Rancangan Jaringan Distribusi Dengan Pola Banyak Asal Ke Banyak Tujuan

RANCANGAN JARINGAN DISTRIBUSI DENGAN POLA BANYAK ASAL KE BANYAK TUJUAN
TESIS Oleh PUTRI KHAIRIAH NASUTION 097021081/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2012
Universitas Sumatera Utara

RANCANGAN JARINGAN DISTRIBUSI DENGAN POLA BANYAK ASAL KE BANYAK TUJUAN
TESIS
Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam
Program Studi Magister Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara Oleh
PUTRI KHAIRIAH NASUTION 097021081/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2012
Universitas Sumatera Utara

Judul Tesis
Nama Mahasiswa Nomor Pokok Program Studi

: RANCANGAN JARINGAN DISTRIBUSI DENGAN POLA BANYAK ASAL KE BANYAK TUJUAN
: Putri Khairiah Nasution : 097021081 : Matematika

Menyetujui, Komisi Pembimbing

(Dr. Saib Suwilo, M.Sc) Ketua

(Dr. Marwan Ramli, M.Si) Anggota

Ketua Program Studi

Dekan

(Prof. Dr. Herman Mawengkang)

(Dr. Sutarman, M.Sc)

Tanggal lulus : 19 Januari 2012

Universitas Sumatera Utara

Telah diuji pada Tanggal 19 Januari 2012
PANITIA PENGUJI TESIS Ketua : Dr. Saib Suwilo, M.Sc Anggota : 1. Dr. Marwan Ramli, M.Si
2. Dr. Sutarman, M.Sc 3. Dra. Mardiningsih, M.Si

Universitas Sumatera Utara

ABSTRAK Rancangan jaringan distribusi untuk memfasilitasi pengiriman dan pengambilan secara berulang-ulang dari banyak asal ke banyak tujuan. Keputusan desain utama adalah untuk menentukan jumlah terminal terbaik. Dengan melakukan pengembangan pada metode continuous approximation, untuk memilih jumlah terminal yang meminimalkan jumlah biaya terminal dan biaya transportasi. Kata kunci: Jaringan distribusi, Metode Continuous Approximation(CA).
i
Universitas Sumatera Utara

ABSTRACT The design of distribution networks is to facilitate delivery and retrieval repeatedly from many origins to many destinations. The main design decision is to determine the best number of terminals. By doing the development on the method of continuous approximation, to choose the number of terminals that minimizes the number of terminal costs and transportation costs. Keyword: Distribution networks, Continuous Approximation (CA)
ii
Universitas Sumatera Utara

KATA PENGANTAR
Dengan segala kerendahan hati dan penuh sukacita, penulis mengucapkan puji syukur ke hadirat Tuhan Yang Maha Kuasa atas segala anugerah dan berkat-Nya yang telah diberikan, sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis dengan judul : RANCANGAN JARINGAN DISTRIBUSI DENGAN POLA BANYAK ASAL KE BANYAK TUJUAN. Tesis ini menjelaskan pengembangan pendekatan metode continuous approximation (CA) yang baru yang berfungsi untuk mengestimasi biaya transportasi linehaul (jarak rata-rata dari terminal ke titik pusat pada rute) sebagai fungsi dari jumlah terminal.
Penulis menyadari bahwa terselesaikanya Tesis ini tidak lepas dari bantuan dan dukungan berbagai pihak. Oleh karena itu, dengan segala kerendahan hati penulis ingin berterima kasih kepada:
Prof.Dr.dr.Syahril Pasaribu, DTM&H, M.Sc(CTM), Sp.A(K) selaku Rektor Universitas Sumatera Utara
Prof.Dr.Herman Mawengkang selaku Ketua Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara dan sekaligus Pembimbing kedua yang telah banyak memberikan bantuan dalam penulisan tesis ini.
Dr. Saib Suwilo, M.Sc selaku Sekretaris Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara dan juga selaku Pembimbing Utama tesis ini, yang telah memberikan bantuan, semangat, bimbingan, arahan, dan waktu yang tak terbatas kepada Penulis sehingga Tesis ini dapat diselesaikan dengan baik.
Dr. Marwan Ramli, M.Si selaku Pembimbing Kedua yang juga telah banyak memberikan bimbingan kepada penulis dalam penulisan tesis ini.
Dra. Mardiningsih, M.si dan Dr.Sutarman, M.Sc selaku Tim Pembanding Tesis.
Seluruh Staf Pengajar pada Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara yang telah banyak memberikan pelayanan yang baik kepada penulis selama mengikuti perkuliahan.
iii

Universitas Sumatera Utara

Saudari Misiani, S.Si selaku Staf Administrasi Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara yang telah memberikan pelayanan yang baik kepada penulis selama mengikuti perkuliahan. Seluruh rekan-rekan Mahasiswa pada Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara yang telah memberikan bantuan moril dan dorongan kepada penulis. Penulis juga mengucapkan terima kasih sebesarbesarnya dan penghargaan setinggi-tingginya kepada ayahanda Khaidir Nst dan ibunda Fatma Siagian, serta adik-adik tersayang, M. Iqbal Nst dan M. Ade Wahyu Nst, yang senantiasa memberikan dukungan dan mendoakan keberhasilan penulis dalam menyelesaikan pendidikan ini.
Kepada seluruh pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu, penulis berterimakasih atas semua bantuan yang diberikan, semoga Allah SWT membalaskan segala kebaikan yang telah diberikan, Amin.
Penulis menyadari bahwa tesis ini masih jauh dari sempurna. Untuk itu penulis mengharapkan kritik dan saran untuk penyempurnaan tesis ini. Semoga tesis ini dapat bermanfaat bagi pembaca dan pihak-pihak lain yang memerlukannya. Terima Kasih.
Medan, Januari 2012 Penulis,
Putri Khairiah Nasution
iv
Universitas Sumatera Utara

RIWAYAT HIDUP Putri Khairiah Nasution dilahirkan di Medan pada tanggal 9 Desember 1985 dari pasangan Bapak Khaidir Nasution dan Ibu Fatma Siagian yang merupakan anak pertama dari tiga bersaudara. Penulis menamatkan pendidikan Sekolah Dasar (SD) Negeri 101896 Tanjung Morawa tahun 1997, Sekolah Menengah Pertama (SMP) Negeri 2 Lubuk Pakam tahun 2000, Sekolah Menengah Atas (SMA) Negeri 1 Lubuk Pakam tahun 2003. Pada tahun 2003, penulis memasuki Perguruan Tinggi Universitas Gadjah Mada, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Program Studi Matematika pada Jenjang Strata-1 dan lulus tahun 2009. Kemudian pada tahun yang sama, penulis diterima sebagai dosen tidak tetap di IAIN-SU dan mendapatkan dana bantuan untuk melanjutkan pendidikan pada Program Studi Magister Matematika Universitas Sumatera Utara.
v
Universitas Sumatera Utara

