Penjadwalan Proyek Dengan Durasi Acak

PENJADWALAN PROYEK DENGAN DURASI ACAK
TESIS
Oleh JOHANNES KHO
107021022/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM PROGRAM STUDI MAGISTER MATEMATIKA UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2012
Universitas Sumatera Utara

PENJADWALAN PROYEK DENGAN DURASI ACAK
TESIS
Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam
Program Studi Magister Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara
Oleh JOHANNES KHO
107021022/MT

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM PROGRAM STUDI MAGISTER MATEMATIKA UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN

2012

Universitas Sumatera Utara

Judul

: PENJADWALAN PROYEK DENGAN DURASI ACAK

Nama

: JOHANNES KHO

Nomor Induk Mahasiswa : 107021022

Program Studi

: Matematika

Menyetujui, Komisi Pembimbing

Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc Ketua

Prof. Dr. Herman Mawengkang Anggota

Ketua Program Studi

Dekan

Prof. Dr. Herman Mawengkang

Dr. Sutarman, M.Sc

Tanggal lulus: 11 Agustus 2012

Universitas Sumatera Utara

Telah diuji pada Tanggal 11 Agustus 2012

PANITIA PENGUJI TESIS
Ketua : Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc Anggota : 1. Prof. Dr. Herman Mawengkang
2. Prof. Dr. Tulus, M.Si 3. Dr. Saib Suwilo, M.Sc

Universitas Sumatera Utara

ABSTRAK Tesis ini membahas masalah pengaturan waktu selesai target dalam aktivitas proyek dengan durasi acak dengan menggunakan program stokastik linier integer dua tahap, yaitu pada tahap pertama ditentukan waktu target dan kemudian tahap keduanya diikuti oleh pengembangan jadwal proyek secara rinci dimana tujuannya untuk menyeimbangkan biaya penyelesaian proyek sebagai fungsi dari waktu aktivitas tujuan dan pinalti yang diharapkan dengan deviasi dari nilai yang ditentukan. Bilamana deviasinya betul-betul dipertimbangkan, hasilnya mungkin secara signifikan berbeda dibandingkan dengan bilamana ketika aktivitas-aktivitas itu dijadwalkan sedini mungkin. Sebagai contoh, waktu selesai target yang optimal untuk dibawah setiap suatu proyek mungkin lebih baik daripada membuat rentang dari awal mulai jadwal dibawah setiap skenario. Kata kunci: Perencanaan Proyek, Penjadwalan Proyek, Pemrograman
Stokastik, Manajemen Gangguan, Model Network, Kendalakendala utama.
Universitas Sumatera Utara
i

ABSTRACT This thesis studies the problem of setting target finish times for project activities with random durations. Using two-stage integer linear stochastic programming, target times are determined in the first stage followed by the development of a detailed project schedule in the second stage. The objective is to balance the cost of project completion as a function of activity target times with the expected penalty incurred by deviating from the specified values. When the deviation is really considered, the result may significantly different from a situation when those activities was scheduled early. For instance, deciding the optimal finish time under a whole project maybe better than deciding some time span from the beginning under every scenario. Keyword: Project planning, Project scheduling, Stochastic programming,
Disruption management, Network model, Precedence constraints.
Universitas Sumatera Utara
ii

KATA PENGANTAR

Puji syukur kepada Tuhan yang Maha Pengasih dan Penyayang atas

anugerah yang telah diberikanNya sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis

ini dengan judul : PENJADWALAN PROYEK DENGAN DURASI ACAK

(PROJECT SCHEDULING WITH RANDOM DURATION ). Penulis menyam-

paikan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada :

Bapak Dr. Sutarman, M.Sc, Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Penge-

tahuan Alam Universitas Sumatra Utara, yang telah memberikan kesempatan

kepada penulis untuk mengikuti Program Magister Matematika di FMIPA

Universitas Sumatera Utara.

Bapak Prof. Dr. Herman Mawengkang, Ketua Program Studi Magister

Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara, yang juga sebagai Pembimb-

ing II yang telah memberikan motivasi dan pengarahan sehingga selesainya

tesis ini.

Bapak Dr. Saib Suwilo, M.Sc, Sekretaris Program Studi Magister Mate-

matika FMIPA Universitas Sumatera Utara, yang juga sebagai Anggota Pengu-

ji yang banyak memberi masukan dan saran dalam penyempurnaan tesis ini.

Bapak Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc, Ketua Komisi Pembimbing (Pem-

bimbing I) yang telah mengarahkan dalam penulisan tesis ini.

Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si, sebagai Anggota Penguji yang telah mem-

beri masukan dan saran dalam penyempurnaan tesis ini.

Bapak / Ibu Dosen Program Studi Magister Matematika FMIPA Universi-

tas Sumatera Utara yang telah memberikan ilmunya selama masa perkuliahan.

Ibu Misiani, S.Si, Staf Administrasi Program Studi Magister Matematika

FMIPA Universitas Sumatera Utara yang banyak membantu proses admini-

strasi. Ucapan terima kasih juga penulis sampaikan kepada semua pihak yang

telah banyak memberi perhatian dan bantuan kepada penulis dalam menyele-

saikan tesis ini. Semoga Tuhan membalas segala kebaikan dan bantuan yang

telah diberikan kepada penulis.

Medan, Agustus 2012

Penulis

Johannes Kho
Universitas Sumatera Utara
iii

RIWAYAT HIDUP
Johannes Kho dilahirkan di Padang, Provinsi Sumatera Barat pada tanggal 21 Maret 1949, merupakan anak pertama dari enam bersaudara dari Almarhum ayahanda Gerard Kho dan Almarhumah ibunda Nora. Penulis menyelesaikan pendidikan di SR ST. Joseph Medan pada tahun 1961, SMP Katolik Budi Murni I Medan pada tahun 1964 dan SMA Katolik Medan pada tahun 1967.
Pada tahun 1968 penulis melanjutkan pendidikan Sarjana Strata I pada jurusan matematika Fakultas Ilmu Pasti dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara dan memperoleh gelar sarjana matematika pada tahun 1978. Selama menjalani pendidikan Sarjana Strata I, penulis juga pernah menjadi asisten dosen di FMIPA USU, Fakultas Teknik USU, Fakultas Teknik IKIP Negeri Medan dan pernah menjadi guru di SMA WR Supratman Medan serta SMA Katolik Medan.
Setelah menyelesaikan pendidikan Strata I jurusan Matematika di atas, penulis pernah mengajar di SMP dan SMA Santa Maria Pekanbaru, Fakultas Teknik dan Fakultas Pertaniaan Universitas Lancang Kuning dan sekarang menjadi staf pengajar (PNS) di FMIPA Universitas Riau Jurusan Matematika dari tahun 1979 sampai dengan sekarang.

