása/, indokolttá tette ezt az idıpontot a hatványozás bevezetésére. Mindenesetre elınyös volt a régebbi gyakorlattal szemben, hogy a hatványozás fogalma nem kapcsolódott a betőjelöléshez.

de a problémakör,

amellyel

kapcsolatban

Most a hatványozás fogalma, a törzstényezıkre bontással együtt, egészen kikerül az általános iskola tananyagból, és valószínőleg a középiskolák 1. osztályában kerül rá sor. Nem lesz könnyő megoldani a tanároknak az ezzel járó didaktikai problémákat. Az általános iskolák matematikatanárainak meg kell ragadniuk minden legális lehetıséget arra, hogy ezt a fogalmat idejében elıkészítsék, mert különben az új jelöléssel járó nehézségek sok egyéb nehézség mellett a középiskolák 1. osztályában tanító tanárokat és ott tanuló diákokat fogják terhelni. A kö-

- 141 - - 141 -

a legyızésére sok idıt kell fordítani, aminek pedig az 1. osztályban tanító matematikatanár aligha lesz bıvében. Az elsietés azonban súlyos következményekre, formális tudásra vezetne. Valahonnan idıt kell szakítania a tanárnak, hogy számpéldákon tegye világossá a

hatványozás értelmét és tegye természetessé a hatványozás azonosságait. Ha ez nem történik meg, akkor az algebrai átalakítások, a polinomokkal végzett mőveletek a legtöbb diák számára jelekkel való értelmetlen zsonglırködéssé fognak fajulni.

Annak illusztrálására, hogy milyen módon lehet számpéldákon át elvezetni a tanulókat a hatványjelöléseknek és a hatványozás azonosságainak értelmes alkalmazására, egy óraleírás következik. Az óra 7. osztályban folyt le. Elızı héten vezették be a hatványjelölést /ekkor már nem a 6. osztály anyagába tartozott, hanem a 8. osztályéba, a tanár azonban elırehozta, mert a 7. osztály tantervi anyagával már végzett/. Maga a fogalom még meglehetısen új,

a jelölésmód szokatlan, a szorzással való összetévesztés veszélye állandóan fenyeget. Ezért a tanár olyan feladatokat ad, amelyek egymás mellett mutatják be ezt a kettıt, a szorzást és a hatványozást, az elıbbit az összeadásra, az utóbbit a szorzásra visszavezetve. A táblára ír, minden szó nélkül, ilyenféle kifejezéseket:

Várja a tanulók jelentkezését és kommentárjait. /A füzetek és könyvek a padokban csukva vannak./ Ilyeneket hallunk:

= Egyenlı tagú összeg. Leírhatjuk szorzat alakjában: 4 szorozva 3-mal.

= Egyenlı tényezıjő szorzat. Hatvánnyal írhatjuk le: 4 a harmadikon.

= 5 az ötödiken. Ez öt darab 5-ös tényezı szorzatát jelenti. Ötször ötször ötször ötször öt.

= Két hatvány szorzata. Az elsı öt tényezıs szorzatot jelent,

a második három tényezıs szorzatot. Mindegyik tényezı 2. = Két hatvány hányadosa. Az osztandó vagy számláló hét

tényezıs szorzatot jelent. Az osztó vagy nevezı tizenhét tényezıs szorzatot. Mindegyik tényezı 3. Egyszerősíteni lehet.

egyes kifejezésekrıl összehoztak, de általában ezeket nem egy tanuló mondta el. Néha folytatta volna valamelyik, de a tanár inkább intett másnak, jusson az is szóhoz. Voltak hibás megszólalások is, ezeket a következı kiigazította. A tanár a végén megszólal, most elıször:

Egyvégtében írtuk

le,

amit az

- Mit jelent egyszerősíteni? /Elmondják. Azt is, hogy az adott esetben mivel lehet egyszerősíteni./

Megint új kifejezés kerül a táblára:

= 4.7-nek a harmadik hatványa. Három egyenlı tényezı szorzatát jelenti, mindegyik tényezı 4.7 . Vagyis 4.7-szer 4.7-szer 4.7.

- Írd fel!

A gyerek kijön, felírja:

- Így nem tőnik ki, hogy egyenlı tényezıjő szorzat. Mit kell írni, hogy látsszon?

= Zárójeleket írni. - Jó, csak az ujjaiddal mutasd, hova írnád. /A gyerek

mutatja./ - Errıl további megjegyzés? = Így is írhatnám: 4.4.4.7.7.7. - Miért? = A tényezıket fel lehet cserélni. A tanár felírja. - Errıl valami megjegyzés?

3 =4 3 .7 Nem mennek bele abba a kérdésbe, hogy itt kommutativitáson

kívül asszociativitást is alkalmazunk. Ez szükséges "elkenés", a legtöbb tanulónak nehéz volna itt hirtelen ez a megkülönböztetés és

a jobbaknak sem nagyon fáj a hiánya.

A tanár most ezt írja fel:

= Kijelölt hatvány, felírhatjuk egyenlı tényezıjő szorzat

3 alakjában: 5 3 .5 . - Folytasd, S.!

= 5.5.5.5.5.5. - És az másképp? = 5 a hatodikon. Megint ír a táblára:

= 7.7.7 per 5.5.5.

A tanár írja, az elıbbit kiegészítve:

Aztán megint az osztály felé fordul, várva, szólnak-e rá valamit.

= Ezt felírhatjuk egyenlı tényezıjő szorzat alakjában is. /Mondja; a tanár írja:/

- Tovább! = Hétötöd a harmadikon. /A tanár írja, folytatva:/

Eddig az órából 9 perc telt el. Most kinyittatja a füzeteket, újabb kifejezéseket ír a táblára, ezeket már ık is írják. Az órakezdés erıs üteme után /a 9 perc alatt a harmincötös létszáma osztályból csaknem mindenki sorra került és a többi is készenlétben volt/, más tempójú munkamenet következik. A füzetbe írás egyrészt lassúbbodást jelent, másrészt nagyobb lehetıséget az elmélyedésre.

Megint a tanár ír a táblára:

= 10 7 kijelölt hatvány, felírhatjuk egyenlı tényezıjő szorzatként.

=5 5 is . . . /ugyanezt elmondja/. = Az egészet így is írhatjuk fel /ülve diktálja, ı maga is

írja a füzetébe, a többiek is, a tanár pedig a táblára, inkább késlekedve, mint elıresietve/:

Egyszerősítenek, kiszámítják. A tanár közben körüljár, az egyik füzetben lát valamit, felírja a táblára:

- Mit szóltok ehhez?

7 Megbeszélik a különbséget 2.5 7 és /2.5/ közt. Aztán ehhez kapcsolódva másképpen is átalakítják ezt a kifejezést:

/Közben néha szükség van ilyen kérdésekre: "Mit jelent a számláló?", "Mit jelent a nevezı?", "Most mit csinálunk?"/

A füzetekben dolgoznak, a tanár mindig megvárja, amíg készen vannak /vagy legalább a legtöbbje készen van/ egy-egy lépéssel, azután az ı diktálásuk alapján folytatja a táblán.

- Kérem a számlálót egyszerősítés után! Kérem a nevezıt! /Felírja, ahogy mondják:/

- Írjátok ezt egyszerőbb alakban. Készen vagy, T, tudod diktálni?

A következı kifejezést nem írja, csak diktálja:

- Milyen alakra hoznád? Aki kész, jelentkezik. /Közben ı is felírja a táblára. Aztán számlálja a jelentkezıket:/. . . 12, 13,

14, ... még sokan alusznak .. /Egyet felszólít, annak a diktálására ezt írja a táblára:/

- Írhattuk volna így is: /4.5/ 3 ? = Igen, csak nem célszerő.

- Miért? = Mert a nevezıben is 2 van. Megint várja a diákok megjegyzéseit, javaslatát. Az egyiknek a

diktálására ezt írja az elıbbi utána:

Vár, int: = Egyszerősíthetek kétszer 2-vel. /Diktálja, a tanár

folytatja:/

- Nem lehetne egy lépéssel továbbmenni? = 20 3

3 - Nézzük csak. Igaz-e, hogy 10 3 .2 = 20 ? /Megnézik, nem annyi,

a tanár áthúzza, másik javaslatot vár./ = 10 6

3 - Nézzük meg: 10 6 . 2 = 10 /Errıl is kiderül, hogy nem annyi. Lehúzza ezt is ./

- Mire gondolhatott E.? Mivel téveszthette össze?

3 = Azzal, hogy /10 2 / . - Ez viszont 10 3 . 2. Hogy írhatnád itt a 10-et? = /5 . 2/ 3 .2. - Tovább! = 5.2.5.2.5.2.2. = A tényezıket felcserélhetem: 5 . 5 . 5 . 2 . 2 . 2 . 2. - Röviden?

3 =5 4 .2 . Óra kezdete óta 22 perc telt el. Megint átvált, ezt mondja:

- 146 - - 146 -

- Valakinek

a füzetében

letakartam

26. Mi lehetett, amit letakartam?

A gyerekek ilyeneket mondanak:

A tanár közben kérdezgeti: Igaz-e, hogy ez 26? Hány tényezıs szorzatot jelent ez? Mik a tényezık?, stb. Biztatja is ıket: még mi lehetett? Aztán, amikor csak nem akarnak kilépni ebbıl a körbıl:

- De valaki elárulta, hogy nem szorzat volt a másik oldalon, hanem hatvány.

2 = /2 3 / . Az egyik ezt mondja: 2 x - Lehetett? /Felírja:/

= Igen, de akkor itt ez az x 6-ot jelent. Még néhány változatot mondanak 2 6 -ra, mind ott van a táblán,

így:

Aztán letörli a táblát. Az órának ez a része 4 perc. - Tessék írni a következı feladatot:

2 x+1 = 8.

- Találkoztunk-e már ilyennel? = Ilyennel nem, csak hasonlóval. /Az elızı órákon ugyanis a

hatványozás bevezetésekor, már kaptak fordított feladatot, és azokat fel is írták úgy, hogy pl. az ismeretlen kitevı

- 147 - - 147 -

A gyerekek tanácstalanok. A tanár segít egyet: - Ez a 8 lehet egy hatvány értéke. Az alap 2 ...

=2 3 =2 = Kettı az x-ediken meg 1 ...

x+1

- /A táblára írja:/ 2 x +1. Ezt mondtad. /Letörli./ = Kettı az x+1-ediken csak akkor lehet egyenlı kettı a

harmadikonnal, ha x+1 = 3. Vagyis x = 2 = Az nem lehet! /Valaki tiltakozik./ - Majd meglátjuk! Írjuk /ı is írja/:

Baloldal

Jobboldal

/Megállapítják, hogy a. megoldás helyes volt./ - Na még egy feladat, és aztán röpdolgozat!

8-x

- Egy jelentkezı már van. Kettı, . . . hét, nyolc. H! = Három a nyolcadikonból x . . . /kijavítja magát:/ három a

nyolcból x-ediken . . . egyenlı 27. /Eljut a 3 3 = 3 alakhoz, ebbıl megint 8 - x = 3-ra következtetnek és kitalálják, minden

formális átalakítási szabály nélkül, az alsó osztályokból megszokott módon, x értékét./

Öt perc telt el "exponenciális egyenletek" megoldásával. A negyvenöt perces órából még 13 perc van hátra. Üres cédulákat osztanak ki.

- Jobb felsı sarokba a nevedet! V., tedd el már a füzetedet! /Amit diktál, az most nem kerül a táblára:/

- Írd le egyszerőbben! Most mindjárt, mert aztán jön a másik feladat. Aki kész, megfordítja a lapot, egyenesen ül.

/Hangsúlyozással fejezi ki a zárójelet, de aztán maradja is: tedd a 4 . 3-at zárójelbe, ez a harmadikon./ Hogy alakítanád át? /Az utasítás nem egyértelmő. A tanár nyilván hajlandó lenne elfogadni

- 148 - - 148 -

/A nehezebben érthetıket többször is elismétli, ezt is./

- Ezt most kicsit különbözik az eddigiektıl. Írj helyette valami mást, de olyant, ami vele egyenlı.

- Ki van ezzel készen? /Kevesen jelentkeznek. Ezt láthatóan a jobbak kedvéért adta, hadd törjék egy kicsit a fejüket./

- A következı: Valaki azt állítja, hogy

/Ezt már felírja a táblára./ - Igaza van-e? Aki kész, üljön egyenesen! - A többi feladat már min d sokkal könnyebb lesz. /ezeket is

felírja/:

2x-1 7 =7

/Másfél percet vár./

3 8-x = 27

/Az egyik leggyöngébb tanuló legyint: Volt!/

a =5

- Szavakban indokold meg itt, amit csinálsz. /Egy percet vár, aztán:/

- Most pedig tedd le a ceruzát, ha félbe maradt is a bető. Sz. végigszalad, mindenkitıl összeszedi!

Elkezdik megbeszélni a megoldásokat, de mert csöngetnek, abbahagyják.

Halmaz, reláció, függvény

A függvény fogalma iskoláinkban legszorosabban az algebrának nevezett tárgykörhöz kapcsolódik. Bár ennek a kapcsolatnak megvannak

a veszélyei is - például a függvény fogalmának a formulákkal megadható függvényekre való leszőkítése - elınyeire gondolva nem igyekeztünk szétválasztani a két témát. Így ennek a fejezetnek a hátralévı része a függvényekkel kapcsolatos.

A függvény fogalma a halmaz fogalmára épül és a reláció fogalmának speciális esete. Ezekkel az utóbbi fogalmakkal kezdjük tehát, annak ellenére, hogy a tanterveinkben a halmaz és a reláció fogalma nem szerepel és várhatóan a legközelebbi jövıben nem is fog szerepelni. Ez azonban csak átmenetileg lesz így és ezt az átmeneti

idıt is fel kell használnunk e fogalmak tanításának a kikísérletezésére. Másutt elıbb tartanak ezen a téren. Az 1962-ben Budapesten rendezett Nemzetközi Matematikaoktatási Szimpózium következı megállapításából /Szemelvénygyőjtemény, 468. oldal/ ez nyilvánvaló:

"Sok kísérlet megmutatta már, hogy az elemi halmazelmélet nyelvét, fogalmát és mőveleteit, a reláció és a függvény fogalmát bevezethetjük 12 éves kortól kezdve /sıt már elıbb is/".

Halmazok, relációk és függvények konkrét példáival mindenki kisgyerek korától kezdve lépten-nyomon találkozik.

A "három" fogalmához például sok olyan halmaz megfigyelése útján jutunk, amelyeknek kiemeljük egy közös tulajdonságát, azt, hogy három elemük van. Halmazról, elemrıl azonban ekkor még nem beszéltünk, aminthogy számról sem. További absztrakció és általánosítás eredményeként alakul ki és formálódik egy a "szám" fogalma, és talán szükségszerő vagy legalábbis célszerő, hogy a "halmaz" mélyebb fogalma évekkel késıbb tudatosodjék. Vannak, akik ezt kétségbe vonják és a kérdés semmi esetre sincs lezárva. x

Elég itt utalni az amerikai Patrick Suppes "Sets and Numbers" /Halmazok és számok/ c. tankönyvsorozatára, amely a szám fogalmát az elsı osztálytól /hat éves kortól/ kezdve a halmaz fogalmára építi. Ennek a könyvsorozatnak alapján évek óta folynak kísérletek nemcsak amerikai, hanem többek között afrikai iskolákban is, bennszülött gyerekkel. A kísérleteket évente értékelik, összehasonlítják a hagyományos iskolai anyagban elért eredményeket olyan osztályok eredményeivel, ahol nem a halmaz fogalmára építették

a számtant. A közlemények szerint az eredmények jók. Egy ilyen kísérletsorozat azonban semmiképpen sem lehet döntı.

A relációk vagy logikai függvények, tudjuk a matematikai logikából, lehetnek

a/ nullaváltozósak /a szoros értelemben vett ítéletek, ismertebb szóval állítások, amelyek lehetnek igazak, pl. "2 . 2 = 4" vagy hamisak pl. "az Egyesült Államok fıvárosa New York"/;

b/ egyváltozósak /ezeket tulajdonságoknak is nevezhetjük. Minden tulajdonság kiemeli a szóba jöhetı elemek halmazából azoknak

a halmazát, amelyeknek megvan az a tulajdonságuk, pl. a "páros" a természetes számok halmazából a páros számok halmazát/;

c/ kétváltozósak /ha relációról beszélünk, többnyire ilyenekre gondolunk; ezek két halmaz Descartes-féle szorzatából vagy más szóval direkt szorzatából emelik ki az eredeti két halmaz bizonyos rendezett párjainak a halmazát; lásd az ábrán az "x osztója y-nak" relációt az  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7  x

x  1, 2, 3, 4, 5, 6  direkt szorzaton; itt x az elsı, y a második halmaz egy-egy eleme helyett áll/;

d/ és így tovább, általában n-változósak, ahol n-bármely természetes szám lehet. Minden n-változós reláció n halmaz direkt szorzatának egy részhalmazával, vagyis rendezett n-esek bizonyos összeségével adható meg. /Pl. háromváltozós az a reláció, hogy a és

b összege c vagy hogy X és Y gyereke Z, négyváltozós az, hogy a, b,

c és d ebben a sorrendben aránypárt alkotnak, vagy hogy X ugyanolyan rokonságban van Y-nal, mint U V-vel stb./

Ez a rendszerezés, különösen a/ beillesztése

a sorozatba,

erıs

absztrakciós képességet kíván, és csak valamikor nagyon késın kerülhet rá

sor /az

iskolában

esetleg

egyáltalán nem/. A legfontosabb itt b/ és c/ szétválasztása; aztán késıbb az általánosítás d/ felé. Nincs szükség a direkt szorzat fogalmára

ahhoz, hogy ez a szétválasztás

megtörténjék.

38. ábra Azt kell megértenie a gyereknek, hogy a "prím" szó egy valamire

vonatkozik, a "relatív prím" azonban kettıre, ugyanígy a "reciprok", az "ellentett", a "merıleges" stb. is kettıre. Aki általában megérti, hogy vannak egy valamire vonatkozó és vannak két valami közt kapcsolatot /relá-

- 151 - - 151 -

ad a relációk tulajdonságainak, inverzének, összetételének stb. illusztrálására. Ahogyan például a kommutativitás, asszociativitás és egy mőveletnek egy másikra vonatkozó disztributivitása fontos szempontokat ad, amelyeket érdemes tudatosítani és az összeadás és szorzás mellett más mőveletek vonatkozásában is megvizsgálni /hatványozás, 1n.k.o. és 1k.k.t. képzése, két szám maximuma, minimuma, számtani közepe, a kettı közül a második stb. stb./, ugyanilyen fontos, vagy még fontosabb szempontok a relációk vizsgálatában, hogy reflexivek, szimmetrikusak, tranzitivok-e, hogy két reláció kompozíciója milyen relációt ad, hogy egy reláció egy másiknak vagy önmagának inverze-e stb. Csak röviden utalunk ezekre a kérdésekre, hiszen nem tartoznak

változatossága

jó

példaanyagot

a tanterv anyagába. Nem akartuk azonban említés nélkül hagyni, hogy olyan kérdésekrıl van szó, amelyeket - konkrét példák alapján - fiatal gyerekek is könnyen megértenek, s amelyek gondolkodásuk fejlıdése, világképük kialakulása szempontjából is igen hasznosak.

Hogy kapcsolódik a halmaz és a reláció fogalmához a függvény fogalma? Példák útján könnyebb megérteni, mint definició útján. Ábráink három kétváltozós relációt mutatnak, amelyek az elıbb már szerepelt direkt szorzatnak kiemelik egy-egy részhalmazát. A második és a harmadik relációban y az x-nek függvénye, mert x minden értékéhez /az X=  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7  halmaz minden eleméhez/ y- nak legfeljebb egy értéke tartozik, esetleg egy sem. Az elsıben ez nem teljesül. A második relációban x is függvénye y-nak, az elsıben és harmadikban nem. Az y < x - 3, y = x - 3, y =  x - 3  relációk közül tehát az adott értelmezési tartományon a második két egyváltozós függvényt is jellemez /y-t mint x függvényét és az inverzét/ a harmadik csak egyet, az elsı egyet sem.

Ha elsoroljuk azokat az elempárokat, amelyek együttvéve jellemzik pl. a harmadik relációt: (1,4), (2,3), (3,2), (4,1), (5,2), (6,3), (7,4), azt látjuk, hogy a párokban az elsı elem nem ismétlıdik; ha a második elemeket töröljük, csupa különbözı elemet kapunk.

Általában, ha azokban az n-esekben, amelyek együttvéve jellemeznek egy n-változós relációt, a k-adik elemeket törölve csupa különbözı /n-1/-eshez jutunk, akkor a reláció megad egy /n-1/- változós függvényt; a k-adik változó értékét a többi változó értékei egyértelmően jellemzik.

A tanárnak látnia kell ezeket az összefüggéseket. Ez azonban nem jelenti azt, hogy - ebben az általánosságban - tanítania is kell ı ket!

Mindenesetre fontos tudni, hogy a függvények a relációknak speciális esetei, és az jellemzi ıket - röviden szólva - hogy egyértékőek. y = ± √ x vagy y = arcsin x /ha ez nemcsak a fıértéket jelenti/ relációkat adnak meg, de nem függvényeket. Aki régi felfogás szerint többértékő függvényekrıl is beszél, annak, ha következetes akar lenni, azt kell mondania, hogy y ≤ x+3 is megad egy függvényt.

Mint láttuk, az (n-1)-változós függvények az n-változós relációknak speciális esetei. Az n-változós relációk viszont az n- változós függvényeknek speciális esetei: logikai függvények, vagyis olyan függvények, amelyeknek az értékkészlete kételemő. Jelölés és fogalmazás kérdése, hogy a két elem "igaz" és "hamis", vagy "beletartozik" és "nem tartozik bele", vagy "1" és "0", vagy "fekete kör" és "fehér kör" stb.

A fent alkalmazott "koordinátás" ábrázolási mód különösen akkor hasznos, ha két rendezett halmaz direkt szorzatán értelmezett relációról van szó. Egy másik ábrázolási módot a következı

- 153 - - 153 -

42. ábra

43. ábra

A halmazokat "krumplik", bennük az elemeket pontok szemléltetik; az elsı halmaz elemeitıl nyilak vezetnek a másik halmaznak azokhoz az elemeihez,

amelyekkel az illetı relációban vannak. A függvényt most az jellemzi, hogy az elsı halmaz minden elemébıl legfeljebb egy nyíl

44. ábra indul ki.

Ha egy halmaznak önmagával való direkt szorzatszám értelmezett relációról van szó, akkor általában célszerőbb csak egy példányban rajzolni le ezt a halmazt. Ekkor például a reflexivitás, szimmetria, tranzitivitás, több reláció kompozíciójára vonatkozó összefüggések igen jól szemléltethetık. Jelentsenek például a következı ábrán e,

f, g, h egy síkban levı egyeneseket, a folytonos nyíl párhuzamosságot, /olyan értelemben, hogy az egyenes önmagával is párhuzamos; csúnya szóval "egyállásúságnak" is nevezhetjük/, a szaggatott nyíl merılegességet. Ha tudjuk az ábrán feltüntetett

összefüggéseket és tudjuk a párhuzamosság és merılegesség tulajdonságait és ezek kapcsolatát:

45. ábra

/reflexivitás/

/szimmetria/

/tranzitivitás/

/párhuzamosság és a merılegesség kapcsolata/

46. ábra

akkor az ábrán feltüntetett adatokat így egészíthetjük ki /a kiegészítı adatokat vékonyabb vonalak jelölik/:

a reflexivitást? A szimmetriát? A tranzitivitást?

Mi

mutatja

Különbözı relációk kompozícióját? Melyik tulajdonságoknak

van

szemléltetés

a "koordinális" ábrázolási módban?

jelentése

Ez az ábrázolási mód az axiomatikus

gondolkozás

fokozatos

kialakulásának jó

eszköze. Segít abban, hogy függetlenítsük magunkat a szemlélettıl, csak annyit használ-

46. ábra

- 155 - - 155 -

Éppen csak megemlítjük itt, hogy a reláció és a függvény fogalma a geometriát - amelybıl most példánkat merítettünk - épp úgy áthatja, mint a számtan - algebrát, bár ezt a tényt gyakran elburkolja

szóhasználata. Hasznos végiggondolni, hogy milyen elnevezések mögött rejlik a geometriában reláció, függvény, olyan függvény, amelynek az inverze is függvény, és ezek milyen halmazok direkt szorzatán vannak értelmezve /Pl. a sík pontjai halmazának önmagával való direkt szorzatán vagy a sokszögek halmazának és a pozitív számok halmazának direkt szorzatán stb./.

a geometria

speciális

Ez után a kitekintés után visszakanyarodunk a függvény fogalmának iskolai

összhangban levı tárgyalásmódjához.

gyakorlatunkkal inkább

Függvény megadása táblázattal, grafikonnal, formulával

Ha egy diák már megértette, hogy a szám nem ugyanaz, mint a jele /pl. négy, 4, 2 + 2, 2.2, IV, 7.7+5.9 stb. különbözı jelek, de mind ugyanazt a számot jelentik/, az egyenes sem ugyanaz, mint amit

a papírra rajzolunk stb., akkor könnyebben megérti, hogy a függvényeket is különféle módokon adhatjuk meg; például az itt látható táblázat, grafikon és formula ugyanazt a függvényt adja meg más és más formában:

47. ábra

/A táblázat szükségképpen csak véges számú különálló - diszkrét - értékpárt tartalmazhat; a teljes egyöntetőség kedvéért ehhez alkalmazkodtunk a másik két esetben. Rendszerint nem ilyen szigorúak; a grafikont, ha kell, végtelennek gondoljuk, a táblázatot pedig nemcsak mindkét irányban meghosszabbítva, hanem besőrítve is képzeljük el, mintha az összes közbeesı értékpárokat tartalmazná./

Ez a három legfontosabb megjelenési formája az egyváltozós függvénynek. Mindegyiknek vannak különféle változatai.

