Matematika SMA Jilid 2

Perbandingan triogonometri sudut-sudut di semua kuadran
Dalam pasal 5-2-1 telah di bahas perbandingan-perbandingan trigonometri suatu
sudut pada sebuah segitiga siku-siku. Ini berarti bahwa sudut-sudut yang terlibat
di dalamnya merupakan sudut-sudut yang lancip(yaitu sudut-sudut yang besarnya
kurang dari 90°). Dalam pasal ini akan di pelajari perbandingan-perbandingan
trigonometri untuk sudut-sudut yang terletak di semua kuadran, yaitu sudut-sudut
yang besarnya antara 0° sampai dengan 360°. Sudut-sudut ini dikelompokkan
menjadi empat wilayah atau kuadra di dasarkan pada besarnya sudut, yaitu :
[1]

Sudut-sudut yang terletak di kuadran I, yaitu sudut-sudut yang besarnya 0°

sampai 90° atau 0° < α₁° < 90°.
[2]

Sudut-sudut yang terletak di kuadran II, yaitu sudut-sudut yang besarnya

antara 90° sampai 180° atau 90° < α₂° < 180°.
[3]

Sudut-sudut yang yrtletak di kuadran III, yaitu sudut-sudut yang besarnya

antara 180° sampai 270° atau 180° < α₃° < 270°.
[4]

Sudut-sudut yang terletak di kuadran IV, yaitu sudut-sudut yang besarnya

antara 270° sampai 360° atau 270° < α₄° < 360°.
Berdasarkan uraian di atas , maka definisi perbandingan trigonometri yang
terdahulu (definisi 5-6) perlu didefinisika kembali (redefinition) supaya dapat
digunakan untuk menentukan perbandingan trigonometri sudut-sudut di semua
kuadran. Dalam pendefinisian kembali ini, sudut pandang pembahasan diubah
dari yang semula pembahasan geometri pada bidang datar (segitiga siku-siku)
menjadi pembahasan geometri analitis pada bidang Cartesius (system koordinat
Cartesius).
Untuk memahami bagaimana pendefinisian ulang (redefinition) perbandingan
trigonometri berdasarkan sudut pandang geometri analitis, simaklah deskribsi
berikut ini. Pada gambar 5-28 ditampilkan sebuah system koordinat Cartesius.
Ruas garis OA dapat di putar atau dirotasi terhadap titikasal O, sehingga besar ¬

Cara lain untuk menyajikan tanda-tanda perbandingan trigonometri sudut-sudut di

berbagai kuadran adalah dengan menggunakan tabel. Perhatikan Tabel 5-2 berikut
ini.
Tabel 5-2 Tanda-Tanda Perbandingan Trigonometri
Perbandingan
Trigonometri
sin

Sudut-sudut di Kuadran
I
II
III
IV
+
+
-

Cos

+

-

-

+

Tan

+

-

+

-

Cot

+

-

+

-

Sec

+

-

-

+

Cosec

+

+

-

-

Catatan : Tanda + (Positif) dan tanda – (negatif)
Agar lebih memahami dan terampil dalam menentukan nilai-nilai
perbandingan trigonometri sudut-sudut di semua kuadran, simaklah beberapa
contoh berikut.
CONTOH 19:
Pada Gambar 5-31 di samping ini, koordinat titik P(3, 4).
a) Hitunglah panjang r atau OP.
b) Jika besar  XOP=   , hitunglah sin   , cos   , tan   , sec   , dan cosec
.

JAWAB:
a) a)

r  OP 

x 2  y 2  32  4 2  5

y
4
=
= 0,8
r
5

cot   = y =
= 0.75
4

cos   =

x
3
=
= 0,6

r
5

sec   =

tan   =

y
5
=
=
x
3

cosec   = y =
= 1,25
4

b) sin   =

3

x

r
5
=
x
3
r

5

CONTOH 20 :
Pada Gambar 5-32 berikut ini, koordinat titik Q (-12, 5).
a) Hitunglah panjang r atau OQ.
b) Jika besar  XOQ =
, dan cosec

,

hitunglah sin

,

cos

,

tan

,

cot

,

sec



.