DAFTAR ISI

ABSTRAK ABSTRACT KATA PENGANTAR RIWAYAT HIDUP DAFTAR ISI
BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang 1.2 Masalah Penelitian 1.3 Tujuan Penelitian 1.4 Metode Penelitian
BAB 2 TEORI-TEORI PENDUKUNG

Halaman i ii
iii v vi
1
1 4 4 4
6

BAB 3 RANCANGAN JARINGAN DISTRIBUSI DENGAN POLA BANYAK

ASAL KE BANYAK TUJUAN

16

3.1 Pengertian Metode Continuous Approximation (CA) 3.2 Pemilihan Jumlah Terminal
3.2.1 Estimasi Jarak Linehaul 3.2.2 Estimasi Jarak Detour 3.2.3 Menentukan Jumlah Terminal dan Batas 3.3 Lokasi Terminal 3.4 Memilih Ukuran Armada 3.5 Keputusan Operasional

16 17 18 22 25 26 27 27

vi
Universitas Sumatera Utara

3.5.1 Seleksi Terminal untuk Rute dari Daerah Asal ke Daerah Tujuan
3.5.2 Rute Kenderaan dengan Waktu Kembali Dipisah Antara Pengambilan dan Pengiriman
BAB 4 KESIMPULAN
DAFTAR PUSTAKA

27
28 30 31

vii
Universitas Sumatera Utara

ARTI LAMBANG DAN SINGKATAN

R : Himpunan bilangan nyata

O : Daerah asal

D : Daerah tujuan

(i , j ) ∈ O × D : Himpunan yang berisi i , j dimana i ∈ O dan j ∈ D

ω : Jalur

Ω : Himpunan jalur-jalur

p(ω) : Kapasitas jalur-jalur

ij : Asal ke tujuan

q (ω)

: Rute

q (ω)ij X

: Rute dari asal ke tujuan : Himpunan terminal

XE : Himpunan terminal yang ada XP : Himpunan terminal potensial

m : Terminal

Qv : Kapasitas Kenderaan

d : Biaya untuk memindahkan kenderaan

C : Biaya

nv zimj (ω) ⌈x ⌉

: Biaya dengan kapasitas Qv : Penugasan terminal dari asal ke tujuan bervariasi sesuai rute : Bilangan bulat terkecil lebih besar dari x

⌊x ⌋ : Bilangan bulat terbesar lebih kecil dari x

viii
Universitas Sumatera Utara

ABSTRAK Rancangan jaringan distribusi untuk memfasilitasi pengiriman dan pengambilan secara berulang-ulang dari banyak asal ke banyak tujuan. Keputusan desain utama adalah untuk menentukan jumlah terminal terbaik. Dengan melakukan pengembangan pada metode continuous approximation, untuk memilih jumlah terminal yang meminimalkan jumlah biaya terminal dan biaya transportasi. Kata kunci: Jaringan distribusi, Metode Continuous Approximation(CA).
i
Universitas Sumatera Utara

ABSTRACT The design of distribution networks is to facilitate delivery and retrieval repeatedly from many origins to many destinations. The main design decision is to determine the best number of terminals. By doing the development on the method of continuous approximation, to choose the number of terminals that minimizes the number of terminal costs and transportation costs. Keyword: Distribution networks, Continuous Approximation (CA)
ii
Universitas Sumatera Utara

BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Jaringan distribusi merupakan sesuatu yang menggambarkan pengiriman barang atau produk dari sejumlah asal ke sejumlah tujuan. Pada barang atau produk yang di konsumsi sehari-hari, fungsi jaringan distribusi dan transportasi memainkan peranan yang sangat penting. Dengan adanya jaringan distribusi dan transportasi, produk yang dihasilkan oleh produsen akan bisa sampai kepada tangan konsumen. Di bagian transportasi pengiriman produk, masalah efisiensi juga harus diperhatikan, penentuan rute dan jumlah pengangkutakan mempengaruhi biaya operasional dari rantai distribusi.
Daganzo (1978) menganggap permintaan banyak asal ke banyak tujuan sebagai suatu sistem yang responsif. Laporte (1988) membahas tentang masalah optimasi yang menggabungkan kedua sarana lokasi dan rute kenderaan. Selanjutnya, Laporte, dkk (1989) kembali mengusulkan integer programming models of stochastic untuk masalah lokasi rute dan ukuran kenderaan. Selain itu, Hall (1993) menganggap rancangan jaringan banyak asal ke banyak tujuan sebagai angkutan jaringan distribusi di area lokal, seperti daerah metropolitan.
Metode analitik untuk meminimalkan biaya distribusi barang dengan menggunakan truk dari pemasok untuk ke banyak pelanggan dikembangkan oleh Burns (1985). Kemudian, Blumenfeld (1985) menjelaskan tentang biaya yang diperlukan untuk berbagai kasus yang berhubungan dengan pengiriman barang dari asal ke tujuan. Selanjutnya, Daganzo dan Hall (1993) membahas perkiraan biaya rute kenderaan untuk melakukan pengambilan dan pengiriman barang.
Newell (1973) menjelaskan penggunaan metode continuous approximation (CA) untuk memberikan pemahaman tentang perilaku kualitatif berbagai masalah optimasi diskrit serta menemukan solusi masalah tersebut. Kemudian, Dasci dan Verter (2001) mengembangkan sebuah continuous approximation (CA) yang dibu-
1
Universitas Sumatera Utara

2 tuhkan untuk ukuran area layanan atau ekuivalen terhadap kepadatan terminal yang akan dipilih pada setiap titik di wilayah tersebut.
Ada banyak sistem perancangan distribusi barang dari banyak asal ke banyak tujuan. Salah satu alternatif adalah dengan melakukan penggabungan pengangkutan pada sarana terminal, terminal transhipment (pemindahan), atau sarana transfer. Ada banyak cara juga untuk merancang operasi transportasi yang melibatkan sarana terminal, yaitu dapat dibedakan berdasarkan jumlah terminal pada setiap pengiriman dari asal ke tujuan. Berikut adalah contoh illustrasi gambar
Gambar 1.1 : Solusi di mana setiap pengiriman bergerak melalui hanya satu terminal dalam perjalanan dari asal ke tujuan
Sumber : Design of Multistar Many-to-Many Distribution Networks Gambar 1.1 menunjukkan solusi menggunakan dua terminal yang dilam-
bangkan oleh X dan Y . Daerah asal dilambangkan dengan lingkaran dan daerah tujuan dilambangkan dengan kotak. Dari Gambar 1.1 dapat dilihat, bahwa setiap pengiriman bergerak melalui hanya satu terminal dalam perjalanan dari asal ke tujuan. Solusi dalam Gambar 1.1 terdiri dari rute berikut:
1. X, D, B, A, 1, 2, 3, X 2. X, C, E, F, 6, 5, 4, X 3. Y, C, B, A, 13, 12, 11, 10, Y 4. Y, D, E, F, 9, 8, 7, Y

Universitas Sumatera Utara

3

Sebagai contoh, pengiriman akan dilakukan dari daerah asal 1 ke daerah tujuan F . Pengiriman diangkut dari titik asal 1 dengan rute X, C, B, A, 1, 2, 3, X, kemudian di terminal X pengiriman diturunkan dari kendaraan dan dimuat ke kendaraan yang lain dengan rute X, D, F, E, 6, 5, 4, X. Selanjutnya pengiriman disampaikan ke tujuan F pada saat kenderaan melewati daerah tujuan F .