A táblázatban néha függıleges elrendezésben írjuk a számokat, részletesebb táblázatok nem férnek el egy sorban vagy oszlopban, ezért alatta vagy mellette több sorban vagy oszlopban folytatjuk. Az elsı halmaz /értelmezési tartomány/ elemeit ilyenkor nem mindenütt tüntetjük fel, a fönt /vagy lent/ és oldalt található jeleket összeolvasva állapíthatjuk meg az értékeiket, mintha kétváltozós függvény értékeit olvasnánk le. x Így készülnek az un. kétbemenető táblázatok. Az iskolában használt "Négyjegyő függvénytáblázatok" legtöbb táblázata ilyen. Fontos megértetnünk a diákokkal, amikor ezt használni kezdik, hogy a füzetükben készített értéktáblázatok továbbfejlesztett

Újságokban, folyóiratokban is gyakran látnak értéktáblázatokat, példaként bemutathatunk nekik vagy behozathatunk velük ilyeneket, hogy tisztázódjék, ez is ugyanaz. Bizonyítványukat is felhozhatjuk példának /itt tantárgyakhoz vannak számok rendelve/; a különféle árjegyzékeket, katalógusokat, anyakönyveket és más hasonló példákat bizonyára már maguk is sorolják fel, ha megértették a fogalmakat.

változatával

Kétváltozós függvénytáblázatra a legismertebb példák az egymegegy és az egyszeregy tábla:

48. ábra

- 157 -

Grafikusan is sokféle módon megadhatunk függvényeket. Ide tartozik a "krumplikkal" és nyilakkal való ábrázolási mód is, amelyrıl a relációkkal kapcsolatban volt szó /154. oldal./ A matematikában többnyire mégis olyan függvényekkel találkoznak, amelyekben egy lineárisan rendezett halmaz elemeihez /pl. egész vagy valós számokhoz/ egy másik ilyen halmaz bizonyos elemeit rendelik hozzá, és ezeket koordinátarendszerben célszerő ábrázolni. A koordinátarendszerben való ábrázoláshoz ne absztraktmatematikai meggondolásokkal próbáljuk elvezetni ıket. Sokkal természetesebb az az út, amely szemléltetı diagrammokból indul ki. Lerajzoljuk egymás mellé egy gyerek arányosan kicsinyített alakját 0, 1, 2, 3, 4 stb. éves korában, egyenlı távolságokban; azután szakaszokkal pótoljuk az emberalakokat; a szakaszok felsı végpontjait összekötjük, mert így jobban feltőnik, hol volt a növekedés gyorsabb, hol lassabb; a függıleges szakaszokat el is hagyhatjuk; elképzeljük, hogy közben hogyan nıtt a gyerek, és ennek megfelelıen a törött vonalat folytonos görbével helyettesítjük. /Lásd az ábrákat!/ A szemléltetı diagrammtól a függvénygörbéig vezetı most vázolt út különféle stádiumaival sokszor találkozik a diák újságokban, folyóiratokban, iskolája folyosóin, földrajzkönyvében stb. A matematikatanárra hárul azonban a fel-

49. ábra

50. ábra

51. ábra

52. ábra

adat, hogy a diákok közremőködésével sorba rakja, egységbe foglalja, kiegészítse ezeket az ismereteket. A grafikus ábrázoláshoz néha szükség van milliméterpapírra, legtöbbször megelégedhetünk azonban a kockás /négyzethálós/ papírral. "Mentbıl nagyobb mértékben aknázzuk ki a kockáspapír nyújtotta lehetıségeket" - írja Bragyisz. "Mutassuk meg rajta, hogyan rajzoljuk meg a függvény képét olyan pontossággal, amennyire ez középiskolában szükséges". Megnehezíti a tanár feladatát, ha az ábrázoláshoz kockás táblát nem használhat. Tévedés azt hinni, hogy ez valami alsó tagozatos taneszköz! Legalább 1-1 1/2 m szélességő, szokásos magasságú kockás táblafelületre minden olyan osztályban szükség van, ahol matematikatanítás folyik. A tanár nem mindig él vele, függvények grafikonjának felvázolásakor is gyakran elınyösebben tudja használni a "sima" táblát. Gyakran azonban mégis kockás táblára van szüksége, és sok felesleges munkát és magyarázkodást takarít meg általa a függvények tanításakor is, a matematika más fejezeteiben is.

A formula a legabsztraktabb és legtömörebb megadási módja a függvénynek. Ehhez is jutnak el legkésıbb a diákok. Ennek is több változata van; például a 2y - 3x = 0 egyenlet implicit alakban

- 159 - - 159 -

Mint a következıkben látni fogjuk, táblázat és grafikon segítségével sokféle ismeretre szert tehetnek a diákok a függvényekkel

a formulával való kifejezésmóddal megismerkednének. Ennek sok elınye van; nemcsak konkrétabb és szemléletesebb, hanem általánosabb függvényfogalmat is sugall a táblázat és a grafikon, mint a formula. Az alkalmazásokban elıforduló "tisztességes" függvényeket persze az alkalmazások megkívánta

kapcsolatban,

mielıtt

pl. polinomok segítségével; ilyen értelemben a gyakorlat szempontjából a formulához kapcsolt /un. Euler-féle/ függvény-fogalom gyakorlati szempontból nem lényegesen szőkebb az általánosnál. Mégis a formulákkal való megadás igen sok esetlegességet rejt magában. Vegyük például az 3 sin 2 x - 1 függvényt. Ezt a szinusz-függvénybıl és még három egyváltozós függvénybıl raktuk össze: négyzetreemelés, 3-mal szorzás és 1 kivonása; az utóbbiak kétváltozós függvényekbıl,

pontossággal,

approximálni

lehet

a hatványozásból, szorzásból és kivonásból származnak egy változójuknak

helyettesítése útján. Ilyen önkényesen kiválasztott, speciális függvényekbıl konstruálunk meg minden formulát, ezeknek a kiválasztása is, a jelölési és sorrendi megállapodások is egy sereg esetleges, bonyolult, nem a lényeget érintı ismeretet hordoznak.

konstanssal

való

Út a formula felé: a törvényszerőség megfigyelése,

megfogalmazása

Bármilyen hasznos is, ha eleinte a táblázattal és grafikonnal való megadás szerepel a középpontban, a formuláva1 való megadás felé is ki kell lassanként építeni az utat, hiszen ez képesít majd arra, hogy végtelen halmazok közötti függvényeket is megadhassunk teljes egészükben,

a törvényszerőségnek szavakban való megfogalmazásán át vezet. Minden formulát szavakban is meg lehet fogalmazni /pl. "x szinuszát négyzetreemelem és a kapott szám 3-szorosából 1-et ki-

teljes

pontossággal.

A formulához az út

- 160 - - 160 -

Hogyan tehetjük meg az elsı lépéseket a függvénynek szavakban /és késıbb ezt tömörítve, formulával/ való megadása felé? Például úgy, hogy a következı játékot kezdjük játszani a gyerekekkel: valaki kigondol egy módot /nevezhetjük szabálynak, törvénynek/, amely szerint neki mondott számokból más számokat gyárt. A többiek feladata háromféle: egyrészt "bemenı" adatokat mondani neki, amelyeket ı átalakít "kijövı" adatokká, másrészt megpróbálni a szabály kigondolója helyett válaszolni, ha úgy sejti, hogy már kitalálta a törvényszerőséget; végül - ez a legfontosabb és legnehezebb, durva hiba volna azonosítani az elıbbivel -: megfogalmazni a gondolt képzési módot. A negyedik stádium volna a formulába öntés, idıvel erre is rá lehet térni. Szigorúan matematikai értelemben a feladat persze határozatlan, nemcsak egy, hanem akárhány számpár esetén is végtelen sokféle olyan képzési mód adható meg, amely mindegyik számpár elsı számából a másodikhoz vezet. De itt nem probléma általános, matematikai megoldás a cél, hanem csak annak kitalálása, amit a gyerek gondolt. Legyen például G

a gondoló, K, L, M a kitaláló /és bemenı adatokat mondó/ gyerekek jele. Akkor így folyhat a játék:

K: 3.

G: 27. L: 9-cel szorzod.

G: Nem. M: 24-et hozzáadsz.

G: Nem. /Ha a hatványozással is foglalkoztak már, akkor esetleg azt is

mondják: harmadik hatványra emeled. De nincs sok értelme a találgatások számát szaporítani, amíg kevés rá az alap. Ha olyan szabályt vezetünk be: jó pontot kap a kitaláló, rossz pontot a hibás találgató, akkor elérhetjük, hogy megvárják legalább a második feleletet, mielıtt találgatni kezdenek./

M: 5.

G: 25.

0: Nem ér, megváltoztattad a szabályt. Az elıbb 9-cel szoroztál, most 5-tel.

G: Egyszer sem szoroztam. Most is ugyanaz volt a szabály. Mondjatok egy másik számot.

P. 7. R: Azt hiszem, most ı is 7-et fog mondani. Az elıbb harmadik

hatványra emelte, aztán másodikra, most elsıre.

G: Nem, 23. K: Tudom. 10-re 20-at mondanál, igaz?

G: Igaz. S: Akkor én is tudom. Az a szabály, hogy 30-ból kivonja azt,

amit mondunk. Bekapcsolódhat a munkába mindenki, az is, aki éppen nem szól:

táblázatba foglalhatják a bemenı és kijövı értékeket, grafikont is készíthetnek róla, aszerint, hogy milyen gyors a játék tempója. Ha nehezebb, több mőveletbıl összetett szabályoknál tartanak is, a grafikus ábrázolás révén a gyerekek gyakran ki tudják találni a függvényértékeket, még ha a képzési szabályt nem is tudják megfogalmazni; útbaigazítást ad nekik a rajz szabályossága. De ha ki is talált valaki egy olyan szabályt, amely ugyanazokat az értékeket produkálja, mint a gondoló szabálya, lehet a kettı különbözı. Például lehet, hogy valaki ezt a szabályt gondolja: "A kétszereséhez 6-ot adok", egy másik pedig így adja meg a képzési szabályt: "A 3- mal nagyobb számot 2-vel szorzom". A gyerekek csodálkozva fedezik fel, hogy akármilyen számokat próbálnak is ki, a két szabály mindig ugyanarra az eredményre vezet. Jó alkalom ez a szimbolikus jelölés bevezetésére

való játékos megismerkedésre. A felfedezett törvényszerőségeket írják össze füzetüknek egy erre kijelölt részére, pl.

és

egyszerőbb

azonosságokkal

. 2 + 6 mindig ugyanennyi, mint / + 3/. 2 . 3 + 12 ”

vagy akár

10 - /x - 1/ ≡ 10 - x + 1

- 162 - - 162 -

Grafikonolvasás

A táblázattal és grafikonnal megadott függvényeknek akkor is a tanítás középpontjában kell maradniuk, ha közben elkezdjük az általános szabály megfigyelésének, a formulába foglalásnak az elıkészítését. Egyik legfıbb teendınk elérni, hogy diákok a táblázatot alkotó számpárok alapján megtalálják a sík megfelelı pontjait, le tudják olvasni a sík pontjainak koordinátáit, és ha egy grafikon van elıttük, meg tudják találni az adott abszcisszákhoz tartozó függvényértékeket, vagy azokat az abszcisszákat, ahol a függvény adott értékeket vesz fel stb. Mindezeknek készséggé kell válni. Ezzel azonban nem elégedhetünk meg. Ha valaki egy grafikon alapján le tudja olvasni a változó adott értékeihez tartozó függvényértékeket, ezt még nem nevezhetjük grafikonolvasásnak, legfeljebb sillabizálásnak. Grafikonolvasásról akkor beszélhetünk,

ha valaki egészben látja a grafikont /mint a szövegben a szavakat, a kottában az ütemeket, esetleg még nagyobb egységeket/, és ha az értelmét is látja már annak, amit olvas: a görbe alaki tulajdonságai alapján maga elıtt látja annak a mozgásnak, változásnak, vagy egyéb összefüggésnek a jellegzetességeit, amelyet a grafikon jellemez. Látja például, hogy itt emelkedés van, ott csökkenés, amott nincs változás; itt lassabb a változás, ott gyorsabb; ezen a szakaszon egyre lassul, ezen a ponton lassulni kezd; ilyen és ilyen értékeket ezen a szakaszon ér el; stb. Az ilyen értelemben vett grafikonolvasás készséggé fejlesztése - beleértve tehát a grafikon olvasásába a grafikon értelmezését is - elméleti és gyakorlati szempontból egyaránt igen fontos, alapvetı feladata az iskolának, kezdve már az általános iskolánál. Mindenesetre fontosabb feladata, mint néhány olyan készség elsajátítása, amelyeknek régebben nagy jelentıséget

egy felesleges négyzetreemelési és egy elavult négyzetgyökvonási algoritmus tanítása, az interpoláció mechanizálása stb./. Le kell küldenünk azt

tulajdonítottak

/például

a tévhiedelmet, hogy a függvény a formulánál kezdıdik, a matematikához csak annak van

- 163 - - 163 -

exponenciális és trigonometrikus függvényeknek, ezek inverzeinek, esetleg még néhány polinommal vagy polinomhányadossal megadható függvénynek, például y = 1/x-nek a tulajdonságaival kell foglalkoznunk. Kétségtelen, hogy ezek fontos függvények és fontos valóságos összefüggésekbıl absztrahálhatók. Fontos megismertetni a diákokat a belılük összetett, belılük egyszerő transzformációk után elıállítható függvényekkel, hogy késıbb formulát is megtanuljanak olvasni, ne csak grafikont. Nagy lehetıséget szalasztanánk azonban el és feleslegesen megnehezítenénk a dolgunkat, ha mindent csak formulával megadott függvényeken akarnánk megmutatni, amit a függvényekrıl tanítani tudunk.

csak

a lineáris,

másodfokú,

Ha egy táblázatot szóról szóra fordítunk le grafikonnnyelvre, különálló pontokat kapunk. Ez azonban gyakran - például ha a konkrét példában, amelybıl kiindulunk, az idı a változó - nem elégít ki minket, folytonos függvényt szeretnénk ábrázolni. Bıvebb információ híján vagy egyenes szakaszokkal törött vonallá, vagy törésmentes sima görbévé egészítjük ki a pontokból álló grafikont. Eleinte ajánlatos az elıbbit tenni, tehát /formula nélkül is/ tanulmányozni

a szakaszonként lineáris függvényeket.

Szakaszonként lineáris függvények /táblázattal,

grafikonnal/

Az egyenletes változás, mozgás grafikus képe egyenes - ez az egyik legelsı és az egyik legfontosabb felfedezés, amelyet a tanulók

a kockáspapíron való ábrázolás közben tesznek. Nagy hiba volna várni vele addig, amíg a hasonlósági tételek segítségével be is tudjuk bizonyítani. Általában: egy-egy ténnyel való megismerkedést ahhoz kötni, hogy azt a tényt mindjárt bizonyítani is tudjuk ahhoz a felfogáshoz való ragaszkodást jelenti, amely a matematikában csak a kész deduktív rendszert hajlandó látni, a hozzá vezetı utat nem.

Azt is hamar felismerik a tanulók, hogy a grafikon felfelé haladó szakaszai növekedést fejeznek ki, a lefelé haladók csökkenést,

változatlanságot jelentenek. Mozgási feladatok útgrafikonjai esetében "növekedés" egy bizonyos

a vízszintes

szakaszok

pedig

- 164 - - 164 -

"csökkenés" ellenkezı irányú mozgást jelent; röviden elırehaladást, hátrafelé

haladást

mondhatunk. Rajzoljunk olyan ábrát is, amelyen vannak függıleges vagy

53. ábra visszafelé haladó

szakaszok:Valaki ilyen grafikont készített a hımérsékletváltozásról. Jó-e a grafikonja? Meg fogják érteni, hogy ilyen grafikon nem lehetséges, mert pl. egy és ugyanabban az idıben ugyanazon a helyen

nem lehet 3 o is és 5 is a hımérséklet. Irányítsuk ezek után a tanulók figyelmét arra, hogy a gyorsabb

változást meredekebb, a lassúbbat kevésbé meredek szakaszok fejezik ki. Ne siessünk ezzel az általános megfogalmazással! Elıbb alakuljon ki a fogalom, aztán rögzıdjék szavakba, lehetıleg minden tanuló esetében.

Mindezeknek az ábrázolási feladatoknak a megoldásában eleinte meg kell beszélnünk a tanulókkal, hogy milyen egységet érdemes választani a két tengelyen, mert ha szabadjára hagyjuk ıket, a legképtelenebb beosztásokat produkálják. Idıvel önállósulnak ezen a téren; a függvényábrázolás készségének ez igen lényeges eleme. Késıbb egyre gyakrabban elıfordul, hogy mérethő rajz helyett csak a szemléletnek támaszt adó vázlatot készítenek. De mindig újra adódnak olyan problémák, amelyeket numerikusan, méretesen, a füzet és a tábla négyzethálós beosztásának tekintetbevételével oldanak meg.

A legjellegzetesebb ezek közül a meredekség problémája. Ha már tudják, hogy a gyorsabb változásnak /nagyobb sebességnek/ meredekebb szakaszok felelnek meg, akkor hajlandók azt hinni, hogy kétszer /általában a-szor/ olyan gyors változásnak kétszeres /a-szoros/ meredekség felel meg. Ez persze nem igaz akkor, ha a szöget fokokban, vagy ezzel arányos mennyiségekben mérjük, és érdemes rávezetni ıket alkalmas feladatokon át /nem megmutatni, még kevésbé megmondani nekik!/, hogy ez az elképzelésük helytelen. Bizonyos értelemben mégis igaz az, hogy kétszer olyan gyors változást kétszeres meredekségő szakaszok ábrázolnak; ti. akkor, ha a kétszeres meredekséget úgy értjük: ugyanakkora "víz-

- 165 - - 165 -

a tangensé /pl. útgrafikonnál a sebesség/. Ezért jobb egyelıre a meredekségnek ennél a jellemzıjénél, a tangensnél maradni.

Feladatmegoldás grafikonok segítségével

illusztrálására itt következik egy általános iskolai 7. osztályban lefolytatott kísérletrıl szóló beszámoló néhány részlete.x A beszámolóban leírt témakör feldolgozása öt-hat héten át folyt heti 3 órában.

A függvényábrázolásról

mondottak

"Elıször egy személyautó és egy teherautó útjáról készítettünk grafikont.

A személyautó 20, a teherautó 10 métert tesz meg másodpercenként. Hány másodperc múlva találkoznak, ha a teherautónak

40 méter elınye van, és egymás után haladnak? Képzeljük el, hogy helikopterrıl fényképezzük ıket, és hogy a

fényképen az úttest

látszik. Készítsünk felvételeket az elindulás után másodpercenként. Helyezzük a fényképeket egymás mellé. /Piros személyautót, kék teherautót rajzoltunk./ A tanulók leolvasták, hogy a személyautó 4 másodperc alatt éri utol a teherautót. Második ábránkon egy másodperc alatt 4 felvételt készítettünk. Itt már nem volt hely az autók vázlatos rajzának az elkészítésére sem, helyette pontokat rajzoltunk. Elképzeltük, hogy ha elég sok felvételt készítünk, akkor az egymás mellé ragasztott fényképeken a mozgó testek pontszerő képei

egyenes vonalnak

________________ x A Matematika Tanítása, 1960. évi 4. és 5• szám.

- 166 - - 166 -

kapcsolatban nemcsak a találkozás idı- pontját határozták meg a tanulók, hanem azt is leolvasták, hogy 1, 2, 3, . . . stb. másodperc

55. ábra alatt hány métert tett meg az egyik, illetve a másik mozgó test.

54. ábra

Másrészt azt is, hogy mennyi idı alatt tettek meg 10, 20, 30, . . . stb. métert.

Egy másik feladatban az egyik autó defektet kapott. Ennek ábrázolásakor értették meg, hogy az idı-tengellyel párhuzamos szakasz helybennmaradást jelent.

Miután tapasztalataik alapján kialakult bennük az a gondo1at, hogy az egyenletes mozgás grafikonja egyenes, a további feladatokban csak két idıpillanatban ábrázolták a mozgó testeket, és a két pont összekötésével rajzolták meg a grafikont. A tanulók különbözı pontosságú ábrákat készítettek, és ezért egy és ugyanannak a feladatnak a megoldására különbözı számértékeket kaptak. El kellett dönteniük, hogy melyik a helyes megoldás. Ezt a következı feladaton figyelték meg:

Jóska versenyt fut az öccsével. Ad neki 20 méter elınyt, mert Jóska sebessége 4,5 m/mp, az öccséé csak 3,5 m/mp. Mikor éri utol Jóska az öccsét?

A megoldás okoskodással: Jóska másodpercenként 1 métert hoz be

a köztük lévı távolságból. A 20 métert éppen 20 másodperc alatt hozza be. Ennyi idı múlva találkoznak. A következı feladatokban hasonló okoskodással ellenırizték a feladatoknak a grafikonról leolvasható megoldásának helyességét.

Egy más típusú feladatcsoportban a mozgó testek egymással szemben haladtak.

120 méteres szakasz két munkacsoport kövez ki, a két végétıl a közepe felé haladva. Az egyik csoport 11 m-t, a másik 13 m-t kövez ki naponta. Hány nap alatt végeznek az egész útszakasszal? A grafikonok megrajzolása már könnyen ment. Az új ebben

- 167 - - 167 -

1 nap alatt együtt 11 + 13 métert köveznek ki. A 120 métert annyi nap alatt kövezik ki, ahányszor a 12-ban megvan a 11 + 13. Felírtuk kifejezéssel is:

Arra a kérdésre is választ tudtak adni okoskodással, hogy a munka megkezdése után hány nap múlva lesznek egymástól például 84 méter távolságra.

A kérdést így fogalmazták meg: Hány nap alatt készültek el a 120 - 84 = 36 méterrel? Válasz:

56. ábra

36 = 1,5 nap alatt

A feladatok következı csoportjában az egyik mozgó testnek idıelınye volt.

Egy állomásról egymás után két óra különbséggel két vonat indul el. Az elsı óránként 36, a második óránként 48 km-t tett meg. Hány óra múlva éri utol az elsı vonatot a második?

Egy tanuló felismerte, hogy akkor

lenne

a legcélszerőbb

felvételt készíteni róluk, amikor a második el indult. Ekkor az elsı már722 km utat tett meg, így a feladat megoldása visszavezethetı az elıbbi útelınyös feladatra: Mennyi idı alatt hozza be a késıbb induló a 72 km távolságelınyt?

57. ábra

72 = 6 óra alatt.

48-36

Arra a kérdésre, hogy mikor találkoznak, kétféle módon felelhettek: /1/ A második elindulása után 6 óra múlva, vagy /2/ Az elsı elindulása után 8 óra múlva. Kétféle módon tudtak feleletet adni arra a kérdésre is, hogy a találkozásig hány km utat tettek meg:

6 . 48 = 8 . 36 = 288 km.

A tanulók kezdtek rájönni arra, hogy az ilyenféle feladatok okoskodással való megoldásához nem szükséges a grafikonok nagyon gondos megrajzolása, elegendı vázlatos rajz is, amely lehetıleg arányosan szemlélteti az adatok közti összefüggéseket. Az alábbi feladatot már így dolgoztuk fel:

A városból B városba félórás idıközzel két repülıgép indult útnak. Az elsı gép óránként 360 km-t tett meg, a másik gép 540 km-t. Mikor az elsı gép megérkezett B városba, akkor a második gép még 100 km-re volt B-tıl. Milyen messze van a két város egymástól?

Elıször arra kellett rájönniük, hogy a második gép elindulásának pillanatáig az elsı már 180 km-t tett meg. Az eddig

megoldott feladatok

emlékei

merülhettek fel abban a tanulóban, aki így okoskodott: A nagyobb sebességő gép óránként 540 - 360 = 180 km-t hoz be a hátrányból. Tehát

1 óra múlva találkoznának, és így 1 óránál rövidebb idı alatt csökken a távolságuk 180 km-rıl 100 km-re. Ez után a becslés után megbeszéltük, hogy mennyi idı alatt csökkenhet a két gép távolsága 80 km-rel.

57. ábra Annyi óra alatt, ahányszor a 80-ban megvan az 1 óra alatti

távolságcsökkenés, a 180 km : = óra alatt. Az AB

távolságot az elsı gép + = óra alatt teszi meg, és így 2

az AB távolság: 360 . = 20.17 = 340 km. Ezt az eredményt a

következı módon ellenırizték: AB = 540 . + 100 = 60.4 + 100 = 9 340 km.

A grafikonon megmutatták az 540 . km-t ábrázoló szakaszt, a 9

nagyobb sebességő gép óra alatt megtett útját.

Ettıl kezdve már nem is használtuk a négyzethálós táblát, hanem helyette az elıbb ismertetett módon csak vázlatos rajzot készítettünk,

Eddig adott szöveges feladatokhoz készítettük grafikonokat. Az egyik órán ennek a fordítottját gyakoroltuk: adott grafikonokhoz szöveges feladatokat készítettünk konkrét adatok nélkül.

59. ábra

Például az 1/ ábrához ilyesféle szöveget mondtak: Két mozgó test indul el ugyanarról a helyrıl, egyszerre, egy irányban. Ha a sebességüket ismerjük, akkor már azt is tudjuk, hogy óránként mennyit távolodtak egymástól, és így ki tudjuk számítani például azt, hogy hány óra alatt nı a távolságuk adott nagyságúra. /Például:

ha a sebességkülönbségük 15 km óránként, akkor 100 km-re 100/15 óra alatt növekszik a távolságuk./

megoldására is felhasználtuk a grafikus módszerét.

Ezután

munkára

vonatkozó

feladatok

Több egyszerő feladat megoldása után a Laricsev-példatár 1264/3-as feladatát tárgyaltuk:

Egy favágóbrigádnak a terv szerint naponta 50 m 3 tőzifát kellett termelnie; a brigád azonban naponta 56 m 3 tőzifát ter-

- 170 - - 170 -

tőzifát kellett volna termelnie a brigádnak?

A szöveg alapján a következı lépésekben készítettük el a grafikont osztályfoglalkoztatással /az 1-9. lépést az ábrán követni lehet/:

60. ábra

1. Az idıtengelyen megjelöltünk egy pontot, ez a határidıt jelentette.

2. A másik tengelyen is megjelöltünk egy pontot, ez jelentette

a terv szerint kitermelendı tőzifa mennyiségét.

3. Megrajzoltuk a munka tervezett lefolyásnak grafikonját.

4. Megjelöltük az idı-tengelyen a határidınél három nappal korábbi idıpontot.

5. Megrajzoltuk a valóságosan elvégzett munka grafikonját.

6. Feltüntettük a túlteljesítést. Ilyen grafikonnal még nem találkoztak a tanulók. Az eddig ismert

grafikonokra való visszavezetés a következı ötlettel sikerült: elképzeltük, hogy a hátralévı három napon is tovább dolgoznak.

7. Szaggatott vonallal megrajzoltuk a munka további menetének grafikonját.

8. Odaírtuk az utolsó három nap termelését: 3 . 56 /m 3 /.

9. Így a tervet 3 . 56 + 120 = 288 m 3 -rel teljesítenék túl. Ekkor már ráismertek a hasonló típusú mozgási feladat megoldására és

tovább folytatták a gondolatmenetet:

10. Mivel naponta 6 m 3 -rel termeltek többet a tervezettnél, ezért a 288 m 3 -es túlteljesítést 288 : 6 = 48 nap alatt érték volna el. Ennyi idı alatt kellett volna elvégezniük a munkát.