Penulis telah dikaruniai 3 (tiga) orang putra yang sekarang 2 (dua) orang sedang sekolah di Fakultas Kedokteran Universitas Indonesia dan 1 (satu) orang lagi studi di Fakultas Kedokteran Universitas Padjadjaran, Bandung.
Pada tahun 2011, penulis melanjutkan studi pada Program Studi Magister Matematika di FMIPA Universitas Sumatera Utara, Medan.
Universitas Sumatera Utara
iv

DAFTAR ISI

HALAMAN

ABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . KATA PENGANTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . RIWAYAT HIDUP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DAFTAR GAMBAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DAFTAR TABEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i ii iii iv v vii viii

BAB 1 PENDAHULUAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1 Latar Belakang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Rumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Tujuan Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Manfaat Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Metode Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 3 3 3 3

BAB 2 KAJIAN LITERATUR TENTANG PENJADWALAN PROYEK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

BAB 3 PENJADWALAN PROYEK DAN PROGRAM STOKASTIK 10
3.1 Penjadwalan Proyek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.1.1 Diagram Jaringan dan Lintasan Kritis . . . . . . . . . 11
3.1.2 Waktu Mulai dan Selesai yang Tercepat dan yang Terlama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.2 Program Stokastik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2.1 Pengertian Program Stokastik . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2.2 Konsep Dasar Pembentukan Model Program Stokastik Dua Tahap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Universitas Sumatera Utara
v

3.2.3 Pembentukan Skenario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

BAB 4 SOLUSI MODEL PEMROGRAMAN INTEGER . . 25

4.1 Model Pemrograman Integer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4.2 Jaringan Aliran Formulasi Untuk Masalah Tahap Kedua 34

BAB 5 KESIMPULAN DAN RISET LANJUTAN . . . . . . . 38

5.1 Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Riset Lanjutan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DAFTAR PUSTAKA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38 38 39

Universitas Sumatera Utara
vi

DAFTAR GAMBAR

Gambar

Judul

Halaman

3.1 Diagram Jaringan Aktivitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.2 Jaringan Proyek Untuk Proyek Sistem Informasi InterTrust . 12

3.3 Waktu Mulai dan Waktu Selesai dan Lintasan Kritis Untuk InterTrust . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4.1 Jadwal: (a) jadwal awal untuk skenario 1; (b) jadwal awal untuk skenario 2; (c) jadwal dengan waktu target untuk skenario 1; (d) jadwal dengan waktu target untuk skenario 2 . . . . . . . 33

4.2 Struktur Jaringan; (a) ui = 0; (b) ui > 0 . . . . . . . . . . . . . . 35

Universitas Sumatera Utara
vii

DAFTAR TABEL

Tabel

Judul

Halaman

3.1 Deskripsi dari Proyek Inter Trust Sistem Informasi . . . . . . . . 11

3.2 Singkatan dan Deskripsi Waktu Aktivitas . . . . . . . . . . . . . . . 13

Universitas Sumatera Utara

viii

ABSTRAK Tesis ini membahas masalah pengaturan waktu selesai target dalam aktivitas proyek dengan durasi acak dengan menggunakan program stokastik linier integer dua tahap, yaitu pada tahap pertama ditentukan waktu target dan kemudian tahap keduanya diikuti oleh pengembangan jadwal proyek secara rinci dimana tujuannya untuk menyeimbangkan biaya penyelesaian proyek sebagai fungsi dari waktu aktivitas tujuan dan pinalti yang diharapkan dengan deviasi dari nilai yang ditentukan. Bilamana deviasinya betul-betul dipertimbangkan, hasilnya mungkin secara signifikan berbeda dibandingkan dengan bilamana ketika aktivitas-aktivitas itu dijadwalkan sedini mungkin. Sebagai contoh, waktu selesai target yang optimal untuk dibawah setiap suatu proyek mungkin lebih baik daripada membuat rentang dari awal mulai jadwal dibawah setiap skenario. Kata kunci: Perencanaan Proyek, Penjadwalan Proyek, Pemrograman
Stokastik, Manajemen Gangguan, Model Network, Kendalakendala utama.
Universitas Sumatera Utara
i

ABSTRACT This thesis studies the problem of setting target finish times for project activities with random durations. Using two-stage integer linear stochastic programming, target times are determined in the first stage followed by the development of a detailed project schedule in the second stage. The objective is to balance the cost of project completion as a function of activity target times with the expected penalty incurred by deviating from the specified values. When the deviation is really considered, the result may significantly different from a situation when those activities was scheduled early. For instance, deciding the optimal finish time under a whole project maybe better than deciding some time span from the beginning under every scenario. Keyword: Project planning, Project scheduling, Stochastic programming,
Disruption management, Network model, Precedence constraints.
Universitas Sumatera Utara
ii

BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Pengelolaan proyek besar memerlukan alat analitik untuk menentukan kegiatan penjadwalan dan pengolahan sumber daya sehingga diperolehnya keseimbangan total biaya dan waktu penyelesaian proyek.
Apabila sumber daya, durasi aktivitas, biaya dan parameter lain yang diketahui dengan kepastian, metode lintasan kritis (CPM/Critical Path Method ) dapat digunakan untuk mendapatkan jadwal proyek. Dalam kenyataannya, bagaimanapun sering terjadi aktivitas proyek mengandung ketidakpastian yang timbul dari faktor-faktor seperti teknologi, keragaman kinerja manusia dan gangguan alam. Keacakan ini secara umum diakui menjadi bagian dari manajemen proyek (Pitch et al, 2002).
Beberapa ketidakpastian biasanya dapat diselesaikan sebelum setiap gangguan besar terjadi, tetapi jarang dapat diprediksi bagaimana kejadian acak akan terjadi. Namun demikian, banyak keputusan harus dibuat sebelum semua ketidakpastian diselesaikan. Misalnya, ketika penawaran pada sebuah proyek, kontraktor harus menyerahkan jadwal dan anggaran awal sebelum informasiinformasi penting diperoleh.
Karena jadwal yang diusulkan mempengaruhi kemungkinan memenangkan tawaran proyek, mungkin ada kecenderungan untuk melampaui jadwal itu.
Jika kontrak telah dibuat, maka kinerja akan dinilai dengan seberapa dekat jadwal diikuti, dengan penilaian pinalti akibat penundaan aktivitas dan kegagalan untuk memenuhi syarat utama. Karena dalam perencanaan yang mengandung ketidakpastian, keputusan tidak dapat diambil secara meyakinkan yang biasa dilakukan dalam praktek adalah hanya membuat keputusan yang mutlak penting dan memutakhirkan keputusan ini apabila ada peruba-
Universitas Sumatera Utara
1