Hal pertama yang dilakukan untuk merancang sistem pendistribusian yaitu menentukan tipe dasar sistem sesuai dengan kasus yang di kaji. Untuk memudahkan dalam perancangan tersebut, maka digunakan metode continuous approximation (CA) yaitu metode yang memperkirakan biaya operasi yang akan dilakukan dengan desain tertentu dan kemudian menggunakan perkiraan tersebut untuk mencari rancangan yang terbaik.

Perancangan jaringan distribusi memiliki variabel operasional yaitu daerah asal (O), daerah tujuan (D), armada angkutan (nv ) dan rute dari asal ke tujuan yang dinotasikan oleh q(ω).

Ini akan menunjukkan bahwa variabel-variabel ini memiliki dampak yang penting pada biaya trasportasi yang diberikan oleh fungsi objektif:

min { (cm um
u∈{0,1}|X |,nv ∈N|X | m∈X

+

Cv nvm )

+

p(ω)V
ω∈Ω

(u ,

nv ,

ω)}

dimana,

V (u, nv , ω) := min
Z (ω)

m∈X τ Om (z m (ω) , Dm (z m (ω)), Qm (z m (ω), ω),

dengan kendala,

d m (z m (ω)), nvm

m∈X zimj (ω) = I{qij ω>0} , untuk semua i ∈ O, j ∈ D

zimj (ω) ≤ um

, untuk semua i ∈ O, j ∈ D, m ∈ X

zimj (ω) ∈ {0, 1}

, untuk semua i ∈ O, j ∈ D, m ∈ X

Universitas Sumatera Utara

4
Bagian utama dari perancangan jaringan distribusi ini adalah pengembangan pendekatan metode continuous approximation (CA) yang baru yang berfungsi untuk mengestimasi biaya transportasi dan terutama biaya linehaul (jarak ratarata dari terminal ke titik pusat pada rute) sebagai fungsi dari jumlah terminal. Kemudian digunakan pendekatan untuk mencari jumlah terminal yang efisien yaitu terminal yang melayani setiap asal dan tujuan masing-masing. Setelah posisi terminal diketahui, maka rancangan yang dihasilkan di evaluasi melalui perhitungan lebih rinci dari rute kenderaan untuk memindahkan semua barang dari asal ke tujuan masing-masing.
1.2 Masalah Penelitian
Berdasarkan latar belakang permasalahan di atas, permasalahan yang akan dibahas dalam tesis ini adalah merancang jaringan distribusi dengan menggunakan metode continuous approximation (CA) yang berfungsi untuk mengestimasi biaya transportasi, terutama biaya linehaul(jarak rata-rata dari terminal ke titik pusat pada rute) sebagai fungsi dari jumlah terminal.
1.3 Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah merancang distribusi jaringan dengan mencari jumlah dan lokasi terminal untuk dapat mengestimasi biaya yang minimal.
1.4 Metode Penelitian
Secara garis besar penelitian ini dilakukan dengan cara studi literatur. Rangkaian penelitian yang dilakukan penulis adalah dengan cara sebagai berikut:
1. Mempelajari pengertian dari variabel-variabel yang digunakan. 2. Menentukan jumlah dan letak lokasi terminal beserta jumlah kenderaan di
masing-masing terminal. 3. Merancang distribusi untuk pengiriman berulang-ulang dari banyak asal ke
banyak tujuan.
Universitas Sumatera Utara

5 4. Mengembangkan metode continuous approximation (CA) yang baru yang
berfungsi untuk mengestimasi biaya transportasi dan terutama biaya linehaul (jarak rata-rata dari terminal ke titik pusat pada rute) sebagai fungsi dari jumlah terminal.
Universitas Sumatera Utara

BAB 2 TEORI-TEORI PENDUKUNG
Untuk lebih memahami isi dari tulisan ini dibutuhkan beberapa pengetahuan tentang konsep, formula, dan definisi yang berhubungan dengan rancangan jaringan distribusi. Secara keseluruhan konsep, formula dan definisi berdasarkan tulisan Anton J. Kleywegt (2006).
Daganzo (1978) menganggap permintaan banyak asal ke banyak tujuan sebagai suatu sistem yang responsif, misalnya taksi paling banyak satu kali permintaan per waktu dan bus yang memungkinkan beberapa permintaan yang akan diangkut per waktu. Daganzo memodelkan tiga algoritma yang membahas tentang rute dan approximate expressions yang diperoleh dari waktu tunggu rata-rata dan waktu setiap kali pelanggan naik ke dalam kenderaan.
Operasi distribusi berlangsung berulang kali dalam jangka waktu. Dimisalkan, O adalah titik asal dan D adalah titik tujuan. Diberikan beberapa asumsi:
1. Setiap pengiriman dilakukan melalui satu terminal dari titik asal ke titik tujuan.
2. Dalam satu periode waktu tertentu, pengiriman dimulai dari terminal (barangbarang tetap diambil dari daerah asal) ke tujuan dan kembali lagi ke terminal dimana kenderaan berada, dengan kata lain barang dipindahkan dari titik asal O yang ditetapkan ke himpunan tujuan D.
Daganzo dan Hall (1993) membahas perkiraan biaya rute kenderaan untuk melakukan pengambilan dan pengiriman barang, dimana pengiriman telah selesai sebelum pengambilan dilakukan. Diasumsikan pengambilan dan pengiriman terdistribusi merata pada wilayah yang telah dipartisi menjadi approximate rectangles dan tidak terikat pada jumlah rute pengambilan.
6
Universitas Sumatera Utara

7
Blumenfeld (1985) menjelaskan ekspresi biaya pada kasus-kasus sebagai berikut:
1. Pengiriman langsung dari satu asal ke satu tujuan. 2. Pengiriman langsung dari banyak asal ke satu tujuan. 3. Pengiriman langsung dari satu asal ke banyak tujuan. 4. Pengiriman langsung dari banyak asal ke banyak tujuan. 5. Pengiriman dari banyak asal ke banyak tujuan dengan semua beban berge-
rak dan dimana rute tidak dianggap. 6. Pengiriman dari banyak asal ke banyak tujuan dengan beberapa beban ber-
gerak langsung dari asal ke tujuan.
Berikut akan diberikan beberapa definisi yang diperlukan untuk meminimalkan biaya.
Diberikan sebuah himpunan berhingga jalur-jalur (Ω). Misalkan ∃ω ∈ Ω dengan probabilitas atau bobot sebesar p(ω). Himpunan Ω menunjukkan probabilitas distribusi yang masuk atau dapat diperoleh dari probabilitas yang masuk dengan sampling atau dapat juga merupakan perbedaan prediksi jalur pada periode waktu.
Diberikan sebuah pertidaksamaan: ∀ω ∈ Ω, qij (ω) ≥ 0
yaitu menunjukkan jumlah barang per periode waktu yang harus pindah dari titik asal i ∈ O ke tujuan j ∈ D pada ω. Setiap kenderaan memiliki kapasitas yang sama Qv .
Himpunan terminal yang ada dinotasikan dengan XE , dan terminal potensial oleh XP . Dari pernyataan tersebut, dapat dibuat suatu persamaan:
∀ terminal m ∈ X := XE ∪ XP
Universitas Sumatera Utara