11. A terv szerint naponta 50 m 3 tőzifát kellett termelniük,

48 nap alatt tehát 48.50 = 2400 m 3 -t.

A módszert felhasználhatjuk egyenletrendszerre vezetı szöveges feladatok megoldására is.

A és B távolsága 17 km. A-ból B felé egy gyalogos, B-bıl A felé egy kerékpáros indul el egyidıben. Egy félóra múlva már csak 5 km-nyire vannak egymástól. Ekkor a gyalogos 10 perces pihenıt tart.

5 perccel az után, hogy újra útnak indult, találkozik a kerékpárossal. Mekkora a sebességük?

30 perc alatt ketten összesen 12 km-t tesznek meg, 5 perc alatt 2 km-t. 10 percig - amíg a gyalogos pihent - csak a kerékpáros haladt, ez alatt 5 - 2 = 3 km-t tett meg. A kerékpáros sebessége

már könnyen kiszámítható: 60 perc alatt 6 . 3 =

ebbıl

18 km-t tett meg. Az elsı 30 percben összesen megtett 12 km útból 9 km jut

a kerékpárosra, a gyalogosra 3 km. A gyalogos sebessége tehát 6 km/óra".

61. ábra

XXX

Nagy eredmény, hogy a tanulók megtanulnak grafikonban gondolkozni és grafikonok segítségével problémákat megoldani, még ha csak a grafikonnal leírható jelenségeknek olyan szők kis szektorában is, mint az egyenesvonalú egyenletes mozgások. Még nagyobb eredmény,

ha a látókörük kitágul és másféle jelenségeket is le tudnak fordítani a grafikonok nyelvére és viszont. A beszámolóból láthatjuk az erre vonatkozó törekvés nyomait is /gondoljunk a fatermelési feladatra/. Sok lehetıség van a látókör további kibıvítésére. Egy olyan kis változtatás, hogy egyenes grafikonnal, már meglepheti az egyenes pályában való gondolkozáshoz rögzıdött tanulókat. Elıször talán valami polárkoordinátarendszer-félével

- 172 - - 172 -

a mozgó test, akkor egyúttal az út elején is van. Keressünk még példákat idıtıl függı egyéb változásokra /nem úton mozgásra/ Próbáljuk átvinni a módszert olyan esetekre is, amikor nem az idı a változó!

Egyenletmegoldás grafikus ábrázolással egybekötve

A következı óraleírás többek között azt illusztrálja, hogyan lehet hasznosítani

egyenletmegoldással kapcsolatban azt az elıkészítı munkát, amire az elızı szakaszban láttunk példát. Az óra egy általános iskolai 8. osztályban folyt le, de iskoláink többségét nézve nem jellemzı erre az évfolyamra; inkább lehetne 2. gimnáziumi órának gondolni.

XXX

Egy tanuló cédulán feladatot kap, a táblánál elkezd dolgozni a megoldásán.

A többi kinyitja a füzetét, a tanár kérdéseket diktál, ezekre írásban felelnek. Ilyen kérdések hangzanak el /a tanulók mindjárt ilyen elrendezésben írják, de a harmadik oszlopba a felelet kerül/:

4 óra,

20 km,

sebesség?

5 óra,

a km,

sebesség?

a óra,

t km,

sebesség?

1 óra,

3 km,

1 perc alatt hány km?

1 perc alatt hány m?

Aki leírta egy-egy kérdésre a feleletet, hátradıléssel jelzi, hogy készen van. A végén megbeszélik a helyes feleleteket. Ki kapta ezt az eredményt? Ki jutott más eredményre? Az utolsó két kérdésre többen 3/60 km-rel és 3000/60 km-rel feleltek. Tisztázzák, hogy ezek helyes feleletek, de 1/20 km és 50 m egyszerőbb válasz a kérdésekre.

A tanár a felelı felé fordul. Az még dolgozik, "valamit elhibáztam", mondja, töröl és újrakezdi. Addig a tanár még ad egy elıre elkészített tartalékfeladatot az osztálynak:

- Két test egyszerre indul, egyenletes sebességgel. Az egyik a percig halad, a másik 3 perccel tovább. Mindkettı u utat tesz meg. Írjátok fe1 a sebességüket!

Mire megbeszélik, hogy a helyes válaszok

m/perc

és

m/perc

a a+3

addigra a felelı is elkészül. Az egész osztály ırá figyel, míg elmondja az elsı feladatát:

= Ha az autó 50 km/óra átlagsebességgel megy A városból B városba, akkor 1 órával a kitőzött idıpont elıtt ér oda. De csak 35 km/óra átlagsebességgel tud haladni, és így 2 órával a kitőzött idıpont után ér oda. Milyen messze van A-tól B?

A táblán ez a rajz látható:

A tanár az osztályhoz fordulva kérdezget:

Melyik szakasz mutatja az AB távolságot? az eltelt idıt, ha

50 km/óra a sebesség? stb. Megbeszélik, hogy a rajz nem mérethő, csak vázlat.

A felelı a rajz alapján elmagyarázza az okoskodását: Ha

35 km/óra sebességgel halad, akkor 1 órával a kitőzött idıpont elıtt még 3 órai útja

62. ábra

van hátra, ez 105 km. Ha 50 km/óra sebességgel haladna, éppen ekkor érne be. 105 km-rel marad le

azért, mert 15 km-rel kevesebbet tesz meg óránként. Ekkora elmaradáshoz 105: 15 = 7 óra kellett. 7 óra alatt 5Ó km/óra sebességgel 350 km-t tett volna meg, ekkora a távolság.

/Ez csak a magyarázat lényege./ Másik példája megoldásból ez látható a táblán:

2x2 + 8x + 6 = 0 2x/x+1/ + 6 /x+1/ = 0 /2x+6/ /x+1/ = 0

= /Szóban folytatja/ Ha egy szorzat értéke 0, akkor legalább egyik tényezıje is 0.

- Elég, folytassa az osztály! Jelentkeznek, megmondják a gyököket. = Felírja: /3a + 3//a + 2/ = 0 Az elıbb nem elegen jelentkeztek, a tanár a többiek közül

szólongat. Megbeszélik a megoldást.

A 45 percbıl eddig 19 perc telt el. - Távirati stílusban diktálok egy feladatot. Ki lesz a

táviratfelvevı? Valaki jelentkezik, de egyelıre ı is jegyez a többivel együtt:

7 óra 30. A-ból B-be teherautó

8 óra. A-ból B-be motorkerékpár. Sebessége 6 km/órával nagyobb.

11-kor utoléri. Sebességük?

A "táviratfelvevı" elmondja részletesen a feladatot. - Mindenki így értette? Egy valaki. már rajzol a táblára: Az

a/2

hosszúságú

szakaszra mutat: ez a távolság 3 óra alatt fogy el.

Ellenırzı

kérdés

gyengébbekhez: - Miért a/2 az a távolság?

/Megmondják./ -

Mit

érdemes

ebbıl

feljegyezni?

63. ábra Táblázatot készítenek:

km teherautó

km/ó

óra

3,5a motorkerékpár

A táblára a tanár ír, a gyermekek sőrőn váltogatva diktálnak. Amikor a zárójelet nem diktálják, nem is írja, de mosolyog, a gyerekek szólnak, bólint, beírja.

Nem tesz fel kérdést, vár. A gyerekek maguk mondják: ugyanakkora utat tettek meg, azért az utolsó oszlop alapján

3,5a = /a + 6/3

/A tanár ír a táblára a gyerekek a füzetbe./ Megint vár, jelentkeznek, szólítja hol az egyiket, hol a

másikat, azok stafétaszerően folytatva mondják: = A jobboldalon összeg szorzása van. Összeget tagonként

szorzunk. 3a + 18 lesz. Az egyenlet:

3,5 a = 3a + 18

/Tanár a táblára írja./ = Az összeg egyik tagja az összegnek és a másik tagnak a

különbsége. /Elıször így mondják: az összeg ismeretlen tagja az összegnek és az ismert tagnak a különbsége. Tisztázódik hogy itt éppen fordítva érdemes ezt alkalmazni, és nem is fontos melyiket ismerjük, melyiket nem./ Az új egyenlet /írják, tanár a táblára ık a füzetbe/:

0,5 a = 18

18 a= = 36 0,5

- Befejeztük a feladat megoldását? = Nem. Be kell helyettesíteni, meggyızıdni, hogy helyes-e. - De mi helyes-e? Mit jelölünk a-val? /Elmondják./ Mi volt a

kérdés? /Megmondják, ellenırzik a megoldást a szöveg alapján./ Megint távirati stílusban diktál.

6 óra: A-ból B-be lovaskocsin.

8 óra: B-ból A-ba kerékpáros, sebessége 5 km/órával nagyobb.

12 óra: találkoznak. AB = 145 km Sebességük?

Szólít egy gyereket: Hogy indulnál? = Grafikonnal. Aztán majd meglátjuk. /A gyerek a következı

rajzot készíti:/

- Jó

a grafikon?

/Az

osztálytól kérdezi./ Mit jelent ez

a vízszintes szakasz? Hát

találkozás után mi lett velük? Eltőntek? Köddé váltak? /Nevetnek, vitatkoznak, eldöntik, hogy lehet kiegészíteni

ha

a rajzot,

folytatják az útjukat./ Az óra

további részében

elkészítik itt is a táblázatot:

64. ábra

sebesség menetidı út

km kocsi

km/óra

óra

a 6 6a kerékpáros

a+5

4 /a + 5/4,

felírják az egyenletet:

6a + /a+5/4 = 145,

a megoldás azonban már házi feladatnak marad. Szorgalmi feladatot is

ad: már többen gondolkoztak azon, mi a legnagyobb szám, amit három

2-essel fel lehet írni /2 33 /, három 3-assal is megoldották /3 /, most nézzék meg három 4-essel!

Egyenes és fordított arányosság, lineáris függvény

/formulával is/

Szó volt már a függvények formulaközéppontú tanításának hátrányairól és veszélyeirıl.

függvényekkel kapcsolatban elıbb-utóbb elkerülhetetlenné lesz; nincs is semmi szükség az elkerülésére. Azok az esetek, amelyekben erre a leghamarabb sor kerül, általában az egyenes arányosság, a fordított arányosság és – az elıbbi általánosításaként – a lineáris függvény.

A formulák

bevezetése azonban bizonyos

A lineáris függvény maga a polinomoknak, a fordított arányosság a racionális tört függvényeknek speciális esete.

Ez a besorolás különös lehet annak, aki megszokta, hogy az egyenes és fordított arányosságról mennyiségekkel kapcsolatban beszéljen, a polinomot pedig formálisan értse. De az iskolában a polinomokkal mint függvényekkel foglalkozunk, amelyeket konkrét mennyiségek közötti függvénykapcsolatokból absztrahálunk egyszerőbb esetekben. A polinomok legtöbbjénél a konkrét tapasztalati háttér már hiányzik, ahogyan a 3756453-ról sincs olyan értelemben konkrét tapasztalatunk, mint a 3-ról. Mégis egyforma joggal tekintjük mindkettıt természetes számnak.

Az egyenes és a fordított arányosság jellemzıit leolvashatjuk

a következı táblázatokról, formulákról és grafikonokról: Egyenes arányosság

65. ábra

Az egymásnak megfelelı értékpárok hányadosa állandó. Például

vagy 0,5 = 1 = 1,5 = . . 0,5

Fordított arányosság

66. ábra

Az egymásnak megfelelı értékpárok szorzata állandó. Például

/Akár az értelmezési tartomány és az értékkészlet, akár a függvények értelmezésében szereplı állandó hányados, illetve szorzat negatív is lehet, bár az alkalmazások többségében pozitívok./

Meglepı, hogy ezzel a két egyszerő függvénnyel mennyi baj van az iskolában. Ebben bizonyos rossz tanítási hagyományok is elmarasztalhatók. Felesleges például a fordított arányosság tanításában is hányadosokra mondani ki összefüggést szorzatok helyett „a változó bármely két értékének hányadosa egyenlı a megfelelı,

függvényértékek hányadosával”. /Maga a fordított arányosság elnevezés is innen ered./

de fordított

sorrendben

vett

Ma már ez a tanítási megszokás kiveszıben van, bár bizonyos poziciókat még mindig tart, tankönyvekben is látjuk nyomát. Az állandó szorzat hangsúlyozása azért is fontos, mert fizikai mennyiségek esetében ennek általában egyszerő fizikai jelentése van: pl. adott távolság esetén a megtételéhez állandó sebesség mellett szükséges idı és ez a sebesség fordítottan arányosak, s a szorzat éppen az a bizonyos adott távolság. Egyenes arányosság esetében is azért jobb a függvényértéknek és a változó megfelelı értékének a hányadosát nézni, - vagyis a táblázat különbözı soraiban levı mennyiségek hányadosát -, mert ennek van egyszerő fizikai jelentése. Ha a függvényértéket osztjuk mindig a változó megfelelı értékével /mint fent a „Fordított arányosság” címszó fölött/, az így kapott állandó hányadost nevezzük /az illetı függvényre vonatkoztatva/ arányossági tényezınek.

Az aránypár ismert tulajdonságai folytán természetesen az egymásnak megfelelı értékpárok hányadosa más értelemben is egyenlı:

a változó bármely két értékének hányadosa egyenlı a megfelelı függvényértékek hányadosával. Ez azonban kevésbé fontos összefüggés, mert az így kapott hányados nem jellemzı a leírt jelenségre, hiszen függ az értékek megválasztásától.

Érdekes magyarázata van annak, hogy miért hangsúlyozták hosszú idın át mégis inkább az utóbbi hányadosok egyenlıségét, és a fordított arányosság esetében is miért ragaszkodtak az ennek megfelelı bonyolult definicióhoz. Azért, mert azt hitték, hogy különnemő mennyiségeket nemcsak összeadni és kivonni, hanem

- 179 - - 179 -

a képzésével. /Vö. 66.oldal./ Irányítsuk rá a tanulók figyelmét arra, hogy ha pl. s arányos

t-vel /ez így magában egyenes arányosságot jelent, lásd a fenti példát/, akkor t is arányos s-sel, csak az arányossági tényezı az elıbbi reciproka. Az egyenes arányosság csak ebben az értelemben kölcsönös /a "szimmetrikus" jelzı itt nem volna helyén való/, a fordított arányosság azonban a szó szoros értelmében az, ugyanazzal

a konstanssal.

A fordított arányosság grafikonjára bevezethetjük a derékszögő hiperbola /nem pedig "egyenlıszárú hiperbola"!/ elnevezést. Jó, ha megfigyelik a tanulók ennek bizonyos alaki tulajdonságait, szimmetriáját és azt, hogy a tengelyeket tetszésszerinti mértékben megközelíti, de el nem éri. Az "aszimptota" elnevezéssel ajánlatos várni addig, amíg más példát is látunk rá, nehogy a tanulók a fogalmat lényegtelen elemekkel kapcsolják egybe, pl. avval, hogy kettı van belılük, merılegesek, a koordintatengelyekkel esnek egybe.

Az egyenes arányosság közvetlen általánosítása a lineáris függvény. Példa rá a Celsius- és Fahrenheit fokban kifejezett hımérséklet kapcsolata:

f = 1,8 c + 32

Ha a korábban leírt módon táblázat és grafikon alapján már megismerkedtek vele és "szabályok megtalálásával" is eleget foglalkoztak, akkor ez az általánosítás igen könnyő. Jó tisztázni, hogy itt az egymásnak megfelelı értékek hányadosa általában nem egyenlı, de az egymásnak megfelelı különbségek hányadosa igen, pl.

68 – 50 = 14 - /-4/ = 1,8

20 – 10 /-10/ - /- 20/

Ez

a függvényértékek különbségét osztjuk a változó értékeinek különbségével/ idı

a hányados

/ha mindig

67. ábra

függvé-

- 180 - - 180 -

A lineáris függvény /vagy esetleg már az egyenes arányosság/ alkalmat adhat annak megbeszélésére, mit jelent a formula szempontjából, ha egy függvénynek az inverzét vesszük. A kiindulás ez lehet: „Most a másik mennyiség értékeit ismerjük.” Azt már a táblázattal és a grafikonnal megadott függvények tanításakor tudatosítani lehet, hogy a táblázat két sorának felcserélése a „pozitív” szögfelezın át való tükrözéssel egyértelmő: mindkettı azt jelenti, hogy az abszcisszák és az ordináták felcserélıdnek. A formulára vonatkozóan ez a két változó /pl. x és y/ szerepcseréjét jelenti: így például y = 2x – 5 inverze x = 2y – 5, ha mindkettıben x jelöli a változót és y a függvényértéket. Az utóbbit explicit alakra hozva az y = 0,5 – 2,5 egyenlettel fejezhetjük ki y = 2x – 5 inverzét. Érthetıbb lesz a gondolat, ha konkrét függvénybıl indulunk ki /hımérsékletek átszámítása, út mint az idı függvénye, rúd hosszának függése a hımérséklettıl stb./.

6. A GEOMETRIATANÍTÁS KEZDENE

A geometria kapcsolata más tárgykörökkel,

különálló helyzete

Bizonyára mindenki egyetért azzal, hogy arra kell törekednünk:

a tanulók ne egymástól elszigetelt ismerettöredékeket sajátítsanak el, hanem egységben lássák a matematikát. Ezt az elvet nemcsak egy- egy tárgykörön belül kell igyekeznünk megvalósítani, hanem a matematika egészére vonatkozóan is. Láttuk, hogy a számtan és az algebra közti határvonal elmosódóban van. A geometria sokkal inkább ı rzi különálló helyét a matematika iskolai anyagában. Régebben, ez olyan külsı körülményekben is megmutatkozott, mint a külön tankönyv és a külön heti óraszám; ma már egyre kevésbé. x Persze az, hagy a geometriakönyvet egybefőzik a számtannal vagy az algebrával, még nem jelenti ezekek a résztárgyaknak az egybeolvadását, sıt az sem, ha a tankönyvben és a tanításban sőrőn váltják egymást a fejezetek. Ezek csak formák, amelyek itt-ott kedvezı lehetıséget adnák a kapcsolatteremtésre - általában kedvezıbbet, mint a mechanikus egymás mellett futtatás vagy az ugyancsak mechanikus egymás után helyezés -, de a problémát mégsem oldják meg. A geometria

felépítésmódjában, nyelvezetében, jelöléseiben, a hozzáfőzıdı tanítási hagyományokban számos olyan tényezı van, amely az egybeolvadást hátráltatja.

______________ x Az Egyesült Államokban ma is annyira éles a különválás, hogy

a 9. osztályban általában csak algebrát tanítanak, a 10.-ben csak síkgeometriát, a 11.-ben megint algebrát, a 12.-ben általában több résztárgyat is, pl. trigonometriát, térgeometriát stb.

- 182 -

A különállás jelentékeny részben Euklidésznek és mővének nagy tekintélyével magyarázható. Igaz, hogy az Elemeket tankönyvként ma már nem használják, mint a múlt században, sıt itt-ott még századunk elején is, a tankönyvek többsége és a tanítási gyakorlat azonban mindmáig többé-kevésbé megırizte a több mint két évezredes tradíció nyomait, mégpedig nem mindig a jóhoz való tudatos ragaszkodásképpen, néha csak a tehetetlenség erejénél fogva. A tradíció értelmetlen követése például az, hogy a geometriaórákon magától értetıdı tényeket is bizonyítani szokás olyankor, amikor a diákok még a bizonyításokban járatlanok. A felsıbb osztályokban talán el lehet érni ezt a szintet, de a bizonyítógeometriát ezzel nem lehet kezdeni, mert a tanulók túlnyomó többsége számára az ilyen bizonyítások semmit sem jelentenek. /Vö. 202. old./ Érdekes összehasonlítani ebbıl a szempontból a geometriát az algebrával, ahol viszont a deduktív felépítés csak nyomokban található. Pedig ezt nem a tárgykörök természete hozza magával! Ellenkezıleg, a geometriában - éppen szemléltetés volta miatt - nehezebb különválasztani azt, amire adott premisszákból következtethetünk, attól, amit az ábra láttat. Arra pedig, bonyolult struktúrája miatt, különösen alkalmatlan ez a tárgykör, hogy az axiómákig visszavezetve viszonylag hézagmentes deduktív felépítésben tárgyaljuk középiskolai fokon. Az algebra bizonyos fejezeti, amelyek az iskolai anyagban még nem vertek gyökeret - például a csoportelmélet és a hálóelmélet - valószínőleg alkalmasabbak erre. /Vö. 329.old./

A geometria több évezredes különállása a matematika többi részétıl

nyelvezetben és fogalomrendszerben is. Erre késıbb nem egy példát látunk. Elısegítheti a különállás felszámolását, a geometriának a matematika más részeivel való egybeötvözését a halmazelmélet és a matematikai logika néhány elemi fogalmának, nyelvének, jelöléseinek mértéktartó

megmutatkozik

a hagyományos

alkalmazása a matematika különbözı fejezeteiben, köztük a geometriában. Nem szabad azonban azt hinnünk, hogy az egyöntető és modern frazeológia és jelölésmód mindjárt a tanítás is egységessé és korszerővé teszi. A "ponthalmaz" szót ugyanúgy lehet értelmetlenül használni, mint a "mértani hely" elnevezést, és ha valaki az ekvivalencia jelét használja, s úgy derül ki róla, hogy nem tudja, mit jelent két állítás ekvivalenciája, az kirívóbb, mint ha a "szükséges és elégséges feltétel", "akkor és csak

- 183 - - 183 -

Az egybeötvözésnek más eszközei is vannak. Egy közülük a koordinátarendszer, amelynek segítségével geometriai tényeket számtani-algebrai nyelvre, számtani-algebrai tényeket geometriai nyelvre lehet fordítani. Amikor az algebrában egyenleteket ábrázolunk vagy

a koordináta-geometriában alakzatok egyenletét írjuk fel és ezek alapján okoskodunk, akkor az algebra és

amikor

a geometria között építünk ki kapcsolatot. A vektor fogalma a trigonometriát és az analitikus geometriát egymással és az algebrával is szorosabban összekapcsolhatja. Az algebra és a geometria között a csoport fogalma is szorosabbra főzheti a kapcsolatot.

Amennyire helyes ezeknek a kapcsolatoknak a korán kezdıdı, fokozatos kiépítése - gondoljunk például a kockáspapír nyújtotta lehetıségek kiaknázására, a geometriai alakzatok egyértelmő és pontos megadásában /Vö. 194.old/-, ugyanannyira helytelen volna korai formalizálással háttérbe szorítani az elemi geometria saját gondolatvilágát, szemléletes fogalmait, egyszerő problémamegoldó módszereit. Van egy bizonyos analógia egyrészt a számtan és az algebra, másrészt az elemi geometria és a - koordináták, vektorok, csoport fogalma útján vagy más módon - "formalizált" geometria között. Amilyen hamis alternatíva az, hogy inkább késıbb vezessük-e

be az algebrát /és addig kerülgessük az algebrai fogalmakat, akkor is, ha már megérett a helyzet a bevezetésükre/ vagy "térjünk át" az algebrai módszerek alkalmazására. /és attól kezdve az olyan feladatot is egyenlettel oldjuk meg, amit anélkül könnyebb volna, ugyanolyan hamis alternatíva az, hogy inkább minél korábban vagy inkább minél késıbben "térjünk át" a formalizált, aritmetizált geometria tanítására. Nem áttérni kell egyikrıl a másikra, hanem egymás mellett alkalmazni a kettıt, folyton mérlegelve mindegyiknek

a viszonylagos elınyeit, folyton gyakorolva az egyik nyelvrıl másikra való fordítást. Ez az egymásmellettiség teszi lehetıvé, hogy

a formalizált kifejezésmódok tartalmassá, absztrakt formájukban is egyre

egyre inkább kidomborodjanak, anélkül, hogy bármikor is teljesen kiszorítanák az elemibb kifejezésmódokat.

szemléletesebbekké

váljanak,

elınyeik

A geometriatanítás szemléletes foka

Az eddig mondottak az iskolai geometriatanítás egészére vonatkoztak, most térünk rá a geometriatanítás kezdı szakaszának kérdéseire. Ennek a céljával és lehetıségeivel kapcsolatban érdemes idézni az olasz Emma Castelnuovo szavait x ; "Úgy gondolom, hogy a szemléleti fokon való geometriatanítás fıcélja felkelteni a tanuló érdeklıdését, és így egyúttal a kedvét és kutató szenvedélyét is, a geometriai alakzatok alapvetı tulajdonságai iránt, a technika, a mővészet és a természet ezernyi tényének megfigyelésén keresztül. A tanulónak azonban véleményem szerint csak akkor támad kedve a geometriához, ha alkotó munkát végeztetünk vele. Egyrészrıl arra kell törekednünk, hogy tápot adjunk a 11-14 éves gyerek természetes, ösztönös kíváncsiságának, és úgy kell matematikai felismerésekre vezetnünk, hogy érezze, ı maga is tett valamit; másrészrıl jó, ha már ebben az idıszakban is megéreztetjük vele apródonként a tisztán logikai okoskodás szükségességét."

Az általános iskola tanterve megtalálható a jegyzet függelékében /482.-494. old./. Jellemzı a tantervre a speciálistól az általános felé való igen lassú haladás. Például az 5. osztályban még csak derékszögő háromszög szerepel - mint a téglalap fele -, a

6. osztályban ehhez még mindig csak az egyenlıszárú háromszög csatlakozik, csupán a 7.-ben jelenik meg a háromszög, majd a sokszög fogalma. A szovjet iskolákban a sorrend fordított: a sokszög fogalma után kerül sor a háromszögre, majd az egyes speciális háromszögekre. Ez a sorrend annyiban helyesebb, hogy az egésztıl, az átfogó képtıl halad az egyes részletek felé. Nincs az a rajztanár, aki ne csóválná

a fejét, ha azt látja, hogy valaki a kisujjánál kezdi rajzolni az emberalakot, ahelyett, hogy elıször fölvázolná az egészet, aztán kezdene hozzá a részletek kidolgozáséhoz. A tanár fejében megvan az átfogó kép, és amikor a speciálisról beszél, már az általánoshoz viszonyítja. A diák nem tud mihez viszonyítani; a részismeretek igen nehezen állnak össze a fejben egy egésszé, ha ehhez nem kap segítséget. A konvex és konkáv fogalmához például nem ördöngösség elvezetni a

______________ x Castelnuovo /1956/, 3.old.

- 185 - - 185 -

Az általános gyakran együtt jár az absztrakttal, a speciális a konkréttal; ilyenkor természetesen csak a speciálistól haladhatunk az általános felé, hiszen konkrét nélkül nincs absztrakt. De nincs meg mindig ez a kapcsolódás. A sokszög a négyszögnél, az a trapéznál, a paralelogrammánál stb. nem absztraktabb, csupán általánosabb. Az általánosságban sem lehet akármilyen életkorban akármilyen messzire elmenni. Kisgyerekek elég ha négyzetrıl tudnak és következetesen hallják és használják rá ezt az elnevezést. De ha valamilyen életkorban egy bizonyos fokú általánosság elérhetı, és nem okoz nehézséget, akkor eddig eljutni és aztán illeszteni be az általános képbe a részleteket mindenképpen elınyösebb. Nemcsak pedagógiai-pszichológiai szempontból, hanem magának a tárgykörnek a szempontjából is, amelynek szebb és gazdaságosabb felépítését teszi lehetıvé. A mi tantervünktıl sem egészen idegen ez a szempont. Nyilván azért elızi meg a deltoid a rombuszt; ami a deltoidra érvényes, az a rombuszra is igaz, elég utána már csak azt nézni, hogy még mi igaz rá.