han. Setiap keputusan yang tersisa dibuat sebagai informasi yang lebih definitif. Ini merupakan hal yang esensi dari pemrograman stokastik, yang telah diterapkan dibanyak bidang perencanaan dibawah ketidakpastian (Birge, 1997).
Tesis ini membahas masalah bagaimana menetapkan waktu selesai target (tanggal jatuh tempo) dari suatu kegiatan proyek dengan durasi yang tidak pasti, dimana ketidakpastian diwakili oleh skenario-skenario diskrit untuk dianalisis, dikembangkan sebuah model keputusan dua tahap, yang meliputi pilihan sumber daya yang berkenaan dengan kendala anggaran. Jadi kalau penelitian ini diandaikan durasi aktivitas sebagai peubah acak dan disebut sebagai durasi acak.
Dalam kegiatan tahap pertama, target tetap didasarkan pada informasi probabilistik yang dikenal, setelah semua ketidakpastian diselesaikan, jadwal rinci diturunkan sebagai fungsi dari waktu target yang diusulkan. Solusi model yang dirancang untuk menyeimbangkan biaya yang terkait dengan waktu target dan biaya penyimpangan yang diharapkan dari rencana semula. Tujuan dari tahap kedua adalah untuk mendapatkan jadwal dengan biaya minimum yang terkait pinalti akibat penyimpangan dari waktu target.
Karena dinamika yang mendasari, keputusan tahap pertama dapat mengenakan tambahan kendala pada masalah penjadwalan tahap kedua. Sebagai contoh, dalam suatu kegiatan mungkin diperlukan selesai dalam interval waktu penyelesaian yang berpusat pada waktu target. Bahkan masalah penjadwalan tahap kedua merupakan kasus khusus dari manajemen gangguan (Yu dan Qi, 2004) yang mempelajari pengambilan keputusan yang optimal dalam operasi yang tidak teratur. Dalam konteks ini, waktu target diperoleh pada tahap pertama yang dapat dilihat sebagai rencana awal. Tesis ini memperluas ide-ide manajemen gangguan dengan mempertimbangkan tidak hanya strategi pemulihan terbaik untuk setiap skenario yang mungkin, tetapi juga mengembangkan rencana awal yang mengoptimalkan kinerja yang diharapkan dibawah gangguan.
Universitas Sumatera Utara
2

Dengan adanya pengandaian bahwa waktu durasi aktivitas sebagai peubah acak, teori peluang diaplikasikan pada persoalan penjadwalan proyek (Freeman, 1960). Charnes dan Cooper (1962, 1963) mengkaji persoalan ini melalui program kendala peluang. Ke dan Liu (2005) membentuk tiga model stokastik untuk menyelesaikan suatu tipe persoalan penjadwalan proyek dengan waktu durasi stokastik dengan adanya pembatasan waktu.

Teori ketidakpastian diajukan oleh Liu (2007) dan dipertajam oleh Liu (2011) yang merupakan cabang dari aksiomatik matematika untuk memodelkan ketidakpastian manusia, Liu (2009) mengandaikan bahwa waktu durasi aktivitas merupakan variabel tak pasti dan menyajikan model ketidakpastian.

1.2 Rumusan Masalah

Dalam penelitian terdahulu, dalam model yang diajukan belum memperhitungkan waktu target penyelesaian proyek. Pada penelitian ini diajukan model program stokastik dua tahap untuk persoalan penjadwalan proyek dengan adanya durasi acak, dimana ketidakpastian disajikan oleh skenario diskrit. Dalam model ikut diperhitungkan target waktu.

1.3 Tujuan Penelitian

Adapun yang menjadi tujuan dari penelitian ini adalah untuk menyelesaikan model program stokastik dua tahap persoalan penjadwalan proyek dengan adanya durasi acak.

1.4 Manfaat Penelitian

Penelitian ini bermanfaat untuk memperluas aplikasi pemrograman stokastik.

1.5 Metode Penelitian

Metode penelitian ini bersifat studi kepustakaan (literatur) dengan menelaah

dan kajian terhadap beberapa jurnal/buku/disertasi pada kepustakaan yang

terlampir. Untuk menyelesaikan pemrograman linier stokastik dua tahap di-

gunakan pendekatan terbaik dengan

Universitas Sumatera Utara

3

a. Menyelesaikan masalah utama dan satu masalah tahap kedua untuk masingmasing skenario.
b. Akan ditunjukkan juga bahwa dalam kasus ini masalah penjadwalan tahap kedua dapat diselesaikan sebagai masalah jaringan arus biaya minimal.
c. Untuk kasus dengan kendala anggaran, akan ditunjukkan penyelesaian masalah pemrograman non-stokastik terkait anggaran terbatas.
Universitas Sumatera Utara
4

BAB 2 KAJIAN LITERATUR TENTANG PENJADWALAN PROYEK
Ketidakpastian menambahkan tingkat kesulitan ekstra untuk masalah penjadwalan apakah itu terdapat dalam struktur masalah atau dalam parameter (Davenport dan Beck, 2000). Ketika jadwal proyek yang dihasilkan, tidak hanya perawatan yang harus diambil tetapi juga rencana yang mungkin harus dibuat untuk mengantisipasi adanya efek samping yang mungkin timbul selama pelaksanaan (eksekusi). Dalam berbagai situasi yang dapat dimodelkan sebagai masalah optimisasi stokastik, kinerja rata-rata dan kekuatan (robustness) adalah dua langkah utama yang digunakan untuk mengevaluasi hasil (Kouvelis dan Yu, 1997).
Dalam penjadwalan proyek deterministik, tujuannya untuk mengembangkan rencana rinci dalam menentukan waktu aktivitas dimulai dan berakhir dengan kendala sumber daya. Banyak perhatian telah diberikan kepada masalah penjadwalan proyek dengan kendala sumber daya (RCPSP/Resource-Constrained Project Scheduling Problem) dengan tujuan meminimalkan rentang (makespan), tetapi kemungkinan lain termasuk meminimalkan biaya, memaksimalkan beberapa ukuran kualitas, atau kombinasi keduanya.
Meskipun ada kemajuan baru pada penyelesaian kasus yang lebih besar dari RCPSP itu, beberapa aplikasi pada dunia real telah dikutip dalam literatur. Alasan utama atas kekurangan ini adalah kurangnya alasan pembenaran untuk asumsi deterministik diperlukan algoritma terbaik, apakah eksak atau deterministik. Hal ini berarti bahwa solusi yang diberikan mungkin sangat buruk dan bahkan dapat tidak layak. Ketidakpastian ini begitu umum sehingga beberapa proyek selesai tanpa menutupi biaya atau jadwal. Keterlambatan dalam satu aktivitas dapat mempengaruhi kinerja dari semua aktivitas berikutnya, menyebabkan gangguan dalam pasokan materi, tugas pekerja, dan mungkin proyek-proyek lainnya.
Universitas Sumatera Utara
5