8

Diberikan Cm yang menunjukkan perbedaan biaya per periode waktu antara terminal m yang beroperasi dengan terminal m yang tidak beroperasi.
Diberikan dij menunjukkan biaya untuk memindahkan kenderaan dari titik asal i ke titik tujuan j , dengan asumsi biaya berpindahnya kenderaan tidak tergantung pada beban yang dibawa.
Notasi Cv menunjukkan biaya per periode waktu untuk setiap kenderaan berdasarkan tiap terminal, baik kenderaan yang digunakan atau tidak, dan cv untuk setiap kenderaan yang digunakan selama periode waktu, tidak tergantung oleh jarak yang ditempuh oleh kenderaan.
Hall (1993) menganggap desain banyak asal ke banyak tujuan sebagai angkutan jaringan distribusi di area lokal, seperti daerah metropolitan. Area tersebut memiliki satu gerbang terminal yang terletak di pusat, dimana semua pengiriman ke dan dari lokasi tersebut akan melewatinya. Berikut akan diberikan beberapa definisi mengenai terminal yang berpotensi untuk dibuka pada semua jalur.
Diambil variabel keputusan um yang menunjukkan terminal m yang terbuka untuk semua jalur, yaitu:


1, jika m ∈ χ terbuka um :=
0, jika lainnya

(2.1)

Variabel keputusan integer nvm menyatakan jumlah kenderaan yang ditugaskan ke terminal m.
Untuk setiap jalur ω ∈ Ω, akan diputuskan cara untuk memindahkan setiap pengiriman dari asal ke tujuan melalui terminal terbuka. Artinya, untuk setiap pasangan asal-tujuan (i , j ) ∈ O × D dengan qij > 0, akan ditentukan terminal terbuka yang digunakan dalam pengiriman dan akan diputuskan masalah rute yang akan dipakai.

Universitas Sumatera Utara

9

Diberikan variabel keputusan biner zimj (ω) yang menunjukkan pengiriman dari i ke j melalui terminal m, yaitu:


1,    zimj :=
  0,

jika terminal m ∈ χ digunakan dalam perpindahan pengiriman dalam rute ω ∈ Ω jika lainnya

(2.2)

zimj menunjukkan bahwa penugasan terminal dari asal ke tujuan bervariasi sesuai rute. Jika pengangkutan dari asal ke tujuan melalui terminal harus sama untuk semua rute, maka syarat perlu variabel zimj tidak bergantung pada ω.

Pada bab ini hanya untuk menentukan bahwa τ (O′, D′, Q′, d ′, nv ) menunjukkan biaya optimum dari masalah rute dengan jumlah kenderaan tertentu pada suatu terminal.

Dimisalkan, O′ ⊂ O untuk daerah asal dan D′ ⊂ D untuk daerah tujuan. Diberikan beberapa asumsi:

1. Jumlah yang harus dijemput dan dikirimkan diberikan oleh

Q′

∈

R(1+|O′|+|D′ |)
+

(dimana

untuk

setiap

asal

i

∈

O′, Q′

menunjukkan

kuan-

titas yang akan diambil dari terminal dan disampaikan di j ).

2. Biaya perpindahan kenderaan antara terminal, asal dan tujuan diberikan oleh d ′ ∈ R(1+|O|′+|D′|)2.

3. nv adalah kenderaan dengan kapasitas Qv masing-masing.

Berdasarkan asumsi di atas, dapat diperoleh beberapa persamaan dari fungsi τ dan bergantung pada variabel keputusan pada Persamaan (3.2), yaitu :

∀m ∈ X dan z m (ω) ∈ {0, 1}|O×|D| diambil,

Om z m (ω) := i ∈ O : j ∈D zimj (ω) > 0 Dm z m (ω) := j ∈ D : i∈O zimj (ω) > 0

(3.3) (3.4)

Universitas Sumatera Utara

10

Qim z m (ω), ω := j ∈Dm (z m (ω))qij (ω)zimj (ω), untuk i ∈ Om (z m(ω)) (3.5)

Qjm z m (ω), ω := i∈Om (z m (ω))qij (ω)zimj (ω), untuk j ∈ Dm (z m(ω)) (3.6)

Qm z m (ω), ω := Qmi z m (ω), ω : l ∈ Om z m (ω) ∪ Dm z m(ω)

(3.7)

d m z m (ω), ω := di j : i , j ∈ Om z m (ω) ∪ Dm z m (ω) ∪ {m}

(3.8)

Dari Persamaan (3.3)-(3.8) diperoleh fungsi objektif yang memberikan rencana biaya minimum dari distribusi untuk rute yang diberikan oleh terminal terbuka ω yang ditentukan oleh u, ukuran armada angkutan yang ditentukan oleh nv , dan rute dari asal ke tujuan yang ditentukan q(ω). Fungsi objektif:

min{
u ,nv

m∈X (cm um + Cv nvm ) +

ω∈Ω p(ω)V (u, nv , ω)}

(3.9)

dengan u ∈ {0, 1}|X | dan nv ∈ N|X | dimana,
V (u, nv , ω) := min τ Om (z m (ω) , Dm (z m (ω)),
Z (ω) m∈X
Qm(z m (ω), ω)d m (z m (ω)), nvm
dengan kendala,

(3.10)

m∈X zimj (ω) = I{qij ω>0} , untuk semua i ∈ O, j ∈ D

zimj (ω) ≤ um

, untuk semua i ∈ O, j ∈ D, m ∈ X

zimj (ω) ∈ {0, 1}

, untuk semua i ∈ O, j ∈ D, m ∈ X

(3.11) (3.12) (3.13)

Pada Persamaan (3.7) jumlah yang harus dijemput dan ditunjukkan dalam periode waktu pada rute ω ditentukan oleh daerah asal dan daerah tujuan qij (ω).
Jadi interpretasi yang dapat diambil dari Formulasi (3.10)-(3.13) yaitu untuk mengantarkan barang-barang yang diperoleh dari periode waktu sebelumnya dan kemudian untuk mengambil dan selanjutnya membawa barang-barang tersebut untuk diangkut ke terminal yang akan disampaikan pada perode waktu berikutnya. Jika rute daerah asal ke daerah tujuan bervariasi setiap minggu, ma-