Konkáv szögekkel kapcsolatban ma inkább a "homorú" szó járja. /Régebben még fordítva is használták a szót, domborúnak mondták a konkávot./ Nem sok értelme van azonban a szögek esetében magyarítani, ha más esetben amúgy sem magyarítunk; nem szokás pl. homorú négyszögrıl beszélni.

Ha ezeket a helyes szempontokat a tanagyag más részében is érvényesíteni szeretnénk; akkor tudnunk kell, hogy a tantervtıl való nagyobb mértéki eltéréshez a felsıbb szervek engedélye szükséges. Elég lehet a szakfelügyelı és az igazgató jóváhagyása is, de mindenesetre jó, ha az Országos Pedagógiai Intézet Matematikai Tanszéke /Budapest, VII. Gorkij fasor 17-21/ legalábbis tudomást szerez arról, hogy miben, és esetleg arról is, hogy milyen szempontok és elgondolások alapján kíván valaki eltérni a tantervtıl. Ez ugyanis megkönnyíti a koordinálást és elıreviheti az OPI munkáját is. Alapvetıen új tantervi elgondolás megvalósítását pedig jobb elızetesen megtárgyalni az OPI illetékeseivel, akik maguk is világosan látják, hogy a pedagógusok kezdeményezı közremőködése az elıbbre jutás egyik legfıbb tényezıje.

A geometriai fogalmak kialakítása, a definíciók

megformálása

Szó volt a fogalmak sorrendjérıl, a speciálisabb fogalmaknak az általánosabb fogalmak keretébe va1ó beillesztésérıl. Az ügyesebb és az ügyetlenebb felépítésen belül egyaránt alapvetı kérdés az: hogy jutnak el a diákok a fogalmakhoz? Definícióval vezetni be egy új fogalmat nem nagyon ajánlatos, különösen kezdı fokon. Újonnan bevezetett fogalmakra egyetemi elıadók is rendszerint adnak néhány példát, mielıtt a definíciót kimondjak. A példák szerepe az, hogy kialakítson valami képet a hallgatók fejében a definiálandó fogalomról. A definíció szerepe viszont az, hogy elhatárolja a fogalmat más fogalmaktól, x egyértelmő kritériumot adjon annak eldöntésére, mi tartozik az illetı fogalom körébe - vagyis abba a halmazba, amit a fogalom jelent - és mi nem.

A latin "finis" szó többek között azt jelenti: "vég", "határ". Ez rejlik a "definició" szóban, amelynek az alap jelentése "elhatárolás". Mégsem ezzel, hanem a "meghatározás" szóval szokták néha helyettesíteni; pedig ez félreérthetı, "megkeresést" is jelenthet, ezért a matematikában nem szívesen használjuk. Legjobb megmaradni a "definíció" szónál, de ha a gyerekek számára magyar szóval is ki akarjuk fejezni a fogalmat, jobban megfelel az „értelmezés". /Pl. "a hatványozás értelmezésének kiterjesztése" a definíció kiterjesztését jelenti./

Ez így helyénvaló is az egyetemen, de az általános iskolában semmiképpen sem. A gyerek ekkor még nem érti, mi van a szabatos szóhasználat mögött. /Rendszerint még a középiskolában sem./ Ha százszor elismételjük és elismételtetjük vele, hogy így helyes a kör definíciója, úgy nem, akkor a végén esetleg nekünk tetszı módon mondja a szavakat, csak éppen azt nem tudja, mért jó így, mért nem jó úgy, hogy "a kör önmagába visszatérı görbe vonal". Az általános iskolában rendszerint egy hosszú út végsı állomása a definíció megfogalmazása. Az út elsı szakaszán példák és ellenpéldák útján érjük el, hogy a diák fejében megjelenjen a fogalom. /Lásd errıl Skemp tanulmányát a szemelvénygyőjteményben, különösen a 419.-424. oldalt./ Lehet, hogy hosszú idın át használjuk is a fogalmat, mielıtt még szükségessé válna, hogy pontosan megmondjuk más fogalmakhoz viszonyítva, hogyan is értjük. /Például a téglalap fogalmával rendszerint ez a helyzet./ De ha szükségessé válik is, a következı lépés általában akkor sem a definíció kimondása, hanem a definíció kialakítása, a tanulók közremőködésével. Mielıtt erre ismertetnénk egy példát, lássuk, milyen cél felé törekszünk, mi az, amit a definíciótól megkívánunk a matematikában /nemcsak a geometriában/:

1. Ne legyen se túl szők, se túl tág Ettıl még formailag helyes lehet a definíció, csak éppen nem

azt a fogalmat definiálja, amit az elnevezés - a szokásos megállapodások szerint - megjelöl. "A rombusz olyan síknégyszög, amelynek az oldalai egyenlık, de nem merılegesek" - ez helyes definíció volna, ha a négyyzetet nem tekintenénk rombusznak. De helytelen, mert annak tekintjük: Más kérdés, hogy miért tekintjük annak. Többek között azért, mert így egyszerőbb a definíciója /az elıbbi idézett mondat második fele elmaradhat/. Sok tétel is egyszerőbb így, nem kell kivételes eseteket említeni. A fenti definíció túl szők. Ez azt jelenti, hogy az általa definiált négyszögek halhaza a rombuszoknak valódi részhalmazát alkotja. Ez a definíció viszont "A rombusz olyan négyszög, amelynek az oldalai egyenlık", túl tág, ha négyszögön nemcsak síknégyszöget értünk x , mert akkor az így definiált négyszögeknek a rombuszok

Nincs akadálya annak, hogy négyszögön csak síknégyszöget értsünk. Ez elég általános szokás. Gondoljuk meg azonban: ez a szokás azzal függ össze, hogy a síkgeometriát - Euklidesz szellemében - élesen különválasztjuk a térgeometriától.

- 188 - - 188 -

2. Lehetıleg ne tartalmazzon felesleges elemeket Ez viszont formai követelmény, amely a definiált fogalom körét

nem érinti. "A téglalap olyan síknégyszög, amelynek minden szöge derékszög" - ebben a definícióban burkoltan benne van a szögek egyenlısége, de ennél több is. Ez a többlet felesleges, mert a szögek összege alapján az egyenlıségbıl következik, hogy mindegyikre

90 x jut. Célszerő úgy intézni, hogy amikor a tanulók a téglalap intuitív fogalmától eljutnak a definíciójához, akkor ezzel már

tisztában legyenek. Ezt a feltételt úgy is fogalmazhatjuk, hogy a definíció

lehetıleg ne legyen redundáns. A redundanciát - a definíció nélkülözhetı elemeit - részben gyakorlati, részben esztétikai szempontból általában jobb elkerülni: így egyszerőbb, szebb, áttekinthetıbb definíciókhoz jutunk. Ugyanezek a szempontok azonban adott esetben indokolhatják is a redundanciát. Példa rá a négyzetnek ez a definíciója: "Olyan síknégyszög, amelynek minden oldala és minden szöge egyenlı". Ez kifejezi, hogy a négyzetek halmaza a rombuszok és a téglalapok halmazának a metszete, kifejezi az oldalak és a szögek egyenlıségének egyezı szerepét. A redundanciát el lehet kerülni pl. így: a = b = c = d és α = β , de ezzel a fenti elınyök elvesznek.

Persze nem felesleges akkor, ha a szögösszegtétel még nem ismeretes, amikor erre a definícióra sor kerül; de ez nem ügyes sorrend, mert elburkolja a téglalap és a rombusz közti metrikus dualitást, vagyis azt, hogy definíciójuk a "szög" és az "oldal" szavak felcserélésekor egymásba megy át. Anélkül, hogy ennek a fogalomnak a magyarázatába belemennénk, a gyerekek harmóniaérzékének fejlesztése, a matematika esztétikai oldalának érzékeltetése szempontjából fontos, hogy ne álljuk el az útját az ilyen szép szabályosságok

dualitás más négyszögfajtákra is vonatkozik: a négyzet és a paralelogramma saját magának duálisa, a téglalap a rombuszé, a húrtrapéz /egyenlı szárú trapéz, szimmetrikus trapéz/ a deltoid stb. /Vö. 200. old./.

felismerésének.

A metrikus

3. Ne használjunk A definíciójában olyan B fogalmat, amelyeket viszont A segítségével definiálunk; általában: csak

a definícióban

a definiáltnál

világosabb

fogalmak

szerepeljenek

Ne definiáljuk például a szöget a hajlással vagy forgással, ezt pedig a szöggel. Ha a definíciókat nem készen kapják a diákok, hanem maguk

fogalmazzák, akkor fokozatosan eljutnak oda, hogy kimondatlanul is méltányolják ezeket a szempontokat. Miután ide eljutottak, sor kerülhet a megfogalmazásukra is; elıbb semmiképpen.

A definíciónak szavakban való megfogalmazását kiegészítheti, néha helyettesítheti is a rajzos megfogalmazás. Lássuk példaként néhány síkidom rajzos definícióját:

68. ábra

Lássunk most egy példát a fogalom kialakítására és a definíció megfogalmazására. Vegyük a konvex és a konkáv fogalmát. Mondjuk ki

egyenesen: a konvex és a konkáv ponthalmaz fogalmát. x Egy darabig lehet melléknevekkel is operálni, - ilyenféleképpen: "Konvex ez vagy

nem?" - de idıvel kényelmetlenné válik a fınév folytonos kerülgetése.

A fogalom kialakítását kezdheti a tanár egy barkochba-szerő játékkal: gondol valamire és a diákoknak ki kell találniuk, hogy mi az. Ezt a játékot más fogalmakkal kapcsolatban már elıbb is

A "ponthalmaz" szó kifejezıbb, mint az "alakzat" szó. Aki habozik, hogy két pontot egyetlen alakzatnak tekintsen-e, azt nem vonja kétségbe, hogy a két pont pontok összessége, ponthalmaz. Kifejezi a szó azt is, hogy amire alkalmazzuk, azt pontokból állónak tekintjük.

- 190 - - 190 -

születésnap kitalálása intervallumfelezéssel/,

/számok

kitalálása,

tulajdonságot kell kitalálniuk. Felmutathat a tanár különféle, e célra elıre összeszedett tárgyakat: ceruzát, labdát, kavicsokat, néhány szem babot, lencsét; felmutathat keménypapírból kivágott síkidomokat; felrajzolhat a táblára vonalakat vagy már ponthalmazokat. Felírhatja

a tábla két felére: x KONVEX NEM KONVEX . Elıször ı maga elkezdi a tárgyakat ennek megfelelıen két

csoportra osztani, a rajzokat is eszerint rajzolja a tábla egyik vagy másik felére. De néhány példa után már elkezdi kérdezgetni: "Hát ezt hova tegyem?" "Ezt hova rajzoljam?" /Egyelıre semleges helyre rajzolta, egy másik táblára vagy a tábla közepére./ Ha valamelyik gyerek javaslatot tesz, nem mondja meg mindjárt, egyetért-e vele; várja a többitıl is a helyeslést vagy az ellenvéleményt. De aztán a helyére teszi vagy rajzolja, akárhogy dılt is el a vita, és a játék folytatódik. Egyre több a támpont, már vannak, akik biztosra mennek a javaslataikban. Ezeket leinti, vagy leintés helyett inkább más feladatot ad nekik: gondoljanak ki ık maguk példákat az egyik és a másik esetre. Egy-egyet a táblára is rajzolhatnak, a többit a füzetükbe, ott is különválasztva a két esetet. A többi gyerekkel pedig közösen folyik tovább a játék.

Ha a tanár úgy látja, hogy már be lehet vezetni a definíciót, és ezt hasznosnak is ítéli, akkor például a következı képpen folytathatja a foglalkozást:

- Meg tudná-e mondani valaki, mit jelent az, hogy konvex? Mikor mondjuk egy ponthalmazra, hogy konvex?

Ilyenféle válaszokra számíthat: = Ha domború. / Nincs rajta horpadás. / Sehol sem megy befelé.

_______________________ x

Ha egy elnevezés félreérthetı, más fogalmat sugall, mint amire alkalmazzuk /gondoljunk a "hasonló" szóra/ akkor mindenesetre jobb a fogalom kialakítása után vezetni be. Idegen szó esetében ez kevésbé fenyeget. A "konvex" szóval együtt azonban semmiképpen sem célszerő bevezetni a "konkáv" szót. A páros szavakat /mint számláló és nevezı, átfogó és befogó stb./ általában könnyen összetévesztik a tanulók, különösen, ha még hasonló hangzásúak is. Jobb kiemelni az egyiket és csak késıbb vezetni be a másikat.

- /Felrajzol három nem egy egyenesbe esı pontot./ Ponthalmaz ez?

= Igen. - Konvex vagy nem? Hova rajzoljam? Ha a diákok tanácstalanok vagy megoszlik a véleményük, kor a

tanár elárulhatja, hogy ahogy ı érti a szót, ez a ponthalmaz nem konvex. De hol van rajta horpadás? Ugyanezt elismételheti még néhány olyan példával, mint egy szakasz és egy nem rajta 1evı pont, töröttvonal stb. Ezek a példák már egyengetik a definíció útját, de még szükség lesz egy lökésre, hogy eljussanak a lényeges mozzanat megragadásáig:

- Jelöljük meg pirossal ennek a konvex ponthalmaznak valamelyik két pontját. Kössük össze vonalzóval a két pontot. Mit vesztek észre? Nézzük egy másiknál is. Egy harmadiknál is.

- A nem konvexeknek is megjelölöm két pontját. Kössük össze. Mit vesztek észre? A másiknál? A harmadiknál? Jaj, itt valami nincs rendben! Ez olyan, mintha konvex volna! Vagy csak nem jól választottam ki a pontokat? N., melyik pontokat jelölnéd meg, hogy látni lehessen, hogy nem konvex?

- Hátha a konvexeken is kiválaszthatjuk a pontokat így is, úgy is. Próbáljuk csak!

- Valaki azt állítja erre a ponthalmazra, hogy nem konvex. Mit mondanátok neki? Mikor hiszitek el, hogy igaza van? Milyen két pontot kell megmutatnia a ponthalmazon, hogy bebizonyítsa az igazát?

Sokféleképpen lehet ezt variálni. Nem az a fontos, hogy óra végén a tanulók egyetlen körmondatba foglalva el tudják mondani a konvex és a nem konvex ponthalmaz definícióját. Egyszer majd eljutnak a szóbeli megfogalmazáshoz is. Sürgısebb azonban ennél az, hogy ne csak homályosan érezzék, mi különbızteti meg a konvex ponthalmazokat a konkávoktól, hanem ismerjék azt a szempontot, amely

a két esetet élesen elválasztja egymástól. A definícióban az éles elválasztás a lényeges, nem az egy mondatba sőrítés.

Éles és elmosódott határvonalú fogalmak

A matematika fogalmai és – mondjuk – a mindennapi élet fogalmai között éppen az a nagy minıségi különbség, hogy az elıbbiek élesen körül vannak határolva, az utóbbiak pedig elmosódottak. Ha azt mondom: ”szék”, látok magam elıtt valamit, ami az eddig megismert székekbıl összekopírozódott, egy ”ideális széket”. Ami ettıl csak kicsit tér el, az még szék, ami nagyon eltért, az már nem szék. De hol van a határ? Megítélés kérdése. ”Definiálhatom” a széket is, lexikonok és értelmezı szótárak ezt teszik, de ezek csak idézıjelben értendı definíciók, a szó matematikai értelmében nem; egyértelmő kritériumot nem adnak, mert nem is adhatnak.

Sokan éveken át tanulják a geometriát, anélkül, hogy ezt a nagy minıségi különbséget észrevennék. Azt mondják például:

69. ábra

”Ez az idom nem trapéz. Inkább romboid ”Ez sem trapéz, téglalap volna,

akar lenni, csak rosszul sikerült.”

ha nem volna ferde a teteje.”

Vagy azt mondják a deltoidra: ”A nagyobbik átlója két egybevágó háromszögre bontja.”

Aki így beszél, annak rendszerint hiába olvassuk a fejére a trapéz vagy a téglalap definícióját. Mélyebben gyökerezik a tudatlansága, mint egy-egy definíció fogyatékos ismeretében. Érthetı megszokás folytán a geometriai fogalmakat is úgy veszi tudomásul, mint a mindennapi élet fogalmait. Lát maga elıtt

egy ”ideális trapézt”: és egy ”ideális deltoidot”:

- 193 - - 193 -

De mit jelent az, hogy "bármely négyszögrıl"? Lerajzolok egy négyszöget; szerintem trapéz, de más esetleg úgy találja, hogy nem, mert nem pontosan párhuzamosak az oldalai. Nincs itt mégis valami bizonytalanság?

Rajzokkal kapcsolatban természetesen van. De a rajz nemcsak hogy nem trapéz, nem is négyszög. Csak emlékeztet egy négyszögre. Meg kell mondanom, mire akartam, hogy emlékeztessen, magyarázatot kell főznöm a rajzhoz. Ha megmondom - vagy valamilyen módon jelölöm - hogy azt a két oldalt párhuzamosnak szántam /azonkívül mindegyiket egyenesnek stb./, akkor a definíció értelmében trapéz. A definíció arra vonatkozik, aminek gondolom és nem arra, ami a papíron van. /Vö. 393.-396.oldal./ Erre a gondolatra is rá kell vezetnünk a diákokat. Ezt a rávezetést megkönnyíti egy mindig rendelkezésre álló eszköz, a kockáspapír, és nagyított mása, a kockás tábla. /Már említettük, hogy az utóbbinak is mindig rendelkezésre kell állnia. /Ha un. sima papírra rajzoljuk az ábrát, magyarázkodnunk kell - szóban vagy odarajzolt jelekkel - párhuzamosnak, merılegesnek,

egyenlınek tekintünk-e két szakaszt. A kockás papíron a metszéspontok per definitionem rácspontok /ti. annak tekintjük ıket, akkor is, ha rossz a nyomtatás/, és ez sok magyarázkodást feleslegessé tesz. Jó a kérdést a magyarázkodás felıl is megközelíteni, hiba volna mindig kockáspapíron dolgozni. Az iskolai munkában mégis gyakran jelent lényeges elınyt az a lehetıség, hogy rácssokszögekre hivatkozhatunk, és az eleve pontatlan mérés helyett pontos számlálással /vagy számolással, pl. késıbb Pythagoras tételével/ tudjuk eldönteni, hogy egy-egy konkrétan megadott alakzat beletartozik-e egy bizonyos definíció körébe vagy nem. Ez már a koordináta geometriai gondolkozás kezdete. A koordinátákkal való megadás minıségileg más, mint a rajzzal való megadás: kiküszöböli a pontatlanságot. Persze ha a valóságra alkalmazzuk meggondolásaink eredményét, a pontatlanság megint bejön.

A fogalmak rendszerezése

A fogalmaknak van egy bizonyos hierarchiája: ha konkrét példákból absztrahálhatunk egy fogalmat, akkor alacsonyabb szintő fogalmaktól jutunk el hozzá, a definiálásához viszont általában magasabb szintő fogalmakat használunk. /Vö. 419.-421.oldal./ Közben felmerül az a kérdés is, hogy viszonylik a fogalom bizonyos vele egy szinten levı rokon fogalmakhoz. Különösen akkor válik sürgetıvé ez a kérdés, amikor már számos egymással kapcsolatos egy szinten levı fogalommal megismerkedtünk; szeretnénk áttekintı képet adni ezekrıl

a fogalmakról, rendet teremteni köztük, rendszerezni ıket. Nemcsak a geometriában és nem is csak a matematikában van erre szükség, de a geometriai fogalmak jellegzetesen mutatják a rendszerezéskor felmerülı problémákat.

A halmazelmélet nyelvén szólva egy F fogalomnál eggyel alacsonyabb szintő fogalmat az F fogalommal meghatározott halmaz elemeinek tekinthetjük /lehetnek ezek maguk is halmazok/, az egyezı szintő rokon fogalmakat viszont ugyanazon individuumtartományon vagy - más szóval - ugyanabban az univerzumban értelmezett halmazoknak x . Az utóbbiak között lehetnek idegen /közös elem nélküli/ halmazok, lehet közös részük, lehet egyikük részhalmaza egy másiknak stb. xx Amikor a fogalmak rendszerezésérıl beszélünk, az ilyenféle kapcsolatok kiderítésére gondolunk.

x Az individuumtartományt vagy univerzumot bizonyos elemek – individuumok – halmazának képzeljük, amelynek a szóban forgó halmazok mind részhalmazai.

Ha két fogalommal jellemzett halmaz közül az egyik részhalmaza a másiknak, akkor azt mondjuk, hogy az elıbbi fogalom speciálisabb, az utóbbi általánosabb. A részhalmaz- relációnak tehát a fogalmak között az ”általánosabb-speciálisabb” reláció felel meg, az elemként tartalmazás relációjának viszont – mint láttuk – az ”absztraktabb-konkrétabb” reláció. Nehéz volna azonban kritériumot adni arra, hogy két fogalommal jellemzett halmaz közé mikor gondoljuk a ”halmaz és eleme” és mikor a ”halmaz és részhalmaza” relációt; néha mindkettı egyaránt jogosultnak tőnik, vagyis egyaránt tekinthetjük a két fogalom közül az egyiket absztraktabbnak is, általánosabbnak is, mint a másikat. ”. . . a ’fa’ fogalma alá van rendelve a ’növény’ fogalmának, fölé van rendelve a ’tölgyfa’ fogalmának és ugyanazon a szinten van, mint a ’gomba’ fogalma” – írja Skemp /lásd a szemelvénygyőjteményben, 419. oldal/. Vagyis a tölgyfa fogalma konkrétabb, mint a fa fogalma, a tölgyfát a fák halmaza egy elemének tekinthetjük stb. Azt is mondhatjuk azonban, hogy a tölgyfák halmaza részhalmaza a fák halmazának, vagyis a tölgyfa fogalma speciálisabb, a fa fogalma általánosabb. A matematikán beül is olykor csupán szemlélet kérdése, hogy két objektumot a ”halmaz és eleme” vagy a ”halmaz és részhalmaza” relációval kapcsolunk-e össze. /Például az egyenest pontokból állónak, pontjai halmazának tekintjük, mégis két metszı egyenes közös részét szívesebben tekintjük egy pontnak, mint – megkülönböztetve a ponttól – egy pontból álló halmaznak./ Nem csoda hát, ha hasonló nehézségek vannak olyan, matematikailag nehezen megfogható

xx

objektumokkal kapcsolatban, mint a fogalmak.

Ez a halmazelméleti szemlélet segítséget jelent a rokon fogalmak között való eligazodásban, rendcsinálásban. A halmazoknak "krumplikkal" való ábrázolása /Vö. 154. oldal./ jó támasztékot ad szemléletünknek a köztük levı feltételezett vagy felderített kapcsolatok jellemzésére.

Ilyen szemléleti támaszték nélkül könnyen összetévesztik a tanulók például ezt a két állítást:

"Minden paralelogramma trapéz" és "Minden trapéz paralelogramma". Keressünk könnyen érthetı, hozzájuk közelálló példákat,

amelyeken megértik, hogy az ilyen típusú állítások két esetben teljesülnek - ti. ha az elsı halmaz valódi része a másiknak, "belül van rajta", vagy ha egybeesnek - és az utóbbi esetben mindegy ugyan

a sorrend, de az elıbbi esetben nem. Rendszerint beválnak az olyan példák, amelyek magukkal a tanulókkal kapcsolatosak. Ha például az osztóbban két M betős gyerek van, Molnár Péter és Morvai Péter, és történetesen nincs több Péter az osztályban, akkor megvan a példa az egybeesı halmazok esetére: az M betősek és a Péterek halmaza. Nem valószínő, hogy ilyen szerencsénk van, de ha végignézzük a gyerekek különféle jellemzıit - születési év, hónap, nap, hajszín, szemszín, szemüveg, ruha, osztályzat, lakóhely stb. - egy kis ügyességgel találhatunk alkalmas példát erre is, még könnyebben a valódi rész esetére és két halmaz egyéb kapcsolataira. Kössük össze egy zsinór két végét, egy másik, másféle színő zsinór végeit is, hívjuk ki a két M Pétert, általában a példaként szolgáló tanulókat. Az egyik zsinór-körbe álljanak be az M betősek, a másikba a Péterek. /Hogy jobban lássa az osztály, tartsák a kezükben a köréjük rakott zsinórokat./ A táblára és füzetekbe rajzolt krumplik és a beléjük rajzolt pontok örökítik meg a tanutók emlékezetében ezt a jelenetet és a többi hasonlót. A pontok késıbb el is maradhatnak. De amikor a nem-matematikai példákon való megvilágítás után sor kerül a trapéz és a paralelogramma esetére, akkor ajánlatos a két kör közös és nem közös részébe rajzolt kis trapézokkal /amelyek a közös-részben persze paralelogrammák/ megint láthatóvá tenni az elemeket is, amelyeket a halmazok jelölnek legalábbis néhány példát rájuk /71. ábra/.

Arra az

halmaznak van közös része, de egyik sem részhalmaza

a másiknak,

jellegzetes

geometriai példa a rombuszok és a téglalapok

halmaza.

Vezessük

rá

tanulókat, hogy a közös rész a négyzetek halmaza /72. ábra/.

Közös elem nélküli halmazokra jó példa a geometriai fogalmak körébıl a szabályos /más szóval egyenlı oldalú/ és

a derékszögő háromszögek halmaza.