Jenis-jenis ketidakpastian yang timbul dalam manajemen proyek dapat dibagi menjadi tiga kategori (Miller dan Lessard, 2001) yaitu terkait:
1. pasar, seperti permintaan, persaingan dan rantai pasokan; 2. penyelesaian, seperti teknis, konstruksi dan operasional; 3. kelembagaan, seperti peraturan, budaya dan warganegara istimewa.
Pada tingkat proyek, setelah keputusan strategis telah dibuat, tantangannya adalah untuk mencapai tujuan teknis dalam kendala waktu dan biaya yang dibebankan oleh manajemen.
Untuk sebagian besar, ketidakpastian datang dalam sifat peristiwa stokastik. Sebagai contoh, mungkin jarang untuk menentukan durasi tidak pasti dari suatu kegiatan jauh sebelum pelaksanaannya. Pendapat ahli, data historis, dan metode teknik industri, umumnya digunakan untuk memperkirakan durasi. Dari sudut pandang praktis, dimungkinkan untuk mengembangkan distribusi probabilitas untuk beberapa peristiwa yang akan datang. Seiring dengan berjalannya waktu dan pengalaman lebih yang diperoleh, jenis ketidakpastian dapat diturunkan atau dihilangkan.
Cara khusus mengelola proyek ketidakpastian alamat adalah dengan analisis parametrik yang dilengkapi dengan penilaian risiko (Chapman, 1977). Ide umumnya adalah untuk mengidentifikasi dan mengevaluasi ketidakpastian yang berhubungan dengan aspek-aspek berbeda dari proyek itu dan untuk mengambil langkah-langkah pencegahan dalam dampaknya. Data historis yang digunakan untuk mendapatkan statistik dan wawasan untuk menilai akibat dari hasil yang tidak direncanakan. Sehubungan dengan pemodelan, jaringan stokastik PERT (Adlakha dan Kulkarni, 1989) telah digunakan untuk penyelesaian terbatas dan ukuran kinerja lainnya. Untuk masalah penjadwalan mesin tunggal (Elmaghraby et al, 2000) disajikan skema pemrograman dinamik untuk aktivitas yang layak dengan tanggal tertentu dan durasi stokastik. Tujuannya adalah untuk meminimalkan perbedaan antara waktu tertimbang dan tanggal target.
Universitas Sumatera Utara
6

Sebuah asumsi umum dalam model jenis PERT adalah bahwa jadwal awal harus yang terbaik untuk setiap realisasi ketidakpastian. Namun, ini tidak selalu benar bilamana ukurunnya lain, seperti nilai sekarang bersih (Buss dan Rosenblatt, 1997) dan deviasi digunakan (Zhu et al, 2005).
Herroelen dan Leus (2004b) memberikan sebuah review prosedur yang berhubungan dengan ketidakpastian dalam penjadwalan proyek. Ada dua jenis pendekatan utama.
1. Penjadwalan proaktif, yaitu mencoba untuk mengembangkan jadwal awal yang memiliki penampilan kuat di bawah skenario pasti yang berbeda (Herroelen dan Leus, 2004a),
2. Penjadwalan reaktif, yaitu mencoba untuk menanggapi seefektif mungkin terhadap situasi yang realis (Yang, 1996). Jelas bahwa meskipun dua pendekatan harus diintegrasikan, sedikit yang telah dilakukan dalam hal ini.
Tipe kedua dari ketidakpastian dalam manajemen proyek adalah terkait dengan peristiwa langka yang cenderung memiliki akibat besar. Contohnya termasuk bencana alam, kebangkrutan pemasok, atau tiba-tiba kehilangan personil kunci. Kejadian ini sulit diprediksi dan sulit untuk dihadapi. Yang dirujuk kepadanya sebagai gangguan. Manajemen gangguan adalah sebuah bidang yang muncul di mana operasi teknik penelitian yang diterapkan untuk membantu mengatasi ketidakpastian sebagai pengembangan (Clausen et al, 2001; Yu dan Qi, 2004). Salah satu bidang yang paling aktif dimana manajemen gangguan telah diterapkan yaitu yang berhubungan dengan operasi penerbangan. Kinerja maskapai penerbangan sangat tergantung pada seberapa baik dapat mengikuti jadwal yang dipublikasikan (Yu et al, 2003).
Pertimbangan biaya penyimpangan yang paling umum dalam masalah penjadwalan mesin dimana sebuah pekerjaan adalah dipinalti karena terlambat atau baik karena kecepatan (Baker dan Scudder, 1990). Sourd dan KedadSidhoum (2003) menyajikan sebuah skema cabang dan batas untuk program
Universitas Sumatera Utara
7

penjadwalan mesin tunggal dengan pinalti kecepatan dan keterlambatan dimana batas bawah berasal dari jadwal terdahulu. Vanhoucke et al. (2001) mempelajari masalah-masalah penjadwalan proyek dengan tanggal aktivitas yang diberikan karena meminimalkan waktu total tertimbang dan keterlambatan. Chretienne dan Sourd (2003) secara umum masalah pembengkakan biaya penjadwalan proyek tanpa kendala sumber daya.
Pemrograman stokastik telah digunakan secara luas untuk model berbagai jenis masalah yang tunduk pada ketidakpastian dan memerlukan kontribusi dan keputusan akhir. Untuk mereview metode komputasi dan aplikasi, lihat Birge (1997). Sebagaimana akan dilihat pada bagian berikutnya, dalam tinjauan model ada beberapa kesamaan dengan model keputusan stokastik yang telah dikembangkan untuk manajemen kapasitas dalam rantai pasokan (Van Mieghem, 2003), dimana ketidakpastian mungkin timbul di salah satu distribusi, produksi atau tahapan eceran (retail). Sejauh ini, masih sedikit sekali riset yang telah dilakukan dalam hal menyelesaikan masalah penjadwalan dengan teknik pemrograman stokastik.
Hal ini diketahui bahwa masalah penjadwalan proyek adalah menentukan jadwal mangalokasikan sumber daya sehingga dapat menyeimbangkan total biaya dan waktu penyelesaian karena dengan ketidakpastian waktu durasi aktivitas proyek, masalah penjadwalan proyek selalu disertai dengan ketidakpastian. Dengan asumsi waktu durasi aktivitas proyek adalah variabel acak, teori probabilitas adalah pendahuluan pertama untuk masalah penjadwalan proyek oleh Freeman (1960a, 1960b), Kelley (1961) pertama memperkenalkan fungsi hubungan antara biaya proyek dan waktu durasi aktivitas proyek dan menetapkan dasar matematika untuk masalah penjadwalan proyek. Kelley (1963) awalnya merumuskan pendekatan untuk tipe masalah penjadwalan proyek dengan tujuan untuk meminimalkan total biaya. Sejak itu, peneliti lain seperti Kolisch dan Padman (2001), Maniezzo dan Mingozzi (1999) dan lain-lain, memiliki partisipasi dalam mempelajari masalah penjadwalan proyek dengan perbedaan waktu durasi aktivitas terbatas. Charnes dan Cooper (1962,
Universitas Sumatera Utara
8

1963) mempelajari masalah penjadwalan proyek melalui pemrograman pergantian kendala di awal tahun 1960-an. Ke dan Liu (2005) membangun tiga model stokastik untuk menyelesaikan masalah penjadwalan proyek dengan durasi aktivitas waktu stokastik dengan meminimalkan biaya total dengan waktu terbatas.
Namun, untuk beberapa proyek, aktivitas mungkin jarang atau tidak pernah dilakukan sebelumnya dan karena kekurangan data statistik. Setelah itu, dengan beberapa sarjana melalui pengetahuan ahli, waktu durasi aktivitas proyek dalam masalah penjadwalan proyek, diasumsikan menjadi variabel fuzzy. Prade (1979) pertama diterapkannya teori himpunan fuzzy kedalam masalah penjadwalan proyek. Selanjutnya, Chanas dan Kamburowski (1981), Dubios dan Prade (1979), Hapke dan Slowinski (1993), Kaufmann dan Gupta (1988), dan Ke dan Liu (2010) membahas berbagai jenis masalah penjadwalan proyek dengan durasi aktivitas waktu fuzzy. Selanjutnya, keacakan dan ketidakjelasan dapat berdampingan dalam masalah penjadwalan proyek. Ke dan Liu (2007) mengemukakan model penjadwalan proyek dengan gabungan ketidaktentuan dari keacakan dan ketidakjelasan menggunakan alat dari keacakan variabel fuzzy diinisialisasi oleh Liu (2009).
Universitas Sumatera Utara
9