Universitas Sumatera Utara

11
ka jumlah total barang yang di jemput pada minggu tertentu tidak sama dengan jumlah total yang sama di antar pada minggu yang lainnya.
Berdasarkan penjelasan di atas dan Formulasi (3.3)-(3.13) dapat didefinisikan fungsi τ . Fungsi τ merupakan kemungkinan beberapa kenderaan untuk mengunjungi daerah asal atau daerah tujuan selama periode waktu, dan pengiriman akan selesai sebelum pengambilan dilakukan dalam satu rute.
Dengan menetapkan daerah asal O′, daerah tujuan D′, jumlah barang yang akan diambil dan dikirimkan ditunjukkan oleh Q′, biaya berpindahnya kenderaan antara daerah asal, daerah tujuan dan terminal yang dilewati diberikan oleh d ′, dan nv′ kenderaan dengan kapasitas Qv. Dimisalkan 0 menyatakan terminal. Diberikan V′ := {0} ∪ O′ ∪ D′ yang menyatakan himpunan titik-titik. Karena pengiriman harus diselesaikan sebelum pengambilan yang dilakukan pada rute, maka himpunan feasible arc pada rute adalah
A′ := {(i , j ) ∈ (V′)2 \ O′ × D′ : i = j Diberikan variabel keputusan sebagai berikut:
 1, jika kenderaan k digunakan vk := 0, lainnya  1, jika kenderaan k berpindah pada arc (i , j ) xijk := 0, lainnya aik ≥ 0, jumlah barang yang diambil pada i jika i ∈ O′ atau jumlah barang yang diantar ke i jika i ∈ D′, dengan kenderaan k.
Universitas Sumatera Utara

12

Dari definisi fungsi τ dan penjelasan di atas, diperoleh:

τ (O′, D′, Q′, d ′, nv ) := min
x ,v ,a (i,j )∈A′
dengan kendala,

nv′ k =1

di′j

xijk

+

cv

vnv′
k =1 k

(3.14)

{j :(j ,i)∈A xjik = {j :(j ,i)∈A} xijk , untuk semua i ∈ O′ ∪ D′, k ∈ {1, ..., nv′ } (3.15)

aik ≤ ( {j :(j ,i)∈A} xijk )Qv

, untuk semua i ∈ O′ ∪ D′, k ∈ {1, ..., nv′ } (3.16)

i∈D′ aik ≤ Qv vk

, untuk semua k ∈ {1, ..., nv′ }

(3.17)

i∈O′ aik ≤ Qv vk

anv′
k =1 ik

=

Qi′

anv′
k =1 jk

=

Qj′

, untuk semua k ∈ {1, ..., nv′ } , untuk semua i ∈ O′ , untuk semua j ∈ D′

(3.18) (3.19) (3.20)

{(i,j)∈A:i,j∈S} xjik ≤ |S| − 1 , untuk semua k ∈ {1, ..., nv′ }, S ⊂ O′

atau S ⊂ D′, |S| = 2

(3.21)

vk ∈ {0, 1} xijk ∈ {0, 1} aik ≥ 0

, untuk semua k ∈ {1, ..., nv′ } , untuk semua (i , j ) ∈ A,k ∈ {1, ..., nv′ } , untuk semua i ∈ O′ ∪ D′, k ∈ {1, ..., nv′ }

(3.22) (3.23) (3.24)

Fungsi τ yang diberikan dalam Formulasi (3.14)-(3.24), fungsi objektif (3.9) beserta kendalanya (3.11)-(3.13) dapat diformulasikan sebagai bentuk two-stage mixed integer linear program.
Laporte (1988) membahas tentang masalah optimasi yang menggabungkan kedua sarana lokasi dan rute kenderaan serta memberikan gambaran dari kedua algoritma branch and bound yang tepat, dan heuristic untuk sejumlah masalah sarana lokasi yang spesifik khusus kasus komoditas tunggal yaitu semua pengiriman dianggap sebagai produk yang sama, sehingga pengiriman barang diambil dari asal tetapi tidak memiliki tujuan. Namun, Laporte juga tidak mempertimbangkan pengiriman pada rute yang sama. Selanjutnya, Laporte, dkk (1989) kembali mengusulkan integer programming models of stochastic untuk masalah lokasi rute dan ukuran kenderaan.
Berikut akan diberikan contoh dari masalah yang akan dibahas dan dapat diselesaikan dengan software yang tersedia. Diberikan 5 titik asal, 5 titik tujuan, 3 calon terminal dan 1 jalur. Contoh tersebut dapat diselesaikan dengan software

Universitas Sumatera Utara

13

yang tersedia, tetapi jika diberikan 6 titik asal, 6 titik tujuan, 3 calon terminal dan 1 jalur, maka contoh tersebut tidak dapat diselesaikan dengan software yang tersedia. Hal tersebut diakibatkan karena memori komputer tidak cukup untuk menyelesaikan masalah Branch and Bound.
Dari contoh tersebut, untuk merancang jaringan distribusi dengan pola banyak asal ke banyak tujuan maka fungsi objektif pada Formulasi (3.9) akan diperbaiki dengan menyederhanakan masalah rute kenderaan pada Formulasi (3.11)(3.13).
Selanjutnya akan dijelaskan faktor-faktor yang penting dalam rancangan jaringan distribusi. Faktor-faktor yang diperlukan dalam merancang jaringan distribusi yaitu:

1. Pilih jumlah terminal. 2. Tentukan lokasi terminal. 3. Tentukan jumlah lokasi pada setiap terminal.

Berdasarkan faktor-faktor di atas, Formulasi (3.9) dapat dituliskan kembali menjadi

min min
N ∈z ∗ u∈{0,1}|X |: P

um =N

min { (cm um
nv ∈N|X | m∈X

+

Cv nvm )

+

p(ω)V (u, nv , ω)}
ω∈Ω

m ∈X

= min f (N )
N ∈z ∗

(3.26)

dimana,

f

(N )

:= min
N ∈z ∗

min
u∈z ∗|X |: P

um =N

min { (cm um
nv ∈N|X | m∈X

+

Cv nvm )

m ∈X

+ p(ω)V (u, nv , ω)}
ω∈Ω

(3.27)

dengan z ∗ = {1, 2, ...}. Jika memilih N jumlah terminal, maka yang harus diperhatikan bagaimana op-

Universitas Sumatera Utara

14

timisasi bergantung pada N . Oleh karena itu, akan diberikan suatu pendekatan untuk memilih jumlah N terminal, yaitu pendekatan yang bergantung pada N .

Dimisalkan lokasi yang paling mungkin dipilih sebagai terminal (biasanya

lokasi dengan nilai cm paling kecil) memiliki biaya tetap yang sama cm ≈ c.

Kemudian m∈X (cm um) pada fungsi objektif (3.9) diganti dengan cN . Jumlah

kenderaan yang dibutuhkan m∈X nvm dapat diperkirakan dengan data rute dan

kapasitas

kenderaan.

Misalnya,

max
ω∈Ω i∈Oj

qij
∈D

(ω)/Qv

maka

biaya

total

kenderaan

tetap Cv nvm tidak tergantung pada jumlah N terminal yang dipilih. Pemili-

m ∈X

han jumlah kenderaan yang optimal nvm dari setiap terminal masing-masing akan

diselesaikan pada bagian berikutnya.