71. ábra Így matematikai és nem matematikai példák kapcsán egyaránt

felismerik a tanulók mindazt a lehetıséget, ami két halmaz kapcsolatában elıfordulhat. Rájönnek, hogy

négyféle eset fordulhat elı, de ha a két halmazt megkülönböztetjük, akkor ez öt esetet jelent, mert a négy reláció közül három szimmetrikus /ti. az az eset, amikor a két halmaz egybeesik, vagy nincs közös elemük, vagy van közös elemük, de egyik sem része a másiknak/, de a negyedik nem, s így itt nem

72. ábra mindegy, hogy melyik halmaz valódi része a

másiknak. /Lásd a 73. ábrát./ Arra is rá lehet vezetni ıket, hogy amint a ”Minden A egyúttal B” típusú állítások

két esetet foglalnak magukba az öt közül, másféle csoportosítások más-más állításokat fejeznek ki /73. ábra/.

73. ábra

Az ilyen összefüggések tudatosításával a geometria – és nemcsak a geometria – megértéséhez is közelebb jutnak a tanulók, mint sok részismerettel, ami nem áll össze a fejükben egységes

- 197 - - 197 -

Régebben volt egy olyan tendencia a matematika tanításában, hogy a fogalmak rendszerezésében kerüljük az olyan bonyodalmakat, mint az egymást részben fedı halmazok esete, válogassuk meg a fogalmakat úgy, hogy egy-egy fıfogalom körét fedés és hézag nélkül töltsék ki. Például ne lehessen egy paralelogramma téglalap is és rombusz is; minden paralelogramma vagy négyzet, vagy téglalap, vagy rombusz, vagy romboid, egy és csak egy a négy közül, ez volt a régi

felfogás /lásd a 74. ábrát/. Annyi bizonyos,

ezt könnyebb megtanítani, mint azt a rendszerezést, amelyben egy és ugyanazt az idomot négyzetnek

hogy

téglalapnak is, rombusznak is mondhatjuk /72.ábra/. De hiába könnyebb megtanítani, ha azok a fogalmak, amiket így tanítunk, a geometriában kevéssé hasznavehetıek, bonyolult a definíciójuk /Vö. 188. oldal/, kivételes esetekre vezetnek.

is,

Könnyebb volna azt tanítani, hogy a

74. ábra denevér madár és a bálna hal, mégsem tanítanak ilyesmit biológiaórán, mert

a tudományos

75. ábra

76. ábra

- 198 - - 198 -

Következı ábráink a háromszögek és a négyszögek régi típusú, hézag- és fedésmentes osztályozásával szembeállítják újabb típusú rendszerezésüket. /75-78, ábra./ A régi típusú osztályozásban

- 199 -

200. ábra

szerepelnek olyan matematikai szempontból érdektelen négyszögfajták is, mint a romboid és az "általános négyszög". A húrnégyszögek és az érintınégyszögek

A régi osztályozásba nehéz is volna ezeket beilleszteni, fedések lépnének fel és "még általánosabb" négyszögekrıl kellene beszélnünk. A másik rendszerezést azonban továbbfejleszthetjük úgy, hogy ezeknek a négyszögfajtáknak is megtaláljuk a helyét, sıt a húrtrapézok /szimmetrikus trapézok/ és a deltoidok is beleillenek a

egyik

ábránkon

sem

szerepelnek.

- 200 - - 200 -

Foglaljuk össze táblázatban is az említett négyszögfajtákat, kiemelve azokat a jellemzı tulajdonságaikat, amelyek mutatják a szögek és az oldalak analóg szerepét. /200. old./

Jó, ha a tanárnak megvan ez az áttekintése, de semmiképpen sem szabad egy ilyen kész rendszert ráerıszakolni a diákokra. Viszont elburkolni is kár volna.

A "bizonyító" geometria kezdete

Ha egy gyerek körzıt és vonalzót kap a kezébe, rajzolgatás közben néha meglepı felfedezéseket tesz. Például megrajzol egy kört, beszúrja a körzı hegyét a kerület egy pontjába, úgy is rajzol egy kört, vagy csak egy ívet, amely a kört metszi, aztán továbbhalad és azt tapasztalja, hogy a hatodik lépésben oda jut vissza, ahonnan kiindult. Szép a kapott ábra, érdekes, hogy pontosan visszaér, mégpedig mindig éppen a hatodikra. A szép és érdekes tények a legalkalmasabbak arra, hogy valaki elkezdjen gondolkozni, mi a megfigyelt jelenség magyarázata, hogy függ össze más tényekkel. Szép és érdekes az a tény is, hogy bármely háromszög szögeinek összege 180 o , hogy a háromszög két oldalának a felezıpontját összekötı egyenes mindig fele akkora, mint a harmadik oldal, hogy a négyszög oldalainak a felezıpontjai parallelogrammát határoznak meg. Ezeknek és még sok más egyszerő ténynek a felfedezése örömet okoz a diákoknak és alkalmas arra, hogy felkeltse az érdeklıdésüket a "miért?", a logikai összefüggések iránt is. Érdekességüket fokozza az általánosságuk. Lényegesen kevésbé érdekes az a tény, hogy egy téglalap

felezıpontjai paralelogrammát határoznak meg, mint az, hogy ez bármely négyszögre igaz. Kevésbé érdekes, hogy a derékszögő háromszög szögeinek összege 180 o , mint az, hogy ez minden háromszögre igaz.

vagy

egy

paralelogramma

oldalainak

Aligha van olyan gyerek, aki rajzolgatás közben meglepıdve fedezi fel, hogy a téglalap átlói egyenlık és felezik egymást, hogy

a négyzet átlói felezik a négyzet szögeit, vagy hogy az egyenlıszárú háromszögben az alapon fekvı szögek egyenlık. Ezek unalmas, banális megállapítások. Némi érdekességet az adhat nekik, ha megpróbáljuk ı ket általánosítani, és megnézzük, hogy ez milyen határig lehetséges. A rombuszra még igaz, hogy az átlói felezik a szögeit, a téglalapra és a paralelogrammára általában nem /csak ha rombusz/, a deltoidnak csupán az egyik átlójára /a másikra csak akkor, ha rombusz/ stb. A bizonyítás iránti igény felkeltésére azonban akkor sem alkalmas egy olyan tény, amelyet "látni". Az általánosság irányába tett felfedezı utak nem arra jók ezen a fokon, az ilyen tényekkel kapcsolatban, hogy bizonyítandó tételeket kutassunk fel általuk, hanem arra, hogy axiómákat keressünk: mi is az, ami szemléletesen, a szabályosság folytán, a szimmetria alapján nyilvánvaló, és mi az, ami nem is igaz. Késıbb, magasabb fokon érdekessé lehet tenni azt is, hogy egy szemléletesen nyilvánvaló tény hogyan vezethetı vissza más tényekre, hogyan lehet egyre jobban csökkenteni az utóbbiak számát - ez azonban már késıbbi fejlemény. Ritka gyerek az, akiben ezen keresztül fiatal korban érdeklıdést lehet kelteni a geometria iránt; a legtöbbjüknek így csak a kedvét lehet elvenni tıle. Ha egy matematikus visszagondol a gyermekéveire, és esetleg jó emlékei is vannak a nyilvánvaló tények bizonyításával kapcsolatban, gondoljon egyrészt a megszépítı messzeség hatására, másrészt arra, hogy nem minden gyerek leli a kedvét olyan logikai játékokban, amikben ı zsenge fejjel is kedvét lelte.

Annak viszont minden gyerek örül, ha megéreztetik vele, mire képes, és ha azt látja, hogy mind többre képes. Ha elsegítjük oda, hogy meglepı és általános tényeket visszavezessen számára nyilvánvaló tényekre, ezt a képességét szívesen fogja gyakorolni. Fontos azonban, hogy ne csak a tények felfedezésébıl- a sejtésig való eljutásból - hanem a bizonyításokból is aktívan kivegye a részét minden tanuló. Hiába tanul meg tíz-húsz bizonyítást is, nem tudja meg ebbıl, mi teszi a bizonyítást bizonyítássá, mi különbözteti meg a nem-bizonyítástól; még kevésbé azt, hogyan lehet bizonyítást találni valamire. Egészen egyszerő, az ı erejéhez mért saját bizonyításokon át juthat el csak ide. Nagyon alkalmasak erre a szögekkel kapcsolatos összefüggések, Ezek ugyanis

- 202 - - 202 -

feladatok felé. Egy példát találhatunk erre a 215. oldalon kezdıdı óraleírás elején: a háromszög egyik szögébıl kell itt következtetni

a másik két szög felezıje közti szögre. Ebben az óraleírásban még csak numerikus példákat látunk. A következı órákon ugyanezek a tanulók észrevették, hogy a szögfelezık szöge 90°-kal nagyobb a harmadik szög felénél, aztán általánosságban is belátták. Ezzel bebizonyítottak egy geometriai tételt. Sok geometriai tétel bizonyítása felé el lehet indítani a tanulókat ehhez hasonló módon.

Egy másik mód: rávezetni ıket arra, hogyan tehetnek látszólag szabálytalan ábrákat kis változtatással szabályosakká, és ennek alapján

rejtve maradt összefüggésekre. Ennek talán a legegyszerőbb esete az, amikor egy ábra elforgatása teszi nyilvánvalóvá a szimmetriát; ez persze még nem is bizonyítás /a szögszámítás sem az/, de egy lépés afelé. Gondoljunk arra, hogy

hogyan

következtethetnek

az

addig

ebben a helyzetben az elforgatás után

nem mindenki látja hogy

a szimmetria ezt

a rombusz átlói felezik nyilvánvalóvá teszi. egymást és merılegesek,

80. ábra

Az alábbi feladatban már egy kicsit okoskodni is kell, hogy a meglátott és méréssel is ellenırzött összefüggések nyilvánvalókká váljanak:

"Egy derékszögő háromszög egyik szöge legyen 60°. Hozzuk meg ennek a szögfelezıjét. Abból a pontból, ahol ez a szemközti oldalt metszi, bocsássunk az átfogóra merılegest. Keressünk a rajzon egyenlı szögeket és egyenlı szakaszokat."

A meghatározó és bizonyító feladatok szembeállítását és jellemzését lásd Pólya György "A gondolkozás iskolája" c. könyvében,

a 160. és következı oldalakon.

Az ábrán megjelöltük azokat a szakaszokat és szögeket, amelyeknek az egyenlıségét elıbb észreveszik, aztán

a szimmetria alapján belátják /a vastagon megjelölt szögek egyenlısége adva van/. Azonkívül, hogy tudják a háromszög szögeinek összegét, csak a

szimmetriára kell támaszkodniuk. Még egy lépéssel többet kell megtenniük, ha hiányzik valami

81. ábra

segédvonal az ábráról, és ennek a berajzolása teszi nyilvánvalóvá az összefüggéseket. Az elıbbi hámszöget például kiegészíthetik szabályos háromszöggé és ennek alapján okoskodhatnak.

Az elıbbi feladatban a szimmetria helyett hivatkozni lehetett volna a nagy háromszög három részháromszögének egybevágóságára; Euklidesz szellemében ezt is kellett volna tenni. Az egybevágóságra való hivatkozás gyakran nehézkesebb, hosszadalmasabb, mint a szimmetriára /vagy más egybevágósági transzformációkra, például eltolásra, elforgatásra/ alapozott bizonyítása. Vannak elınyei is: kezdık számára kézzelfoghatóbb módszert ad annak az eldöntésére, hogy csak sejtenek-e valamit az ábra szabályossága alapján, vagy amit látnak, az minden kétséget kizáróan igaz is. Egy bizonyos mechanizmust adnak az egybevágósági tételek ennek az eldöntésére. Egy kicsit hasonló ez ahhoz, ahogyan egyenletben felírva mechanikusan tudjuk megoldani az olyan feladatot, amelyet közvetlen belátás alapján esetleg egyszerőbben is meg tudnánk oldani. Kérdés azonban, hogy az egybevágósági tételek alkalmazása adja-e az erre a célra leghasználhatóbb mechanizmust, és az a könnyedség, amellyel azt alkalmazzuk, nem függ-e össze azzal, hogy fiatalabb éveinkben ezt szoktuk meg. /Vö. 209. old./

A geometriai bizonyításokba való fokozatos bevezetés, különösen pedig a transzformáción alapuló bizonyítások szempontjából rendkívül tanulságos Gallai Tibor és Péter Rózsa I. gimnázium tankönyve x .

______________ x Csak az 1949. évi kiadás teljes.

A jó és a rossz bizonyítások megkülönböztetése

behelyettesítéssel, egy számítás eredményét a számítás másféle elvégzésével ellenırizni lehet; a gyakorlatból származó feladatok esetében támpontot ad az is, hogy eredmény reális-e, megfelel-e az elképzeléseinknek; a szerkesztési feladat megoldásának helyességérıl megnyugtatást adhat a szerkesztés különféle felvételekben való elvégzése stb. Egyik ellenırzési mód sem tökéletes, de mindegyik ad valami fogózkodót. Talán a bizonyítási - és ezek között is a geometriai bizonyítási - feladatokról a legnehezebb eldönteni, helyes-e a megoldásuk vagy nem. x Fokozza a nehézségeket az, hogy nehéz megmondani, melyek azok

Az egyenlet

gyökeit

a szemléletbıl elfogadott vagy pedig bizonyított tények, amikre egy bizonyításban hivatkozni lehet. Ezért néha gondot okoz tanároknak is, a legjobb diákoknak is, versenydolgozatok javítóinak is az a probléma, hogy egy-egy geometriai bizonyítás helyes-e vagy nem.

A mondott nehézségek ellenére mégis kialakulnak bizonyos normák. A már tanult vagy feladatban bizonyított tételekre például szabad hivatkozni a bizonyításokban, bizonyos határok között a szemléletre is, bár ezek a határok eléggé esetlegesek. Mindenesetre

a vitás terület, ha van is, meglehetısen szők. Az átlagos diáknak a jó és a rossz bizonyításról alkotott elképzelésében sokkal nagyobb ingadozások vannak, s a tanárnak elsısorban ezeket kell csökkentenie. Egy-egy szándékosan hibás bizonyításról alkotott véleményükön a tanár jobban le tudja mérni, hol tartanak ezen a téren a diákok, mint tíz bizonyítás kikérdezésén. /Hasonló célokra felhasználhatja persze a spontán adódó hibás bizonyításokat is./

Lássunk néhány példát. Lehet egy bizonyítás úgy hibás, hogy maga a bizonyított állítás helyes. Ilyen például a következı:

Húzzunk egy kör egyik átmérıjének végpontjaiban két egymással párhuzamos húrt. Bizonyítsuk be, hogy a húrok egyenlık.

Igaz, hogy magasabb fokon a matematikai logika ad olyan formai kritériumokat, amelyeknek a segítségével a tökéletesen formalizált bizonyításokról eldönthetı, helyesek-e. A tökéletesen formalizált bizonyítások azonban a geometriának - ennek az igen bonyolult struktúrájú tudományágnak - viszonylag egyszerő tényeire is nagyon bonyolultak.

1. bizonyítás. Kössük össze a húrok másik végpontjait

a kör

középpontjával.

Két háromszög keletkezik, amelyek megegyeznek két- két oldalban /ezek mind a kör sugarai/ és a közbezárt szögben /ezek csúcsszögek/. Tehát egybevágók és így

a harmadik oldaluk is egyenlı.

2. bizonyítás. Kössük össze a húrok másik végpontjait egymással./ A bizonyítás a továbbiakban ugyanaz./

Vegyék észre a tanulók, hogy az

elkövetett hiba kettıs: egyrészt nem használtunk ki valamit, ami nélkül az állítás nem is igaz /a húrok

82. ábra

párhuzamosságát/, másrészt kihasználtunk valamit, amit nem tudhatunk /az elsı változatban azt, hogy a meghozott sugarak egy egyenesbe esnek, a másodikban azt, hogy a meghozott egyenes átmegy a kör középpontján./. Akár az egyik hibára jönnek rá, akár a másikra, a hamis bizonyítást sikerült leleplezniük. Aki nem látja meg a hibát egy ilyen hamis bizonyításban, az nem sokat ért abból, hogy az "igazi" bizonyítás miért jó.

Tegyük fel, hogy egy diák a következıképpen próbálja bebizonyítani a háromszög szögeinek összegére vonatkozó tételt: "Tudjuk, hogy ha két párhuzamos egyenest egy harmadik metsz, ez a két

szög egyenlı,

ezeknek az összege

tehát ezeknek az

180 o összege is 180 .

83. ábra

Forgassuk el az

az egyíves szög a

ezért a háromszög

egyiket a másik háromszögben ennyivel

szögeinek összege felé az áthúzott o

szintén 180 ". ívő szöggel,

kisebb lesz, de fönt is

van egy ekkora szöge,

84. ábra

Mit mondunk erre a bizonyításra? Ötletes, de valami híja van: nem a háromszögbıl indulunk ki. Miért baj ez? Azért, mert nem tudhatjuk elıre, hogy az eredmény minden háromszögre érvényes-e. Ha

a háromszögbıl indulunk ki, és nem használjuk ki a háromszögnek semmilyen speciális tulajdonságát, akkor minden háromszögre vonatkozik az eredmény. Így viszont eljutottunk egy háromszöghöz, de nem tudjuk, hogy minden háromszöghöz eljuthatunk-e ilyen módon. Könnyő belátni, hogy igen, és akkor a bizonyítás hiánytalan lesz. De addig nem az.

Még világosabban látszik ez egy másik példán /ez már gimnáziumi anyag/. Bebizonyítjuk, hogy a háromszög magasságvonalai egy pontban metszik egymást. Az oldalfelezı merılegesekre ezt már tudjuk. A bizonyítás szokott menete:

"Párhuzamost húzunk a háromszög mindegyik csúcsán át a szemközti oldallal. Paralelogrammák keletkeznek. A kis háromszög

minden oldala

két-két

paralelogrammához tartozik hozzá, a szemközti oldalakkal egyenlı. Ezek tehát egymás közt is egyenlık. Ezért a létrejövı nagy háromszög oldalait

háromszög csúcsai. Húzzuk meg a nagy

háromszög

oldalfelezı

merılegeseit. Tudjuk, hogy ezek egy pontban metszik egymást. De ezek az egyenesek az eredeti háromszög magasságegyenesei.

Ezért

magasságegyenesek is mindig egy pontban metszik egymást."

84. ábra

Valakinek támad egy ötlete. "Mért ilyen bonyolultan bizonyítjuk ezt a tételt? Semmi szükség paralelogrammákra. Meghúzzuk

a nagy háromszög középvonalat. Tudjuk, hogy ezek párhuzamosak az oldalaival. A nagy háromszög oldalfelezı merılegesei tehát a kis háromszög magasságegyenesei. Azok mindig egy pontban metszik egymást, tehát ezek is."

Az "egyszerőbb változat" hibája nyilván itt is ugyanaz, mint az elıbbi példában: utólag kaptuk azt a háromszöget, amelynek a magasságvonalairól szó van, és hiányzik annak a bizonyítása, hogy bármely háromszöghöz van olyan háromszög, hogy az utóbbi oldalainak

a felezıpontjait összekötve az elıbbit kapjuk. Ez természetesen igaz, és elég könnyen be is bizonyítható: az elsı bizonyítás éppen egy ilyen konstrukcióval kezdıdik. De hogy ez mennyire nem magától értetıdı, arra szembeötlı példa, hogy háromszögek helyett négyszögekre az analóg állítás nem is igaz. Be lehet bizonyítani, hogy ha egy négyszög szomszédos oldalainak a felezıpontjait összekötjük, a kapott kisebb négyszög átlói felezik egymást. Ha a fenti "egyszerőbb változatot" helyes bizonyításnak fogadnánk el, akkor ugyanolyan joggal azt is igaznak kellene tekintenünk ennek alapján, hogy bármely négyszög átlói felezik egymást. Ez nem igaz, mert az oldalak felezıpontjai speciális négyszöget, paralelogrammát határoznak meg. Nem tudhattuk azonban elıre, hogy a fenti "egyszerőbb változat"-ban szereplı belsı háromszög nem lesz-e szintén speciális.

Nézzük most a következı bizonyítást: "Legyen AB és A'B' két nem

párhuzamos és nem egy egyenesbe esı egyenlı szakasz a síkban. Bebizonyítjuk, hogy van a síknak olyan O pontja, amely körüli forgás A-t A'-be, B-t B'-be viszi. Azt állítjuk, hogy AA' és BB' felezımerılegesének

O metszéspontja ilyen tulajdonságú.

A szerkesztés folytán OAB és OA'B' egybevágók /megegyeznek mind a három oldalukban/. Egyenlık tehát az O-nál levı szögeik. Ha az elıbbihez hozzá-

86. ábra

- 208 - - 208 -

Ez a bizonyítás többek között azért hibást mert az OAB és OA'B' háromszögek egybevágóságára ugyan helyesen következtettünk, de azt is kihasználtuk, mégpedig indokolás nélkül, hogy ez a két háromszög egyezı forgásirányú /körüljárású/, amilyennek az ábra is feltünteti. Nem bizonyítottuk be az O pont létezését sem.

Ki lehet foldozni ezt a bizonyítást, de egyszerőbb két tükrözéssel okoskodni: az elsı vigye A-t A'-be, B-t pedig egy B" pontba, a második vigye B"-ot B'- be; ez az utóbbi A'-t a helyén

Hagyja, mert a'B"=AB = a'B' miatt az a'B'B" háromszög egyenlıszárú és

tükörtengelyen.

Két

tükrözés

szorzata /vagyis

egymásutánja/

vagy eltolás,

vagy

tükörtengelyek

metszéspontja

körüli forgatás. Az elıbbi azonban azt jelentené, hogy AB || a'B', ezt az esetet pedig kizártuk.

Ennek a két bizonyításnak az

87. ábra összehasonlítása rávilágít az

euklideszi koncepciónak egy jellemzı fogyatékosságára: hiányzik belıle az irányítás fogalma. Olyasféle megszorítás ez, mintha az algebrában mindig abszolút értékekkel dolgoznánk. Az abszolút értékek gyakran hasznosak, néha azonban nehézkesek. Az irányított mennyiségek

esetszétválasztástól mentesít. Ha két pont távolságáról, két szakasz szögérıl beszélek, abszolút értékkel dolgozom. Ha egy pontnak egy másikba való eltolásáról, egy félegyenesnek egy másikba való elforgatásáról beszélek, szerepet kap az irány. Az egybevágóság, a klasszikus euklideszi koncepció szerint, nem törıdik az iránnyal. A matematikai szemlélet egysége kívánatossá teszi, hogy

alkalmazása

sok

felesleges

- 209 - - 209 -

Éppen csak megemlítjük itt a hamis bizonyításoknak egy másik, nagyon tanulságos fajtáját: az olyan. bizonyításokat, amelyekben maga az állítás is hamis, nemcsak a bizonyítás hibás. Közismert példa annak a bizonyítása, hogy minden háromszög egyenlıszárú. x

A szerkesztések és egyéb manuális tevékenység szerepe

A matematikusok a geometriai szerkesztésekben elsısorban nem a körzıvel és vonalzóval végzett manuális tevékenységet látják. A szerkesztési feladatok megoldásához ezekre az eszközökre nincs is szükségük, csak papírra és ceruzára, esetleg arra sem. A geometriai szerkesztések elmélete, szerkesztési feladatok megoldhatósága körzıvel és vonalzóval az Euklidesz által "engedélyezett" lépésekben xx vagy más módokon, a matematika egyik fejezete, amely számottevı hatással volt az algebra fejlıdésére is. Ma ez a fejezet inkább történeti érdekességő. Gyakorlati szempontokkal is nehéz volna indokolni a geometriai szerkesztések ma betöltött serepét a matematika anyagában. Ha egy mérnöknek két kör közös érintıjét kell megszerkesztenie, aligha fogja ezt az iskolában

Ötféle esetben való "bizonyítását" lásd Northrop /1960/, 110-112. oldal. Valójában csak egy hatodik eset lehetséges. Ugyanebben a könyvben több más hasonló jellegő álbizonyítás is van.

A 116. oldalon található cím hibás; helyesen: "HA EGY NÉGYSZöG KÉT OLDALA EGYENLİ, AKKOR A MÁSIK KETTİ PÁRHUZAMOS. Ez persze nem igaz:

a következıkben ennek az állításnak a látszólagos bizonyítása olvasható. Ez a bizonyítás szoros kapcsolatban van azzal a hamis bizonyítással, amelyrıl a jegyzet 208.-209. oldalán volt szó. Gondoljuk végig, hogy milyen kapcsolatba!

Két ponton át egyenest húzhatunk. Két pont távolságát körzınyílásba vehetjük. Adott pont körül adott körzınyílással kört rajzolhatunk. Két metszı egyenes metszéspontját, körnek és szelıjének,

xx

metszéspontját megkereshetjük.

illetve metszı

köröknek

két-két

- 210 - - 210 -

egyébként azonban a geometriai szerkesztések gyakorlati jelentısége elhanyagolható és elméleti fontossága sem túl nagy." Hogy mégis joggal szerepelnek a matematika anyagában, azt Pólya így indokolja "... kiválóan alkalmasak arra, hogy a kezdı megismerkedjék általuk a geometriai. alakzatokkal és a problémamegoldás gondolatkörével". Ha azt is megnézzük, hogy miért olyan alkalmasak a szerkesztések erre a két célra, a magyarázatot - legalábbis részben - a manuális kiindulásban találhatjuk meg. A kéz szerepe a gondolkozás kibontakozásában nemcsak filogenetikai szempontból, az emberiség fejlıdése szemfontjából fontos, hanem ontogenetikailag, az egyén fejlıdése szempontjából is. A kézrıl beszélünk, de persze nemcsak arra gondolunk, hanem az egész érzékszervi mozgásos rendszerre, amelyhez a kéz is hozzátartozik. Azért hangsúlyozzuk mégis inkább a kéz szerepét, mert ez az, amirıl az egyoldalúan a szemléltetést kiemelı pedagógiai felfogás szeret megfeledkezni. Pedig a pszichológiai kutatások szerint a manuális tevékenységnek nagy szerepe van a fogalmak kialakulásában és a gondolkozás fejlıdésében.