BAB 3 PENJADWALAN PROYEK DAN PROGRAM STOKASTIK
3.1 Penjadwalan Proyek
Pengelolaan proyek besar membutuhkan alat-alat analisis untuk aktivitas penjadwalan dan mengalokasikan sumber daya. Hal ini menggambarkan satu himpunan alat yang telah terbukti secara konsisten berharga bagi manajer proyek. Alat-alat yang secara kolektif dikenal sebagai Project Evaluation and Review Technique (PERT) dan Critical Path Method (CPM). PERT dikembangkan oleh angkatan laut AS sebagai konsultan Proyek Rudal Polaris, sementara Critical Path Method diciptakan oleh Dupont dan Remington Rand Corporation untuk pengelolaan pabrik kimia besar. Aplikasi perangkat tersebut termasuk dalam konstruksi untuk pengembangan perangkat lunak. Hal ini menjelaskan konsep dasar dan perhitungan untuk penjadwalan proyek dengan PERT/CPM ini termasuk pembangunan diagram jaringan, perhitungan penjadwalan proyek layak (feasible), menentukan efek ketidakpastian jadwal proyek, dan menyesuaikan jadwal agar sesuai dengan waktu dan keterbatasan sumber daya. Alat-alat yang penting untuk menjaganya agar tetap di jalur setelah dimulai.
Sepanjang hal ini akan dirujuk pada suatu proyek tertentu. Instalasi dari sistem informasi pada sebuah bank komersial yang besar seperti BANK INTERTRUST. Waktu ditempat, sistem akan mengumpulkan entri akuntansi yang dihasilkan oleh produk perbankan seperti rekening dan pinjaman perusahaan. Sekarang, bank sistemnya dioperasikan oleh kontraktor, dan sekali sistem baru dibangun dan akan berjalan menghemat biaya kontrak sebesar $3.000 per minggu.
Tabel 3.1 menggambarkan aktivitas proyek dan durasi yang diharapkan. Sistem akan dikembangkan dan diinstalasi oleh programmer komputer, analis sistem, dan personil dari fungsi akuntansi. Bank memiliki staf programmer
Universitas Sumatera Utara
10

yang cukup dari akuntan, tapi para analis sistem memediasi antara teknisi dan akuntan dalam memenuhi keterbatasan.

Saat ini, hanya tiga analis sistem yang tersedia untuk perusahaan, dan

sejumlah analis yang dibutuhkan untuk setiap aktivitas yang tercantum dalam

tabel. Tabel tersebut juga menentukan immediate predecessors, daftar tugas

terkecil yang mungkin yang harus diselesaikan sebelum memulai setiap aktiv-

itas.

Tabel 3.1 : Deskripsi dari Proyek Inter Trust Sistem Informasi

Deskripsi A Spesifik fungsional dan user inter-

Immediate Durasi Analis Predecessors (Minggu) Sistem
− 42

face feature

B Desain dan kode komponen fungsi-

A

42

onal

C Test dan debug komponen fungsi-

B

42

onal

D Audit internal dari test fungsional

C

21

E Disain dan kode graphical user

A 61

interface

F Integrasi fungsional komponen dan

C,E

62

interface

G Latihan personil akuntan pada in-

E

61

terface

H Latihan personil pada testbed yang

F,G

42

menggunakan sistem integrasi Diasumsikan bahwa proyek durasi yang tercantum dalam tabel 3.1 di-

jamin, sehingga mereka tidak dikenakan keacakan. Dalam bab berikut akan

dipertimbangkan pengaruh acak waktu aktivitas pada proyek itu.

3.1.1 Diagram Jaringan dan Lintasan Kritis

Informasi dalam tabel diatas juga diwakili oleh diagram jaringan dibawah ini seperti persegi panjang atau node yang menandakan aktivitas. Hubungan antara aktivitas diwakili oleh panah antara node.

Untuk proyek InterTrust, aktivitas B dan E mungkin hanya setelah aktivitas A telah berakhir, yang hubungannya direpresentasikan sebagai berikut
Universitas Sumatera Utara
11

B A
E Gambar 3.1 : Diagram Jaringan Aktivitas

Semua anak panah ke sebuah simpul dimulai pada immediate predecessors node, menunjukkan bahwa aktivitas tidak dapat dimulai sampai seluruh aktivitas sebelum itu node dalam jaringan selesai.

Gambar 3.2 menampilkan proyek jaringan lengkap InterTrust. Aktivitas A harus diselesaikan sebelum aktivitas B dan E dimulai. Aktivitas F tidak dapat dilaksanakan sebelum kedua aktivitas C dan E selesai.

B.4 C.4

D.2

A.4 E.6

F.6 H.4 END.0

Kunci Aktivitas, Durasi

G.6

Gambar 3.2 : Jaringan Proyek Untuk Proyek Sistem Informasi InterTrust

Karena proyek itu sendiri tidak dapat diselesaikan sampai semua aktivitas selesai END, dibuat node dummy dengan pendahulu sebelumnya D dan H. Satu kemungkinan juga buat simpul dummy BEGIN jika beberapa aktivitas bisa memulai proyek secara paralel.

Seorang manajer proyek sering memulai dengan pertanyaan sederhana. Berapa lama proyek berakhir?. Setelah jaringan proyek digambarkan, jawabannya juga sederhana: durasi proyek adalah sampai akhir jaringan. Karena semua aktivitas disepanjang jalan ini harus diselesaikan, durasi proyek harus berada setidaknya pada panjang jalan terpanjang. Karena semua jalan-jalan lain lebih pendek, durasi proyek harus panjang jalan terpanjang.
Universitas Sumatera Utara
12

Untuk InterTrust, jalan terpanjang dari A ke AKHIR (END) dapat ditemukan dengan mudah, dengan mencoba semua path (berapa banyak yang ada?) dan memilih jalan yang terpanjang. Jalan ini adalah ABCFH-AKHIR dan durasi adalah 4+ 4+ 4+ 6+ 4 = 22 minggu. Untuk proyek ini relatif sederhana, hanya ada beberapa jalan untuk membandingkan. Untuk yang lebih besar, proyek dengan ribuan aktivitas, menemukan jalan terpanjang adalah sulit kecuali metode terstruktur yang digunakan. Metode yang dijelaskan disini adalah salah satu metode terstruktur seperti itu, dan sepanjang jalan itu berisi banyak informasi yang berguna selain panjang proyek.