Selanjutnya pendekatan yang tersisa dari fungsi objektif, yaitu

dengan,

min min min p(ω)V (u, nv , ω),
N ∈{1,2,...} u∈{1,2,...}|X |:Pm∈X um =N nv ∈N|X | ω∈Ω

V¯ := p(ω)Vˆ (N , ω).
ω∈Ω
Maka diperoleh formulasi pendekatan dari fungsi objektif, yaitu

min {fˆ(N ) := cN + V¯ (N )}
N ∈{1,2,...}

(3.28)

Newell (1973) menjelaskan penggunaan metode continuous approximation (CA) untuk memberikan pemahaman tentang perilaku kualitatif berbagai masalah optimasi diskrit serta menemukan solusi masalah tersebut. Kemudian, Dasci dan Verter (2001) mengembangkan sebuah continuous approximation (CA) yang dibutuhkan untuk ukuran area layanan atau ekuivalen terhadap kepadatan terminal yang akan dipilih pada setiap titik di wilayah tersebut. Selanjutnya, Ouyang dan Daganzo (2006) mengusulkan sebuah algoritma untuk mengkonversi ukuran area pelayanan sebagai fungsi dari titik di dalam suatu daerah untuk solusi dengan lokasi terminal diskrit. Ouyang dan Daganzo juga mengevaluasi perbedaan antara biaya yang dihasilkan oleh metode continuous approximation (CA) dengan biaya yang dihasilkan oleh algoritma mereka.

Universitas Sumatera Utara

15 Selanjutnya, Ahuja (1993) dan Bazaara (1977) juga memberikan referensi tentang teori rancangan distribusi.
Universitas Sumatera Utara

BAB 3 RANCANGAN JARINGAN DISTRIBUSI DENGAN POLA
BANYAK ASAL KE BANYAK TUJUAN
Pada bab ini akan dibahas mengenai rancangan jaringan distribusi dengan pola banyak asal ke banyak tujuan dengan menggunakan pengembangan pada metode continuous approximation.
3.1 Pengertian Metode Continuous Approximation (CA)
Metode Continuous Approximation adalah suatu metode yang memperkirakan biaya operasi yang akan dilakukan dengan merancang dan kemudian menggunakan pendekatan/perkiraan tersebut untuk mencari rancangan yang terbaik.
Pada penelitian ini, metode Continuous Approximation berfungsi untuk mengestimasi biaya transportasi dan terutama biaya linehaul (jarak rata-rata dari terminal ke titik pusat pada rute) sebagai fungsi dari jumlah terminal.
Dari Formulasi (3.4) dan (3.8) dapat dibuat langkah-langkah untuk merancang jaringan distribusi sebelum jalur ω diketahui yang disebut dengan keputusan desain, yaitu:
1. Pilih jumlah terminal. 2. Pilih lokasi masing-masing terminal. 3. Pilih jumlah kenderaan di terminal masing-masing.
Setelah melakukan langkah-langkah di atas, akan dilakukan langkah-langkah berikutnya setelah laju q(ω) diketahui atau yang disebut dengan keputusan operasional, yaitu:
1. Untuk setiap pasangan asal-tujuan dengan jalur qij (ω) > 0, tentukan terminal yang akan digunakan untuk memindahkan pengiriman dari asal ke tujuan.
16
Universitas Sumatera Utara

17
2. Untuk masing-masing terminal, akan diputuskan bagaimana kenderaan dialihkan dari terminal untuk melakukan pengambilan dan pengiriman dengan rute yang ditentukan.
Dari langkah-langkah di atas, akan dibuat sebuah pendekatan rancangan menurut langkah (2) dan (3) pada keputusan desain dan keputusan operasional (1) dan (2) sehingga pemilihan terminal (langkah 1) dapat dilakukan dengan efisien.
Selanjutnya akan diuji kualitas keputusan yang dihasilkan dari pendekatan yang dikembangkan yaitu metode Continuous Approximation (CA).
3.2 Pemilihan Jumlah Terminal Ada dua komponen biaya utama yang dipertimbangkan dalam pemilihan
jumlah terminal yaitu biaya tetap terminal dan biaya transportasi. Biaya tetap terminal meningkat secara proporsional dengan jumlah terminal.
Biaya transportasi menurun seiring meningkatnya jumlah terminal, karena dengan adanya terminal yang lebih banyak maka rute dari daerah asal (pengiriman) ke daerah tujuan melalui terminal juga menjadi banyak. Biaya transportasi diambil secara proporsional dengan jarak transportasi.
Hasil jarak transportasi dari rute yaitu bahwa kenderaan dimulai dari terminal masing-masing untuk melakukan pengambilan dan pengiriman dari asal ke tujuan. Jarak transportasi dari rute dibagi menjadi dua komponen, yaitu:
1. Jarak linehaul (linehaul distance). 2. Jarak jalan yang memutar (detour).
Jarak linehaul adalah jarak dari terminal ke titik-titik yang ingin dikunjungi, dan kembali lagi. Jarak jalan yang memutar (detour distance) adalah jarak dari titik-titik yang dikunjungi tetapi tidak masuk ke terminal.
Universitas Sumatera Utara

18
Pada bab sebelumnya telah dijelaskan, jumlah terminal yang mengalami kenaikan pada setiap titik asal dan titik tujuan merupakan rata-rata dari jarak linehaul, atau rata-rata jarak dari titik asal melalui terminal yang digunakan untuk pengiriman ke daerah tujuan mengalami penurunan, tetapi terjadi peningkatan jumlah total kenderaan yang berhenti pada rute dan dengan demikian penggunaan jarak em detour juga mengalami peningkatan. Pada bab sebelumnya juga telah dijelaskan, semakin besar total laju kenderaan dari asal ke tujuan, semakin besar jumlah terminal yang harus melayani daerah asal dan tujuan.
Dari pernyataan di atas, untuk mengontrol jumlah terminal yang melayani asal adalah sebagai berikut. Misalkan terdapat terminal terbuka N . Pilih N − 1 sebagai batas bawah, dengan 0 ≤ Q1 ≤ ... ≤ QN−1. Daerah asal ditunjukkan oleh i dan rute oleh ω. Jika j ∈D qij (ω) ∈ (0, Q1), maka satu terminal melayani asal i pada rute ω. Jika j ∈D qij (ω) ∈ (QN−1, ∞) maka N terminal melayani asal i pada rute ω. Sebaliknya, jika j ∈D qij (ω) ∈ (Qk−1, Qk ] maka k terminal melayani asal i pada rute ω. (Analog untuk mengetahui jumlah terminal yang melayani tujuan).
Karena tidak semua terminal melayani setiap asal dan tujuan, perawatan tetap dilakukan untuk memastikan bahwa untuk setiap asal-tujuan (i , j ) dengan qij > 0, maka paling sedikit ada satu terminal yang melayani asal (i ) dan tujuan (j ) yaitu dengan menunjuk satu terminal pusat yang berfungsi untuk melayani semua asal dan tujuan.
Berikut ini dijelaskan beberapa metode untuk memilih jumlah terminal dan batas.
3.2.1 Estimasi Jarak Linehaul
Misalkan ada terminal terbuka N , n = 0, 1, ..., N − 1, yang terletak di beberapa daerah yang tidak harus mencakup lokasi asal-tujuan. Terminal pusat digunakan oleh semua asal dan tujuan, yang dinotasikan dengan 0. Estimasi dari total jarak linehaul diberikan pada batas Q := (Q1, ..., QN−1).
Universitas Sumatera Utara