A számtan-algebra tanítása ma nincs erre eléggé tekintettel, és ebbıl - mint láttuk - sok nehézség származik. A geometria tanításában ma leginkább a szerkesztések biztosítják a manuális tevékenységbıl való kiindulást. Nem minden tanulóban egyformán nagy

a manualitás igénye; fiatalabbaknál nagyobb, mint idısebbeknél, lányoknál talán valamivel nagyobb, mint fiúknál, de vannak nagy egyéni különbségek is. Érdemes megfigyelni, mennyire megváltozik az osztály

után geometriai szerkesztésekre kerül sor; hogy válnak aktívabbá azok, akiknek ez eddig hiányzott. A manualitás ezeknél sem a manualitásért van. A szerkesztés közben végzett tevékenység - Piaget már említett kifejezésével élve - interiorizálódik, belsıvé válik, idıvel gondolatban is végre tudják hajtani, gondolati kísérleteket tudnak végezni körzıvel és vonalzóval, és ennek alapján a valóságos cselekvés eredményét elıre meg tudják mondani. A szerkesztés elvégzése megmutatja, hogy elgondolásuk helyes volt-e. A valóságos és elképzelt cselekvésnek eb-

képe,

amikor

például

algebrázás

_____________ x Pólya /1962/, 3. oldal.

- 211 - - 211 -

A vázlatkészítés és az elemzés idıvel egyre nagyobb szerephez jut a szerkesztés tényleges elvégzéséhez képest, ami jóformán rutin-munkává válik. Magánál a szerkesztésnél késıbb szinte fontosabb az, hogy érthetıen el tudják mondani, hogyan végzik el a szerkesztést. Ha a szerkesztés valóságos elvégzését mindig megkívánnánk, akkor a továbbhaladást súlyos kolonccal fékeznénk. Fontos azonban, hogy - ha szükséges - el is tudják végezni a szerkesztést megfelelı pontossággal és külalakkal.

Szerkesztések végzése közben mind több érdekes geometriai tényt figyelnek meg a tanulók, ezek között összefüggéseket keresnek, így a geometriai szerkesztéseken keresztül természetes úton jutnak el a geometriai bizonyításokhoz is. Gondoljunk például a szabályos hatszögnek a 201. oldalon említett szerkesztésére, amely felveti azt

a gondolatot, hogy miért jutunk vissza pontosan a kiinduló helyzetbe, és miért éppen a hatodikra, s így a szabályos háromszög tulajdonságainak és a háromszög szögei összegének gondolatköréhez vezet.

Tévedés volna azt hinni, hogy a geometriai szerkesztéseknek, köztük éppen az euklideszi szerkesztéseknek, valamiféle kitőn-

______________ x A geometriai

megoldásának hagyományosan négy szakaszát szokás megkülönböztetni: a most említett elemzés, a szerkesztés valóságos elvégzése vagy leírása, a szerkesztés helyességének bizonyítása, és a diszkusszió, vagyis annak a megvizsgálása, hogy az adatok különféle felvétele esetén hány megoldás lehetséges és ezek milyenek. Pólya György a feladatmegoldás alkotóelemeit

szerkesztési

feladatok

és nem csupán geometriai szerkesztési feladatokra szorítkozva tárgyalja már említett könyvében /A gondolkodás iskolája, Mővelt nép, 1957/. Az ott adott keretekbe a szerkesztési feladatok most említett négy szakasza is beleillik.

részletesebben

- 212 - - 212 -

Elıször is nehéz volna elvi szerpontokkal indokolni az euklideszi szerkesztésekre való szorítkozást. Tankönyveink többnyire ilyeneket tartalmaznak, mindannyian jobban kiismerjük magunkat ezekben, a Középiskolai Matematikai Lapokban és versenyeken kimondatlanul is az euklideszi megállapodásokat vesszük alapul, egy kis változatosság azonban éppen ezért hasznos volna. A derékszögő vonalzó mentén való merılegeshúzás és a vonalzócsúsztatással való párhuzamosszerkesztés mellett - ami ma is szerepel - érdemes feladatokat adni például a párhuzamos élő vonalzó használatára, fonalszerkesztéseket is mutatni x stb.

Amikor körzıvel /és vonalzóval/ például három oldalából háromszöget szerkesztünk, akkor a háromszögnek három oldalából való összeállítását imitáljuk. Nem minden tanuló látja azonban ezt a kapcsolatot. Ha a körzıt fonál, vagy papírcsík helyettesítené, szembetőnıbb volna, hogy errıl van szó, a körzırıl azonban éppen az

a szakasz hiányzik, amit aztán megrajzolunk. Hogy ez valóságos nehézség, arra jellemzı, milyen sok tanuló hiszi, hogy az a bizonyos hatodikra való visszatérés a körön azt jelenti: a kerület pontosan hatszorosa a sugárnak. xx Nem látják tisztán, hogy a körzı a távolságot egyenesen méri, nem pedig az ív mentén. Mindjárt világos lesz azonban az elıttük, ha fonállal vagy kilyuggatott papírcsíkkal húzzák az íveket. Ezek az eszközök azért is hasznosak kezdetben, mert a tanulók maguk készítik el ıket.

a háromszögszerkesztési feladatok megoldása tulajdonképpen mit is jelent, ha a számára túlságosan absztrakt szerkesztési eljárást megelızıen összeállítana különféle nagyságú pálcikákból /oldalakból/

Sok tanuló

világosabban

látná

például, hogy

Lásd pl. Molnár József: Síkgörbék fonalas szerkesztése. Középiskolai. Matematikai Lapok II. évfolyam 2. , 3., 4. szám /1950/

Kuriózumképpen megemlítjük, hogy van, akinek az iskolában /de ez régen volt/ azt tanították: nem pontosan a hatodikra érünk vissza, van egy kis különbség, mert a kör kerülete az átmérınek 6,28-szorosa.

xx

- 213 - - 213 -

testmodellek ragasztása vagy hajtogatása kartonpapírból, vagy összeállítása pálcikákból és gyurmából, felépítése játékkockákból, mind egy-egy lehetıség arra, hogy manuális tevékenység útján alakítsunk ki a tanulókban geometriai fogalmakat, figyeltessünk meg velük tényeket és indítsuk el ıket a tények között levı kapcsolatok feltárásának útján.

gyártott

sokszögek

rakosgatásával,

XXX

A következı szakaszban egy olyan óra leírása olvasható, ahol a tanulók fıképpen szerkesztési feladatok megoldásával foglalkoztak, a szó hagyományos értelmében. xx Nem hagyományos viszont a tanítási módszer. Figyeljük meg, hogyan marad a pedagógus háttérben, hogyan hagyja érvényesülni a tanulókat, de hogyan irányítja azért a háttérbıl is az órát. Bizonyosan nem független ettıl a tanítási módszertıl

a geometriai szerkesztésekben és általában a geometriai gondolkozásban hatodik osztályos létükre általában gimnáziumi színvonalon vannak. A tanár az anyag felépítésében elsısorban Gallai Tibor és Péter Rózsa I. gimnáziumi könyvére támaszkodott.

az

elért

eredmény:

a tanulók

Lásd ezzel kapcsolatban: Kárteszi Ferenc, Az olló geometriája.

Mint a fentiekbıl kiderül, ez a hagyomány semmiképpen sem elvetendı, csupán kiegészítésre szorul!

xx

Egy 6. osztályos geometria óra

A tanár mindjárt az óra elején szó nélkül felvázolja a táblára az alábbi ábrát. /Egy tanuló azalatt a tábla másik felén dolgozik egy feladaton, amelyet cédulán kapott./

Egy perc múlva kezdenek néhányan jelentkezni. Vár, amíg többen jelentkeznek, aztán int az egyiknek.

= A nagy háromszögben egy szög 80o, ezért a másik két szög összege 100o /mutatja a szögeket/. Felük összege 50°, α-ra marad l30o.

88. ábra Hasonló feladatot ad 70°-kal:

- Ezt Mindenki maga oldja meg, írjátok le az eredményt.

Járkál a padok közt, az egyik tanuló füzetében ezt az ábrát látja, felrajzolja a táblára:

- Mit szóltok ehhez? = Nem helyes. Nem tudjuk, hogy

ezek mind egyenlık-e.

- Ha egyenlık volnának, mekkora

89. ábra volna mindegyik? /Vitatkoznak két különbözı értéken, a tanár tartózkodik az állásfoglalástól, a diákok

láthatóan meg is szokták már, hogy ne tıle, mint orákulumtól várják

a vitás kérdések eldöntését, mert nem az ı arcát lesik. A vita, amelyben a tanár szinte csak katalizátorként, jelenlétével vesz részt, hamar eldıl. Közben a lassabbak is megoldják az eredeti feladatot./

- Készen vagy? /A táblánál dolgozóhoz./ Halljuk. /A táblán az itt látható ábra van, szabad kézzel vázolta fel a felelı./

szerkesztenem, amely érint egy kört adott pontjában és egy egyenest. Két feltételt kellett teljesítenem. Az elsıt azok a körök teljesítik, amelyeknek a középpontja rajta van ezen az egyenesen /mutatja a kör középpontján és megadott pontján áthaladó egyenest/. A második ma-

90. ábra

- 215 - - 215 -

- Van valami megjegyzésetek? /Sokan jelentkeznek./ - Klári? = Nem fejezte be a szerkesztést. A metszéspont és a körön

kijelölt pont távolságával kell kört rajzolni. A metszéspont a kör középpontja.

- Más? /Többen nagyon hadonásznak, az egyiknek szót ad./

= A feladatnak két megoldása van. Ennek a két

egyenesnek

/kiszalad

mutatja/ két szögfelezıje van, a kettı együtt a másik ponthalmaz. Ennek és az elsı ponthalmaznak itt is van egy közös pontja. /Kiegészíti az ábrát. De a metszéspont már a táblán kívülre

és

esne. Megzavarodik. A tanárnı

91. ábra

odalép:"Csalunk egy kicsit." Így jön létre az itt reprodukált ábra./

- Van még megjegyzés? = Most nem egymáson kívül vannak, hanem belül ... a

megszerkesztett kör belsejében lesz az adott kör. - Következı feladatunk: szerkessz olyan kört, amely érint egy

kört és egy egyenest, az utóbbit egy adott pontjában. Még egyszer elmondja, lassan. Miben különbözik ez az

elıbbitıl? Megbeszélik, hogy ott a körön volt az adott érintési pont, itt az egyenesen. Közben már sokan lázasan rajzolgatnak a blokká összefőzött firkálópapírokra.

A tanár járkál, aztán a táblához lép és felrajzol oda egypár vázlatot a látottak közül. A táblai vázlaton szaggatott helyett sárga a keresett kör, a tanulók is használnak színest. Késıbbi rajzainkon is a szaggatott színeset jelent./

92. ábra

- Jó vázlatok ezek?

A gyerekek megteszik megjegyzéseiket: Az elsı nem ehhez a feladathoz való vázlat, a másodikon hiányzik az érintési pont, jó volna megjelölni az adott és a keresett kör középpontját is, a keresett körnek érintenie kell az adott egyenest. Azok a tanulók, akiknek a vázlata hibás volt, kijavítják - a tanárnı nem említett neveket, de tudják, hogy róluk van szó - és most már feltehetıleg mindegyik jó vázlat alapján dolgozik tovább.

- Kérek valami gondolatot! = Két dolgot kívánunk a keresett körtıl:

elıször, hogy érintsen egy kört, másodszor, hogy érintsen egy egyenest adott

pontjában.

- Tovább. /Másik jelentkezıt szólít./ = Elıször nézzük azt, hogy a sárga kör menjen át az egyenes A

pontján.

A tanár a táblához siet,

a gyerek

szavai, aki

persze

érintésre gondolt, de nem jól fejezte ki magát:

A gyerekek élénken tiltakoznak.

- Azt mondta, menjen át rajta.

A gyerek kijavítja a szavait:

93. ábra

= ... érintse az egyenest

A-ban. /Merılegest emel./ Most sárga

kört gondolatban fújjuk föl annyira, hogy menjen át az adott kör középpontján.

Jó, elég,

dolgozzatok

tovább.

Szóljatok, ha sikerült. Mindenki a helyén dolgozik, a tanár a padok között járkál,

94. ábra

aztán kimegy a táblához, nem rajzol, csak az ujjával mutatja az ábrán pontozással jelölt kört:

- Egy gyerek így fújta fel

a sárga kört. /Megbeszélik, hogy

a középpontnak

helyben kell

maradnia, a tanár a táblára rajzolja, miután a gyerekek is nagyrészt készen vannak:/

A tanár az osztály felé fordul, várja a jelentkezéseket minden kérdés nélkül. Az egyik

95. ábra jelentkezınek szót ad:

= Ezt a pontot /a mi ábránkon B-vel jelölt pontra mutat/ összekötöm a O-val és meghúzom a felezımerılegesét.

- Ismered azt a pontot? Nekünk igazában csak ennyi van az ábrából:

/Megbeszélik, hogy ami színes, azt csak odaképzelték./

A tanár megint várja az osztálytól az ötleteket.

= Az A pont is tolódik, amikor

96. ábra

felfújjuk!

/Beszélgetnek errıl, aztán a tanár kiegészíti a táblai rajzot:/

= O és Al felezımerılegesén mindig

középpontja. - De miért? = Azért, mert a kör húrjának

felezımerılegesén mindig rajta van

a kör középpontja. = Azért is, mert két ponton

átmenı kör középpontja rajta van a szakasz felezımerılegesén.

/Ezt és a következıt is más-más jelentkezık mondják. Mindig vannak

97. ábra kezek a levegıben./

= Ahol az az egyenes és ez az egyenes /kimegy, mutatja az A- ban emelt merılegest és OA1 felezımerılegesét/ metszi egymást, ott lesz ennek a körnek a középpontja. De azért még nem oldottuk meg a feladatot.

- Nem oldottuk meg a feladatot ... /Csak a gyerek szavait ismétli, állásfoglalás nélkül, várva mit szólnak a többiek. Valaki helyesel, folytatja a megoldást:/

= A keresett sárga kör sugara az adott kör sugarával kevesebb lesz, mint amit megszerkesztettünk.

- Kérem a szerkesztést!

A gyerekek tömegesen jelentkeznek. A tanár gyors egymásutánban szólítja ıket, sorban mondják a szerkesztés egyes lépéseit, ı a táblánál új ábrát kezdve, felvázolja, amit mondanak. Rajzeszközöket egész órán nem használ sem ı, sem a gyerekek, nem töltenek vele idıt. Majd otthonra olyan feladatot is kapnak! Egymás mellett van az elemzéshez használt vázlat és a most készülı, amely a szerkesztés lépéseit mutatja. Közben a régi ábrára is ráirányítja a figyelmüket.

- Hol van ennek a pontnak a megfelelıje a másik vázlaton?

A táblán már ott van a "felfújt" kör, néhány gyerek még dolgozik. Odamegy az egyikhez, megnézi.

- Neked még mindig egy másik feladat motoz a fejedben. Az, ahol a körön van kijelölve egy pont.

- Készen van a vázlat? Ezt a kört kerestük? /Ezt már az osztálytól kérdezi./

= Nem ezt. Képzeljük el, hogy a felfújt körbıl annyit szívunk vissza, amennyi az adott kör sugara.

Befejezik a szerkesztés felvázolását. Aztán megbeszélik a másik megoldást /az adott kör belül van a keresett körön/; itt "szívással" kezdik "felfújással" végzik. Ezen az eseten is végigmennek, de gyorsabban, mint az elıbbin.

Egy gyerek közben jelentkezett, kezdett is mondani valamit a táblánál, de a tanár leütette ott egy székre, amíg az elıbbi gondolatmenet befejezıdik. Most aztán int neki:

- Mondd csak!

A gyerek ezt az ábrát rajzolja: Ha a sárga kör érinti az egyenest ebben

a pontban, akkor érinti ezt a kört ... és azt a kört is ... Úgy rajzoljuk, hogy akkorák legyenek, mint az adott kör.

- És akkor? /Másik gyereket szólít,

be a gondolatmenetet. De még utána is nagyon jelentkezik valaki, annak is szót ad:/

azzal

fejezteti

= G. átalakította a feladatot

98. ábra /arról a gyerekrıl beszél, aki a körsoros megoldást javasolta/: Adva van két egyenlı sugarú kör,

olyan kört kell szerkeszteni, amely ezeket érinti, az egyiket egy adott pontjában.

Csöngettek. A tanár feladatlapokat oszt ki, ezeken van a házi feladat. Az osztály kimegy.

"Mértani helyek"

A síkidomokat, a testeket, a térelemeket pontokból állóknak képzeljük

a geometriában ponthalmazokkal foglalkozunk. Megadni egy ponthalmazt - általában egy halmazt - egyértelmő azzal, hegy megadunk egy tulajdonságot, amelynek a halmaz elemei, és csak azok, eleget tesznek. Ha egy halmazt az elemei felsorolásával adunk meg, akkor is ezt tesszük; az is tulajdonsága valaminek hogy felsoroltuk-e vagy nem.

és

képzeltetjük

a gyerekekkel

Van a geometriában egy problémakör, amellyel kapcsolatban a "mértani hely" kifejezést szokás alkalmazni. Mit értünk mértani helyen? Olyan pontok összességét - vagyis halmazát - amelyek mind egy bizonyos tulajdonsággal rendelkeznek, de rajtuk kívül egy pontnak sincs meg ez a tulajdonsága. A geometriának ez a problémaköre tehát a ponthalmazokkal kapcsolatos. De hiszen a többi is!

Mégis úgy érezzük, hogy ezt a problémakört valami megkülönbözteti a többitıl. Nem lehet különbséget tenni olyan ponthalmazok között, amelyek mértani helyek és olyanok között, amelyek nem; nem a ponthalmazokban, hanem a megadási módjukban van a különbség. Ha a tanár azt mondja a tanulóknak, hogy hozzanak két párhuzamos egyenest egymástól 4 cm távolságban, explicit módon adta meg az egyeneseket. Ha viszont megkeresteti velük azoknak a pontoknak a mértani helyét, amelyek egy egyenestıl 2 cm távolságban vannak, akkor implicit formában adta meg ugyanazt /ti. egybevágóság erejéig ugyanazt/ a ponthalmazt. Az elıbbi arra emlékeztet minket, amikor megadjuk például ezt a két számot: 2 és 3. Az utóbbi ahhoz hasonló, mintha megadnánk egy olyan egyenletet, amelynek ezek és csak ezek a gyökei: x 2 - 5x + 6 = 0 vagy /x-2//x-3/ = 0.

Ha lehet is határt vonni aközt, hogy egy vagy több számot explicit formában adunk-e meg vagy implicit módon, például egyenlettel, a határ nem nagyon éles; x - 2 = 0 is egyenlet, x = 2 is az.

Ugyanilyen kevéssé vagy még kevésbé éles a határ a ponthalmazok implicit és explicit megadása közt. Mégis azt mondhatjuk: az úgynevezett "mértani hely"-feladatok azt kívánják tılünk, hogy egy implicit módon megadott ponthalmazt explicit formában is adjunk meg. Jobb híján ponthalmaz-keresési feladatoknak nevezhetnénk ıket vagy általánosabban - olyan általánosan, hogy abba az egyenletmegoldás és sok minden egyéb is belefér - halmazkeresési feladatoknak.

A "mértani hely" elnevezés azért rossz, mert azt a gondolatot ébreszti, mintha valamiféle speciális objektumokra, alakzatokra, "helyekre" vonatkoznak, nem pedig elvben bármilyen ponthalmazzal kapcsolatos

A félrevezetı elnevezésekkel kapcsolatban a tanár ne helyezkedjen arisztokratikus álláspontra /"én is megértettem, más is megértheti"/;

speciális

feladattípusra utalna.

- 221 - - 221 -

Az a megállapítás, hogy "a mértani helyekkel kapcsolatban, mindig két dolgot kell tisztázni: rajta vannak-e mind az adott tulajdonságú pontok és csak azok vannak-e rajta", önmagában helyes. Mégis a tanulók látókörének leszőkítésére vezethet, ha nem mutatunk rá, hogy nem a "mértani helynek" valami különleges jellemzıjérıl van szó. Általában két halmaz egybeesését úgy igazolhatjuk, hogy "két dolgot tisztázunk": megmutatjuk x , az egyiknek minden eleme a másiknak is eleme és megfordítva is. Ehhez az általános és absztrakt megfogalmazáshoz,

a gondolathoz, csak speciális és konkrét példák útján lehet eljutni xx ,

vagy

más

megfogalmazásban

ugyanehhez

de ha ide nem jutunk el, akkor az iskolai matematika összefüggéstelen, mozaikszerő jellegét erısítjük. Nem olyan vad általánosság ez, amelyhez l4-15 éves tanulók ne tudnának hozzáférni alkalmas szemléltetés /pl. a halmazoknak "krumplikkal" való ábrázolása/ és sok konkrét példa útján.

Itt "igazolhatjuk" és "megmutathatjuk" stiláris változatok ahelyett, hogy "bizonyíthatjuk". Egyhangúságra vezetne ugyanazoknak az elnevezéseknek a halmozása. /Analóg eset: a halmaz szó torlódását gyakran úgy kerüljük el, hogy helyette osztályról, összességrıl stb. beszélünk/. Van, aki bizonyos vonatkozásban szívesebben használja az egyik szót, mint a másikat, például annak a bizonyítását, hogy egy szám kielégít egy egyenletet, inkább igazolásnak mondja; ez azonban szokás

a kifejezések egymással felcserélhetık, egy ilyen csere nem tesz igaz állítást hamissá vagy hamisat igazzá. Jó erre a diákok figyelmét is adandó alkalommal felhívni. Nem ritka eset, hogy az efféle stiláris különbségtétel problémát okoz a tanulóknak, és a tanár segítsége nélkül tévútra is vezetheti ıket.

Ponthalmazokkal kapcsolatban ez a gondolat elsısorban "mértani helyes" feladatok vonatkozásában merül fel, számhalmazokkal kapcsolatban egyenletek megoldásakor /egyenletek ekvivalenciája/, síkidomok halmazaival kapcsolatban akkor, amikor egy tétel megfordításáról, egy síkidom - például a paralelogramma - valamilyen jellemzı tulajdonságáról van szó stb. stb.

xx

A ponthalmaz-keresési feladatok azért nagyon értékesek, mert a matematika induktív és deduktív oldala egyaránt megmutatkozik bennük. Rendszerint kísérletezéssel kezdıdnek a megoldások: egy, majd több olyan pontot keresünk, amelyek az adott kikötésnek vagy kikötéseknek eleget tesznek. Ahogy a pontok sokasodnak, kezd kibontakozni valami ponthalmaz - például egy görbe - képe. Sejtésünk támad. Összefüggéseket keresünk, megpróbáljuk a sejtést igazolni. Csak ha ez is sikerült, oldottuk meg a problémát. Más típusú problémák megoldásában is megtaláljuk ennek a folyamatnak bizonyos elemeit, de egyszerő feladatokban ritkán látunk olyan teljes tablót, mint éppen a ponthalmaz-keresési problémákban. A képzelıerıt, - közelebbrıl: a térszemléletet - is fejlesztik ezek a feladatok; a kísérletezést gyakran pótolja a keresett pontok lehetséges helyzeteinek az elképzelése. Nem síkbeli ponthalmazok esetében különösen nagy szükség van erre.

A ponthalmaz-keresési feladatokban nagy szerepe van a ponthalmazok közti távolság, illetve speciálisabban egy pont és egy ponthalmaz közti távolság fogalmának. Iskoláinkban ennek a fogalomnak is, mint több más fogalomnak, csak nagyon szők speciális eseteirıl szokott szó lenni. Nem volna nagy dolog elıvétetni a diákokkal a földrajzi atlaszokat, és olyan feladatokon, mint pl. "Milyen messze van Anglia az európai kontinenstıl?" "Beletartozik-e

X község Magyarország 20 km széles határövezetébe?" kialakítani a távolság eléggé általános fogalmát. /Amíg zárt ponthalmazoknál maradunk - jó ezt a szóhasználatban valahogyan kifejezésre juttatni -, addig elkerülhetjük a két ponthalmaz pontjai közti távolságok alsó határának fogalmát, elég a legrövidebb távolságról beszélni./ Így elkerülhetjük, hogy a diákok a távolság fogalmát például mindenáron a merılegesség fogalmához igyekezzenek kapcsolni. Érdemes

volna felméréseket végezni, hogy száz középiskolás diák közül hány van ma tisztában azzal, hogy az ábrán látható esetben a P pontnak és

a QS

kezdıszakaszú

félegyenesnek a távolsága nem a meghosszabbításra

bocsátott

merıleges PR, hanem a PQ szakasz hossza /ábra/. Hányan tudják

99. ábra megtalálni azoknak a pontoknak

- 223 - - 223 -

Szerkesztési feladatok megoldásában az egyik legtermészetesebb - amellett nagyon általános - módszer a következı. A feladatban tett kikötéseket alkalmas módon x csoportosítjuk - ugyanaz a kikötés több csoportban is szerepelhet -, megkeressük azoknak a pontoknak a halmazait, amelyek egy-egy kikötéscsoportnak eleget tesznek, végül pedig ezeknek a ponthalmazoknak a metszetét vesszük. A szerkesztés ezzel nem mindig fejezıdik be, de támpontot kapunk a további lépésekhez. A 215.-220.oldalon közölt óraleírásban szerepel például

a következı feladata: "Szerkesszünk olyan kört, amely érint egy kört magadott pontjában és egy egyenest." Az a tanuló, aki ebbıl felelt /215.-216.oldal/, megértette, hogy a keresett kör középpontjának a megszerkesztésére kell irányítania a figyelmét. Ha ez megvan, akkor

a szerkesztés még nem fejezıdött be, de a befejezés nyilvánvaló. Azt is megértette, hogy nem vezetne célra ez a csoportosítás, amely pedig a feladat szövege alapján a legtermészetesebb volna: 1. keressük meg az adott kört adott pontjában érintı körök középpontjainak halmazát; 2. keressük meg az adott egyenest érintı körök középpontjának a halmazát. Megértette, hogy a második részfeladat nem tartalmaz elég megszorítást, hozzá kell venni az elsı részfeladat - pontosabban: egy vele ekvivalens feladat -egyik kikötését. xx Nyilván nem gondolta ezt át teljes mélységében sem a felelı tanuló, sem a társai, de a lényegét megértette és további feladatok meg-

Az alkalmas csoportosítás azt jelenti, hogy mindegyik kikötés-csoportnak eleget tevı pontok olyan halmazt alkossanak, amely a megengedett szerkesztési eljárásokkal megszerkeszthetı.

Az 1. részfeladattal ekvivalens feladathoz jutunk, ha az adott kört helyettesítjük az adott pontjában húzott érintıvel. Az így kapott feladatnak két kikötése van: la. a keresett pontok olyan körök középpontjai legyenek, amelyek átmennek az adott ponton; 1 b.

xx

a keresett pontok olyan körök középpontjai legyenek, amelyek érintik az adott egyenest. Ez az utóbbi kikötés az, amellyel a 2. részfeladatot ki kell egészíteni. /Egyszerőbb nyelven szólva: a tanuló körsorokkal okoskodott./

- 224 - - 224 -

Egybevágóság, hasonlóság Ennek a két fogalomnak az általános iskola geometriai anyagában

középponti szerepe van. Ez több szempontból is igaz és annak ellenére is igaz, hogy az "egybevágó", "egybevágóság" szavak a tantervben elı sem fordulnak.