3.1.2 Waktu Mulai dan Selesai yang Tercepat dan yang Terlama

Untuk setiap aktivitas dihitung sebagai berikut:

Tabel 3.2 : Singkatan dan Deskripsi Waktu Aktivitas

Jumlah

Singkatan Deskripsi (Keterangan)

Waktu mulai tercepat

ES Waktu aktivitas tercepat dapat di-

mulai setelah memenuhi aktivitas

yang terdahulu berakhir.

Waktu selesai tercepat EF Waktu aktivitas terlama dapat ber-

akhir setelah memenuhi aktivitas

yang terdahulu berakhir.

Waktu mulai terlama

LS Waktu aktivitas tercepat dapat di-

mulai tanpa menunda penyelesaian

proyek.

Waktu selesai terlama

LF Waktu aktivitas tercepat dapat ber-

akhir tanpa menunda penyelesaian

proyek.

Aktivitas slack

SLACK Waktu ekstra (tambahan), suatu ak-

tivitas yang diperbolehkan sebelum

penundaan proyek (dengan asumsi

bahwa hal itu dimulai pada ES). Di-

bawah definisi ini, ”slack” kadang-

kadang juga disebut ”total slack”

atau ”total float”.

Dalam sebuah jaringan, waktu mulai dan selesai tercepat ditemukan den-

gan berulang kali menghitung dari awal proyek (node A) sampai akhir (END).

Gunakan persamaan berikut:

Universitas Sumatera Utara

13

Waktu selesai terlama = ES = max[EF dari immediate predecessors] Waktu mulai tercepat = EF = ES + durasi aktivitas

Untuk InterTrust, dimulai dengan aktivitas A di ’nol’ minggu. Waktu

selesai tercepat untuk A adalah empat minggu kemudian, dan ini adalah waktu

mulai tercepat untuk aktivitas B dan E. Waktu selesai tercepat untuk B adalah

4 + 4 = 8 minggu, dan waktu mulai tercepat untuk penggantinya C adalah 8

minggu.

Gambar 3.2 menampilkan hasil dari perhitungan ini. Pertama-tama

harus hati-hati dengan aktivitas F karena memiliki dua pendahulunya. Waktu

mulai tercepat untuk F adalah waktu selesai tercepat terakhir dari pendahu-

lunya. ES untuk aktivitas F

= max(EF untuk aktivitas C, EF untuk aktivitas E) = max(8+4, 4+6) = max (12, 10) = 12 minggu

Perhitungan serupa selesai untuk aktivitas yang tersisa sampai dicapai

AKHIR (END). Ditemukan bahwa proyek ini mengambil 22 minggu. Wak-

tu mulai dan selesai terlama untuk setiap aktivitas didapat dengan bekerja

mundur, dari akhir proyek ke awal.

Waktu selesai terlama = LF = min[LS dari immediate successors]

Waktu mulai terlama = LS = LF − durasi aktivitas

Untuk END, waktu mulai dan selesai terlama ditentukan sama dengan waktu mulai dan selesai tercepat karena penundaan untuk END akan menunda penyelesaian proyek.
Waktu selesai terlama aktivitas H adalah waktu mulai terlama untuk END adalah 22 minggu, dan waktu mulai terlama untuk aktivitas H adalah 22 − 4 = 18 minggu. Waktu selesai terlama untuk D adalah juga 22 minggu, sedangkan LF untuk F adalah LS untuk H adalah 18 minggu. Aktivitas C memiliki dua immediate successors, sehingga:
LF untuk aktivitas C = min (LS untuk aktivitas D, LS untuk aktivitas F) = min (20, 12) = 12 minggu
Universitas Sumatera Utara

14

Perhitungan ini diulang sampai waktu terlama untuk aktivitas A ditemukan. Selanjutnya, aktivitas slack untuk tiap node dapat dengan mudah dihitung yaitu: Aktivitas slack = SLACK = LS − ES = LF − EF. Lihat gambar 3.3 beserta hasilnya.

48 B.4.0 48

8 12 C.4.0 8 12

12 14 D.2.8 20 22

04 A.4.0 04

4 10 E.6.2 6 12

Kunci Waktu ES Waktu EF
Aktivitas, Durasi, Slack Waktu LS Waktu LF

10 16 G.6.2 12 18

12 18 F.6.0
12 18

18 22 H.4.0 18 22

22 22 END.0 22 22

Gambar 3.3 : Waktu Mulai dan Waktu Selesai dan Lintasan Kritis Untuk InterTrust

3.2 Program Stokastik
3.2.1 Pengertian Program Stokastik
Banyak persoalan keputusan yang dapat dimodelkan dengan menggunakan program matematika yang bertujuan menentukan nilai maksimum atau minimum. Keputusan yang dihasilkan akan bergantung kepada kendala yang dibatasi oleh sumber dana, persyaratan minimum dan lain-lain. Keputusan yang dinyatakan oleh variabel dapat berupa bilangan cacah atau non negatif. Tujuan dan kendala adalah fungsi dari variabel, dan persoalan data. Sebagai contoh dari persoalan data termasuk biaya persatuan, rata-rata produksi, penjualan atau kapasitas.
Andaikan keputusan dinyatakan dengan variabel (x1, x2, . . . , xn). Sebagai contoh xi menyatakan produksi ke-i dari n produk. Bentuk umum program

Universitas Sumatera Utara
15

matematikanya adalah : Min Z = f(x)
Kendala gi(x) ≥ bi x1, x2, x3, · · · , xn ≥ 0 x1, x2, x3, · · · , xn ∈ X
dimana X adalah himpunan bilangan real non negatif.

(3.1)

Program stokastik adalah sebuah nama yang menyatakan program matematika yang dapat berupa linear, cacah, cacah campuran, non linear dengan menampilkan elemen stokastik pada data. Sehingga program stokastik dapat dinyata bahwa :
a. Pada program matematika deterministik, data adalah bilangan-bilangan yang diketahui (tertentu).

b. Pada program stokastik, data merupakan bilangan tidak pasti yang disajikan sebagai distribusi peluang. Program stokastik merupakan program matematika yang mengandung
ketidakpastian. Program stokastik adalah merupakan program matematika, dimana beberapa data yang termuat pada tujuan atau kendala mengandung ketidakpastian, ketidakpastian biasanya dicirikan oleh distribusi peluang pada parameter. Walaupun ketidakpastian didefinisikan dengan tepat tetapi pada prakteknya diberikan beberapa skenario yang spesifik dan distribusi peluang gabungan yang tepat. Hasil-hasil secara umum digambarkan pada elemen s ∈ S. Ketika beberapa data acak, maka penyelesaian dan nilai tujuan optimal untuk masalah optimisasi juga acak.