19

Asumsikan rute ω ∈ Ω, dan daerah asal i ∈ O. Misalkan asal i dilayani oleh terminal Ni dari Ni , termasuk terminal pusat. Pilih terminal Ni −1 yang melayani asal i tepat terletak di sebelah terminal pusat dari himpunan {1, 2, ..., N − 1}. Asumsikan tujuan j ∈ D dengan tujuan j dilayani oleh terminal Nj dari Nj , juga termasuk terminal pusat. Jumlah Ni dan Nj bergantung pada batas Q dan pada rute ω. Diambil Nij := Ni ∩ Nj menunjukkan himpunan terminal yang melayani asal i dan tujuan j . Himpunan-himpunan Ni , Nj , dan Nij bergantung pada batas Q, pada rute ω, dan pada pemilihan terminal .

Disini ambil λi,n,j yang menunjukkan jarak dari titik asal i melalui terminal n untuk tujuan j . Jarak λi,n,j bergantung pada lokasi dari terminal. Semua kebergantungan tidak ditampilkan dalam notasi, maka jarak minimum dari asal i ke tujuan j melalui terminal yang melayani asal i dan tujuan j , diberikan pada persamaan berikut.

Λi,j := minn∈Ni,j λi,n,j ,

(4.1)

dengan jarak Λi,j bergantung pada Ni,j batas Q, rute ω, pemilihan terminal, jarak λi,n,j dan pada lokasi terminal.

Diberikan N jumlah terminal pada batas Q maka total jarak linehaul L(N,Q) adalah sebagai berikut

L(N ,Q)

:=

p
ω∈Ω

(ω

)
i

∈Oj

∈D

qi,j (ω) Qv

E[Λi

,j

],

(4.2)

dengan E[Λi,j ] menunjukkan nilai keputusan dari Λi,j dengan parameter acak yang terdapat dalam pemilihan terminal.

Misalkan lokasi dari N − 1 terminal adalah {1, 2, ..., N − 1} tidak termasuk terminal pusat. Asumsikan himpunan Ni \{0} dari terminal yang melayani asal i terletak di sebelah terminal pusat yang dipilih dari terminal 1, 2, ..., N − 1 dengan mengambil Ni−1 secara acak tanpa pengganti dari {1, 2, ..., N − 1} pada setiap pemilihan elemen yang tersisa dengan probabilitas sama. Himpunan Nj \{0} dari terminal tujuan Nj −1 yang melayani tujuan j di samping terminal pusat yang dipilih dengan cara yang sama. Berarti pemilihan terminal bersifat bebas untuk

Universitas Sumatera Utara

20

daerah asal dan daerah tujuan.

Selanjutnya, jika jarak linehaul λi,n,j menurun dari Ni dan Nj .
Diambil ω¯i := (ω¯i,1, ..., ω¯i,N−1) dan ω¯j := (ω¯j ,1, ..., ω¯j ,N−1) menjadi dua persamaan
yang bebas dan permutasi yang berdistribusi random dari {1, 2, ..., N −1}, dengan
distribusi sehingga setiap permutasi (N − 1) mempunyai probabilitas 1/(N − 1)!. Dengan mengambil ni < N dan nj ≤ N . Misalkan Nˇi := {0, ω¯i,1, ..., ω¯i,ni−1}, Nˇi+ := {0, ω¯i,1, ..., ω¯i,ni−1}, Nˇj := {0, ω¯j ,1, ..., ω¯j ,nj−1}, Nˇij := Nˇi ∩ Nˇj , Nˇi+j := Nˇi+ ∩ Nˇj+, Λˇ i,j := minn∈Nˇi,j λi,n,j , dan Λˇ +i,j := minn∈Nˇi+,j λi,n,j . Akibatnya Nˇi , Nˇj , Nˇij dan Λˇi,j mempunyai masing-masing distribusi Ni , Nj , Nij dan Λi,j , dengan Ni = ni + 1 dan Nj = nj . Dinyatakan bahwa Nˇi ⊂ Nˇi+ dan Nˇij ⊂ Nˇi+j . Selanjutnya, Λˇi,j ≤ Λˇi+,j . Karena itu, conditional distribution dari Λi,j diberikan
Ni = ni yang menurun secara stokastik pada ni .

Diambil Ni 0. Diambil T n yang menunjukkan panjang perjalanan yang terpendek, yang diukur dengan jarak dalam ruang Euclid L2 sebagai n titik pertama dari barisan. Kemudian, terdapat konstanta βk , yang bebas dari barisan dan dari A, sehingga dengan probabilitas sama dengan 1, diperoleh

limn→∞ n−(k−1)/k T n = βk k 1/2[µ(A)]1/k .

(4.15)

Universitas Sumatera Utara

23

Misalkan, pada R2, tedapat konstanta β2 ∈ [0.44, 0.65] (nilai eksak belum diketahui), sehingga dengan probabilitas sama dengan 1, diperoleh

lim n−1/2T n
n→∞

=

β221/2[µ(A)]1/2.

Pendekatan Tn ≈ β nµ(A), untuk beberapa β bergantung pada jarak metrik yang telah banyak digunakan pada aplikasi rute kenderaan dan pada hal ini juga dilakukan hal yang sama untuk tujuan mendapatkan perkiraan yang mudah diselesaikan dari jarak detour sebagai fungsi jumlah dari N terminal dan batas Q.

Akan dipertimbangkan jumlah dari N terminal, diberikan nilai Q := (Q1, ..., QN−1) dari batas yang diberikan dan jalur ω ∈ Ω. Diasumsikan bahwa kendaraan yang berangkat dari terminal penuh dengan barang-barang yang akan diantar ke daerah tujuan dan kembali ke terminal dengan kondisi kenderaan yang penuh barang-barang yang telah dijemput dari daerah tujuan. Asumsi tersebut ditunjukkan oleh kapasitas kenderaan Qv dengan faktor antara 0 dan 1 dengan syarat muatan kenderaan tidak bersifat rata-rata.

Kemudian jumlah total kenderaan pada rute kenderaan ditunjukkan oleh

qij /Qv .
i∈Oj ∈D

(4.16)

Misalkan total wilayah A¯ dengan area µ(A¯ ) dan anggap bahwa setiap terminal melayani daerah asal dan/atau daerah tujuan dari A¯ . Jumlah rata-rata dari

rute kenderaan pada setiap terminal diberikan oleh

qij /N Qv .
i∈Oj ∈D

(4.17)

Jadi, apabila terjadi perbedaan rute kenderaan pada terminal yang sama dan tidak terjadi tumpang tindih, diperoleh

µ(A) =

,µ(A¯)N Qv
P P qij (ω)

i∈Oj ∈D

dengan µ(A) bergantung pada N dan ω.