Elıször is: amirıl a geometriában szó van, arról mindig egybevágóságtól eltekintve, /sıt a mérési problémák kivételével hasonlóságtól eltekintve/ van szó. Aki ezt nem érti meg, az nem sokat ért a geometriából. Márpedig ezt nem könnyő megérteni a gyereknek, aki megszokta, hogy d, b, q és p között 6 és 9 között stb. igenis különbséget kell tenni. Nehezen szokta meg ezt annakidején, akadályozták ebben az olyan tapasztalatok, hogy a fogkefe ugyanaz a fogkefe marad, akár balra, akár jobbra néz, akár lent van, akár fent van a sörtéje. De miután megszokta, ez a megszokás akadályozza, hogy a geometriában mégis eltekintsen a helyzettıl.x /A nagyságtól való eltekintés nem okoz annyi problémát./

x Nemcsak iskolásoknak okoz nehézséget az a gondolat, hogy a geometria nem törıdik a helyzettel. Jellemzı példája ennek a Schlag Nach /Natur/c. könyv geometriai részében található következı részlet /54. oldal/:

"Rhombus und Raute

Der Rhombus ist ein Paralellogramm mit gleichen Seiten, die Raute ein auf die Spitze gestellter Rhombus."

A szerzı a rombuszon kívül,/amelynek két oldala, mint az ábra mutatja, "vízszintes/, szükségesnek látott egy

"Raute" nevő idomot is definiálni, amely ugyanez "a hegyére állítva".

Másodszor: az a két geometriai fogalom, amely az általános iskolai tananyagban még rendezı elvként szerepel, a tengelyes és a középpontos szimmetria, az egybevágóságra visszavezethetı: A szimmetrikus idomot avval lehet jellemezni, hogy önmagával más helyzetben is egybevágó /„átfordítva" vagy 180°-kal elforgatva is egybeesik eredeti helyzetével/; vagy avval, hogy egy egyenes, vagy egy pontján áthaladó minden egyenes, két egybevágó részre vágja. Az egybevágóság mélyebb fogalma a tengelyes és középpontos szimmetria gondolatába is jobb betekintést ad.

Harmadszor: az egybevágóság és a hasonlóság fogalma azért is fontos, mert felhasználható a gyerekeket is érdeklı gyakorlati problémák megoldására. Ezt az általános iskola geometriai anyagának nem sok részérıl mondhatjuk el. Mire jó az, hogy a derékszögő háromszög szögeinek összege 180°? - kérdezheti a gyerek. Mit tudok meg azzal, ha megtanulom a derékszögekrıl, hogy mindig egyenlık? A 27°-os szögek talán nem? A sok mihaszna tanulnivaló közt üdítı színfoltot jelent valami, aminek a segítségével meg tudjuk állapítani a folyó innensı felén maradva, milyen messze van tılünk a folyón túl levı ház, meg tudjuk állapítani épületek magasságát, mérethő térképvázlatot tudunk készíteni stb.

Amilyen fontos és mély fogalom az egybevágóság és a hasonlóság, annyira egyszerő is. A hasonlóság lényegét elég jól kifejezi az, hogy "ugyanolyan alakúak", az egybevágóságét az, hogy ugyanolyan alakúak és ugyanakkorák". Ezeket a fogalmakat a gyerekek ismerik, használják; persze meg kell szokniuk az új elnevezéseket és

a "hasonló" szó esetében zavarja ıket a "hasonlít" szó eltérı jelentése. Az egybevágóság és a hasonlóság fogalma késıbb gazdagodik, árnyalódik, de fontos az, hogy az elsı képők lényegében helyes legyen. A két fogalom szorosan összetartozik, egymáshoz viszonyítva könnyebb megérteni ıket. Mansfield és Thompson /1962/ xx egy feladatban vezeti be a két fogalmat, minden elmélet mellızésével, 11 éves korban. Bemutat egy ábrát egybevágó, de különbözı állású és /részben különbözı körüljárású/ háromszögekkel:

Ezek a fogalmak itt nem mint transzformációk, hanem mint síkidomok tulajdonságai szerepelnek, az általános iskolában a szimmetria nem jelent tükrözést, csupán tükrösséget.

xx

44. és 45. oldal.

101. ábra

Azután bemutat három hasonló ötszöget:

102. ábra

és másik hármat, amelyek hasonlítanak, de nem hasonlók:

103. ábra

Néhány sorban elmondja, hogy kell érteni azt, hogy ezek a háromszögek egybevágók, az elsı három ötszög hasonló, a második három

- 227 -

nem, aztán közöl egy ábrasorozatot /104. ábra/. Meg kell állapítaniuk, hogy az elsı oszlopban látható síkidommal illette testtel egybevágók-e, vagy hasonlók-e hozzájuk a többi oszlopban láthatók.

Lehetne javítani ezen a felépítésen. Ha már a hasonlóság fogalma együtt van az egybevágóságéval, kerülhet a hasonlóság az elsı helyre. Így természetesebb, hogy nem zárjuk ki azt az esetet, amikor az alakjukon kívül a nagyságuk is megegyezik. A fenti sorrendben ez nehézséget okoz. Az utóbbit ugyanis mindig az elıbbihez viszonyítjuk, és könnyebb a speciális esetet viszonyítani az általánosabbhoz, mint megfordítva. Figyeljük meg,

- 228 - - 228 -

egybevágók:

egyezı alakúak egyezı alakúak és ugyanakkorák

egybevágók: hasonlók: egyezı alakúak, de nem egyezı alakúak és ugyanakkorák

feltétlen ugyanakkorák

Egy másik ponton is javíthatunk ezen az elgondoláson. Nagyobb általánosságra vezet és nem jár több nehézséggel, ha a geometriából név szerint ismert síkidomokon és testeken kívül szerepel például falevél képe, tintafolt, fénykép stb. is. x

Az egybevágóságnak és a hasonlóságnak ez a primitív fogalma csupán kiindulópont lehet. A cél: eljutni oda, hogy egybevágóságon távolságtartó, hasonlóságon pedig távolságarány-tartó leképezést /megfeleltetést/ értünk. Az egybevágóságnak az a másik primitív definició-pótléka, hogy "fedésbe hozhatók", elınyös ugyan abból a szempontból, hogy módszert ad az egybevágóság megállapítására, de sajnos csak a síkban használható. A térre legfeljebb úgy tudnánk átvinni ezt a gondolatot, hogy optikai eszközöket is megengedünk a "fedésbe hozás" érdekében; a tükrözést nem tudjuk megtakarítani. Az olyanféle fogalmazás a térbeli egybevágóságra, hogy "ugyanarra a helyre hozhatók", már csak azért sem használható, mert semmi módon sem tudunk például egy cipıt "ugyanarra a helyre hozni", vagy "ugyanazt a helyet betölteni

Nem jó tápot adni annak az elképzelésnek, hogy a geometria körébe csak olyan alakzatok tartoznak, mint hasáb, gúla, henger, kúp, gömb, gömbszelet, gömbcikk, sokszög, kör, körszelet, körcikk, kúpszeletek és más olyan alakzatok, amelyeknek a geometriában nevet adunk. Néhány évvel ezelıtt a Kürschák-versenyen szerepelt egy ilyen feladat: "Bizonyítsuk be, hogy ha egy test minden síkmetszete kör, akkor a test gömb." Több dolgozatban is elıfordult a következı "megoldás": a hasáboknak és gúláknak, hengereknek és kúpoknak vagy legalább egy olyan metszetük, amely nem köralakú; tehát a keresett tulajdonságú test csak a gömb lehet.

- 229 - - 229 -

Az egybevágóságnak a fedésbe hozással /egybeillesztéssel/ való magyarázata mégis lényegesen túlvisz, ha csak a síkban is, azon a nagyon határozatlan fogalmon, amit az "egyezı alakúak és ugyanakkorák" fogalmazás és szinonimái fejeznek ki. Tekintsük hát ezt

távolságtartó leképezésként való definiálása felé. Az utóbbi értelemben két ponthalmazt akkor mondunk egybevágónak, ha meg tudjuk úgy feleltetni egymásnak a pontjaikat - az egyik halmaz egy pontjának mindig a másiknak egy pontját -, hogy a megfelelı pontok távolsága egyenlı legyen. A fedésbe hozás konkrét mővelete segít ezt megérteni; amikor fedésbe hozzuk

közbeesı

lépcsıfoknak

az

egybevágóság

a ponthalmazokat, akkor éppen egy ilyen megfeleltetést létesítünk. Hogy a fogalmat minél általánosabbá tegyük, ne csak papírból kivágott háromszögeket és más síkidomokat hozzunk fedésbe, hanem készítsünk átlátszó papír -, cellofán-, mőanyag-, esetleg üveglapból is szemléltetı eszközt, ennek segítségével

pontokból álló ponthalmazok egybevágóságára is. Hasznosak az olyan modellek - akár sokszögeket, akár egyéb ponthalmazokat ábrázolnak -, amelyek különféle módokon majdnem pontosan egybeilleszthetık, de csak egy esetben fedik egymást "pontosan". /Készítsünk például két egybevágó ötszöget, amelyek a szabályostól csak kissé térnek el, de úgy, hogy nem szimmetrikusak./ Állítsunk elı olyan modelleket is, amelyek nem térnek ugyan el nagyon egymástól, de azért akárhogyan próbáljuk is egybeilleszteni ıket, mindig van köztük ak-

mutassunk

példákat

különálló

______________ x Következetlenség

kiterjeszteni az egybevágóság fogalmát ellenkezı irányítású /tükrözéssel egymásba átvihetı/ ponthalmazokra is, a térben viszont nem. Igaz, hogy a síkbeli tükrözés a harmadik dimenzióba való kiemelés útján mozgatással

volna a síkban

Matematikailag ugyanígy megvalósítható azonban a térbeli tükrözés is mozgatással, a negyedik dimenzióba való kiemelés útján, ha fizikai terünkben ezt nem is tudjuk végrehajtani. A tanulók ebbıl még nem sokat érthetnek meg. Jobb azonban elkerülni azt, hogy olyasmire tanítsuk ıket, ami egy magasabb nézıpontról tarthatatlannak bizonyul - gátat vet az általánosításnak -, még ha erre a magasabb nézıpontra nem is tudjuk /egyelıre vagy egyáltalán/ elvezetni ıket. Sok példát lehetne említeni arra, hogy-a matematikai fogalmak kialakításában nem hagyjuk megkötni a kezünket a fizikai megvalósíthatóságtól. /Gondoljunk például egy intervallum felosztásainak minden határon túl való finomítására./

is

megvalósítható.

- 230 - - 230 -

6 cm, 8 cm. Súlyos pedagógiai hiba volna elárulni, hogyan találhatnak ilyen pontokat. Vannak azonban módok arra, hogy megkönnyítsük az ehhez vezetı utat /háromszög kirakása pálcikákból, szabványos körzı helyett papírcsík használata, lásd a 213. oldalon/. Szerepelhetnek ilyen feladatok már elıbb is, elıkészítésképpen. Vágják ki, illesszék össze a három-három pont meghatározta háromszögeket. Így kísérleti bizonyítékot szereznek az ilyen háromszögek, illetve ilyen ponthármasok egybevágóságáról. Nem mindenki számára nyilvánvaló, hogy olyan három pontot keresni, amelyeknek megadja a távolságait, és olyan háromszöget szerkeszteni, amelynek megadjuk az oldalait, lényegében ugyanaz a feladat. Rá kell vezetnünk ıket ennek a felismerésére. Jó, ha ezek után hamarosan kapnak olyan feladatokat is, amelyekbıl kiderül, mennyire más a négy pont és a négyszög esete. Hány négyszöget határoz meg négy /általános helyzető/ pont? Egybevágók-e az oldalaikban megegyezı négyszögek. Hány távolságot mérhetünk négy pont között? Egybevágó-e két pontnégyes, ha ezek a távolságok mind megegyeznek? Elég-a kevesebb távolságot is megadni? Hogyan másolhatunk le egy négyszöget? Ötszöget? Ezek

- 231 - - 231 -

Olyan felépítést vázoltunk, amelyben a távolság fogalma az alapvetı; a szög fogalmát egyelıre elkerültük. A távolságméréssel való kezdésnek több elınye is van. Az egyik az, hogy így csupa egyforma jellegő adat szerepel. Egy másik: könnyebb a tanulóknak távolságot mérni, ezzel már az alsó tagozatban is foglalkoztak, a

Végül: az egybevágóságnak, mint izometriának a fogalmához is gyorsabban eljutunk, ha a távolságra építünk. A tanulók észreveszik, hogy a megfelelı pontok közötti minden lehetséges távolság egyezése biztosítja az egybeilleszthetıségét /háromnál több pont esetén bıségesen, "redundanciával" biztosítja/. Tereppontok esetében, amikor egybeillesztésre nincs mód, a távolságok egyezése veszi át a definíció szerepét. Innen már csak egy lépés, hogy általában is ezt fogadjuk el definíciónak; a rajzpapír általában nem átlátszó és nem is

szögmérés viszont új és nehéz a számukra.

A síkbeliekkel analóg térgeometriai-feladatokra alighanem akkor a legérdemesebb rátérni, amikor már legalábbis kezdi átvenni a definíció szerepét a távolságok egyezése. Egybeillesztéssel térbeli modellek /például tetraéder-élvázak/ esetében is dolgozhatunk, csak ne próbáljunk az, egybeilleszthetıségbıl definíciót csinálni. Az egybeillesztés elképzelése - ha nem is a valóságos végrehajtása - a síkban is és a térben is hasznos eszközünk marad az egybevágóság eldöntésére. Több esetben átsegít például azon a nehézségen, hogy végtelen sok pont páronkénti távolságát nem tudjuk külön-külön megmérni. Elképzelt egybeillesztéssel gyızıdhetünk meg például arról, hogy az egyenlı sugarú körök vagy gömbök egybevágók. Erre is érvényes azonban, mint minden bizonyításra: felesleges, sıt káros addig, amíg hiányzik a bizonyítási

mindig célszerő

szétvagdosni.

a szemléleti evidenciával is.

igény.

Mindaddig

megelégedhetünk

A terepen való mérések nagyon alkalmasak arra, hogy a távolság mellett a szöget is beiktassuk az egybevágóságot biztosító adatok közé. A rajzlapon mindig kényelmesebb távolságot mérni, a terepen gyakran elınyösebb a szögmérés. Általában kényelmetlen

- 232 - - 232 -

olyan eljárások kigondolására, amelyek a háromszögek egybevágósági vagy hasonlósági tételeit használják fel, és így elvezetnek maguknak ezeknek a tételeknek a felismerésére is. A sorrend szokatlan; a hagyományos tanításban elıször megismerkedünk egy tétellel, lehetıleg a bizonyításával is, aztán alkalmazzuk a tételt. Pedig igen sokszor -

jó ösztönzést adnak

ha nem is lehet ebbıl általános szabályt csinálni - alkalmazás közben, konkrét gyakorlati problémák közben fedezzük fel az összefüggéseket, tételeket /vö. 314.oldal/. A terepen való mérések azért alkalmasak erre, mert a tanulók megértik, hogy amit tanulnak, annak jó hasznát vehetik a gyakorlatban. Szükség van azonban a szögeket tartalmazó egybevágósági és a hasonlósági tételekkel kapcsolatban is a manuális kiindulásra, konstrukciókra, mégpedig nem csupán

A szerkesztésekrıl szóló fejezetben már szó volt olyan eszközökrıl / 214.oldal/, amelyek segítségével a tanulók meggyızıdhetnek arról, milyen esetekben biztosítják a háromszögek /négyszögek stb./ egybevágóságát olyan adatok, amelyek között szögek is szerepelnek. Ha a tanulóknak három szögbıl kell összeállítaniuk háromszöget, akkor eljutnak arra a felismerésre, hogy az így elıállított háromszögek általában nem egybevágóak, de egyforma alakúak, hasonlóak.

körzıvel és vonalzóval végzett szerkesztésekre.

valamint az egybevágósági és hasonlósági tételek terepmérésekkel kapcsolatos tanításáról részletesebb tájékoztatást ad például Bellay-Varga /1953/. Lásd különösen a 73.-114. és 157.-178. oldalt.

A hasonlóság

fogalmának

kialakításáról,

Hosszúság, terület, térfogat

A címben látható három szó mellé a hagyományos iskolai fogalomrendszer értelmében még kettı odakívánkozik: kerület, felszín. Ezek azonban, ha - a hagyományoknak engedve - használjuk is ı ket, tulajdonképpen feleslegesek. Nem lényeges egy síkgörbe hosszúsága szempontjából, hogy síkidomot határol /és

- 233 - - 233 -

A hagyományos iskolai szóhasználat egyébként amellett, hogy mellékes szempontokat követ, nem is következetes, mert a "hosszúság" szót nem záródó görbe vagy törött vonalra is alkalmazza, a "terület" szó helyett azonban a "felszín" szóval él olyankor, amikor a felület nem határol ugyan testet, de nem is síkidom /pl. gömböv felszíne/, ellentétben a földrajz és a mindennapi élet szóhasználatával /pl. Afrika területe/. - Egyébként vannak nyelvek, például a francia, amelyek nem tesznek különbséget terület és felszín közt.

A terminológia nem mellékes, mert visszahat a fogalmakra, x de elsısorban mégis az a fontos, hogy világosan lássuk és láttassuk a

diákokkal: lényegében három dologról van itt szó: a hosszúságról /záródó vonal hosszát kerületnek is mondjuk/, a területrıl /helyette

néha felszínt mondunk/ és a térfogatról /régies szóval: köbtartalomról vagy - bizonyos vonatkozásban - őrtartalomról/.

Nem választható el a hosszúság, terület, térfogat stb. mérésének kérdéseitıl az idı, a sebesség, a tömeg és más fizikai mennyiségek mérésének problémaköre sem. Ha a fizikai és a geometriai mennyiségek között határvonalat akarnánk húzni, ezt semmi esetre sem tehetnénk úgy, hogy a hosszúság, terület, térfogat stb. a határvonal egyik oldalára esik, az idı, a sebesség stb. a másikra. Nem mondhatjuk, hogy az elıbbiek még geometriai fogalmak; ugyanannyira fizikaiak is. Ha minden fizikai vonatkozást kikapcsolva tanítanánk ı ket, elszakítanánk a geometriát a

Bizonyosan nem független a szerencsétlen terminológiától az

a kerület- és felszín-kultusz, amely némelyik könyvben ma is dívik,

de régebben még inkább dívott: minden síkidomnak kell, hogy legyen kerületképlete; az egyenlıoldalú háromszögeké k = 3a, az egyenlıszárúé k = a+2b, az "általánosé" és a derékszögőé k = a+b+c stb. Az iskolában aligha érdemes megjegyezni a körvonal hosszán /a kör kerületén/ és a gömb, esetleg még a gömböv területén /felszínén/ kívül más kerület- és felszínképletet. A többinek a kiszámítása érdekes és hasznos gyakorlat lehet, de az emlékezetet kár terhelni az eredmény megjegyzésével.

- 234 - - 234 -

szám. Fizikai hosszúságokra ezzel szemben az irracionalitás fogalmának még csak értelme sincs. Semmilyen fizikai mennyiségre vonatkoztatva sincs értelme ennek a fogalomnak, mert a mérési pontosság korlátlan növelését tételezi fel, ez pedig elvileg lehetetlen. A matematikát tanító pedagógusnak mind a két szemléletre tekintettel kell lennie. Tisztában kell lennie azzal, hogy amíg a "hivatalos" fizikatanítás meg nem kezdıdik - az új tanterv szerint az általános iskola 6. osztályában - addig a fizikai fogalmak helyes kialakításáért is ı a felelıs. Ide tartozik a fentiek szerint a hosszúság, terület és térfogat fizikai fogalma, ide tartozik az idı, a sebesség, a tömeg fogalma és még néhány más fogalom. A matematikát tanító pedagógusnak ez a felelıssége a fizikatanítás megkezdése után sem szőnik meg. A "tiszta" matematikai fogalmakra esı hangsúly egyre nı, ahogy feljebb haladunk, de a fizikai vonatkozások szerepe a matematikaórán sohasem szőnhet meg. Így például nemcsak általános iskolában, hanem középiskolában is helyes, sıt ajánlatos olyan feladatokat adni, hogy

mértékegységben

kifejezve

irracionális

a tanuló mérje meg egy kezébe adott gúla vagy más test bizonyos adatait, és következtessen belılük más adatokra.

Mindezekkel a fogalmakkal kapcsolatban - a területet és a térfogatot sem véve ki - mérésekbıl célszerő kiindulni. A területre és a térfogatra vonatkoztatva ez például egységnégyzetekbıl való kirakást, egységkockákból való felépítést jelenthet. Azok a tapasztalatok, amelyekre a tanulók a valóságos, majd elképzelt mérések közben szert tesznek, elvezetik ıket arra a gondolatra, hogy bizonyos mérések eredményét más, egyszerőbb mérések eredménye alapján ki lehet számítani. Felesleges például a téglalapot mindig kirakni, az egy sorban lévı négyzetek és a sorok száma alapján következtetni lehet a területére, és ugyanígy a téglatest térfogatára az egy sorban lévı kockák, a sorok és a rétegek száma alapján. Az értelmes tanítás alapja itt is, mint mindig, a tapasztalatgyőjtés. Akinek megtanítják, hogy térfogat szélességszer hosszúságszor magasság, akár még szemléltetéssel is, az elesik a felfedezés örömétıl.

A mérés pontosságának, a határok közé szorításnak a gondolata minden esetben fellép, hol egyszerőbb formában /pl. a távolságnak, vagyis egy szakasz hosszának, a tömegnek, az idınek, az ő rtartalomnak a mérésekor/, hol bonyolultabb körülmények között /területmérés; térfogatmérés alakváltozás nélkül/; a görbe vonalak és felületek mérése még nehezebb problémákat vet fel. Ezeknek a problémáknak egy részét még a középiskolában is csak érinteni lehet, vagy azt sem. Mégis felvetıdnek primitív fokon már az általános iskolában, és nem mindegy, hogy a felelet, amit a tanulók itt kapnak, lényegében helyes, utat mutató-e, vagy pedig félrevezetı.

A távolságnak és sok más mennyiségnek a mérésekor az alapkérdés az: hány egységet vehetek úgy, hogy ne lépjem túl a megmérendı mennyiséget, de eggyel több egységgel már igen. Két határ közé szorítom tehát a megmérendı mennyiséget, és ezek a határok - ebben az egyszerő esetben - egyetlen egységgel térnek el egymástól. Ha kisebb egységet választok, az eltérés is kisebb lesz. A két határ közé szorítás gondolata gyakorlati mérések kapcsán természetes módon merül fel. Megmérik a gyerekek a méterrúddal a tanterem hosszát, azt találják, hogy nyolcszor elfér, ki is marad egy darab, de kilencszer már nem. Jó, ha ennek a feljegyzésére már az 5. osztályban /sıt akár az elsı tagozatban is, vö.20.old./ használják ezt a jelölést:

8 m < tantermünk hossza < 9 m .

Ha még azt is megállapítják, hogy a keresett hosszúság közelebb van a 9 m-hez, mint a 8 m-hez, akkor ezt például így jegyezhetik fel: x

tantermünk hossza ≈ 9 m.

Mit tegyünk, ha pontosabban akarjuk megtudni a tanterem hosszát? Megnézzük, hogy a 8 méteren túl hány deciméter fér még el, aztán hány centiméter. Ennél nagyobb pontosság az adott esetben irreális volna. Az eredményeket megint leírhatják kettıs

Megtehetjük, hogy a "tantermünk hossza" teljes kiírása helyett rövidítést használunk, például t.h., sıt elárulhatjuk nekik, hogy ha nem felejtik el, mirıl van szó, elég az egyik bető és pontot sem kell írniuk utána.

- 236 - - 236 -

0,3 m < h < 0,4 m 0,33 m < h < 0,34 m

0,333 m < h < 0,334 m és így tovább.

Sem deciméterrel, sem centiméterrel, sem milliméterrel, de még mikronnal vagy millimikronnal sem lehet pontosan kifejezni a méter harmadát. De az eltérés a közrefogó számok között ennél is, annál is, még a millimikronnál is, és ha folytathatnánk, akármilyen kis hosszúságnál is kisebb volna. Itt már sok gyerek, ha nem is mindegyik, megsejt valamit abból, mi az elvben pontos mérés. Még késıbbi - ez már feltétlenül gimnáziumi - fejlemény az, hogy megismerkednek az összemérhetıség /kommenzurabilitás/ vagyis a racionális

összemérhetetlenség /inkommenzurabilitás/ vagyis az irracionális mérıszám esetével.

mérıszám

esetével

és

az

A területmérés kérdését nagy hiba volna eleve idomoknak egy szők körére - mondjuk a sokszögekre, valamint a körre és a körcikkre - korlátozni. Igaz, hogy nagyon fontosak bizonyos speciális esetek, amelyekre más eseteket is vissza lehet azután vezetni: például a téglalap területének kiszámítási módját igen korán felfedezik a gyerekek négyzetlapokkal való kirakás útján az egészszámú esetben. Az is fontos azonban, hogy a területszámítás kérdését eléggé általános - ha nem is éppen a lehetı legáltalánosabb - szemszögbıl nézzék, olyan feladatok felıl közelítsék meg a felsı tagozatban, mint egy megyének, egy teleknek, a kockáspapírra találomra felrajzolt görbevonalú idomnak a területe. Ez az általánosság szükséges ahhoz, hogy a gondolkozásukban az-

- 237 - - 237 -

A közelítés javításának gondolatához kockáspapír segítségével például úgy lehet eljutni, hogy elıször négy "kockát" tekintünk egy egységnek, ti. egy négyzetcentiméternek - ez rendszerint elég pontos közelítés - és ennek érdekében a tanulók ceruzával utánahúznak a füzetükben minden második vonalat; késıbb áttérnek a negyed cm 2 -es egységre. Dolgozhatunk milliméterpapíron is, akkor mindjárt a négyzetmilliméterre térhetnek át. Megrajzolják a megmérendı idomot, amit kopírozhatnak térképrıl vagy rajzolhatnak találomra, bele a lehetı

a négyzetcentiméterek határai mentén. Megállapítják, hány egység az egyik, hány a másik - olyan racionális módon, ahogy tudják - és feljegyzik ezt is, mint a hosszmérés eredményét, egyenlıtlenséggel. Mindjárt észreveszik a nagy különbséget: itt nem egy egység az eltérés a két szám közt! A lényeges azonban az, hogy ez az eltérés csökken, ha kisebb egységre térnek át.

legnagyobb,

körüle

a lehetı

legkisebb idomot

Speciális esetekben - például a téglalap területével kapcsolatban - érettebb tanulókkal érzékeltetni lehet, mint a hosszúságmérésnél is, azt, hogy az eltérést elvben bármely számnál

2 1 kisebbé tehetjük. Ha például 6 cm hosszú és 4 cm

3 3 széles a téglalap, akkor négyzetcentiméterben kifejezett területét

így foghatjuk közre:

6 . 4 < t < 7 . 5 vagyis 24 < t < 35 6,6 . 4,3 < t < 6,7 . 4,4 vagyis 28,38 < t < 29,48 6,65 . 4,33 < t < 6,67 . 4,34 vagyis 28,8378 < t < 28,9478

stb.