Ada dua model dalam permasalahan program stokastik, yaitu : 1. Recourse Models 2. Model Kendala Berpeluang (Probabilistically Constrained Models)
Suatu cara logis yang diperlukan dalam persoalan adalah membuat sebuah keputusan sekarang dan meminimumkan biaya rata-rata harapan sebagai konsekuensi dari keputusan. Paradigma ini dikenal sebagai model rekursif.
Universitas Sumatera Utara
16

Andaikan x adalah vektor keputusan yang diambil, dan y(w) adalah sebuah vektor keputusan yang menyatakan aksi terbaru atau konsekuensi dari x. Himpunan berbeda yang berisi y akan dipilih dari tiap-tiap hasil yang mungkin dari w. Formulasi dua tahapnya adalah

Min g1(x) + E[g2(y(w), w)] Kendala f1(x) 0, · · · , fm(x) 0
h1(x, y(w)) 0, ∀ w ∈ W ... ...
hk(x, y(w)) 0, ∀ w ∈ W x1, x2, · · · , xn ∈ X, y(w) ∈ Y.

(3.2)

Himpunan kendala h1, h2, · · · , hk, menggambarkan hubungan antara keputusan tahap pertama x dan keputusan tahap kedua y(w). Dicatat bahwa dipersyaratkan tiap-tiap kendala dipenuhi dengan peluang 1, atau untuk setiap w ∈ W yang mungkin. Fungsi g2 merupakan penyelesaian yang sering muncul dari persoalan matematika. Tidak dibutuhkan untuk membuat korelasi yang berubah-ubah (recourse) untuk keputusan tahap pertama, perlu untuk dibuat korelasi yang terbaik.
Recourse Models dapat diperluas dengan banyak cara. Untuk persoalan tahap ganda, pengaruh keputusan sekarang akan ditunggu untuk beberapa ketidakpastian yang diselesaikan kembali (direalisasikan), sehingga pembuatan keputusan yang lain didasarkan pada apa yang terjadi. Tujuannya adalah untuk meminimumkan biaya yang diharapkan dari semua keputusan yang diambil.
Pada beberapa kasus, dapat digunakan suatu metode yang lebih tepat untuk mencoba menentukan sebuah keputusan, yang mana keputusan tersebut dijamin oleh himpunan kendala yang akan dipenuhi oleh sebuah peluang tertentu. Model umum dengan kendala berpeluang disebut sebagai probabilis-
Universitas Sumatera Utara
17

tically constrained models yang dirumuskan sebagai berikut :
Min Z = f(x) Kendala P [g1(x) ≤ 0, · · · , gm(x) ≤ 0] ≥ α
h1(x) ≤ 0 h2(x) ≤ 0 x ∈ X.

(3.3)

3.2.2 Konsep Dasar Pembentukan Model Program Stokastik Dua Tahap

Banyak persoalan perencanaan dan manajemen yang mengandung resiko dan ketidakpastian dibahas dan diselesaikan dengan program stokastik dua tahap. Persoalan stokastik dengan kompensasi dari divergensi pada sistem dengan kendala mempunyai aplikasi yang lebih banyak dari pada model program yang lain. Penyelesaian persoalan program stokastik dua tahap berisi vektor acak dan vektor deterministik. Pada tahap pertama, penyelesaian persoalan rencana awal deterministik akan dibuat. Pembentukan rencana awal deterministik dilakukan sebelum kondisi acak dari persoalan ditentukan. Jika persoalan program stokastik dengan model dua tahap dapat diselesaikan maka pemilihan dari rencana awal deterministik akan menjamin keberadaan (eksistensi) vektor acak di dalam kompensasi untuk sistem yang divergen.

Andaikan terdapat persoalan berikut :

Min (C, X) A0X = B0 AX = B X≥0

(3.4) (3.5) (3.6) (3.7)

Universitas Sumatera Utara
18

dimana

C = cj, j = 1, 2, ..., m B = (bi), i = 1, 2, ..., m B0 = (bk0), k = 1, 2, ..., m A0 = a0kj , k = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n A = aij , i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n.

Andaikan elemen dari matriks A = A(ω), vektor B = B(ω) dan C = C(ω) bernilai acak. Maka untuk proses penyelesaian dari persoalan (3.4 − 3.7) akan dibagi menjadi dua tahapan, sebelum pengamatan dari parameter acak pada kondisi dari tahap pertama dipilih rencana non-negatif deterministik X0 yang memenuhi kondisi (3.5). pada tahap kedua ditentukan spesifikasi ω0 dari setiap kejadian acak yang bersamaan (sesuai) dengan nilai A(ω0) dan B(ω0). Hitung divergensi B(ω0) − A(ω0)X0 yang muncul pada kondisi (3.6) setelah realisasi ω0 ∈ Ω. Definisikan vektor kompensasi divergensi Y ≥ 0 yang sesuai dengan hubungan berikut

D(ω0)Y (ω0) = B(ω0) − A(ω0)X0

(3.8)

dimana D = dil , i = 1, 2, · · · , m; l = 1, 2, · · · , n1 adalah sebuah matriks kompensasi yang berisi elemen acak. Sehingga diasumsikan bahwa realisasi acak ω yang diamati pada tahap kedua tidak bergantung pada pemilihan rencana pendahuluan X0.

Perhatikan persoalan program matematika berikut : Tentukan vektor X berdimensi n dan vektor Y (ω) berdimensi n1, ω0 ∈ Ω. Yang menghasilkan

dengan kendala

min
X

Eω

{(C

(ω),

X

)

+

min(H,
Y

Y

(ω))}

(3.9)

A0X = B0

(3.10)

A(ω)X + D(ω)Y (ω) = B(ω), ω ∈ Ω

(3.11)

X ≥ 0, Y (ω) ≥ 0

(3.12)
Universitas Sumatera Utara

19

H adalah vektor penalti yang bergantung pada nilai komponen dari vektor Y (ω) yang mana merupakan kompensasi divergensi. E adalah notasi ekspektasi matematika setelah ditentukan rencana awal X0, dipilih komponen vektor Y (ω) dengan cara menjamin penalti minimum untuk kompensasi divergensi pada kondisi dari persoalan. Dengan kata lain, setelah ditentukan vektor X0, perlu menyelesaikan persoalan

min(H, Y (ω)) | D(ω)Y (ω) = B(ω) − A(ω)X0, Y (ω) ≥ 0
Y

(3.13)

Persoalan (3.13) akan menpunyai banyak rencana, vektor Y (ω) tidak dapat ditentukan pada tiap ω0 ∈ Ω yang menjamin penemuan kondisi (3.11). Persoalan (3.9−3.12) dikenal sebagai persoalan program stokastik dua tahap dan persoalan (3.13) adalah persoalan tahap kedua.

Model dan pendekatan dari penyelesaian persoalan program stokastik dua tahap dapat digunakan untuk perspektif perencanaan dan operasional manajemen, karena selalu terdapat keacakan yang mempengaruhi yang sudah direncanakan dan sistem manajemen (pelaksanaan). Model dua tahap juga kurang sensitif terhadap perubahan pada parameter dari kondisi persoalan, yang menyebabkan lebih stabil. Akibatnya vektor dapat diterima untuk rencana tahap pertama yang diperlukan untuk setiap ω0 ∈ Ω, terdapat vektor Y ≥ 0 sedemikian hingga

D(ω)Y (ω) = B(ω) − A(ω)X

(3.14)

Andaikan kendala tambahan yang disebutkan secara implisit pada (3.14) muncul pada tahap kedua dari persoalan yang dihasilkan; dan andaikan kondisi yang ditentukan pada vektor non-negatif X dari persamaan (3.10) sudah ditentukan.