(4.18)

Universitas Sumatera Utara

24

Berikutnya, dihitung jumlah rata-rata pengiriman dan pengambilan barang yang berhenti pada setiap rute kenderaan, sebagai fungsi N , Q dan ω. Jumlah kenderaan yang berhenti pada setiap daerah asal i ∈ O adalah

max{Ni , ⌈ ωij (ω)/Qv ⌉},
j ∈D

(4.19)

dan jumlah kenderaan yang berhenti pada setiap daerah tujuan j ∈ D adalah

max{Nj , ⌈ ωij (ω)/Qv ⌉},
i ∈O
dengan Ni dan Nj tidak bergantung pada N , Q dan ω.

(4.20)

Berdasarkan uraian di atas, didapat jumlah rata-rata pada setiap pengambilan yang berhenti per rute kenderaan, yaitu

max{Ni ,⌈ P ωij (ω)/Qv ⌉}

np =

j ∈D
P P qij /N Qv

.

i∈Oj ∈D

(4.21)

Jumlah rata-rata pada setiap pengiriman yang berhenti per rute kenderaan, yaitu

max{Nj ,⌈ P ωij (ω)/Qv ⌉}

nd =

i∈O
P P qij /N Qv

i∈Oj ∈D

(4.22)

Dengan demikian, perkiraan jarak total detour D (N , Q) dapat dihitung sebagai berikut:

D (N , Q) := p(ω)

qij /Qv β

ω∈Ω

i∈Oj ∈D

(np − 1)µ(A) + (nd − 1)µ(A) + µ(A) .

(4.23)

Pendekatan ini diperoleh dengan menggantikan ekspresi untuk jumlah ratarata yang berhenti dan area rata-rata dari wilayah yang dilayani pada perjalanan dengan memperkirakan Tn ≈ β nµ(A). Alasan dipilihnya np −1 dan nd −1 yang digunakan dalam perhitungan panjang perjalanan karena kendaraan tidak harus kembali ke titik penjemputan pertama atau titik pengiriman pertama setelah menyelesaikan pengiriman atau pengambilan.

Universitas Sumatera Utara

25

Pendekatan β nµ(A) menyatakan jarak rata-rata dari titik pengiriman terakhir ke titik pengambilan pertama pada rute kenderaan. µ(A) merupakan fungsi konkaf, hal ini berarti bahwa panjang rata-rata perjalanan lebih dari yang diperkirakan. Karena panjang rata-rata perjalanan lebih dari yang diperkirakan, maka hal ini juga berpengaruh pada pemilihan jumlah optimal dari terminal.

Ketika np meningkat pada Ni jumlah terminal yang melayani daerah asal i , nd menurun pada Ni jumlah melayani daerah tujuan j , dan D (N , Q) juga meningkat pada np dan nd . Juga, rata-rata area yang melayani per rute kenderaan µ(A) juga meningkat pada N jumlah terminal, dan D (N , Q) meningkat pada µ(A). Jadi, total jarak detour D (N , Q) meningkat pada N jumlah terminal dan pada jumlah terminal yang melayani asal dan tujuan.

3.2.3 Menentukan Jumlah Terminal dan Batas

Dengan menggunakan Persamaan (3.28) yaitu min {fˆ(N ) := cN +V¯ (N )}
N ∈{1,2,...}
dan dengan memperhitungkan cN sebagai biaya tetap terminal dan V¯ (N ) sebagai biaya transportasi. Misalkan, bahwa satuan dari biaya atau satuan dari jarak untuk membuat biaya transportasi per jarak dengan skala sama dengan 1. Pendekatan biaya transportasi V¯ (N ) diberikan dari meminimalkan jumlah dari biaya jarak linehaul dan biaya jarak detour,

V¯ (N ) := min0≤Q1≤...≤Qn−1 {L(N , Q ) + D (N , Q)}

(4.24)

Perhatikan bahwa makin besar nilai N , makin besar batas himpunan yang dapat dipilih, yang mengakibatkan V¯ (N ) makin kecil.

Jika total laju j ∈D qij (ω) untuk semua i ∈ O dan i∈O qij (ω) untuk semua i ∈ O yang telah dipilih, maka semua nilai dari batas Qk di antara dua nilai yang dipilih secara berturut-turut dari total laju memberikan nilai yang sama dari L(N , Q) dan D (N , Q).

Kemudian, jika N kecil, misalkan N = 4, maka Persamaan (4.24) dapat diselesaikan dengan melakukan enumerasi untuk semua nilai yang relevan pada batas N − 1. Jika N besar, maka persamaan (4.24) dapat diselesaikan dengan pencarian

Universitas Sumatera Utara

26
neighborhood pada himpunan dari nilai yang relevan pada batas N − 1. Jika batas Qk berubah dari satu interval yang dipilih pada total laju interval neighbor, maka terjadi perubahan pada nilai L(N , Q) dan D (N , Q) sehingga dapat dihitung dengan cepat, karena nilai dari Ni atau Nj untuk suatu daerah asal i atau daerah tujuan j dapat dipengaruhi oleh perubahan.
Jadi, min {cN +V¯ (N )} dapat diselesaikan dengan melakukan enumerasi
N ∈{1,2,...}
pada rentang nilai dari N . Nilai optimal dari N ∗ adalah jumlah terminal yang dihitung dengan menggunakan metode continuous approximation.

3.3 Lokasi Terminal

Tujuan pemilihan lokasi terminal adalah untuk menguji metode continuous approximation dalam memilih jumlah terminal dengan memperhitungkan biaya transportasi yang lebih rinci. Untuk mempermudah menghitung biaya rute kenderaan, diperlukan lokasi untuk N jumlah terminal dan variabel keputusan y¯imj menunjukkan banyaknya barang yang mengalir dari daerah asal i ke daerah tujuan j melalui terminal m dalam rute ω.

Dari uraian tersebut, diambil X himpunan lokasi kandidat, dapat dimodel-

kan

min{
u ,y¯

cm um +

(dim + dmj )y¯imj }

m ∈X

i∈O j ∈Dm∈X

dengan kendala,

y¯imj = q¯ij , untuk semua i ∈ O, j ∈ D
m ∈X
y¯imj ≤ q¯ij um , untuk semua i ∈ O, j ∈ D, m ∈ X
um = N
m ∈X
y¯imj ≥ 0 , untuk semua i ∈ O, j ∈ D, m ∈ X
um ∈ {0, 1} , untuk semua m ∈ X

Universitas Sumatera Utara

27

3.4 Memilih Ukuran Armada

Keputusan akhir dari rancangan yang dibutuhkan untuk menguji metode Continuous Approximation yang digunakan untuk memilih jumlah terminal adalah memilih jumlah kenderaan yang ditempatkan di setiap terminal. Pendekatan yang dilak