A különbség láthatóan csökken. De azért nem olyan gyorsan: a hosszúságmérésben már a tízed millimétereknél tartunk, a közrefogó

2 területek különbsége pedig 11 mm 2 . Lesz valaha 1 mm -nél kisebb? Az ábra segít megértetni, hogy igen: /lásd 239 old./

A belsı és a külsı téglalap különbsége mindig egy L bető forma idom.

Az elsı közelítésben az L bető területe kisebb, mint 12 cm 2 , mert ha szétnyitjuk, ahogy az ábrán látni, akkor az 1 cm széles 12

cm hosszú téglalapból még egy háromszög hiányzik. /Nem fontos,

105. ábra

hogy éppen 1 cm 2 ./ A második közelítésben rövidebb lesz a téglalap

12 cm-nél, a szélessége pedig csak 1 mm lesz. /A kis hiányról ne is beszéljünk./. Ezért a különbség most 12 cm2 tizedénél is kevesebb. Ha egyre kisebb egységekre térünk át, akkor a téglalap mindig rövidebb lesz, de még ha ugyanolyan hosszú maradna is, a szélessége

2 biztosan tizedére csökken. Ezért a különbség 0,12 cm 2 -nél, 0,012 cm - nél, és akármilyen kicsi területet mond valaki, annál is kisebb

lesz. Aki ezt a gondolatot megértette egy ilyen numerikus példán,

annak nem nehéz átlátnia, hogy az eredmény nem függ a téglalap méreteitıl: a különbség mindig olyan kicsi lesz, amilyennek csak akarjuk.

Nehéz volna normát adni arra, hogy mikor kockáztathat meg a tanár egy ilyen gondolatmenetet. Gondolkozásra szoktatott tanulókkal 13-14 éves korban többnyire nincs akadálya, de van, aki szívesebben halasztja az ilyen gondolatokat 15-16 éves korra, sıt annak sem mindenki híve, hogy a középiskolában ilyen kérdések szóba kerüljenek. Számolnunk kell azzal, hogy az ilyen elvi kérdések sok tanulót lényegesen

a gyakorlati területszámítás, és az ilyen tanulókat semmiképpen sem szabad szem elıl tévesztenünk, miközben kielégítjük azoknak az érdeklıdését, akik viszont éppen az ilyen titkok megismerésére vágynak.

kevésbé érdekelnek,

mint

A gyakorlati területszámításnak általános iskolai fokon két kulcsszava van: átdarabolás és kiegészítés. Átdarabolhatónak

- 239 - - 239 -

hozzáadásával egybevágó síkidomokat kaphatunk belılük.

A paralelogrammát mindig De ha megkötjük, hogy melyik átdarabolhatjuk téglalappá

legyen az az oldal, akkor az úgy, hogy egy oldala és a

átdarabolás néha bonyolult magassága ugyanakkora is lehet:

maradjon:

106. ábra

a kiegészítés viszont mindig egyszerő:

107. ábra

/Ügyes megvalósítási

elcsúsztatása dobozfedélben./ Az alábbi két ábra Pythagoras tételének egy-egy átdarabolással illetve kiegészítéssel való bizonyítását mutatja:

mód:

papírháromszögek

A felbontás /szétvágás/ úgy értendı, hogy a vágás vonala mindkét darabhoz hozzászámít; így ismét idomokhoz /nyílt halmazok lezártjaihoz/ jutunk. Összeillesztéskor, megfordítva, az illesztési vonalakon két-két pontból egy lesz. Ez a megjegyzés az olyan hallgatók vagy tanárok lelkiismeretének a megnyugtatását célozza, akiknek esetleg halmazelméleti aggályai vannak az átdarabolás fogalmával kapcsolatban. A diákok ezen aligha akadnak fenn.

- 240 - - 240 -

ötszögeké. 108. ábra

A kiegészítés még egy másik értelemben is szerepel a területszámításban.

A háromszöget mindig

ugyanolyan magas,

de ki is egészíthejtük

átdaraboltatjuk feleakkora alapú

vele egybevágó

háromszöggel olyan magas

ugyanakkora alapú fele paralelogrammává

paralelogrammává, is,

paralelogrammává.

Tehát

Tehát

Tehát

a t =a. a.m t = .m t =

A háromféle eljárás három különbözı képlethez vezet. Akinek még nem magától értetıdı, hogy a három kifejezés azonosan egyenlı, annak a számára hasznos ez az összehasonlítás.

Hasonló módon kaphatjuk a trapéznak paralelogrammává való háromféle átdarabolásából és egyféle kiegészítésébıl

/a+c/m t =

/a+c/m

a+c

t = /a+c/

t = .m

képleteket, és két háromszöggé való szétvágással ötödiknek még ezt:

t = + am

bm

A geometria szempontjából nincs szükség erre a képletesdire, megjegyezni egyet is elég közülük; a geometria ad itt segítséget az algebrának, feltéve, hogy igényt tart rá.

Téglalappá is át lehet darabolni a háromszöget és a trapézt,

de nincs olyan mindig megvalósítható, egyszerő utasítás az átdarabolásra, amelyrıl a területképletek /a háromszög esetében bármely oldalra vonatkozóan/ leolvashatók lennének. Ezek az átdarabolások csak speciális esetekben alkalmazhatók:

112. ábra

Általában bármely két egyenlı területő sokszöget át lehet darabolni egymásba, vagyis bármilyen sokszögbıl bármilyen alakú sokszöghöz eljuthatunk úgy, hogy véges számú részre szétvágjuk és a darabokat valahogyan összeillesztjük /Bolyai Farkas tétele x /. Érdekes átdarabolási feladatok találhatók például a következı könyvben: Korgyemszkij, Matematikai fejtörık, Gondolat,l962.

Lásd pl. Bellay Varga: A mértan tanítása az általános iskolában, 135-138. oldal.

Hasznos gyakorlat a kör területének közelítı kiszámítása kockáspapír vagy milliméterpapír segítségével. Nagyobb rajzról pontosabb eredményt olvashatunk le, ezért célszerő egy 45 o -os körcikk területét számítani ki és a végén megszorozni 8-cal. A körcikket az egyik sugárral párhuzamos egyenesekkel sávokra bonthatják a tanulók, és ezeket külsı és belsı trapézokkal foghatják közre. Ilyen módon elég könnyen eljuthatunk a π -nek a 3,14 közelítı értékéhez. x

A pontosságra törekvı mérésnél és számításnál is fontosabb azonban, hogy a tanulóknak világos fogalmuk legyen a kör

területképletének értelmérıl. Tudniuk kell például, hogy a kör területe π -szer akkora, mint a sugarára emelt négyzet területe, és ez a π csak körülbelül 3,14. Le kell tudniuk olvasni egy ilyen rajzról /113. ábra/, hogy 2 < π < 4. Érdeklıdıbb tanulóknak azt is megmutathatjuk, hogy az egységkörbe írt szabályos tizenkétszög területe 3 egység. xx

A térfogatszámítás

legjobb kezdete, mint már említettük, a 113. ábra kockákból való felépítés. Az Iskolai Taneszközök Gyára be van

rendezkedve 1 cm élő mőanyagkockák gyártására, ezekbıl minden iskolának nagy mennyiséget be kellene szereznie. Állítsanak össze a tanulók ilyen kockákból különféle mérető téglatesteket és csomagolják be ezeket áttetszı papírba. Próbálják azután a csomagok felbontása nélkül megállapítani, hány kocka van bennük. Ellenırizzék

a sejtésőket úgy, hogy ugyanakkora téglatestet felépítenek a kis kockákból a csomag mellett. Hamarosan azok a tanulók is helyes - sejtésekhez jutnak, akik eleinte csak a kívül látható kockákat /vagy

a kockák kívül látható lapjait/ számolták. Átlátszatlan csomagokkal és más tárgyakkal is végezhetnek hasonló okoskodást /mokka-cukor, gyufásdobozok /, majd elképzelés alapján köbmilliméteres, köbméteres kockákkal stb. Ezután megint visszatérhetünk valóságos, de nem egész centiméter élhosszúságú téglatestez, kiszámíthatják ezeknek a térfogatát különféle közelítésben és

______________ x Lásd: fent i.m. 143-145. old.

xx Lásd: fent i.m. 143. old.

- 243 - - 243 -

Az átdarabolás és kiegészítés gondolata a hasábok térfogatának kiszámításában ismét hasznos, de gúlákra általában már nem alkalmazható. Bolyai Farkas tételének térbeli analogonja ugyanis nem érvényes, egyenlı térfogatú poliéderek általában nem darabolhatók át egymásba /és egybevágó poliéderekkel egybevágó poliéderekké sem egészíthetık ki/. A gúla térfogatának a kiszámításához erısebb eszközök szükségesek. Egyszerő speciális eseteken át /pl. a kocka három vagy hat egybevágó gúla bontásával/ könnyen plauzibilissé lehet tenni a gúla térfogatképletét általános iskolai szirten is.

Azt, hogy a körhenger és a körkúp térfogatát ugyanúgy számíthatjuk ki, mint a hasábét ill. a gúláét, könnyen elfogadják a tanulók annak alapján, hogy az alaplapjuk sokszögekkel - például szabályos sokszögekkel - tetszésszerinti pontossággal megközelíthetı

a nélkül is, hogy az utóbbi fogalom magyarázatába részletesebben belemennénk.

olyan vulgarizáló megállapításoktól, hogy "a kör végtelen sok oldalú szabályos sokszög" vagy "a henger végtelen sok oldallapú hasáb".

Tartózkodjunk

azonban

az

A legnehezebb esetek, mint említettük, a görbe vonalak hossza és a görbe felületek területe /felszíne/. Nehézséget okoz egyrészt

az, hogy a hosszúság-, illetve területegység nem illeszkedik hozzájuk, tehát "nemcsak a széleken kell közelíteni" másrészt az, hogy

a két határ közé szorítás távolról sem olyan egyszerő ezekre, mint síkidomok területére és testek térfogatára. Ezek a problémák azonban általános iskolai fokon általában fel sem vetıdnek. A szabályos hatszög tanulmányozása után egy ilyen rajzról /114.

114. ábra ábra/ le tudják olvasni, hogy a kör kerülete

a sugarának a hatszorosa és a nyolcszorosa közé esik x . Elég természetes gya-

Erıs eszközökkel bebizonyítható, hogy konvex idomokat határoló görbék közül a tartalmazottnak a kerülete mindig kisebb, mint a tartalmazóé, sıt elég kikötni a belsırıl, hogy

- 244 - - 244 -

a 22-szerese, vagyis az átmérıjének körülbelül 22/7 része. Osztással azt

22/7 ≈ 314. Meggondolkoztatja ıket, hogy a kör kerületének és területének a kiszámítása /legalábbis körülbelül/ ugyanarra a számra vezet, és érdekelni kezdi ıket, "nincs-e emögött valami." Ekkor helyénvaló megmutatni azt a heurisztikus okoskodást, amit a 115. ábra mutat. Főzzük azonban hozzá, hogy ez nem bizonyítás. Bármilyen keskeny körcikkekre vágjuk is a kört, sohasem állíthatunk össze belılük paralelogrammát,

kapják, hogy

két

tizedes pontosságig

olyanféle idomot." Az idom szélességének /az egymáshoz csatlakozó húrok összegének/ és magasságának a szorzata sohasem egyenlı a területével és a szélessége sohasem egyenlı a kör kerületével. Az ábrá-

csak "valami

______________ Lábjegyzet folytatása.

konvex. A tanulókat nem annyira ez lepi meg, többnyire inkább az, hogy egyáltalán van ilyen megszorítás; ugyanis a területre érvényes összefüggést meggondolás nélkül átviszik a kerületre. Ha viszont erre példákat mutatunk, akkor esetleg kétségessé válik elıttük, hogy igaz-e ez mégis konvex esetben. Ha sikerült ezt kétségessé tennünk, akkor megmondhatjuk, hogy igen, de nem könnyő belátni. Ábránk esetében aligha merülnek fel a tanulókban ilyen kételyek. Nyilvánvaló a számunkra, és kísérletileg is igazolni tudják, hogy a kör köré feszített gumizsinórt jobban ki lehet nyújtani, hogy a négyzet alakját vegye fel, s ha elengedik, összehúzódva megint a körre kerül. Ez ugyanolyan szemléletes tény a számukra, mint az, hogy a körbıl csak a szabályos hatszög csúcsait hagyjuk meg, akkor a gumizsinór, ha eléggé feszes, ennek a hatszögnek az alakját veszi fel. A kétféle evidencia között lehet elméleti meggondolás alapján különbséget tenni /"elemibb" tény, hogy két pontot összekötı vonalak közül a legrövidebb a szakasz, mint a konvex görbékre vonatkozó, itt kihasznált összefüggés/, de ez a tanulók evidencia-élményét, amely nem elméleti megfontolásokból, hanem gyakorlati tapasztalatokból táplálkozik, aligha érinti.

115. ábra

ból sejthetı összefüggés a kör kerülete és területe közt mégis igaz, mert nincs olyan kis szám, aminél az eltérés kisebbé ne válna, ha a körcikkeket elég keskenyekre vesszük. Ezt azonban nem könnyő belátni. Hogy az okoskodás ebben a formájában elfogadhatatlan, azt frappánsan mutatja, hogy egy eléggé analóg okoskodásnak az eredménye is hamis: ha a félgömb felszínét osztjuk fel az "egyenlítıjével" és egyre sőrőbben felvett "délkörökkel" olyan gömbháromszögekre, amelyek "egyre inkább" kiteríthetık r π /2 magasságú háromszögekké,

2 akkor ezeknek az együttes területét kiszámítva r 2 π -nek adódik az r sugara gömb felszíne. Mindenesetre jó vigyázni ezzel az

ellenpéldával, nehogy visszafelé süljön el, és a diákok tanácstalanokká váljanak, hogy most már a "meggyızı módon igazolt" t

2 =r 2 π képlet fejezi-e ki a gömb felszínét, vagy az esetleg sokkal kevésbé meggyızıen igazolt, talán éppen csak közölt t = 4r 2 π képlet.

Általános iskolában való említése ezért legalábbis meggondolandó. /Egyébként az általános iskolában az új tanterv szerint a gömb felszíne még csak említésre sem kerül./

A henger és a kúp felszíne a kör kerülete után nem okoz nehézséget. A kiterítés gondolata a tanulók számára tapasztalataik alapján középiskolai fokon is természetes, nem okoz gondot nekik az itt fellépı elvi nehézség, x és még az is kérdéses, hogy a leg-

______________ x Lásd Hajós /1960/, 227-228.oldal.

- 246 - - 246 -

a megállapítással: "Semmiképpen nem kifogásolható ..., hogy pl. középiskolában a kiterítéssel végzett bizonyítás szerepel". x

tehát

érteni ezzel

Tulajdonképpeni térgeometria

A "tulajdonképpeni" szóval a térgeometria számításos részétıl /a felszín- és térfogatszámítástól/ akarjuk elhatárolni a nem- számításos részt. Tulajdonképpeni térgeometriára az általános iskolában a jelenlegi tanterv szerint jóformán nem is kerül sor. Csak a téglatest, a kocka és a négyzetalapú egyenes gúla hálózata és ezekkel kapcsolatban a csúcs, él és lap, a merıleges, párhuzamos és kitérı élek, merıleges és párhuzamos lapok fogalma képviseli ezt a témakört. Annak az elvnek az alapján, hogy mindenkit képességei szerint kell foglalkoztatnunk /vö. Szemelvény győjtemény, 451., 452., 455. old./, nem is csupán a legjobb és jobb, hanem még a közepes tanulókat is célszerő ellátnunk bizonyos kiegészítı anyaggal, ha nem akarjuk, hogy a térszemléletük és a térgeometriai gondolkozásuk sorvadásnak induljon az általános iskolában töltött évek alatt. Mindenek elıtt a tantervi anyagot kell érdekesebbé tennünk minden tanuló számára. Ehhez azonban szinte elengedhetetlen, hogy egy kicsit általánosabb szemszögbıl dolgozzuk fel. Jó alkalmat adnak erre a testhálózatok. Hány él mentén kell szétvágniuk egy-egy /kezükben levı!/ kockát, gúlát vagy más poliédert, hogy kiteríthetı hálózathoz jussanak? Jelöljék meg színessel, milyen élek mentén akarják elvégezni a szétvágást! Vágják szét csakugyan /ollóval, bicskával, borotvapengével, aszerint, hogy minek a használatát vezetjük be vagy engedélyezzük/, így gyızıdjenek meg arról, helyes volt-e a sejtésük. Milyen más hálózatokat tudnak még összeállítani a kapott lapokból? Hány eset lehetséges? Mutassunk nekik vegyesen hibás és helyes hálózatokat, döntsék el, melyikbıl lehet poliédert összeilleszteni - és milyent -, melyikbıl nem. Ha vastag keménypapírból

készítjük /vagy készíttetjük/

vagy

vékony

furnérlemezbıl

______________ x i.m. 228. oldal.

- 247 -

el a lapokat és leukoplasztot vagy mőanyag ragasztószalagot /diafilm-ragasztót/ használunk az egybeillesztésükhöz, akkor gyorsan elı tudunk állítani sokféle variánst. Persze jó érzés, ha valaki elıtt egy órán át tartó pepecselés után ott van a szép fehér papírból készült tisztára sikerült kocka vagy oktaéder, az élei színes papírcsíkkal egyenletesen leragasztva - de ezzel a technikával nem lehet nagyon messzire jutni. Ha órák helyett percek /esetleg másodpercek/ alatt tudnak poliédereket összeállítani és szétszedni, akkor a sejtések kimondásának és a tapasztalati ellenırzésnek gyors váltakozása válik lehetıvé, márpedig ez a matematikai gondolkozás fejlesztése szempontjából igen fontos. A hálózatokkal kapcsolatban vessünk fel ilyen problémákat is: mely élek lesznek a poliéderen párhuzamosak, merılegesek, metszık, kitérıek, melyek fognak egybeesni; mely lapok lesznek párhuzamosak, melyek fogják metszeni egymást,.melyek kerülnek egymás mellé? /Vegyék észre ık a kapcsolatot az élekre, ill. a lapokra utoljára feltett kérdés között. Kerüljük el, hogy a szavainkból kiderüljenek ezek a kapcsolatok, de ne is higgyük, hogy mindenki elıtt azonnal nyilvánvalóak. A gyerekek néha hihetetlenül egyszerő összefüggések elıtt is megtorpannak, hozzá kell segítenünk ıket, hogy ık maguk tudatosítsák ezeket./

A tananyagtól függetlenül vagy a tananyaghoz lazábban kapcsolódva is célszerő idınként olyan feladatokkal foglalkozni, amelyek alkalmasak a tanulók térszemléletének a fejlesztésére. Forrásmunkaként felhasználhatjuk például a következı könyveket: Kárteszi /1951/, Steinhaus /1951/, Rasszohin-Celinszkij /1951/.

Példaképpen bemutatunk néhány térszemlélet-fejlesztı feladatot: Egy kockát pirosra festünk, aztán szétvágjuk 27 egybevágó

kockára. Hány kis kockának van 3, 2, 1, 0 piros lapja. /Ha megvan a helyes felelet, érdemes tudatosítani, hogy a kapott számok megegyeznek a kocka 0, 1, 2, 3 dimenziós alkotóelemeinek számával; a

3 dimenziós alkotóelem maga a test./

A "HUS"-probléma; egy térgörbe képe három egymásra merıleges irányból a következı:

Mi lehet a térgörbe? Nem beszélünk felül-, elıl-, oldalnézetrıl, csak a merılegeset kötjük ki. Így több-

116. ábra

- 248 - - 248 -

117. ábra

Kulcsszavak további ilyen problémákhoz /kerek betők helyett meghatározott szögletes változatokkal/: TOL, TUS, HUZ, UTO, UHU, EZT, FEL, KEL, LEN, NEM, NON, NOT, HET. A gyerekek hamar rájönnek, hogy a megoldás akkor sem mindig egyértelmő, ha a három merıleges irányból látott alakzat helyzetét rögzítjük, ha "nem szabad elforgatni" a képet. Például a HUZ problémának abból a megoldásából, amelyet rendszerint elıször találnak meg, el lehet hagyni néhány részletet, és még mindig megoldás marad.

Az utóbbi megoldásban egyik irányból nézve sincsenek fedı szakaszok, nem hagyhatunk el belıle olyan szakaszt, hogy megoldás maradjon: "minimális" megoldás. Az elıbbihez viszont nem tehetünk hozzá úgy szakaszt, hogy megoldás maradjon: "maximális" megoldás. Ha

elképzeljük

a megadott

keresztmetszető

hengerfelületek

áthatását, a maximális megoldáshoz jutunk;

ez

egyébként

az

ilyen

feladatok sablonos megoldási módja.

Hamar rájönnek a gyerekek,

különösen, ha maguk is kedvet kapnak az ilyen feladatok gyártására, hogy három ilyen feltétel nemcsak kevés

118. ábra lehet az alakzat egyértelmő

meghatározásához,

ilyen feltétel már meghatározhatja az alakzatot, s a harmadik, ha nem jól választjuk, ennek többnyire ellentmond. Lehet tehát olyan feladatokat is adni: ismerjük egy térgörbe két képét, hatá-

hanem sok

is:

két

- 249 - - 249 -

A térgörbék több szempontból is igen alkalmasak az ilyen rekonstruálási problémák elsı megközelítésére /vonalakból állnak, mint a rajzaink, a láthatóság nem okoz sok nehézséget, variációs lehetıség bıven van/. De ez mégis csak egy út a sok közül. Sokféle módon lehet egy problémakört érdekessé tenni - még többféle módon unalmassá -, s annak is többféle módja van, hogy ne álljunk meg a szórakoztató feladatoknál, hanem elmélyítsük az általuk felidézett gondolatokat.

TARTALOMJEGYZÉK

Oldal

1. Matematikatanítás az alsó tagozaton Áttekintés...................................... 11 Számtanóra egy elsı osztályban, félév után...... 12

A fejlıdés várható iránya az alsó tagozaton..... 18

2. Természetes számok Áttekintés. Mit értünk természetes számon?...... 22 Számok és jeleik................................ 23 Számrendszer.................................... 24 Írásbeli mőveletek.............................. 26 Fejszámolás. Kerekítés, becslés................. 33

A mőveletek összefüggései. Elnevezések...........

A szorzandó és a szorzó sorrendje............... 37

A mőveletek eredményének változása /vagy válto- zatlansága...................................... 39 Átalakítás a mővelet elvégzése elıtt............ 40

A mőveletek sorrendje, zárójelek használata..... 41 Szöveges feladatok megoldása.................... 42 Arányossági következtetések..................... 47 Számelméleti ismeretek az általános iskolában... 51 Logikai vonatkozások............................ 53 További számelméleti ismeretek.................. 55

3. Törtszámok Helyzetkép...................................... 58

A valós számok osztályozása. Alakjukban külön- bözı számok..................................... 59

Oldal

Törtszám, tört, hányados........................ 61

A tört kétféle értelmezése. Részekre osztás, benn- foglalás........................................ 62 Arány........................................... 65 Törtek bıvítése, egyszerősítése, összeadása, ki- vonása.......................................... 67 Törtek szorzása és osztása...................... 71 Külön szempontok a tizedes tört írásmóddal kap- csolatban....................................... 75 Százalékok...................................... 77 Százalékos feladatok ismétlése.................. 80 Egyéb szöveges feladattípusok................... 83 Közelítı számítások............................. 88 Logarléc, számológép............................ 92

4. Negatív számok Áttekintés...................................... 95

A negatív számok modelljei. Racionális számok összeadása, kivonása............................ 97 Út a mőveletekhez a szabályosság keresésén át... 102 Szorzás és osztás a valóságra vonatkoztatva..... 105

A negatív számok és az algebra.................. 107 Összevonás...................................... 109

5. Az algebratanítás kezdete "Számtan" és "algebra".......................... 111 Átmenet a számtanból az algebrába............... 115

A változók /ismeretlenek/ bevezetése. A keret-je- lölés........................................... 118

A rajzok szerepe................................ 120 Azonos átalakítások............................. 124 Lebontás, megfordítás, mérlegelv................ 126 Formálisabb fogalmazások /átvitel, elhagyás.../ Ekvivalencia.................................... 133 Szöveges feladatok megoldása egyenlettel........ 136

A hatványozás................................... 141 Halmaz, reláció, függvény....................... 150 Függvények megadása táblázattal, grafikonnal, for- mulával......................................... 156

Oldal

Út a formula felé: a törvényszerőség megfigyelése, megfogalmazása................................. 160 Grafikonolvasás................................ 163 Szakaszonként lineáris függvények /táblázattal, grafikonnal.................................... 164 Feladatmegoldás grafikonok segítségével........ 166 Egyenletmegoldás grafikus ábrázolással egybekötve 173 Egyenes és fordított arányosság, lineáris függvény /formulával is/................................ 177

6. A geometriatanítás kezdete

A geometria kapcsolata más tárgykörökkel, külön- álló helyzete................................... 182

A geometriatanítás szemléletes foka............. 185

A geometriai fogalmak kialakítása, a definíciók megformálása.................................... 187 Éles és elmosódott határvonalú fogalmak......... 193

A fogalmak rendszerezése........................ 195

A "bizonyító" geometria kezdete................. 201

A jó és a rossz bizonyítások megkülönböztetése.. 205

A szerkesztések és egyéb manuális tevékenység sze- repe............................................ 210 Egy 6. osztályos geometriaóra................... 215 "Mértani helyek"................................ 220 Egybevágóság, hasonlóság........................ 225 Hosszúság, terület, térfogat.................... 233 Tulajdonképpeni geometria....................... 247

13,- Ft

J 3-229