Andaikan himpunan K1 = {X : A0 = B0, X ≥ 0} didefinisikan oleh kendala yang sudah ditentukan tetapi K2 = {X : ∀ ω0 ∈ Ω, ∃ Y ≥ 0, A(ω)X = B(ω) − D(ω)Y (ω)} didefinisikan oleh kendala yang dihasilkan.

Maka

himpunan

K

=

K1 ∩K2

adalah

himpunan

vektor

X

yang layak memenuhi
Universitas Sumatera

Utara

20

persoalan (3.9 − 3.12). Jika X ∈ K, maka vektor X memenuhi kendala yang sudah ditentukan A0X = B, X ≥ 0 dan sampai itu, persoalan tahap kedua (3.6) akan memiliki banyak rencana.
Untuk perhitungan lanjutan diperlukan hasil berikut:
Teorema 3.2.1 Himpunan K dengan vektor X pada persoalan program stokastik dua tahap adalah konveks.
Bukti : K = K1 ∩ K2 tetapi K1 = {X : A0 = B0, X ≥ 0} adalah konveks. Definisikan untuk ω ∈ Ω tertentu pada himpunan K2ω = {X | ∃ Y (ω) ≥ 0} sedemikian hingga A(ω)X = B(ω) − D(ω)Y (ω) adalah konveks. Hal ini menyatakan bahwa K2 = ∩ω∈ΩK2ω dan K = K1 ∩ K2 adalah himpunan konveks sebagai pertolongan himpunan konveks.
3.2.3 Pembentukan Skenario
Dalam banyak aplikasi, sebaran peubah acak tidak diketahui atau walaupun diketahui, terlalu mahal untuk memperhatikan sebaran diskrit dengan banyak hasil yang mungkin atau menangani sebaran kontinu dengan integrasi numerik. Merupakan hal yang umum untuk memilih himpunan hasil representatif yang relatif kecil yang disebut skenario untuk menyajikan kejadian acak. Skenario dapat merupakan kuartil dari sebaran yang diketahui atau data historis, prediksi dan beberapa pohon atau dibangun dengan simulasi. Setiap skenario diberikan nilai probabilitas untuk merefleksikan kemungkinan kejadiannya.
Simpul AKAR menyatakan waktu sekarang atau bagian dari data yang diketahui. Pada tahap 2, terdapat 4 kemungkinan berbeda dan setiap dari padanya mempunyai berbagai hasil berbeda yang mungkin di tahap 3 dan seterusnya. Suatu skenario terdiri dari lintasan lengkap dari simpul akar ke satu simpul daun, mendefinisikan realisasi tunggal dari himpunan peubah acak. Untuk mengoperasikan model program stokastik, pembentukan skenario dan pohon kejadian sangatlah penting. Dibawah ini diuraikan secara singkat
Universitas Sumatera Utara
21

metode pembentukan tersebut. a. Bootstrap data historis b. Pemodelan statistika dengan pendekatan ”Value at Risk” c. Model vektor autoregressi
a. Bootstrap data historis
Pendekatan paling sederhana untuk membangun skenario hanya memakai data yang ada tanpa pemodelan matematika. Setiap skenario merupakan sampel dari perolehan aset yang diperoleh dengan mensampling perolehan yang diamati di masa lalu. Waktu dari catatan historis yang tersedia dipilih secara acak dan untuk setiap waktu dalam sampel dibawa perolehan dari semua kelas tersebut. Ini merupakan skenario perolehan bulanan. Jika ingin dibangun skenario perolehan untuk horizon waktu panjang misalnya 1 tahun, disampel perolehan 12 bulan dari titik waktu yang berbeda. Susunan perolehan dari deretan yang disampel merupakan perolehan 1 tahun. Dengan pendekatan ini korelasi diantara kelas aset dipertahankan.
b. Model Statistika dengan pendekatan Value at Risk Analisis deret waktu dari data historis dapat dipakai untuk mengestimasi
perubahan dari matriks korelasi antara kelas aset. Matriks korelasi ini dipakai untuk mengukur resiko dengan metode Value at Risk (VaR).
Nyatakan peubah acak dengan vektor acak k-dimensi w. Dimensi w sama dengan jumlah faktor resiko yang ingin dimodelkan. Dengan mengandaikan bahwa peubah acak secara gabungan bersebaran normal dapat didefinisikan fungsi kepadatan peluang dari w sebagai
f (w) = (2π)−p/2|Q|1/2exp[− 1 (w − w¯)′Q−1(w − w¯)] 2
disini w¯ adalah ekspektasi dari w dan Y matriks kovarian dan dapat dihitung dari data historis.
Setelah parameter dari sebaran normal multivariat diestimasi kita dapat memakainya dalam simulasi Monte Carlo dengan menggunakan pendekatan
Universitas Sumatera Utara
22

faktorisasi Cholesky atau prosedur pembentukan skenario yang didasarkan pada analisis komponen utama yang diajukan oleh Jamshidian dan Zhu (1997).
Simulasi dapat diterapkan secara berulang pada status berbeda dari pohon kejadian. Begitupun, mungkin saja ingin dipersyaratkan nilai acak yang dibangun pada nilai-nilai yang diperoleh oleh beberapa peubah acak.
Sampling bersyarat dari peubah normal multivariat dilakukan seperti berikut. Peubah w dipartisi menjadi 2 subvektor w1 dan w2 dengan w1 vektor dimensi K, dari peubah acak untuk nama beberapa informasi tambahan tersedia dan w2 adalah vektor dimensi K2 − K − K1 dari peubah sisa. Vektor nilai ekspektasi dan matriks kovarian dipartisi secara analog sebagai

w¯ =

w¯1 w¯2

dan Q =

Q11 Q12 Q21 Q22

,

Fungsi kepadatan peluang marginal dari w2 dengan diketahui w1 = w1∗ diberikan oleh

f (w|w1

=

w1∗)

=

(2π

)−P2

/2

|Q22.1|1/2exp[−

1 2

(w2

−

w¯2.1)′ Q2−21.1(w2

−

w¯2.1)]

dimana nilai ekspektasi bersyarat dan matriks kovarian diberikan oleh

w¯2.1(w1∗) = (w¯2 − Q21Q1−11µ1) + Q21Q−111w1∗

dan Q22.1 = Q22 − Q21Q1−11Q12.

Skenario w2 untuk periode t dipersyaratkan pada nilai w1 diberikan oleh w1t dapat dibangun dari peubah normal multivariat melalui pernyataan

w2t i

=

w20i

√ exp[σi tw2i]

dengan w2ti nilai hari ini dan σi adalah perubahan periode tunggal dari komponen ke i peubah acak w2.

Universitas Sumatera Utara
23

c. Model Vektor Autoregressi Model vektor autoregressi dapat dipakai untuk membentuk skenario.
Dalam hal ini diambil ilustrasi tentang sistem simulasi Asset Liability Management (ALM) untuk dana pensiun. Karena cakupan dari sistem ini selalu dibatasi pad