JAWAB:
a)

r OQ 

x 2  y 2  (  12) 2  (5) 2 13

b) sin



=

y
5
=
r

13

cos



=

x
 12
12
=
=–
r
13
13

sec

tan



=

y
5
5
=
=–
x
 12
12

cosec

cot


=





x

= y =

 12
= -2,4
5

r
13
13
=
=–
x
 12
12
x

5

= y =
= 2,6
4

CONTOH 21:
Di antara tiap perbandingan trigonometri berikut ini, manakah yang bertanda
positif dan manakah yang bertanda negatif?
a) sin 105°

e) tan 98°

i) sec 144°

b) sin 330°

f) tan 281°

j) sec 195°

c) cos 72°

g) cot 87°

k) cosec 312°

d) cos 236°

h) cot 269°

1) cosec 80°

JAWAB:
a) sin 105°

bertanda positif, sebab 105° sudut di kuadran II.

b) sin 330°

bertanda negatif, sebab 330° sudut di kuadran IV.

c) cos 72°

bertanda positif, sebab 72° sudut di kuadran I.

d) cos 236°

bertanda negatif, sebab 236° sudut di kuadran III.

e) tan 98°

bertanda negatif, sebab 98° sudut di kuadran II.

f) tan 28l°

bertanda negatif, sebab 281° sudut di kuadran IV.

g) cot 87°

bertanda positif, sebab 87° sudut di kuadran 1.

h) cot 269°

bertanda positif, sebab 269° sudut di kuadran III.

i) sec 144°

bertanda negatif, sebab 144° sudut di kuadran II.

j) sec 195°

bertanda negatif, sebab 195° sudut di kuadran III.

k) cosec 312° bertanda negatif, sebab 312° sudut di kuadran IV.
l) cosec 80° bertanda positif, sebab 80° sudut di kuadran I.
Sebagai latihan, hitunglah nilai-nilai perbandingan trigonometri pada
Contoh 21 tersebut dengan menggunakan kalkulator. Kemudian bandingkan
tanda-tanda yang diperoleh dari hasil perhitungan dengan menggunakan
kalkulator itu dengan tanda-tanda pada jawaban di atas. Apa yang dapat Anda
simpulkan ?
Menentukan Nilai Perbandingan Trigonometri yang Lain Jika Salah Satunya
Diketahui.
Jika diketahui nilai perbandingan trigonometri suatu sudut tertentu (sudut
itu bukan sudut istimewa dan bukan sudut batas kuadran), maka nilai-nilai
perbandingan trigonometri yang lainnya dapat ditentukan. Langkah penting yang
dilakukan adalah membuat sketsa gambar pada bidang Cartesius yang
menunjukkan nilai perbandingan trigonometri yang telah diketahui. Untuk lebih
jelasnya, simaklah beberapa contoh berikut.

CONTOH 22:,
Diketahui tan   = 

5
,   sudut di kuadran IV. Hitunglah:
12

a) sin  

d) sec  

b) cos  

e) cosec  

c) cot  
JAWAB:
Berdasarkan data pada soal, sudut   dapat digambar seperti pada Gambar 5-33.
y

5

tan   = x  12 , maka y = –5 dan x = 12
r  x 2  y 2  (12) 2  ( 5) 2 13

Dari Gambar 5-33, diperoleh:
y
5

r
13

a) sin  



b) cos  

x
12
 
r
13

c) cot  



d) sec  

r
13
 
x
12

e) cosec  



x
12

y
5

y
13

r
5

CONTOH 23:
Diketahui cos   =

1
hitunglah :
3

a) sin  
b) tan  
JAWAB:
cos   bernilai positif, maka   terletak di kuadran I atau kuadran IV.
cos   =

1
x
=
. maka diambil x = 1 dan r = 3.
3
r

Nilai y ditentukan dari hubungan x2 + y2 = r2,

Y2 = r2 – x2 = (3)2 – (1)2 = 8

 y=±

8

= ±2 2

Kemungkinan kedudukan sudut   diperlihatkan pada Gambar 5-34 di samping.
Untuk   di kuadran I (Gambar 5-34a), diperoleh:
y
r

2 2
3

3
2

y
x

2 2
2 2
1

a) sin    

2

b) tan    

Untuk   di kuadran IV (Gambar 5-34b), diperoleh :
y
r

a) sin    
b) tan   =

 2 2
3

3
2

y
 2 2

 2
x
1

2
2

PERBANDINGAN TRIGONOMETRI SUDUT-SUDUT
DI SEMUA KUADRAN
LATIHAN Uji KOMPETENSI 7
1. Pada Gambar 5-35a, koordinat titik P(-3, 4).
a) Hitunglah panjang r atau OP.
b) Jika besar  XOP =   , hitunglah sin   , cos   , tan   , cot   , sec
  , dan cosec   .

2. Pada Gambar 5-35b, koordinat titik Q(–l, –2).
a) Hitunglah panjang r atau OQ.
b) Jika besar  XOP =   , hitunglah sin   , cos   , tan   , cot   , sec
  , dan cosec   .

Untuk

memahami

bagaimana

pendefinisian

ulang

(redefinition)

perbandingan trigonometri berdasarkan sudut pandang geometri analitis, simaklah
deskripsi berikut ini. Pada Gambar 5-28 ditampilkan sebuah sistem koordinat
Cartesius. Ruas garis OA dapat diputar atau dirotasi terhadap titik asal O, sehingga
besar  XOA dapat berubah dari 0° sampai dengan 360°. Untuk  XOA =   ,
maka ruas garis OA berada pada posisi tertentu. Dengan demikian, pada ruas garis
OA dapat ditempatkan sebarang titik P dengan koordinat (x, y). Absis x, Kordinat
y, dan jarak r = OP memenuhi hubungan yang berlaku dalam Teorema
Pythagoras, yaitu
r=

x2  y2

Oleh karena r menyatakan jarak dari titik 0 ke titik P maka tanda dari r
selalu positif (r > 0) Berdasarkan Gambar 5-28, perbandingan-perbandingan
trigonometri dapat didefinisikan kembali dengan menggunakan variabel-variabel
absis x, ordinat y, dan jarak r sebagai berikut.
Definisi: Perbandingan Trigonometri Berdasar Tinjauan Geometri Analitis
ordinat

y


a) sin   jarak r

absis

x


b) cos   jarak r

ordinat
y

absis
x


c) tan  

absis

x


d) cot  ordinat  y


e) sec  

jarak
r

absis x
jarak

r


f) cosec  ordinat  y .......... ...... (5  9)

Dengan pendefinisian ulang perbandingan trigonometri dari tinjauan
geometri analitis tersebut, maka nilai perbandingan trigonometri sudut-sudut di
semua kuadran dapat ditentukan. Hal ini dapat dilakukan dengan cara memutar
ruas garis OA sehingga  XOA =   terletak di kuadran I, di kuadran 11, di
kuadran III, atau di kuadran IV, seperti diperlihatkan pada Gambar 5-29 pada
halaman 33.
Tanda-Tanda Perbandingan Trigonometri Sudut-Sudut di Semua Kuadran
Berdasarkan definisi 5-9 dan mengingat bahwa jarak r = OP selalu positif, maka
tanda-tanda (positif atau negatit) nilai perbandingan trigonometri ditentukan oleh
tanda-tanda dari absis x dan ordinat y. Hal ini berarti bahwa tanda-tanda itu
ditentukan oleh letak dari sudut   , apakah di kuadran I, di kuadran II, di
kuadran III, ataukah di kuadran IV. Untuk mengkaji tanda-tanda perbandingan
trigonometri sudut-sudut di semua kuadran, simaklah analisis berikut ini.
1. Untuk  1 di kuadran I (gambar 5-29a), absis x positif dan ordinat y positif
y
(Positif)
r

cot  1 

x
(Positif)
r

r
sec  1  (positif)
x

sin  1 
cos  1 

y
tan  1  (Positif)
x

x
(Positif)
y

cosec   

r
(positif)
y

2. Untuk  2 di kuadran II (gambar 5-29b), absis x positif dan ordinat y positif.
sin  2 

y
(Positif)
r

x
cos  2  (negatif)
r
tan  2 

y
(negatif)
x

cot  2 

x
(negatif)
y

r
sec  2  (negatif)
x
cosec  2 

r
(positif)
y

3. Untuk  3 di kuadran I (gambar 5-29c), absis x positif dan ordinat y positif
sin  3 

y
(negatif)
r

x
cos  3  (negatif)
r

cot  3 

x
(Positif)
y

r
sec  3  (negatif)
x

y
tan  3  (Positif)
x

cosec  3 

r
(negatif)
y

4. Untuk  4 di kuadran I (gambar 5-29c), absis x positif dan ordinat y positif
y
(negatif)
r

cot  4 

x
(Positif)
r

r
sec  4  (positif)
x

sin  4 
cos  4 

y
tan  4  (negatif)
x

x
(negatif)
y

cosec  4 

r
(negatif)
y

Hasil-hasil di atas dapat disajikan dengan memakai bagan seperti pada
Gambar 5-30 di samping. Dalam bagan ini hanya dituliskan perbandingan
trigonometri yang bertanda positif, sedangkan perbandingan trigonometri yang
bertanda negatif tidak dicantumkan.